专题10 期中真题百练通关（100题14大新考法、新情境题型）（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

专题10 期中真题百练通关（100题14大新考法、新情境题型） 题型1 二次根式、数轴与化简结合（新考法） 题型8 勾股逆定理 + 四边形面积（组合题） 题型2 二次根式整体代入、配方法（新考法） 题型9 折叠问题（勾股 + 方程） 题型3 二次根式规律探究型（“现学现考”） 题型10 动态几何（动点 / 动线） 题型4 二次根式新定义运算（阅读题） 题型11 折叠 / 旋转综合（矩形 / 菱形折叠） 题型5 勾股定理生活实景应用题（高频） 题型12 新定义四边形（“现学现考” 压轴） 题型6 立体图形最短路径（长方体 / 圆柱） 题型13 中点、中位线、对角线综合 题型7 弦图、赵爽图、面积证明（文化情境） 题型14 坐标系 + 平行四边形（存在性） 题型1 二次根式、数轴与化简结合（新考法）（共3小题） 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 2．（24-25八年级下·广东惠州·期中）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图 (1)判断正负，用“”“”填空：________0，________0，________0． (2)化简：． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】 （2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知为的三边长．化简：． 题型2 二次根式整体代入、配方法（新考法）（共8小题） 4．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 5．（23-24八年级上·贵州毕节·期中）阅读下列材料： 已知，求代数式的值．下面是小敏的解题方法： 解：由，得，所以，所以，即．把作为整体代入，得． 这种方法是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下列问题： (1)若，求代数式的值； (2)若，求代数式的值． 6．（22-23八年级下·河南驻马店·期中）阅读理解：已知，求代数式的值．王红的做法是：根据得，∴，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 7．（23-24八年级下·广西河池·期中）问题解决：已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得， ∴，得：． 把作为整体代入：得． 方法归纳：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 迁移应用：已知，求代数式的值． 8．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，，则，即，∴，两边同时乘以x得，，把作为整体，代入原式得，原式． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 9．（23-24八年级下·广东江门·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 10．（25-26八年级上·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 11．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如： ，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简； 例如：化简； 且， ， ， 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： 【方法运用】 （1）填空：①__________；②__________； 【方法应用】 （2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【迁移运用】 （3）已知为常数（），满足，求的值． 题型3 二次根式规律探究型（“现学现考”）（共9小题） 12．（24-25八年级下·福建厦门·期中）观察下面算式： 第一个算式： 第二个算式： 第三个算式： 第n个算式：……………… (1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________ (2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律； (3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律． 13．（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 14．（24-25八年级下·广西南宁·期中）小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方法，发现二次根式有以下的运算规律． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)具体运算，发现规律 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：______（请写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想 如果为正整数，用含的等式表示上述的运算规律为______． (3)应用运算规律化简： 15．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列式子： 第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， …… 根据上述规律，回答下列问题： (1)计算：_____； (2)如果为正整数，按此规律第个式子可表示为：_____； (3)利用这一规律计算：． 16．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”新湘教版八年级《数学》上册84页第10题描述了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】（1）______； 【推理证明】（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 17．（24-25八年级下·广东江门·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题． ， ， ， ．．．．．． (1)观察以上规律，请写出第个等式： （n为正整数）． (2)利用上面的规律，计算：． (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 18．（24-25八年级下·广东东莞·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： (1)观察以上规律，请写出第5个等式：_______________； (2)观察以上规律，请写出第n个等式：________________（n为正整数）； (3)利用上面的规律，计算； (4)请利用上面的规律，比较与的大小． 19．（25-26八年级上·河北保定·期中）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， …… 按上述规律，回答以下问题： (1)按上述规律填空： ； ． (2)求的值． (3)利用以上规律计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 题型4 二次根式新定义运算（阅读题）（共6小题） 20．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算，则的运算结果为（　　） A． B． C． D．1 21．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）新定义：对于任意实数，，都有，则________． 22．（22-23八年级上·四川眉山·期中）对于正实数a，b作新定义：，在此定义下，若，则x的值为_____． 23．（24-25八年级下·江西赣州·期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做非凡三角形．例如：某三角形三边长分别是，和3，因为，所以这个三角形是非凡三角形． (1)判断：等腰直角三角形___________非凡三角形（填“是”或“不是”）； (2)若是非凡三角形，且，求的值． 24．（22-23八年级下·黑龙江佳木斯·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定 （填“是”或“不是”）可爱三角形； ②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形 （填“是”或“不是”）可爱三角形； (2)若是可爱三角形，，，求的长． 25．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由． (2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长． 题型5 勾股定理生活实景应用题（高频）（共11小题） 26．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级下·云南文山·期中）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞（   ）    A． B． C． D． 28．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（25-26八年级上·福建宁德·期中）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A．7尺 B．尺 C．8尺 D．尺 30．（24-25八年级下·广西南宁·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）_______． 31．（24-25八年级下·广东广州·期中）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为120元，则购买地毯需花费_______元． 32．（24-25八年级下·河南信阳·期中）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 33．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，某地方政府决定在相距的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知于A，于B，，，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 34．（25-26八年级上·江苏·期中）一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． (1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ (2)当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？ 35．（25-26八年级上·江西吉安·期中）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置． (1)求的长： (2)求船向岸边移动了多少米？ 36．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 题型6 立体图形最短路径（长方体 / 圆柱）（共7小题） 37．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 39．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为________米． 40．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______． 41．（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 42．（25-26八年级上·吉林长春·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________； (2)应用二：解决实际问题． 小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线． 43．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 题型7 弦图、赵爽图、面积证明（文化情境）（共13小题） 44．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 45．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．连接，，若，，则大正方形的边长为（    ）    A．2 B． C． D． 46．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，是由4个全等的直角三角形构成的“勾股弦图”，若正方形的面积为52，的长为4，则正方形的面积为（   ） A． B．6 C．5 D．4 47．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形均为正方形．若，，则（    ） A． B． C． D． 48．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）青朱出入图（如图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为______． 49．（24-25八年级下·河南许昌·期中）我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼接，证明勾股定理．他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸片，如图（1）所示，拼成如图（2）所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理．下面是小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写证明过程． 证明：如图，连接，由题意，得，， …… 50．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图是“赵爽弦图”，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．其中和是四个全等的直角三角形，四边形和四边形都是正方形． (1)如果，那么长为________； (2)设，取． ①正方形的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；                ②求的值． 51．（22-23八年级上·山西运城·期中）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，  则边上的高为_______； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 52．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．    (1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 53．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 54．（25-26八年级上·吉林长春·期中）著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理． 【方法运用】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，则新路比原路短_______千米． 【应用拓展】 （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边长，可求高的一种方法，他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，求的长；可以列方程求解，设，则可求出_______． 55．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 56．（24-25八年级上·福建三明·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； (2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． (3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 题型8 勾股逆定理 + 四边形面积（组合题）（共3小题） 57．（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求、之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积． 58．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图是王大爷承包的一块待开垦的四边形田地，为田间的一条小路，且，已知，，，． (1)求四边形田地的面积； (2)为了方便灌溉，王大爷打算从靠近河岸的边上引一条水渠，使得点到点、、三处距离相等，请你帮他用无刻度的直尺和圆规作出这条水渠，并计算这条水渠的长度为______． 59．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，想要在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 题型9 折叠问题（勾股 + 方程）（共5小题） 60．（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 61．（24-25八年级下·河北唐山·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动， [操作]如图，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．    [猜想]． [验证]请将下列证明过程补充完整： 证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （___①____）， ___________②___________=___________③___________（等式的基本事实）， （___________④___________） [应用] 如图，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （）猜想与的数量关系，并说明理由； （）若，求的长． 62．（23-24八年级下·北京东城·期中）阅读材料，回答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以下问题； (2)我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； (3)如图2，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 63．（24-25八年级下·福建三明·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 64．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点的坐标为，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)求和的长； (3)求四边形的面积． 题型10 动态几何（动点）（共4小题） 65．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 66．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、．    (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 67．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动时间为回答下列问题： (1) ， (2)当 时，四边形为平行四边形； (3)如图，若四边形变为平行四边形，，动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度在边上做往返运动，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为．当为何值时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？ 68．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形中，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接、和，设运动时间为． (1)当时，如图①所示，则______； (2)若，则______； (3)连接，与和分别交于点，，如图②所示： ①若，求的长和此时的值； ②求证：点是的中点． 题型11 折叠 / 旋转综合（矩形 / 菱形折叠）（共5小题） 69．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的菱形的顶点B在y轴上，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 70．（23-24八年级下·河北保定·期中）菱形是矩形纸片按如图所示的方式折叠而成，若菱形的面积为，则长为__________． 71．（24-25八年级下·广东东莞·期中）我们数学课上有个有趣的课堂活动：折纸，引起许多同学的兴趣． 实践发现：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开；以为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕上的点N处，把纸片展开；连接．   (1)求； (2)如图②，折叠矩形纸片，使点A落在边上点处，并且折痕交边于点T，交边于点S，把纸片展开，连接交于点O，连接．求证：四边形是菱形； (3)如图③，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，并且折痕交边于点T，交直线边于点S，把纸片展平，同学们小组讨论后，得出线段长度有4，5，7，9．请直接写出以上4个数值中你认为正确的数值． 72．（23-24八年级下·江苏南京·期中）学习了《中心对称图形》后，阿中与茜茜对平行四边形进行了再次探究：    (1)阿中发现：命题“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是个假命题，如何举反例说明呢？茜茜稍作思考说：“取一张如图1所示的等腰三角形纸片，其中，在边上取一点D（不是中点），连接，沿剪开纸片，重新拼接……”， 请你完成茜茜的举反例过程，画出相应的图形，并配以必要的说明； (2)阿中进一步探究发现：“一组对边相等且一组对角是直角的四边形是矩形”，请你完成证明过程； 已知：如图2，四边形中，，，求证：四边形是矩形． (3)茜茜发现折叠矩形可以得到菱形：如图3，将矩形折叠，使得A、C两点重合，点B落在点，折痕分别交边于E、F两点，交于O两点，则四边形是菱形．请在框图中补全茜茜的证明思路． 茜茜的证明思路 由折叠易知是的垂直平分线，可以先证① ，得到② ，又由，可得四边形是平行四边形，再由③ ，于是是菱形． (4)茜茜给阿中出了一道思考题：“如图4，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，将矩形沿着直线折叠，使点A与矩形内部的点P重合，问的最小值是多少？”请聪明的你用矩形纸片操作探究一下，直接写出的最小值． 73．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动．如图1，他们将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，使边，分别落在边，上．容易发现且． 【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转（）． （1）如图2，连接，，试探究与的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由． （2）小组研究发现：如图3，连接，在旋转过程中，存在与全等的情形，请直接写出此时旋转角α的度数 ． 【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转a（）． （3）在旋转过程中，当A，G，E三点在同一条直线上时，求线段的长； （4）如图4，连接，取中点H，连接，请直接写出线段长度的最大值． 题型12 新定义四边形（“现学现考” 压轴）（共11小题） 74．（25-26八年级上·山西运城·期中）数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形，围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究． (1)如图，四边形中，，，，，．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由； (2)创新小组受博学小组的启发，认为存在周长为36的整数四边形，请你画出周长为36，且只含有一个直角的两个不同的整数四边形，在所画图形中标注出各边的长度及直角，并直接写出四边形的面积． 75．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）定义：在四边形中，如果，那么我们把这样的四边形称为“对余四边形”． 【定义理解】如图，已知是对余四边形的对角线，，，则的度数为 ． 【问题探索】问题：如图，已知、是对余四边形的对角线，，． 求证：． 探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 因为，，所以是等边三角形，将绕点顺时针方向旋转，连接，． …… 请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程． 【灵活运用】如图，已知、是对余四边形的对角线，，，若，，求的长． 76．（24-25八年级下·山东聊城·期中）小明同学在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为他积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是他尝试着给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索。 特殊四边形（筝形）的探究学习单 观察猜想 定义： 四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 任务一： 小明在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形有一组对角应该是相等的．进一步观察后，发现这类“筝形”应该还具有其它性质；请再猜想一条筝形的性质：______；（除定义外） 推理验证 任务二： 根据数学探究的步骤，我们需要对小明的猜想进行推理验证：如图，筝形中，，，求证：． 性质应用 任务三： 如图，筝形中，，，，求筝形的面积． 任务四： 如图，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数为______． 77．（24-25八年级下·山西大同·期中）阅读与思考 下面是勤学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“垂中四边形”的研究报告研究对象：垂中四边形． 研究思路：类比特殊平行四边形的性质进行研究． 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂中四边形． 例如，如图1，在四边形中，，则四边形叫做垂中四边形． 性质探究： 性质1：． 证明：如图5，记与交于点O， 则，． ∵，， ∴． 性质2： ． 证明：如图2，在中，． 任务： (1)根据垂中四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是垂中四边形的是______（从下列选项中选出两个）． A．平行四边形        B．矩形            C．菱形            D．正方形 (2)请你补全性质2的证明过程． (3)如图，已知，请你在图中作一个垂中四边形，且对角线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 78．（23-24八年级下·陕西西安·期中）我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，求的长． (3)如图3，在某运动公园的同一水平面上，四条通道围成四边形．已知米，，，，道路上分别有景点E、F，且，，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求出这条道路的长． 79．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 如图点是四边形内一点，已知，，，对角线与交于点，与交于点，与交于点．    (1)判断四边形_______垂美四边形（请在横线上填写是或者不是）； (2)求证：； (3)若，，，则的长为________． 80．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）我们给出如下定义：对于凸四边形，对角线互相垂直的四边形称为“对垂四边形”．如图1，在四边形中，，四边形就是“对垂四边形”．    (1)下列四边形中，一定是“对垂四边形”的是______（填序号）①平行四边形②矩形③菱形④正方形 (2)如图2，在四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，四边形是矩形，求证：四边形是“对垂四边形”． 81．（25-26八年级上·江西上饶·期中）我们定义：如图1，2，在四边形中，如果，对角线平分，我们称为这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】 （1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________；（填序号） ①中线的性质；②角平分线的性质；③垂直平分线的性质；④高线的性质 【猜想论证】 （2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】 （3）如图3，在等腰中，，平分，点在上，，求的长度． 82．（24-25八年级下·河南漯河·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是__________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图，已知四边形是“中方四边形”、分别是的中点． ①若线段的长度为，求的长； ②若线段的长度为，请直接写出的最小值． 83．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）定义：如图1，在四边形中，若，，则称这样的四边形为筝形． (1)如图2，在中，点，分别在边，上，且，，求证：四边形为筝形； (2)在图1中，筝形的对角线，相交于点，若，，，求筝形的面积； (3)如图3，在筝形中，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，请直接写出的长． 84．（24-25八年级下·江西赣州·期中）定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)概念理解 ①你所知道的特殊四边形中，是“勾股四边形”的有_______（一个即可）； ②如图1，，请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有“勾股四边形”； (2)知识运用 如图2，是正三角形，，且，．求证：，即四边形是“勾股四边形”． (3)拓展应用 如图3，菱形是“勾股四边形”，对角线交于点，求四边形OEBF的面积． 题型13 中点、中位线、对角线综合（共3小题） 85．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 86．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，对角线，相交于点，点是的中点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 87．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，，、分别为、的中点，则的长度为___________． 题型14 坐标系 + 平行四边形（存在性）（共4小题） 88．（24-25八年级下·天津滨海新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是动点且纵坐标为 4 ，点是线段上的一个动点，过点作直线平行于轴，设分别交射线与轴所成的两个角的平分线于点、． (1)求证：； (2)当 为何值时，四边形是矩形？证明你的结论； (3)是否存在点A、B，使四边形为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由． 89．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）在平面直角坐标系中，已知矩形，其中． (1)如图1，在边上将沿翻折，点恰好落在边上的点处．则点的坐标为_______，_______； (2)如图2，将（1）中的沿轴向上平移得到，点在第二或第四象限，以，O，，为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 90．（24-25八年级下·四川广元·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持，连接、． (1)的值会变化吗？若不变，求出的值；若变化，请说明理由； (2)求周长的最小值； (3)在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 91．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当 时，四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 92．国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代．如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点处同时出发前往处．江江打算沿的路线前往，机器人打算沿的路线前往，已知点在点的南偏西方向上，且米，，米，米． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达处？（结果精确到0.1，参考数据：，，） 93．是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． (1)化简：______，______； (2)已知实数在数轴上的对应点如图所示． ①化简：______，______； ②化简：． 94．观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式：______； (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式，并证明； (3)利用（2）中的规律计算：． 95．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)分母有理化：___________； (2)化简“理想二次根式”：___________； (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值； (4)计算：． 96．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点落在轴上，点的坐标为，点分别是线段和上的两个动点，满足，记，连接． (1)点坐标：______；点坐标：______． (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值． (3)连接交于点，连接，记四边形的面积为，的面积为．当时，求的值． 97．爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： (1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点作于点于点，过点作于点， 是的角平分线，且， _________． ， ． (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：； (3)【直接应用】如图3所示，在中，平分交于点，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出． (4)【拓展应用】如图4所示，在中，，设，记的面积为，将先沿的平分线折叠，点刚好落在边上的点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分，记剩余部分的面积为，请猜测的值，并说明理由． 98．【模型建立】（1）如图，在正方形中，分别是边上的点，连接，，连接，探究线段之间的数量关系．小明发现可以将沿折叠，沿折叠，和恰好重合在上，进而利用折叠的性质来证明此问题．请你根据小明的解题方法探究之间的数量关系； 【类比探究】（2）如图，在等腰直角中，，点在边上，连接，，探究线段之间的数量关系； 【拓展迁移】（3）如图，在中，于点，若，，，求的面积． 99．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是________； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是________； (3)【感悟探索】 ①的最大值是________； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是________．（用含a，b的式子表示） ③已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并求出的最小值． 100．综合与实践 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】现有一张直角三角形纸片，，，，小明用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠，折痕为，顶点的对应点是点． (1)①如图，当点与点重合时，则的长为________； ②如图，当点与点重合时，求的面积； (2)当点落在的三等分点时，求的长； 【类比操作】 (3)如图，折叠长方形的一角，使点落在边的点处，折痕交于点，若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 期中真题百练通关（100题14大新考法、新情境题型） 题型1 二次根式、数轴与化简结合（新考法） 题型8 勾股逆定理 + 四边形面积（组合题） 题型2 二次根式整体代入、配方法（新考法） 题型9 折叠问题（勾股 + 方程） 题型3 二次根式规律探究型（“现学现考”） 题型10 动态几何（动点 / 动线） 题型4 二次根式新定义运算（阅读题） 题型11 折叠 / 旋转综合（矩形 / 菱形折叠） 题型5 勾股定理生活实景应用题（高频） 题型12 新定义四边形（“现学现考” 压轴） 题型6 立体图形最短路径（长方体 / 圆柱） 题型13 中点、中位线、对角线综合 题型7 弦图、赵爽图、面积证明（文化情境） 题型14 坐标系 + 平行四边形（存在性） 题型1 二次根式、数轴与化简结合（新考法）（共3小题） 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【详解】解：由实数，在数轴上的位置，得： ，，， 原式 ． 2．（24-25八年级下·广东惠州·期中）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图 (1)判断正负，用“”“”填空：________0，________0，________0． (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【详解】（1）解：由数轴得：，且， ，，； （2）解：∵，，， ∴ ． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】 （2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知为的三边长．化简：． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【详解】解：（1）， 隐含条件，解得：， ， 原式； （2）由数轴可知，，， ， ； （3）解：由三角形的三边关系可知，，， ，， ． 题型2 二次根式整体代入、配方法（新考法）（共8小题） 4．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 得， ， ， 即， ， ， ， ． （2）由， 得， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． 5．（23-24八年级上·贵州毕节·期中）阅读下列材料： 已知，求代数式的值．下面是小敏的解题方法： 解：由，得，所以，所以，即．把作为整体代入，得． 这种方法是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下列问题： (1)若，求代数式的值； (2)若，求代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 6．（22-23八年级下·河南驻马店·期中）阅读理解：已知，求代数式的值．王红的做法是：根据得，∴，得：．把作为整体代入：得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 变形整理可得：， ∴． 7．（23-24八年级下·广西河池·期中）问题解决：已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得， ∴，得：． 把作为整体代入：得． 方法归纳：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 迁移应用：已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 8．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，，则，即，∴，两边同时乘以x得，，把作为整体，代入原式得，原式． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)2025 (2)2026 【详解】（1）解：由得，， 则，即， ∴， 把代入原式得， 原式； （2）解：由得，，即， 则，即， ∴，即 两边同时乘以得， 把作为整体，代入原式得， 原式． 9．（23-24八年级下·广东江门·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 【答案】 （1），； （2）； （3）. 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解： ． 10．（25-26八年级上·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16或32 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解： ； （3）解： 由题意得， ， ∴， ∵，且，，均为正整数， ∴，的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则． 11．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如： ，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简； 例如：化简； 且， ， ， 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： 【方法运用】 （1）填空：①__________；②__________； 【方法应用】 （2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【迁移运用】 （3）已知为常数（），满足，求的值． 【答案】（1）①；②；（2）新正方形花圃的边长为米；（3） 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：；； （2）由题可知，新正方形花圃面积为（平方米）， ， 则新正方形花圃的边长为米； （3）∵， ∴， ∴， ∴． ， ∴的值为． 题型3 二次根式规律探究型（“现学现考”）（共9小题） 12．（24-25八年级下·福建厦门·期中）观察下面算式： 第一个算式： 第二个算式： 第三个算式： 第n个算式：……………… (1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________ (2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律； (3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，证明见解析． 【详解】（1）解：由题意可得第五个算式：； 故答案为：； （2）解：通过观察可以得出规律：等号左边的被开方数都是这个算式的序号大的数减去的差再乘以加上比这个算式的序号大的数的倒数，等号右边是这个算式的序号大的数分之这个算式的序号大的数乘以比这个算式的序号大的数的算术平方根； （3）解：第个等式：， 证明：是正整数， ． 13．（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 【答案】（1） （2） （3）44 【详解】解：（1）由题意可得：第5个等式： （2）由（1）归纳可得：； （3） ． 14．（24-25八年级下·广西南宁·期中）小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方法，发现二次根式有以下的运算规律． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)具体运算，发现规律 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：______（请写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想 如果为正整数，用含的等式表示上述的运算规律为______． (3)应用运算规律化简： 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：特例1： 特例2： 特例3： 用含n的式子表示为：， 故答案为：； （3）解：． 15．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列式子： 第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， …… 根据上述规律，回答下列问题： (1)计算：_____； (2)如果为正整数，按此规律第个式子可表示为：_____； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)18 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为： （3）解： ． 16．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”新湘教版八年级《数学》上册84页第10题描述了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】（1）______； 【推理证明】（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1）；（2）（，且n为正整数），见解析；（3）14或34或71 【详解】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， ； （3）∵ ∴根据（2）规律可得： ∴ ∴ ∵a，b为正整数 ∴或或 ∴或或． 17．（24-25八年级下·广东江门·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题． ， ， ， ．．．．．． (1)观察以上规律，请写出第个等式： （n为正整数）． (2)利用上面的规律，计算：． (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2)18 (3) 【详解】（1）解：根据前几个等式可得第n个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：由于，， ， ， ． 18．（24-25八年级下·广东东莞·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： (1)观察以上规律，请写出第5个等式：_______________； (2)观察以上规律，请写出第n个等式：________________（n为正整数）； (3)利用上面的规律，计算； (4)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：依题意，观察以上规律，第5个等式：， 故答案为：． （2）解：依题意，观察以上规律第1个等式到第5个等式， 则第n个等式：， 故答案为：． （3）解：依题意，， ， ， …… 以此类推得， ； （4）解：与（3）同理得，， ， ， ． 19．（25-26八年级上·河北保定·期中）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， …… 按上述规律，回答以下问题： (1)按上述规律填空： ； ． (2)求的值． (3)利用以上规律计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)3 (3)44 (4) 【详解】（1）解：， ； 故答案为，； （2）解： ； （3）解：由题意得： ； （4）解：∵， ， ∴，即， ∴． 题型4 二次根式新定义运算（阅读题）（共6小题） 20．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算，则的运算结果为（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】解：， 故选：B． 21．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）新定义：对于任意实数，，都有，则________． 【答案】 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 22．（22-23八年级上·四川眉山·期中）对于正实数a，b作新定义：，在此定义下，若，则x的值为_____． 【答案】16 【详解】解：∵， 原方程变形为：， 整理得，， ． 故答案为：． 23．（24-25八年级下·江西赣州·期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做非凡三角形．例如：某三角形三边长分别是，和3，因为，所以这个三角形是非凡三角形． (1)判断：等腰直角三角形___________非凡三角形（填“是”或“不是”）； (2)若是非凡三角形，且，求的值． 【答案】(1)是 (2) 【详解】（1）解：令等腰直角三角形的三个边分别为，，， ， 等腰直角三角形是非凡三角形， 故答案为：是； （2）解：∵是非凡三角形，且， 当时， 则， ∴； 当时， 则， ∴； 当时， 则， ∴（不符合题意，舍去）， ，， ， ∴符合题意；不符合题意，舍去， 故． 24．（22-23八年级下·黑龙江佳木斯·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定 （填“是”或“不是”）可爱三角形； ②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形 （填“是”或“不是”）可爱三角形； (2)若是可爱三角形，，，求的长． 【答案】(1)①是；②是 (2)的长为或 【详解】（1）解：①设等边三角形的边长为， ∵， ∴等边三角形一定是“可爱三角形”， 故答案为：是； ②∵， ∴该三角形是“可爱三角形”， 故答案为：是； （2）∵是直角三角形，， ∴，即． ∵是可爱三角形，， ∴有三种情况： ①，即． ∴． ∴（负值已舍去）； ②，即． ∴． ∴（负值已舍去）； ③，此种情况不成立． 综上，的长为或． 25．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由． (2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长． 【答案】(1)此三角形是奇异三角形，理由见解析； (2)或或 【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴此三角形是奇异三角形； （2）解：设第三边为x， 当边长为4的边是最长边时， ∵是奇异三角形， ∴或， 解得或（舍去）；或（舍去）； 当边长为x的边是最长边时， ∵是奇异三角形， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，第三边的长为或或． 题型5 勾股定理生活实景应用题（高频）（共11小题） 26．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设旗杆的高为，则绳子的长为， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴旗杆的高． 故选C． 27．（24-25八年级下·云南文山·期中）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞， 故选：．    28．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设为x尺，则尺，依题意得： ， 故选：B． 29．（25-26八年级上·福建宁德·期中）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A．7尺 B．尺 C．8尺 D．尺 【答案】B 【详解】解：设水池的深度为尺， 则， 解得：， 故选：B． 30．（24-25八年级下·广西南宁·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）_______． 【答案】米 【详解】解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 31．（24-25八年级下·广东广州·期中）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为120元，则购买地毯需花费_______元． 【答案】8160 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费元， 故答案为：8160． 32．（24-25八年级下·河南信阳·期中）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 【答案】大巴车超速了 【详解】解：由题意可知，，， ， 大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 33．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，某地方政府决定在相距的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知于A，于B，，，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 【答案】基地E应建在离A站的地方 【详解】解：由题意，得：，，， 设，则：， 在中，， 在中，， ∵，，， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴基地E应建在离A站的地方． 34．（25-26八年级上·江苏·期中）一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． (1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ (2)当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？ 【答案】(1)这架云梯的顶端到地面的距离是 (2)云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是 【详解】（1）解：由题意，得，，， 由勾股定理，得； 答：这架云梯的顶端到地面的距离是； （2）解：由题意，得，， 由勾股定理，得， ∴， 故云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是． 35．（25-26八年级上·江西吉安·期中）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置． (1)求的长： (2)求船向岸边移动了多少米？ 【答案】(1)10米 (2)船向岸边移动了米 【详解】（1）解：此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置， （米）， （2）解：在中，，米，米，由勾股定理得， （米）， 在中，米，米，由勾股定理得， （米）， 米. 答：船向岸边移动了米． 36．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)台风中心经过从B点移到D点 (2)A市受到台风影响的时间持续 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：在射线上取点E，F，使得， 由得， 在中，， ， ， A市受到台风影响的时间持续． 题型6 立体图形最短路径（长方体 / 圆柱）（共7小题） 37．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：展开图如下， ， ∴． 故选B． 38．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：底面周长为，则半圆弧长为， 画展开图形如下： 根据勾股定理得． ∴它爬行的最短路程为， 故选：D． 39．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为________米． 【答案】20 【详解】解：如图是其侧面展开图： 米，米，米， 在中，， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为20米； 故答案为：20． 40．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______． 【答案】 【详解】解：如图，将长方体展开，连接， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，， ∴，， 根据两点之间线段最短，， 故答案为：． 41．（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 42．（25-26八年级上·吉林长春·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________； (2)应用二：解决实际问题． 小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）解：将圆柱侧面展开，如图所示，连接． ∵圆柱的底面半径为， ∴， ∵点为中点， ∴． 在中，． 故答案为： （2）解：如图， 由题意得， 在中，米， 当风筝沿方向再上升4米时，米， 在中，米， 米． 故答案为：2 43．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 题型7 弦图、赵爽图、面积证明（文化情境）（共13小题） 44．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【详解】解：因为大正方形的面积是41，小正方形的面积是1， 所以一个小三角形的面积是，， 所以，即， 所以． 所以． 45．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．连接，，若，，则大正方形的边长为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 46．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，是由4个全等的直角三角形构成的“勾股弦图”，若正方形的面积为52，的长为4，则正方形的面积为（   ） A． B．6 C．5 D．4 【答案】D 【详解】解：假设直角三角形的另一个直角边长为，根据勾股定理得， ， ∴， ∴（负值舍去）， ∴正方形的面积为， 故选：D． 47．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形均为正方形．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴； 故选C 48．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）青朱出入图（如图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为______． 【答案】 【详解】解：如图， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 朱入与朱出的三角形全等， 即， ， 两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， 即，， ，， 阴影部分面积为 ， ，， ， 即阴影部分的面积为， 故答案为： 49．（24-25八年级下·河南许昌·期中）我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼接，证明勾股定理．他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸片，如图（1）所示，拼成如图（2）所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理．下面是小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写证明过程． 证明：如图，连接，由题意，得，， …… 【详解】证明：如图，连接，由题意，得，， ， ， 化简得． 50．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图是“赵爽弦图”，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．其中和是四个全等的直角三角形，四边形和四边形都是正方形． (1)如果，那么长为________； (2)设，取． ①正方形的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；                ②求的值． 【答案】(1)20 (2)①4，96；②196 【详解】（1）解：由全等三角形的性质可得，， 在中，由勾股定理可得， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴正方形的面积为； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个直角三角形的面积和为； ②． 51．（22-23八年级上·山西运城·期中）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，  则边上的高为_______； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【详解】（1）证明：∵，，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设边上的高为x， ∵， ∴． （3）解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴，解得：． 52．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．    (1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)原路长6.5千米 【详解】（1）解：∵， ∴梯形的面积为或， ∴， ∴， 即； （2）解：设千米，则千米， 在中，，即， 解得，即， 答：原路长千米． 53．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【详解】（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； 54．（25-26八年级上·吉林长春·期中）著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理． 【方法运用】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，则新路比原路短_______千米． 【应用拓展】 （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边长，可求高的一种方法，他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，求的长；可以列方程求解，设，则可求出_______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【详解】解：（1）梯形面积：，三个三角形面积和：， ∵梯形面积三个三角形面积和， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴千米， 故答案为：； （3）设，则， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴． 55．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）13；（3） 【详解】解:（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积还可以表示为 ∴ ∴ ∴； （2）空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）∵设的长为，则 ∵是边上的高 ∴ ∴ ∴ 解得． 56．（24-25八年级上·福建三明·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； (2)将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． (3)图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 【答案】(1)；；； (2)； (3) 【详解】（1）解：方法1：， 方法2：， ， 故答案为：；；； （2）解：， 当时，； （3）解：∵，外围轮廓（实线）的周长为24， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 题型8 勾股逆定理 + 四边形面积（组合题）（共3小题） 57．（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求、之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积． 【答案】(1)米 (2)种植草皮的面积为96平方米 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵， ∴， ∴米； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴种植草皮的面积为：（平方米）， ∴种植草皮的面积为96平方米． 58．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图是王大爷承包的一块待开垦的四边形田地，为田间的一条小路，且，已知，，，． (1)求四边形田地的面积； (2)为了方便灌溉，王大爷打算从靠近河岸的边上引一条水渠，使得点到点、、三处距离相等，请你帮他用无刻度的直尺和圆规作出这条水渠，并计算这条水渠的长度为______． 【答案】(1) (2)详见解析， 【详解】（1）解：， ， 在中，， ∴， ，， ， 是直角三角形，且， 四边形田地的面积为： ． （2）如图，线段即为所求，， 故答案为：． 59．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，想要在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2)1800元 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，， 且， ∴， 故是直角三角形． （2）解：根据题意，得四边形面积为： =． 根据题意，得（元）． 题型9 折叠问题（勾股 + 方程）（共5小题） 60．（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【答案】 【详解】解：∵长方形， ∴，， 由折叠的性质可知，， ， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴． 61．（24-25八年级下·河北唐山·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动， [操作]如图，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．    [猜想]． [验证]请将下列证明过程补充完整： 证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （___①____）， ___________②___________=___________③___________（等式的基本事实）， （___________④___________） [应用] 如图，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （）猜想与的数量关系，并说明理由； （）若，求的长． 【答案】验证：两直线平行，内错角相等；；；等角对等边；[应用] （），理由见解析；（） 【详解】[验证]证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ， ∵四边形是矩形， （矩形的对边平行）， （两直线平行，内错角相等）， ∴（等式的基本事实）， （等角对等边）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；等角对等边； [应用]（），理由如下： ∵由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （）∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 62．（23-24八年级下·北京东城·期中）阅读材料，回答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以下问题； (2)我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图1所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； (3)如图2，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为3 【详解】（1）解：在中，，，，， 由勾股定理得：， 故答案为：； （2）解：设绳索的长为x尺，则的长为尺， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； （3）解：把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，， 设，则， ∴， 由矩形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，则的长为3． 63．（24-25八年级下·福建三明·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 【答案】（1）的长为24；（2）的长为6；（3）的长为5或20 【详解】解：（1）， ， 由折叠的性质得：， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 即的长为24； （2）四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为6； （3）四边形是长方形， ， 设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，同①得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，即的长为20； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20． 64．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点的坐标为，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)求和的长； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)， (3) 【详解】（1）解：长方形，点的坐标为， ，， 点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：；． （2）解：由折叠的性质得，，， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即， 综上所述，，． （3）解：由（2）得，， ， 由折叠的性质得，， 四边形的面积 ， 四边形的面积为． 题型10 动态几何（动点）（共4小题） 65．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1)当时，四边形是矩形 (2)当时，四边形是菱形 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，设点，的运动时间为， ∴此时， 解得：． 答：当时，四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形． 设秒后，，四边形为菱形， 根据勾股定理得：， 即， 解得：． 答：当时，四边形是菱形． 66．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、．    (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【详解】（1）证明：在中，，，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：四边形能够成为菱形．理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，，， ∴， ∴， 若使平行四边形为菱形，则需， 即， 解得， 即当时，四边形为菱形； （3）解：分情况讨论： 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 当时， 由（2）知，四边形为平行四边形， ∴， 则， ∴， 即， ∴； 当时，此种情况不存在； 综上所述，当或时，为直角三角形． 67．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动时间为回答下列问题： (1) ， (2)当 时，四边形为平行四边形； (3)如图，若四边形变为平行四边形，，动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度在边上做往返运动，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为．当为何值时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)，； (2)； (3)的值为或或． 【详解】（1）解：由， ∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：根据题意，得，，则． ∵，即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得． 故当时，四边形为平行四边形； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 若以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则， 当时，，， ∴， 解得（不合题意,舍去）； 当时，，， ∴， 解得； 当，，， ∴， 解得； 当时，，， ∴， 解得； 综上可得：的值为或或时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形． 68．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形中，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接、和，设运动时间为． (1)当时，如图①所示，则______； (2)若，则______； (3)连接，与和分别交于点，，如图②所示： ①若，求的长和此时的值； ②求证：点是的中点． 【答案】(1) (2) (3)①；；②见解析 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ，， ； （2）解：， ，， ，， ，即， 解得（负值已舍去）； （3）①解：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②证明：过作交于， 则，， ∵， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 点是的中点． 题型11 折叠 / 旋转综合（矩形 / 菱形折叠）（共5小题） 69．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的菱形的顶点B在y轴上，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， ∵四边形是边长为2的菱形，， ∴，， ∴， 由旋转得， ∴， ∵点B在y轴上， ∴点在x轴上， ∴旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上， 作轴于点E，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴， 故选：C． 70．（23-24八年级下·河北保定·期中）菱形是矩形纸片按如图所示的方式折叠而成，若菱形的面积为，则长为__________． 【答案】 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， 由折叠的性质可知，， 又， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∵菱形的面积为， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 71．（24-25八年级下·广东东莞·期中）我们数学课上有个有趣的课堂活动：折纸，引起许多同学的兴趣． 实践发现：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开；以为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕上的点N处，把纸片展开；连接．   (1)求； (2)如图②，折叠矩形纸片，使点A落在边上点处，并且折痕交边于点T，交边于点S，把纸片展开，连接交于点O，连接．求证：四边形是菱形； (3)如图③，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，并且折痕交边于点T，交直线边于点S，把纸片展平，同学们小组讨论后，得出线段长度有4，5，7，9．请直接写出以上4个数值中你认为正确的数值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)7，9 【详解】（1） 解：对折矩形纸片，使与重合，是的垂直平分线， ， 以为折痕再一次折叠纸片，使点落在折痕上的点处，， ， 即是等边三角形， ， ， ； （2） 证明：折叠矩形纸片，使点落在边上点处，垂直平分， ，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （3）折叠矩形纸片，使点落在边上点处， ， 在中，， ， ， 点在上， 当点与点重合时，有最大值为10，． 故正确的为7，9． 72．（23-24八年级下·江苏南京·期中）学习了《中心对称图形》后，阿中与茜茜对平行四边形进行了再次探究：    (1)阿中发现：命题“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是个假命题，如何举反例说明呢？茜茜稍作思考说：“取一张如图1所示的等腰三角形纸片，其中，在边上取一点D（不是中点），连接，沿剪开纸片，重新拼接……”， 请你完成茜茜的举反例过程，画出相应的图形，并配以必要的说明； (2)阿中进一步探究发现：“一组对边相等且一组对角是直角的四边形是矩形”，请你完成证明过程； 已知：如图2，四边形中，，，求证：四边形是矩形． (3)茜茜发现折叠矩形可以得到菱形：如图3，将矩形折叠，使得A、C两点重合，点B落在点，折痕分别交边于E、F两点，交于O两点，则四边形是菱形．请在框图中补全茜茜的证明思路． 茜茜的证明思路 由折叠易知是的垂直平分线，可以先证① ，得到② ，又由，可得四边形是平行四边形，再由③ ，于是是菱形． (4)茜茜给阿中出了一道思考题：“如图4，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，将矩形沿着直线折叠，使点A与矩形内部的点P重合，问的最小值是多少？”请聪明的你用矩形纸片操作探究一下，直接写出的最小值． 【详解】（1）解：等腰三角形纸片，其中，在边上取一点D（不是中点），连接，沿剪开纸片，重新拼接如图所示，    ∴，，而， ∴四边形不是平行四边形， ∴命题“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是个假命题； （2）证明：连接，    ∵，，且， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （3）证明：由折叠知是的垂直平分线， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形， 故答案为：；；； （4）解：如图，连接，．    ，， ，此时的最小值， ， ， 当与重合时，的值最小，由折叠得：，    由勾股定理得：， ， 当，，共线时，有最小值， ， 则的最小值是． 73．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动．如图1，他们将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，使边，分别落在边，上．容易发现且． 【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转（）． （1）如图2，连接，，试探究与的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由． （2）小组研究发现：如图3，连接，在旋转过程中，存在与全等的情形，请直接写出此时旋转角α的度数 ． 【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转a（）． （3）在旋转过程中，当A，G，E三点在同一条直线上时，求线段的长； （4）如图4，连接，取中点H，连接，请直接写出线段长度的最大值． 【答案】（1）成立，证明见解析；（2）或；（3）或；（4） 【详解】（1）且仍成立．理由如下： ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴；； 延长，二线交于点M，与交于点N， 则，， ∴， ∴， ∴． 故且． （2）如图，∵， ∴， ∴， 故； 如图，∵， ∴， ∴， ∴， 故． ． 故答案为：或 （3）当A，G，E三点在的右侧且在同一条直线上时， 连接交于点M， ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，，,, ∴， ∵， ∴， ∴； ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，,, ∴， ∴； 当A，G，E三点在的左侧且在同一条直线上时， 连接，交于点N， 同理可证，， ∴； 综上所述，的长为或； （4）如图，连接，取中点M，连接， 则， ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴， , ∴， ∵， ∴三点共线时，线段长度取得最大值， 此时，． 故线段长度的最大值为． 题型12 新定义四边形（“现学现考” 压轴）（共11小题） 74．（25-26八年级上·山西运城·期中）数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形，围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究． (1)如图，四边形中，，，，，．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由； (2)创新小组受博学小组的启发，认为存在周长为36的整数四边形，请你画出周长为36，且只含有一个直角的两个不同的整数四边形，在所画图形中标注出各边的长度及直角，并直接写出四边形的面积． 【详解】（1）连接，过点作于点 在中 ∵ ∴三角形为等腰三角形． 又∵ ∴ ∴在中 ∴四边形四边为整数，面积为整数，是整数四边形． （2）如图①：面积为72． 面积求解如下： 易证： 如图②：面积为54． 面积求解如下： 连接，过点作于， 设 75．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）定义：在四边形中，如果，那么我们把这样的四边形称为“对余四边形”． 【定义理解】如图，已知是对余四边形的对角线，，，则的度数为 ． 【问题探索】问题：如图，已知、是对余四边形的对角线，，． 求证：． 探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 因为，，所以是等边三角形，将绕点顺时针方向旋转，连接，． …… 请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程． 【灵活运用】如图，已知、是对余四边形的对角线，，，若，，求的长． 【答案】【定义理解】；【问题探索】见解析；【灵活运用】 【详解】解：定义理解：∵四边形是对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 问题探索 证明：如图，将绕点顺时针方向旋转，连接，． ∵，， ∴是等边三角形， ∵将绕点顺时针方向旋转， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴； 灵活运用：过点作，使，连接，，如图所示： ∴在中，，， ∴， ∵四边形为对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴． 76．（24-25八年级下·山东聊城·期中）小明同学在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为他积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是他尝试着给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索。 特殊四边形（筝形）的探究学习单 观察猜想 定义： 四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 任务一： 小明在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形有一组对角应该是相等的．进一步观察后，发现这类“筝形”应该还具有其它性质；请再猜想一条筝形的性质：______；（除定义外） 推理验证 任务二： 根据数学探究的步骤，我们需要对小明的猜想进行推理验证：如图，筝形中，，，求证：． 性质应用 任务三： 如图，筝形中，，，，求筝形的面积． 任务四： 如图，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数为______． 【答案】任务一：筝形的对角线互相垂直； 任务二：见解析； 任务三：； 任务四：或 【详解】任务一：解：如图，连接， ， 垂直平分， 筝形的对角线互相垂直； 故答案为：筝形的对角线互相垂直； 任务二： 证明：如图，连接， ，， ， ； 任务三： 解：如图，设相交于点 ，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 垂直平分， ， ， ， ； 任务四： 解：， ， 当四边形为筝形时 如图， 当，，     则， ； 如图， 当，， 则， 综上所述，的度数为或； 故答案为：或． 77．（24-25八年级下·山西大同·期中）阅读与思考 下面是勤学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“垂中四边形”的研究报告研究对象：垂中四边形． 研究思路：类比特殊平行四边形的性质进行研究． 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂中四边形． 例如，如图1，在四边形中，，则四边形叫做垂中四边形． 性质探究： 性质1：． 证明：如图5，记与交于点O， 则，． ∵，， ∴． 性质2： ． 证明：如图2，在中，． 任务： (1)根据垂中四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是垂中四边形的是______（从下列选项中选出两个）． A．平行四边形        B．矩形            C．菱形            D．正方形 (2)请你补全性质2的证明过程． (3)如图，已知，请你在图中作一个垂中四边形，且对角线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【详解】（1）解：因为菱形和正方形的对角线互相垂直，所以菱形和正方形一定是垂中四边形， 故选：C、D； （2）在中， 在中，． 在中，． 在中，． ∴，． ∴． （3）如图所示，四边形即为所求． 78．（23-24八年级下·陕西西安·期中）我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，求的长． (3)如图3，在某运动公园的同一水平面上，四条通道围成四边形．已知米，，，，道路上分别有景点E、F，且，，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求出这条道路的长． 【答案】(1)是 (2)； (3)道路的长为． 【详解】（1）解：由旋转得：，， ∵， ∴， ∴四边形是等补四边形， 故答案为：是； （2）解：如图2，∵，， ∴将绕点顺时针旋转得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； （3）解：如图3，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足， ∵，， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得到：， 又∵， ∴，即点在的延长线上． ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵和是边长相等的等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴, 即这条道路的长为． 79．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 如图点是四边形内一点，已知，，，对角线与交于点，与交于点，与交于点．    (1)判断四边形_______垂美四边形（请在横线上填写是或者不是）； (2)求证：； (3)若，，，则的长为________． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 故答案为：是． （2）证明：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得，（舍去），， 故答案为：． 80．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）我们给出如下定义：对于凸四边形，对角线互相垂直的四边形称为“对垂四边形”．如图1，在四边形中，，四边形就是“对垂四边形”．    (1)下列四边形中，一定是“对垂四边形”的是______（填序号）①平行四边形②矩形③菱形④正方形 (2)如图2，在四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，四边形是矩形，求证：四边形是“对垂四边形”． 【详解】（1）解：∵正方形和菱形的对角线互相垂直， ∴一定是“对垂四边形”的是③、④，即③、④一定是“对垂四边形”． 故答案是∶ ③④． （2）解：如图：连接，    ∵点E、F、G、H分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是“对垂四边形”． 81．（25-26八年级上·江西上饶·期中）我们定义：如图1，2，在四边形中，如果，对角线平分，我们称为这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】 （1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________；（填序号） ①中线的性质；②角平分线的性质；③垂直平分线的性质；④高线的性质 【猜想论证】 （2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】 （3）如图3，在等腰中，，平分，点在上，，求的长度． 【答案】（1）②（2），理由见解析（3）8 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：②； （2），理由如下： 如图中，作交延长线于点于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）如图，在上截取，连接， ， ， ∵平分， ， ， ，即， 由（2）的结论得， ， ， ， ， ， ， ． 82．（24-25八年级下·河南漯河·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是__________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图，已知四边形是“中方四边形”、分别是的中点． ①若线段的长度为，求的长； ②若线段的长度为，请直接写出的最小值． 【答案】(1)D (2)①；②的最小值是 【详解】（1）解：如图所示，四边形是平行四边形，且，点是边的中点，连接， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理，， ∵，则， ∴， ∴平行四边形不是“中方四边形”，故A选项不符合题意； 如图所示，四边形是矩形，且，点是边的中点，连接，则，交于点，则， 同理，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， ∴矩形不是“中方四边形”，故B选项不符合题意； 如图所示，四边形是菱形，且，点是边的中点，连接， 同理，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴菱形不是“中方四边形”，故C选项不符合题意； 如图所示，四边形是正方形，且，点是边的中点，连接，交于点，则， 同理，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴菱形是正方形， ∴正方形是“中方四边形”，故D选项符合题意； 故选：D； （2）解：①如图所示，记的中点为，连接， ∵四边形是“中方四边形”，分别是的中点， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，设交于点，连接， ∵四边形是中方四边形， ∴， ∵， ∴，垂足为点， ∴是直角三角形， ∵分别是的中点， ∴，则， 同理，，， ∴， ∴当取得最小值时，有最小， ∵， ∴当点共线时，取得最小值，最小值为的值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 83．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）定义：如图1，在四边形中，若，，则称这样的四边形为筝形． (1)如图2，在中，点，分别在边，上，且，，求证：四边形为筝形； (2)在图1中，筝形的对角线，相交于点，若，，，求筝形的面积； (3)如图3，在筝形中，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，请直接写出的长． 【详解】（1）∵在中， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∴四边形为筝形； （2）∵四边形是筝形 ∴， ∴垂直平分 ∴， ∵，，， ∴设，则 ∵ ∴ 解得 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴筝形的面积； （3）如图所示，连接 ∵四边形为筝形 ∴由（2）得， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴解得（负值舍去） ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 84．（24-25八年级下·江西赣州·期中）定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)概念理解 ①你所知道的特殊四边形中，是“勾股四边形”的有_______（一个即可）； ②如图1，，请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有“勾股四边形”； (2)知识运用 如图2，是正三角形，，且，．求证：，即四边形是“勾股四边形”． (3)拓展应用 如图3，菱形是“勾股四边形”，对角线交于点，求四边形OEBF的面积． 【详解】（1）解：①正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方， 故答案为：正方形； ②由题意得： ∴，即要使， ∴点都满足条件，如图即为所求， （2）解：如图，连接， ∵是正三角形， ∴，， ∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即四边形是勾股四边形． （3）解：∵菱形是“勾股四边形”， ∴设 ∴ ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴，，，， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴. 题型13 中点、中位线、对角线综合（共3小题） 85．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：， 则． 故选：A． 86．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，对角线，相交于点，点是的中点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是平行四边形， ∴O是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 87．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，，、分别为、的中点，则的长度为___________． 【答案】 【详解】解：矩形的对角线与相交于点，， ， 、分别为、的中点， 是的中位线， ， 故答案为：． 题型14 坐标系 + 平行四边形（存在性）（共4小题） 88．（24-25八年级下·天津滨海新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是动点且纵坐标为 4 ，点是线段上的一个动点，过点作直线平行于轴，设分别交射线与轴所成的两个角的平分线于点、． (1)求证：； (2)当 为何值时，四边形是矩形？证明你的结论； (3)是否存在点A、B，使四边形为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）（1）证明：如图所示； ∵是的角平分线， ， ∵轴， ， ， ， 同理可证， ； （2）解：当，四边形是矩形， ， ， 又 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵、是角平分线， ， ∴四边形是矩形； （3）存在点、使四边形为正方形，如图所示， ∵轴， ∴当点在轴时，即点坐标为时，有，此时，取的中点，由（2）知四边形是矩形， ∴四边形为正方形， ∴存在，使四边形为正方形． 89．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）在平面直角坐标系中，已知矩形，其中． (1)如图1，在边上将沿翻折，点恰好落在边上的点处．则点的坐标为_______，_______； (2)如图2，将（1）中的沿轴向上平移得到，点在第二或第四象限，以，O，，为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)G的坐标为或 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵把长方形沿翻折后， ∴，， ∴， ∴点，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解： 根据题意得：设向上平移个单位， 则，，， 当时，， 解得：， ∴， 则将点先向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 同理将点先向右平移个单位，再向下平移个单位得到； 当时，， 解得：， ∴， 则将先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， 同理将点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到； 当时，， 解得：， ∴，， 则将向上平移个单位得到点， 同理将点向上平移个单位得到， ∵在第二或第四象限， ∴此种情况舍去； 综上所述，的坐标为或． 90．（24-25八年级下·四川广元·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持，连接、． (1)的值会变化吗？若不变，求出的值；若变化，请说明理由； (2)求周长的最小值； (3)在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)的值不会变， (2) (3)点的坐标为或或 【详解】（1）解：如图所示， 连接，    ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴与为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值不会变，； （2）解：∵， ∴，， ∴； ∴为等边三角形； ∴， ∴， 当时，周长有最小值， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长最小值为； （3）解：由（2）可得当的周长有最小值时，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴轴， ∵， ∴点M在y轴上， ∴； 设， 当为对角线时，由平行四边形的对角线中点坐标相同可得： ， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的对角线中点坐标相同可得： ， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的对角线中点坐标相同可得： ， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 91．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当 时，四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2)存在，，或， (3) 【详解】（1）解：，点D是的中点， ，， 四边形为矩形， ， 由已知，，则， 若四边形是平行四边形， 则， ， ， 故答案为：； （2）解：存在；理由如下： 当点P在点Q的左侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， Q点的坐标为， 当点P在点Q的右侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， ， 综上所述，在线段上存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形，且，或，． （3）解：连结，过点O作直线的对称点E，连结，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 点O和点E关于直线的对称， 垂直平分， ， ， 当点P在上时，取最小值，此时， 即当点P在上时，四边形周长的最小值为． 92．国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代．如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点处同时出发前往处．江江打算沿的路线前往，机器人打算沿的路线前往，已知点在点的南偏西方向上，且米，，米，米． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达处？（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)机器人先到达处 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 由题意得， 米 （米），（米） 在中，，米 由勾股定理得，（米） （米） 答：的长度为米． （2）解：在中，，米， 由勾股定理得，（米）， 江江从需要时间（秒）， 机器人从需要时间（秒）， ∵， 机器人先到达处． 93．是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． (1)化简：______，______； (2)已知实数在数轴上的对应点如图所示． ①化简：______，______； ②化简：． 【答案】(1)7， (2)①，；② 【详解】（1）解：，． （2）解：①由数轴可得：，， ∴，， 而数轴上b在右侧且更靠近， ∴不成立，即， ∴，； ②∵，， ∴，， ∴． 94．观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式：______； (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式，并证明； (3)利用（2）中的规律计算：． 【答案】(1)（或） (2)，证明见解析 (3) 【详解】（1）解：根据题意可知，第个等式是（或）． （2）解：根据题意可知，第个等式为：． 证明：已知为正整数， ∵左边右边， ∴原等式成立． （3）解：原式 ． 95．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)分母有理化：___________； (2)化简“理想二次根式”：___________； (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值； (4)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)3； (4)2025． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． ． （4）解： ． 96．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点落在轴上，点的坐标为，点分别是线段和上的两个动点，满足，记，连接． (1)点坐标：______；点坐标：______． (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值． (3)连接交于点，连接，记四边形的面积为，的面积为．当时，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴轴， ∵点的坐标为， ∴，，则； ∵，则， ∴； （2）解：如图，过Q作轴于H，则，，， ∵，， ∴，，， 若是以为腰的等腰三角形，则分两种情况： 当时，，又， ∴，解得； 当时，则，整理，得， 解得（负值舍去）， 综上，满足条件的x值为或； （3）解：过Q作轴于H，过C作轴于T，则，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，则，解得， ∴， ∵轴， ∴，则， ∴， ∴． 97．爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： (1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点作于点于点，过点作于点， 是的角平分线，且， _________． ， ． (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：； (3)【直接应用】如图3所示，在中，平分交于点，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出． (4)【拓展应用】如图4所示，在中，，设，记的面积为，将先沿的平分线折叠，点刚好落在边上的点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分，记剩余部分的面积为，请猜测的值，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)见详解 (3) (4) 【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点， 是的角平分线，且， ∴，， ， ． （2）证明：如图所示，过点A作于点P，过点D作于点M，作延长线于点N ， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：在中，平分交于点， ∴， ∵，，则， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴； （4）解：在中，，平分，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵折叠，点刚好落在边上的点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴． 98．【模型建立】（1）如图，在正方形中，分别是边上的点，连接，，连接，探究线段之间的数量关系．小明发现可以将沿折叠，沿折叠，和恰好重合在上，进而利用折叠的性质来证明此问题．请你根据小明的解题方法探究之间的数量关系； 【类比探究】（2）如图，在等腰直角中，，点在边上，连接，，探究线段之间的数量关系； 【拓展迁移】（3）如图，在中，于点，若，，，求的面积． 【答案】（1），理由见解析（2），理由见解析（3） 【详解】（1）解：， 理由：由折叠可得，，， ∴，，，， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴； （2）解：，理由： 如图所示，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 由旋转可得，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴； （3）解：如图所示，将沿翻折得到，将沿翻折得到，延长，交于点， ∴，，， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，，， 在中，由勾股定理，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 99．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是________； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是________； (3)【感悟探索】 ①的最大值是________； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是________．（用含a，b的式子表示） ③已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并求出的最小值． 【答案】(1)①；；②5 (2)20 (3)①；②；③ 【详解】（1）解：①∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； （2）解：设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，易得四边形为长方形，如图， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 即的最小值为20； （3）解：①设，，，，则， 作点D关于的对称点，于点，则，， 在中，； 在中，， ∴， 而（当且仅当C、E、共线且E在的延长线上即点时等号成立时取等号）， 在中，， 即的最大值为； ②分别以，为边长作长方形，则，，上取一点，使，则，取的中点为，连接，，，如图， ∵，，，，， ∴， ， ， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵ ， ∴以，，为边的三角形的面积为， ③画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号）， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 100．综合与实践 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】现有一张直角三角形纸片，，，，小明用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠，折痕为，顶点的对应点是点． (1)①如图，当点与点重合时，则的长为________； ②如图，当点与点重合时，求的面积； (2)当点落在的三等分点时，求的长； 【类比操作】 (3)如图，折叠长方形的一角，使点落在边的点处，折痕交于点，若，，求的长． 【答案】(1)①；② (2)或 (3) 【详解】（1）解：①∵当点与点重合时， ∴； ②如图，当点与点重合时， 设， 则， 在中， ∵， ， 解得， ， ； （2）解：当点落在的三等分点时，分两种情况： 如下图，∵点落在的三等分点， ， 由翻折得：， ， 在中，， 即， 解得：； 如下图，∵点落在的三等分点， ， 由翻折可得：， ， 在中，， 即， 解得：， 综上所述：的长为或； （3）解：∵四边形是矩形， ，，， 由折叠得，，， 在中，， 即， 解得：， 又， ， 设，则， 在中，， ， 解得，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $