专题02平方根与立方根专项训练(17大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题02平方根与立方根专项训练 题型01.平方根的概念辨析 题型02.平方根的的计算 题型03.求代数式的平方根 题型04.平方根的逆用 题型05.平方根解方程 题型06.算术平方根的计算 题型07.算术平方根的非负性应用 题型08.算术平方根的估算 题型09.算术平方根的规律探究 题型10.算术平方根的综合应用 题型11.立方根的概念辨析 题型12.立方根的计算 .题型13.立方根的逆用 题型14.立方根的规律探究 题型15.立方根的实际应用 题型16.算术平方根和立方根综合 题型17.计算器-平方根和立方根 解答题10题 知识点01:算术平方根 1. 定义 若一个正数 x 的平方等于 a（即 x2=a，a≥0），则这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。 符号表示：x=，其中 a 叫被开方数， 是根号。 2. 特殊规定 0 的算术平方根是 0，即 =0。 负数没有算术平方根（因为没有数的平方是负数）。 3. 双重非负性（期中高频考点） 被开方数非负：a≥0（根号下的数不能是负数） 算术平方根结果非负：​≥0（算术平方根是正数或 0） 应用：若 +=0，则 a=0 且 b=0（几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0）。 知识点02:平方根 1. 定义 若一个数 x 的平方等于 a（即 x2=a，a≥0），则这个数 x 叫做 a 的平方根（或二次方根）。 符号表示：x=±（“±” 表示正负两个根）。 2. 平方根的性质 正数：有 2 个 平方根，它们互为相反数（如 9 的平方根是 3 和 −3）。 0：只有 1 个 平方根，就是它本身（=0）。 负数：没有平方根（因为任何数的平方都不会是负数）。 3. 算术平方根与平方根的区别 对比项 算术平方根 平方根 符号 ± 个数 正数有 1 个，0 有 1 个 正数有 2 个，0 有 1 个 取值 非负（≥0） 可正、可负、可为 0 关系 平方根包含算术平方根（正的那个） 平方根 = 算术平方根 + 它的相反数 知识点03:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 2. 逆运算关系 开平方与平方互为逆运算： 平方：x2=a（由 x 求 a） 开平方：x=±（由 a 求 x） 3. 重要公式 ()2=a（a≥0，先开方再平方，结果不变） =∣a∣（先平方再开方，结果是 a 的绝对值） 1.必背点：平方根与算术平方根的定义、性质、区别；开平方与平方的逆运算。 2.高频考法： 概念辨析（选择 / 填空）：区分平方根与算术平方根、判断非负性。 计算：求数 / 代数式的平方根、算术平方根；利用平方根解方程。 难点：利用非负性求值、估算算术平方根范围。 知识点04:立方根的定义与性质 1. 定义 如果一个数 x 的立方等于 a（即 x3=a），那么这个数 x 叫做 a 的立方根（也叫三次方根）。 符号：记作 ，读作 “三次根号 a”。重点：根指数 3 绝对不能省略。 2. 性质 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0 的立方根是 0（=0）； 任何实数都有唯一的立方根（与平方根不同，负数也有立方根）； 重要性质：=−（互为相反数的数的立方根也互为相反数） 知识点05:开立方 1.求一个数的立方根的运算叫作开立方。 2.开平方与开立方的区别 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点06.:立方根与平方根的区别 题型01.平方根的概念辨析 1．16的平方根是（   ） A． B．4 C．-4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根概念理解，求一个数的平方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据平方根的定义，一个数的平方根是平方后等于该数的数． 【详解】解：∵ ， ∴ 16的平方根是， 故选：A． 2．的平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的计算，先计算的值，再求该值的平方根，注意平方根有正负两个值． 【详解】解：∵， ∴的平方根为， 故选：C． 3．若、是2025的两个平方根，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的性质、代数式求值，熟练掌握平方根的性质是解题关键．先根据平方根的性质可得，从而可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵、是2025的两个平方根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02.平方根的的计算 4．实数16的平方根是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据若一个数的平方等于，即，则是的平方根． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根．根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 6．“的平方根是”的数学表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：“的平方根是”的数学表达式是， 故选：A． 7．已知实数，若互为相反数，互为倒数，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，，，由，可得，分别计算，时代数式的值即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵， ∴， 当，， 当，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，倒数，平方根，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型03.求代数式的平方根 8．已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为__________________ 【答案】 【分析】根据平方根的性质得到，解方程求出n的值，然后代入n+1，最后根据平方根的概念即可求出这个数． 【详解】解：∵某一个数的平方根分别是和， ∴，解得：， ∴这个数=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握平方根的性质．正数的两个平方根互为相反数． 9．若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 【详解】解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 10．若，求的平方根是___________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 题型04.平方根的逆用. 11．已知实数的平方根是，则_______ 【答案】36 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵实数的平方根是， ∴， 故答案为：36． 12．已知正数的两个不同的平方根是与，则的值是（   ） A． B． C．7 D．49 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根的计算，利用正数的两个不同的平方根互为相反数的性质，先求出a的值，再计算m的值． 【详解】解：正数的两个不同的平方根是与， ∴， 解得， 将代入，得， ∵是该平方根的平方， ∴． 故选：D． 13．已知正数x的两个不同的平方根是和，则______． 【答案】25 【分析】本题考查平方根定义和性质，根据平方根的性质：一个正数有两个不同的平方根，它们互为相反数，可得和互为相反数，再根据互为相反数的两个数和为0，求得m的值，再得出的值，从而得出x的值. 【详解】解：∵正数x的两个不同的平方根是和 ∴和互为相反数 ∴ 解得 则 ∴. 故答案为25. 14．已知和是某正数a的平方根，则a的值是（    ） A．3 B．64 C．3或 D．64或 【答案】D 【分析】与相等或者互为相反数，分别求出的值，再求出的值，最后求出的值． 【详解】解：I．当和相等时， ， 解得：， ， ； II．当和互为相反数时，，解得：， ， ； 综上所述：a的值是64或． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的定义，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解． 题型05.平方根解方程 15．若，则______． 【答案】2或 【分析】根据平方根的定义，一个数的平方等于4，则这个数是4的平方根求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即 ， 故答案为：2或． 16．方程的解是_____． 【答案】， 【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键． 直接运用平方根解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，解得：， 当时，解得：． 综上，，． 故答案为：， 17．如果，那么____． 【答案】或/或 【分析】此题考查了平方根的应用，根据平方根的定义两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可，解题的关键是能根据定义得出两个一元一次方程． 【详解】两边同时除以，, 两边开方得：， ∴或 ， 解得：或， 故答案为：或． 18．若，，则的值是（    ） A．0 B．4 C．0或4 D．2或4 【答案】C 【分析】根据平方根的含义先求解，，再分类讨论即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 当，， ∴， ∴， 当，， ∴， ∴， 当，， ∴， ∴， 当，， ∴， ∴， 综上：的值是0或4． 故选C． 【点睛】本题考查的是平方根的含义，求解代数式的值，等式的基本性质的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 题型06.算术平方根的计算 19．（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先计算被开方数，再根据算术平方根的定义化简， 【详解】解： ． 20．已知，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 21．已知，都是实数，若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，绝对值和算术平方根都是非负数，掌握该性质是问题求解的关键． 根据绝对值和算术平方根的非负性，它们的和为零时，每个部分都必须为零，从而求出和 的值，进而完成求解． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且， ∴，， ∴． 故答案为：． 22．若，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，代数式求值，根据已知条件分别求出a和b的可能值，结合求出a和b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴或． ∵，得， ∴或． ∵ ∴当时， ， ∴． 当时，， ∴． 综上，值为或，即， 故选：B． 题型07.算术平方根的非负性应用 23．若是一个数的算术平方根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义. 根据算术平方根的定义即可列出不等式求出a的范围. 【详解】解：∵非负数有算术平方根，且该数的算术平方根大于或等于0， ∴ ∴ 故选D 24．若，则的值是（   ） A．15 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】算术平方根和平方数都属于非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此求出x，y的值后计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴． 25．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，绝对值，算术平方根，有理数的乘方均为非负数，当几个非负数的和为时，可得每个非负数均为，据此求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，，，且 ，， 解得，， 将，，代入得 26．已知与互为相反数，则的值是（   ） A． B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，非负数的性质和相反数的定义，正确掌握相关性质是解题关键．利用算术平方根和绝对值的性质及相反数和为0，列等式可得a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：与互为相反数， ． ，． ，． 解得，． ． 故选∶ D． 题型08.算术平方根的估算 27．下列整数中，与最接近的数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：， ， 比较接近整数5， 故选：C． 28．估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，解题的关键是先求出． 先估算的取值范围，然后即可判断的近似值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 29．写出一个比大且比小的整数____． 【答案】答案不唯一，如：1 【分析】先对进行估值，在找出范围中的整数即可． 【详解】解：∵1<<2 ∴-2<x<2,(x为整数) 故答案为：-1,0,1（答案不唯一） 【点睛】本题考查算术平方根的估值．理解算术平方根的定义是关键． 30．观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，解题的关键是将被开方数与表格中的数值对应，确定其对应的的范围． 将转化为，结合表格中的数值找到1269对应的范围，进而得到的范围． 【详解】解：， 由表格知，，且， 故， 两边除以10得 故答案为：． 题型09.算术平方根的规律探究 31．观察下表，被开方数a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律． a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 若，则 （   ） A． B． C． D．1414 【答案】B 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键．根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 32．已知，如果，那么的值是（   ） A． B．2360 C．23600 D．236 【答案】B 【分析】算术平方根的小数点向右移动n位，被开方数的小数点向右移动位，据此即可求出x的值． 【详解】解：∵，， ∴是将的小数点向右移动1位得到的， 根据算术平方根的移动规律，被开方数的小数点应向右移动2位， ∴将的小数点向右移动2位，可得． 33．将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及代数式求值，根据所给各数的排列方式，发现前n排数的总个数的变化规律，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1排数的个数为：； 前2排数的总数为：； 前3排数的总数为：； …， 所以前n排数的总数为，且第n排有个数． 当时，，， 所以，数字是第46排，从左往右的89个数． 因为第第46排有个数，且从右到左依次减小， 则，， 所以． 故答案为：． 34．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，则第n个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将单项式拆分为根号下的系数部分和字母a的指数部分，分别找出变化规律，即可得到第n个单项式． 【详解】解：由题意得，第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， … ∴第个单项式的根号下系数为，字母的指数为，即第个单项式是． 题型10.算术平方根的综合应用 35．一个正方形的面积是，则这个正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据算术平方根的定义即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：一个正方形的面积是，则这个正方形的边长是， 故选：． 36．若将如图所示的方格图中的阴影部分（每一个小方格的边长为1）剪开拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的剪拼与算术平方根的应用，熟练掌握剪拼前后图形面积不变，以及利用面积求正方形边长是解题的关键． 先计算阴影部分的面积，再根据剪拼前后面积不变，得出新正方形的面积，进而求出其边长． 【详解】解：∵每个小方格边长为1, ∴阴影部分面积， ∵剪拼后正方形面积与阴影部分面积相等， ∴新正方形面积为5， ∴新正方形边长为， 故选：D． 37．如图为一张方格纸，的顶点位于网格线的交点上．若的面积为，则该方格纸的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，设小正方形的边长为，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为， ∴ 解得：（负值舍去） ∴该方格纸的面积为 故答案为：． 38．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为2﹣6， ∴一个空白长方形面积=， ∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3， ∴大正方形边长=，重叠部分边长=， ∴空白部分的长=， 设空白部分宽为x，可得：，解得：x=， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=， ∴小正方形面积==10， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键． 题型11.立方根的概念辨析 39．立方根等于它本身的数是（   ） A．0 B．1 C． D．0或 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义，需根据立方根的定义找出立方根等于自身的数． 【详解】解：∵， ∴0的立方根是0，即0的立方根等于它本身． ∵， ∴1的立方根是1，即1的立方根等于它本身． ∵， ∴的立方根是，即的立方根等于它本身． 综上，立方根等于它本身的数是0或， 故选：D． 40．下列结论中，正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．的算术平方根是 C．0没有立方根 D．的平方根是 【答案】D 【详解】解：A：∵，∴1的平方根是±1，A错误； B：∵负数没有算术平方根，是负数，∴不存在算术平方根，B错误； C：∵，∴0的立方根是0，C错误； D：先计算，∵，∴4的平方根是，即的平方根是，D正确． 41．下列说法中正确的是（    ） 的立方根是；的立方根是；无立方根；互为相反数的数的立方根也互为相反数． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的概念，掌握立方根的概念是解答本题的关键． 根据立方根的概念逐个判断即可解答． 【详解】解：的立方根是，故正确； 的立方根是故错误； 有立方根，故错误； 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，故正确； 所以正确的说法有：， 故选：C． 题型12.立方根的计算 42．27的立方根是（   ） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 若一个数的立方等于，即，则是的立方根，，且正数的立方根是正数， ∴ 的立方根是． 43．观察下表规律，利用规律解答，若，，则________． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，被开立方的数的小数点每向左移动三位，则开立方的结果的小数点向左移动一位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 44．已知的立方为，，，那么_______． 【答案】9 【分析】根据的立方为，得，根据，得，结合，得，计算即可． 本题考查了立方根，绝对值，求代数式的值，熟练掌握运算法则和定义是解题的关键． 【详解】解：根据的立方为，得， 根据，得， 由，得， 故． 故答案为：9． 题型13.立方根的逆用 45．若，则a的值为_______． 【答案】125 【分析】此题考查了立方根的性质，将已知条件两边同时立方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：125． 46．已知，则的值为___________ 【答案】或2或3 【分析】本题考查立方根的性质，根据题意得到，结合立方根等于本身的数有，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或或； 故答案为：或2或3． 47．若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根．根据平方根和立方根的定义分别求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵实数x的平方根为，y的立方根为， ∴，， ∴， 故选：A． 题型14.立方根的规律探究 48．若，则___________． 【答案】 293.8 【分析】本题考查了立方根的规律题，将25360000分解为25.36与1000000的乘积，再利用立方根的性质和已知条件计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：293.8． 49．观察．推测：若，则_____． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．通过比较已知近似值中小数点的移动规律，推断出 x 和 y 的值与 6.137 相关，进而计算． 【详解】解：由已知和， 可得， 因此， 故， 同理，由和， 可得， 因此， 故， 于是， 所以， 故答案为 0． 50．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 题型15.立方根的实际应用 51．南安拥有国家二类港口石井港，区位优势得天独厚，对台交流往来频繁，为企业的原料进口、产品出口及技术合作都提供了便利．已知该港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（   ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键． 通过计算原正方体和改造后正方体的棱长，求其比值即可得出答案． 【详解】解：设原正方体棱长为，改造后正方体棱长为． ∵正方体体积， 当时，； 当时，； ∴ ． 故改造后正方体的棱长是原来棱长的倍． 故选：D 52．已知，，，则______． 【答案】0.006137 【分析】立方根的小数点每移动一位，被开方数的小数点向相同的方向移动三位，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：0.006137． 【点睛】本题考查立方根，熟练掌握被开方数与立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 53．小华制作了一个棱长为的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的8倍，则小夏制作的正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的定义的应用，正方体的体积等知识点，根据正方体的体积公式计算出这个正方体的体积，再根据立方根的定义解答，熟练掌握立方根的定义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】∵小华制作了一个棱长为的正方体，小夏制作的正方体体积是小华制作的正方体体积的8倍， ∴小夏制作的正方体体积是， ∴小夏制作的正方体的棱长为， 故选：C． 题型16.算术平方根和立方根综合 54．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的运算，算术平方根，立方根，掌握实数的运算，算术平方根，立方根是解题的关键．先求出的立方根与的算术平方根，再求出其和即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵， ∴的算术平方根是， ∴． 故选：A． 55．已知的算术平方根是6，的立方根是5，则的平方根为___________． 【答案】 【分析】根据的算术平方根是6，的立方根是5，可得方程组，①+②再化简得到的值，然后求平方根即可得到答案． 【详解】解：∵的算术平方根是6，的立方根是5 ∴ ∴①+②： ∴=16 ∴的平方根为 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，平方根和立方根是解题关键．易错点：正数有两个平方根，不能只写一个平方根． 56．若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义可得m-n=2，根据立方根的定义可得m-2n+3=3，再解得m、n的值即可求得A与B的值，再求即可． 【详解】解：∵A=是m+n+3的算术平方根， ∴m-n=2， ∵B=是m-2n+3的立方根， ∴m-2n+3=3， ∴     解得 ∴A==3，B= ∴B-A=2-3=-1． 故选B． 【点睛】本题主要考查了算术平方根及立方根，属于基础题，解答本题的关键是熟记算术平方根、立方根概念． 题型17.计算器-平方根和立方根 57．小明在用计算器计算一个无理数的近似值时，不慎将墨水滴在了算式上，只能看到如下内容：，则涂黑的部分应为（    ） A．200 B．350 C．490 D．500 【答案】B 【分析】本题考查立方根，分别求各选项的立方根即可求解． 【详解】解：A、，与7相差较大，故不符合题意； B、，最接近7，故符合题意； C、，与7相差较大，故不符合题意； D、，与7相差较大，故不符合题意； 故选：B． 58．如图，某品牌的计算器上三个按键是并列的按键，是算术平方根按键；是倒数按键；是平方按键．计算器显示屏上现在显示100这个数字，小敏第一下按，第二下按，第三下按，之后以的顺序轮流按，当他共按下后，该计算器荧幕显示的数是_________________．    【答案】 【分析】根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论． 【详解】根据题意，，，， ，，， ……， ∵， ∴当他共按下后，该计算器荧幕显示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，倒数，有理数的乘方，找到规律是解题的关键． 59．有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数的规律，以及用计算器的计算开方，得出让第十位的数字出现，只有想办法减少计算器上数位的个数是解决问题的关键． 因为计算器只能显示9位（包括小数点），要想知道第十位的数字是什么，必须想办法让第十位的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让第十位的数据出现． 【详解】解：A、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； B、，一共才8位，这样第十位的数字就会出现，故此选项符合题意； C、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； D、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； 故选：B． 解答题 60．已知正实数的平方根是和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)4 (2)2 【分析】（1）根据平方根的定义得到，即可求出的值； （2）根据平方根的定义得到，代入得到，根据平方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵正实数的平方根是和， ． ， ， ； （2）解：∵正实数的平方根是和， ． ， ， ， 解得：或． ， ． 61．已知实数a、b、c满足．求方程的根． 【答案】或1 【分析】由非负数的性质可得或、、，然后分两种情况得到一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵． ∴， ∴或，，， 当，，时，方程化为，解得； 当，，时，方程化为，解得． 综上，方程的根为或1． 62．求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)或， 【分析】先化简成的形式，再根据一个正数的平方根有两个且互为相反数求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴ （2）解：， ； （3）解： ∴或， 解得或． 63．已知一个正数的两个平方根分别是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根的概念，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是关键． （1）正数的两个平方根互为相反数，构造方程并求解即可； （2）使用直接开方法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得； （2）解：将代入方程，得， ， 两边开方，得， 解得，． 64．已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为根据互为相反数的两个数的和等于列出方程，再根据非负数的性质解答． 【详解】解：与互为相反数， ， ， 解得： ． 65．动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20m (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了正方形和长方形的周长与面积计算，解题的关键是根据面积公式求出边长（长、宽），再计算周长． （1）先由正方形面积求出边长，再计算正方形周长得到“混天绫”总长度； （2）设长方形宽为，根据长与宽的比表示出长，结合面积求出长和宽，计算长方形周长，与“混天绫”长度比较判断是否足够． 【详解】（1）解：因为， 所以正方形的边长为． 所以正方形的周长为． 答：混天绫的总长度是． （2）设宽为，则长为． 可得：， 解得：（因为长度为正，舍去负根）， 长为：， ， ． 答：混天绫长度足够完成新阵法． 66．阅读以下材料，解决以下问题： ①和为相邻两个整数，则有：； ②和为相邻两个整数，则有：； ③和为相邻两个整数，则有：．… (1)若的值和的值为两个相邻整数，则．则______． (2)猜想并证明结论： 结论：若的值和的值为相邻的两个整数，其中，则有______． 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设______， ∴…… 请补全小明的证明过程． (3)若的值和的值为相差3的两个整数，求m的值． 【答案】(1) (2)，，见解析 (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，解决本题的关键是读懂题意找到规律并建立等式求解． （1）根据运算求解即可． （2）由的值和的值为相邻的两个整数，设，两边同时平方整理化简即可． （3）根据相差3可建立等式，再两边同时平方求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，则， 可得，解得 （2）解：结论： 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设， ∴两边同时平方，得， ∴， ∴． （3）解：依题意，得， ∴两边同时平方，得， ∴， ∴， ∴． 67．已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点关于点的对称点为点，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为． (1)___________； (2)求的值； (3)在数轴上，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式得到点、点的距离为，可知点表示的数为，根据“左减右加”可求的值； （2）先得到，，再根据非负数的性质计算即可； （3）根据相反数的定义得到，根据非负数的性质求出，求出的值，再求其立方根即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为1， ∴点、点的距离为， ∵点关于点的对称点为点， ∴点表示的数为， ∵一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为， ∴； （2）解：， ，， ． （3）解：与互为相反数， ， ， ， 解得 ， 的立方根是． 68．已知是的立方根，是的算术平方根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据立方根、算术平方根的定义得出，即可求出m、n的值，进而可求出、，从而问题得解． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴，， ∴． 69．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【答案】（）（答案不唯一）；（）；（）；． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（）； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02平方根与立方根专项训练 题型01.平方根的概念辨析 题型02.平方根的的计算 题型03.求代数式的平方根 题型04.平方根的逆用 题型05.平方根解方程 题型06.算术平方根的计算 题型07.算术平方根的非负性应用 题型08.算术平方根的估算 题型09.算术平方根的规律探究 题型10.算术平方根的综合应用 题型11.立方根的概念辨析 题型12.立方根的计算 .题型13.立方根的逆用 题型14.立方根的规律探究 题型15.立方根的实际应用 题型16.算术平方根和立方根综合 题型17.计算器-平方根和立方根 解答题10题 知识点01:算术平方根 1. 定义 若一个正数 x 的平方等于 a（即 x2=a，a≥0），则这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。 符号表示：x=，其中 a 叫被开方数， 是根号。 2. 特殊规定 0 的算术平方根是 0，即 =0。 负数没有算术平方根（因为没有数的平方是负数）。 3. 双重非负性（期中高频考点） 被开方数非负：a≥0（根号下的数不能是负数） 算术平方根结果非负：​≥0（算术平方根是正数或 0） 应用：若 +=0，则 a=0 且 b=0（几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0）。 知识点02:平方根 1. 定义 若一个数 x 的平方等于 a（即 x2=a，a≥0），则这个数 x 叫做 a 的平方根（或二次方根）。 符号表示：x=±（“±” 表示正负两个根）。 2. 平方根的性质 正数：有 2 个 平方根，它们互为相反数（如 9 的平方根是 3 和 −3）。 0：只有 1 个 平方根，就是它本身（=0）。 负数：没有平方根（因为任何数的平方都不会是负数）。 3. 算术平方根与平方根的区别 对比项 算术平方根 平方根 符号 ± 个数 正数有 1 个，0 有 1 个 正数有 2 个，0 有 1 个 取值 非负（≥0） 可正、可负、可为 0 关系 平方根包含算术平方根（正的那个） 平方根 = 算术平方根 + 它的相反数 知识点03:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 2. 逆运算关系 开平方与平方互为逆运算： 平方：x2=a（由 x 求 a） 开平方：x=±（由 a 求 x） 3. 重要公式 ()2=a（a≥0，先开方再平方，结果不变） =∣a∣（先平方再开方，结果是 a 的绝对值） 1.必背点：平方根与算术平方根的定义、性质、区别；开平方与平方的逆运算。 2.高频考法： 概念辨析（选择 / 填空）：区分平方根与算术平方根、判断非负性。 计算：求数 / 代数式的平方根、算术平方根；利用平方根解方程。 难点：利用非负性求值、估算算术平方根范围。 知识点04:立方根的定义与性质 1. 定义 如果一个数 x 的立方等于 a（即 x3=a），那么这个数 x 叫做 a 的立方根（也叫三次方根）。 符号：记作 ，读作 “三次根号 a”。重点：根指数 3 绝对不能省略。 2. 性质 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0 的立方根是 0（=0）； 任何实数都有唯一的立方根（与平方根不同，负数也有立方根）； 重要性质：=−（互为相反数的数的立方根也互为相反数） 知识点05:开立方 1.求一个数的立方根的运算叫作开立方。 2.开平方与开立方的区别 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点06.:立方根与平方根的区别 题型01.平方根的概念辨析 1．16的平方根是（   ） A． B．4 C．-4 D． 2．的平方根为（     ） A． B． C． D． 3．若、是2025的两个平方根，则_____． 题型02.平方根的的计算 4．实数16的平方根是（    ） A．4 B．8 C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．“的平方根是”的数学表达式是（   ） A． B． C． D． 7．已知实数，若互为相反数，互为倒数，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型03.求代数式的平方根 8．已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为__________________ 9．若，则__________． 10．若，求的平方根是___________． 题型04.平方根的逆用. 11．已知实数的平方根是，则_______ 12．已知正数的两个不同的平方根是与，则的值是（   ） A． B． C．7 D．49 13．已知正数x的两个不同的平方根是和，则______． 14．已知和是某正数a的平方根，则a的值是（    ） A．3 B．64 C．3或 D．64或 题型05.平方根解方程 15．若，则______． 16．方程的解是_____． 17．如果，那么____． 18．若，，则的值是（    ） A．0 B．4 C．0或4 D．2或4 题型06.算术平方根的计算 19．（    ） A． B． C．3 D． 20．已知，则（      ） A． B． C． D． 21．已知，都是实数，若，则________． 22．若，，则（    ） A． B． C． D．或 题型07.算术平方根的非负性应用 23．若是一个数的算术平方根，则（　　） A． B． C． D． 24．若，则的值是（   ） A．15 B． C．2 D． 25．若，则_____． 26．已知与互为相反数，则的值是（   ） A． B． C．9 D． 题型08.算术平方根的估算 27．下列整数中，与最接近的数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 28．估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 29．写出一个比大且比小的整数____． 30．观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 题型09.算术平方根的规律探究 31．观察下表，被开方数a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律． a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 若，则 （   ） A． B． C． D．1414 32．已知，如果，那么的值是（   ） A． B．2360 C．23600 D．236 33．将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为______． 34．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，则第n个单项式为（    ） A． B． C． D． 题型10.算术平方根的综合应用 35．一个正方形的面积是，则这个正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 36．若将如图所示的方格图中的阴影部分（每一个小方格的边长为1）剪开拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长是（    ） A． B． C．2 D． 37．如图为一张方格纸，的顶点位于网格线的交点上．若的面积为，则该方格纸的面积为______． 38．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 题型11.立方根的概念辨析 39．立方根等于它本身的数是（   ） A．0 B．1 C． D．0或 40．下列结论中，正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．的算术平方根是 C．0没有立方根 D．的平方根是 41．下列说法中正确的是（    ） 的立方根是；的立方根是；无立方根；互为相反数的数的立方根也互为相反数． A． B． C． D． 题型12.立方根的计算 42．27的立方根是（   ） A．3 B．9 C． D． 43．观察下表规律，利用规律解答，若，，则________． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 44．已知的立方为，，，那么_______． 题型13.立方根的逆用 45．若，则a的值为_______． 46．已知，则的值为___________ 47．若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 题型14.立方根的规律探究 48．若，则___________． 49．观察．推测：若，则_____． 50．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型15.立方根的实际应用 51．南安拥有国家二类港口石井港，区位优势得天独厚，对台交流往来频繁，为企业的原料进口、产品出口及技术合作都提供了便利．已知该港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（   ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 52．已知，，，则______． 53．小华制作了一个棱长为的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的8倍，则小夏制作的正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 题型16.算术平方根和立方根综合 54．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 55．已知的算术平方根是6，的立方根是5，则的平方根为___________． 56．若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 题型17.计算器-平方根和立方根 57．小明在用计算器计算一个无理数的近似值时，不慎将墨水滴在了算式上，只能看到如下内容：，则涂黑的部分应为（    ） A．200 B．350 C．490 D．500 58．如图，某品牌的计算器上三个按键是并列的按键，是算术平方根按键；是倒数按键；是平方按键．计算器显示屏上现在显示100这个数字，小敏第一下按，第二下按，第三下按，之后以的顺序轮流按，当他共按下后，该计算器荧幕显示的数是_________________．    59．有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 解答题 60．已知正实数的平方根是和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 61．已知实数a、b、c满足．求方程的根． 62．求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)． 63．已知一个正数的两个平方根分别是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 64．已知与互为相反数，求的值． 65．动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 66．阅读以下材料，解决以下问题： ①和为相邻两个整数，则有：； ②和为相邻两个整数，则有：； ③和为相邻两个整数，则有：．… (1)若的值和的值为两个相邻整数，则．则______． (2)猜想并证明结论： 结论：若的值和的值为相邻的两个整数，其中，则有______． 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设______， ∴…… 请补全小明的证明过程． (3)若的值和的值为相差3的两个整数，求m的值． 67．已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点关于点的对称点为点，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为． (1)___________； (2)求的值； (3)在数轴上，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的立方根． 68．已知是的立方根，是的算术平方根，求的值． 69．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $