第12讲 反比例函数的图像、性质及应用（复习讲义，4考点13题型5重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦反比例函数专题，覆盖概念、图像性质、k的几何意义、与一次函数综合及实际应用等中考核心考点，通过考情剖析、知识网络构建、考点解析、题型预测、重难突破到分层练习的系统架构，助力学生梳理知识联系，突破动态问题等难点。 亮点在于按命题点分类的题型解析与变式训练，如通过k的几何意义典例培养数学思维，结合实际应用题型发展应用意识，分层练习适配不同学生需求。特设5分钟限时测试与即时反馈，帮助教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

第三章 函数 第12讲 反比例函数的图像、性质及应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 反比例函数的图像与性质 题型01 反比例函数的概念 题型02 反比例函数图像 题型03 根据反比例函数解析式判断其性质 题型04 比较反比例函数自变量或函数值的大小 题型05 判断函数经过的象限 题型06 已知反比例函数的图像和性质求参数 题型07 待定系数法求反比例函数解析式 命题点二 反比例系数k的几何意义 题型01 已知反比例系数求图形面积 题型02 已知图形面积求反比例系数 命题点三 反比例函数与一次函数 题型01 反比例函数与一次函数交点问题 题型02 反比例函数与一次函数的综合 命题点四 反比例函数与实际应用 题型01 反比例函数与实际应用 题型02 函数综合应用 05·重难突破·思维进阶难 27 突破一 反比例函数与几何综合（动态问题） 突破二 反比例函数与几何综合（特殊三角形存在性问题） 突破三 反比例函数与几何综合（特殊四边形存在性问题） 突破四 反比例函数与几何综合（其它存在性问题） 突破五 反比例函数与新定义问题 06·优题精选·练能提分 35 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 反比例函数的概念 长沙市卷T24 / 理解反比例函数的概念，掌握其一般形式 y=k/x（k≠0，能根据实际问题识别反比例关系。 反比例函数的图像与性质 湖南省卷T9 长沙卷T10 能画出反比例函数的图像，掌握其所在象限、增减性，理解 k的符号对图像位置的影响。 反比例函数k的几何意义 / / 理解比例系数 k 的几何意义 反比例函数与实际应用 / 湖南省卷T16 能根据实际问题建立反比例函数模型，并利用函数关系解决实际问题，如物理、工程、经济等领域。 命题预测 2026年湖南中考数学中，反比例函数模块预计将继续保持“基础性考查为主，偶与实际应用结合”的特点：概念与性质是基础：常以选择题形式考查反比例函数的识别、图像所在象限、增减性判断等。k 的几何意义是潜在考点：虽近年未直接考查，但作为重要几何性质，可能在填空或综合题中涉及。实际应用是亮点：常结合物理（如振动频率）、工程、经济等情境，考查从实际问题中识别反比例关系并建立模型的能力。 综合难度适中：一般不出现在压轴题，多作为中档题或基础题出现，体现对函数基本概念的掌握。 备考建议 1）夯实核心概念：①牢记反比例函数的图像特征（双曲线）、增减性（k>0时，同一象限内y随x增大而减小；k<0时反之）；②熟练掌握k的几何意义：图像上任意一点向坐标轴作垂线，围成的矩形面积为∣k∣、三角形面积为。2）强化图像分析能力：①训练 由k的符号判断图像象限”“由点的坐标判断函数值变化” 的题型，结合图像理解增减性的 “分象限” 特点；②练习“反比例函数 + 一次函数”的图像综合题，掌握 “联立解析式求交点”“结合图像解不等式（函数值大小关系）”的方法。3）突破几何意义应用：针对 “k的几何意义”，总结 “面积→k值”“k值→面积” 的双向推导技巧，注意符号（k的正负由图像象限决定）。4）重视实际建模训练：熟悉反比例关系的实际场景（如 “工作量固定时，效率与时间成反比”），掌握 “设变量→找反比例关系→列函数式→验证实际意义” 的建模流程。 考点一 反比例函数的概念 1.反比例函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 2.等价形式 标准式：（k≠0）乘积式：xy=k（k≠0）变形式：y=kx-1（k≠0） 3.判断依据：两个变量的乘积是否为非零常数(是 → 反比例函数;否 → 不是反比例函数) 1.（2025·湖南怀化·月考）在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2025·湖南永州·月考）下列函数不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南株洲·专题练习）若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，则a的值是 ． 4.（2025·湖南张家界·月考）若是关于的反比例函数，则的值是 ． 考点二 反比例函数的图像与性质 1.反比例函数的图像与性质 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像位置 图像分别位于第一、第三象限（x、y同号） 图像分别位于第二、第四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1）图像是关于直线y=x和y= -x对称的双曲线； 2）图像是关于原点对称的双曲线； 3）图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交. 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 2. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： （1）设：设所求的反比例函数的解析式为； （2）列：把x，y的一对对应值或图像上任意一点的坐标代入所设解析式中，得到关于k的方程； （3）解：解方程求出k的值； （4）代：把k的值代回所设反比例函数的解析式即可. 【补充】当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可直接设函数. 1.（2025·湖南省卷·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 2.（2025·湖南·模拟预测）已知函数中，在每个象限内，随的增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是（    ） A．B．C． D． 3.（2025·湖南怀化·三模）已知，两点在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（   ） A．当时，； B．当时，； C．当时，； D．当时，； 4.（2025·湖南永州·模拟预测）反比例函数的图象上的两点分别是，其中，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法判断 5.（2025·湖南长沙·模拟预测）若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6.（2025·湖南长沙·中考真题）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（    ） ②函数一定不是“对偶函数”；（    ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（    ） (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 考点三 反比例函数k的几何意义 类型一 单系数k 一点 一垂直 结论 一点 两垂直 结论 两点一垂直 两点两垂直 类型二 双曲线 k符号相同（两条同号k值曲线+平行线） k符号不同（异号k值曲线+平行线） 1.（2025·湖南株洲·模拟）如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 2.（2025·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为12，则的值是（   ）    A． B． C．6 D．12 3.（2025·湖南郴州·二模）如图，点在双曲线上，作直线交双曲线于点，过点作轴于点，连接．已知的面积为1，那么 ． 4.（2025·湖南武冈·三模）如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点A，B两点，若轴，菱形的面积为12，点A的纵坐标为1，则k的值为（    ）    A． B． C．6 D． 考点四 反比例函数与实际应用 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 1.（2024·湖南省卷·中考真题）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 ． 2.（2025·湖南湘潭·模拟）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（    ） A．7米 B．14米 C．21米 D．28米 3.（2025·湖南衡阳·三模）如图是某电路图，电压恒定不变，滑动变阻器的电功率与电阻存在关系：．当滑动变阻器的电阻时，其电功率．小明通过调节电阻，若电功率为，则电阻为 ． 4.（2025·湖南·二模）如同，火力发电厂大烟囱的纵截面形似轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，上口宽，则整个冷却塔高度为 5.（2025·湖南·模拟预测）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示， (1)求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式； (2)如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？ 命题点一 反比例函数的图像与性质 ►题型01 反比例函数的概念 在反比例函数中，与自变量x的指数为-1这两个条件必须同时具备，缺一不可. 忽视这个条件，而得到错误结论. 【典例】（2025·湖南永州·一模）下列函数中，不是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2026·湖南岳阳·月考）已知函数是关于的反比例函数，则的值为 ． 【变式2】（2025·湖南郴州·模拟）若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（   ）． A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南·二模）已知反比例函数的图像经过点和点，如果点与关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是 ． 【变式4】（2026·湖南长沙·模拟）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为 ． ►题型02 反比例函数的图像 【典例】（2025·湖南张家界·模拟）反比例函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【变式1】（2025·湖南娄底·二模）如图是函数的图象，下列说法正确的有（　　） ①当时，随的增大而减小； ②是由先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的； ③与直线没有交点； ④若的图象与的图象只有1个交点，则或0 A．③ B．②③④ C．③④ D．①②③ 【变式2】（2025·湖南·模拟）如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘B中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表： (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式； (3)当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少？ 【变式3】（2026·湖南郴州·月考）小明在物理综合实践课上，用一固定电压为18V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流表上读数的大小，如图1．滑动变阻器的电阻为通过多次试验，得到以下数据（如下表）： 电阻 1 3 5 7 9 电流 18 6 3.6 2.6 2 (1)如图2是根据表中数据在平面直角坐标系上描点，并用平滑的曲线把各点连接形成的图象，用你学过的函数描述这些点的变化规律，并求出函数解析式（写出自变量的取值范围）； (2)写出函数的一条性质：__________； (3)若电流表上读数在之间变化，求滑动变阻器上的电阻的变化范围． ►题型03 根据反比例函数解析式判断其性质 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 【典例】（2025·湖南永州·一模）反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（　　） A． B．函数图象分布在第二、四象限 C．函数图象关于原点中心对称 D．当时，y随x的增大而减小 【变式1】（2025·湖南益阳·二模）关于函数有如下结论：①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限；③函数值y随x的增大而减小；④当时，y的取值范围为．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象分布在第一、三象限 B．在各自的象限内，随的增大而增大 C．函数图象关于轴对称 D．图象经过 【变式3】（2025·湖南张家界·模拟）反比例函数的图象如图所示，以下结论：①常数；②y随x的增大而减小；③该函数为的图象中心对称图形但不是轴对称图形；④若点是该函数图象上一点，则点也在该函数图象上．其中正确的是（   ） A．①④ B．①②④ C．①②③④ D．①②③ ►题型04 比较反比例函数自变量或函数值的大小 1.在同一分支上的点，可根据反比例函数的增减性进行比较. 2.不在同一分支上的点，先判断函数值的正负，再比较大小. 注:特殊值法也是解决此类问题的常用方法. 【典例】（2025·湖南益阳·模拟）若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟）已知点，是双曲线上的两点，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（2025·湖南·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南长沙·一模）若点，都在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）． ►题型05 判断函数经过的象限 1. 反比例函数图象的位置是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置，也可以推断出k的符号。 2.双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 【典例】（2026·湖南长沙·月考）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【变式1】（2025·湖南岳阳·开学考试）函数，y的值随x的值的增大而减小，与在同一坐标系内的大致图象是 （        ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南株洲·模拟）若反比例函数的图象经过点，则反比例函数的图像经过（   ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【变式3】（2025·湖南邵阳·模拟）若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图像所在的象限是（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 ►题型06 已知反比例函数的图像和性质求参数 【典例】（2026·湖南怀化·月考）若反比例函数在每一个象限内y随x的增大而减小，则a的取值范围为 ． 【变式1】（2025·湖南张家界·模拟）如果函数是反比例函数，且当时随的增大而增大，此函数的解析式是 . 【变式2】（2026·湖南郴州·月考）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南长沙·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 ►题型07 待定系数法求反比例函数解析式 由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 【典例】（2025·湖南娄底·三模）已知反比例函数与正比例函数的图象的一个交点的横坐标为，则 ． 【变式1】（2025·湖南张家界·模拟）已知反比例函数的图像经过点和点，如果点与关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是 ． 【变式2】（2025·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，且点落在反比例函数的图像上，则的值为（   ） A． B．5 C．8 D．10 【变式3】（2025·湖南常德·三模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图像只有一个交点？ 命题点二 反比例函数k的几何意义 ►题型01 已知反比例系数求图形面积 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图，，是双曲线图像上的两点，过A作轴，交于点D，垂足为点C，若为的中点，则的面积为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟）如图，点A、D分别在函数、的图象上，点B、C在x轴上．若四边形为矩形，点D在第一象限，点E在线段上，则的面积为 ． 【变式2】（2025·湖南·模拟）如图，在反比例函数的图象上有，，，……，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，……，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，……，，则 ． 【变式3】 如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等；②与的面积可能相等；③一定是锐角三角形；④可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ ►题型02 已知图形面积求反比例系数 【典例】（2025·湖南长沙·三模）如图，点在双曲线上，轴于点，，则的值为（   ） A．