第29讲 锐角三角函数及其应用（复习讲义，3考点13题型3重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第七章 图形的变化 第29讲 锐角三角函数及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 锐角三角函数的基本概念以及简单运算 题型01求角的正弦值、余弦值、正切值 题型02已知正弦值、余弦值、正切值求边长 题型03已知正弦、余弦、正切在网格中的应用 命题点二 特殊的锐角三角函数 题型01 特殊的锐角三角函数值混合运算 题型02 由锐角三角函数求锐角 题型03 锐角三角函数的增减性 命题点三 解直角三角形相关计算 题型01 解直角三角形与勾股定理 题型02 解直角三角形与尺规作图综合 题型03 解直角三角形中求线段长度 命题点四 解直角三角形的实际应用 题型01 仰角俯角问题 题型02 方位角问题 题型03 坡度坡比问题 题型04 跨学科类问题 05·重难突破·思维进阶难 31 突破一 解直角三角形的实际应用综合 突破二 解直角三角形与圆综合 突破三 解直角三角形与函数综合 06·优题精选·练能提分 38 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 锐角三角函数的有关概念 / / 理解锐角三角函数（sin、cos、tan）的定义，能在直角三角形中正确表示各三角函数。 特殊角三角函数值的有关计算 湖南省卷 T19 湖南省卷 T19 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能进行相关计算。 解直角三角形 湖南省卷 T25 长沙市卷 T23 湖南省卷 T26 能根据已知条件解直角三角形（已知两边、已知一边一角等），掌握基本解法。 解直角三角形的应用 长沙市卷 T23 湖南省卷 T24 湖南省卷 T24 能运用解直角三角形解决实际问题（如测量高度、距离、方位角、坡度等）。 命题预测 1. 特殊角三角函数值必考（选择题/填空题，3-6分） 直接计算：含30°、45°、60°三角函数的式子;化简求值：与二次根式、实数运算结合;与数轴结合：判断三角函数值的大小关系 2. 解直角三角形高频考查（填空题/解答题，6-10分） 已知两边：求角度或另一边;已知一边一角：求其他边或角;与勾股定理结合：综合运用 3. 实际应用为热点（解答题，8-12分） 测量高度：仰角、俯角问题;方位角：航海、航空中的方位角计算;坡度、坡角：斜坡、堤坝问题;与相似结合：相似三角形与三角函数综合 4. 与几何综合考查（解答题，8-10分） 圆与三角函数：圆中的角度计算;四边形与三角函数：矩形、菱形中的三角函数;函数与三角函数：坐标系中的角度问题. 备考建议 1. 基础知识巩固 熟记定义：sin、cos、tan的定义（对边、邻边、斜边）;牢记特殊角：30°、45°、60°的三角函数值;掌握关系：sin²A+cos²A=1，tanA=sinA/cosA;理解互余：sinA=cos(90°-A) 2. 解题能力提升 辅助线技巧：遇非直角三角形 → 作高构造直角三角形;遇实际问题 → 画示意图，标已知数据;方程思想：设未知数列方程求解;模型识别：仰角俯角、方位角、坡度模型 3. 重点突破题型 ① 特殊角三角函数值的化简求值② 解直角三角形（已知两边、一边一角）③ 仰角俯角测高问题④ 方位角航海问题⑤ 坡度（坡比）问题⑥ 与相似、圆、坐标系综合 考点一 锐角三角函数的定义与特殊角的三角函数值 一、锐角三角函数的定义 在直角三角形中，设一个锐角为∠A，我们定义三个三角函数： 名称 符号 定义（在Rt△ABC 中，∠C=90°） 记忆口诀 正弦 sinA 对边比斜边 余弦 cosA 邻边比斜边 正切 tanA 对边比邻边 二、特殊角的三角函数值（中考必背） 这是计算的核心，必须熟练记忆： 角度α sinα cosα tanα 30° 45° 60° 三、重要性质与推论 1.互余角关系 在直角三角形中，若∠A+∠B=90°,则： ， 即：一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，反之亦然。 2.同角三角函数关系 1.5．（2025·湖南·中考真题）计算：． 2.（2024·湖南长沙·中考真题）计算：． 3.（2024·湖南·中考真题）计算：． 考点二 解直角三角形 一、什么是解直角三角形？ 在直角三角形中，除直角外，已知2个元素（至少有1条边），求出其余未知的边和角的过程，叫做解直角三角形。 前提：在Rt△ABC中，∠C=90°，三边为a，b，c（c为斜边），三个角为∠A，∠B，∠C。 二、解直角三角形的核心依据 1.三边关系(勾股定理) 2.角的关系 3.边角关系(锐角三角函数) 三、可解的4种基本类型 已知条件 解题步骤 1. 已知斜边c和一个锐角A ①求；②求；③求 2. 已知一条直角边a和锐角A ①求；②求；③求 3. 已知斜边c和一条直角边a ①求；②求，得∠A；③求 4. 已知两条直角边a，b ①求；②求，得∠A；③求 四、非直角三角形的处理方法 如果题目给的是斜三角形(没有直角),需要先构造直角三角形： 1.作高法：过一个顶点作对边的高，把斜三角形分成2个直角三角形。 2.利用特殊角：若有30°，45°，60°等特殊角，优先在这些角处作高。 3.方程思想：设未知边长，利用勾股定理或三角函数列方程求解。 1.（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，． (1)求证：； (2)点E在边上，满足．若，，求的长及的值． 2.（24-25九年级下·湖南衡阳·月考）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．5 B． C． D．2 3.（25-26九年级上·湖南·月考）如图，在四边形中，，、相交于点，，且，若，，则的值为______． 4.（2025·湖南岳阳·二模）如图1，先把一张矩形纸片对折两次，展开后得到三条折痕，设其中一条折痕为；如图2，再把点叠在折痕线上，得到，则：①______；②______． 考点三 解直角三角形的应用 通用解题模板(万能步骤) 1.读题画图：画出几何图形，标注所有已知角度、边长。 2.抽象模型：将实际图形转化为一个或多个直角三角形。 3.选三角函数： ①已知斜边和角→用sin/cos ②已知角和对边/邻边→用tan 4.列方程求解：设未知数，利用三角函数或勾股定理列方程。 5.检验作答：验证结果是否符合实际意义，按要求保留小数或根号。 六、避坑提醒 概念混淆：坡度是竖直：水平，不是竖直：坡面。 角度看错：仰角/俯角是与水平线的夹角，不是与竖直方向。 方位角描述：必须以正北/正南为起点，如“北偏东”不能写成“东偏北”。 单位统一：注意题目中距离单位是否一致。 1.（2024·湖南·中考真题）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为________分米（结果用含根号的式子表示）． 2.（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 3.（2025·湖南·中考真题）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． (1)如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 4.（2024·湖南·中考真题）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求线段和的长度： (2)求底座的底面的面积． 命题点一 实数的分类 ►题型01 求角的正弦值、余弦值、正切值 【典例1】（2025九年级上·湖南·期末）在中，，，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·湖南武冈·月考）在中，，，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【变式2】（2025九年级下·湖南常德·开学考试）某款网红“不倒翁”的示意图如图所示，、分别与优弧所在的圆O相切于点A、B，连接并延长交优弧于点M．若该圆的半径为4，，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【典例2】（25-26九年级上·湖南岳阳·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______． 【变式2】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在矩形中，E是边上的一点，将沿BE折叠得到，点F刚好落在边AD上，H、G分别是边上一点，已知，，，，连接HE、HG，则_________． 【典例3】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）如图，平行四边形中，，，，与的平分线，交于点，连接，则的值为________． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，是的弦，交于点E，连接，且；若，，则的值为__________． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）明朝李梦阳的《送人赴举》诗“宝剑动连星，金鞍别马鸣．持将五色笔，夺取锦标名．”这首诗鼓励考生们拿起五彩妙笔，在考试中取得理想的成绩，金榜题名‌‌．今有陈老师选用代表六合、六顺的正六边形“金榜题名”文具礼盒祝福孩子们妙笔生花，中考胜利！如图（a）是陈老师在中考前送给班内孩子们的单个正六边形文具礼盒，如图（b）是全班礼盒靠墙创意摆放的主视图．请聪明好学的你算出与地面所成的的正切值是____________ ． ►题型02 已知正弦值、余弦值、正切值求边长 【典例1】（2025·湖南株洲·一模）在中，，则的长为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 【变式1】（2025·湖南长沙·二模）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的菱形的边长大约在（   ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【变式2】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在中，是边上中线，，， (1)求的长； (2)求的值． 【典例2】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为_____． 【变式1】（24-25九年级下·湖南·期末）如图，四边形内接于，点O在上，，过点C作的垂线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：为的切线； (2)若G为位于上下方的一点，且，，求的长． 【变式2】（24-25九年级上·湖南常德·期末）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为： 现已知在中，，， ，则等于（      ） A． B． C． D． 【典例3】（2025·湖南·一模）如图，中，， ，于D，E是的中点，的延长线交的延长线于F，若，则______． 【变式1】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，直线过点，且，则______． 【变式2】（2025·湖南娄底·一模）在中，，D是的中点，E是的中点，过A点作交的延长线于点F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为40，求菱形的周长． ►题型03 已知正弦、余弦、正切在网格中的应用 一、网格里求三角函数的核心思路 方格图中，角的顶点通常在格点，求sinα、cosα、tanα只有一句话： 把角放进直角三角形里，用“横、竖、斜”三数直接算。 二、万能四步法(所有题通用) 1.找到角α：看清角的顶点、两条边。 2.在角的一条边上取一个格点：向另一条边作垂线，构造直角三角形。 3.数格子算三边长 ①水平段：横向格数→邻边 ②竖直段：竖向格数→对边 ③斜边：用勾股定理算： 4.套定义 【典例】（2025·湖南湘西·模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·湖南长沙·月考）如图所示，在矩形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 命题点二 特殊的锐角三角函数 ►题型01 特殊的锐角三角函数值混合运算 万能解题步骤(一步都别乱) 第1步：先把所有三角函数换成数值 看到sin30°、cos45°、tan60°，立刻替换成数字/根式，不要边算边代。 第2步：按运算顺序计算 1.先算乘除，后算加减 2.有括号先算括号里 3.有平方、绝对值、零指数、负指数，先算这些 第3步：统一分母，合并根式 ①有分数就通分；②根式要写成最简二次根式；③结果写成：整式+最简根式 第4步：检查符号 减号、负号、括号前是负号要变号 别把sin、cos、tan再带回去 【典例】（25-26九年级上·湖南益阳·月考）计算 【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·月考） 【变式2】（25-26九年级上·湖南郴州·月考）计算：． 【变式3】（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）计算：． ►题型02 由锐角三角函数求锐角 【典例】（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）中，如果，满足，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）在中，、为锐角，且，是方程的实数根，则这个三角形是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【变式2】（2025九年级上·湖南郴州·月考）若tan(a+10°)=1，则锐角a的度数是（    ） A．20° B．30° C．35° D．50° 【变式3】（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 ►题型03 锐角三角函数的增减性 锐角三角函数的增减性——解题思路(中考必考、超清晰) 一、先记死结论(0°～90°之间) 1.sinα:角越大，值越大(单调递增) 2.cosα:角越大，值越小(单调递减) 3.tanα:角越大，值越大(单调递增)一句话口诀： 正弦正切越大越大，余弦越大越小。 二、解题通用思路(所有题都这么做) 1.比较两个三角函数值大小 步骤： 1.看是不是同一种函数(都是sin、都是cos、都是tan) 2.看角度是不是都在0°～90° 3.直接用增减性判断： ①sin/tan：角大→值大；②cos：角大→值小 2.已知函数值大小，判断角度大小 思路反过来： ①若sinA>sinB→∠A>∠B ②若tanA>tanB→∠A>∠B ③若cosA>cosB→∠A<∠B 【典例】（2025九年级上·湖南株洲·期末）锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　） A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60° 【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南湘潭·三模）已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 命题点三 解直角三角形 ►题型01 解直角三角形与勾股定理 【典例】（2025·湖南·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南长沙·二模）如图，在菱形中，于点E，，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在中，，点D在边上，连接．若，，，则线段的长为_______．    ►题型02 解直角三角形与尺规作图综合 【典例】（2025-2026九年级上·湖南·月考）如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，连接交于D，交于E，连接，若，则的长为____________． 【变式1】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，以点B为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点G，连接并延长交于点D． (1)求证：平分； (2)若，求的面积． 【变式2】（2025·湖南永州·二模）如图，在四边形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E．若，，，则的长为______． ►题型03 解直角三角形中求线段长度 【典例】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点．，分别是边和对角线上的点，连接，，且， (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，求． 【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，平行四边形的对角线，交于点，于点，点在延长线上，且， (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长． 【变式2】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，，以的中点为圆心、为半径的圆交于点，点是的中点，连接，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． (3)求证：． 【变式3】（2025·湖南永州·二模）如图，与都是等边三角形，且B，D，E三点共线，交的延长线于F． (1)求证：①； ②四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 命题点四 解直角三角形的实际应用 ►题型01 仰角俯角问题 仰角、俯角问题——中考万能解题思路(一步不丢分) 一、先搞懂两个概念 ①仰角：从水平线往上看，视线与水平线的夹角 ②俯角：从水平线往下看，视线与水平线的夹角 共同点：都和水平线形成直角三角形! 二、解题核心思路 所有仰角俯角题，本质只有一件事： 构造直角三角形→找水平/竖直边→用三角函数/勾股。 三、标准解题四步走 1.画图，标已知 ①标出：仰角/俯角、高度、水平距离 ②找出：直角(水平线工竖直线) 2.把角“搬”到直角三角形里 ①仰角：在下方的直角三角形里 ②俯角：利用平行线内错角相等，转化到下方的三角形里→俯角=底下的仰角 3.认准三角函数 ①已知/求：对边+邻边→用tan(最常用) ②已知/求：对边+斜边→用sin ③已知/求：邻边+斜边→用cos 4.列方程→计算→写答 【典例】（25-26九年级上·湖南郴州·月考）如图，在综合与实践活动课中，小明要利用测角仪测量塔的高度，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上，小明在观景台C处测得塔顶B的仰角为，在观景台D处测得塔顶B的仰角为． (1)求观景台的高度； (2)求塔的高度．（，结果取整数） 【变式1】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）坐落于长沙橘子洲头的毛泽东青年艺术雕塑，以1925年青年时期毛泽东形象为艺术原型，突出表现伟人青年时代胸怀大志，风华正茂的气概，该雕塑通过伟人文化为名洲增色，是红色之洲的代表作．某校九年级学生在数学实践活动课时对该雕塑的高度进行了测量．如图，在点C处用测角仪测得雕塑顶部A的仰角为，向远离雕塑的方向走到达点D处，在点D处测得雕塑顶部A的仰角为．已知测角仪距地面的高，求雕塑的高度约为多少米？ (结果精确到．参考数据∶，，)． 【变式2】（2026·湖南长沙·一模）烈士公园纪念塔1958年建于今东风路湖南烈士公园内，由块白玉石和花岗石砌成，雕栏刻柱，翠绿琉璃瓦塔顶，威武雄伟．为测量纪念塔的高度，数学建模小组同学先在该纪念塔附近一栋楼房的底端点处观测纪念塔顶端处的仰角是，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端点处观测纪念塔底部处的俯角是．已知楼房高是，求： (1)楼房与纪念塔底部距离的长（保留根号）； (2)该纪念塔的高度．（结果精确到，参考数据：，） 【变式3】（25-26九年级下·湖南长沙·月考）为监测湘江水位变化及沿岸地形，测绘人员在长沙橘子洲头操控一架无人机进行高空测量．如图，无人机在湘江上方距水面的处，测得南岸点与北岸点的俯角分别为和，已知三点共线（点为在水平面上的垂直投影），且．求观测点之间的距离．（结果保留根号） ►题型02 方位角问题 方位角问题(解直角三角形)解题思路 一、先记住2个关键点1.方位角：以正北、正南为基准，向东/向西偏多少度。2.所有方位角题，本质都是：画南北、水平线→造直角→解直角三角形。如：北偏东30°、南偏西45°。 二、万能解题步骤(满分思路) 1.画标准图 ①每个观测点都画：十字线(正北、正南、正东、正西) ②标出：方位角、已知边长、所求边长。 2.把方位角“转化”到直角三角形里 南北线水平线→一定有直角 利用：互余、内错角、平行线性质，把题目给的方位角变成直角三角形里的内角。 3.认准用哪个三角函数 方位题几乎全用tan： 已知角和一边→求另一边 两个直角三角形就联立/加减 4.计算+写答 ①特殊角直接代值 ②结果保留根式或按要求近似 【典例】（25-26九年级下·湖南长沙·开学考试）如图，正在执行巡航任务的海警船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海警船继续向正东方向航行是否安全？ 【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令要分别途经海上观测点和，并最终到达处执行任务．在观测点的西北方向且在观测点的西南方向海里处，观测点在观测点的正北方向，目的地在观测点的北偏东方向且在观测点的北偏东方向． (1)求的距离． (2)求的距离（结果保留根号）． 【变式2】（25-26九年级上·湖南常德·月考）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行10千米到达点C处，此时点C位于点B的北偏东． (1)求此时渔船距离直线的距离（结果保留根号）． (2)渔船到达点C后，按原航向继续航行一段时间后，到达点D等待补给，此时渔船在点B的南偏东的方向．在渔船到达点D的同时，一艘补给船从点B出发前往D处，请问补给船行驶的距离的长度．（参考数据：） 【变式3】（2025·湖南长沙·三模）钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测，现有关部门想测量钓鱼岛东西两端的距离．制定测量方案如下表： 测量项目 测量钓鱼岛东西两端点之间的距离 测量过程 【步骤一】中国一艘海监船从点沿正北方向巡航，测得其航线距钓鱼岛（设，为该岛的东西两端点）最近距离为12海里（即海里）： 【步骤二】在点测得岛屿的西端点在点的东北方向； 【步骤三】海监船航行4海里后到达点，测得岛屿的东端点在点的北偏东60°方向（其中，，在同一条直线上）． 根据以上内容，解决问题： (1)求出之间的距离； (2)求出钓鱼岛东西两端点之间的距离．（结果保留根号） ►题型03 坡度坡比问题 坡度、坡比问题(解直角三角形)解题思路。 设坡面的铅直高度为h,水平宽度为l,坡角为α。 1.坡比(坡度)i 2.坡角α 坡面与水平面的夹角。 3.坡面长度 【典例】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． (1)求攀登难点N的高度（即的长）； (2)求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 【变式1】（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）材料题： 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 某小区为解决“停车难”这个问题，一楼地面改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，，长． 材料2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，图3中摄像头点位于点正上方，三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据：，，） 解决 问题 （1）求坡面的坡比． （2）如图3，当时，求长． 【变式2】（25-26九年级上·湖南·月考）某校九年级数学活动小组开展了“古塔高度的测量”项目式学习，形成了如下报告． 活动背景 文峰塔（俗称镇龙塔）坐落于湖南省境内，承载着深厚的历史文化底蕴与科学实践价值，其精湛的建造技艺与独特的风水文化象征（如“青云得路”“文光射斗”等门额题刻）体现了古人对自然与人文和谐统一的追求． 活动主题 测算文峰塔的高度 测量工具 无人机，测角仪，计算器等 测量数据 1．小山坡的坡比为； 2．从点到点上升的高度为3米； 3．处测得塔顶的仰角为； 4．无人机从地面沿竖直方向飞行到达点处； 5．在处测得塔角的俯角为，测得坡底处的俯角为．（点，在同一水平线上） 测量示意图 任务1 （1）求的距离；（结果精确到1米） 任务2 （2）求文峰塔的高度．（结果精确到0.1米） 参考数据 ，，，， ►题型04 跨学科类问题 【典例】（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】第一步：利用激光笔在出发射一束光线，入射光线与水槽（水平放置）内壁的夹角为；容器中不装水时，光斑恰好落在处，第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】如图，点在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)______；______； (2)求之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 【变式1】（24-25九年级下·湖南娄底·期中）项目式学习 【问题背景】学校为更高效地组织学生开展综合实践活动，引进了新的测量工具——激光测距仪，具有技术难度低、成本低等特点．实践小组模拟真实测量场景，研究其使用方法． 【实践过程】 测距方法 激光三角法测距通过测量激光照射点在相机中的成像位置获得信息，如图，激光器从点处发射一束激光以一定的角度照射到被测目标表面的点处，在点处发生反射或散射，光线经过凸透镜的光心照射在感光耦合组件上的点处；当被测目标沿激光方向移动至点处时，反射或散射后的光线经过凸透镜的光心照射在上的点处． 测量数据及其他信息 ①已知，； ②过点作于点，测得，，，； ③用计算器求得：，，． 【解决问题】求被测目标移动的距离．（结果精确到） 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题． 课题 探究物理实验装置中的几何测量问题 成员 组长：×××　组员：×××，×××，××× 实验工具 木块、测角仪、皮尺、摄像机等 测量方案 示意图 方案一 (已知 方案二 (已知 说明 点为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处，由静止开始沿斜面下滑，点为小车从斜面到达水平面的位置，点为木块的位置 测量 方案一 米，， 方案二 米，， 请选择其中一种方案计算出摄像机机位到小车行驶轴线的竖直距离．(结果精确到米，参考数据：，，) 【变式3】（2025·湖南·一模）如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度，烧杯高度，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分，且，漏斗管位于烧杯的上方部分，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点处，，玻璃棒长度为． （结果精确到） (1)求漏斗口处点到底座的高度； (2)某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为，求此时玻璃棒顶端点到桌面的距离． （参考数据：，，，） 突破一 解直角三角形的实际应用综合 【典例】便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，如表是此活动的设计方案． 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 经历项目化学习的过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为数学问题 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度 方案设计 工具 桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等 实物图展示 示意图 状态一（空水桶） 状态二（水桶内加一定量的水） 说明：C为的中点 … … 请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题： (1)该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是________． A．三角形具有稳定性    B．两点确定一条直线    C．两点之间线段最短 (2)在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，，，请计算此时水桶下降的高度．（参考数据：，，） 【变式1】随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，) (1)如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长．结果精确到） 【变式2】综合与实践：如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上． 【操作原理】如图2是桔槔的示意图，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里． 【已知数据】如图2，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面． 【问题解决】根据以上操作原理和已知数据，解答下列问题： (1)当水桶在井里时，， ① ． ②求此时支点O到小竹竿的距离（结果精确到）． (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【变式3】2025年春晚的机器人舞蹈《秧》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精准动作，并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注．某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人的动作进行研究，制作出一部动画作品． 活动主题 机器人舞蹈动画制作 活动流程 如图1，小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频，对其动作进行逐帧分解，利用测量所得的相关数据，对机器人进行初步建模，之后利用动画软件进行制作． 分解动作模型抽象    数据测量模型建立 机器人建模模型图形绘制可抽象为如图2所示，腰部平行于水平面，上半身腰部，大腿与腰部夹角，与小腿夹角，足部与水平面夹角，，，，，所有点均在同一平面内． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题．（参考数据：，，，，，，） (1)过机器人腰部点C作垂直于水平面于点L，求机器人膝盖点F到机器人腰部点C的水平距离； (2)求机器人脖子点A到水平面的距离．（结果保留一位小数） 【变式4】几位同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 篮球架的结构 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 篮球架（如实物图所示）的结构示意图如下：立柱垂直地面，横梁平行地面，篮筐与横梁在同一直线上，点、、在同一条垂直于地面的直线上． 测绘过程与数据信息 ①用测角仪在处测得后拉杆与水平面的夹角，在处测得伸臂与水平面的夹角； ②用皮尺测得后拉杆的长为，伸臂的长为，箱体的高度为； ③用计算器计算得到：，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到） (1)求立柱的高度； (2)已知墩墩站立时手臂举至最高处，手掌距地面最大高度为，若墩墩站在地面上想摸到篮筐，则墩墩至少跳多高才能摸到篮筐？ 突破二 解直角三角形与圆综合 【典例】如图1，四边形内接于，对角线，交于点P，为的直径． (1)求证：； (2)如图2，作于F，交于点E，若，，求的值； (3)如图3，分别过点B、D作的切线，过点P分别作、垂直两条切线于点M、N．已知的直径为4，令，，求y与x的关系 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，半径为r的半圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C．直线与该半圆相切于点F，与x，y轴分别交于点G，H，过A，B两点作该半圆的切线分别交直线l于点N，D，过点C作该半圆的切线，交于点M，交直线l于点E． (1)当时，求的值； (2)连接，过点F作轴于点P，令，求四边形的面积； (3)延长，交于点K，当时，令．设，，，，求y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围． 【变式2】如图，已知是的直径，弦于点E，点M是线段延长线上的一点，连结交于点F，连结交于点G，连结，，． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)在（2）的条件下，设，． ①求y关于x的函数表达式； ②若E为的中点，求的值． 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G． (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)求证：； (3)若BE=8，sinB=，求AD的长，    突破三 解直角三角形与函数综合 【典例】直线与双曲线交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)如图，点是直线第一象限内的一点，过点作轴，垂足为点，交双曲线于点，当时，求的值； (3)如图，已知点是双曲线上一动点，连接，，若，直接写出所有满足条件的点的坐标，并选一种情况写出解答过程． 【变式1】如图1，以点为圆心，个单位长为半径作，与x轴相交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C．二次函数的图象经过A、B、C三点，与的另一个交点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，求的值； (3)如图2，点P为第一象限内抛物线上一动点，连接与y轴交于点E，连接并延长与y轴交于点F．连接，求证：． 【变式2】如图1，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)求m的值． (2)如图2，过点D作轴于点E，连接，，． ①求的正切值． ②若点N是第三象限内抛物线上的一动点，射线上是否存在点P，使得与相似?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】如图，已知二次函数（a，b，c为常数，）与x轴交于点和点其中，与y轴交于点，若一次函数（，n为常数）也经过点C，且与反比例函数（，k为常数）交于点，我们不妨约定：称函数为一个“黄金组合”． (1)已知二次函数（a，b，c为常数，），一次函数（，为常数）反比例函数为一个“黄金组合”．若，，求一次函数的解析式以及和b的值； (2)已知函数为一个“黄金组合”，连接．当时，试问能否为等边三角形？判断并证明你的结论； (3)已知函数为一个“黄金组合”，当四边形是矩形，且时，求m的值． 1.（25-26九年级上·湖南常德·期末）在Rt中，，，，的对边分别为，，，那么下列等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·湖南怀化·一模）若，则_______． 3.（25-26九年级上·湖南永州·月考）下列说法中，正确的是（   ） A． B．若，则 C．若为锐角，，则 D．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 4.（25-26九年级上·湖南郴州·月考）如图是桂新高速某一隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝，下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 5.（2025·湖南·模拟预测）在锐角中，若，则等于（　　） A． B． C． D． 6.（2025·湖南武冈·一模）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为（    ）    A． B． C． D． 7.（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）计算：． 8.（25-26九年级上·湖南长沙·月考）综合与实践：某“综合与实践”小组开展了测量不可到达的建筑物的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间在建筑物旁边小楼房完成了实地测量，在小楼房楼底处测得处的仰角（）为，在小楼房楼顶处测得处的仰角（）为．测得的高度为（，）在同一平面内，，在同一水平面上），通过测量数据求建筑物的高？ 9.（2025·湖南邵阳·三模）如图，两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从到有两条路可走．线路：从；线路：从．从地图上可得到以下数据：点位于的正北方向，且在的北偏西的方向；点在的东南方向，且位于的南偏西方向．(参考数据：，，，，，，，) (1)求的长度；(结果保留一位小数) (2)通过计算说明，线路和线路，哪条线路更短． 10.（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走了6米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点在同一水平线上）． (1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 11.实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 12.（2025九年级下·湖南娄底·期中）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测它到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离，方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为；再在皮肤上选择距离B处的C处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，、，，） 13.（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，点是的内心，点是的外心，的延长线与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，的外接圆的半径为，内切圆的半径为，是否为定值，若是请求出这个定值，若不是请说明理由． 1．（2025·四川凉山·中考真题）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） (1)求直吊臂的长； (2)如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 2．（2025·贵州·中考真题）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 3．（2025·青海·中考真题）数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 4．（2025·甘肃兰州·中考真题）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得和的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作于点H，连接，． 数据 万千米，，． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离．（结果精确到1万千米） （参考数据：，，，，，） 5．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    6．（2025·四川雅安·中考真题）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 7．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 图形的变化 第29讲 锐角三角函数及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 16 命题点一 锐角三角函数的基本概念以及简单运算 题型01求角的正弦值、余弦值、正切值 题型02已知正弦值、余弦值、正切值求边长 题型03已知正弦、余弦、正切在网格中的应用 命题点二 特殊的锐角三角函数 题型01 特殊的锐角三角函数值混合运算 题型02 由锐角三角函数求锐角 题型03 锐角三角函数的增减性 命题点三 解直角三角形相关计算 题型01 解直角三角形与勾股定理 题型02 解直角三角形与尺规作图综合 题型03 解直角三角形中求线段长度 命题点四 解直角三角形的实际应用 题型01 仰角俯角问题 题型02 方位角问题 题型03 坡度坡比问题 题型04 跨学科类问题 05·重难突破·思维进阶难 78 突破一 解直角三角形的实际应用综合 突破二 解直角三角形与圆综合 突破三 解直角三角形与函数综合 06·优题精选·练能提分 117 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 锐角三角函数的有关概念 / / 理解锐角三角函数（sin、cos、tan）的定义，能在直角三角形中正确表示各三角函数。 特殊角三角函数值的有关计算 湖南省卷 T19 湖南省卷 T19 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能进行相关计算。 解直角三角形 湖南省卷 T25 长沙市卷 T23 湖南省卷 T26 能根据已知条件解直角三角形（已知两边、已知一边一角等），掌握基本解法。 解直角三角形的应用 长沙市卷 T23 湖南省卷 T24 湖南省卷 T24 能运用解直角三角形解决实际问题（如测量高度、距离、方位角、坡度等）。 命题预测 1. 特殊角三角函数值必考（选择题/填空题，3-6分） 直接计算：含30°、45°、60°三角函数的式子;化简求值：与二次根式、实数运算结合;与数轴结合：判断三角函数值的大小关系 2. 解直角三角形高频考查（填空题/解答题，6-10分） 已知两边：求角度或另一边;已知一边一角：求其他边或角;与勾股定理结合：综合运用 3. 实际应用为热点（解答题，8-12分） 测量高度：仰角、俯角问题;方位角：航海、航空中的方位角计算;坡度、坡角：斜坡、堤坝问题;与相似结合：相似三角形与三角函数综合 4. 与几何综合考查（解答题，8-10分） 圆与三角函数：圆中的角度计算;四边形与三角函数：矩形、菱形中的三角函数;函数与三角函数：坐标系中的角度问题. 备考建议 1. 基础知识巩固 熟记定义：sin、cos、tan的定义（对边、邻边、斜边）;牢记特殊角：30°、45°、60°的三角函数值;掌握关系：sin²A+cos²A=1，tanA=sinA/cosA;理解互余：sinA=cos(90°-A) 2. 解题能力提升 辅助线技巧：遇非直角三角形 → 作高构造直角三角形;遇实际问题 → 画示意图，标已知数据;方程思想：设未知数列方程求解;模型识别：仰角俯角、方位角、坡度模型 3. 重点突破题型 ① 特殊角三角函数值的化简求值② 解直角三角形（已知两边、一边一角）③ 仰角俯角测高问题④ 方位角航海问题⑤ 坡度（坡比）问题⑥ 与相似、圆、坐标系综合 考点一 锐角三角函数的定义与特殊角的三角函数值 一、锐角三角函数的定义 在直角三角形中，设一个锐角为∠A，我们定义三个三角函数： 名称 符号 定义（在Rt△ABC 中，∠C=90°） 记忆口诀 正弦 sinA 对边比斜边 余弦 cosA 邻边比斜边 正切 tanA 对边比邻边 注意： 1.三角函数的大小只与角的大小有关，与三角形的边长无关。 2.定义的前提是在直角三角形中，非直角三角形需要先构造直角。 二、特殊角的三角函数值（中考必背） 这是计算的核心，必须熟练记忆： 角度α sinα cosα tanα 30° 45° 60° 三、重要性质与推论 1.互余角关系 在直角三角形中，若∠A+∠B=90°,则： ， 即：一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，反之亦然。 2.同角三角函数关系 1．（2025·湖南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 2.（2024·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 3.（2024·湖南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次幂的运算等，先化简绝对值、零次幂及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 考点二 解直角三角形 一、什么是解直角三角形？ 在直角三角形中，除直角外，已知2个元素（至少有1条边），求出其余未知的边和角的过程，叫做解直角三角形。 前提：在Rt△ABC中，∠C=90°，三边为a，b，c（c为斜边），三个角为∠A，∠B，∠C。 二、解直角三角形的核心依据 1.三边关系(勾股定理) 2.角的关系 3.边角关系(锐角三角函数) 三、可解的4种基本类型 已知条件 解题步骤 1. 已知斜边c和一个锐角A ①求；②求；③求 2. 已知一条直角边a和锐角A ①求；②求；③求 3. 已知斜边c和一条直角边a ①求；②求，得∠A；③求 4. 已知两条直角边a，b ①求；②求，得∠A；③求 四、非直角三角形的处理方法 如果题目给的是斜三角形(没有直角),需要先构造直角三角形： 1.作高法：过一个顶点作对边的高，把斜三角形分成2个直角三角形。 2.利用特殊角：若有30°，45°，60°等特殊角，优先在这些角处作高。 3.方程思想：设未知边长，利用勾股定理或三角函数列方程求解。 1.（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，． (1)求证：； (2)点E在边上，满足．若，，求的长及的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键． （1）直接根据矩形的判定证明即可； （2）先利用勾股定理结合矩形的性质求得，．进而可得，再根据等腰三角形的判定得到，过点O作于点F，根据等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求得，，，然后利用正切定义求解即可． 【详解】（1）证明：因为四边形是平行四边形，且， 所以四边形是矩形． 所以； （2）解：在中，，， 所以， 因为四边形是矩形， 所以，． 因为，所以． 过点O作于点F，则， 所以， 在中，， 所以． 2.（24-25九年级下·湖南衡阳·月考）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．5 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，过点作，分别解，即可得出结果． 【详解】解：过点作，如图 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 故选B． 3.（25-26九年级上·湖南·月考）如图，在四边形中，，、相交于点，，且，若，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理，全等三角形的性质与判定，锐角三角函数的定义，需要学生灵活运用所学知识．过点作，交的延长线于点，过点作于点，易证，从而可求出、的长度，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， 过点作于点， ，， ， 四边形是矩形， ， 在与中， ， ， ， ， 由勾股定理可知：， ， 由矩形可知：，， ， ， 故答案为：． 4.（2025·湖南岳阳·二模）如图1，先把一张矩形纸片对折两次，展开后得到三条折痕，设其中一条折痕为；如图2，再把点叠在折痕线上，得到，则：①______；②______． 【答案】 / 【分析】本题主要考查折叠的性质，相似三角形的判定与性质以及求角的正切值，由折叠得；过点作于点，则可得，设，则，求出，再证明，得出，从而可求出． 【详解】解：过点作于点，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，垂足为点，四边形是矩形， ∵是由折叠得到的， ∴； 把一张矩形纸片对折两次，展开后得到三条折痕，设，则，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 考点三 解直角三角形的应用 通用解题模板(万能步骤) 1.读题画图：画出几何图形，标注所有已知角度、边长。 2.抽象模型：将实际图形转化为一个或多个直角三角形。 3.选三角函数： ①已知斜边和角→用sin/cos ②已知角和对边/邻边→用tan 4.列方程求解：设未知数，利用三角函数或勾股定理列方程。 5.检验作答：验证结果是否符合实际意义，按要求保留小数或根号。 六、避坑提醒 概念混淆：坡度是竖直：水平，不是竖直：坡面。 角度看错：仰角/俯角是与水平线的夹角，不是与竖直方向。 方位角描述：必须以正北/正南为起点，如“北偏东”不能写成“东偏北”。 单位统一：注意题目中距离单位是否一致。 1.（2024·湖南·中考真题）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为________分米（结果用含根号的式子表示）． 【答案】/ 【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长交l于点H，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键． 【详解】解：延长交l于点H，连接，如图所示： 在中，， ， 即， 解得：． 故答案为：． 2.（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）由题意可得，．从而得出，根据即可求解． （2）根据，得出．由（1）得．则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出．再根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可得，． ． ． （2）解：， ． 由（1）得． ． 又， ． 在中，，， ， ． ． ， ． ． ∴景点C与景点D之间的距离为． 3.（2025·湖南·中考真题）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． (1)如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】(1)14分米 (2)2分米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）可证明四边形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过点E作于H，延长交于T，则四边形是矩形，可得；解求出的长，进而求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，分米， ∴分米， ∴分米， ∴分米， 答：该连衣裙的长度为14分米； （2）如图所示，过点E作于H，延长交于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，，， ∴分米， 分米， ∴分米， ∴分米， 分米， ∴分米； 答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为2分米． 4.（2024·湖南·中考真题）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求线段和的长度： (2)求底座的底面的面积． 【答案】(1)7米；3米 (2)18平方米 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解； （2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积． 【详解】（1）解：∵，的长为4米，， ∴， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； （2）过点A作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴底座的底面的面积为：平方米． 命题点一 实数的分类 ►题型01 求角的正弦值、余弦值、正切值 【典例1】（2025九年级上·湖南·期末）在中，，，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正弦，根据正弦函数的定义，在直角三角形中， 等于的对边与斜边的比值． 【详解】解：如下图所示， 在中，，斜边为，的对边为， ． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·湖南武冈·月考）在中，，，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，已知一个锐角的三角函数，求它的余角的三角函数；在直角三角形中根据锐角三角函数的定义即可求解. 【详解】解：∵在中，，， ∴， 设，则， ∴， ∴. 故选：D． 【变式2】（2025九年级下·湖南常德·开学考试）某款网红“不倒翁”的示意图如图所示，、分别与优弧所在的圆O相切于点A、B，连接并延长交优弧于点M．若该圆的半径为4，，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形的应用，连接，，利用切线的性质可得，从而利用证明，然后利用全等三角形的性质可得，再利用圆周角定理可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用锐角三角函数的定义求出的值，即可解答． 【详解】连接，， ∵、分别与优弧所在的圆O相切于点A、B， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【典例2】（25-26九年级上·湖南岳阳·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握定义是解题的关键．先根据正切的定义得到，则可设，，利用勾股定理得到，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：，， ∴， 设，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作交于，交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题． 【详解】解：如图，作交于，交圆弧于， 由题意：， 设，由， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在矩形中，E是边上的一点，将沿BE折叠得到，点F刚好落在边AD上，H、G分别是边上一点，已知，，，，连接HE、HG，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，余弦函数．利用折叠的性质结合勾股定理求得，利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，且，再利用余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 连接，作于点， ∴四边形是矩形，由折叠的性质得，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 【典例3】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）如图，平行四边形中，，，，与的平分线，交于点，连接，则的值为________． 【答案】 【分析】作于，根据四边形是菱形，，，得到，，，从而得到，，然后利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：作于， 四边形是平行四边形， ． ． 是角平分线， ． ． ． 同理． ． 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． ，， ，，， ， ，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，求角的正切值，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，是的弦，交于点E，连接，且；若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理和垂径定理以及求角的正切值，由圆周角定理得，而，可得，得出，即为的中点，得出，，由勾股定理得，从而可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）明朝李梦阳的《送人赴举》诗“宝剑动连星，金鞍别马鸣．持将五色笔，夺取锦标名．”这首诗鼓励考生们拿起五彩妙笔，在考试中取得理想的成绩，金榜题名‌‌．今有陈老师选用代表六合、六顺的正六边形“金榜题名”文具礼盒祝福孩子们妙笔生花，中考胜利！如图（a）是陈老师在中考前送给班内孩子们的单个正六边形文具礼盒，如图（b）是全班礼盒靠墙创意摆放的主视图．请聪明好学的你算出与地面所成的的正切值是____________ ． 【答案】 【分析】本题通过古今送考情境来考查解直角三角形及正多边形的综合应用，作出辅助线发现每个正六边形的规律是解题关键． 作于点H，根据正六边形求出相关边长即可． 【详解】解：设每个正六边形的边长为， 根据题意得：为等边三角形，则正六边形的半径为，边心距为， 作于点H，则可观察求得，    ， 在中，． 故答案为：． ►题型02 已知正弦值、余弦值、正切值求边长 【典例1】（2025·湖南株洲·一模）在中，，则的长为（   ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的应用．根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A 【变式1】（2025·湖南长沙·二模）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的菱形的边长大约在（   ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，如图，过点作于点C，根据平行线的性质得到，利用正弦的定义求出，再根据无理数的估算，估算出，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于点C， 根据题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴重合部分构成的菱形的边长大约在到之间． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在中，是边上中线，，， (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)14 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算以及勾股定理，熟练掌握相关知识为解题关键． （1）由可得，根据勾股定理可得的长，进而求得的长； （2）根据是边上的中线可得的长，由可得的长，根据勾股定理可得的长，再根据三角函数的定义解答即可． 【详解】（1）解：，, ， ， ， ； （2）是边上的中线， ， ， ， ， ． 【典例2】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系和勾股定理．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先根据锐角三角函数的边角间关系，可求出的长，再用勾股定理求出的长． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：3． 【变式1】（24-25九年级下·湖南·期末）如图，四边形内接于，点O在上，，过点C作的垂线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：为的切线； (2)若G为位于上下方的一点，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，，由推出，由得到，进而得到，再利用平行线的性质推出，再根据切线的判定定理即可证明； （2）连接，根据平行线的性质以及同弧所对的圆周角相等得到，得到，设的半径为，在中利用余弦的定义列出方程，求出的值，由是的直径，得出，，最后在中利用余弦的定义即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，， 解得：， ∵是的直径， ∴，， ∵在中，， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·湖南常德·期末）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为： 现已知在中，，， ，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，新定义，解题关键是理解新定义．把，， ，代入，得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：∵，， ，， ∴ 即 化简整理得： 解得：，（舍去）， 即， 故选：B． 【典例3】（2025·湖南·一模）如图，中，， ，于D，E是的中点，的延长线交的延长线于F，若，则______． 【答案】12 【分析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，即，则，，证明，则，由，可得，解得，，设，则，，，，则，即，计算求解的值，进而可求的值． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵，是的中点， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得，， 设，则，，，， ∴，即，解得， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查正切，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，相似三角形的判定和性质，灵活应用以上知识点是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，直线过点，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的定义，过作轴于点，由，则，，然后根据正切的定义即可求解，掌握三角函数的有关定义是解题的关键． 【详解】解：过作轴于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南娄底·一模）在中，，D是的中点，E是的中点，过A点作交的延长线于点F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为40，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，则，又由得到四边形是平行四边形，在中，，D是的中点，由直角三角形斜边上中线的性质得到，即可得到结论； （2）连接交于点O，由四边形是菱形得到，，由得到四边形是平行四边形，则，由得到，得，由菱形的面积为40得到，即可得到，，进一步得到，由勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，D是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）连接交于点O，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵菱形的面积为40， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴菱形的周长是． 【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． ►题型03 已知正弦、余弦、正切在网格中的应用 一、网格里求三角函数的核心思路 方格图中，角的顶点通常在格点，求sinα、cosα、tanα只有一句话： 把角放进直角三角形里，用“横、竖、斜”三数直接算。 二、万能四步法(所有题通用) 1.找到角α：看清角的顶点、两条边。 2.在角的一条边上取一个格点：向另一条边作垂线，构造直角三角形。 3.数格子算三边长 ①水平段：横向格数→邻边 ②竖直段：竖向格数→对边 ③斜边：用勾股定理算： 4.套定义 【典例】（2025·湖南湘西·模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，连接BO并延长与圆O交于点D，则BD是圆O的直径，然后由同弧所对的圆周角相等得到∠ADB=∠ACB，求出cos∠ADB即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接BO并延长与圆O交于点D，则BD是圆O的直径， ∴∠BAD=90°， ∴由题意得可得AD=2，AB=4， ∴ ∵∠ADB=∠ACB， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理与网格问题，求余弦值，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接CE，可得，根据勾股定理求出，在中，根据锐角三角函数求出即可． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得：， ∴，即， ∴， ∵根据图形可知：， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，注意直角． 【变式2】（24-25九年级下·湖南长沙·月考）如图所示，在矩形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正切的定义，作交于，由题意可得，，，再由正切的定义计算即可得解． 【详解】解：如图，作交于， ， 由题意可得：，，， ∴， 故选：B． 命题点二 特殊的锐角三角函数 ►题型01 特殊的锐角三角函数值混合运算 万能解题步骤(一步都别乱) 第1步：先把所有三角函数换成数值 看到sin30°、cos45°、tan60°，立刻替换成数字/根式，不要边算边代。 第2步：按运算顺序计算 1.先算乘除，后算加减 2.有括号先算括号里 3.有平方、绝对值、零指数、负指数，先算这些 第3步：统一分母，合并根式 ①有分数就通分；②根式要写成最简二次根式；③结果写成：整式+最简根式 第4步：检查符号 减号、负号、括号前是负号要变号 别把sin、cos、tan再带回去 【典例】（25-26九年级上·湖南益阳·月考）计算 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算的能力，掌握特殊角度的三角函数值是解题的关键． 先代入特殊角的函数值计算乘法，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·月考） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算．先利用负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质化简，再合并，即可求解． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26九年级上·湖南郴州·月考）计算：． 【答案】 0 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解答本题的关键是要熟记特殊角的三角函数值．可先把各角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3】（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查零指数幂，负整数指数幂及特殊角的三角函数值，准确的计算是解决本题的关键． 根据零指数幂，二次根式的性质，负整数指数幂及特殊角的三角函数值直接求解即可得到答案． 【详解】解： ． ►题型02 由锐角三角函数求锐角 【典例】（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）中，如果，满足，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，先根据非负数的性质得，，然后根据特殊角的三角函数值求出，，再根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ，， ，， ． 故选：B． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）在中，、为锐角，且，是方程的实数根，则这个三角形是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】首先进行对方程求解，再根据，的值运用三角函数以及题目中所强调的、为锐角进行度数转换，最终判断三角形形状. 【详解】由题得，解得==；因为，的值是方程的实数根；所以；又因为、为锐角，所以=30=60，则该三角形为直角三角形. 故答案选B. 【点睛】本题主要考查了对于一元二次方程的求解以及基础三角函数与度数的转换，熟练掌握并仔细斟酌题意即可. 【变式2】（2025九年级上·湖南郴州·月考）若tan(a+10°)=1，则锐角a的度数是（    ） A．20° B．30° C．35° D．50° 【答案】C 【分析】根据特殊角的正切三角函数值即可得． 【详解】，且为锐角， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角的正切三角函数值，熟记特殊角的正切三角函数值是解题关键． 【变式3】（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解： ，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． ►题型03 锐角三角函数的增减性 锐角三角函数的增减性——解题思路(中考必考、超清晰) 一、先记死结论(0°～90°之间) 1.sinα:角越大，值越大(单调递增) 2.cosα:角越大，值越小(单调递减) 3.tanα:角越大，值越大(单调递增)一句话口诀： 正弦正切越大越大，余弦越大越小。 二、解题通用思路(所有题都这么做) 1.比较两个三角函数值大小 步骤： 1.看是不是同一种函数(都是sin、都是cos、都是tan) 2.看角度是不是都在0°～90° 3.直接用增减性判断： ①sin/tan：角大→值大；②cos：角大→值小 2.已知函数值大小，判断角度大小 思路反过来： ①若sinA>sinB→∠A>∠B ②若tanA>tanB→∠A>∠B ③若cosA>cosB→∠A<∠B 【典例】（2025九年级上·湖南株洲·期末）锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　） A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60° 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴45°﹤α﹤90° ∵，且 ∴0°＜α＜60° ∴45°＜α＜60°． 故选：B． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键． 【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】解： ， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． 故选：D． 【变式2】（2025·湖南湘潭·三模）已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余弦函数值的变化，根据余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小．因此，在到的区间内，当取最小值时，取得最大值． 【详解】解：在锐角范围内，余弦函数的值随角度的增大而减小．已知，当取最小值时，即，的值最大，即最大值为． 故选A． 命题点三 解直角三角形 ►题型01 解直角三角形与勾股定理 【典例】（2025·湖南·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数，正确进行计算是解题关键．过点、作轴的垂线，垂足分别为、，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作，过点作轴，垂足分别为、， ， 设，则， 点， ， ，（负值舍去）， 点的坐标是， ，， ， ，， ， 点的坐标是， 点落在反比例函数上， ， 故选：B． 【变式1】（2025·湖南长沙·二模）如图，在菱形中，于点E，，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，菱形的性质，解直角三角形得到，设，则；由菱形的性质可得，，则，，再根据正切的定义求出即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在中，，点D在边上，连接．若，，，则线段的长为_______．    【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理，解直角三角形；设，根据勾股定理求出，得到，结合题意求出，解得，代入计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴设， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． ►题型02 解直角三角形与尺规作图综合 【典例】（2025-2026九年级上·湖南·月考）如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，连接交于D，交于E，连接，若，则的长为____________． 【答案】2 【分析】根据，设，由线段垂直平分线的性质得，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴在中，， 设， 由作图方法可知垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、线段垂直平分线的性质和尺规作图、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，以点B为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点G，连接并延长交于点D． (1)求证：平分； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可根据角平分线的尺规作图知，然后证明与全等进而证明平分． （2）根据条件和（1）中结论可先求出和的度数；然后在和中，利用直角三角形的边角关系求出、的长度，最后根据代入对应数值即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 由作图知，， 在与中， ， ， 平分． （2）过点D作交于点H． ， ， 平分， ， 在中，， 在中，， ． 【变式2】（2025·湖南永州·二模）如图，在四边形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E．若，，，则的长为______． 【答案】1 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理及角平分线的尺规作图，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理及角平分线的尺规作图是解题的关键；连接，交于点F，由题意易得，则有，，然后可得，，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，交于点F，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， 由作图可知：平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为1． ►题型03 解直角三角形中求线段长度 【典例】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点．，分别是边和对角线上的点，连接，，且， (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，求． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）分别证明，即可得到结论； （2）证明，设，则，则，结合可得答案. （3）设，，则，利用，可得，，结合在矩形中，，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， ， ∵， ， ， 又，，， ， ． （2）解：， ∴， 设，则，则， ， ， ∵， ． （3）解：， 设，，则， ， ， ， ， ， 又在矩形中，， ， ． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键. 【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，平行四边形的对角线，交于点，于点，点在延长线上，且， (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形及勾股定理； （1）根据平行四边形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）解直角三角形得到，由矩形的性质得到．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：如图，连接， 在中，，，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，，以的中点为圆心、为半径的圆交于点，点是的中点，连接，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． (3)求证：． 【答案】(1)与⊙相切，理由见解析； (2)； (3)证明见解析 【分析】本题主要考查圆的切线判定、三角形中位线性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的应用． （1）要判断与⊙的位置关系，需证明，通过证明三角形全等得到即可； （2）利用三角函数的定义和三角形中位线性质，结合已知条件求出的长度，进而得到的长； （3）通过证明三角形相似得到对应边成比例，结合中位线性质完成等式推导． 【详解】（1）解：连接，． ∵为⊙的直径， ∴． ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， 又∵是⊙的半径， ∴是⊙的切线； （2）解：∵是的中点，， ∴． 在中，， 解得． ∵是的中位线， ∴； （3）解：由（2）知是的中位线， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式3】（2025·湖南永州·二模）如图，与都是等边三角形，且B，D，E三点共线，交的延长线于F． (1)求证：①； ②四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据等边三角形的性质和等式的性质可得出，，，然后根据证明即可； ②根据全等三角形的性质得出，根据三角形外角的性质以及角的和差关系可得出，则，根据平行线的判定得出，然后根据平行四边形的判定即可得证； （2）过E作于，设与相交于O，根据正弦的定义求出，，可得出，，设，则，， ∴，根据全等三角形的性质得出，证明，求出，则，解方程求出，然后根据平行四边形的性质求出，最后根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：①∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过E作于，设与相交于O， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程等知识，明确题意，寻找合适的相似三角形求解是解题的关键． 命题点四 解直角三角形的实际应用 ►题型01 仰角俯角问题 仰角、俯角问题——中考万能解题思路(一步不丢分) 一、先搞懂两个概念 ①仰角：从水平线往上看，视线与水平线的夹角 ②俯角：从水平线往下看，视线与水平线的夹角 共同点：都和水平线形成直角三角形! 二、解题核心思路 所有仰角俯角题，本质只有一件事： 构造直角三角形→找水平/竖直边→用三角函数/勾股。 三、标准解题四步走 1.画图，标已知 ①标出：仰角/俯角、高度、水平距离 ②找出：直角(水平线工竖直线) 2.把角“搬”到直角三角形里 ①仰角：在下方的直角三角形里 ②俯角：利用平行线内错角相等，转化到下方的三角形里→俯角=底下的仰角 3.认准三角函数 ①已知/求：对边+邻边→用tan(最常用) ②已知/求：对边+斜边→用sin ③已知/求：邻边+斜边→用cos 4.列方程→计算→写答 【典例】（25-26九年级上·湖南郴州·月考）如图，在综合与实践活动课中，小明要利用测角仪测量塔的高度，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上，小明在观景台C处测得塔顶B的仰角为，在观景台D处测得塔顶B的仰角为． (1)求观景台的高度； (2)求塔的高度．（，结果取整数） 【答案】(1)观景台的高度为 (2)塔的高度约为 【分析】（1）利用正弦求解； （2）构造直角三角形，假设未知数，利用锐角三角函数进行求解． 【详解】（1）解：在中，， 因此， ∴， 答：观景台的高度为； （2）解：如图，过点D作，垂足为F． 则， ∴四边形为矩形． ∴， 在中，，因此， ∴， 在中，，设塔高， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 解得：， 答：塔的高度约为． 【点睛】重点掌握锐角三角函数． 【变式1】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）坐落于长沙橘子洲头的毛泽东青年艺术雕塑，以1925年青年时期毛泽东形象为艺术原型，突出表现伟人青年时代胸怀大志，风华正茂的气概，该雕塑通过伟人文化为名洲增色，是红色之洲的代表作．某校九年级学生在数学实践活动课时对该雕塑的高度进行了测量．如图，在点C处用测角仪测得雕塑顶部A的仰角为，向远离雕塑的方向走到达点D处，在点D处测得雕塑顶部A的仰角为．已知测角仪距地面的高，求雕塑的高度约为多少米？ (结果精确到．参考数据∶，，)． 【答案】雕塑的高度约为32米 【分析】设的长为，分别解和，求出的值，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解∶由题意可知，，四边形和四边形都是矩形， ∴， 设的长为， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 即，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴． 答∶雕塑的高度约为32米． 【变式2】（2026·湖南长沙·一模）烈士公园纪念塔1958年建于今东风路湖南烈士公园内，由块白玉石和花岗石砌成，雕栏刻柱，翠绿琉璃瓦塔顶，威武雄伟．为测量纪念塔的高度，数学建模小组同学先在该纪念塔附近一栋楼房的底端点处观测纪念塔顶端处的仰角是，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端点处观测纪念塔底部处的俯角是．已知楼房高是，求： (1)楼房与纪念塔底部距离的长（保留根号）； (2)该纪念塔的高度．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1) (2)该纪念塔的高度约为59米． 【分析】（1）根据正切的定义即可求出答案； （2）根据正切的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：∵顶端点处观测纪念塔底部处的俯角是， ， 在Rt中，， （2）∵在一楼房的底端点处观测纪念塔顶端处的仰角是， 在Rt中，， ． 答：该纪念塔的高度约为59米． 【变式3】（25-26九年级下·湖南长沙·月考）为监测湘江水位变化及沿岸地形，测绘人员在长沙橘子洲头操控一架无人机进行高空测量．如图，无人机在湘江上方距水面的处，测得南岸点与北岸点的俯角分别为和，已知三点共线（点为在水平面上的垂直投影），且．求观测点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】 【分析】先利用俯角的定义，将无人机观测的俯角转化为地面直角三角形的内角，再结合已知的垂直高度，分别在和中，通过等腰直角三角形性质和三角函数求出的长度，最后用得到两点间的距离． 【详解】解：已知，， 无人机在处观测的俯角分别为和， 在中：，， ∴ 在中：，， ∴，即， 解得：， ∴． 答：观测点之间的距离为． ►题型02 方位角问题 方位角问题(解直角三角形)解题思路 一、先记住2个关键点1.方位角：以正北、正南为基准，向东/向西偏多少度。2.所有方位角题，本质都是：画南北、水平线→造直角→解直角三角形。如：北偏东30°、南偏西45°。 二、万能解题步骤(满分思路) 1.画标准图 ①每个观测点都画：十字线(正北、正南、正东、正西) ②标出：方位角、已知边长、所求边长。 2.把方位角“转化”到直角三角形里 南北线水平线→一定有直角 利用：互余、内错角、平行线性质，把题目给的方位角变成直角三角形里的内角。 3.认准用哪个三角函数 方位题几乎全用tan： 已知角和一边→求另一边 两个直角三角形就联立/加减 4.计算+写答 ①特殊角直接代值 ②结果保留根式或按要求近似 【典例】（25-26九年级下·湖南长沙·开学考试）如图，正在执行巡航任务的海警船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海警船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】(1) (2)海警船继续向正东方向航行安全 【分析】（1）作交的延长线于点，利用平行线的性质和角之间的关系，计算即可； （2）设海里，利用三角函数可得海里，海里，列出方程，求出，从而可得，与25比较即可求解． 【详解】（1）解：如图，作交的延长线于点， 由题意可知，，，，， 则， ，， ； （2）海警船继续向正东方向航行安全，理由如下， 设海里， 在中，，即， 则海里， 在中，，即， 则海里， （海里）， ， 即，解得， ， 海警船继续向正东方向航行安全． 【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令要分别途经海上观测点和，并最终到达处执行任务．在观测点的西北方向且在观测点的西南方向海里处，观测点在观测点的正北方向，目的地在观测点的北偏东方向且在观测点的北偏东方向． (1)求的距离． (2)求的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)海里 (2)海里 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，含角的直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1）根据方向角的定义得出，，，利用三角函数的定义求出，利用外角的性质得出，根据等角对等边即可得答案； （2）过点作于，根据三角函数求出海里，再根据，含角的直角三角形的性质求出的长即可． 【详解】（1）解：如图所示： 题意可得，，（海里）， ∴ ∴（海里）， ∵目的地在观测点的北偏东方向且在观测点的北偏东方向， ∴，， ∴， ∴， ∴（海里）． （2）解：如图，过点作于， ∵，海里 ∴（海里）， ∵， ∴（海里）． 【变式2】（25-26九年级上·湖南常德·月考）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行10千米到达点C处，此时点C位于点B的北偏东． (1)求此时渔船距离直线的距离（结果保留根号）． (2)渔船到达点C后，按原航向继续航行一段时间后，到达点D等待补给，此时渔船在点B的南偏东的方向．在渔船到达点D的同时，一艘补给船从点B出发前往D处，请问补给船行驶的距离的长度．（参考数据：） 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）过点作于，由锐角三角函数可求的长，即可求解； （2）过点作于，解直角三角形求出的长，进而求出的长，进而可求出的长． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 由题意可得：（千米）， ， （千米）， 答：此时渔船距离直线的距离为千米； （2）解：如图，过点作于， 由题意可得：， ，， （千米），（千米）， 千米， ， 千米， ， （千米）， 答：补给船行驶的距离的长度约为千米． 【变式3】（2025·湖南长沙·三模）钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测，现有关部门想测量钓鱼岛东西两端的距离．制定测量方案如下表： 测量项目 测量钓鱼岛东西两端点之间的距离 测量过程 【步骤一】中国一艘海监船从点沿正北方向巡航，测得其航线距钓鱼岛（设，为该岛的东西两端点）最近距离为12海里（即海里）： 【步骤二】在点测得岛屿的西端点在点的东北方向； 【步骤三】海监船航行4海里后到达点，测得岛屿的东端点在点的北偏东60°方向（其中，，在同一条直线上）． 根据以上内容，解决问题： (1)求出之间的距离； (2)求出钓鱼岛东西两端点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)8海里 (2)海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形解决问题， （1）在中得出海里，进而求得海里即可； （2）在 中，根据正切的定义求得，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， 海里， 海里， 答：之间的距离8海里； （2）解：在中，海里． ∴ （海里） ∴（海里）． 答：钓鱼岛东西两端点之间的距离为海里． ►题型03 坡度坡比问题 坡度、坡比问题(解直角三角形)解题思路。 设坡面的铅直高度为h,水平宽度为l,坡角为α。 1.坡比(坡度)i 2.坡角α 坡面与水平面的夹角。 3.坡面长度 【典例】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． (1)求攀登难点N的高度（即的长）； (2)求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）解，即可得攀登难点N的高度； （2）过点作交于点，交于点，由矩形的判定和性质，可得，，由已知结合等腰三角形的判定可得，设米，可得米，米，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，米，， ∴（米）， 故该攀登难点N的高度为米． （2）解：如图，过点作交于点，交于点， 又， ∴四边形是矩形． ∴，， 设米，则米， ∵在中，， ∴米，米， ∵在中，， ∴， 又米，米， ∴， 解得． 故观察点B的铅直高度为米． 【变式1】（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）材料题： 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 某小区为解决“停车难”这个问题，一楼地面改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，，长． 材料2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，图3中摄像头点位于点正上方，三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据：，，） 解决 问题 （1）求坡面的坡比． （2）如图3，当时，求长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了坡度的计算以及三角函数： （1）根据坡度的定义，直接计算； （2）作于点，利用三角函数关系求出． 【详解】解：（1），，， ． 故坡面的坡比为． （2）作于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 即， 解得：， 则． 【变式2】（25-26九年级上·湖南·月考）某校九年级数学活动小组开展了“古塔高度的测量”项目式学习，形成了如下报告． 活动背景 文峰塔（俗称镇龙塔）坐落于湖南省境内，承载着深厚的历史文化底蕴与科学实践价值，其精湛的建造技艺与独特的风水文化象征（如“青云得路”“文光射斗”等门额题刻）体现了古人对自然与人文和谐统一的追求． 活动主题 测算文峰塔的高度 测量工具 无人机，测角仪，计算器等 测量数据 1．小山坡的坡比为； 2．从点到点上升的高度为3米； 3．处测得塔顶的仰角为； 4．无人机从地面沿竖直方向飞行到达点处； 5．在处测得塔角的俯角为，测得坡底处的俯角为．（点，在同一水平线上） 测量示意图 任务1 （1）求的距离；（结果精确到1米） 任务2 （2）求文峰塔的高度．（结果精确到0.1米） 参考数据 ，，，， 【答案】(1) 的长为；(2) 的长为 【分析】本题考查解直角三角形，三角函数，矩形的判定与性质，坡度，掌握知识点是解题的关键． （1）过点P作于点F，先推导出，，，求出，则，即可解答． （2）过点A作于点C，于点M，推导出四边形为矩形，得到，继而推导出，求出，，再由，求出，则，即可解答． 【详解】解：过点P作于点F，如图 由题意及图，得 ， ， ， ∴， ∴． 答：的长为． （2）过点A作于点C，于点M，如图， 有， ∴四边形为矩形， ∴， ∵小山坡的坡比为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：的长为． ►题型04 跨学科类问题 【典例】（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】第一步：利用激光笔在出发射一束光线，入射光线与水槽（水平放置）内壁的夹角为；容器中不装水时，光斑恰好落在处，第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】如图，点在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)______；______； (2)求之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1)10，45 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由是的中点，即可求出，再根据直角三角形的性质即可求出； （2）根据等腰三角形的性质和判定求出，利用锐角三角函数求出长，根据即可得解． 【详解】（1）解：由题意知，，，， 是的中点， ， ， ； （2）解：， ， ， 在中， ， ， ， 之间的距离为． 【变式1】（24-25九年级下·湖南娄底·期中）项目式学习 【问题背景】学校为更高效地组织学生开展综合实践活动，引进了新的测量工具——激光测距仪，具有技术难度低、成本低等特点．实践小组模拟真实测量场景，研究其使用方法． 【实践过程】 测距方法 激光三角法测距通过测量激光照射点在相机中的成像位置获得信息，如图，激光器从点处发射一束激光以一定的角度照射到被测目标表面的点处，在点处发生反射或散射，光线经过凸透镜的光心照射在感光耦合组件上的点处；当被测目标沿激光方向移动至点处时，反射或散射后的光线经过凸透镜的光心照射在上的点处． 测量数据及其他信息 ①已知，； ②过点作于点，测得，，，； ③用计算器求得：，，． 【解决问题】求被测目标移动的距离．（结果精确到） 【答案】被测目标移动的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质等知识，在中，根据正切的定义求出，在中，根据正切的定义求出，则可求出，然后证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：因为，，所以． 在中，，， 所以， 在中，，， 所以， 所以， 因为， 所以， 又， 所以， 所以，即． 解得， 所以． 答：被测目标移动的距离约为． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题． 课题 探究物理实验装置中的几何测量问题 成员 组长：×××　组员：×××，×××，××× 实验工具 木块、测角仪、皮尺、摄像机等 测量方案 示意图 方案一 (已知 方案二 (已知 说明 点为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处，由静止开始沿斜面下滑，点为小车从斜面到达水平面的位置，点为木块的位置 测量 方案一 米，， 方案二 米，， 请选择其中一种方案计算出摄像机机位到小车行驶轴线的竖直距离．(结果精确到米，参考数据：，，) 【答案】米． 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，把实际问题抽象为数学问题是关键；选择方案一：设米，在中，有；在中，有，由此建立方程，求得，即可求得的长；选择方案二：设米，在中，有；在中，有，由此建立方程，求得，即可求得的长； 【详解】解：选择方案一，设米，则米． 在中，， 米． 在中，， 米， ， 解得， 米． 选择方案二，设米，则米． 在中，， 米． 在中，， 米， ， 解得， 米． 【变式3】（2025·湖南·一模）如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度，烧杯高度，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分，且，漏斗管位于烧杯的上方部分，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点处，，玻璃棒长度为． （结果精确到） (1)求漏斗口处点到底座的高度； (2)某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为，求此时玻璃棒顶端点到桌面的距离． （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）由题意可知，，延长交，则，在中， ，根据题意可知点到底座的高度等于，即可求解； （2）过点作，交于，过点作，由题意可知，，在中，，由题意可知，在中，，此时玻璃棒顶端点到桌面的距离为，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，， 延长交，则， 在中，，则， ∴， ∴点到底座的高度； （2）过点作，交于，过点作， 由题意可知，， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， 此时玻璃棒顶端点到桌面的距离为， 即玻璃棒顶端点到桌面的距离为． 突破一 解直角三角形的实际应用综合 【典例】便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，如表是此活动的设计方案． 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 经历项目化学习的过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为数学问题 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度 方案设计 工具 桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等 实物图展示 示意图 状态一（空水桶） 状态二（水桶内加一定量的水） 说明：C为的中点 … … 请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题： (1)该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是________． A．三角形具有稳定性    B．两点确定一条直线    C．两点之间线段最短 (2)在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，，，请计算此时水桶下降的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1)A； (2)此时水桶下降的高度为8 【分析】本题考查了三角形的稳定性，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解答本题的关键． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）先证明是等腰直角三角形，再在中利用锐角三角函数的关系即可求解． 【详解】（1）综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性． 故选A． （2）如图： 根据题意知，，是的中点， ， ， 设，则， 在中， ， ，即， 解得， ， 答：此时水桶下降的高度为8． 【变式1】随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，) (1)如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长．结果精确到） 【答案】(1)端点距离地面的高度约为； (2)的长约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知易得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意得，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 端点距离地面的高度约为； （2）解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 答：的长约为． 【变式2】综合与实践：如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上． 【操作原理】如图2是桔槔的示意图，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里． 【已知数据】如图2，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面． 【问题解决】根据以上操作原理和已知数据，解答下列问题： (1)当水桶在井里时，， ① ． ②求此时支点O到小竹竿的距离（结果精确到）． (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】(1)①；②此时支点O到小竹竿的距离约为2.6米 (2)点A上升的高度约为0.9米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意； （1）①由题意易得，然后根据平行线的性质可进行求解；②过点O作于点G，由题意易得，然后根据三角函数可进行求解； （2）设交于点H，由题意得，，，米，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为； ②过点O作于点G，如图所示： ∵米，O为的中点， ∴， ∴； 即此时支点O到小竹竿的距离约为2.6米； （2）解：如图，设交于点H， 由题意得，，，米， ∴， 在中，（米）， ∵米， ∴（米）， ∴点A上升的高度约为0.9米． 【变式3】2025年春晚的机器人舞蹈《秧》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精准动作，并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注．某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人的动作进行研究，制作出一部动画作品． 活动主题 机器人舞蹈动画制作 活动流程 如图1，小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频，对其动作进行逐帧分解，利用测量所得的相关数据，对机器人进行初步建模，之后利用动画软件进行制作． 分解动作模型抽象    数据测量模型建立 机器人建模模型图形绘制可抽象为如图2所示，腰部平行于水平面，上半身腰部，大腿与腰部夹角，与小腿夹角，足部与水平面夹角，，，，，所有点均在同一平面内． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题．（参考数据：，，，，，，） (1)过机器人腰部点C作垂直于水平面于点L，求机器人膝盖点F到机器人腰部点C的水平距离； (2)求机器人脖子点A到水平面的距离．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）由平行线的性质得，用三角函数解即可； （2）过点H作交的延长线于点N，交于点M，得矩形，利用三角函数解，，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 在中， ，， ， 即机器人膝盖点F到机器人腰部点C的水平距离为； （2）解：如图，过点H作交的延长线于点N，交于点M，   ，，， 四边形是矩形， ， ，， ， 在中， ，， ， 在中， ，， ， 在中， ，， ， ， ， 即点A到水平面的距离为． 【变式4】几位同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 篮球架的结构 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 篮球架（如实物图所示）的结构示意图如下：立柱垂直地面，横梁平行地面，篮筐与横梁在同一直线上，点、、在同一条垂直于地面的直线上． 测绘过程与数据信息 ①用测角仪在处测得后拉杆与水平面的夹角，在处测得伸臂与水平面的夹角； ②用皮尺测得后拉杆的长为，伸臂的长为，箱体的高度为； ③用计算器计算得到：，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到） (1)求立柱的高度； (2)已知墩墩站立时手臂举至最高处，手掌距地面最大高度为，若墩墩站在地面上想摸到篮筐，则墩墩至少跳多高才能摸到篮筐？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角函数的实际应用，矩形的判定与性质，熟练根据题意正确构造直角三角形，并熟练掌握解三角形是解题的关键． （1）在中，利用求解即可； （2）过点作延长线于点，过点作于点，延长交于点，确定四边形和四边形是矩形，利用求出，在中利用三角函数求出，则可求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵，的长为， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作延长线于点，过点作于点，延长交于点， ∵是水平线，立柱垂直地面， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵平行地面，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵手掌距地面最大高度为， ∴ ∴墩墩至少跳才能摸到篮筐． 突破二 解直角三角形与圆综合 【典例】如图1，四边形内接于，对角线，交于点P，为的直径． (1)求证：； (2)如图2，作于F，交于点E，若，，求的值； (3)如图3，分别过点B、D作的切线，过点P分别作、垂直两条切线于点M、N．已知的直径为4，令，，求y与x的关系 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再根据对顶角相等可得，即可证明； （2）由为的直径可得，设，则，利用勾股定理表示出的长，通过证明得到，表示出的长，再通过证明得到，表示出的长，最后在中利用正弦的定义即可求解； （3）延长交于点，连接、，由（1）中的结论推出，得到，通过证明得到和，根据题意即可求出y与x的关系． 【详解】（1）证明：四边形内接于， ，即， 又， ． （2）解：为的直径， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， 解得：， ，， ， ， ， ， 在中，， 的值为． （3）解：如图，延长交于点，连接、， 的直径为4， ， ， ，， 由（1）得，， ， ， 、是的切线， ，， 又，， ，，， ，， ， ， ， ， 是的直径，的直径为4， ，， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ，即， ， y与x的关系为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义，熟练掌握相关知识点，结合图形找到合适的相似三角形是解题的关键．本题属于圆综合，需要较强的几何知识储备，适合有能力解决难题的学生． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，半径为r的半圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C．直线与该半圆相切于点F，与x，y轴分别交于点G，H，过A，B两点作该半圆的切线分别交直线l于点N，D，过点C作该半圆的切线，交于点M，交直线l于点E． (1)当时，求的值； (2)连接，过点F作轴于点P，令，求四边形的面积； (3)延长，交于点K，当时，令．设，，，，求y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3)，且． 【分析】（1）计算，根据，得到，， 整理得即，得到． （2）过点D作于点Q，得到四边形是矩形，于是，得到；，根据函数的定义得到，根据切线长定理，得，结合梯形的面积计算即可． （3）设．则，根据题意，切线长定理，得，设，则，，根据勾股定理，得， 解得，，设， 得，，求得，根据（2）得，，解答即可． 本题考查了切线性质，切线长定理，三角函数的应用，勾股定理，正方形的判定和性质，梯形的判定和性质，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线与该半圆相切于点F，与x，y轴分别交于点G，H， ∴，，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵直线与该半圆相切于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点D作于点Q， ∵过A，B两点作该半圆的切线分别交直线l于点N，D， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线与该半圆相切于点F，与x，y轴分别交于点G，H，过A，B两点作该半圆的切线分别交直线l于点N，D， 根据切线长定理，得，， ∴，四边形是梯形， ∴． （3）解：切线的性质，得， 根据题意，得， ∴四边形，四边形都是正方形， ∴， ∵． ∴， 根据题意，切线长定理，得， 设， 则，， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， 设， ∴， ∴， 解得， ∴， ， ∴， 根据（2）得，， 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，且． 【变式2】如图，已知是的直径，弦于点E，点M是线段延长线上的一点，连结交于点F，连结交于点G，连结，，． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)在（2）的条件下，设，． ①求y关于x的函数表达式； ②若E为的中点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)①；② 【分析】本题考查圆的综合应用，涉及垂径定理，圆周角定理和相似三角形的性质和判定以及解直角三角形相关的内容，需要学生对这些知识点都熟悉的情况下进行综合分析思考解题． （1）利用垂径定理，圆周角定理和相似三角形的判定定理解答即可； （2）设，则，利用直角三角形相似的判定定理和性质定理求得，，，利用直角三角形的边角关系定理和（1）的结论解答即可； （3）①过点G作于点H，由（1）的结论得到，利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，则，利用已知条件得到m与x的关系，进而得到，的长度，利用已知条件化简即可得出结论； ②过点A作于点M，过点C作于点N，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质用a的代数式表示出，，利用三角形的面积公式化简运算即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是⊙O的直径，弦于点E， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴设，则． ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴． ∴， 由（1）知：， ∴； （3）解：①过点G作于点H，如图， 则． 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴． ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ②过点A作于点K，过点C作于点N，如图， ∵E为的中点，， ∴垂直平分，， ∴， ， ∵是的直径，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G． (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)求证：； (3)若BE=8，sinB=，求AD的长，    【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；（2）连接DF，证明△ABD∽△ADF，，由相似三角形的性质即可证得结论；（3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF=sinB，进而求出AF的长，再根据（2）的结论即可求得AD的长． 【详解】（1）如图，连接OD， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD∥AC， ∵∠C=90°， ∴∠ODC=90°， ∴OD⊥BC， ∴BC为圆O的切线；    （2）连接DF，由（1）知BC为圆O的切线， ∴∠FDC=∠DAF， ∴∠CDA=∠CFD， ∴∠AFD=∠ADB， ∵∠BAD=∠DAF， ∴△ABD∽△ADF， ∴， 即AD2=AB•AF； (3)连接EF，在Rt△BOD中，sinB=， 设圆的半径为r，可得， 解得：r=5， ∴AE=10，AB=18， ∵AE是直径， ∴∠AFE=∠C=90°， ∴EF∥BC， ∴∠AEF=∠B， ∴sin∠AEF=， ∴AF=AE•sin∠AEF=10×=， ∵AD2=AB•AF ∴AD=． 【点睛】本题是圆的综合题，考查的知识点有切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 突破三 解直角三角形与函数综合 【典例】直线与双曲线交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)如图，点是直线第一象限内的一点，过点作轴，垂足为点，交双曲线于点，当时，求的值； (3)如图，已知点是双曲线上一动点，连接，，若，直接写出所有满足条件的点的坐标，并选一种情况写出解答过程． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的几何应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）过点分别作轴于点，轴于点，可得，即得，得到，进而得到，即得到，，即可求解； （）分当点在的下方和上方两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质及反比例函数的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴； （2）解：如图，过点分别作轴于点，轴于点， 则， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∵轴， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：点的坐标为或，理由如下： 当点在的下方时，如图，过作于，过作轴的平行线交轴于，作于，则， ∴，， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得， ∴； 当点在的上方时，如图，过作于，过作轴的平行线交轴于，作于，则， ∴，， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线的解析式为， 由，解得， ∴； 综上，点的坐标为或． 【变式1】如图1，以点为圆心，个单位长为半径作，与x轴相交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C．二次函数的图象经过A、B、C三点，与的另一个交点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，求的值； (3)如图2，点P为第一象限内抛物线上一动点，连接与y轴交于点E，连接并延长与y轴交于点F．连接，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理、求二次函数解析式、求正切值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：过M作轴于E，过M作轴于F，连接，则，，由垂径定理、勾股定理可得，，易得，，即，，然后再运用待定系数法求解即可； （2）如图：连接，易得为等腰直角三角形可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据特殊角的三角函数值求解即可； （3）设P点坐标为，再运用待定系数法求得直线的解析式为，易得，则；同理可得；如图：过P作轴于点H，然后根据三角形面积公式即可证明结论． 【详解】（1）解：如图：过M作轴于E，过M作轴于F，连接，则，， ∴，， ∴，， ∴，， 将，，代入可得： ，解得：， ∴． （2）解：如图：连接， ∵ 为等腰直角三角形 ， ， ， ． （3）解：设P点坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴； 同理可得：， 如图：过P作轴于点H， ∴． 【变式2】如图1，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)求m的值． (2)如图2，过点D作轴于点E，连接，，． ①求的正切值． ②若点N是第三象限内抛物线上的一动点，射线上是否存在点P，使得与相似?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，②存在，点坐标分别为，，，，详见解析 【分析】（1）由抛物线的顶点得出，由与y轴交于点得出，进而即可得解； （2）①如图，过E点作交于点F，利用点的坐标和勾股定理得出的长，再利用正切的定义计算即可得解；②先确只有可能等于，再分当和两种情况讨论即可得解． 【详解】（1）解：∵点为抛物线的顶点， ∴， ∴， ∴抛物线， ∵抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点， ∴， ∴； （2）解：①如图，过E点作交于点F， 令得得，， ∴， ∵，，轴于点E， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②存在点P，使得与相似，理由如下， ∵点N是第三象限内抛物线上的一动点， ∴， ∴只有可能等于， 如图，设交轴于点， ， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 过C点作轴交直线于点， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， 当，时，此时，，过点P作轴于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图， 当时，， ∴， ∴， 过C点作轴交直线于点， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， 当，时，此时，，过点P作轴于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上所述：点坐标分别为，，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，三角函数的性质，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． 【变式3】如图，已知二次函数（a，b，c为常数，）与x轴交于点和点其中，与y轴交于点，若一次函数（，n为常数）也经过点C，且与反比例函数（，k为常数）交于点，我们不妨约定：称函数为一个“黄金组合”． (1)已知二次函数（a，b，c为常数，），一次函数（，为常数）反比例函数为一个“黄金组合”．若，，求一次函数的解析式以及和b的值； (2)已知函数为一个“黄金组合”，连接．当时，试问能否为等边三角形？判断并证明你的结论； (3)已知函数为一个“黄金组合”，当四边形是矩形，且时，求m的值． 【答案】(1)，， (2)不能，见解析 (3) 【分析】（1）将代入，可求满足要求的解为，则，，将，代入，计算求解可得，则，由题意知，，令，则，，可求，； （2）由函数为一个“黄金组合”，可得，，由，可知对称轴为直线，令，则，，，如图1，连接，作于，则，，由，可得，则，，即，可得，由，可得，；当为等边三角形时，由题意知，在抛物线的对称轴上，，，则，即，，则，即，可求，由与矛盾，进行作答即可； （3）令，则，，如图2，记的交点为，由四边形是矩形，可知，为的中点，同理（2）可得，，，即，，即，可得，则，由，，可得，将代入得，，整理得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，或（舍去）， ∴， 当时，， ∴， 将，代入得，， 解得，， ∴， 由题意知，， 令，则，， ∵， ∴，； ∴，，； （2）解：不能，证明如下； ∵函数为一个“黄金组合”， ∴，， ∵， ∴对称轴为直线， 令，则，， ∴， 如图1，连接，作于，则，， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即，； 当为等边三角形时， 由题意知，在抛物线的对称轴上，，， ∴，即，， ∴，即， 解得，， ∵与矛盾， ∴当时，不能是等边三角形； （3）解：令，则，， 如图2，记的交点为， ∵四边形是矩形， ∴，为的中点， 同理（2）可得，， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 将代入得，，整理得，， 解得，或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，一次函数与二次函数综合，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根与系数的关系，二次函数的图象与性质，二次函数与特殊的四边形综合，正切，等边三角形的性质等知识．熟练掌握考查了一次函数与反比例函数的综合，一次函数与二次函数综合，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根与系数的关系，二次函数的图象与性质，二次函数与特殊的四边形综合，正切，等边三角形的性质是解题的关键． 1.（25-26九年级上·湖南常德·期末）在Rt中，，，，的对边分别为，，，那么下列等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，需根据锐角三角函数的定义对每个选项的等式进行推导验证，判断正误即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，、、的对边分别为、、， ∵， ∴，故正确，不符合题意． ∵， ∴，而选项中，与推导结果不符，故错误，符合题意； ∵， ∴，故正确，不符合题意； ∵， ∴，故正确，不符合题意； 故选：． 2.（2025·湖南怀化·一模）若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查三角函数之间的关系，利用三角函数的互余关系，将 转化为 即可求解. 【详解】解：∵ ， ∴. 故答案为：. 3.（25-26九年级上·湖南永州·月考）下列说法中，正确的是（   ） A． B．若，则 C．若为锐角，，则 D．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的定义和性质，需根据三角函数的定义判断各选项的正确性． 【详解】解：A、三角函数的度数不能直接相加，A错误； B、α为锐角时，，所以当时，，B错误； C、，设对边为，邻边为，则斜边为，所以，C正确； D、在中，等于角A的邻边与斜边的比值，当两边都扩大5倍时，另外一条直角边也扩大了5倍，比值不变，所以不变，D错误． 故选：C． 4.（25-26九年级上·湖南郴州·月考）如图是桂新高速某一隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝，下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：在中，，， ∴，，， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 5.（2025·湖南·模拟预测）在锐角中，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方及绝对值的非负性可得，，由特殊角的三角函数值求得和，再由三角形内角和为即可解答； 【详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴在锐角中，， 故选： A； 【点睛】 本题考查了平方及绝对值的非负性，锐角三角函数，三角形内角和定理；掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 6.（2025·湖南武冈·一模）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据折叠的性质得到，然后根据同角的余角相等得到，进而得到，设，，则，，根据定理求出，，最后利用矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴解得：，负值舍去， ∴，， ∴矩形的面积． 故选：A． 【点睛】此题考查了矩形和折叠问题，勾股定理，三角形函数的运用，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 7.（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数、零指数幂和绝对值，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． 先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数、零指数幂和绝对值，再进行实数的乘法和加减运算即可． 【详解】解： ． 8.（25-26九年级上·湖南长沙·月考）综合与实践：某“综合与实践”小组开展了测量不可到达的建筑物的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间在建筑物旁边小楼房完成了实地测量，在小楼房楼底处测得处的仰角（）为，在小楼房楼顶处测得处的仰角（）为．测得的高度为（，）在同一平面内，，在同一水平面上），通过测量数据求建筑物的高？ 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用与仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 由题意可得，，，易得四边形为矩形，则、，设，则，在中解直角三角形可得，在中，，解得：，进而求得即可解答． 【详解】解：依题意，，，， 四边形为矩形， ，， 设，则， ∵在中，， ， 在中，，解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ． 9.（2025·湖南邵阳·三模）如图，两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从到有两条路可走．线路：从；线路：从．从地图上可得到以下数据：点位于的正北方向，且在的北偏西的方向；点在的东南方向，且位于的南偏西方向．(参考数据：，，，，，，，) (1)求的长度；(结果保留一位小数) (2)通过计算说明，线路和线路，哪条线路更短． 【答案】(1) (2)线路更短 【分析】（）过作于点，设，可得，，进而由得，再根据列出方程求出即可求解； （）解直角三角形分别求出的长，得到线路的路程，再计算出的长，得到线路的路程，比较即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过作于点， 由题意得，，，，，， 设， 在中，∵， ∴，， 在中，， ， ， ∴， 解得， ， 答：的长度约为； （2）解：在中，，， ， ， ∴线路路程为， 在中，，， ，， ， ∴线路路程为， ， ∴线路更短． 10.（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走了6米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点在同一水平线上）． (1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)3米 (2)（）米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，坡比和仰角问题，熟练掌握坡比和仰角的计算是解题的关键． （1）过点D作交于点G，根据坡比为，解直角三角形即可求解； （2）过点D作交于点H，设米，求出米，米，利用正切函数列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图过点D作交于点G， 由题意知：米， 斜坡的坡比为， =， ， 在中，米， 米， 则王刚同学从点到点的过程中上升的高度为3米； （2）如图，过点D作交于点H， 由题意知：，，四边形是矩形， 设的高度为x米，则米， ， 米， 在中，米， 米， 米， ， 在中，， ， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 则大树的高度为（）米． 11.实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】(1)． (2)的长度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）过点E作于点G．可得四边形为矩形，推出．根据题意得，．结合，即可求解； （2）过点B分别作于点H，于点P．可推出四边形是矩形，得∴．在中，根据，，即可求解； 【详解】（1）解：如图，过点E作于点G． ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 在中，， ∴． （2）解：如图，过点B分别作于点H，于点P． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 易知， 在中， ， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（）． 答：的长度约为． 12.（2025九年级下·湖南娄底·期中）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测它到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离，方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为；再在皮肤上选择距离B处的C处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，、，，） 【答案】新生物A处到皮肤的距离约为7cm 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点A作，垂足为，在中，得到，在中，得到，根据，进行求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． 由题意得，，， 在中，． 在中，． ∵， ∴ ∴．                                 答：新生物A处到皮肤的距离约为7cm． 13.（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，点是的内心，点是的外心，的延长线与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，的外接圆的半径为，内切圆的半径为，是否为定值，若是请求出这个定值，若不是请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是定值， 【分析】本题主要涉及三角形内心、外心的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用，掌握相关判定与性质是解题的关键． （1）通过内心的性质和圆周角定理，得到即可证明； （2）先证、，得到、，则，即，再证，即可得到； （3）连接交于点，作于点，连接，，设，分别计算得到，，再求即可． 【详解】（1）证明：点是的内心， ， 是所对的圆周角， ， 而， ， ， 为等腰三角形． （2）证明：由（1）知， 又， ， ， 又， ， ， 且为公共角， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：是定值． 连接交于点，作于点，连接，， 由（2）知， 垂直平分，点在上， 同理可证点也在上， ， ， 又， 垂直平分于点． 设，则． 由（2）得， ， ， ． ， 即， 解得， ． 在Rt中，， 又， ， ， ， ． 1．（2025·四川凉山·中考真题）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，．（参考数据：，结果精确到1米） (1)求直吊臂的长； (2)如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 【答案】(1)直吊臂的长为10米 (2)上升了5米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据，即可解，即可求解； （2）记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，可得四边形为矩形，则米，在中，由求出，再由，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，米， ∴在中，（米）， 答：直吊臂的长为10米； （2）解：记旋转后的点的对应点为，延长交于点，过点作于点，则， 由题意得：米，米， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米， 在中，米， ∴（米）， ∴货物上升了5米． 2．（2025·贵州·中考真题）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 【答案】任务一：，任务二：该活动中心移动了2米； 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用； 任务一：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，可得，四边形为矩形，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 3．（2025·青海·中考真题）数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 【答案】， 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过作于，根据等腰三角形的性质可得，结合可得答案；最后由即可得到答案. 【详解】解：数学抽象：如图，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 问题总结：∵，， ∴. 4．（2025·甘肃兰州·中考真题）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得和的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作于点H，连接，． 数据 万千米，，． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离．（结果精确到1万千米） （参考数据：，，，，，） 【答案】月球与地球之间的近似距离万千米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设万千米．在和中，分别用表示和的长，再根据万千米，列式计算即可求解． 【详解】解：设万千米． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵万千米， ∴， 整理得， 解得， ∴月球与地球之间的近似距离为38万千米． 5．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    【答案】（1）； （2），不会影响一楼的采光 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1） 根据正切的定义求出； （2）延长交延长线于点F，先根据正切的定义和的长求出，进一步求出，再使用一次正切的定义求出，根据结果进行判断即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， 在Rt中，，，， ∵， ∴， ∴楼房的高度为； （2）如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴ 在Rt中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在Rt中， ∵一楼窗户下端距离地面的高度为， ∴不会影响一楼的采光． 6．（2025·四川雅安·中考真题）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算，根据，求解即可． （2）过点作于点M，则四边形是矩形，根据，求解即可． （3）设小路的宽为，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 的宽度为， ， ． （2）解：过点作于点M， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ． （3）解：设小路的宽为， 根据题意，得， 整理，得， ， 解得，（大于16，舍去）， 答：小路的宽为． 7．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 【答案】(1)米 (2) (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米），即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴（米）； （2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米） ∵涉及安全问题， ∴（米）． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）可以，的最小值为． 【分析】本题主要考查实际情景中的数学问题，涉及解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构建直角三角形进行求解． （1）①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直接三角形求解； （2）延长交于点，先求出相关角，再利用，接着可得，延长交于点，过作交于，为保证头部不被淋湿，即，建立不等式求解即可； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时的值，再判断此时头部是否被淋湿即可． 【详解】解：（1）①由题意知，米，米， 米， 即点到地面的距离是米， 故答案为：； ②米，点为中点， 米， ， ， ， ， 在中，米， 米， 故答案为：； （2）如图，延长交于点， 则， 米， ， ， ， ， 在中，米， ， 即， 延长交于点，过作交于， 则（米），，， 为使头部不被淋湿， 所以， 解得，又， 所以； ； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，如图， 延长交于点，过作交于， 延长交于，过作交于， 则，，， ， 所以在中，，， 在中，， 所以， 在中，， 又， 所以此时头部不会被淋湿， 综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $