浙江省湖州市县域联盟2024-2025学年高三下学期模拟考试数学试题

第 1 页（共 6 页） 2024 学年第二学期浙江省县域教研联盟高三年级模拟考试 数学参考答案 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1．【答案】A 【解析】 {01 2 3}A  ，，， ， { | e 8} { | ln8}xB x x x    ， 2 ln8 3  ，故 {01 2}A B  ，， . 2．【答案】D 【解析】 2i 3 (2i 3) ( i)i 2i 3 2 3i i i ( i) z z              ，则 2 3z i  . 3．【答案】B 【解析】因为 1 1 2 3a b a b          ， 1 2 a b     . 4．【答案】C 【解析】因为直线 1 0x y   经过圆心 ( , )a b ， 则  22 2 2 2 11, 1 2 2 1 2 a b a b a a a a         ≥ ，选 C 5．【答案】C 【解析】如右图，是该圆台的直观图，由已知条件可知 1 1 1r OC  ， 2R OC  ， 1 2 2h OO CH   ， 所以该圆台的体积 1 14 2(π 4π 2π) 2 2 π 3 3 V       故选 C． 6．【答案】D 【解析】当 2n≥ 时， 1 1( 1) 1 n n nS a n     ，两式相减得 1 1( 1) ( 1) 1 n n n n na a a       ， 当 2027n  时，得 2027 2027 2026+ 1a a a  ，∴ 2026 1a   ； 当 2026n  时，得 2026 2026 2025 1a a a    ，由 2026 1a   计算得 2025 3a  ，故选 D. 7．【答案】B 【解析】设 ,AB AC x BC y   ，由 AC边上的中线长 5 4 可得，   2 2 2 2 52 2 x y x           ， 即 2 2 52 4 x y  由 AC边上的高线长 1 2 可得， 1sin 2 C y  ． 由余弦定理可得， cos 2 yC x  ． 2 2sin cos 1C C  ， 2 2 2 1 1 4 4 y y x    ， 即 2 4 2 24x y x y  ．将 2 2 5 2 4 x y  代入，化简可得 4 236 28 5 0y y   ． 解得 2 1 1 2 y  或 22 5 18 y  当 2 1 2 y  时， 2 A   ，舍去 当 2 5 18 y  时， 2 25 36 x  ， cos 0A  ， ABC 为锐角三角形符合题意．故腰长为 5 6 ，选 B. 8．【答案】C 【解析】令 2( ) e ln , ( ) ex xf x x a a g x x ax a        ， 第 2 页（共 6 页） 易知 ( )f x 的零点为 ln a，由图象可知需满足 (ln ) 0g a  ， 2ln ln 0a a a a a     ，整理得 ln (ln ) 0a a a  ， ∵ ln 1a a a ≤ ，∴ ln 0a a  ，得 ln 0, 1a a   ，故选 C． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．【答案】AC 【解析】 ，所以 A正确； ，所以 B错误； ，所以 C正确； ，所以 D错误；故选 AC. 10．【答案】BCD 【解析】选项 A，根据题目条件 4, 2 2 pp   ，准线方程为 2x   ；选项 B，设直线 l： 2x my  ，联 立方程组 2 2 8 x my y x     得到 2 8 16 0y my   ，根据韦达定理， 1 2 16y y   ， 2 2 1 2 1 2 48 8 y yx x   ；选项 C， 设 ( , )P a b ，则切点弦方程为 : 4 4AB yb x a  ，因为切点弦过焦点 (2,0)F ，可以得到 2a   ，说明 P的 运动轨迹为直线 2x   ，得 min 4PF  ；选项D，若 1 2 6x x  ，根据抛物线的定义有 1 2 10AB x x p    . 11．【答案】AD 【解析】令 0,x y  则 22 ( 1) 0f   ，解得 ( 1) 0f   ，A选项正确. 令 0x  ，则 ( ) ( ) 2 ( 1) ( 1) 0f y f y f f y       ，因此 ( ) ( )f y f y  ，可得函数 ( )f x 是一个偶函数，因 此 B选项错误. 令 2y  ，可得 ( 2) ( 2) 2 ( 1) (1) 0f x f x f x f       ，可得 4T  是函数 ( )f x 的一个周期， 令 3, 1x y  ，可得 (4) (2) 2 (2) (0)f f f f   ① 令 1x y  ，可得 2(2) (0) 2 (0)f f f   ② 由①②两式，可得 (0) (2) 0f f  ，可得 (0) 1f  令 1y  ，可得 ( 1) ( 1) 2 ( 1) (0) 2 ( 1)f x f x f x f f x         ( 1) ( 1) 0 ( 1) (1 )f x f x f x f x        ，所以 (1,0)是函数 ( )f x 图象的一个对称中心，又因为 4T  是 函数 ( )f x 的一个周期，所以 (2025,0) 也是函数 ( )f x 图象的一个对称中心．因此 C选项错误. 根据上面的分析，有 (0) 1, (1) 0, (2) 1, (3) 0f f f f     ，又因为 4T  是函数 ( )f x 的一个周期，则 1( ) 1 ( ) 3 P B P B   ( ) 3 3( | ) , ( ) ( ) 4 8 P ABP B A P AB P A     19( ) ( ) ( ) ( ) 24 P A B P A P B P AB     ( ) 3( | ) ( ) 8 P ABP A B P B   第 3 页（共 6 页） (1) (2) (3) (4) 0f f f f    ，所以 (1) (2) ... (2025) 0f f f    ，因此 D选项正确. 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12．【答案】729 【解析】 0 1 6| | | | ... | |a a a   的值，就是 6( 2)x  展开式的系数和， 60 1 6| | | | ... | | 3 729a a a     13．【答案】 78 6 【解析】以 A为原点， 1, ,AB AC AA 所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建 立如图所示的空间直角坐标系，则，所以 1(1, 1,1), (0, ,2) 2 CM CN      ， 取 3 3 3( , , ) 3 3 3| | CMu CM      2 2 17 25 78( ) 4 12 6 d CN CN u         14．【答案】  【解析】设点 0 0 0( , )( 5)P x y x  ，则直线 0 1 0 : ( 5) 5 y PA y x x    ， 直线 0 2 0 : ( 5) 5 y PA y x x    ，则 0 0 0 0 01 2 2 00 0 (2 5) (2 5) 2 5 4 5 | | | | | | 55 5 y y x y y S S xx x         2 2 2 0 0 1 2 2 2 0 0 20( 2) 5 ( 2) | | 4 4 5 5 x x S S S x x            令 0 2 ( 5 2)x t t    ，则 2 2 2 2 2 5 5 5( ) 1 4( 2) 5 4 1 ( ) 1 t tf t t t t t t              令 1 ( (0, 5 2)u u t    ，则 2 2 1 4( ) 1 4 1 (0,5]u u t t         ， [ , )S   . 则以 1 2S S 为直径的圆面积的最小值是  四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【答案】（1）观看 2次该电影总人数为： 2 1 4 170 80 30 20 72 7 2 15 5         ，平均次数为： 128 72 2 1.36 200    . （2）零假设为 0 :H 观影次数与年龄层次无关联 将所给数据进行整理，得到列联表： 观影次数 年龄层次 合计 A组 B组 1次 90 38 128 2次 60 12 72 合计 150 50 200 第 4 页（共 6 页）        2 2 2 200(90 12 60 38) 25 4.17 150 50 128 72 6 n ad bc a b c d a c b d                 根据小概率值 0.05  的独立性检验，我们推断 0H 不成立，即认为观影次数与年龄层次有关联，此推 断犯错误的概率不大于 0.05. 16．（15分） 【答案】（1）取CD中点 E，连接 BE AE、 . 因为 ,BC BD AC AD ，所以 ,BE CD AE CD . 所以CD 平面 AEB，所以 AB CD （2）由（1）知， EA EB EC、 、 两两垂直，故如图建系， 则        0,0, 2 , 1,0,0 , 0,1,0 , 0, 1,0A B C D  设平面 ACD法向量为 n  ，则  1,0,0n   ， 取 BC中点 1 1, ,0 2 2 F      ，因为H 为 ABC 的垂心， 所以 H 在 AF 上， 设 , , 22 2 AH AF            ，  1, , 2 2 0,1, 2 02 2BH AC                ，解得 4 . 5   故， 2 7 2, , 5 5 5 DH          ， 记DH 与平面 ACD 夹角为 . 所以 2 55sin cos , 55 n DH n DH n DH             . 即DH 与平面 ACD 夹角的正弦值为 2 55 . 55 17．（15分） 【答案】（1） 2( ) ( ) 2 ( ) ( )(3 )f x x a x x a x a x a        ， ∵ ( )f x 在 1x  处有极大值，∴ (1) (1 )(3 ) 0,f a a     解得 1a  或 3a  ， 当 1a  时， ( ) ( 1)(3 1)f x x x    ，∴ ( )f x 在 1x  处取得极小值，不合题意，舍去； 当 3a  时， ( ) ( 3)(3 3)f x x x    ，∴ ( )f x 在 1x  处取得极大值，符合题意，故 3a  . （2） 22 2 4 4 4( ) 3( 3)( 1) 3( 4 3) 0 (4 ) 4 x bg x x x b x x x x x x               在 (0,4)内恒成立， 令 24 (0,4]t x x   ，∴ 43( 3) 0bt t    ≥ ，∴ 2 max 3 9( ) 4 t tb ≥ ，故 3b≥ . 第 5 页（共 6 页） 18．（17分） 【答案】（1）因为椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的离心率是 3 2 ， 则 3 2 c a  ， 2 2 3 1 1 4a b   ，解得 2 24, 1a b  ， 2 2: 1 4 xC y  . （2）已知 ( 3,0)F ，则直线 1l 的方程可以假设为： ( 3) 3y k x kx k    ，由 d r ， 解得 2 2 k   ，所以直线 1l 的方程是 2 ( 3) 2 y x   ，可解得 | |AB  2 1 21 | | 2k x x   （3）设 1 1 1 1( , ), ( , )M x y N x y  ，则直线 1 1 1: 1yAM y x x    ，与圆 2 2 1x y  联立 可得 2 2 1 1 1 1 1 x y yy x x         解得 1 1 1 1 2 5 3( , ) 3 5 3 5 x yM y y    ， 1 1 1 1 2 5 3( , ) 3 5 3 5 x yN y y    则 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 5 3 5 3 3 5 3 5 8 2 2 5 3 5 3 5 y y y y yk x x x y y           ，又因为 1 1 1 yk x  ，解得 1 2 5 8 k k  . 19．（17分） 【答案】（1）巽卦“☴”对应的二进制数为 011，故对应的十进制数为 0 1 21 2 1 2 0 2 3      兑卦“☱”对应的二进制数为 110，故对应的十进制数为 0 1 20 2 1 2 1 2 6      （2）令 0 1 2 0 1 22 2 2 2 k kn a a a a         ， 则 1 2 3 1 0 1 22 2 2 2 2 k kn a a a a          ，故 2 0 1n n kS S a a a     . 0 1 2 3 1 0 1 22 1 1 2 2 2 2 2 k kn a a a a             ，故 2 1 2 1 1n n nS S S     因为 0 0 1 2 1 2 (1 2 )2 2 2 2 2 1 1 2 n n n          所以 2 1 1 1 1nS n      ， 故 2 1 2 1 1nn nS S S n     （3）不存在正偶数 p，使得对任意 {0,1,2, ,2014}i  ，满足 2025 4050p i p i p ib b b      . 反证法：假设存在正偶数 p，使得对任意 {0,1,2, ,2014}i  ，满足 2025 4050p i p i p ib b b      . 当 0i  时， 2025 4050p p pb b b   ① 当 1i  时， 1 2026 4051p p pb b b    ② 当 2i  时， 2 2027 4052p p pb b b    ③ 第 6 页（共 6 页） 由（2）可知， 2n nS S ， 2 1 2 1n nS S   ，因此 2n nb b ④， 2 1 2n nb b  ⑤ 所以，由⑤可得：对于正偶数 p， 1p pb b  ， 2026 2027p pb b  而 {0,1}nb  ， 1 2026p pb b  ，所以 2027p pb b  由①②③可知： 2025 4050p p pb b b    2 2027 4052p p pb b b    令正偶数 *2 , Np t t  则 2 2 2025 2 4050t t tb b b    2 2 2 2027 2 4052t t tb b b    则根据④，可得： 2025t tb b   1 2026t tb b  若 t为偶数，由⑤知： 1t tb b  ，矛盾. 若 t为奇数，则 2025t  为偶数，由⑤知： 2025 2026t tb b  ，矛盾. 综上所述，不存在正偶数 p，使得对任意 {0,1,2, ,2014}i  ，满足 2025 4050p i p i p ib b b      .