19.1 《二次根式及其性质》 导学案--2025-2026学年人教版数学八年级下册

19.1 二次根式概念及其性质 1、 概念 之前我们学过，非负数才有平方根和算数平方根，负数没有；正数有2个平方根，且它俩互为相反数，其中正数为算术平方根；0的平方根和算数平方根还是0。 列举： 1、面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______． 2、一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m． 总结：、、 分别表示3、S、65的算术平方根；且3、S、65为非负数， 现在，我们会把、、 这些式子叫做二次根式 定义：一般地，把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”二次根式是代数式。 识别条件： · 含有“” · 被开方数a≥0 例题： 下列各式是否为二次根式？或满足什么条件就是二次根式？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 解：（1）∵，∴．∴是二次根式； （2）∵，∴是二次根式； （3）∵，∴，∴当时才是二次根式； （4）当时是二次根式，当时不是二次根式；即当时是二次根式，当时不是二次根式； （5）当时是二次根式，当时不是二次根式；即当是二次根式，当时不是二次根式． 练习1 1、当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）； （2） （3）； （4） 2、已知y＝－，求x＋y的值． 3、已知实数a、b满足，求a＋b的值 检测1 1．使式子有意义的条件是 ． 2．当时，有意义． 3．若有意义，则的取值范围是 ． 4．若与互为相反数，则． 5．对于二次根式，以下说法中不正确的是（ ）． A．它是一个非负数 B．它是一个无理数 C．它是一个有理数 D．它的最小值为0 二、性质 思考：比较和0的大小？ · a＞0时，为a的算术平方根，＞0； · a=0时，表示0的算术平方根，=0 得出二次根式的性质： ≥0（a≥0）（双重非负性） 继续思考：已知正方形面积为a，可知边长为，所以面积又可以表示为()2； 得到公式：()2=a (a≥0) 例题： （1） 解：2；0.01；；0 （2）， ， 解：3；-3；a-3 总结： 练习2：化简下列各式 （1） （2） （3） 作业2：计算下列各式 （1） ； （2） 2； （3）； （4）； （5）． 检测2： 1．． 2．下列运算正确的是（ ）． A． B． C． D． 3．若，则的取值范围是 ． 4．计算：． 5．＝_________． 6．化简：． 答案 练习1： 1：（1）由，得．当时，在实数范围内有意义； （2）由≥0，得x≤．当x≤时，在实数范围内有意义； （3）由－5x≥0，得x≤0；当x≤0时，在实数范围内有意义； （4）∵≥0，∴＋1＞0，∴x为任意实数都有意义． 2、解：且，即且，故x＝3，y＝0，x＋y＝3． 3、解：，，若使0成立，只能，且，故． 检测1： 1． ． 2． ． 3． 且． 4． ． 5．A． 练习2： （1）；（2）；（3） 检测2： 1．5；5；5． 2. AD． 3．． 4．－6． 5．2． 6． 学科网（北京）股份有限公司 $