湖州、衢州、丽水2026年4月三地市高三教学质量检测数学试题卷

湖州、衢州、丽水2026年4月三地市高三教学质量检测 数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 3 4 6 7 8 答案B B D A B C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 题号 9 10 11 答案 ABC AC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2.3 5ππ 13. 2 33 141+ 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,△ABC和△PAB都是边长为I的正三角形. (1)证明：PC⊥AB; EA ②若A=4AC,求直线PB与平面PBC所成角的正弦值 解：（1)取AB中点O.------------------2分 PA=PB,O是AB的中点，所以AB⊥PO 又CA=CB,O是AB的中点，所以AB⊥CO 又CO∩PO=O.-- ---4分 AB⊥平面POC,直线PCC平面POC所以PC⊥AB.---5分 (2)因为平面PAB⊥平面ABC,且平面PAB∩平面ABC=AB 且AB⊥PO,可得PO⊥平面ABC. 如图，以O为原点，射线OA,OC,OP分别为x,y,二轴的正方向建立空间直角坐标 系则aa0,4G00,ic号0：co5,ma -8分 设平面PBC的法向量为n=(x,y,), 1. PC.n=0 2 2s0 由 PB.n=0' 得 2 二=0 2 高三数学参考答案第1页共8页 解得x=√3，y==-1,即n=(3,-1,-1) --10分 出E,帮8-后50：所以又i5。 P啦3 设PE与平面PBC所成角为O,则sinO 3 因此直线PE与平面PBC所成角的正弦值是 -13分 5 16.(15分) 己知函数f(x=ex+a-a3(aeR). (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(-1，f(-1)处的切线方程： (2)若函数f(x)有极小值，且极小值大于0，求实数a的取值范围.（其中e≈2.71828是 自然对数的底数) 解：(1)当a=1时，则f(x)=ex+x-1,故f(w=-e+1, -2分 故f"(-1)=1-e,f(-1)=e-2, -4分 因此所求切线方程y-(e-2)=(1-e)x+)即y=I-ex-1.- ----6分 (2)由题意定义域为R,f(x)=-e+a, .7分 (i)若a≤0，则f'(x)≤0恒成立， 可知f()在R上递减，无极值，不合题意： -9分 (ii)若a>0,令f'(x)>0,解得x>-na;令f'(<0,解得x<-na: 可知f(x)在(-o,-lna)递减，在(-ha,+w)内单调递增， 则f(:有极小值f(-lna)=a-alna-d,无极大值， -12分 所以f(-na=a-ana-a>0,即a2+lna-1<0, 令g(a=a2+1na-l,a>0,则g'(a=2a+>0,可知g(a在(0，+)内单调递增，且 g(1)=0,不等式a2+lna-1<0等价于g(ad)<g(1),解得0<a<1, 所以实数a取值范围为(0,1).- -15分 高三数学参考答案第2页共8页 17.(15分) 记△1BC的内角AB,C的对边分别为a6,c.已知Q4a-1 )cosB=1(+b-c) 2a (1)求cosB的值： (2)若A4BC的面积为15√5 4 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为 已知，使得△ABC存在，并求边长a的值. 条件0：b=5:条件②：smA-smC=1;条件③：C=2 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分. 解：（1)由余弦定理得得Q4a-1dc0sB=11:24 bcosC=11:bc0sC,…2分 2a 整理得14 acos B=11·ccosB+11·bcosC,由正弦定理得 14sin AcosB =11sin CcosB+11.sin B cosC=11sin(B+C)=11sin A----- ---4分 因为si血A≠0，所以c0sB= 14 ---6分 (2)若选择条件①. 由(1)可知，smB=55 -8分 14 由S=ac5nB-155,得ac=21() ---10分 4 又由余弦定理得b2=d2+c2-2acc0sB=a2+c2-33=25,-12分 解得a2+c2=58--- 由(*)(**)式得a=7,c=3,或者a=3,c=7 因此所求a的值是u=7或者a=3.------- ---15分 若选择条件③. 由(1)可知，sinB 5v3 -8分 14 si-sin(B+C)=sin B cosC+cos BsinC --10分 14 7 所以a:b:c=sinA:sinB:siC=3:5:7,故c=3a, -12分 所以5-)sacsin B=;a7a.5V5_15v5 2 2 3144 化简得a2=9,得a=3 因此所求a的值是3. -15分 高三数学参考答案第3页共8页 18.(17分) 设A,B两点的坐标分别为(-2，O)，,(2,O),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜 率之积为3，记点M的轨迹为W,O为坐标原点. (1)求轨迹W的方程： (2)过点F(4,0)的动直线与W的左、右支交于P,2两点，且与直线x=1交于点C,过 点F作直线l2∥OC,直线l2与直线OP,O2分别交于点D,E, DF (i)证明： 3 FE 为定值；(i)若△EF吧的面积与△OPO的面积之比为8 求点2的坐标. 解：(1)设动点为M(x,y) -1分 则由直线AM,BM斜率之积为3，得yy =3, -4分 x+2x-2 因此轨迹W的方程为上 4121（x≠2） -5分 (2)(i)设直线l的方程为x=y+4,P5,),Q(5,2),则C0,-3. x=y+4 由兰=1得.(30-0y+24+36=0. 412 △=(24)2-4×36(3t-1)=144t2+1)>0 故+y2= -24t ---8分 3t2-1 36 % 3t2-1 直线，的方程为x=3y+4,直线OP的方程为x=点y=+4) y, 3 x=y+4 t 31 由，g*4入 解得yp= ---10分 +3 同理解得y:= 3y2 y+3 故，+⅓=3+3-32+34+】 副213（ ≥0 y1+3y2+3y1+3)y+3) (y1+3)(y2+3) 高三数学参考答案第4页共8页 DF 因此y。+yg=ye=0.即点F是线段DE的中点，因此 FE =1为定值.-12分 ()不妨假设点P在第二象限，点2在第一象限，此时乃+= -24t ->0 3t2-11 36 2= t2- 7>0,得t<- 3 SAEFO ，sFor ·leFl V2- 32 由题意 92+3 (*). SAoPe 号lo4l2qsmo0 leped y y+34- 由(i)得4-2=V1+2)2-42= 122+1 32-1 ”⅓=24-12P+1 2(3t2-1) tWF2+1+20 代入(*)化简得 3 -15分 2+1 8 得10sr-142r9-0,02-0F9》=-0,解得-号政F月 15 (舍去)， 因此为=2121-3，代入双曲线得5- 2(3t2-1) 5 5 由对称性可得当点2在第四象限时，七，= 3W7 图t点0坐标为e号- --17分 SAEFO 方法二：由题意 &l2n0r e·2 OF OE SAoPe 号o20noe ler叫leo lor od 利用DE结合lD-lB,可得O②d OF OE OFOF lop oc of 不妨设 ，则2= OF EF DF PF oc clococpc 得PF=PC,Pg+l2F=Pg+2C=Pg-l2cD,得 ed-lac1. lOFlOF oF _2-2_3 因此or2C 网 28,得42-41-3=0. 高三数学参考答案第5页共8页 解得1= 3 (负值舍去) -15分 4+3x1 故0=30C,因此g- 2 11 2 3= 代入双曲线方程得为=士3 1+ 因t点0附座标为Q+2冯 -17分 -5 方法三：不妨设SAs2=3L,SoPe=8,SsoDe=n. 因为利用OC∥DE结合DF=|EF,得SAPOE=81+n, SAFOE SADOE OE 由 l@o· 8m+_6m,化简得n2+8m-482=0, SAPQO SAODQ 8n n EO 解得n=4.因此 S0E_6_3 OF SAOD -15分 20 4m 2 oc 4+ 散西=c,因此之以 11 3 5 代入双曲线方程得以2= 3V7 1+ 5 2 因比点Qm标为@号3 -17分 19.(17分) 现有150种不同质地的铜币⊙1，⊙2，，©150的数量分别为是h1,2,乃50，合计2026 枚，即h+h2+乃++h150=2026（n∈N,i=1,2,3,,150). (1)甲乙两人选择1枚铜币©1进行抛币游戏，己已知每次抛出铜币O1,出现正面向上和反面 向上的概率均为2 游戏规则如下：若抛币者抛出正面向上，则该抛币者得1分，另一人不 得分，且由该抛币者继续抛掷：若抛币者抛出反面向上，则两人均不得分，且换另一人进 行下一次抛掷 现由甲第一次抛掷，记抛掷第次时甲累计得分恰好为2分且乙累计得分小于2分的概 率为P0.