1.5 B．3 C．18 D．6 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且互为相反数，轴，若以为边作面积为24的矩形，点刚好落在的函数图象上，则点的坐标为（      ）     A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南怀化·二模）如图，四边形是平行四边形，为坐标原点，点在的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点是线段与反比例函数图象的交点，若点的坐标为，平行四边形的面积为6，则实数的值为 ． 【变式3】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，点是轴上一点（在右侧），连接，的中点恰好在反比例函数图象上，且，则 ． 命题点三 反比例函数与一次函数 ►题型01 反比例函数与一次函数交点问题 1.求函数解析式时:先将已知交点的坐标代入，求出k再求另一交点的坐标，最后利用待定系数法求得一次函数的解析式. 2.根据函数值的大小关系确定x的取值范围时:第一步，确定两函数图像交点的横坐标；第二步，利用数形结合思想得出结论. 3.解决与图形面积相关的问题时需注意以下几点: (1)要善于根据点的横、纵坐标求图形的边长； (2)求不规则三角形(三角形三边均不在坐标糊上且均不与坐标轴平行)的面积时，往往将其转为能直接求解的三角形的面积的和或差求解； (3)有时可利用|k|几何意义解决问题。 【典例】（2025·湖南长沙·二模）若函数与函数的图象如图所示，则不等式的解集是(  ) A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于点和点．下列说法正确的是（    ） A．反比例函数的解析式为 B．随值的增大而增大 C．点的坐标是 D．在轴上不存在点，使 【变式2】（2025·湖南娄底·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，将直线沿轴竖直向上平移2个单位长度得到直线，直线与该双曲线交于点．与轴交于点，若，则的值为（    ） A．6 B．8 C． D． 【变式3】（2025·湖南娄底·一模）已知如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求点、点的坐标，并直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围； (3)求的面积． ►题型02 反比例函数与一次函数的综合 【典例】（2025·湖南常德·三模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图像只有一个交点？ 【变式1】（2025·湖南岳阳·一模）如图，反比例函数的图象经过，两点，直线与轴相交于点，是线段上一点．连接，记，的面积分别为，，若，且，则的值为（   ） A．18 B．17 C．15 D．16 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图：反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，其中点坐标为． (1)求反比例函数和正比例函数的表达式，并直接写出点坐标； (2)将正比例函数的图象逆时针旋转后向上平移（）个单位长度，得到的一次函数的图象刚好与反比例函数的图像只有一个交点，求的值． 【变式3】（2025·湖南张家界·二模）如图1所示，直线与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点，且． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，，求的面积． (3)如图2所示，若，分别是轴、轴上的动点（点在点右侧，点在点上方），并且，过的直线交反比例函数的图象于两点，点是线段的中点，连接．问：在的运动过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出的度数． 命题点四 反比例函数与实际应用 ►题型01 反比例函数与实际应用 利用反比例函数解决实际问题是近年来中考的热点.解题关键是建立反比例函数模型，即列出符合题意的反比例函数解析式，然后根据反比例函数的性质结合方程(组)、不等式(组)求解. 【典例】（2025·湖南郴州·一模）一辆客车从地出发前往地，平均速度（千米小时）与所用时间（小时）的函数关系如图所示，其中． (1)求与的函数关系式； (2)客车上午点从地出发，客车需在当天点至点分（含点与点分）间到达地，求客车行驶速度的取值范围． 【变式1】（2025·湖南常德·二模）已知近视眼镜的镜片屈光力（单位：）与镜片的焦距（单位：米）满足函数关系：．已知一块近视眼镜的镜片屈光力为，则该镜片的焦距为 米． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆/小时）与车辆的平均速度v（单位：千米/小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交通流量Q为1200辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到 千米/小时． 【变式3】（2025·湖南常德·一模）力作用于物体，产生的压强与物体受力面积之间满足，在某次实验中，当一定时，关于的函数图象如图所示．若压强由40增压至60，则物体受力面积（   ） A．减小了 B．增大了 C．减小了 D．增大了 ►题型02 函数的综合应用 利用反比例函数与一次函数或二次函数相结合解决实际问题是近年中考的热点题型.两种函数图像的交点的实际意义往往是分析问题的切点，要注意自变量的取值范围，特别要考虑实际情况. 【典例】（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，关于的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费元；恒温阶段每分钟需花费元．（注：自然降温阶段不产生成本） 【变式2】（2025·湖南怀化·模拟）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如表数据： R/Ω … 1 a 3 4 6 … I/A … 4 3 2.4 2 b … (1)a=______，b=______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (3)结合（2）中函数图象，在同一坐标系中画出的图象，当时，的解集为______． 【变式3】（2025·湖南学易金卷·月考）如图，某课外兴趣小组计划利用已有的篱笆围成一个一边靠墙、面积为 的矩形花园、其中墙长为，现在可用的篱笆总长为， (1)若设 ，请写出关于的函数表达式、 (2)若要使的篱笆全部用完，能否围成面积为 的花园? 若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由． (3)假设围成矩形花园 三边的材料总长不超过，材料和的长都是整米数，求满足条件的所有围建方案． 【变式4】在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 突破一 反比例函数与几何综合（动态问题） 【典例】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，其中点A的坐标为． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； (3)点P是反比例函数图象第一象限内的一个动点，点Q是一次函数图象上的一个动点，若轴且，求此时点的坐标． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，、是矩形的两个顶点，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E． (1)若点D为边的三等分点（靠近点A），求点E的坐标和k的值； (2)在（1）的条件下，点F为y轴上一个动点，求当周长最小值时，点F的坐标． (3)求证：当k变化时，． 【变式2】小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在y轴上，含角的三角板的直角顶点C的坐标为，反比例函数的图像经过点C． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点O顺时针旋转，边上的点D恰好落在反比例函数图像上，求旋转前点D的坐标． (3)将三角板沿x轴正方向平移得到，当（2）中旋转后的点D在内部时（包含边界），与反比例函数的图像的交点的纵坐标n的取值范围是______． 突破二 反比例函数与几何综合（特殊三角形存在性问题） 【典例】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请直接写出当时的取值范围； (3)在反比例函数图象上，是否存在一点使得为直角三角形，且，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1】）如图，已知一次函数的图像与反比例函数第一象限内的图像交于点，与轴相交于点，交轴于点． (1)求和的值； (2)观察函数图像，当时，的取值范围是 ； (3)如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，双曲线交于点，连接、，求； (4)若为坐标轴上一点，请你探索：当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，请求出所有可能的点坐标． 【变式2】如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 突破三 反比例函数与几何综合（特殊四边形存在性问题） 【典例】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．    (1)求反比例函数的解析式； (2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； (3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 【变式1】如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是将轴所在的直线绕着原点按逆时针方向旋转度角后得到的图形．若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点，，已知点，． (1)无论取何值，四边形的形状一定是_____． (2)当点的坐标为，四边形是矩形时，试求和的值． (3)试探究：四边形能不能是菱形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 【变式2】反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点M，的面积为2． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点B的坐标为，其中．若以为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求t的值． 突破四 反比例函数与几何综合（其它存在性问题） 【典例】如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是第四象限反比例函数图象上一点，当的面积为时，求点的坐标； (3)反比例函数的图象上是否存在一点．使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1】如图，一次函数的图象与轴交于，与反比例函数的图象交于，． (1)求、两点的坐标和反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． (4)在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、，点在轴正半轴上，点，，连接、、、，四边形为菱形． (1)求两函数的关系式． (2)根据图象直接写出：当取何值时，反比例函数值不小于一次函数值． (3)设点是轴上一动点，且的面积等于菱形的面积，求点的坐标． 突破五 反比例函数与新定义问题 【典例】（2025·湖南邵阳·三模）定义：若一个函数图象关于过该图象上某一点A的直线l对称，我们就称该函数是“自对称函数”，点A叫做该函数的“自对称点”，直线l叫做这个函数的“自对称线”，一个函数可以有多个“自对称点”和多条“自对称线”． (1)下列函数属于“自对称函数”且有两个或两个以上“自对称点”的函数有______； ①；②；③；④； (2)如图1，若“自对称函数”的一个“自对称点”是，交x轴于点B，过点A的“自对称线”交x轴于点C，且与过点A的双曲线的另一个交点为点P，连接，求的面积； (3)如图2，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B，C均在坐标轴上，，对角线相交于点D，已知函数的图象经过点A，函数的“自对称点”在矩形的边上，若函数的图象与直线的另一个交点为点E，且，求a的取值范围． 【变式1】定义：若一个函数的图象上存在横坐标和纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相反点”．根据定义，下列说法错误的是（    ） A．为函数图象的“相反点” B．函数的图象存在两个“相反点” C．为函数的图象上唯一的“相反点” D．当时，函数的图象上无“相反点” 【变式2】中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（   ） A．是“乾坤点” B．函数的图象上存在2个“乾坤点” C．函数是“乾坤函数” D．若“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为 【变式3】定义：在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：时，点即为函数的“2倍点”． (1)在点，，中， 是函数的“1倍点”； (2)若函数存在唯一的“3倍点”，求b的值； (3)若函数的“m倍点”在以点为圆心，半径长为的圆外，求m的所有值． 【变式4】【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的乘积xy称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点B是函数图象上任意一点，则点B在该函数图象上的“积值”为__________； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（b为常数，且）的图象上，当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，求b的值． 1.（2025·湖南长沙·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则实数的值为 ． 2.（2025·湖南娄底·一模）关于反比例函数 ，下列说法错误的是（   ） A．图像经过点 B．图像位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 3.（2025·湖南·模拟预测）如图，，是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点，已知点的坐标为，则关于的不等式 的解集为 ． 4.（2025·湖南岳阳·模拟）已知反比例函数的图象上有两点，，则m与n的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 5.（2025·湖南·模拟预测）在某次化学实验中，要配制一定溶质质量分数的溶液，当溶质质量（单位：克）固定时，溶液质量（单位：克）与溶质质量分数之间成反比例关系．已知当溶液质量为200克时，溶质质量分数为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 6.（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点C作x轴的垂线，垂足为点B，连接，若，则 ． 7.（2025·湖南长沙·模拟预测）下列说错误的是（   ） A．直线可由直线向下平移一个单位长度得到 B．函数中，随着的增大而增大 C．抛物线的对称轴是 D．反比例函数的图象经过点 8.（2025·湖南株洲·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 9.（2025·湖南永州·模拟预测）如图，直线与双曲线相交于点，． (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积． 10.（2025·湖南·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11.（2025·湖南长沙·模拟预测）定义：函数图象上到轴距离是到轴距离一半的点叫做这个函数图象的“半距点”．例如，点是函数图象的“半距点”；点是函数图象的“半距点”． (1)在①；②；③三个点中，是一次函数图象的“半距点”的有 ；(填序号) (2)已知点A是反比例函数(为常数，)的图象上的“半距点”，求这个反比例函数的解析式； (3)若二次函数 (是常数，的图象上的有且只有两个“半距点”，且满足令试求出的取值范围． 1.（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A．B． C． D． 2.（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 3.（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 4.（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 5.（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 6.（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（   ） A． B． C． D． 7.（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 8.（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围； (3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 9.（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 10.（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 11.（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 12.（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第12讲 反比例函数的图像、性质及应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 21 命题点一 反比例函数的图像与性质 题型01 反比例函数的概念 题型02 反比例函数图像 题型03 根据反比例函数解析式判断其性质 题型04 比较反比例函数自变量或函数值的大小 题型05 判断函数经过的象限 题型06 已知反比例函数的图像和性质求参数 题型07 待定系数法求反比例函数解析式 命题点二 反比例系数k的几何意义 题型01 已知反比例系数求图形面积 题型02 已知图形面积求反比例系数 命题点三 反比例函数与一次函数 题型01 反比例函数与一次函数交点问题 题型02 反比例函数与一次函数的综合 命题点四 反比例函数与实际应用 题型01 反比例函数与实际应用 题型02 函数综合应用 05·重难突破·思维进阶难 71 突破一 反比例函数与几何综合（动态问题） 突破二 反比例函数与几何综合（特殊三角形存在性问题） 突破三 反比例函数与几何综合（特殊四边形存在性问题） 突破四 反比例函数与几何综合（其它存在性问题） 突破五 反比例函数与新定义问题 06·优题精选·练能提分 108 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 反比例函数的概念 长沙市卷T24 / 理解反比例函数的概念，掌握其一般形式 y=k/x（k≠0，能根据实际问题识别反比例关系。 反比例函数的图像与性质 湖南省卷T9 长沙卷T10 能画出反比例函数的图像，掌握其所在象限、增减性，理解 k的符号对图像位置的影响。 反比例函数k的几何意义 / / 理解比例系数 k 的几何意义 反比例函数与实际应用 / 湖南省卷T16 能根据实际问题建立反比例函数模型，并利用函数关系解决实际问题，如物理、工程、经济等领域。 命题预测 2026年湖南中考数学中，反比例函数模块预计将继续保持“基础性考查为主，偶与实际应用结合”的特点：概念与性质是基础：常以选择题形式考查反比例函数的识别、图像所在象限、增减性判断等。k 的几何意义是潜在考点：虽近年未直接考查，但作为重要几何性质，可能在填空或综合题中涉及。实际应用是亮点：常结合物理（如振动频率）、工程、经济等情境，考查从实际问题中识别反比例关系并建立模型的能力。 综合难度适中：一般不出现在压轴题，多作为中档题或基础题出现，体现对函数基本概念的掌握。 备考建议 1）夯实核心概念：①牢记反比例函数的图像特征（双曲线）、增减性（k>0时，同一象限内y随x增大而减小；k<0时反之）；②熟练掌握k的几何意义：图像上任意一点向坐标轴作垂线，围成的矩形面积为∣k∣、三角形面积为。2）强化图像分析能力：①训练 由k的符号判断图像象限”“由点的坐标判断函数值变化” 的题型，结合图像理解增减性的 “分象限” 特点；②练习“反比例函数 + 一次函数”的图像综合题，掌握 “联立解析式求交点”“结合图像解不等式（函数值大小关系）”的方法。3）突破几何意义应用：针对 “k的几何意义”，总结 “面积→k值”“k值→面积” 的双向推导技巧，注意符号（k的正负由图像象限决定）。4）重视实际建模训练：熟悉反比例关系的实际场景（如 “工作量固定时，效率与时间成反比”），掌握 “设变量→找反比例关系→列函数式→验证实际意义” 的建模流程。 考点一 反比例函数的概念 1.反比例函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 2.等价形式 标准式：（k≠0）乘积式：xy=k（k≠0）变形式：y=kx-1（k≠0） 3.判断依据：两个变量的乘积是否为非零常数(是 → 反比例函数;否 → 不是反比例函数) 1.（2025·湖南怀化·月考）在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的形式（或，为常数且）是解题的关键． 根据反比例函数的定义（形式为或，其中为常数且，自变量单独在分母），逐一判断每个函数是否符合． 【详解】解：①符合形式，，是反比例函数； ②是正比例函数形式，不是反比例函数； ③符合形式，，是反比例函数； ④，即，符合形式，，是反比例函数 ⑤，分母是，不是单独的，不是反比例函数； ⑥，含有常数项，不符合形式，不是反比例函数； 故是反比例函数的有①、③、④，共3个， 故选：C． 2.（2025·湖南永州·月考）下列函数不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键； 反比例函数的形式为，或，其中为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】A、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； B、，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 3.（2025·湖南株洲·专题练习）若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义以及性质．根据反比例函数的定义以及性质解答即可． 【详解】解：由反比例函数的定义，得：， 解得：， 又因为函数在所在象限内y随x的增大而增大， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 4.（2025·湖南张家界·月考）若是关于的反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．反比例函数形式可表示为 （），因此指数部分需为，且系数不为零 【详解】解：∵函数 是关于 的反比例函数， ∴ 且 ． 由 得 ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． 故答案为 ． 考点二 反比例函数的图像与性质 1.反比例函数的图像与性质 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像位置 图像分别位于第一、第三象限（x、y同号） 图像分别位于第二、第四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1）图像是关于直线y=x和y= -x对称的双曲线； 2）图像是关于原点对称的双曲线； 3）图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交. 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 2. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： （1）设：设所求的反比例函数的解析式为； （2）列：把x，y的一对对应值或图像上任意一点的坐标代入所设解析式中，得到关于k的方程； （3）解：解方程求出k的值； （4）代：把k的值代回所设反比例函数的解析式即可. 【补充】当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可直接设函数. 1.（2025·湖南省卷·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 2.（2025·湖南·模拟预测）已知函数中，在每个象限内，随的增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，掌握k对正比例函数和反比例函数图象的影响成为解答本题的关键． 先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限即可解答． 【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴函数的图象在第一、三象限，函数的图象经过第一、三象限， ∴D选项满足题意． 故选：D． 3.（2025·湖南怀化·三模）已知，两点在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（   ） A．当时，； B．当时，； C．当时，； D．当时，； 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的增减性比较函数值的大小是关键． 根据反比例函数解析式得到，函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小，当时，，当时，， 已知，两点在反比例函数的图象上， 当时，，则，故A选项正确，符合题意； 当时，，则，故B、C选项错误，不符合题意； 当时，，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：A ． 4.（2025·湖南永州·模拟预测）反比例函数的图象上的两点分别是，其中，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数图象位于一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∴在第一象限， ∴， 故选：A． 5.（2025·湖南长沙·模拟预测）若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象所在象限，结合图形判定函数值的大小的方法是关键． 根据反比例函数解析式得到函数图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，如图所示， ∴， 故选：D ． 6.（2025·湖南长沙·中考真题）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（    ） ②函数一定不是“对偶函数”；（    ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（    ） (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①（√）；②（√）；③（×） (2) (3) 【分析】（1）根据题目中给出的“对偶点”， “对偶函数”的定义结合反比例函数，一次函数，二次函数的性质进行分析得出结果； （2）由题意可得，，得出从而求出，，得出两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，画出图形得出结果； （3）由题意可得，且时，有，整理得到，利用关于的一元二次方程必有实数根，分别根据判别式等于零和大于零求解即可． 【详解】（1）解：，且，， ，， ，， ①函数（k是非零常数）的图象上，， 满足，，故①正确； ②由题意可得，， 则点与点且是一对“对偶点”， 函数的图像如下图： 函数中不存在“对偶点”，一定不是“对偶函数”，故②正确； 函数的图象如下图， 由题意可得，，则 ∴“对偶点”在反比例函数图象上， ∴函数的图象上存在一对“对偶点”， 至少存在两对“对偶点”说法错误，故③错误； 故答案为：①（√）；②（√）；③（×） （2）由题意可得，，点与点且是一对 “对偶点”，由于是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”． 从而有，两式相减可得，同理可得． 两个一次函数为，，由于，都是常数，且， 两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示 求得其面积之和； （3）由题意可得，且时，有， 以上两式相减可得， 从而将， 代入①整理可得， 此关于的一元二次方程必有实数根， 由于时，（不符合题意）． 从而必有，解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数，反比例函数，二次函数的图形与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 考点三 反比例函数k的几何意义 类型一 单系数k 一点 一垂直 结论 一点 两垂直 结论 两点一垂直 两点两垂直 类型二 双曲线 k符号相同（两条同号k值曲线+平行线） k符号不同（异号k值曲线+平行线） 1.（2025·湖南株洲·模拟）如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，再利用分割法以及值的几何意义进行求解即可． 【详解】解：连接，设直线与轴交于点， ∵直线与轴平行， ∴， ∵直线与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点， ∴， ∴； 故选B． 2.（2025·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为12，则的值是（   ）    A． B． C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数、三角形的中位线，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．设点的坐标为，则，先根据三角形的中位线可得，从而可得，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得． 【详解】解：设点的坐标为，则， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵的面积为12，轴， ∴，即， 又∵点是反比例函数图象上的一点， ∴， 故选：B． 3.（2025·湖南郴州·二模）如图，点在双曲线上，作直线交双曲线于点，过点作轴于点，连接．已知的面积为1，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查已知图形的面积求值，先求出点坐标进而求出的解析式，过点作轴，延长交于点，根据三角形的面积公式，求出点坐标，即可得出值． 【详解】解：点在双曲线上， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为，则：， ∴， ∴， 设， 过点作轴，延长交于点，则： ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4.（2025·湖南武冈·三模）如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点A，B两点，若轴，菱形的面积为12，点A的纵坐标为1，则k的值为（    ）    A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】作轴于点G，求得，求得菱形的边长，再求得，据此即可求解． 【详解】解：作轴于点G，交x轴于点F，    ∵四边形是菱形，A，B两点在反比例函数的图象上，且轴， ∴，， ∵点A的纵坐标为1， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，通过菱形面积确定点的坐标是解题的关键． 考点四 反比例函数与实际应用 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 1.（2024·湖南省卷·中考真题）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 ． 【答案】180 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把，代入求解即可． 【详解】解：把，代入，得， 解得， 故答案为：180． 2.（2025·湖南湘潭·模拟）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（    ） A．7米 B．14米 C．21米 D．28米 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 先用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入反比例函数的解析式求解即可． 【详解】解：根据题意：设与之间的函数表达式为， ， ， 与之间的函数表达式为； 当时，米， 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米． 故选：D 3.（2025·湖南衡阳·三模）如图是某电路图，电压恒定不变，滑动变阻器的电功率与电阻存在关系：．当滑动变阻器的电阻时，其电功率．小明通过调节电阻，若电功率为，则电阻为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先根据题意得出，再求出当电功率为时的值即可，正确求出反比例函数的解析式是解此题的关键． 【详解】解：滑动变阻器的电功率与电阻存在关系：， 由滑动变阻器的电阻时，其电功率，可得， ∴． 当电功率为时，则， 故答案为：． 4.（2025·湖南·二模）如同，火力发电厂大烟囱的纵截面形似轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，上口宽，则整个冷却塔高度为 【答案】 【分析】本题考查了反比例的应用，首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把F的横坐标代入求得纵坐标即可． 【详解】解：， 则C的坐标是， 设反比例函数的解析式是， 把C的坐标代入得， 则反比例函数解析式是， ∵上口宽， ∴点F的横坐为， 当时， 答：整个冷却塔的高是． 故答案为：． 5.（2025·湖南·模拟预测）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示， (1)求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式； (2)如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)能超过130分钟，见解析 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的方法是解题的关键． （1）根据“从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克”可得的值，运用待定系数法求一次函数，反比例函数解析式的方法即可求解； （2）令分别代入一次函数，反比例函数求出时间进行比较即可求解． 【详解】（1）解：从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克， ∴， 当时，设y与x之间的函数关系式为， ∵经过点， ∴， 解得， ∴； 当时，y与x之间的函数关系式为， ∵经过点， ∴， 解得，即； （2）解：令， 解得， 令， 解得， ∴一次服药后的有效视角为：（分钟），超过分钟． 命题点一 反比例函数的图像与性质 ►题型01 反比例函数的概念 在反比例函数中，与自变量x的指数为-1这两个条件必须同时具备，缺一不可. 忽视这个条件，而得到错误结论. 【典例】（2025·湖南永州·一模）下列函数中，不是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的识别，把形如这样的函数叫做反比例函数，根据反比例函数的概念即可作出判断，掌握反比例函数的定义是解题的关键，注意比例系数． 【详解】、是反比例函数，此选项不符合题意； 、是一次函数，不是反比例函数，此选项符合题意； 、是反比例函数，此选项不符合题意； 、是反比例函数，此选项不符合题意； 故选：． 【变式1】（2026·湖南岳阳·月考）已知函数是关于的反比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数“一般地，形如（是常数，）的函数叫做反比例函数”，熟练掌握反比例函数的定义是解题关键．根据反比例函数的定义可得，由此即可得． 【详解】解：∵函数是关于的反比例函数， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南郴州·模拟）若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵，， ∴该图象也过点， 故选：． 【变式3】（2025·湖南·二模）已知反比例函数的图像经过点和点，如果点与关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解答本题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点和点，且点与关于原点对称， ，， ，， 设反比例函数解析式为，代入点坐标可得， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． 【变式4】（2026·湖南长沙·模拟）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式；反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数解析式，将点的坐标代入对应的反比例函数解析式中，即可求解. 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∵点，在双曲线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 故N的坐标为或. ►题型02 反比例函数的图像 【典例】（2025·湖南张家界·模拟）反比例函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，时，图象在一、三象限，进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象分布在第一、三象限，即： 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 【变式1】（2025·湖南娄底·二模）如图是函数的图象，下列说法正确的有（　　） ①当时，随的增大而减小； ②是由先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的； ③与直线没有交点； ④若的图象与的图象只有1个交点，则或0 A．③ B．②③④ C．③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，观察图象判定①和②；根据当时，无意义即可判断③；联立方程组，展开化简得，然后分和讨论，即可判定④． 【详解】解：观察图象知：当时，随的增大而减小；是由先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的； 故①、②错误； 当时，无意义， ∴与直线没有交点， 故③正确； 联立方程组， 化简得， 当时， ∵的图象与的图象只有1个交点， ∴， 解得， 当时，方程可化为，解得，符合题意， 综上，的图象与的图象只有1个交点，则或， 故④正确， 故选：C． 【变式2】（2025·湖南·模拟）如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘B中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表： (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式； (3)当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）在坐标系中描点连线即可； （2）根据图象猜测是反比例函数，利用待定系数法求解； （3）将代入（2）中结论，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题意，可画出图象如下： （2）解：猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，设函数关系式为， ∵当时，， ， 解得， ∴函数关系式为； （3）解：当时， 解得， 即活动托盘B与点O的距离是． 【变式3】（2026·湖南郴州·月考）小明在物理综合实践课上，用一固定电压为18V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流表上读数的大小，如图1．滑动变阻器的电阻为通过多次试验，得到以下数据（如下表）： 电阻 1 3 5 7 9 电流 18 6 3.6 2.6 2 (1)如图2是根据表中数据在平面直角坐标系上描点，并用平滑的曲线把各点连接形成的图象，用你学过的函数描述这些点的变化规律，并求出函数解析式（写出自变量的取值范围）； (2)写出函数的一条性质：__________； (3)若电流表上读数在之间变化，求滑动变阻器上的电阻的变化范围． 【答案】(1) (2)y随着x的增大而减小，答案不唯一 (3)滑动变阻器上的电阻的变化范围为 【分析】本题考查反比例函数的应用； （1）观察图象，根据电流、电压、电阻的关系，可得其为反比例函数图象的一部分，用反比例函数来描述这些点的变化规律，进而求出函数解析式； （2）根据反比例函数的图象与性质，写出一条即可，答案不唯一； （3）根据反比例函数的图象与性质，y随着x的增大而减小，据此即可求解. 【详解】（1）解：∵电流电压电阻， ∴在电压固定为时，电流与电阻成反比 ∴用反比例函数来描述这些点的变化规律， ∴设函数解析式为， 代入点得：，解得：， 验证其他点，符合这一关系式 ∴函数解析式为. （2）解：根据函数解析式和函数图象可得：y随着x的增大而减小， ∴写出函数的一条性质可以是：y随着x的增大而减小，答案不唯一. （3）解：∵y随着x的增大而减小， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴. 即滑动变阻器上的电阻的变化范围为. ►题型03 根据反比例函数解析式判断其性质 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 【典例】（2025·湖南永州·一模）反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（　　） A． B．函数图象分布在第二、四象限 C．函数图象关于原点中心对称 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，故选项正确，不合题意； ， 此函数图象的两个分支位于二四象限，故选选项正确，不合题意； 反比例函数的图象关于原点对称，故选项正确，不合题意； 反比例函数图象的两个分支位于二四象限， 当时，随着的增大而增大，故选项错误，符合题意． 故选：D 【变式1】（2025·湖南益阳·二模）关于函数有如下结论：①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限；③函数值y随x的增大而减小；④当时，y的取值范围为．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，增减性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，得出函数图象一定经过点；又因为，则函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小；先求出当时，则，再结合函数图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴函数图象一定经过点， 故①符合题意； ∵此函数中， ∴函数图象在第一、三象限， 故②符合题意； ∵ ∴在每个象限内或在双曲线的每一支上，函数值y随x的增大而减小， 故③不符合题意； ∵， ∴当时，则 ∴当时，y的取值范围为， ∴故④不符合题意； 故选：B． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象分布在第一、三象限 B．在各自的象限内，随的增大而增大 C．函数图象关于轴对称 D．图象经过 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据解析式得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵，， A. 图象分布在第二、四象限，故该选项不正确，不符合题意；     B. 在各自的象限内，随的增大而增大，故该选项正确，符合题意； C. 函数图象关于对称，故该选项不正确，不符合题意；     D. 图象经过或，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式3】（2025·湖南张家界·模拟）反比例函数的图象如图所示，以下结论：①常数；②y随x的增大而减小；③该函数为的图象中心对称图形但不是轴对称图形；④若点是该函数图象上一点，则点也在该函数图象上．其中正确的是（   ） A．①④ B．①②④ C．①②③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数的增减性，根据函数图象分布的象限可知，以及增减性，据此可判断①②；反比例函数图象既是轴对称图形，也是中心对称图形，据此可判断③；根据点A在反比例函数的图象上可知横纵坐标的乘积为12的点都在该反比例函数的图象上，据此可判断④． 【详解】解：∵反比例函数的函数图象分别在第一和第三象限， ∴，在每个象限内y随x的增大而减小，故②错误； ∴，故①正确； 反比例函数图象既是轴对称图形，也是中心对称图形，故③错误； ∵点是该函数图像上一点， ∴， ∴横纵坐标的乘积为12的点都在该反比例函数的图象上， ∵， ∴点也在该函数图象上，故④正确， 故选：A． ►题型04 比较反比例函数自变量或函数值的大小 1.在同一分支上的点，可根据反比例函数的增减性进行比较. 2.不在同一分支上的点，先判断函数值的正负，再比较大小. 注:特殊值法也是解决此类问题的常用方法. 【典例】（2025·湖南益阳·模拟）若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的解析式可得反比例函数在每个象限内，随着的增大而增大，结合得出，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，，（其中）都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数在每个象限内，随着的增大而增大， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟）已知点，是双曲线上的两点，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据，得到反比例函数图象过第一、三象限；接下来结合已知两点的横坐标，判断两点所在的象限即可得到答案． 【详解】解：∵点，是反比例函数图象上的两点， ∴点A、点B在第一象限，随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是明确反比例系数与函数图象所处象限的关系． 【变式2】（2025·湖南·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，先分别求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 故选B． 【变式3】（2025·湖南长沙·一模）若点，都在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数的自变量的值，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．将点代入反比例函数的解析式求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型05 判断函数经过的象限 1. 反比例函数图象的位置是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置，也可以推断出k的符号。 2.双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 【典例】（2026·湖南长沙·月考）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 【详解】解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 【变式1】（2025·湖南岳阳·开学考试）函数，y的值随x的值的增大而减小，与在同一坐标系内的大致图象是 （        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由一次函数，的值随的值的增大而减小，判断出，即可判断出两函数图象所在的象限，从而得出答案． 【详解】解：一次函数，的值随的值的增大而减小， ， ∴一次函数的图象不经过第一象限，故A、B、D选项不符合题意，； 反比例函数的图象分居在第二、第四象限，故A、B、D选项不符合题意； 只有C选项符合题意． 故选：C． 【变式2】（2025·湖南株洲·模拟）若反比例函数的图象经过点，则反比例函数的图像经过（   ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的图象和性质，将点代入反比例函数中求解，再根据反比例函数的图象和性质判断，即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，解得， ， 反比例函数的图像经过二、四象限． 故选：C． 【变式3】（2025·湖南邵阳·模拟）若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图像所在的象限是（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根的判别式，熟知反比例函数的性质是解题的关键．先根据关于的一元二次方程无实数根，求出的取值范围，再判断出的符号进而可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， ， 解得：， ， 反比例函数的图像所在的象限是第一、三象限， 故选：B． ►题型06 已知反比例函数的图像和性质求参数 【典例】（2026·湖南怀化·月考）若反比例函数在每一个象限内y随x的增大而减小，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数在每一个象限内y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南张家界·模拟）如果函数是反比例函数，且当时随的增大而增大，此函数的解析式是 . 【答案】 【详解】解：有题意可得： 当时，随的增大而增大， 函数的解析式是：   故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数的解析式有三种形式： 【变式2】（2026·湖南郴州·月考）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质；反比例函数图象的分布取决于系数的符号，当系数小于0时，图象在第二、四象限. 【详解】解：∵函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴ ， 故选：A. 【变式3】（2025·湖南长沙·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数，反比例函数中系数与图像的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数中系数与图像的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴一次函数的图像一定经过第一、三象限，且交轴于负半轴， ∴一次函数的图像一定经过第一、三、四象限． 故选：B． ►题型07 待定系数法求反比例函数解析式 由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 【典例】（2025·湖南娄底·三模）已知反比例函数与正比例函数的图象的一个交点的横坐标为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键． 利用正比例函数的解析式求得交点坐标，然后代入，即可求得的值． 【详解】解：将代入得：， 此点为， 代入反比例函数得：， 解得：． 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南张家界·模拟）已知反比例函数的图像经过点和点，如果点与关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解答本题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点和点，且点与关于原点对称， ，， ，， 设反比例函数解析式为，代入点坐标可得， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，且点落在反比例函数的图像上，则的值为（   ） A． B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质得出边长，再结合三角函数求出点的坐标，最后代入反比例函数求出的值． 【详解】解： ∵四边形是菱形， ∴． 过点作轴于点， ，设，， 由勾股定理，即， ， ，又，则 ． ， ． ∵且， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即 ． 又∵点在反比例函数上， ． 故选： ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角函数、勾股定理以及反比例函数的性质，熟练掌握菱形的边长相等、三角函数的定义、勾股定理的应用和反比例函数上点的坐标特征是解题的关键． 【变式3】（2025·湖南常德·三模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图像只有一个交点？ 【答案】(1)， (2)1或9 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数过点，，得，，再运用待定系数法求解即可； （2）设出平移后直线的解析式得，故，结合一元二次方程的根的判别式解答即可； 【详解】（1）解：∵反比例函数过点，， ∴， 解得：，， 反比例函数解析式为：，点， ∵一次函数解析式过点，， ∴， 解得：． ∴一次函数解析式为：； （2）解： 设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点， 则平移后的解析式为， 联立两个函数得：， 整理得：， ， ∴，或， ∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点． 命题点二 反比例函数k的几何意义 ►题型01 已知反比例系数求图形面积 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图，，是双曲线图像上的两点，过A作轴，交于点D，垂足为点C，若为的中点，则的面积为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的判定和性质，先根据比例函数系数的几何意义得出的面积，再根据相似三角形的性质和中点的意义可得出，进而求出的面积即可． 【详解】解：过点作轴于， ∵是双曲线图像上的点， ∴， 轴， ∴平行于 ∴， ， 又是的中点， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟）如图，点A、D分别在函数、的图象上，点B、C在x轴上．若四边形为矩形，点D在第一象限，点E在线段上，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义，由的几何意义可得，再结合三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵点A、D分别在函数、的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南·模拟）如图，在反比例函数的图象上有，，，……，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，……，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，……，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可． 【详解】解：∵的横坐标依次为， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点轴于点轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方， 则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 即， 故答案为：． 【变式3】 如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等；②与的面积可能相等；③一定是锐角三角形；④可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． ►题型02 已知图形面积求反比例系数 【典例】（2025·湖南长沙·三模）如图，点在双曲线上，轴于点，，则的值为（   ） A．1.5 B．3 C．18 D．6 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义．根据值的几何意义，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵图象在一、三象限， ∴， ∴； 故选：D． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且互为相反数，轴，若以为边作面积为24的矩形，点刚好落在的函数图象上，则点的坐标为（      ）     A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据题意可知，设，则，，由矩形的面积可知，求出，进而即可求出答案． 【详解】解：互为相反数， ， 设，则，， ，， 矩形的面积为24， ， ， 点在反比例函数的图象上， 点的横坐标乘以纵坐标等于6， 故选：D． 【变式2】（2025·湖南怀化·二模）如图，四边形是平行四边形，为坐标原点，点在的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点是线段与反比例函数图象的交点，若点的坐标为，平行四边形的面积为6，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，平行四边形的性质，根据点的坐标为，平行四边形的面积为6，得，则，则，故点A的坐标为，即可求出实数的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形的面积为6，点的坐标为， ∴， 则， ∴， 则， ∵点的坐标为， ∴点A的坐标为， 把代入， ∴， 故答案为：2． 【变式3】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，点是轴上一点（在右侧），连接，的中点恰好在反比例函数图象上，且，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了几何图形面积求反比例函数系数，理解图示，掌握几何图形面积的计算与反比例系数的关系． 设，则，设，则点的横坐标为，纵坐标为，代入反比例函数得到，根据几何图形面积的计算即可求解． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ∴设，则，设， ∴， ∵点是的中点，，根据中点坐标公式， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， 解得，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：5 ． 命题点三 反比例函数与一次函数 ►题型01 反比例函数与一次函数交点问题 1.求函数解析式时:先将已知交点的坐标代入，求出k再求另一交点的坐标，最后利用待定系数法求得一次函数的解析式. 2.根据函数值的大小关系确定x的取值范围时:第一步，确定两函数图像交点的横坐标；第二步，利用数形结合思想得出结论. 3.解决与图形面积相关的问题时需注意以下几点: (1)要善于根据点的横、纵坐标求图形的边长； (2)求不规则三角形(三角形三边均不在坐标糊上且均不与坐标轴平行)的面积时，往往将其转为能直接求解的三角形的面积的和或差求解； (3)有时可利用|k|几何意义解决问题。 【典例】（2025·湖南长沙·二模）若函数与函数的图象如图所示，则不等式的解集是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵函数与函数的图象的交点为，， 由函数图象可知，不等式的解集是， 故选：A． 【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于点和点．下列说法正确的是（    ） A．反比例函数的解析式为 B．随值的增大而增大 C．点的坐标是 D．在轴上不存在点，使 【答案】C 【分析】本题考查了正比例与反比例函数的综合，掌握待定系数法，交点的含义是关键． 根据题意，运用待定系数法可得正比例函数，反比例函数的解析式，由此即可求解． 【详解】解：设正比例函数，反比例函数， ∵正比例函数图象与反比例函数图象相交于点和点， ∴， 解得，， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∴反比例函数图象在第二、四象限，每个象限随值的增大而增大，故B选项错误，不符合题意； 联立方程组得，， 解得，， ∴，故C选项正确，符合题意； 如图所示， ∴， 若，则， ∴， 设，且， ∴， 解得，， ∴或， ∴在轴上不存在点，使，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【变式2】（2025·湖南娄底·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，将直线沿轴竖直向上平移2个单位长度得到直线，直线与该双曲线交于点．与轴交于点，若，则的值为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象平移，一次函数图象性质，反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数解析式，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象性质是解题的关键．根据一次函数图象平移规律得出直线的表达式为，从而求得点，根据直线与直线的表达式得出两条直线和轴所夹锐角均为，从而求得，设，则，则，解之求得t值，继而求得k值即可． 【详解】解：直线的表达式为，由平移的性质知，直线的表达式为， 当时，， ， 由直线与直线的表达式知，两条直线和轴所夹锐角均为，如图，过两点作轴的垂线，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 解得或（舍去）， ． 故选：C． 【变式3】（2025·湖南娄底·一模）已知如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求点、点的坐标，并直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)，或 (3)4 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合应用，正确求出表达式是解题的关键． （1）先求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，将A、B坐标代入求出a、b的值即可； （2）根据一次函数解析式求出点C、D的坐标即可；根据函数图象求出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围即可； （3）根据求出的C、D点的坐标，结合函数图象，求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点和点， ∴ ， 解得：， ∴， 解得：， ∴ 解得； （2）解：关于直线，当时，；当时，， ∴点C的坐标为， 点D的坐标为， 观察图形得：一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为或． （3）解： ． ►题型02 反比例函数与一次函数的综合 【典例】（2025·湖南常德·三模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图像只有一个交点？ 【答案】(1)， (2)1或9 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数过点，，得，，再运用待定系数法求解即可； （2）设出平移后直线的解析式得，故，结合一元二次方程的根的判别式解答即可； 【详解】（1）解：∵反比例函数过点，， ∴， 解得：，， 反比例函数解析式为：，点， ∵一次函数解析式过点，， ∴， 解得：． ∴一次函数解析式为：； （2）解： 设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点， 则平移后的解析式为， 联立两个函数得：， 整理得：， ， ∴，或， ∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点． 【变式1】（2025·湖南岳阳·一模）如图，反比例函数的图象经过，两点，直线与轴相交于点，是线段上一点．连接，记，的面积分别为，，若，且，则的值为（   ） A．18 B．17 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数相结合、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式等知识点，熟练掌握各函数的性质并通过坐标求出三角形的面积成为解题的关键． 先利用点的坐标求出反比例函数和一次函数的解析式求得、、，再运用两点间的距离公式求得；再证明可得、，则，即D点纵坐标为4，易得，再根据可得，最后作差即可解答． 【详解】解：将代入得：， 反比例函数的解析式为∶ ， 将代入得∶， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，将两点坐标代入得∶ ，解得，， ∴直线的解析式为， ∴直线与x轴的交点坐标为， ∴ 如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，即， ∴， ∴D点纵坐标为4， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 故选：D． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图：反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，其中点坐标为． (1)求反比例函数和正比例函数的表达式，并直接写出点坐标； (2)将正比例函数的图象逆时针旋转后向上平移（）个单位长度，得到的一次函数的图象刚好与反比例函数的图像只有一个交点，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了正比例函数与反比例数，一次函数的平移，旋转的性质，一次函数与反比例函数交点问题； （1）将点分别代入反比例函数与正比例函数，待定系数法求解析式，根据正比例函数与反比例函数都是中心对称图形，即可得出点的坐标； （2）先求得旋转后的正比例函数解析式，根据平移的性质得出一次函数解析式为，结合题意，根据有两个相等的实数根，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得， ∴， ∴反比例函数表达式为：， 将点代入得， ， 解得： ∴正比例函数的表达式为：， ∵正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形， ∴关于原点对称， ∴ （2）解：∵将绕原点逆时针旋转得到， 代入正比例函数，得，， 解得：， ∴正比例函数逆时针旋转后得到， 向上平移（）个单位长度，得到的一次函数： ∵与反比例函数的图象只有一个交点， ∴，即有两个相等的实数根， ∴ 解得：或（舍去） 【变式3】（2025·湖南张家界·二模）如图1所示，直线与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点，且． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，，求的面积． (3)如图2所示，若，分别是轴、轴上的动点（点在点右侧，点在点上方），并且，过的直线交反比例函数的图象于两点，点是线段的中点，连接．问：在的运动过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出的度数． 【答案】(1) (2) (3)的大小不变，，见解析 【分析】（1）作于，由题意得，，确定．后利用特殊角的三角函数，确定点D的坐标，后计算解析式即可． （2）作于，联立，解得，，故点的坐标为，利用分割法求面积即可． （3）先证明，设直线的方程为设．联立，得，则，确定的横坐标为．再根据点在直线上，确定，如图，作于，则，则，继而求得． 【详解】（1）解：作于，由题意得，， ∴，． ∵， ∴． 在中，，， ∴， ， ∴． 把代入，得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：作于，联立， 解得，， 故点的坐标为， ∴， ∴ （3）解：的大小不变，，理由如下： ∵ ∴，设直线的方程为 设． 联立， 得， 则， ∵是的中点， ∴的横坐标为． ∵点在直线上， ∴， 如图，作于，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法，三角函数的应用，特殊角的三角函数，比例法证明直线的平行，根与系数关系定理应用，熟练掌握三角函数的应用，待定系数法是解题的关键． 命题点四 反比例函数与实际应用 ►题型01 反比例函数与实际应用 利用反比例函数解决实际问题是近年来中考的热点.解题关键是建立反比例函数模型，即列出符合题意的反比例函数解析式，然后根据反比例函数的性质结合方程(组)、不等式(组)求解. 【典例】（2025·湖南郴州·一模）一辆客车从地出发前往地，平均速度（千米小时）与所用时间（小时）的函数关系如图所示，其中． (1)求与的函数关系式； (2)客车上午点从地出发，客车需在当天点至点分（含点与点分）间到达地，求客车行驶速度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由题意得到，根据的取值范围和反比例函数的增减性即可得到答案； 此题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知与的函数关系是反比例函数， 设与的函数关系式为， 把点代入得，， 解得， ∴与的函数关系式是； （2）解：由题意得，， 当时，， 当时，， ∵随着的增大而减小， ∴， 即客车行驶速度的取值范围为． 【变式1】（2025·湖南常德·二模）已知近视眼镜的镜片屈光力（单位：）与镜片的焦距（单位：米）满足函数关系：．已知一块近视眼镜的镜片屈光力为，则该镜片的焦距为 米． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，由题意可知，把代入即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， 当时，则（米） 故答案为： 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆/小时）与车辆的平均速度v（单位：千米/小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交通流量Q为1200辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到 千米/小时． 【答案】48 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式．设，根据题意求出k，然后代入即可求得答案． 【详解】解：设， 由题可知，当时，， ∴， ∴当时，， 即交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到48千米/小时， 故答案为：48． 【变式3】（2025·湖南常德·一模）力作用于物体，产生的压强与物体受力面积之间满足，在某次实验中，当一定时，关于的函数图象如图所示．若压强由40增压至60，则物体受力面积（   ） A．减小了 B．增大了 C．减小了 D．增大了 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，关键是掌握反比例函数的性质．结合图象得到，再分别求出当压强为40和60时的受力面积，并进行比较，即可解题． 【详解】解：一定， 结合图象可知，即， 当压强为40时，有，解得， 当压强为60时，有，解得， ， 压强由40增压至60，则物体受力面积减小了， 故选：A． ►题型02 函数的综合应用 利用反比例函数与一次函数或二次函数相结合解决实际问题是近年中考的热点题型.两种函数图像的交点的实际意义往往是分析问题的切点，要注意自变量的取值范围，特别要考虑实际情况. 【典例】（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题关键． （1）由待定系数法可以求出的函数表达式，从而得到点坐标，进一步得到点坐标，然后再利用待定系数法可以得到部分双曲线的函数表达式； （2）在部分双曲线的函数表达式中令，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解． 【详解】（1）解：设的函数表达式为，则： ， ， 的函数表达式为， 当时，， 可设部分双曲线的函数表达式为， 由图象可知，当时，， ， 部分双曲线的函数表达式为； （2）解：在中，令， 可得：， 解之可得：， 晚上到第二天早上的时间间隔为，， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上时体内的酒精含量高于20（毫克百毫升）， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行． 【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，关于的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费元；恒温阶段每分钟需花费元．（注：自然降温阶段不产生成本） 【答案】(1)20分钟 (2) (3)仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本，计算见解析 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后把时代入即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数， ∴可设解析式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴关于的函数解析式为， 当时，，解得， ∴第一次加热到时间为分钟； （2）解：由题意可设加热后关于的表达式为， 将代入，得， ∴关于的表达式为； （3）解：由题意可知，加热时长为分钟． 恒温阶段（分钟）， 费用为：（元）， 间歇加热工作：对于，令，得， 除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，一天小时中，加热时间为（分钟）， 费用为：（元）， ∵， ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 【变式2】（2025·湖南怀化·模拟）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如表数据： R/Ω … 1 a 3 4 6 … I/A … 4 3 2.4 2 b … (1)a=______，b=______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (3)结合（2）中函数图象，在同一坐标系中画出的图象，当时，的解集为______． 【答案】(1)2， (2)①见解析；②不断减小 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用； （1）根据电压为，，把表格中数据代入进行计算即可； （2）①根据表格数据描点，连线即可； ②根据函数图象的变化趋势可得答案； （3）先画出的函数图象，再根据函数图象进行判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， 故答案为：2，； （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如图： ②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小， 故答案为：不断减小； （3）的函数图象如图： 由函数图象知，当或时，， ∴当时，的解集为或， 故答案为：或． 【变式3】（2025·湖南学易金卷·月考）如图，某课外兴趣小组计划利用已有的篱笆围成一个一边靠墙、面积为 的矩形花园、其中墙长为，现在可用的篱笆总长为， (1)若设 ，请写出关于的函数表达式、 (2)若要使的篱笆全部用完，能否围成面积为 的花园? 若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由． (3)假设围成矩形花园 三边的材料总长不超过，材料和的长都是整米数，求满足条件的所有围建方案． 【答案】(1)； (2)能，长为，宽为； (3)，． 【分析】（）根据矩形的面积公式即可求解； （）设，则，根据矩形的面积列出一元二次方程即可求解； （）由，且都为正整数，，可得可取，，，对应的值为，，，再根据即可求解； 本题考查了反比例函数应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出反比例函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 即关于的函数表达式为； （2）解：能． 设，则， 由题意得，， 解得， ∴，， 即长为，宽为； （3）解：∵，且都为正整数，， ∴可取，，，对应的值为，，， 又∵， ∴，， ∴满足条件的所有围建方案为：，． 【变式4】在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 【答案】(1)； (2)6月出售这种矿泉水每瓶获利最大 (3)该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数、二次函数的应用，通过分析题目中的数量关系，建立相应的函数模型来解决问题； （1）根据题意列出一次函数与反比例函数解析式，即可求解； （2）根据，根据二次函数的性质，即可求解； （3）依题意，得出，进而求得，进而根据单件利润乘以数量，即可求解． 【详解】（1）解：∵当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱 ∴，， 根据信息③可得与售价的乘积相等，设， 代入得，， ∴，， （2）解：6月出售这种矿泉水每瓶获利最大，理由如下， 依题意，， ∴ ∴当时，即6月出售这种矿泉水每瓶获利最大； （3）解：依题意， 当该矿泉水需求量与供给量相等时， 解得：（舍去） 当时，， ，解得：， 总利润为（元） 答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 突破一 反比例函数与几何综合（动态问题） 【典例】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，其中点A的坐标为． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； (3)点P是反比例函数图象第一象限内的一个动点，点Q是一次函数图象上的一个动点，若轴且，求此时点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 (2)当时，自变量x的取值范围是或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及待定系数法求解函数解析式，与不等式的关系等知识点． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求出直线和双曲线的另一个交点，再根据图象即可求解； （3）设点，则点．由，得到方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 反比例函数的表达式为； 把点代入，得， 解得， 一次函数的表达式为． （2）解：当时，， 解得， 点． 由函数图象可得，当时，自变量x的取值范围是或． （3）解：设点． 轴， ∴点． ， ， 解得（负值舍去）， ∴或． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，、是矩形的两个顶点，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E． (1)若点D为边的三等分点（靠近点A），求点E的坐标和k的值； (2)在（1）的条件下，点F为y轴上一个动点，求当周长最小值时，点F的坐标． (3)求证：当k变化时，． 【答案】(1)；的值为 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的性质、最短路径问题及比例式的证明，解题的关键是利用坐标与函数的关系确定点的坐标，用轴对称法求最短路径，以及通过代数推导证明比例关系． （1）先根据矩形性质和三等分点条件确定点的坐标，代入反比例函数求出，再根据点的横坐标求出其纵坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接该对称点与，求直线与轴交点即为； （3）用表示出、、、的长度，再通过代数运算证明比例式． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴平行于轴,平行于轴，， ∵为三等分点且靠近， ∴， ∴ 将代入，得， ∵在上，横坐标为，代入得， ∴． 答：点的坐标为，的值为． （2）解：作关于轴的对称点，连接交轴于，此时周长最小． 设直线的解析式为， 代入、：， 解得，， ∴直线解析式为 令，得， ∴ （3）证明：∵在上，纵坐标为，代入得， ∴， ∵在上，横坐标为，代入得， ∴，， ∴． 【变式2】小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在y轴上，含角的三角板的直角顶点C的坐标为，反比例函数的图像经过点C． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点O顺时针旋转，边上的点D恰好落在反比例函数图像上，求旋转前点D的坐标． (3)将三角板沿x轴正方向平移得到，当（2）中旋转后的点D在内部时（包含边界），与反比例函数的图像的交点的纵坐标n的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把C的坐标为代入反比例函数，即可得到答案； （2）由勾股定理得，证明，求解，如图，旋转到的位置，D点对应G点；可得，结合D的对应点G在的图象上，可得，进一步求解即可． （3）先求出，求出此时与反比例函数的图象交点的纵坐标n的值为，再求出当经过点D时，此时与反比例函数的图象的交点的纵坐标n的值为1，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵含角的三角板的直角顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，旋转到的位置，D点对应G点， ∴， ∵D的对应点G在的图象上， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴． （3）解：当经过点D时，如图，过点 D作轴,垂足为点E， ∵， ∴ ∴； 此时与反比例函数的图象交点的纵坐标n的值为， 当经过点D时，此时与反比例函数的图象的交点的纵坐标n的值为1， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键． 突破二 反比例函数与几何综合（特殊三角形存在性问题） 【典例】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请直接写出当时的取值范围； (3)在反比例函数图象上，是否存在一点使得为直角三角形，且，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的解析式求解，函数值大小的数形结合分析，直角三角形存在性的几何模型应用，利用“一线三垂直”模型构造相似三角形是解题关键． （1）直接代入点坐标求反比例函数的，再代入点求出其坐标，最后用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）根据函数图像的交点，划分区间，观察“一次函数图像在反比例函数图像上方”的区域，需要注意反比例函数的定义域限制； （3）用“一线三垂直”模型将转化为相似三角形的条件，通过相似比设未知数表示点坐标，再结合反比例函数的解析式列方程求解． 【详解】（1）解：把代入中，可得， 故反比例函数为， 将代入中，得， 则点坐标为， 把和代入中， 可得：， 解得：， 故一次函数的表达式为． 答：，． （2）解：由图像以及，可得：或． （3）解：过作轴的垂线，过和分别作直线的垂线，垂足分别为和． ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 设，则， 则， 把代入中， 可得，解得：（不合题意，舍去），， 故的坐标为． 答：存在，． 【变式1】）如图，已知一次函数的图像与反比例函数第一象限内的图像交于点，与轴相交于点，交轴于点． (1)求和的值； (2)观察函数图像，当时，的取值范围是 ； (3)如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，双曲线交于点，连接、，求； (4)若为坐标轴上一点，请你探索：当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，请求出所有可能的点坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)点或或或或或 【分析】本题是反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，不等式的解集，菱形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． （1）把点坐标代入一次函数解析式求得，根据点在反比例函数图象上，于是得到； （2）由（1）知反比例函数的解析式为，解不等式即可得到结论； （3）过点作垂足为，连接，求得点的坐标为，根据勾股定理得到，根据菱形的性质得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论； （4）根据勾股定理得到，当点在轴上时，设，①当时，②当时，③当时，根据勾股定理即可得到结论；当点在轴时，①当时，过作轴于，则点与重合，求得；②当时，设点的坐标为，根据勾股定理得到． 【详解】（1）解：由题意可把点代入一次函数可得： ， ∴． ∴． （2）解：由（1）知反比例函数的解析式为， 当时，； 当时，． ∴的取值范围是或． （3）解：如图，过点作垂足为，连接， 当时，，解得， ∴点的坐标为． ， ∴． ∵四边形ABFD是菱形， ，． ∴． （4）解：交轴于点， ． ． ①如图，当点P在x轴上时， 设点， 当时，则, 即，解得， ∴． 当时，则, 即，解得， ,． 当时，则, 即，解得， ． ②如图，当点P在y轴上时， 设点， 当时，则, 即，解得， ． 当时， ∴轴， ∴． 综上所述：当以点、、为顶点的三角形为直角三角形时，点或或或或或． 【变式2】如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． （1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案； （2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入，即可求得答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为， 令，则， 点B的坐标为； （2）解：如图，过点C作，垂足为E， ，， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为， (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）作轴于点，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）先求得，，分当轴和当时两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去），经检验，是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； （3）解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∴， 当轴时， ，， ∴， ∵点D的坐标为， ∴点Q的坐标为； 当时， ，， ∴， ∵点D的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键． 突破三 反比例函数与几何综合（特殊四边形存在性问题） 【典例】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．    (1)求反比例函数的解析式； (2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； (3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键． （1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案； （2）设，则，，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题； （3）首先求出点的坐标，设，，再利用中点坐标公式可得点的横坐标，从而解决问题． 【详解】（1）解：过点作轴于，    对于一次函数， 当时，， ， 的面积为1． ， ， 当时，， ， 将点代入反比例函数得： ， 反比例函数解析式为； （2）解：设，则， ，， ， ， 解得， 点在直线下方的双曲线上， ， 当时，， ； （3）解：所有符合条件的点的坐标为或；理由如下： 当时， 解得或， 经检验，或都是方程的根， ， 设，，其中， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，， 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：（舍去）； 综上所述，点的坐标为或． 【变式1】如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是将轴所在的直线绕着原点按逆时针方向旋转度角后得到的图形．若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点，，已知点，． (1)无论取何值，四边形的形状一定是_____． (2)当点的坐标为，四边形是矩形时，试求和的值． (3)试探究：四边形能不能是菱形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)平行四边形 (2)， (3)四边形不能是菱形，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形、菱形的性质，反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像是一个中心对称图形． （1）由于反比例函数的图像是一个中心对称图形，点B、D是正比例函数与反比例函数图像的交点，所以点B与点D关于点O成中心对称，则，又，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得出四边形的形状； （2）把点代入的图像上，即可求出p，根据矩形对角线相等，可求出m的值； （3）假设四边形为菱形，根据菱形的对角线垂直且互相平分，可知，且与互相平分，又在x轴上，所以应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，即可得答案． 【详解】（1）解：点B与点D关于点O成中心对称，则，又， 四边形的形状一定是平行四边形； （2）点在的图像上， ， ， ， 又点B、D是正比例函数与反比例函数图像的交点， 点B、 D关于原点O成中心对称， ， 四边形为矩形，且， ， ； （3）点A、C的坐标分别为， 四边形的对角线在x轴上， 又点B、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点， 对角线与不可能垂直， 四边形不能是菱形． 【变式2】反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点M，的面积为2． (1)求反比例函数的解析式； (2)设点B的坐标为，其中．若以为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求t的值． 【答案】(1)； (2)4或． 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象和性质等知识．关键在于结合图形找点的坐标． （1）根据的面积为2，可求出点的坐标，即可求解． （2）分情况讨论即可． 【详解】（1）解：的面积为2，反比例函数的图象经过第一象限， ， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：设正方形为， 当顶点在反比例函数的图象上时，点与点重合，即． 把代入，得， 点的坐标为， ， ； 当顶点在反比例函数的图象上时，， 点的坐标为， ． 整理，得， 解得，（舍去）， 综上所述，的值为4或． 突破四 反比例函数与几何综合（其它存在性问题） 【典例】如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是第四象限反比例函数图象上一点，当的面积为时，求点的坐标； (3)反比例函数的图象上是否存在一点．使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数解析式为； (2)点的坐标为或； (3)或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题、待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）由点坐标求出反比例函数解析式，再求出点坐标，进而求出直线解析式； （）过作轴交于点，设，则，则，然后分，，求出的值即可； （）分当点在第四象限时， 当点在第二象限时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵一次函数（）的图象过，， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：如图，过作轴交于点， 设，则， ∴， ∴， ∴， ，整理得：， 解得：， ∵， ∴； ，整理得：， 解得：， ∵， ∴， 综上可得：点的坐标为或； （3）解：当点在第四象限时，如图，构造等腰直角三角形，且， 过作轴，再分别过作的垂线段，垂足分别为， 则， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由点和点坐标同上可得直线解析式为， 联立 ， 解得或 （与点重合，舍去）， ∴； 当点在第二象限时，如图，构造等腰直角三角形且， 同理可得直线解析式为， 联立得 ， 解得或 （与点重合，舍去）， ∴， 综上，或． 【变式1】如图，一次函数的图象与轴交于，与反比例函数的图象交于，． (1)求、两点的坐标和反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． (4)在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标． 【答案】(1)，， (2)4 (3)或 (4) 【分析】（1）把、两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出、的值，再把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出的值； （2）求得的坐标，然后根据求得即可； （3）即求反比例函数在一次函数上方的自变量的取值范围； （4）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与轴的交点坐标即可得到点坐标． 【详解】（1）解：把、两点的坐标代入， 得，，， 则、． 把代入，得， 反比例函数的表达式为； （2）解：一次函数的图象与轴交于点， ，， 、， ； （3）解：根据图象，不等式的解集为或； （4）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ， 此时的值最小， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与不等式，最短路径问题，三角形面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、，点在轴正半轴上，点，，连接、、、，四边形为菱形． (1)求两函数的关系式． (2)根据图象直接写出：当取何值时，反比例函数值不小于一次函数值． (3)设点是轴上一动点，且的面积等于菱形的面积，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的关系式为， 一次函数的关系式为 (2)当或 时，反比例函数值不小于一次函数值 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数、一次函数的关系式，一次函数与反比例函数的交点问题，菱形的性质，掌握待定系数法的一般步骤、理解菱形的四条边相等以及面积公式是解题的关键． （1）根据菱形的性质确定点的坐标，运用待定系数法求出反比例函数、一次函数的关系式即可． （2）观察图象写出反比例函数值不小于一次函数值时的取值范围即可． （3）根据菱形的面积公式求出菱形的面积，设点的坐标为，表示出的面积，然后列出关于的方程，解方程即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在双曲线上， ， 反比例函数的关系式为， 四边形为菱形，， 点的坐标为， 将点，代入中得： ， 解得， 一次函数的关系式为； （2）解：由图象可知，当或 时，反比例函数值不小于一次函数值； （3）解：如图，连接交x轴于点E，由题意得，，， 菱形的面积为， 设点的坐标为，则： ， ， ， 点的坐标为或． 突破五 反比例函数与新定义问题 【典例】（2025·湖南邵阳·三模）定义：若一个函数图象关于过该图象上某一点A的直线l对称，我们就称该函数是“自对称函数”，点A叫做该函数的“自对称点”，直线l叫做这个函数的“自对称线”，一个函数可以有多个“自对称点”和多条“自对称线”． (1)下列函数属于“自对称函数”且有两个或两个以上“自对称点”的函数有______； ①；②；③；④； (2)如图1，若“自对称函数”的一个“自对称点”是，交x轴于点B，过点A的“自对称线”交x轴于点C，且与过点A的双曲线的另一个交点为点P，连接，求的面积； (3)如图2，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B，C均在坐标轴上，，对角线相交于点D，已知函数的图象经过点A，函数的“自对称点”在矩形的边上，若函数的图象与直线的另一个交点为点E，且，求a的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3)a的取值范围为且 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法，阅读与理解能力，求两函数的交点，二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理等知识，运算量较大，理解题意中的概念将“自对称点”转化为其图象与对称轴的交点是解题的关键． （1）找出函数图像的对称轴，逐个分析，即可解答． （2）设直线交y轴于点D， 点，根据题意求出直线，双曲线的解析式，继而求出点D的坐标，即可解答． （3）根据函数的“自对称点”在矩形的边上，且图象经过点A，可得，联立和直线解析式，得到方程，由根与系数的关系得到，再结合求解a的取值范围即可． 【详解】（1）解：①∵一次函数的图像是一条直线， ∴该函数有无数个“自对称点”和多条“自对称线”． ②∵反比例函数的图像是双曲线，对称轴为直线与直线， ∴反比例函数有两个“自对称点”和1条“自对称线”，不符合题意； ③函数的对称轴只有y轴，不符合题意； ④抛物线的对称轴只有1条，不符合题意． 故答案为①． （2）设直线交y轴于点D， 点，如图 对于，令，则， 解得：， ， ， ，，， 由题意得，，即， ， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， 代入和得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时， ∴． 将代入双曲线，得 ， ∴双曲线， 将代入，得 ， 解得， 当时，， ∴， ∴． （3）解：∵矩形对角线，相交于点D， ，即点D是的中点 ，， ， ∵函数的“自对称点”在矩形的边上， ∴函数的顶点在边上， ， ， ∵函数的图象经过点A， ∴代入到得，， ， ∴函数， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 消去y整理得：， ∵函数的图象与直线的另一个交点为点E， ∴方程的两根为点A和点E的横坐标，记为、， ∴由一元二次方程根与系数的关系得，， 又， ， ， ，且点A、E、D共线， ， ， 解得：， 又， ， 解得：， ∴综上所述，a的取值范围为且． 【变式1】定义：若一个函数的图象上存在横坐标和纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相反点”．根据定义，下列说法错误的是（    ） A．为函数图象的“相反点” B．函数的图象存在两个“相反点” C．为函数的图象上唯一的“相反点” D．当时，函数的图象上无“相反点” 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式，根据“相反点”的定义可知，相反点一定在直线上，判断函数与直线的交点情况即可． 【详解】解：A选项：在函数图象上，且横坐标与纵坐标互为相反数， 为函数图象的“相反点”， 故A选项正确； B选项：当时，， 点在函数的图象上， 当时，， 点在函数的图象上， 函数的图象存在两个“相反点”， 故B选项正确； C选项：当时，， 点也是函数的图象上的“相反点”， 不是函数的图象上唯一的“相反点”， 故C选项错误； D选项：函数的图象上无“相反点”， 则函数与直线没有交点， 则方程无解， 整理得：， ， 解得：， 当时，函数的图象上无“相反点”， 故D选项正确． 故选：C． 【变式2】中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（   ） A．是“乾坤点” B．函数的图象上存在2个“乾坤点” C．函数是“乾坤函数” D．若“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数、反比例函数、一次函数综合，解题的关键是联立函数解析式得到方程再去求解，根据“乾坤点”的定义即可判断选项A；根据函数的图象上存在“乾坤点”，得出，解方程即可判断选项B；根据函数是“乾坤函数”，得出，求出，则方程无解，即可判断选项C；由函数图象上有且只有1个“乾坤点”，得到{y=2a+1xy=−x+18y=2a+1xy=−x+18，整理得到，该方程有两等根，根据求解，即可判断选项D． 【详解】解：A．∵， ∴不是“乾坤点”，故选项A错误； B．∵函数的图象上存在“乾坤点”， ∴， 解得， ∴函数的图象上存在1个“乾坤点”，故选项B错误； C．若函数是“乾坤函数”， 则，即， ∴， ∴方程无解， ∴函数的图象上不存在“乾坤点”， ∴函数不是“乾坤函数”，故选项C错误； D．∵是“乾坤函数”， ∴， 化简，得， ∵“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”， ∴有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴方程为， 解得， ∴， ∴“乾坤点”的坐标为，故选项D正确， 故选：D． 【变式3】定义：在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：时，点即为函数的“2倍点”． (1)在点，，中， 是函数的“1倍点”； (2)若函数存在唯一的“3倍点”，求b的值； (3)若函数的“m倍点”在以点为圆心，半径长为的圆外，求m的所有值． 【答案】(1)点和 (2) (3)或2 【分析】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、勾股定理、一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“m倍点”的定义是解此题的关键． （1）根据“m倍点”的定义结合反比例函数的定义分析即可得解； （2）当时，，结合题意可得，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解； （3）由题意可得函数的“m倍点”为，直线与交于点B，连接，过点B作轴于C，由两点间的距离公式得出，求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∵，， ∴点是函数y的“1倍点”； ∵， ∴点不是函数y的“1倍点”； ∵，， ∴点是函数y的“1倍点”； 综上，点和是函数y的“1倍点”； 故答案为：点和； （2）解：当时，， ∵函数存在唯一的“3倍点”， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴函数的“m倍点”为， 如图所示，直线与交于点B，连接，过点B作轴于C， ∴， ∴， ∴， ∵m为正整数， ∴或2． 【变式4】【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的乘积xy称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点B是函数图象上任意一点，则点B在该函数图象上的“积值”为__________； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（b为常数，且）的图象上，当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，求b的值． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用反比例函数的性质以及积值的定义，得，即可作答． （2）依题意，把代入得，再结合积值的定义，即可作答． （3）先表达出，运用二次函数的性质，得函数开口向上，则对称轴为，再根据当时，随的增大而减小，即可作答． 【详解】（1）解：∵点B是函数图象上任意一点， ∴， ∴点B在该函数图象上的“积值”为； 故答案为：； （2）解：∵点在函数图象上， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 则点在函数图象上的“积值”为； （3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上， ∴ ∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为， ∴， ∵， 函数开口向上，则对称轴为， ∵， ∴， 即当时，有最小值，且 ∴当时，随的增大而减小， ∴时，有最小值，最小值为 ∴ 即． 1.（2025·湖南长沙·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 直接利用反比例函数图象上点的坐标特征求解即可． 【详解】解：将点代入，得， 解得：， 故答案为：． 2.（2025·湖南娄底·一模）关于反比例函数 ，下列说法错误的是（   ） A．图像经过点 B．图像位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解并掌握反比例函数的图像及性质是解题关键．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：对于反比例函数，当时，可有， 即图像经过点， 因为，所以图该函数像位于第一、三象限，当时，y随x的增大而减小， 当时，， 故选项A、B、D正确，不符合题意，选项C错误，符合题意． 故选：C． 3.（2025·湖南·模拟预测）如图，，是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点，已知点的坐标为，则关于的不等式 的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，解题的关键是掌握相关知识．先利用正比例函数图象和反比例函数图象的性质得正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点坐标为，然后利用函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：点的坐标为， 反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的另一个交点， 关于的不等式 的解集为或， 故答案为：或． 4.（2025·湖南岳阳·模拟）已知反比例函数的图象上有两点，，则m与n的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确在反比例函数中，当时，在每个象限内y随x的增大而减小． 根据在反比例函数中，当时，在每个象限内y随ェ的增大而减小，由反比例函数的图象上有两点，，可以判断出m、n的大小关系，从而本题得以解决． 【详解】解：反比例函数，， 反比例函数中，在每个象限内y随x的增大而减小， 反比例函数的图象上有两点，， 故选：B 5.（2025·湖南·模拟预测）在某次化学实验中，要配制一定溶质质量分数的溶液，当溶质质量（单位：克）固定时，溶液质量（单位：克）与溶质质量分数之间成反比例关系．已知当溶液质量为200克时，溶质质量分数为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数关系的应用以及溶质质量分数公式的理解，解题的关键是明确溶质质量分数的定义，结合反比例关系建立函数表达式． 根据溶质质量分数公式，结合题意即可求解． 【详解】解：当溶质质量（单位：克）固定时，溶液质量（单位：克）与溶质质量分数之间成反比例关系， 设， 当克时，溶质质量分数为时，即， 得， ，即， 故选：A． 6.（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点C作x轴的垂线，垂足为点B，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义．由正比例函数与反比例函数的图象相交于两点可得，从而得到，由反比例函数的几何意义可得方程，由此即可得到答案． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点， 点关于原点对称， ， ，， ， 过点作轴的垂线交轴于点， ， ， ， 解得（舍去正值）， 故答案为：． 7.（2025·湖南长沙·模拟预测）下列说错误的是（   ） A．直线可由直线向下平移一个单位长度得到 B．函数中，随着的增大而增大 C．抛物线的对称轴是 D．反比例函数的图象经过点 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的性质，根据一次函数，二次函数，反比例函数的性质逐一排除即可，掌握函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：、直线可由直线向下平移一个单位长度得到，原选项说法正确，不符合题意； 、由函数可知，， ∴随着的增大而增大，原选项说法正确，不符合题意； 、由抛物线得对称轴是，原选项说法错误，符合题意； 、当时，， ∴反比例函数的图象经过点，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 8.（2025·湖南株洲·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】本题考查反比例函数解析式中的几何意义，利用图像解不等式，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． 答：，； （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：∵点关于轴的对称点， 又，则直线与轴的交点即为所求的点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得，， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 9.（2025·湖南永州·模拟预测）如图，直线与双曲线相交于点，． (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2)10 【分析】（1）将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可； （2）由平行求出直线的解析式为，过点作交于，设直线与轴的交点为，与轴的交点为，可推导出，再由，求出，则的面积． 【详解】（1）解：将代入双曲线， ， 双曲线的解析式为， 将点代入， ， ， 将代入， ， 解得， 直线解析式为； （2）解：直线向下平移至， ， 设直线的解析式为， 将点代入， ， 解得 直线的解析式为， 如图，过点作交于，设直线与轴的交点为，与轴的交点为， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 的面积． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象和性质，勾股定理，余弦函数等，能够综合应用上述知识是解题的关键． 10.（2025·湖南·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①， ；② (2)或或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）①将代入 可求得反比例函数的表达式为： ；进一步可得；将、代入即可求解；②设一次函数与轴交于点，可求得，根据即可求解； （2）设点，分类讨论，，，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：①将代入 得： ， 解得：； ∴反比例函数的表达式为： ； ∴，即：； 将、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为： ②设一次函数与轴交于点，如图所示： 由得； ∴ ∴ （2）解：设点， ，则， 解得：； ，则， 解得：或（舍）； ，则， 解得：； 综上所述：点P的坐标为或或 11.（2025·湖南长沙·模拟预测）定义：函数图象上到轴距离是到轴距离一半的点叫做这个函数图象的“半距点”．例如，点是函数图象的“半距点”；点是函数图象的“半距点”． (1)在①；②；③三个点中，是一次函数图象的“半距点”的有 ；(填序号) (2)已知点A是反比例函数(为常数，)的图象上的“半距点”，求这个反比例函数的解析式； (3)若二次函数 (是常数，的图象上的有且只有两个“半距点”，且满足令试求出的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）把点代入一次函数解析式，再根据“半距点”定义进行判定即可求解；   （2）根据“半距点”定义得到a的值，再代入反比例函数求出完美点的坐标b，运用待定系数法即可求解；   （3）根据半距点可得二次函数与一次函数和一共只有两个交点，根据半距点的计算，代入，运用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入符合； 将代入符合，但到x轴距离是12，到y轴距离是6，不符合“半距点”定义； 将代入符合； 故答案为①③； （2）解：∵点是反比例函数（b为常数，）图象上的“半距点”， 或． ∵点在反比例函数的图象上， 或， ∴反比例函数的解析式为或； （3）解：∵二次函数（a，c是常数，）的图象上的有且只有两个“半距点”， ∴二次函数与一次函数和一共只有两个交点． ∵二次函数的图象，一次函数的图象与的图象均关于y轴对称， ∴一次函数的图象与的图象均与二次函数的图象相切． 联立函数解析式，得． 由题意可得，即， ， ． 令． ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查定义新运算，一次函数图象的性质，反比例函数图象的性质，二次函数图象的性质，理解题目中半距点的含义及计算，掌握一次函数，二次函数图象的性质是解题的关键． 1.（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 2.（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 3.（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，观察函数图象，得出函数图象都在函数图象的上方的自变量的取值范围，即可求解．数形结合是解题的关键． 【详解】解：当函数图象都在函数图象的上方时，， 由函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或， 故选：D． 4.（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，可证明，则，，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5.（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可； 根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可. 【详解】解：①设函数上点坐标轴为 ， ∵关于轴对称 ∴点坐标为 若点或点的纵坐标称相等， ∴解得：， 则存在这样的点，使得他们关于轴对称， ∴函数与函数具有“对偶关系” 所以①错误；故不符合题意； ②当时，则，解得；，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意； ③当时，则，解得； 因为是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的，代入得： ，解得，所以③正确，故符合题意； ④设点坐标为，则点坐标为  ， ∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等 ∴，整理得， ∵，对于函数，y随m的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴，而不是，所以④错误，故不符合题意； 故选：B. 6.（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了双曲线的解析式，点的坐标与线段长度，解题的关键是得出双曲线的解析式． 把点的坐标代入，可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点和点的横坐标，代入解析式可得纵坐标，作差即可． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴双曲线， ∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 故选：． 7.（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解． 【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时， ∴当时，， 故选：B． 8.（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围； (3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)或 (3)点C坐标为或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等． （1）由待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得； （3）设与轴交于点，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2 ∴将代入， 则， ∴反比例函数解析式为：， ∴将代入， 则， ∴， 将，代入， 则， 解得： ∴一次函数解析式为：； （2）解：∵， ∴观察图象，当时，的取值范围是或； （3）解：设与轴交于点， 当时， ∴ ∴， 设， ∴ ∵的面积为18， ∴ ∴， ∴，即 解得：或 ∴点C坐标为或． 9.（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】(1)100 (2)见解析 (3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出是的反比例函数． （1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力F的乘积不变， ∴； （2）解：与之间的函数图象，如图所示： （3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 10.（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】（1）根据“1阶近轴点”的定义，结合函数的性质逐个分析判断即可得出结论； （2）设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，根据题意列出不等式组，进而得出关于的不等式组有解，列出关于的不等式，即可求解； （3）设“2阶完美点”的坐标为，由题意得，得出“2阶完美点”在函数上，分析可知函数与函数只有一个交点，设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，根据函数与轴的交点个数分情况讨论，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意； 设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为， 由题意得，， ∴不等式组无解， ∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意； ∵， ∴函数的最小值为2， ∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2， ∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意； ∴函数图像上存在“1阶近轴点”的是①； 故答案为：①； （2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为， 由题意得，， 解得：， ∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”， ∴关于的不等式组有解， ∴或或， 解得：或或，即， ∴实数的取值范围为； （3）解：设“2阶完美点”的坐标为， 由题意得，， ∴“2阶完美点”在函数上， ∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”， ∴函数与函数只有一个交点， 令，整理得， 设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足， 当时，， 若函数与轴有2个交点，则当时，有， ∴， 解得：； 若函数与轴只有1个交点，则， 整理得：， 解得：或， 当时，则与轴的交点的横坐标为， ∵， ∴符合题意； 当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去； 综上所述，实数的取值范围为或． 【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，理解“阶近轴点”和“阶完美点”的定义是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的理解应用和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 11.（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 【答案】(1) (2)，见详解 (3) 【分析】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入进行计算，得； （2）先得出，再代入直线，求出，即可求出l与y轴交点的坐标，再由两点确定一条直线画出直线的函数图象； （3）先得出格点共有个，分别是再分析得出格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，最后运用概率公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵曲线过点． ∴； （2）解：由（1）得， 故， ∵直线也经过点P， ∴把代入，得， 解得， ∴； 令，则， ∴l与y轴交点的坐标为； 直线l的函数图象，如图所示； （3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是， ∵曲线， 则， ∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上， 即该格点在曲线G上的概率． 12.（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)①5；② 【分析】（1）根据“关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数”，从而求出点和关于点的对称点，再用待定系数法求出函数关于点的“对称函数”； （2）分析函数解析式可知，函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的，从而得出函数的图象关于点中心对称； （3）①当时，：，：，联立，得交点横坐标，结合图形计算可得内的“整点”个数有5个； ②先得出的解析式为，在区域内找出关于点对称的点，得出过点和过时的值即可得答案． 【详解】（1）解：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 点和关于点的对称点分别是，； 设函数关于点的“对称函数”为， 将，代入得， ，解得， 函数关于点的“对称函数”为． （2）解：函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数关于原点中心对称， 函数的图象关于点中心对称， 存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身． （3）解：将化成顶点式，其顶点为， 、关于点对称， 的顶点为， 的解析式为 ①如图，当时，：，： 联立，解得， 当时，，，有整点， 当时，，，有整点，，， 当时，，，有整点， 故当时，求内的“整点”个数有5个； ②∵的顶点为， ∴的解析式为， ∵函数与的图象关于点成中心对称， ∴点必为区域内的“整点”， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，即和，和，和，和， 此时，当过时，满足题意，即， 解得：， 当过时，即， 解得：， 此时区域内有个整点，如图， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，在前面个“整点”的基础上增加了、、及个“整点”， 此时， 如图， 的取值范围是． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，新定义函数，二次函数的顶点坐标，成中心对称的点的特征，理解“对称函数”的定义及运用数形结合思想是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $