第四章 因式分解基础过关自测卷-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

第四章 因式分解基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义及常用方法（提公因式法、公式法），判断每个选项是否将多项式化为几个整式的乘积形式且分解彻底即可。 【详解】解：A选项：，故A错误； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：的结果不是整式的乘积形式，不符合因式分解的定义，故D错误。 故选：B． 2.多项式的最大公因式是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求多项式的最大公因式，找最大公因式的要点是：（1）最大公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的，据此求解即可。 【详解】解：由题意得，多项式的最大公因式是， 故选：D． 3.将多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键。 运用平方差公式进行因式分解求解即可。 【详解】解：运用平方差公式进行因式分解可得： ． 故选：D． 4．若，则等于（   ） A．16 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，正确计算是解题的关键。 通过平方差公式展开右边，与左边比较常数项，解出的值。 【详解】解：∵ ， ∴ , ∴ , ∴ , ∴ . 故选：B． 5.甲、乙两名同学在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了提公因式法分解因式。 公因式是多项式中各项都含有的因式，需取系数的最大公因数和形同字母的最低次幂。 【详解】解：∵多项式中，各项系数为2和（绝对值最大公因数为2），字母部分为和（最低次幂为）， ∴公因式为． 故选：D． 6．若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 【答案】C 【分析】先由已知条件得出，再把变形为，整体代入即可得到答案。 【详解】解： ， , ． 7.嘉嘉借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，淇淇发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①;②;③;④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 【答案】B 【分析】根据平方差公式分解因式的特点，多项式需为两个平方项且符号相反，据此逐一判断四个式子即可得到结果。 【详解】解：能用平方差公式分解因式的多项式需满足：可化为的形式，即两个平方项符号相反。 ∵①，符合平方差形式，可以分解； ②，两个平方项符号相同，无法写成平方差的形式，不能分解； ③，符合平方差形式，可以分解； ④，符合平方差形式，可以分解。 ∴不能按要求分解因式的是②题。 8.利用因式分解可以知道能够被某个数整除，这个数是（   ） A．18 B．28 C．36 D．64 【答案】D 【分析】使用平方差公式对 进行因式分解，找出其因子。 本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键。 【详解】解：∵ 又 ∵ ∴ ∴ 能够被 64 整除。 故选：D． 9.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，a，，分别对应下列五个字：十、堰、我、爱、游，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．游十堰 B．我爱游 C．我爱十堰 D．我游十堰 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，先对多项式进行因式分解，得到，再根据密码手册中的对应关系即可得出答案。 【详解】解： ， 由题意得，，，，a分别对应：十、堰、我、爱， ∴结果呈现的密码信息可能是“我爱十堰”， 故选：C． 10．已知，，则代数式的值为（   ） A．30 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，求代数式的值；将代数式通过因式分解后，整体代入已知条件计算即可。 【详解】解：∵ ， 又∵, ， ∴ 原式． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。） 11．因式分解：____。 【答案】 【分析】根据提公因式法进行因式分解即可。 【详解】解：原式． 12．分解因式：______。 【答案】 【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可。 【详解】解：． 13.关于x的二次三项式的最小值是_________。 【答案】1 【分析】利用完全平方公式分解因式结合平方的非负性求最小值即可。 【详解】解：， , , ∴的最小值是. 14．已知实数，满足，，则 _______。 【答案】 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再整体代入已知条件计算即可。 【详解】解： ， 将，代入，得原式． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.（8分）因式分解： (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查综合运用提公因式法和公式法进行因式分解，掌握因式分解的技巧正确计算是本题的解题关键。 （1）先提公因式后再利用平方差公式分解即可； （2）先提公因式后再利用完全平方公式分解即可。 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 16.（8分）如下图，把（单位：）、、三个电阻串联起来。设线路上通过的电流为（单位：），线路两端的电压为（单位：），则．当，，，时，求线路两端的电压。 【答案】线路两端的电压为 【分析】本题考查了因式分解的应用，串联电路的电压公式，掌握提取公因式简化计算是解题的关键。 先对电压公式提取公因式简化计算，再代入电阻和电流的数值求出总电压。 【详解】解：． 当，，，时， 原式， 线路两端的电压为． 17.（8分）先阅读下题的解答过程，然后完成后面的问题。 已知二次三项式有一个因式是，求的值。 解法一：设， , ，解得， 的值为． 解法二：设（为整式）， 当，即时，， 把代入，得， 根据上面材料，选择一种方法解答下列各题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求的值； （2）多项式分解因式后有一个因式是，求的值。 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键。 （1）把代入即可求解； （2）把代入即可求解。 【详解】（1）解：设（为整式） 当，即时，． 把代入，得， ． （2）解：设（为整式） 当，即时，， 把代入，得， ． 18.（8分）阅读材料：利用因式分解生成密码 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码，规则是：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码。例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码。将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码。 （1）已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是________； （2）已知多项式，用上述方法生成密码，若p、q都是正整数，且密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？ （3）多项式，当，时，利用题目中所示的方法，可以得到密码101213，求m的值。 【答案】(1)1525425 (2)125 (3) 【分析】本题主要考查因式分解，新定义问题，正确理解新定义是解题的关键。 （1）将多项式分解因式，代入数值计算因式码，然后按从小到大的顺序排列形成密码即可； （2）先将多项式分解因式，再根据题意排序，由前两个因式码可得方程组，解方程组代入第三个因式码即可得解； （3）先将多项式分解因式，再根据已知数据及密码101213排序，得出对应方程，解方程即可。 【详解】（1）解：， 当取，时，，，， ∴生成的密码是1525425． 故答案为：1525425； （2）解：， 、q都是正整数， ． ，，解得． 第三个因式码为； （3）解：． 根据题意，当，时，三个因式码为10，12，． 又∵密码为101213， ∴三个因式码为10，12，13， ∴, ． 19.（8分）阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式。 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键。 （）利用分组分解法解答即可； （）利用分组分解法解答即可； 【详解】（1）解： ; （2）解： ． 20.（8分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如：，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数。 （1）直接判断：28 （是或不是）“神秘数”，2025 （是或不是）“神秘数”： （2）设两个连续偶数为和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？请说明理由。 【答案】(1）是，不是 （2）这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数，理由见解析 【分析】（1）对于第一空可由得到答案；两个连续的偶数的平方的差一定是偶数，则神秘数一定要是偶数，据此可得第二空的答案； （2）利用平方差公式把因式分解得到，据此可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴28是神秘数； ∵偶数的平方一定是偶数， ∴两个连续的偶数的平方的差一定是偶数， ∴不存在两个连续偶数的平方差的结果为2025， ∴2025不是神秘数， （2）解：是，理由如下： , 又∵k是非负整数， ∴是正整数， ∴由两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数； 21.（10分）阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法。但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。过程如下： ． 这种分解因式的方法叫作分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由。 【答案】(1) （2）为等腰三角形或直角三角形，理由见解析。 【分析】（1）利用分组分解法进行求解即可； （2）利用分组分解法将等式左边的多项式进行因式分解后，进行判断即可。 【详解】（1）解： ; （2）解：为等腰三角形或直角三角形，理由如下： , , , , , ∵、、是的三边长， ∴， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 因式分解基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2.多项式的最大公因式是（    ） A． B． C．3 D． 3.将多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若，则等于（   ） A．16 B． C．4 D． 5.甲、乙两名同学在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（    ） A．2 B． C． D． 6．若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 7.嘉嘉借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，淇淇发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①;②;③;④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 8.利用因式分解可以知道能够被某个数整除，这个数是（   ） A．18 B．28 C．36 D．64 9.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，a，，分别对应下列五个字：十、堰、我、爱、游，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．游十堰 B．我爱游 C．我爱十堰 D．我游十堰 10．已知，，则代数式的值为（   ） A．30 B． C． D． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。） 11．因式分解：____。 12．分解因式：______。 13.关于x的二次三项式的最小值是_________。 14．已知实数，满足，，则 _______。 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.（8分）因式分解： (1); (2)． 16.（8分）如下图，把（单位：）、、三个电阻串联起来。设线路上通过的电流为（单位：），线路两端的电压为（单位：），则．当，，，时，求线路两端的电压。 17.（8分）先阅读下题的解答过程，然后完成后面的问题。 已知二次三项式有一个因式是，求的值。 解法一：设， , ，解得， 的值为． 解法二：设（为整式）， 当，即时，， 把代入，得， 根据上面材料，选择一种方法解答下列各题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求的值； （2）多项式分解因式后有一个因式是，求的值。 18.（8分）阅读材料：利用因式分解生成密码 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码，规则是：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码。例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码。将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码。 （1）已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是________； （2）已知多项式，用上述方法生成密码，若p、q都是正整数，且密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？ （3）多项式，当，时，利用题目中所示的方法，可以得到密码101213，求m的值。 19.（8分）阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式。 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1); (2)． 20.（8分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如：，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数。 （1）直接判断：28 （是或不是）“神秘数”，2025 （是或不是）“神秘数”： （2）设两个连续偶数为和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？请说明理由。 21.（10分）阅读理解 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法。但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。过程如下： ． 这种分解因式的方法叫作分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知的三边长、、满足条件：，判断的形状，并说明理由。 1 学科网（北京）股份有限公司 $