例如：当厂2时抛掷结果为：“正正；正反：反正：反反，此时P(2)=} 4 (1)(i)计算P(3),P(4),P(5),P(6)的值： (i)记Sn=P(2)+P(4)+P(⑥++P(2)(nef),求Sn; (2)丙从这2026枚铜币中不放回地取出150枚，记取出的这些铜币中共包含X种不同的 铜币种类，问：当铜币©1，⊙2，，⊙150的数量如何分布时，随机变量X的期望E()取 高三数学参考答案第6页共8页 到最大值，并说明理由. 解：(1)(i)P(3)=0 ，P④=2=1 28' 21 33 P(5)= 2=16' P(6)= 26=64 -4分 (iⅱ)分为两种情况： ①第一种情况：甲得2分，乙得0分此时由乙得0分可知：“反面向上”是成对出现的， 所以n必须为偶数，设n=2k（k∈N广).此时第2k次是“正”，前2k-1次可以看成k-1组“反 +反与1次“正的组合，共k种情况，则P(2)= 22E; ②第二种情况：甲得2分，乙得1分.此时最后一次是正”，乙得1分必须有“反+正+反， 的组合，若干“反+反”组合，还有1次正”，所以n必须是奇数，设n=2k+1（k≥2，k∈N). 此时前2k次可看成1次正”，1次“反+正+反”，k-2组“反+反的组合，共 生=kk-)种， 4 则P(2k+1)= k(k-1) 226+1 且P0)=p(3)=0: 2H,n为偶数 综上：P(m= (n-1)(n-3) 2m+2 ,n为奇数 -8分（猜出答案得2分，有分析的过程得4分） 8=+④+P=号+2子子 244++, +4 4, 故好 3 .1n 4”4H --12分 (2)记150种不同质地的铜币⊙1，⊙2，.，⊙150数量为h1,几2，h50, 记X=0 1, 铜币出现 铜币未出现’则X=X+X++X0,…13分 高三数学参考答案第7页共8页 150 150 150 故E(X)=∑E(X)=∑1xP(X,)+0x-P(X)]-∑P(X) 1 1=1 150 C6)=-150- 1 150 150 C6864，只需求∑C696的最小值即可， c150 =1 150 记f04,,hso)=∑C28。 2026-2 -14分 假设 铜币 01 02 03 … ⊙150 备注 数量 h n h 1h50 h2-h≥2 调整 %+1 乃2-1 %3 1h50 △=f(0h+1,乃-1,3，，hs0)-f(h,乃2,3，，hs50) =C841+C864n-C0o4-C586 由C+C1=C%得△=C。--C641=Co%-C68s为 令a=C66t,可知{a}单调递减，而h-4≥2，即h-04+0≥1>0 故△=a,-a1<0 ---15分 综上：只要h,乃，h50中有两个数之差大于等于2，一定能找到m,2’,s0,使得 f(h,乃’，h50)<f0,h2,h50),故，n,h50任意两数之差不超过1.-16分 考虑2026=150×13+76， 故2026个不同种类铜币中分布：其中76种铜币各有14枚，74种铜币各有13枚时，E() 最大，此时80)=150-76C盟-74S c66 C6 -17分 高三数学参考答案第8页共8页湖州、衢州、丽水2026年4月三地市高三教学质量检测 数学试题卷 1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 3.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂 处用橡皮擦净。 4,非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用 2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={1,2,3},={2,3,4,5,则 A.MUN=(1,4) B.M∩N={2,3} C.MCN D.NgM 2.函数f(x)=tan2x的最小正周期是 A晋 B.Z C.π D.2π 3.已知正方体ABCD-AB,C,D1,E为棱AB的中点，则下列与直线BD不互为异面直线的是 A.直线DE B.直线AE C.直线AC D.直线AA 4.已知复数z=6o号+i加号(i为虚数单位，则-2= A.-i B.i C.1 D.-1 5.已知三组数据：①4,4,4,5,5,5,6,6,6：②3,3,4,4,5,6,6,7,7： ③2,2,2,2,5,8,8,8,8的方差分别是S2,S2,S2,则 A.S2>S2>S2 B.S2>S2>S2 C.s2>522>s2 D.S2>S2>S22 6.如图，已知正三角形ABC的边长为2，以B为圆心的圆与 直线AC相切，若点P是圆B上的动点，则AC,AP的最大值是 A.23 B.2+N3 (第6题图) C.4 D.2+2W5 高三数学试题卷第1页共4页 7.已知O为坐标原点，点Q(0,3),动点A、B在抛物线C:y2=4x上，满足OA⊥OB.若 点O关于直线AB的对称点为P,则Pg的最大值是 A.0丽 B.9 C.√丙 D.8 8.已知函数f(x)的定义域为D,对于任意给定n∈N,都存在x。∈D,使得f(x)=n时(x), 则称函数f(x)为“倍增友好函数”，则下列函数中不是“倍增友好函数”的是 A.f(x)=x B.f(x)=sinx c.f)= D.f(x)=Inx 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知等比数列{a,}的公比为9，T,=aaaa,（neN).若a=1,T。=8,则下列说 法正确的有 A.9=2 B.a6=8 C.T=1 D.T,=16 10.已知连续型随机变量Y服从正态分布N(2,2),记函数f(x)=P(x≤Y≤x+2),g(x)=P(Y≥x), 则（注：若X~N(4,g2),则P4-g≤X≤4+σ）≈0.68，P(μ-2G≤X≤μ+2o)=0.95) A.f(2)=0.34 B.g(0)=0.5 C.∫(x)的图象关于直线x=1对称 D.g)的图象关于点0对称 11.已知定义在R的函数y=f(x)和y=gx)均为奇函数，且满足函数y=f(x+1)-1是奇函 数，函数y=g(x+)-x是偶函数.若当x∈[0，刂时，fx)=g(x)=x2,则 A.f八2+g2=0 B.对任意n∈N',f(m)=g(m)=n c.因=g树)当且仅当xe[4k-14k+,kezD.V)-g≤分 高三数学试题卷第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.椭圆x2+4y2=16的离心率为▲ 13.已知函数f闭=血+5os克，x-2,2河，则函数的单调递增区间是▲， 14.如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为片 的球)三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切 若汤圆与碗口等高，则上=人， (第14题图) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,△MBC和△PAB 都是边长为1的正三角形. (1)证明：PC⊥AB: （2)若正=C,求直线PE与平面P3C所成角的正弦值， 16.(15分) (第15题图) 己知函数f(x)=e+ar-a3(aeR). (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(-l,f(-1)处的切线方程： (2)若函数f(x)有极小值，且极小值大于0，求实数a的取值范围 (其中e≈2.71828是自然对数的底数) 17.(15分) 记△MBC的内角4B,C的对边分别为a,6c.已知Q4a-1eosB=1(g+b-c 2a (1)求cosB的值： (2)若△MBC的面积为155 4 ,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己 知，使得△MBC存在，并求边长a的值。 条件0：b=5:条件②：s血4-i血C=1:条件@：C-2年 3 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答 按第一个解答计分。 高三数学试题卷第3页共4页 18.(17分) 设A,B两点的坐标分别为(-2，O),(2,O),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜 率之积为3，记点M的轨迹为W,O为坐标原点。 (1)求轨迹W的方程； (2)过点F(4,0)的动直线1与W的左、右支交于P,Q两点，且与直线x=1交于点C.过 点F作直线2∥OC,直线2与直线OP,OQ分别交于点D,E, DF (i)证明：F西 为定值：（日）若ABF2的面积与△0Pe的面积之比为骨，求点2的坐标。 19.(17分) 现有质地均匀的150种不同的铜币⊙1，⊙2，⊙3，.，。50的数量分别为是乃1，n2,n3,…,n150 共计2026枚，即%+乃+乃++%0=2026（%∈N,i=1,2,3,,150). (1)甲乙两人选择1枚铜币。，进行抛币游戏，己知每次抛出铜币⊙1，出现正面向上和反面 向上的概率均为分·游戏规则如下：若抛币者抛出正面向上，则该抛币者得1分，另一人不 得分，且由该抛币者继续抛掷：若抛币者抛出反面向上，则两人均不得分，且换另一人进行 下一次抛掷. 现由甲第一次抛掷，记抛掷第n次时甲累计得分恰好为2分且乙累计得分小于2分的概 率为P网.例知：当2时，抛掷结果为：“正正正反：反正，反反，此时P阳)-号 (1)(i)计算P(3),P(4),P⑤，P(6的值： (i)记Sn=P(2)+P(4)+P(6++P(2m)(neN),求Sn: (2)丙从这2026枚铜币中不放回地随机抽取150枚，记抽取的150枚铜币中共包含X种 不同的铜币种类，问：当铜币01，O,⊙，，O50的数量如何分布时，随机变量X的期 望E(X门取到最大值，并说明理由。 高三数学试题卷第4页共4页