第05讲 一次方程(组)及其应用（复习讲义，4考点15题型4重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一次方程(组)及其应用”，覆盖方程与等式性质、一元一次方程、二元一次方程组及九大应用题型，构建“概念-解法-应用-难点”四层知识体系。通过考情剖析明确课标要求，知识导航梳理网络，考点解析通关基础，命题洞悉预测题型，助力学生系统突破。 亮点在于“真题导向+分层突破”，精选2025年长沙卷等中考真题，设计艾草香包购买等现实应用情境培养模型意识。重难突破中参数问题、整体思想等策略提升推理能力，三级练习适配不同层次。教师可依此把控节奏，学生高效提升应试技能。

第二章 方程(组)与不等式(组) 第05讲 一次方程(组)及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 方程的有关概念与等式的基本性质 题型01 方程的有关概念 题型02 等式的基本性质 命题点二 一元一次方程的有关概念及解法 题型01 一元一次方程的有关概念 题型02 一元一次方程的解法 命题点三 二元一次方程（组）的有关概念及解法 题型01 二元一次方程(组)的有关概念 题型02 二元一次方程组的解法 命题点四 一次方程（组）的应用 题型01 行程问题 题型02 工程问题 题型03 方案问题 题型04 销售利润问题 题型05 分配问题 题型06 和差倍分问题 题型07 几何问题 题型08 古代问题 题型09 其它问题 05·重难突破·思维进阶难 20 突破一 与一次方程(组)有关的参数问题 突破二 与一次方程(组)有关的错题复原问题 突破三 一次方程(组)与新定义 突破四 一次方程(组)与整体思想 06·优题精选·练能提分 24 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 方程的定义与等式的基本性质 长沙卷-T16 / 了解方程与等式的基本性质，理解等式两边同时进行相同运算（除不为0）仍保持相等。 一元一次方程的概念及其解法 / / 掌握一元一次方程的解法（去分母、去括号、移项、合并、系数化为1）。 二元一次方程(组)的概念及其解法 长沙卷T22(1) 湖南卷T22(1) 长沙卷T22(1) 湖南卷T23(1) 掌握二元一次方程组的解法（代入法、加减法），并能根据实际问题列方程组。 一次方程(组)的应用 长沙卷T22(1) 湖南卷T22(1) 长沙卷T22(1) 湖南卷T23(1) 能够从实际问题中抽象出方程（组）模型，解决实际应用问题（如价格、数量、利润、费用等）。 命题预测 结合实际问题情境，考查方程与不等式的基础知识与综合应用能力，题型以选择题、填空题和应用题为主。方程的定义与等式的基本性质：可能出现概念辨析题，重点考查等式两边同时进行相同运算（除不为零）的基本性质，以纠错或推理判断的形式出现。一元一次方程及解法：常以解方程形式出现，既有单独的方程求解题，也有结合应用题的列式求解。二元一次方程组及解法：主要以解答题的形式考查，通常作为应用题的第（1）问出现，考查从实际问题中抽象出方程组并求解的能力。一次方程（组）应用：是高频重点，常以购买、销售、工程、分配等实际问题为背景，综合考查列方程、解方程组以及结合不等式解决优化问题的能力。 备考建议 1.基础强化：熟练掌握一元一次方程、二元一次方程（组）的解法步骤，避免计算失误。 2.建模训练：多做“购买类”“分配类”应用题的列式训练，提升从实际问题中抽象出方程（组）的能力。 3.综合应用：注意二元一次方程组与一元一次不等式的结合考查。 考点一 方程的定义与等式的基本性质 1．方程:含有未知数的等式叫做方程． 2．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程． 3. 等式的基本性质 1.（2025·湖南省长沙卷·真题）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则． 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b，c为实数，且满足．那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；    ① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有；    ② 第三步：把②代入①，可得；    ③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得；  ④ 第五步：把④两边同时除以，得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第 步是错误的，它违背了数学的基本法则． 2.（2025·湖南岳阳·模拟预测）关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南邵阳武冈·模拟）下列说法中错误的是(    ) A．若a＝b，则3﹣2a＝3﹣2b B．若a＝b，则ac＝bc C．若ac＝bc，则a＝b D．若，则a＝b 考点二 一元一次方程的概念及其解法 1.一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 2.一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0） 3.解一元一次方程的基本步骤： 1.（2025·湖南邵阳武冈·压轴卷）若方程是关于的一元一次方程，则 . 2.（2025·湖南衡阳·一模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南邵阳·联考冲刺卷）解方程：． 考点三 二元一次方程的概念及其解法 1.（2025·湖南张家界·一模）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·湖南长沙·三模）已知，满足方程组，则的值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 3.（2025·湖南岳阳·一模）（1）解方程：     （2）解方程组： 考点四 一次方程(组)的应用 1.用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 1．（2025·湖南省卷·真题）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等． (1)求种材料和种材料的单价； (2)若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？ 2．（2025·湖南长沙卷·真题）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗） (1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？ (2)若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 3．（2025·湖南长沙卷·真题）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． (1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； (2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 命题点一 方程的有关概念与等式的基本性质 ►题型01 方程的解 方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程． 【典例】（2025·湖南祁阳·模拟）关于m的方程解为3，那么x的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【变式1-1-1】（2025·湖南岳阳·一模）已知是方程组的解，则的值为（  ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【变式1-1-2】（2025·湖南衡阳衡东·一模）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 【变式1-1-3】（2025·湖南·模拟预测）若关于的一元二次方程的一个实数根为2025，则方程一定有实数根（   ） A．1 B． C． D． ►题型02 等式的基本性质 利用等式的基本性质对等式变形时,应分析变形前后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式的基本性质1,发生乘除变形的依据是等式的基本性质2. 1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母. 【典例】（2025·湖南·模拟）设x，y，c是实数，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2-1】（2025·湖南·一模）已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2-2】（2025·湖南·模拟）下列方程的变形，符合等式性质的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．，得 D．由，得 【变式1-2-3】（2025·湖南湘潭·模拟预测（多选题））根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 命题点二 一元一次方程的有关概念及解法 ►题型01 一元一次方程的有关概念 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数. 2. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1. 【典例】（2025·湖南永州·模拟预测）下列各项中，是一元一次方程的是（　　） A．x﹣2y=4 B．xy=4 C．3y﹣1=4 D． 【变式2-2-1】（2025·湖南湘西·模拟）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【变式2-2-2】（2025·湖南株洲·二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【变式2-2-3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． ►题型02 一元一次方程的解法 1. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用． 2. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 【典例】（2025·湖南岳阳·模拟）方程的变形中，正确的是（    ） A．方程，移项得 B．方程，去括号得 C．方程，可化为 D．方程，可化为 【变式2-2-1】（2025·湖南益阳·模拟）若代数式的值为5，则x等于（    ） A．8 B． C．2 D． 【变式2-2-2】（2025·湖南郴州·二模）解方程：． 【变式2-2-3】（2024·湖南·二模）解方程：； 命题点三 二元一次方程(组)的有关概念及解法 ►题型01 二元一次方程(组)的有关概念 1.二元一次方程的概念:含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程一般形式:ax+by+c=0(a≠0，b≠0)。 2.二元一次方程的解:一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 3.二元一次方程方程组的概念:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组. 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 【典例】（2025·湖南·模拟）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A．B． C． D． 【变式3-2-1】（2025·湖南·模拟）若关于x，y的二元一次方程有两个解和，则的值为 ． 【变式3-2-2】（2025·湖南岳阳·二模）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【变式3-2-3】（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知关于的方程组，其中，给出下列结论：其中正确的是（   ） A．是方程组的解 B．当时，的值互为相反数 C．当时，方程组的解也是方程的解 D．若，则． ►题型02 二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 2.解“看错系数”问题的方法 看错方程组中某个方程的系数,所得的解既是方程组中看错系数的方程的解,也是方程组中没有看错系数的方程的解,把解代入没有看错系数的方程中，构建新的方程组,然后解方程组. 【典例】（2025·湖南郴州·二模）解方程组：． 【变式3-2-1】（2025·湖南·模拟预测）已知，方程3x﹣4y＝1，用含x的代数式表示y，就是y＝ ． 【变式3-2-2】（2025·湖南·模拟）解方程组：． 【变式3-2-3】（2025·湖南·模拟预测）在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么 ． 命题点四 一次方程(组)的应用 ►题型01 行程问题 （1）行程问题：路程=速度×时间． （2）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程． （3）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程． （4）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （5）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是岳麓山游览路线图，从岳麓书院到爱晚亭的路程是，从爱晚亭到祥云涧的路程是，从祥云涧到观光长廊的路程是．已知小华从岳麓书院到观光长廊游览的平均速度是，观光长廊原路返回岳麓书院的时间是． (1)用含的代数式表示： ①小华从观光长廊返回岳麓书院的平均速度是 ； ②小华从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度是 ． (2)小华从岳麓书院到观光长廊共花了，然后从观光长廊沿原路返回岳麓书院的平均速度比来时增加了，所用时间比来时快了，求的值． 【变式4-1-1】（2025·湖南·模拟预测）在古希腊，著名哲学家、数学家毕达哥拉斯和他的学生在阿提卡平原上步行相遇．毕达哥拉斯从雅典出发，向东而行，到达马拉松需要9小时，而他的学生从马拉松出发，向西而行，到达雅典需要7小时．请问他们同时出发到相遇，需要多少个小时？根据题意，假设x小时后相遇，可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式4-1-2】（2025·湖南湘西·模拟预测）我国古代著作《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之，”题意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，设快马天可以追上慢马，可列方程是（   ） A． B． C． D． ►题型02 工程问题 工程问题：工作量=工作效率×工作时间． 【典例】（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【变式4-2-1】（2025·湖南株洲·模拟预测）中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？ 【变式4-2-2】（2025·湖南·二模）为了助力乡村振兴，某乡镇政府计划对一条长3000米的乡村道路进行改造． (1)该工程原计划由甲队单独施工，工期为160天．刚开始每天施工16米，施工一段时后，甲队改进技术，施工效率提高了25％，刚好按时完工，则技术改造前甲队施工了多少天． (2)由于工期需要，该工程决定由甲、乙两队共同完成，通过工程招标，甲队获得了1800米的改造工程，乙队获得了1200米的改造工程．甲、乙两队同时开始施工，甲队每天比乙队多施工20％，结果甲队比乙队晚20天完成任务．求乙队平均每天施工的米数． ►题型03 方案问题 【典例】（2025·湖南湘潭·模拟预测）某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 12元/瓶 4元/瓶 售价 18元/瓶 6元/瓶 (1)设甲种型号的果汁有x万瓶，公司所获利润为W元，如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润． (2)“五一”黄金周期间，为扩大销量，该公司对乙种型号果汁进行优惠，优惠方案如下： 方案一：购买乙种型号果汁一律打9折； 方案二：购买168元会员卡后，乙种型号果汁一律8折． 某超市到该公司购买乙种型号果汁，请帮该超市设计出合适的购买方案． 【变式4-3-1】（2025·湖南·模拟预测）某文具店购买笔记本和钢笔预算元．笔记本5元/本，钢笔元/支，至少买4支钢笔，个笔记本，则购买方式有 种． 【变式4-3-2】（2025·湖南·模拟预测）某区教研室组织36名数学老师到一所重点中学参加教学研讨活动．计划租用8座车和4座车若干辆，要求每辆车都要坐满，则该教研室共有 种租车方案． ►题型04 销售利润问题 销售打折问题： 利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． 【典例】（2025·湖南娄底·三模）湘绣作为中国四大名绣之一，凭借其国潮经典之韵，深受国内外消费者的喜爱．某商场计划购进，两款湘绣并出售，已知两款湘绣的进价和售价如下表： 类别 价格 款湘绣 款湘绣 进价（元/件） 800 1400 售价（元/件） 980 1680 (1)该商场第一次用24400元购进了，两款湘绣共20件，求两款湘绣分别购进多少件； (2)该商场计划补货两款湘绣共30件，且购进款湘绣的数量不少于款湘绣的，则应如何设计进货方案才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式4-4-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元． (1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元? (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个? 【变式4-4-2】（2025·湖南永州·模拟预测）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2300元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高15元． (1)甲、乙两种头盔的单价分别是多少元？ (2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价5元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 【变式4-4-3】（2025·湖南长沙·三模）臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ ►题型05 分配问题 【典例】（2025·湖南岳阳·二模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问物价几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少了4钱，问该物品的价值多少钱？在这个问题中，该物品价值的钱数为（    ） A．53 B．56 C．59 D．62 【变式4-5-1】（2024·湖南·模拟预测）《九章算术》中记载了一个数学问题，其大意如下：有几个小伙伴一起去买一件物品，如果每个人出6元钱，则会少2元；若每个人出7元，则会多6元．若设人数为x人，物品的价格为y元，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式4-5-2】（2025·湖南长沙·二模）《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，求李三公家的店有多少间客房，来了多少位房客？设该店有客房间，则根据题意可列出关于的一元一次方程为： ． ►题型06 和差倍分问题 【典例】（2025·湖南·模拟预测）某班在一次美化校园的劳动中，先安排35人打扫卫生，15人拔草，后又增派10人去支援，结果打扫卫生的人数是拔草人数的2倍，若设支援打扫卫生的同学有x人，则下列方程正确的是(    ) ． A． B． C． D． 【变式4-6-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么该队胜了（   ） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 【变式4-6-2】（2024·湖南株洲·模拟预测）某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？ ►题型07 几何问题 【典例】（2025·湖南长沙·一模）如图，某小区进行项目改造：在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边； (1)求通道的宽是多少m? (2)如果通道造价为40元/，草坪造价为100元/，只考虑通道和草坪的造价，不考虑人工等其他费用的前提下，完成该项目需要多少钱? 【变式4-7-1】（2024·湖南株洲·模拟预测）某公司用n张相同的大长方形纸板分别按如图所示进行裁剪，所得的正六边形和小长方形纸板恰好能搭配成若干个有盖直六棱柱纸盒，则n 的值可能是（   ） A．140 B．150 C．160 D．180 【变式4-7-2】（2024·湖南岳阳·模拟预测）某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图1，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 的水池，且需保证总种植面积为，试分别确定，的长； (2)方案二：如图2，在Ⅰ区保留面积为 的水池且使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大总种植面积为多少？ ►题型8 古代问题 【典例】（2025·湖南·模拟预测）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-8-1】（2025·湖南益阳·模拟预测）在古代，算筹是中国传统的计算工具．《孙子算经》中有这样的记载：某工坊制作两种类型的算筹盒，大算筹盒和小算筹盒．已知2个大算筹盒与3个小算筹盒一共可容纳48根算筹，且每个大算筹盒比小算筹盒多容纳4根算筹．设每个小算筹盒能容纳x根算筹，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-8-2】（2025·湖南长沙·二模）我国古代数学问题：现有甲、乙两钱袋，甲袋装的黄金比乙袋装的黄金多6枚，从甲袋取8枚黄金放到乙袋，乙袋的黄金数量就是甲袋的三倍．设甲袋原有黄金枚，乙袋原有黄金枚，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． ►题型9 其它问题 【典例】（2025·湖南·模拟预测）用150张铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底45个，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒．问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套？ 【变式4-9-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）日历上按照以下四个选项的图框圈出了三个数，，，其中一个图框圈出的三个数的和为24，则这个图框是四个选项中的（    ） A． B． C． D． 【变式4-9-2】（2025·湖南长沙·三模）人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．如果用表示一个人的年龄，用表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么． (1)在校两名中学生的对话：甲同学：“我正常情况下在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是164次”，乙同学：“我正常情况下在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数才136次”．请你判断甲乙两名同学谁的说法是错误的?并说明理由． (2)若一个人的年龄由变为（为正整数），发现正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数减少了12，用列方程的方法确定． 突破一 与一次方程(组)有关的参数问题 【典例1】若是关于x，y的二元一次方程，且，，则的值是（　　） A． B．2 C．4 D． 【变式1】若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 【变式2】若关于的方程的解为非负整数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值可以为（      ） A．0 B．3 C．4 D．6 【典例2】关于的方程的解与的解相同，则的值为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式1】已知方程组与有相同的解． (1)求m和n值， (2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积． 【变式2】若关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 突破二 与一次方程(组)有关的错题复原问题 【典例1】复习课上，老师展示了两道解方程的题目，如表所示： 习题1 习题2 …………第一步 …第二步 …………．第三步 ……………．第四步 整理，得……………第一步 ∵，…………第二步 ，…第三步 ∴方程有两个不相等的实数根， 即第四步 (1)分别写出习题1和习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出解答过程． 【变式1】下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 【变式2】下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得， ③； 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________． 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【变式3】甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 （1）求a，b的值； （2）若关于x的一元二次方程两实数根为，，且满足，求实数m的值． 突破三 一次方程(组)与新定义 【典例】（2025·湖南株洲·模拟预测）对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（   ） A．， B．若无论取何值时，的值均不变，则 C．若，则、有且仅有组整数解 D．若对任意有理数、都成立，则 【变式1】若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【变式2】当实数，满足时，称点为和谐点，若以关于，的方程组的解为坐标的点为和谐点，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 突破四 一次方程(组)与整体思想 【典例】阅读下面材料，并完成相应的学习任务. “整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数m，n满足，求和的值. 小真：利用消元法解方程组，分别求出m，n的值后，再代入和即可. 小善：由①，得，③ 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得， 所以原方程组的解为 张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务. (1)任务一：解方程组 (2)任务二：在（1）的前提下取a，b的值，若抛物线与x轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式. 【变式1】已知关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 1.（2025·湖南衡阳·一模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·湖南长沙·三模）已知，满足方程组，则的值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 3.（2025·湖南·模拟预测）某校组织师生春游，如果单独租用45座的客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座的客车，可少租一辆，且余30个空座位，设全校师生共有人，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 4.（2025·湖南长沙·模拟）已知是关于x，y的二元一次方程，则 ． 5.（2025·湖南湘潭·模拟预测）方程组的解为 ． 6.（2025·湖南·三模）李老师正在表演一个神奇的魔术，他邀请一位同学在心里默默想一个1到9之间的整数，接着按照一系列步骤进行计算：首先将这个数字乘以2，再加上5，随后把得到的结果乘以50，然后加上1775；最后用上述计算的结果减去自己的出生年份．经过一番计算后，若这位同学报出最终运算结果是615，则这位同学心里想的整数是 ． 7.（2025·湖南张家界·一模）已知和是同类项，那么 ． 8.（2025·湖南张家界·二模）某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字． (1)如果被污染的数字是，请计算的值． (2)如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？ 9.（2025·湖南·一模）解方程组：． 10.（2025·湖南长沙·二模）近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年沈阳旅游订单（含酒店、景点门票）同比增长超．世界文化遗产故宫是热门的旅游目的地之一．某故宫文创店积极为旅游热门活动做好宣传与备货工作．已知该文创店销售甲、乙两种文创产品，每个甲种文创的进价比每个乙种文创的进价多4元；购进16个甲种文创产品和10个乙种文创产品共花费220元．文创店将每个甲种文创售价定为13元，每个乙种文创售价定为8元． (1)每个甲种文创和每个乙种文创的进价分别是多少？ (2)根据市场调查，文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创共400个，假设这400个文创能够全部卖出，请设计出总利润最大的购进方案，并说明理由． 答：总利润最大的购进方案为购进甲文创150个，乙文创250个． 11.（2025·湖南·模拟）若关于x的方程，无论k为任何数时，总是它的解，那么 ． 12.（2025·湖南·模拟）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、N点同时出发），经过 秒，点M、点N分别到原点O的距离相等． 13.（2025·湖南岳阳·一模）仔细阅读下列材料． “分数均可化为有限小数或无限循环小数”．反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数” 例如：，或，， 反之，，或，那么怎么化为呢？ 解： 不妨设，则上式变为，解得即 根据以上材料，回答下列问题． (1)将“分数化为小数”：__________；__________． (2)将“小数化为分数”：__________；__________． (3)将小数化为分数，需写出推理过程． 1.（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.（2025·四川自贡·中考真题）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（    ） A．7cm B．8 C．9 D． 3.（2025·四川眉山·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4.（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 5.（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 6.（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 7.（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ． 8.（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 9.（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 10.（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程(组)与不等式(组) 第05讲 一次方程(组)及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 方程的有关概念与等式的基本性质 题型01 方程的有关概念 题型02 等式的基本性质 命题点二 一元一次方程的有关概念及解法 题型01 一元一次方程的有关概念 题型02 一元一次方程的解法 命题点三 二元一次方程（组）的有关概念及解法 题型01 二元一次方程(组)的有关概念 题型02 二元一次方程组的解法 命题点四 一次方程（组）的应用 题型01 行程问题 题型02 工程问题 题型03 方案问题 题型04 销售利润问题 题型05 分配问题 题型06 和差倍分问题 题型07 几何问题 题型08 古代问题 题型09 其它问题 05·重难突破·思维进阶难 43 突破一 与一次方程(组)有关的参数问题 突破二 与一次方程(组)有关的错题复原问题 突破三 一次方程(组)与新定义 突破四 一次方程(组)与整体思想 06·优题精选·练能提分 56 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 方程的定义与等式的基本性质 长沙卷-T16 / 了解方程与等式的基本性质，理解等式两边同时进行相同运算（除不为0）仍保持相等。 一元一次方程的概念及其解法 / / 掌握一元一次方程的解法（去分母、去括号、移项、合并、系数化为1）。 二元一次方程(组)的概念及其解法 长沙卷T22(1) 湖南卷T22(1) 长沙卷T22(1) 湖南卷T23(1) 掌握二元一次方程组的解法（代入法、加减法），并能根据实际问题列方程组。 一次方程(组)的应用 长沙卷T22(1) 湖南卷T22(1) 长沙卷T22(1) 湖南卷T23(1) 能够从实际问题中抽象出方程（组）模型，解决实际应用问题（如价格、数量、利润、费用等）。 命题预测 结合实际问题情境，考查方程与不等式的基础知识与综合应用能力，题型以选择题、填空题和应用题为主。方程的定义与等式的基本性质：可能出现概念辨析题，重点考查等式两边同时进行相同运算（除不为零）的基本性质，以纠错或推理判断的形式出现。一元一次方程及解法：常以解方程形式出现，既有单独的方程求解题，也有结合应用题的列式求解。二元一次方程组及解法：主要以解答题的形式考查，通常作为应用题的第（1）问出现，考查从实际问题中抽象出方程组并求解的能力。一次方程（组）应用：是高频重点，常以购买、销售、工程、分配等实际问题为背景，综合考查列方程、解方程组以及结合不等式解决优化问题的能力。 备考建议 1.基础强化：熟练掌握一元一次方程、二元一次方程（组）的解法步骤，避免计算失误。 2.建模训练：多做“购买类”“分配类”应用题的列式训练，提升从实际问题中抽象出方程（组）的能力。 3.综合应用：注意二元一次方程组与一元一次不等式的结合考查。 考点一 方程的定义与等式的基本性质 1．方程:含有未知数的等式叫做方程． 2．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程． 3. 等式的基本性质 1.（2025·湖南省长沙卷·真题）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则． 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b，c为实数，且满足．那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；    ① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有；    ② 第三步：把②代入①，可得；    ③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得；  ④ 第五步：把④两边同时除以，得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第 步是错误的，它违背了数学的基本法则． 【答案】五 【分析】本题考查了等式的性质，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立． ∴对于等式； 当时，该等式恒成立； 当，两边同时除以，得； ∵， ∴ ∴上述推理过程中，第五步是错误的； 故答案为：五． 2.（2025·湖南岳阳·模拟预测）关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入一元一次方程，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：把代入一元一次方程， 可得：， 解得：． 故选：A． 3.（2025·湖南邵阳武冈·模拟）下列说法中错误的是(    ) A．若a＝b，则3﹣2a＝3﹣2b B．若a＝b，则ac＝bc C．若ac＝bc，则a＝b D．若，则a＝b 【答案】C 【分析】根据等式的性质逐项分析即可. 【详解】解：A、在等式a＝b的两边同时乘以﹣2，然后再加上3，等式仍成立，即3﹣2a＝3﹣2b，故本选项不符合题意. B、在等式a＝b的两边同时乘以c，等式仍成立，即ac＝bc，故本选项不符合题意. C、当c＝0时，等式a＝b不一定成立，故本选项符合题意. D、在等式的两边同时乘以c，等式仍成立，即a＝b，故本选项不符合题意. 故选C. 考点二 一元一次方程的概念及其解法 1.一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 2.一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0） 3.解一元一次方程的基本步骤： 1.（2025·湖南邵阳武冈·压轴卷）若方程是关于的一元一次方程，则 . 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义列式计算即可得解． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， 则有：且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2.（2025·湖南衡阳·一模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． 利用解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】解：， ， ； 故选：C． 3.（2025·湖南邵阳·联考冲刺卷）解方程：． 【答案】 【分析】考虑到最后一项的分子分母可同时除以4，可化简此项后再根据解一元一次方程的方法和步骤解答． 【详解】解：原方程可化为：． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，灵活应用整体思想、熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键． 考点三 二元一次方程的概念及其解法 1.（2025·湖南张家界·一模）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题关键． 根据二元一次方程组的定义对选项逐一判断：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 【详解】解：A．是二元一次方程组，故不符合题意； B．是二元一次方程组，故不符合题意； C．方程组中的次数是2，不是二元一次方程组，故符合题意； D．是二元一次方程组，故不符合题意； 故选：C． 2.（2025·湖南长沙·三模）已知，满足方程组，则的值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组，解题关键是利用整体思想求解，不需要计算出的值． 将两式相加先求出的值，再求． 【详解】解：， 由得， ， 故选：B． 3.（2025·湖南岳阳·一模）（1）解方程：     （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，熟知相关解方程和解方程组的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可得到答案； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1） 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； （2） 整理得： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为． 考点四 一次方程(组)的应用 1.用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 1．（2025·湖南省卷·真题）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等． (1)求种材料和种材料的单价； (2)若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？ 【答案】(1)A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； (2)最多能购买种材料20件． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元， 依题意， 解得， 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）解：设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件， 依题意得：． 解得． ∴m的最大值为20． 答：最多能购买种材料20件． 2．（2025·湖南长沙卷·真题）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗） (1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？ (2)若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 【答案】(1)A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元 (2)要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意即可． （1）设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元，由题意得即可求解； （2）设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克，由题意得．即可求解； 【详解】（1）解：设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元， 由题意得解得 答：A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元． （2）解：设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克， 由题意得． 解得， 答：要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克． 3．（2025·湖南长沙卷·真题）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． (1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； (2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 【答案】(1)50元、30元 (2)400棵 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可； （2）购买脐橙树苗a棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵， 根据题意，得， 解得， 答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵； （2）解：设购买脐橙树苗a棵，则购买黄金贡柚树苗棵， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以购买脐橙树苗400棵． 命题点一 方程的有关概念与等式的基本性质 ►题型01 方程的解 方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程． 【典例】（2025·湖南祁阳·模拟）关于m的方程解为3，那么x的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入方程中求出x的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于m的方程解为3， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-1-1】（2025·湖南岳阳·一模）已知是方程组的解，则的值为（  ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数，解题的关键是掌握方程组解的定义． 将代入方程组即可求的值． 【详解】解：将代入中的②式得： 解得 故选：A． 【变式1-1-2】（2025·湖南衡阳衡东·一模）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解是能使得等式成立的值，观察表格得知能使得两个方程都成了，即可得出答案． 【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故选：A． 【变式1-1-3】（2025·湖南·模拟预测）若关于的一元二次方程的一个实数根为2025，则方程一定有实数根（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的定义， 熟练掌握等式的性质和一元二次方程解的定义是解本题的关键． 将代入方程中，再两边同时除以即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个实数根为2025， ∴， ∴，即， ∴是方程的实数根． 故选：D． ►题型02 等式的基本性质 利用等式的基本性质对等式变形时,应分析变形前后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式的基本性质1,发生乘除变形的依据是等式的基本性质2. 1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母. 【典例】（2025·湖南·模拟）设x，y，c是实数，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 若，则，故该选项错误，不合题意； B. 若，则，故该选项正确，符合题意； C. 若，则，故该选项错误，不合题意； D. 若，则，即，故该选项错误，不合题意． 故选：B 【变式1-2-1】（2025·湖南·一模）已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴当与不为零时，，原选项变形不正确，符合题意； 故选：． 【变式1-2-2】（2025·湖南·模拟）下列方程的变形，符合等式性质的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．，得 D．由，得 【答案】D 【分析】等式性质1:等式两边同时加或减去一个数,等式仍成立；等式性质2:等式两边同时乘以或除以一个不为0的数,等式仍成立,根据等式性质即可判断. 【详解】A选项,由，根据等式性质2可得，因此A选项错误； B选项,由，根据等式性质1可得，因此B选项错误； C选项，，根据等式的性质2可得,因此C选项错误； D选项，由，根据等式的性质可得，因.此D选项正确; 故选D 【点睛】本题主要考查等式的基本性质,解决本题的关键是要熟练掌握等式的基本性质. 【变式1-2-3】（2025·湖南湘潭·模拟预测（多选题））根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由等式的性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，故A不符合题意； B、由于，若，则成立，故B符合题意； C、若，当时，不成立，故C不符合题意； D、若，则，故D符合题意； 故选：BD． 命题点二 一元一次方程的有关概念及解法 ►题型01 一元一次方程的有关概念 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数. 2. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1. 【典例】（2025·湖南永州·模拟预测）下列各项中，是一元一次方程的是（　　） A．x﹣2y=4 B．xy=4 C．3y﹣1=4 D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义进行分析判断即可. 【详解】A选项中的方程中有两个未知数，所以不是一元一次方程； B选项中的方程中有两个未知数，所以不是一元一次方程； C选项中的方程是一元一次方程，所以可以选C； D选项中的式子不是方程，所以不能选D. 故选C. 【点睛】熟知“一元一次方程的定义：含有一个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做一元一次方程”是解答本题的关键. 【变式2-2-1】（2025·湖南湘西·模拟）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数元，且未知数的次数是，这样的方程叫一元一次方程．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【变式2-2-2】（2025·湖南株洲·二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解即使方程左右两边相等的未知数的值，正确运用解的定义是解题的关键．把代入求解即可． 【详解】解∶∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2-3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了方程的解，掌握方程的解是方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键．将代入各项逐项判断即可． 【详解】解：当时， A．，符合题意；     B．，不符合题意； C．，不符合题意；     D．，不符合题意． 故选：A． ►题型02 一元一次方程的解法 1. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用． 2. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 【典例】（2025·湖南岳阳·模拟）方程的变形中，正确的是（    ） A．方程，移项得 B．方程，去括号得 C．方程，可化为 D．方程，可化为 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式的性质和去括号法则进行运算即可判断求解，掌握等式的性质和去括号法则是解题的关键． 【详解】解：、方程，移项得，该选项错误，不合题意； 、方程，去括号得，该选项错误，不合题意； 、方程，可化为，该选项正确，符合题意； 、方程，可化为，该选项错误，不合题意； 故选：． 【变式2-2-1】（2025·湖南益阳·模拟）若代数式的值为5，则x等于（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可知，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式的值为5， ∴， 解得， 故选：A． 【变式2-2-2】（2025·湖南郴州·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号，移项合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】解：． ． ． ． 【变式2-2-3】（2024·湖南·二模）解方程：； 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程． 利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； 【详解】解：去分母，得 ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 命题点三 二元一次方程(组)的有关概念及解法 ►题型01 二元一次方程(组)的有关概念 1.二元一次方程的概念:含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程一般形式:ax+by+c=0(a≠0，b≠0)。 2.二元一次方程的解:一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 3.二元一次方程方程组的概念:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组. 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 【典例】（2025·湖南·模拟）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，正确理解二元一次方程组的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且有两个方程组成的方程组，即可作答． 【详解】A．第一个方程含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B．含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C．第一个方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； D．是二元一次方程组，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式3-2-1】（2025·湖南·模拟）若关于x，y的二元一次方程有两个解和，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，根据题意可得方程组，据此利用加减消元法即可得到答案． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程有两个解和， ∴ ∴得， 故答案为：． 【变式3-2-2】（2025·湖南岳阳·二模）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】利用二元一次方程的解，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入原方程，得： ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解的性质，把解代入原方程是解题的关键． 【变式3-2-3】（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知关于的方程组，其中，给出下列结论：其中正确的是（   ） A．是方程组的解 B．当时，的值互为相反数 C．当时，方程组的解也是方程的解 D．若，则． 【答案】BCD 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得到方程组的解是解此题的关键． 解方程组得，A选项：求得，不符合；B选项：把代入求得，，即可判断；C选项：把代入求得，，即可判断；D选项：当时，求得，则，即即可判断． 【详解】解：解方程组得， A、当时，则，解得，不符合，故不合题意，故不是方程组的解，本选项错误； B、当时，，，，的值互为相反数，本选项正确； C、当时，方程组的解为，满足方程，本选项正确； D、当时，，解得， ∵， ∴， ∴， ，即，本选项正确。 故选：BCD ►题型02 二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 2.解“看错系数”问题的方法 看错方程组中某个方程的系数,所得的解既是方程组中看错系数的方程的解,也是方程组中没有看错系数的方程的解,把解代入没有看错系数的方程中，构建新的方程组,然后解方程组. 【典例】（2025·湖南郴州·二模）解方程组：． 【答案】． 【分析】本题考查了解二元一次方程组．用加减消元法求出其中一个未知数的值，将求出的未知数的值代入其中的一个方程求解，即可求解． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， 将代入①得 ， 解得：， 原方程组的解为． 【变式3-2-1】（2025·湖南·模拟预测）已知，方程3x﹣4y＝1，用含x的代数式表示y，就是y＝ ． 【答案】 【分析】要用含x的代数式表示y，就要将二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，先移项，再将系数化为1即可． 【详解】解：移项，得﹣4y＝﹣3x+1， 系数化为1，得， 故答案为：． 【点睛】此题考查的知识点是解二元一次方程，关键是解题时可以参照一元一次方程的解法，利用等式的性质解题，可以把一个未知数当做已知数来处理． 【变式3-2-2】（2025·湖南·模拟）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用代入消元法求解即可． 【详解】解：， 由①得： 将③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴该方程组的解为：． 【变式3-2-3】（2025·湖南·模拟预测）在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么 ． 【答案】7 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：把把代入得：， 得：， 把代入①得：， 把代入得：， 解得：， ， 故答案为：7． 命题点四 一次方程(组)的应用 ►题型01 行程问题 （1）行程问题：路程=速度×时间． （2）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程． （3）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程． （4）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （5）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是岳麓山游览路线图，从岳麓书院到爱晚亭的路程是，从爱晚亭到祥云涧的路程是，从祥云涧到观光长廊的路程是．已知小华从岳麓书院到观光长廊游览的平均速度是，观光长廊原路返回岳麓书院的时间是． (1)用含的代数式表示： ①小华从观光长廊返回岳麓书院的平均速度是 ； ②小华从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度是 ． (2)小华从岳麓书院到观光长廊共花了，然后从观光长廊沿原路返回岳麓书院的平均速度比来时增加了，所用时间比来时快了，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了平均速度、代数式以及方程的求解： （1）根据题意列代数式； （2）根据题意列方程请求解． 【详解】（1）从岳麓书院到观光长廊的总路程： 从观光长廊返回岳麓书院的平均速度： 从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的总路程： 从岳麓书院到观光长廊的时间为： 从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的总时间： 从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度： 答案为：①；②． （2）根据题意，得，解得． 答：的值为． 【变式4-1-1】（2025·湖南·模拟预测）在古希腊，著名哲学家、数学家毕达哥拉斯和他的学生在阿提卡平原上步行相遇．毕达哥拉斯从雅典出发，向东而行，到达马拉松需要9小时，而他的学生从马拉松出发，向西而行，到达雅典需要7小时．请问他们同时出发到相遇，需要多少个小时？根据题意，假设x小时后相遇，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设路程为，根据题意毕达哥拉斯的速度为，他的学生的速度为，设x小时后相遇，根据路程和为，列出方程，即可求解． 【详解】解：设x小时后相遇，根据题意可得，即 故选：C． 【变式4-1-2】（2025·湖南湘西·模拟预测）我国古代著作《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之，”题意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，设快马天可以追上慢马，可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设快马天可以追上慢马，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设快马天可以追上慢马， 根据题意得， 整理得：， 故选：． ►题型02 工程问题 工程问题：工作量=工作效率×工作时间． 【典例】（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲单独做需要60天完成全部工作 (2)施工费用不够，见解析，需要追加万元 【分析】本题考查了分式方程与一元一次方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． （1）设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设甲乙两队合作完成这项工程需要y天，根据题意列出一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期， 由题意可得：， 解得： 经检验，时，， 则是原分式方程的解， 答：甲单独做需要60天完成全部工作． （2）解：设甲乙两队合作完成这项工程需要y天， 由题意可得：， 解得：， 需要施工费用：，需追加：（万元） 答：施工费用不够，需要追加万元． 【变式4-2-1】（2025·湖南株洲·模拟预测）中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？ 【答案】公司的工作时间为4天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设公司的工作时间为天，则公司的工作时间为天，利用工作总量工作效率工作时间，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设公司的工作时间为天，则公司的工作时间为天， 根据题意得：， 解得：． 答：公司的工作时间为4天． 【变式4-2-2】（2025·湖南·二模）为了助力乡村振兴，某乡镇政府计划对一条长3000米的乡村道路进行改造． (1)该工程原计划由甲队单独施工，工期为160天．刚开始每天施工16米，施工一段时后，甲队改进技术，施工效率提高了25％，刚好按时完工，则技术改造前甲队施工了多少天． (2)由于工期需要，该工程决定由甲、乙两队共同完成，通过工程招标，甲队获得了1800米的改造工程，乙队获得了1200米的改造工程．甲、乙两队同时开始施工，甲队每天比乙队多施工20％，结果甲队比乙队晚20天完成任务．求乙队平均每天施工的米数． 【答案】(1)50天 (2)15米/天 【分析】本题考查了一元一次方程与分式方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设技术改造前甲队施工了x天，则技术改造后的施工时间为天，根据技术改造前施工的长度与技术改造后施工的长度的和为3000米，列出一元一次方程，求解即可； （2）设乙队平均每天施工y米，则甲队平均每天施工米/天，根据甲队施工的时间减乙队施工的时间为20，列出分式方程，并求解即可，注意检验． 【详解】（1）解：设技术改造前甲队施工了x天，则技术改造后的施工时间为天， 由题意得：， 解得：； 答：技术改造前甲队施工了50天； （2）解：设乙队平均每天施工y米，则甲队平均每天施工米/天， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：乙队平均每天施工15米． ►题型03 方案问题 【典例】（2025·湖南湘潭·模拟预测）某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 12元/瓶 4元/瓶 售价 18元/瓶 6元/瓶 (1)设甲种型号的果汁有x万瓶，公司所获利润为W元，如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润． (2)“五一”黄金周期间，为扩大销量，该公司对乙种型号果汁进行优惠，优惠方案如下： 方案一：购买乙种型号果汁一律打9折； 方案二：购买168元会员卡后，乙种型号果汁一律8折． 某超市到该公司购买乙种型号果汁，请帮该超市设计出合适的购买方案． 【答案】(1)当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为108万元； (2)当时，选择方案一购买更合算；当时，选择两优惠方案所需费用相同；当时，选择方案二购买更合算． 【分析】（1）根据该公司四月份投入成本不超过216万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之导出x的取值范围，利用总利润每瓶甲种号的果汁的销售利润生产甲种型号的果汁量每瓶乙种型号的果汁的销售利润生种型号的果汁的数量，可找出W关于x的关系式，再利用一次函数的性质，即可解值问题； （2）设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，选择方案一所需费用为元；选择方案而需费用为元，分及 三种情况，可求出y的直范围或y的值，进而可得出结论． 本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式应用以及一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵该公司每月生产甲、乙两种型号的果汁20万瓶，且甲种型号的果汁生产了x万瓶，乙种型号的果汁生产了万瓶， 据题意得： 解得：， ∵公司所获利润为W元， ∴ ∴ ∵ ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，最大值为，此时， ∴当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为108万元； （2）解：设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，则选择方案一所需费用为：元，选择方案二所需费用为：元， 若，则， 当时，选择方案一购买更合算； 若，则， 当时，选择两优惠方案所需费用相同； 若，则，   当时，选择方案二购买更合算． ∴当时，选择方案一购买更合算；当时，选择两优惠方案所需费用相同；当时，选择方案二购买更合算． 【变式4-3-1】（2025·湖南·模拟预测）某文具店购买笔记本和钢笔预算元．笔记本5元/本，钢笔元/支，至少买4支钢笔，个笔记本，则购买方式有 种． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，解题关键是列出二元一次方程． 先设可再买笔记本本，钢笔支，再列出二元一次方程，然后求出它的非负整数解即可． 【详解】解：∵至少买4支钢笔，个笔记本， ∴设可再买笔记本本，钢笔支， 则， 解得：， 当时，； 当时，； 当时，； ∴购买方式有3种， 故答案为：3． 【变式4-3-2】（2025·湖南·模拟预测）某区教研室组织36名数学老师到一所重点中学参加教学研讨活动．计划租用8座车和4座车若干辆，要求每辆车都要坐满，则该教研室共有 种租车方案． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设租用8座车辆，4座车辆，由题意得：，即，结合都是非负整数，即可得出答案，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设租用8座车辆，4座车辆， 由题意得：， ， 都是非负整数， 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，； 共有中租车方案， 故答案为：． ►题型04 销售利润问题 销售打折问题： 利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． 【典例】（2025·湖南娄底·三模）湘绣作为中国四大名绣之一，凭借其国潮经典之韵，深受国内外消费者的喜爱．某商场计划购进，两款湘绣并出售，已知两款湘绣的进价和售价如下表： 类别 价格 款湘绣 款湘绣 进价（元/件） 800 1400 售价（元/件） 980 1680 (1)该商场第一次用24400元购进了，两款湘绣共20件，求两款湘绣分别购进多少件； (2)该商场计划补货两款湘绣共30件，且购进款湘绣的数量不少于款湘绣的，则应如何设计进货方案才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)款湘绣购进件，款湘绣购进件 (2)购进款湘绣件，款湘绣件，才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）等量关系式：购进款湘绣的费用购进款湘绣的费用元，列方程，即可求解； （2）由不等关系求出，补货售完后获得利润补货售完后款湘绣所获得的利润补货售完后款湘绣所获得的利润，由一次函数的性质，即可求解； 找出等量关系式，能利用一次函数的性质进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：设款湘绣购进件，则款湘绣购进件，由题意得 ， 解得：， (件)， 答∶款湘绣购进件，款湘绣购进件； （2）解：设款湘绣购进件，则款湘绣购进件，补货售完后获得利润为元， ， 解得：， ， ， 随的增大而增大， 当时，取最大值， 最大值为 (元)， (件)， 答∶购进款湘绣件，款湘绣件，才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是元． 【变式4-4-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元． (1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元? (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个? 【答案】(1)每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元 (2)最多购买A种娃娃66个 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式解实际应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是元，根据题意列出一元一次方程即可得到答案； （2）设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个，根据题意列出一元一次不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是元． 由题意可得， 解得， 则． 即每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元； （2）解：设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个． ， 解得， 因为m为整数，所以m最大为66， 即最多购买A种娃娃66个． 【变式4-4-2】（2025·湖南永州·模拟预测）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2300元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高15元． (1)甲、乙两种头盔的单价分别是多少元？ (2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价5元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 【答案】(1)甲种头盔单价是55元，乙种头盔单价是40元 (2)购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为1526元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键． （1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，根据购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2300元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高15元，列出二元一次方程组，即可求解； （2）设设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，则，解得，故最小整数解为，根据一次函数增减性，即可解答． 【详解】（1）解：设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种头盔单价是55元，乙种头盔单价是40元； （2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元， 根据题意，得， 解得， ， ∵， ∴w随着m增大而增大， 当时，w取得最小值， 即购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为（元）， 答：购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为1526元． 【变式4-4-3】（2025·湖南长沙·三模）臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 【答案】(1)大蒜元每市斤 (2)安排名工人加工汤料包 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设大蒜元每市斤，列方程求解即可； （2）设安排名工人加工汤料包，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设大蒜元每市斤， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：大蒜元每市斤； （2）解：设安排名工人加工汤料包， 根据题意得：， 解得：， 答：安排名工人加工汤料包． ►题型05 分配问题 【典例】（2025·湖南岳阳·二模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问物价几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少了4钱，问该物品的价值多少钱？在这个问题中，该物品价值的钱数为（    ） A．53 B．56 C．59 D．62 【答案】A 【分析】设人数为x，再根据两种付费的总钱数一样即可求解． 【详解】解：设人数为x， 由题意得： 解得：， ∴该物品价值的钱数为， 故答案选：A． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，难度不大，属于基础题型．解题的关键是找准等量关系并准确表示． 【变式4-5-1】（2024·湖南·模拟预测）《九章算术》中记载了一个数学问题，其大意如下：有几个小伙伴一起去买一件物品，如果每个人出6元钱，则会少2元；若每个人出7元，则会多6元．若设人数为x人，物品的价格为y元，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．在本题中根据“人数物品价格、物品价格人数”可得方程组． 【详解】解：设人数为x人，物品价格为y元， 根据题意，每个人出6元钱会少2元，则总共需要支付元，每个人出7元钱会多6元，则总共需要支付元，由于物品价格不变，所以可以列出方程组：． 故选：A． 【变式4-5-2】（2025·湖南长沙·二模）《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，求李三公家的店有多少间客房，来了多少位房客？设该店有客房间，则根据题意可列出关于的一元一次方程为： ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程组，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． ►题型06 和差倍分问题 【典例】（2025·湖南·模拟预测）某班在一次美化校园的劳动中，先安排35人打扫卫生，15人拔草，后又增派10人去支援，结果打扫卫生的人数是拔草人数的2倍，若设支援打扫卫生的同学有x人，则下列方程正确的是(    ) ． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设支援打扫卫生的人数有x人,则支援拔草的人数有人，依据题意列方程即可作答． 【详解】设支援打扫卫生的人数有x人,则支援拔草的人数有人， 依题意有：， 故选：B． 【变式4-6-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么该队胜了（   ） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的运用，准确理解等量关系是解题的关键．设该队胜了场，根据题意列出方程进行求解即可． 【详解】解：设该队胜了场，故平了场， ， 解得． 故一共胜了场． 故选：D． 【变式4-6-2】（2024·湖南株洲·模拟预测）某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？ 【答案】120元和90元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元，由题意知篮球的单价高于足球的单价，再由篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，列出方程组求解即可． 【详解】解：设每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元， 由题意知篮球的单价高于足球的单价， 则， 解得： 答：每个篮球和足球价格分别是120元和90元． ►题型07 几何问题 【典例】（2025·湖南长沙·一模）如图，某小区进行项目改造：在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边； (1)求通道的宽是多少m? (2)如果通道造价为40元/，草坪造价为100元/，只考虑通道和草坪的造价，不考虑人工等其他费用的前提下，完成该项目需要多少钱? 【答案】(1)通道的宽是 (2)完成该项目需要20880元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设通道的宽为，由题意根据可列方程进行求解； （2）由（1）可得，然后得出通道和草坪面积，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设通道的宽为，由题意得： ， 解得：； 答：通道的宽是． （2）解：由（1）得：， ∴草坪的面积为，通道面积为， ∴（元）； 答：完成该项目需要20880元． 【变式4-7-1】（2024·湖南株洲·模拟预测）某公司用n张相同的大长方形纸板分别按如图所示进行裁剪，所得的正六边形和小长方形纸板恰好能搭配成若干个有盖直六棱柱纸盒，则n 的值可能是（   ） A．140 B．150 C．160 D．180 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的整数解问题，根据题意列出二元一次方程是解题的关键；先设能裁剪成小长方形的纸板为x张，那么裁剪成正六边形的纸板为张，根据小长方形和正六边形正好配套列出二元一次方程即可得到答案； 【详解】解：由题可得：， 整理得：， ∵都为正整数； ∴只要取14的倍数即可； 故选：A． 【变式4-7-2】（2024·湖南岳阳·模拟预测）某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图1，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 的水池，且需保证总种植面积为，试分别确定，的长； (2)方案二：如图2，在Ⅰ区保留面积为 的水池且使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大总种植面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时， 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，一元一次方程的应用． （1）由围墙的长为，可得篱笆墙的宽为，设为，为，再由矩形面积公式求解； （2）设两块矩形总种植面积为y， 长为，那么，，由围成的两块矩形总种植面积最大，再建立二次函数求解即可． 【详解】（1）解：∵围墙的长为， ∴篱笆墙的宽为， 设为，为，那么 ， 即， 解得：， ∴，． （2）解：设两块矩形总种植面积为，长为，那么，， 由题意得：， ∴ ∵，， ∴， ∴当时，． ►题型8 古代问题 【典例】（2025·湖南·模拟预测）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键． 【详解】解：设绳长为x尺，列方程为， 故选A． 【变式4-8-1】（2025·湖南益阳·模拟预测）在古代，算筹是中国传统的计算工具．《孙子算经》中有这样的记载：某工坊制作两种类型的算筹盒，大算筹盒和小算筹盒．已知2个大算筹盒与3个小算筹盒一共可容纳48根算筹，且每个大算筹盒比小算筹盒多容纳4根算筹．设每个小算筹盒能容纳x根算筹，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设每个小算筹盒能容纳x根算筹，得到每个大算筹盒能容纳根算筹，根据2个大算筹盒与3个小算筹盒一共可容纳48根算筹，列出方程即可． 【详解】解：设每个小算筹盒能容纳x根算筹，则每个大算筹盒能容纳根算筹， 由题意，得：； 故选A． 【变式4-8-2】（2025·湖南长沙·二模）我国古代数学问题：现有甲、乙两钱袋，甲袋装的黄金比乙袋装的黄金多6枚，从甲袋取8枚黄金放到乙袋，乙袋的黄金数量就是甲袋的三倍．设甲袋原有黄金枚，乙袋原有黄金枚，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用二元一次方程组解古代数学问题，解题的关键是找准两个等量关系． 设甲袋原有黄金枚，乙袋原有黄金枚，根据“甲袋装的黄金比乙袋装的黄金多枚”、“从甲袋取枚黄金放到乙袋，乙袋的黄金数量就是甲袋的三倍”分别列出方程，联立成方程组即可． 【详解】解：设甲袋原有黄金枚，乙袋原有黄金枚， 根据“甲袋装的黄金比乙袋装的黄金多枚”可列方程：； 根据“从甲袋取枚黄金放到乙袋，乙袋的黄金数量就是甲袋的三倍”可列方程：， 可得方程组：． 故选： B． ►题型9 其它问题 【典例】（2025·湖南·模拟预测）用150张铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底45个，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒．问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套？ 【答案】用90张铁皮制盒身，60张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程成为解题的关键 设用x张铁皮制盒身，制盒底的铁皮数是张，利用盒底的数量是盒身数量的2倍列出方程求解即可． 【详解】解：设用x张铁皮制盒身，则制盒底的铁皮数是张， 由题意可得：，解得：， ∴． 答：用90张铁皮制盒身，60张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套． 【变式4-9-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）日历上按照以下四个选项的图框圈出了三个数，，，其中一个图框圈出的三个数的和为24，则这个图框是四个选项中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程：日历问题，先观察这个日历的情况，且结合各个选项的三个数，，的位置关系进行列式计算，注意，，都是正整数，即可作答． 【详解】解：A. ∵，， ∴， 解得，选项A不符合题意； B.∵，， ∴， 解得，选项B不符合题意； C.∵，， ∴， 解得，选项C符合题意； D.∵，， ∴， 解得，选项D不符合题意； 故选：C． 【变式4-9-2】（2025·湖南长沙·三模）人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．如果用表示一个人的年龄，用表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么． (1)在校两名中学生的对话：甲同学：“我正常情况下在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是164次”，乙同学：“我正常情况下在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数才136次”．请你判断甲乙两名同学谁的说法是错误的?并说明理由． (2)若一个人的年龄由变为（为正整数），发现正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数减少了12，用列方程的方法确定． 【答案】(1)甲同学说法是正确的；乙同学的说法是错误的；见详解 (2) 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，一元一次方程的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，分别算出甲同学和乙同学所说的对应年龄，再结合甲同学和乙同学都是初中生，进行分析，即可作答． （2）理解题意，由，且结合一个人的年龄由变为（为正整数），发现正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数减少了12，进行列方程，再计算，即可作答． 【详解】（1）解：甲同学说法是正确的；乙同学的说法是错误的；理由如下： 依题意，甲同学： ∴ 解得； 乙同学： ∴ 解得； ∵甲同学和乙同学都是初中生 ∴甲同学说法是正确的；乙同学的说法是错误的； （2）解：∵一个人的年龄由变为（为正整数），发现正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数减少了12， ∴， 解得， 即的值为15． 突破一 与一次方程(组)有关的参数问题 【典例1】若是关于x，y的二元一次方程，且，，则的值是（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，不等式的性质，含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程的定义得到，求出，，然后由，得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， 得：， 解得：，， ∵， ∴，或，， ∵， 当，时，，符合题意； 当，时，，不符合题意； ∴，， ∴． 故选：B． 【变式1】若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次一次方程组含参问题，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，利用得：，即可得到，再将，代入即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】若关于的方程的解为非负整数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值可以为（      ） A．0 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】解出方程及不等式组，根据条件求出的取值范围，将四个选项代入方程的解中即可判断． 【详解】解：不等式， 去括号得， 移项得， 不等式， 去分母得， 移项合并得， 解得， 原不等式组无解， ， 由题意得，解得， 原方程的解为非负整数， ， 解得， 则当时，不符合题意，故A选项错误； 当时，不符合题意，故B选项错误； 当时，符合题意，故C选项正确； 当时，不符合题意，故D选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了含参数的一元一次方程及一元一次不等式组求参数问题，根据题意求出参数的取值范围是解题的关键． 【典例2】关于的方程的解与的解相同，则的值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】先求出第一个方程的解，再根据解的定义，把第一个方程的解代入第二个方程，得到关于a的方程，即可求解． 【详解】由，解得：x=a， ∵关于的方程的解与的解相同， ∴把x=a代入得：， ∴a-2=0，解得：a=2． 故选B． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程以及解的定义，掌握移项，去分母以及解的定义，是解题的关键． 【变式1】已知方程组与有相同的解． (1)求m和n值， (2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同解方程组，解一元二次方程，解二元一次方程组，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握同解方程组的定义，求出m、n的值． （1）解方程组得，根据同解方程组，得出方程组的解为，代入求出m、n的值即可； （2）把代入得出，解一元二次方程得出的两边长分别为3，4，根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，求出结果即可． 【详解】（1）解：由方程组得：， ∵方程组与有相同的解， ∴方程组的解为， ∴， 解得：； （2）解：把代入关于x的一元二次方程得：， 解得：，， ∴的两边长分别为3，4， ∵第三边的长为5， 又∵， ∴为直角三角形， ∴． 【变式2】若关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，二元一次方程组，解题的关键是掌握：是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．先把方程组的两个方程相加得到，则，从而得到，再根据根的判别式的意义得到，则可求出的值，然后计算的值． 【详解】解：， ①②得：， 即， ∵， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴， 即的值为． 故答案为：． 突破二 与一次方程(组)有关的错题复原问题 【典例1】复习课上，老师展示了两道解方程的题目，如表所示： 习题1 习题2 …………第一步 …第二步 …………．第三步 ……………．第四步 整理，得……………第一步 ∵，…………第二步 ，…第三步 ∴方程有两个不相等的实数根， 即第四步 (1)分别写出习题1和习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出解答过程． 【答案】(1)习题1从第一步开始出现错误；习题2从第二步开始出现错误； (2)见解析． 【分析】此题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤和方法是关键． （1）根据解方程的步骤进行判断即可； （2）按照正确的步骤和方法解方程即可． 【详解】（1）解：习题1去分母时常数项没有乘以分母的最小公倍数，即从第一步开始出现错误；习题2常数项判断错误，即从第二步开始出现错误； （2） …………第一步 …第二步 …………．第三步 ……………．第四步 整理，得……………第一步 ∵，…………第二步 ，…第三步 ∴方程有两个不相等的实数根， 则 即第四步． 【变式1】下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】①一；② 【分析】本题考查解一元一次方程.①第一步，去分母错误；②根据求解一元一次方程的运算法则计算即可. 【详解】解：①第一步，去分母错误， 故答案为：一； ②解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 【变式2】下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得， ③； 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________． 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【答案】任务一：代入；任务二：二，整体代入未添加括号（言之成理即可）；任务三：过程见解析． 【分析】根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，小亮用的方法是代入消元； 但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号； 正确的解答过程：由①得 ③ 将③代入②得 解得，代入③，解得 ∴原方程组的解为： 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键． 【变式3】甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 （1）求a，b的值； （2）若关于x的一元二次方程两实数根为，，且满足，求实数m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将代入方程②求出b的值，将代入方程①求得a的值，即可得出答案， （2）再将a，b的值代入中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出m的值． 【详解】解：（1）根据题意得解得 （2）当时，一元二次方程化为， 由根与系数关系得， 联成方程组得，解得 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以及根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． 突破三 一次方程(组)与新定义 【典例】（2025·湖南株洲·模拟预测）对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（   ） A．， B．若无论取何值时，的值均不变，则 C．若，则、有且仅有组整数解 D．若对任意有理数、都成立，则 【答案】B 【分析】根据新定义，运用二元一次方程组和有理数的运算计算即可． 本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法，有理数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、由题意，得， 解得：，故选项A正确； B、， 若始终不变，则有种情况： ，则， ，少考虑一种情况，故选项B错误； C．， ， ， 当为整数时，，，， 当时， 解得：， ，符合题意； 当时， 解得：， ，符合题意； 当时， 解得：，不符合题意； 当时， 解得：，不符合题意； 当时， 解得：，不符合题意； 当时， 解得：，不符合题意， 综上所述，，有且仅有组整数解，故选项C正确； D．当时，则， ， ， 即， 对任意有理数，都成立， ，故选项D正确． 故选：B． 【变式1】若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的求解及新定义“ —方程”的应用，熟练求解一元一次方程、理解新定义并据此建立等式是解题的关键．先分别求解两个方程的解，再根据“ —方程”的定义得出关于、、的等式，最后代入代数式求值． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵方程是方程的“ —方程”，且解较大的为前者， ∴． 对化简： ，即，， ∴，也就是． 对变形可得． 把代入上式，得． 故选：C 【变式2】当实数，满足时，称点为和谐点，若以关于，的方程组的解为坐标的点为和谐点，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值． 【详解】解：∵， 解得． ∴． 点为和谐点， ∴，． 又， ∴． ∴， 故答案选：C． 突破四 一次方程(组)与整体思想 【典例】阅读下面材料，并完成相应的学习任务. “整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数m，n满足，求和的值. 小真：利用消元法解方程组，分别求出m，n的值后，再代入和即可. 小善：由①，得，③ 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得， 所以原方程组的解为 张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务. (1)任务一：解方程组 (2)任务二：在（1）的前提下取a，b的值，若抛物线与x轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、抛物线与x轴交点问题、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键. （1）直接运用整体代入消元法解答即可； （2）先将代入得，然后根据一元二次方程根的判别式解答即可. 【详解】（1）解： 由①得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，解得， 所以原方程组的解为. （2）解：将代入得 拋物线与轴有唯一的交点， ，解得， 抛物线的解析式为. 【变式1】已知关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可． 【详解】∵方程组的解是， ∵方程组可化为， 的解是，即， 故选：B． 【变式2】若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，弄清方程组与方程组解满足条件的关系成为解题的关键． 两式相减可得，再结合方程组解的条件结合，据此列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：， 可得： ∵， ∴，解得：． 故答案为：3． 1.（2025·湖南衡阳·一模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． 利用解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】解：， ， ； 故选：C． 2.（2025·湖南长沙·三模）已知，满足方程组，则的值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组，解题关键是利用整体思想求解，不需要计算出的值． 将两式相加先求出的值，再求． 【详解】解：， 由得， ， 故选：B． 3.（2025·湖南·模拟预测）某校组织师生春游，如果单独租用45座的客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座的客车，可少租一辆，且余30个空座位，设全校师生共有人，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系是解题的关键． 设全校师生共有x人，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设全校师生共有x人， 由题意得：． 故选：C． 4.（2025·湖南长沙·模拟）已知是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得且，再解即可． 【详解】解：根据题意可得：且， 解得：， 故答案为：． 5.（2025·湖南湘潭·模拟预测）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 6.（2025·湖南·三模）李老师正在表演一个神奇的魔术，他邀请一位同学在心里默默想一个1到9之间的整数，接着按照一系列步骤进行计算：首先将这个数字乘以2，再加上5，随后把得到的结果乘以50，然后加上1775；最后用上述计算的结果减去自己的出生年份．经过一番计算后，若这位同学报出最终运算结果是615，则这位同学心里想的整数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了代数式的运算，方程的求解，枚举法，而利用枚举法根据实际情况判断是解题的关键．设该同学想的整数是x，他的出生年份是b，根据题意可得，再根据实际情况，利用枚举法可求出x． 【详解】解：该同学想的整数是x，他的出生年份是b， 则， ∴， ∵x是一个1到9之间的整数， ∴当时，，不符合实际出生年份， 当x是小于5的整数时，b都不符合实际出生年份， 当时，，符合实际出生年份， 当时，，不符合实际出生年份， 当或9时，b的值也不符合实际出生年份， ∴， 故答案为：6． 7.（2025·湖南张家界·一模）已知和是同类项，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，解二元一次方程组，代数式求值，由同类项的定义可得，解方程组求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵和是同类项， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 8.（2025·湖南张家界·二模）某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字． (1)如果被污染的数字是，请计算的值． (2)如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？ 【答案】(1) (2)3 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握运算法则和顺序是关键． （1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）设被污染的数字为，利用解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：． （2）解：设被污染的数字为， 由题意得， 解方程得3． 所以被污染的数字为3． 9.（2025·湖南·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，涉及加减消元法解二元一次方程组，将①②消去解得，从而代入②得到即可．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①②得； 将代入②得， 解得； 原方程组的解为． 10.（2025·湖南长沙·二模）近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年沈阳旅游订单（含酒店、景点门票）同比增长超．世界文化遗产故宫是热门的旅游目的地之一．某故宫文创店积极为旅游热门活动做好宣传与备货工作．已知该文创店销售甲、乙两种文创产品，每个甲种文创的进价比每个乙种文创的进价多4元；购进16个甲种文创产品和10个乙种文创产品共花费220元．文创店将每个甲种文创售价定为13元，每个乙种文创售价定为8元． (1)每个甲种文创和每个乙种文创的进价分别是多少？ (2)根据市场调查，文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创共400个，假设这400个文创能够全部卖出，请设计出总利润最大的购进方案，并说明理由． 【答案】(1)每个甲种文创的进价是10元，每个乙种文创的进价是6元 (2)总利润最大的购进方案为购进甲文创150个，乙文创250个，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设每个甲种文创的进价是x元，每个乙种文创的进价是y元，根据每个甲种文创的进价比每个乙种文创的进价多4元；购进16个甲种文创产品和10个乙种文创产品共花费220元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进甲种文创a个，则购进乙种文创个，根据文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设每个甲种文创的进价是x元，每个乙种文创的进价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：每个甲种文创的进价是10元，每个乙种文创的进价是6元； （2）解：设购进甲种文创a个，则购进乙种文创个， 由题意得：， 解得：， 设总利润为w元，由题意得： ， ∵， ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值， 此时，， 答：总利润最大的购进方案为购进甲文创150个，乙文创250个． 11.（2025·湖南·模拟）若关于x的方程，无论k为任何数时，总是它的解，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程．先将代入原方程得，根据无论为任何数时恒成立，可得k的系数为0，由此即可求出答案． 【详解】解：将代入， ， ， 由题意可知：无论为任何数时恒成立， ， ，， ， 故答案为：． 12.（2025·湖南·模拟）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、N点同时出发），经过 秒，点M、点N分别到原点O的距离相等． 【答案】5或 【分析】本题主要考查了数轴掌两点间的距离，绝对值方程，用数轴上点表示有理数，先根据点A表示的数为，点B表示的数为20，设经过x秒，点M、N点到原点O的距离相等，则点M表示的数为，点N表示的数为，，求出x的值即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，， ∴， ∴点B表示的数为20， 设经过x秒，点M、N点到原点O的距离相等，则点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， ∴或， 解得：或， 即经过5秒或秒后，点M，点N到原点O的距离相等； 故答案为：5或． 13.（2025·湖南岳阳·一模）仔细阅读下列材料． “分数均可化为有限小数或无限循环小数”．反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数” 例如：，或，， 反之，，或，那么怎么化为呢？ 解： 不妨设，则上式变为，解得即 根据以上材料，回答下列问题． (1)将“分数化为小数”：__________；__________． (2)将“小数化为分数”：__________；__________． (3)将小数化为分数，需写出推理过程． 【答案】(1)； (2)； (3)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解决此类阅读型题目的关键是认真阅读，理清题目中的解题思路是关键． （1）仿照题意求解即可； （2）设，则，则可求出，据此可得答案；设，则，，则可求出，据此可得答案； （3）设，则，则可求出，据此可得答案． 【详解】（1）解：，； （2）解：设， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 1.（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 故选C． 2.（2025·四川自贡·中考真题）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（    ） A．7cm B．8 C．9 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每块小平行四边形地砖的长为，宽为，由图示可得等量关系：①2个长个长4个宽，②一个长一个宽，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每块小平行四边形地砖的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， 则每块小平行四边形地砖的短边长为， 故选：B． 3.（2025·四川眉山·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，设买甜果x个，苦果y个，根据用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，列出方程组即可． 【详解】解：设甜果x个，苦果y个， ∵用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，故可列方程为： ∵甜果9个11文，苦果7个4文， ∴甜果每个单价为文，苦果每个单价为文， ∵总费用为999文，故可列方程为：； 故可列方程组：； 故选C． 4.（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设李白的壶中原来有酒斗，根据题意列方程解应用题即可． 【详解】解：设李白的壶中原来有酒斗， ， 解得：， 故答案为：B． 5.（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 6.（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 7.（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：3． 8.（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 9.（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元 (2) 【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解； （2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 10.（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【答案】(1) (2)特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 【分析】本题考查了代数式、二元一次方程组： （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）此次行程高速费原价总共为：元 实际支付高速费用：元 （2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 解得： 故此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $