正方形的性质、正方形的判定讲义-2025-2026学年 人教版八年级数学下册

正方形的性质、正方形的判定讲义 正方形的性质、正方形的判定讲义 考点目录 正方形的性质 正方形的判定 考点一 正方形的性质 【知识点解析】 一、解题原理 已知为正方形，兼具平行四边形、矩形、菱形的所有性质，依托三类图形特征推导边、角、对角线的数量与位置关系，核心是边的相等性+角的直角性+对角线的垂直平分且相等性。 二、解题思路：定形→按需联用性质 1. 明确正方形，标注顶点顺序，确认其平行四边形、矩形、菱形的三重基底属性； 1. 按需选性质： · 证/求边平行且相等→用平行四边形性质； · 证/求直角、对角线相等→用矩形性质； · 证/求邻边相等、对角线垂直平分→用菱形性质； · 特殊结论：对角线分正方形为4个全等等腰直角三角形，可直接用此推导角度（45°）、边长关系。 【例题分析】 例1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，正方形，分别取和边的中点、，连接、连接相交于点，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例3．（2026·陕西渭南·一模）如图，点E在正方形内，连接、，，于点F，若，，则的长为（   ）    A．1 B． C． D． 例4．（24-25八年级下·上海·期末）如图，正方形中，点E、F分别在边、上，，，如果，那么的周长是_________． 例5．（25-26八年级下·陕西安康·月考）如图，在中，，，，则正方形的面积是______． 例6．（25-26九年级下·北京·月考）如图，在正方形中，，点在上，连接，经过点、作的垂线，垂足分别为点，，若，则的面积为_____． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·山东潍坊·月考）如图，为正方形的对角线，延长到点，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·重庆忠县·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级下·天津·期末）如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，交于K，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G（点G在正方形内部）．若正方形的边长，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 变式4．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，四边形和四边形都是正方形．连接．若点是线段上的一点，且，则为________． 变式5．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在正方形中，点在对角线上，过点作于点，连接，若，则的度数为______． 变式6．（2022·海南海口·一模）如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接若，，则________． 考点二 正方形的判定 【知识点解析】 一、解题原理 判定核心是先证平行四边形，再同时证出矩形+菱形特征，或在矩形/菱形基础上补另一类图形的核心条件，本质是验证四边形同时满足边相等、角为直角、对角线垂直平分且相等中的关键组合。 二、解题思路：析条件→选最优判定路径→证结论 1. 梳理题干边（相等/平行）、角（直角）、对角线（垂直/平分/相等）条件； 1. 选最简判定路径（优先匹配已知条件，减少证明步骤）： · 路径1（首选）：先证平行四边形→再证一组邻边相等+一个角是直角； · 路径2：证矩形+一组邻边相等/对角线垂直； · 路径3：证菱形+一个角是直角/对角线相等； 1. 按选定路径逐步证明，最终判定为正方形。 【例题分析】 例1．（2026·四川绵阳·一模）如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 例2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 例3．（24-25八年级下·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，点是边的中点，点是的中点，过点作，且交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． (3)若，在中再增加条件．则四边形是正方形． 例4．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 变式2．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，在矩形中，E是边上一点，F是的延长线上一点，连结，，已知． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，求四边形的面积． 变式3．（24-25八年级下·河北邢台·期中）在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 变式4．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在矩形中，平分，交于点，过点作于点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形ABEF是正方形； (2)如果，求四边形的周长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $正方形的性质、正方形的判定讲义 正方形的性质、正方形的判定讲义 考点目录 正方形的性质 正方形的判定 考点一 正方形的性质 【知识点解析】 一、解题原理 已知为正方形，兼具平行四边形、矩形、菱形的所有性质，依托三类图形特征推导边、角、对角线的数量与位置关系，核心是边的相等性+角的直角性+对角线的垂直平分且相等性。 二、解题思路：定形→按需联用性质 1. 明确正方形，标注顶点顺序，确认其平行四边形、矩形、菱形的三重基底属性； 1. 按需选性质： · 证/求边平行且相等→用平行四边形性质； · 证/求直角、对角线相等→用矩形性质； · 证/求邻边相等、对角线垂直平分→用菱形性质； · 特殊结论：对角线分正方形为4个全等等腰直角三角形，可直接用此推导角度（45°）、边长关系。 【例题分析】 例1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正方形的性质证明，得到；再结合得到等腰三角形的等角关系，设，通过三角形内角和与直角三角形的角度关系列方程求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵在和中， ， ∴（）． ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， ∴，即． 例2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，正方形，分别取和边的中点、，连接、连接相交于点，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于点H，证明，则，得到，设，则，由勾股定理得，，由等积法得到，由勾股定理得，证明，则，得到，则为的垂直平分线，由等腰三角形的性质得到，则，即可得到． 【详解】解：过点C作于点H，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∵和边的中点、， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 由三角形面积公式得，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 例3．（2026·陕西渭南·一模）如图，点E在正方形内，连接、，，于点F，若，，则的长为（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，得出，，根据线段间的数量关系，求出的长． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 例4．（24-25八年级下·上海·期末）如图，正方形中，点E、F分别在边、上，，，如果，那么的周长是_________． 【答案】/ 【分析】证明出四边形是平行四边形，得到，求出，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴的周长是． 例5．（25-26八年级下·陕西安康·月考）如图，在中，，，，则正方形的面积是______． 【答案】16 【分析】根据已知条件利用勾股定理求得的长，从而利用正方形面积公式即可求得结果． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∴． 例6．（25-26九年级下·北京·月考）如图，在正方形中，，点在上，连接，经过点、作的垂线，垂足分别为点，，若，则的面积为_____． 【答案】 【分析】用勾股定理求出的长，利用“角角边”证明，由全等三角形性质得，，设，则，根据勾股定理得方程，求解可得，最后根据三角形面积公式即可得解． 【详解】解：依题意得：，， ，， 在正方形中，，， ， 中，， ， 在和中， ， ， ，， 设，则， 中，， 中，， ， 即， 解得， 即， ． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·山东潍坊·月考）如图，为正方形的对角线，延长到点，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由正方形的性质可知，，，，再结合平行的性质和等边对等角，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 正方形， ，，， ， ， ， ， ， ． 变式2．（24-25八年级下·重庆忠县·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用折叠性质得到，然后在直角三角形中设未知数，通过勾股定理列方程求解． 【详解】解：为的中点，正方形的边长为， ，， 设，根据折叠的性质可知， 在中，， 可得， 解得，即． 变式3．（25-26九年级下·天津·期末）如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，交于K，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G（点G在正方形内部）．若正方形的边长，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图可知垂直平分，，设交于点，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：设交于点， 由作图可知：垂直平分，， ∵正方形，， ∴，，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴． 变式4．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，四边形和四边形都是正方形．连接．若点是线段上的一点，且，则为________． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质得，整理得 ，得，则，运用勾股定理算出，根据等面积法进行列式计算得，再证明四边形是矩形，得，，运用勾股定理，在中，，即可作答． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形．， ∴，， 则，， 即， ∴， ∴， ∵，且 ∴ 即 过点G作，过点G作，如图所示： ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中， 变式5．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在正方形中，点在对角线上，过点作于点，连接，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的外角性质． 根据正方形的性质求得，根据三角形的外角性质求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线，点在对角线上， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 变式6．（2022·海南海口·一模）如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接若，，则________． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，，，证明点、、在同一直线上，求出，由勾股定理可得，连接，最后再由三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形、均为正方形， ∴，，， ∵， ∴点、、在同一直线上， ∴， ∴， 如图，连接， ， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 考点二 正方形的判定 【知识点解析】 一、解题原理 判定核心是先证平行四边形，再同时证出矩形+菱形特征，或在矩形/菱形基础上补另一类图形的核心条件，本质是验证四边形同时满足边相等、角为直角、对角线垂直平分且相等中的关键组合。 二、解题思路：析条件→选最优判定路径→证结论 1. 梳理题干边（相等/平行）、角（直角）、对角线（垂直/平分/相等）条件； 1. 选最简判定路径（优先匹配已知条件，减少证明步骤）： · 路径1（首选）：先证平行四边形→再证一组邻边相等+一个角是直角； · 路径2：证矩形+一组邻边相等/对角线垂直； · 路径3：证菱形+一个角是直角/对角线相等； 1. 按选定路径逐步证明，最终判定为正方形。 【例题分析】 例1．（2026·四川绵阳·一模）如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)2 【分析】（1）由,，判定四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等及有一个内角是，判定其为正方形； （2）先证，进而即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是正方形； （2）∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 例2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的判定定理判断四边形是矩形；再结合等腰直角三角形中是中点，利用等腰直角三角形的性质推导，进而根据正方形的判定定理证明该四边形为正方形． （2）因为四边形是正方形，所以与正方形的边长有关；先根据和等腰直角三角形的性质、中点的性质求出正方形的边长，再利用正方形的对角线公式计算的长度． 【详解】（1）证明：∵ ，，， ∴ ， ∴四边形是矩形． 连接，如图， ∵等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为正方形． （2）解：∵ ，∴ ， 由（1）可知是中点、是中点， ∴ ，． 在中，，由勾股定理得． 例3．（24-25八年级下·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，点是边的中点，点是的中点，过点作，且交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． (3)若，在中再增加条件．则四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由得到，，证明出，得到，等量代换得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是矩形，利用勾股定理求出，再根据矩形的性质求面积即可． （3）利用等腰三角形的性质以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，，再由：四边形是平行四边形即可得出四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∵点是边的中点 ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形的面积． （3）解：当为等腰直角三角形，且时，四边形是正方形， 理由如下： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵D为的中点， ∴，， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形为正方形． 例4．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可； （2）证明是等腰直角三角形可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质； （1）由四边形是平行四边形，平分，平分，得到，再由，，，可得四边形是菱形，进而得证四边形是正方形； （2）过点E作，由（1）可得是等腰直角三角形，是含角直角三角形，设，利用，可求出，进而求出. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形. 即四边形是正方形. （2）解：过点E作，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，设，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴. 变式2．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，在矩形中，E是边上一点，F是的延长线上一点，连结，，已知． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，勾股定理，三角形全等的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形面积计算． （1）先证明，进而可依据“”判定和全等，则，由此可得出结论； （2）在中，根据已知得，则， ，由此可得四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，， ∴． 变式3．（24-25八年级下·河北邢台·期中）在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键． （1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证； （2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的性质得出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴四边形是正方形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 变式4．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在矩形中，平分，交于点，过点作于点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形ABEF是正方形； (2)如果，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据矩形的性质及得，由此判定四边形是矩形，再根据角平分线性质得，据此即可得出结论； （2）过点作于点，根据正方形性质得是等腰直角三角形，由勾股定理得，进而得，在中，由勾股定理得，则，再证明四边形是矩形，然后根据矩形的周长公式即可得出四边形的周长． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是矩形， 平分，，， ， 矩形是正方形； （2）解：过点作于点，如图所示： 四边形是正方形，， ，，， 是等腰直角三角形， 于点， ， 在中，由勾股定理得：， ，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 四边形是矩形， ∴， 四边形的周长为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $