19.1 第1课时 二次根式的概念（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦“二次根式的概念”第1课时，通过复习平方根、算术平方根的性质及问题导入，搭建旧知与新知的桥梁，引导学生从已有知识自然过渡到二次根式的学习。 资料以素养目标为导向，通过长方形围栏、正方形面积等实际情境引入概念，培养抽象能力与模型意识，典例与变式题分层设计，助力学生理解有意义条件，提升推理能力和运算能力，当堂反馈兼顾基础与应用，帮助学生用数学思维解决问题。

第19章 二次根式 19.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念 【素养目标】 1. 理解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式， 感悟利用数学符号表示实际问题的意义。(重点) 2. 理解二次根式有无意义的条件，领会数学分类讨论思想。 (重点) 3. 会求二次根式的被开方数中字母的取值范围，在解题过程中利用不等式 (组) 模型来培养全面思考问题的正确习惯.(难点) 【复习导入】 1. 回答下列问题： (1) 16 的平方根是什么？16的算术平方根是什么？ (2) 0 的平方根是什么？0 的算术平方根是什么？ (3) -7有没有平方根？ 有没有算术平方根？ (4) 表示什么？ 2. ① 平方根的性质 (1) 正数有_____个平方根且互为_____数 (2) 0 的平方根是_____ (3)负数_____平方根 (4)非负数 的平方根表示为_____. ② 算术平方根的性质 (1) 正数只有_____个算术平方根 (2) 0 的算术平方根是_____. (3) 负数_____算术平方根 (4) 非负数 的算术平方根表示为_____. 3.自学教材第2页： 完成教材上提出的问题的思考。 【合作探究】 探究点1：二次根式的概念 思考： 用含有根号的式子填空， 看一看写出的结果有什么共同特征： (1) 一个长方形的围栏，长是宽的 2 倍，面积为 ，则它的宽为_____m. (2) 一个大正方形的面积是一个边长为 的正方形与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_______. (3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 (单位： ) 与开始落下时离地面的高度 (单位： ) 的关系近似为 ，如果用含有 的式子表示 ，那么 为_______. 上面问题中，得到的结果分别是： . 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 问题2 这些式子有什么共同特征？ 二次根式的定义 一般地，我们把形如的式子叫作二次根式。 二次根式也是代数式。 注意： 可以是数，也可以是式。 两个必备特征 问题3 在二次根式 中，为什么不能是负数？ 通过上述的学习，同学们可以自己举出具体的二次根式吗？ 【典例精析】 例1 下列各式中， 哪些是二次根式？ 哪些不是？ (1) ； (2) ; (3) 6 ; (4); (5) ; (6) ； (7) ; (8) ; (9) ; 探究点2：二次根式有意义的条件 例2 当 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 练一练：当 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) _________ (2) _________ (3) _________ (4) _________ (5) _________ (6) _________ 【变式题1】 当是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 【变式题2】 当 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ; (2) . 问题 当 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 探究点3：二次根式的求值 例3 (1) 当 时，二次根式 的值是________； (2) 当 时，二次根式 的值是________； (3) 当 时，二次根式 的值是________， 练一练 (1) 当 时，二次根式 的值是_________； (2) 当 时，二次根式 的值是_________； (3) 当 时，二次根式 的值是__________. 当堂反馈 1. 下列各式中，不是二次根式的是 ( ) A. B. C. D. 2. 要使式子 有意义，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 3. 当 时， _________。 4. [高频易错]若 ，则 _______， _______. 5. [教材变式]求使下列各式有意义的 的取值范围： (1) ; (2) . 6. [教材变式]有一个面积为360cm²的正方形纸片，将正方形纸片裁剪后拼出一个长宽之比为4:3的长方形， 若正方形纸片和拼出的长方形纸片面积相等， 试求出长方形纸片的长与宽。 参考答案 复习导入 1. (1) ±4 4 (2) 0 0 (3) 没有 没有 (4) 7 的算术平方根 2.① 平方根的性质 (1) 两 相反 (2) 0 (3) 没有 (4) . ② 算术平方根的性质 (1) 1 (2) 0 (3) 没有 (4) . 探究点1：二次根式的概念 思考： (1) (2) (3) 问题1 分别表示 的算术平方根。 问题2 ① 根指数都为 2; ② 被开方数为非负数。 问题3 因为实数范围内， 负数没有算术平方根。 例1 下列各式中， 哪些是二次根式？ 哪些不是？ (1) √ ; (2) ×; (3) ×; (4) √ ;(5) √ ;(6) ×; (7) ×; (8) ×; (9) √ ; 探究点2：二次根式有意义的条件 例2 解： 由 ，得 .当 时，在实数范围内有意义。 练一练： (1) x≥3 (2) x (3) 全体实数 (4) (5) x (6) x 【变式题1】 (1) . (2) . (3) . (4) 且 【变式题2】 解： (1) 无论 为何实数， , 当 时, 在实数范围内有意义。 (2) 无论 为何实数， ， 无论为何实数， 在实数范围内都无意义。 问题 答：前者为全体实数； 后者 . 探究点3：二次根式的求值 例3 (1) 2； (2) 3 ； (3) 1 ， 练一练 (1) ；(2) 2 ； (3) 2 . 当堂反馈 1. B. 2. D. 3. . 4. 2 , 1. 5. 解： (1) 由题意得 ，解得 . (2) 为一切实数。 6. 解： 设长方形纸片的长为 ，宽为 , 则 , 解得 或 (舍去). 则 .即长方形纸片的长和宽分别是 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $