专题01 因式分解（十一大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

专题01 因式分解（十一大题型） 【题型1 判断是不是因式分解】...........................................................................................1 【题型2 已知因式分解的结果求参数】...............................................................................3 【题型3 公因式】.................................................................................................................4 【题型4 提公因式法分解因式】..........................................................................................6 【题型5 平方差公式分解因式】..........................................................................................7 【题型6 完全平方公式分解因式】.......................................................................................8 【题型7 综合提公因式和公式法分解因式】........................................................................9 【题型8 因式分解在有理数简算中的应用】.......................................................................10 【题型90字相乘法】.........................................................................................................13 【题型10 分组分解法】.......................................................................................................15 【题型11 因式分解的应用】...............................................................................................17 【题型1 判断是不是因式分解】 1.下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形为从左到右，根据定义即可判断各选项。 【详解】解：∵因式分解要求从左到右变形后，结果为几个整式的积的形式， ∴A 选项中右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； B 选项中，左边是多项式，右边，是两个整式的积的形式，变形正确，是因式分解； C 选项中，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解； D 选项中，右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解。 2.下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，判断变形是否将多项式转化为几个整式乘积的形式，即可得出答案。 【详解】选项A和选项C是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义， 选项D的结果是两个部分相加的形式，不是几个整式的积，不符合定义， 选项B将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义， 故选：B． 【点睛】因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫作因式分解。 3.下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，即把多项式化为几个整式乘积的形式，结合提公因式法，平方差公式对各选项逐一判断即可。 【详解】解：A、，选项错误； B.因式分解的结果需为几个整式的乘积，选项结果是和差形式，且正确分解结果为，选项错误； C.因式分解要求每个因式都必须是整式，选项结果中是分式，不是整式，选项错误； D.，选项正确。 4.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解的定义，即把一个多项式转化为几个整式的积的形式，依据定义逐项判断即可。 【详解】解：A选项右边不是整式积的形式，不是因式分解，故A不符合题意； B选项右边展开得，与左边不相等，变形错误，不是因式分解，故B不符合题意； C选项将多项式转化为，是几个整式的积的形式，符合因式分解的定义，故C符合题意； D选项右边不是整式积的形式，不是因式分解，故D不符合题意。 故选：C． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 5.已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（    ） A．4 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于的方程是解此题的关键。因多项式有一个因式是，则当时，多项式的值为零，由此得出关于的方程，求出方程的解即可。 【详解】解：∵多项式有一个因式是， ∴当时，多项式值为零，即， 解得， 即k的值为． 故选：B． 6.若能因式分解为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，熟练掌握运算法则是解题关键；将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，从而求出参数 a 的值。 【详解】解：∵， 又∵能因式分解为， ∴, 故选：A． 7．若和是的因式，则为（    ） A． B． C．7 D．3 【答案】D 【分析】本题考查因式分解、整式的乘法，理解整式和因式分解是互逆运算是解答的关键。利用多项式乘多项式求得，进而可求解p值。 【详解】解：∵， ∴, ∴, 故选：D． 8.已知，多项式可因式分解为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，先得出，结合多项式可因式分解为，列式，即可作答。 【详解】解：， ∵多项式可因式分解为， ∴, ∴, 故选：B 9.把分解因式得，则常数的值为（  ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘以多项式；根据多项式乘以多项式法则计算，再对比原多项式即可求解。 【详解】解：， ∴, 故选：D． 【题型3 公因式】 10.把多项式分解因式时，应提取的公因式是______。 【答案】 【分析】公因式：多项式的每一项都含有的因式。 【详解】解：的公因式是． 11.写出下列多项式的最大公因式： (1):_____． (2):_____． (3):_____． 【答案】 2 【分析】本题考查了多项式最大公因式的确定方法，掌握先找系数的最大公约数，再找各字母的最小指数的步骤是解题的关键。 对于每个多项式，先找出系数的最大公约数，再确定变量部分的最小指数，组合得到最大公因式。 【详解】解：（1）多项式的系数和的最大公约数为，变量和无公共变量，故最大公因式为； （2）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，故最大公因式为； （3）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，变量的最小指数为，故最大公因式为． 故答案为：；；． 12．整式的公因式是_____。 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求公因式，公因式是指：数字的最大公约数，相同字母的最低次幂的乘积，据此求解即可。 【详解】解：整式的公因式是， 故答案为：． 13．把分解因式时，应提取的公因式是________。 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算，提取公因式，掌握提取公因式的计算方法是关键。 找出多项式中各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数，确定公因式。 【详解】解：多项式中， 各项系数为，最大公约数为2， 字母部分，x的最小指数为1，y的最小指数为2，z的最小指数为1， ∴公因式为， 故答案为：． 【题型4 提公因式法分解因式】 14．分解因式_____。 【答案】 【分析】直接提取公因式即可完成分解。 【详解】解：． 15．因式分解：_______。 【答案】()() 【分析】提取公因式即可完成因式分解。 【详解】解：． 16．因式分解：____。 【答案】 【详解】解：. 17．分解因式：________ 【答案】 【分析】提取公因式完成因式分解。 【详解】解：． 18．已知，，则的值为___________。 【答案】 【分析】本题主要考查了用整体代入法求代数式的值、提公因式法分解因式，先对所求代数式用提取公因式法因式分解，再将已知条件整体代入计算即可。 【详解】解： ,, 可得：原式． 【题型5 平方差公式分解因式】 19．因式分解：______。 【答案】 【分析】运用平方差公式进行因式分解即可。 【详解】解：. 20．已知，，则________。 【答案】3 【分析】此题考查了利用平方差公式求值。利用平方差公式对进行因式分解，再代入已知等式求解的值。 【详解】解：根据平方差公式， 将，代入上式，得 解得 故答案为：3 21．分解因式：______。 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解。 先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解。 【详解】解：， 故答案为：． 22．因式分解__________。 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解。直接利用平方差公式进行因式分解即可。 【详解】解： 故答案为： 23．分解因式：________。 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键 ． 先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可， 【详解】解：， 故答案为：． 【题型6 完全平方公式分解因式】 24．因式分解：________。 【答案】 【分析】利用完全平方公式分解因式即可。 【详解】解：． 25．因式分解__________。 【答案】 【分析】观察多项式结构符合完全平方公式，直接套用公式分解即可。 【详解】解：. 26．因式分解：___________。 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式直接分解即可。 【详解】解：， 故答案为：． 27．因式分解：______。 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，先计算整式的乘法运算，再利用完全平方公式分解因式即可。 【详解】解： ; 故答案为： 28.因式分解的结果为______。 【答案】 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，利用完全平方法分解因式即可。 【详解】解：， 故答案为： 【题型7 综合提公因式和公式法分解因式】 29．分解因式：______。 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可。 【详解】解：． 30．分解因式：______。 【答案】/ 【分析】先提取公因式a，再用完全平方公式分解。 【详解】解： ． 31．分解因式：_____________。 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可。 【详解】解： ． 32．因式分解：_________。 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可。 【详解】解： ． 33．分解因式：______。 【答案】 【分析】原式先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可。 【详解】解： ． 34．分解因式：___________。 【答案】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可。 【详解】解：． 【题型8 因式分解在有理数简算中的应用】 35．利用因式分解计算：________。 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解。通过提取公因式2027进行因式分解，即可求解。 【详解】解： ． 故答案为 36.利用因式分解计算：_____。 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用；通过提取公因式进行因式分解后计算。 【详解】解： ． 故答案为 ． 37．计算的值为_____。 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键。 根据平方差公式因式分解即可求解。 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 38．______． 【答案】2025 【分析】先提取公因式2026，再利用裂项相消法拆分括号内的分数，抵消中间项后通过有理数运算求解。 【详解】解： ． 【题型90字相乘法】 39．因式分解：___________。 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，通过十字相乘法将二次三项式分解为两个一次因式的乘积。 【详解】解：， 故答案为：． 40．因式分解：___________。 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键。 利用十字相乘法进行因式分解即可。 【详解】解：, 故答案为：． 41．因式分解：_______。 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解即可。 【详解】解： ， 故答案为：． 42.在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误。甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________。 【答案】 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、因式分解的方法是解决此题的关键。甲同学看错一次项系数但常数项正确，故由甲的结果得；乙同学看错常数项但一次项系数正确，故由乙的结果得；因此原整式为，因式分解得结果。 【详解】解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确 ∴, ∵，乙看错常数项但一次项系数正确， ∴, ∴原整式为， ∵ ∴整式，即正确的因式分解结果是， 故答案为∶ ． 43.【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ。次项系数． Ⅱ。常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②, ③,④． Ⅲ。发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即（， 则． 像这样分解因式的方法叫作十字相乘法。 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式。 （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可。 【详解】（1）解： ; （2）解： ． 44.阅读材料： 我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型。 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题： （1）分解； （2）若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值。 【答案】(1) (2),, 【分析】本题主要考查了因式分解，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键。 （1）仿照题意找到两个数的和为负1，积为负12即可得到答案； （2）可分解为，其中，，根据题意可推出a、b都为整数，再把分解成两个整数的乘积即可得到答案。 【详解】（1）解：∵， ∴; （2）解：由题意得，可分解为，其中，， ∵m为整数， ∴为整数， 又∵， ∴a、b都为整数， ∵, ∴或或或或或 ∴的可能值为，，． 45.阅读下列材料，回答问题：形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和。把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ∴，可以得 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； (1) ． （2）分解因式：； （3）分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键。 （1）仿照题意根据，，进行分解因式即可； （2）仿照题意根据，，进行分解因式即可； （3）把看作一个整体，仿照题意根据，，进行分解因式即可。 【详解】（1）解：，， , 故答案为：； （2）解：，， ∴; （3）解：，， ∴ ． 【题型10 分组分解法】 46．分解因式：___________。 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先分组得到，再利用完全平方公式分解因式，进一步利用平方差公式分解因式即可。 【详解】解： , 故答案为：． 47．因式分解：_______。 【答案】 【分析】本题考查因式分解的分组分解法和提取公因式法，将多项式合理分组是解题关键。 将多项式中含相同公因式的项分为一组，先对每组分别提取公因式，再提取两组的公共公因式。 【详解】解： ， 故答案为：． 48．分解因式：①_________。②________。 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键。 ①先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； ②先分组得到，再利用提公因式法分解因式即可。 【详解】解：① , 故答案为：； ② , 故答案为：． 49．分解因式：______。 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的分组分解法与公式法，解题的关键是先将前三项分组为完全平方式，再与后一项结合用平方差公式分解。 先对多项式进行分组，将组合成完全平方式；再将得到的式子与结合，利用平方差公式继续分解。 【详解】解： 故答案为：（． 【题型11 因式分解的应用】 50.已知长方形的长是a，宽是b，它的长与宽的和为7，面积为10．则的值为（   ） A．140 B．70 C．35 D．24 【答案】B 【分析】由题意可得，，再对进行因式分解，最后代入求值即可。 【详解】解：由题意可得：，， ∴． 51.数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰。给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解。 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B.乙：，故此选项不符合题意； C.丙：，故此选项不符合题意； D.丁：，不能因式分解，故此选项符合题意。 52.小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美。现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 【答案】C 【分析】灵活运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键。先对式子提取公因式，再利用平方差公式分解，最后结合已知的式子与汉字的对应关系，得出结果呈现的密码信息。 【详解】解：， 又根据平方差公式可得，， 原式， 已知对应关系为对应安，对应爱，对应惠，对应我， 四个因式对应的汉字为我、爱、惠、安，结果呈现的密码信息是我爱惠安。 53．若，，则的值为（　　） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知的和的值整体代入计算即可得到结果，用到提取公因式法和完全平方公式。 【详解】解：∵ , 又∵，， ∴原式． 54．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解和整体代入法。先对所求代数式提取公因式进行变形，得到，再将已知条件代入计算即可求解。 【详解】解：， 又， , , 即的值为， 故选：． 55.数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念。在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为，也可以是，对于多项式，取时，密码不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解、求代数式的值，先对多项式进行因式分解，得到因式形式，再代入和的值，计算各因式的值，得到三个数字，然后检查选项是否这些数字的排列。 【详解】解： ， 代入 ，， 可得：，，， 因式值为 ， ， ， 可能密码有：，，，，，， 密码不可能是． 故选：D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解（十一大题型） 【题型1 判断是不是因式分解】...........................................................................................1 【题型2 已知因式分解的结果求参数】...............................................................................2 【题型3 公因式】.................................................................................................................2 【题型4 提公因式法分解因式】..........................................................................................2 【题型5 平方差公式分解因式】..........................................................................................3 【题型6 完全平方公式分解因式】.......................................................................................3 【题型7 综合提公因式和公式法分解因式】........................................................................3 【题型8 因式分解在有理数简算中的应用】.......................................................................3 【题型90字相乘法】.........................................................................................................3 【题型10 分组分解法】.......................................................................................................5 【题型11 因式分解的应用】...............................................................................................5 【题型1 判断是不是因式分解】 1.下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2.下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3.下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 4.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 5.已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（    ） A．4 B． C．12 D． 6.若能因式分解为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．7 7．若和是的因式，则为（    ） A． B． C．7 D．3 8.已知，多项式可因式分解为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 9.把分解因式得，则常数的值为（  ） A．4 B． C．5 D． 【题型3 公因式】 10.把多项式分解因式时，应提取的公因式是______。 11.写出下列多项式的最大公因式： (1):_____． (2):_____． (3):_____． 12．整式的公因式是_____。 13．把分解因式时，应提取的公因式是________。 【题型4 提公因式法分解因式】 14．分解因式_____。 15．因式分解：_______。 16．因式分解：____。 17．分解因式：________ 18．已知，，则的值为___________。 【题型5 平方差公式分解因式】 19．因式分解：______。 20．已知，，则________。 21．分解因式：______。 22．因式分解__________。 23．分解因式：________。 【题型6 完全平方公式分解因式】 24．因式分解：________。 25．因式分解__________。 26．因式分解：___________。 27．因式分解：______。 28.因式分解的结果为______。 【题型7 综合提公因式和公式法分解因式】 29．分解因式：______。 30．分解因式：______。 31．分解因式：_____________。 32．因式分解：_________。 33．分解因式：______。 34．分解因式：___________。 【题型8 因式分解在有理数简算中的应用】 35．利用因式分解计算：________。 36.利用因式分解计算：_____。 37．计算的值为_____。 38．______． 【题型90字相乘法】 39．因式分解：___________。 40．因式分解：___________。 41．因式分解：_______。 42.在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误。甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________。 43.【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ。次项系数． Ⅱ。常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②, ③,④． Ⅲ。发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即（， 则． 像这样分解因式的方法叫作十字相乘法。 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1); (2)． 44.阅读材料： 我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型。 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题： （1）分解； （2）若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值。 45.阅读下列材料，回答问题：形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和。把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ∴，可以得 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； (1) ． （2）分解因式：； （3）分解因式：． 【题型10 分组分解法】 46．分解因式：___________。 47．因式分解：_______。 48．分解因式：①_________。②________。 49．分解因式：______。 【题型11 因式分解的应用】 50.已知长方形的长是a，宽是b，它的长与宽的和为7，面积为10．则的值为（   ） A．140 B．70 C．35 D．24 51.数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰。给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 52.小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美。现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 53．若，，则的值为（　　） A．1 B．3 C．6 D．9 54．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 55.数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念。在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为，也可以是，对于多项式，取时，密码不可能为（　　） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $