21.3.3 课时2 正方形的判定 -【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（人教版·新教材）

该教案聚焦正方形的判定这一核心知识点，通过折叠矩形纸片操作导入，引导学生从平行四边形、矩形、菱形的判定出发，梳理正方形判定的条件，构建知识脉络与学习支架。 资料设计涵盖选择、填空、证明等分层题型，融入动手操作与综合探究，以折叠实验培养几何直观（数学眼光），通过多步推理证明发展逻辑思维（数学思维），助力学生夯实基础提升能力，为教师提供系统教学资源。

课时2　正方形的判定 正方形的判定　 下列说法正确的是(D) A．四个角都相等的四边形是正方形 B．四条边都相等的四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是正方形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是(D) A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是正方形 如图，用一张矩形纸片ABCD折出一个正方形，只需把一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则展开铺平后所得的四边形ABEF就是一个正方形，判断的依据是一组邻边相等的矩形是正方形(答案不唯一)． 3题图 (北京东城区期中)如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：①a，c，d；②b，c，d；③a，b，c.你认为能得到正方形的是①②．(填写你认为正确的序号) (教材母题变式)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE，DE相交于点E. 求证：四边形OCED是正方形． 5题图 证明：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OD＝OC，∠DOC＝90°， ∴平行四边形OCED是菱形． ∵∠DOC＝90°，∴菱形OCED是正方形． (广东深圳期末)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC. (1)求证：四边形AFDE为正方形； (2)若AD＝2，求四边形AFDE的面积． 6题图 (1)证明：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形． ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠EAD. ∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD， ∴∠EDA＝∠EAD， ∴AE＝DE，∴四边形AFDE是菱形． ∵∠BAC＝90°，∴四边形AFDE是正方形． (2)解：∵四边形AFDE是正方形， ∴AF＝DF＝DE＝AE，∠AED＝90°， ∴AE2＋DE2＝AD2. ∵AD＝2，∴AE＝DE＝2(舍负)， ∴四边形AFDE的面积为2×2＝4. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD的长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP. (1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； (2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形． 7题图 解：(1)四边形BPCO为平行四边形．理由： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OC＝OA＝AC， OB＝OD＝BD. 由作图，得OB＝CP，BP＝OC， ∴四边形BPCO为平行四边形． (2)当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO是正方形． 理由如下：∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°， ∴▱BPCO是矩形． ∵AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC， ∴OB＝OC，∴矩形BPCO是正方形． (教材母题变式)(山东聊城期中)如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN. (1)求证：四边形EFMN是正方形； (2)若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长． 1题图 (1)证明：∵AE＝BF＝CM＝DN， ∴AN＝DM＝CF＝BE. ∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE， ∴EN＝NM＝MF＝FE，∠ENA＝∠DMN， ∴四边形EFMN是菱形． ∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN＋∠DNM＝90°， ∴∠ENA＋∠DNM＝90°，∴∠ENM＝90°， ∴菱形EFMN是正方形． (2)解：∵AB＝7，AE＝3，∴AN＝BE＝4， ∴EN＝＝5， ∴正方形EFMN的周长＝4×5＝20. 如图，在▱ABCD中，∠A＝45°，过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E，且BE＝AB，连接BD，CE. (1)求证：四边形BDCE是正方形； (2)若P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM.求证：AN＝PB. 2题图 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD. ∵BE＝AB，∴BE＝CD， ∴四边形BDCE是平行四边形． ∵ED⊥AD，∠A＝45°， ∴∠A＝∠DEA＝45°， ∴△ADE是等腰直角三角形． 又∵AB＝BE，∴DB＝BE，DB⊥BE， ∴四边形BDCE是正方形． (2)∵四边形BDCE是正方形， ∴BD＝BE＝AB，∠DBP＝∠EBP＝45°. ∵PM＝PB，∴∠PBM＝∠PMB＝45°， ∴∠BPM＝90°，∴∠DPN＝∠BPM＝90°， ∴∠DPB＝∠NPM. 在△DBP和△NMP中， ∴△DBP≌△NMP(ASA)， ∴DB＝NM，∴AB＝NM，∴AN＝BM. ∵BP＝PM，∠BPM＝90°，∴BM＝BP， ∴AN＝BP. 如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，P，Q分别是BM，DN的中点． (1)求证：BM∥DN； (2)求证：四边形MPNQ是菱形； (3)矩形ABCD的边AB与AD满足什么数量关系时，四边形MPNQ为正方形？请说明理由． 3题图 (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC. 又∵M，N分别是AD，BC的中点， ∴DM＝BN，∴四边形DMBN是平行四边形， ∴BM∥DN. (2)证明：由(1)知BM＝DN，BM∥DN，∴MP∥NQ. ∵P，Q分别是BM，DN的中点，∴MP＝NQ， ∴四边形MPNQ是平行四边形． 连接MN. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠C＝90°. 又∵M，N分别是AD，BC的中点，∴DM＝CN， ∴四边形DMNC是矩形． ∵DN是矩形DMNC的对角线，且Q是DN的中点， ∴MQ＝NQ，∴▱MPNQ是菱形． (3)解：当AB＝AD时，四边形MPNQ为正方形．理由如下： ∵AB＝AD，∴AB＝AM，∴矩形ABNM是正方形． ∵P为正方形ABNM对角线BM的中点，∴∠NPM＝90°. 又∵四边形MPNQ是菱形，∴四边形MPNQ是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $