第01讲 因式分解（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

该初中数学因式分解单元复习讲义通过框架图系统梳理了6个核心考点，以“定义-公因式-方法-综合应用”为逻辑主线，将提公因式法、公式法等重点内容与公因式判断、分解彻底等难点形成知识网络，清晰呈现内在联系。 讲义亮点在于“基础巩固-能力提升”的分层练习设计，如“题型7综合提公因式和公式法”通过典例与变式题结合，培养运算能力和推理意识。配备应用题型（如几何形状判断），基础学生掌握步骤，优秀学生深化思维，助力教师实施精准教学。

第01讲 因式分解 考点1：因式分解的定义 考点2：公因式的定义 考点3：提公因式分解 考点4：公式法分解 考点5：提公因式与公式法分解因式综合 考点6：十字相乘法分解因式 重点：掌握提公因式法和公式法进行因式分解。 难点★：准确判断公因式、灵活选用公式，分解彻底且规范。 1.理解因式分解的概念，明确与整式乘法的互逆关系。 2.掌握提公因式法、公式法（平方差、完全平方）的基本步骤。 3.能正确、规范地对多项式进行因式分解，培养运算能力。 知识点1：因式分解的定义 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫作把这个多项式因式分解。 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。 3.弄清因式分解与整式乘法的内在关系。 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式。 【题型1 判断是不是因式分解】. 【典例1】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断即可。 【详解】解：∴A选项变形是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解， B选项是将多项式变形为几个整式乘积的形式，是因式分解， C选项左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解要求， D选项是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解。 【变式1】下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫作因式分解。 【详解】解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解。 【变式2】下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对选项A：， ∴ A错误； 对选项B：（， ∴ B错误； 对选项C：， ∴ C错误； 对选项D：，符合完全平方公式，因式分解正确， ∴ D正确。 【变式3】下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（  ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各选项逐一判断即可。 【详解】解：对于A：（，右边是多项式，不是整式的乘积，属于整式乘法，不是因式分解； 对于B：，左边是单项式，不是多项式，不是因式分解； 对于C：，右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解； 对于D：，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，是因式分解。 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 【典例2】把关于的多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．2,3 B．, C．,3 D．2, 【答案】B 【分析】计算，与的对应项系数相等，即可得，的值。 【详解】解：根据题意可得， ∴,． 【变式1】已知，则a的值为（   ） A．1 B．3 C．-3 D．-1 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解及整式的乘法，熟练掌握因式分解及整式的乘法是解题的关键；通过展开因式并比较多项式系数即可求解。 【详解】解：∵=， 展开右边：， 比较系数得：， ∴, ∴, 常数项与左边一致， ∴a的值为3； 故选B． 【变式2】若，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系。 本题展开右边多项式，与左边比较项系数即可得，然后即可求解。 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ , 比较项系数得：； 故选：A. 【变式3】把多项式分解因式，得，则a，b的值分别是（    ） A．, B．, C．, D．, 【答案】B 【分析】此题考查多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键。 将因式展开后与多项式比较系数，求出a和b的值即可。 【详解】解：∵ , 又∵原多项式为， ∴,, ∴． 故选B． 知识点2：公因式 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫作这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 【题型3 公因式】 【典例3】与的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式最大公因式的求解，需分别确定系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，再将它们相乘得到最大公因式。 【详解】解：根据最大公因式的确定方法：①系数取最大公因数，②字母取公共的字母，③相同字母指数取最小的， ∴与的最大公因式是． 故选：C． 【变式1】用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键。 先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂。 【详解】∵多项式中，系数3和9的最大公因数是3，字母部分和的最低次幂是x． ∴该多项式的公因式为． 故选：C 【变式2】多项式分解因式时应提取的公因式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握找公因式的要点是解题的关键。 找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的。根据找公因式的要点解题即可。 【详解】解：多项式分解因式时应提取的公因式为：， 故选：A． 【变式3】多项式和的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式求解，准确的计算是解决本题的关键。 通过因式分解发现其含有因式，且能整除自身，则可判断。 【详解】解：∵，且， ∴是公因式。 故选D． 知识点3：提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式。 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项。 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。 【题型4 提公因式法分解因式】 【典例4】因式分解：_____。 【答案】4 【分析】先确定多项式各项的公因式，再提取公因式完成分解即可。 【详解】解： = =． 【变式1】因式分解：________。 【答案】 【分析】找出多项式各项的公因式，提取公因式即可得到结果。 【详解】解：． 【变式2】分解因式：__________。 【答案】/ 【分析】观察多项式，确定公因式为，使用提公因式法即可分解因式。 【详解】解：原式． 【变式3】如果，，那么的值为______。 【答案】3 【分析】先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知的和的值整体代入计算即可。 【详解】解：对因式分解，得， 将，代入上式，得 原式． 知识点4：公式法分解 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【题型5 平方差公式分解因式】 【典例5】因式分解：______。 【答案】 【分析】观察，符合平方差公式形式，分解为． 【详解】． 【变式1】分解因式：___________。 【答案】 【分析】根据平方差公式即可求解。 【详解】解：． 【变式2】因式分解：______。 【答案】 【分析】利用平方差公式分解因式即可。 【详解】解：． 【变式3】因式分解：______ 【答案】 【详解】解：． 【题型6 完全平方公式分解因式】 【典例6】分解因式：_______。 【答案】/ 【分析】本题考查公式法分解因式，观察多项式结构符合完全平方公式的形式，运用完全平方公式分解即可。 【详解】由题意得，根据完全平方公式可得： . 【变式1】因式分解：____________。 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的公式法是解题的关键。 根据完全平方公式分解因式即可。 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】因式分解：______ 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫作因式分解。因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法。因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止。 用完全平方公式分解即可。 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】分解因式：_______________。 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解，直接根据完全平方公式进行分解即可。 【详解】解：． 故答案为： 知识点5：提公因式与公式法结合 （1）提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 （2）公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 【题型7 综合提公因式和公式法分解因式】 【典例7】因式分解：____________。 【答案】 【分析】先提取公因式，再通过平方差公式因式分解即可。 【详解】解：原式 ． 【变式1】分解因式：______。 【答案】/ 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解即可。 【详解】解：． 【变式2】分解因式：______。 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可。 【详解】解： ． 【变式3】分解因式：_________。 【答案】 【分析】先提取多项式各项的公因式，再利用公式法进一步分解，确保分解彻底。 【详解】解：． 【题型8 因式分解在有理数简算中的应用】 【典例8】计算 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 直接提取公因式，进而得出答案。 【详解】解： ． 故选：A． 【变式1】利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 【答案】C 【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用。 通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算。 【详解】解： ． 故选：C． 【变式2】已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题。本题的关键是把所求代数式分解因式。由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算。 【详解】解：∵ ， ∵,, ∴, 故选：D． 【变式3】利用因式分解计算：的结果是（    ） A．44 B．800 C．2200 D．8800 【答案】D 【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可。 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键。即． 知识点6：十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  (x+p )(x+q ) 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ． 【题型90字相乘法】 【典例9】阅读下列材料，并完成后面的任务。 在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如下图所示。 任务： (1）因式分解：____________。 （2）若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数的所有可能的值。 【答案】(1) （2）整数的所有可能的值为或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解的知识点，掌握十字相乘法中 “常数项分解为两数之积，一次项系数为这两数之和” 的规律是解题的关键。 （1）利用十字相乘法，找到两个数，它们的和等于一次项系数，积等于常数项，从而分解因式； （2）列出常数项的所有整数因数对，计算每对因数的和，这些和就是的所有可能值。 【详解】（1）解：∵二次三项式中，常数项，一次项系数 ∴ ． （2）解：∵二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式， ,,,, ∴整数的所有可能的值为或或或， 即整数的所有可能的值为或． 【变式1】材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： （1）用十字相乘法将分解因式的结果为________； （2）用十字相乘法将分解因式的结果为________； （3）若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值。 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的因式分解： （1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解。 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解：由题意得， 均为整数， , ． 【变式2】在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”。例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示。 仿照上述方法进行因式分解。 (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解十字相乘法中 “常数项为两数之积，一次项系数为两数之和” 的核心关系，并能找出符合条件的因数对。 （1）用十字相乘法分解因式； （2）用十字相乘法分解因式。 【详解】（1）解：， 多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是， 如图所示， （2）解：， 多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是， 如图所示， ． 【变式3】【阅读与思考】请认真阅读下列材料，并完成相应的任务。 分解因式，我们可以按下面的方法解答。 ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式：（，（． ．我们把这种因式分解的方法形象地称为十字相乘法。 【任务】试用十字相乘法把下列各式分解因式： (1); (2); (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法分别求解（1）（2）（3）即可。 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【题型10 分组分解法】 【典例10】分解因式：________。 【答案】 【分析】运用分组分解法分解因式，将原式合理分组后，分别提取公因式，然后再次提取公因式即可得到结果。 【详解】解：原式 ． 【变式1】分解因式：______。 【答案】 【分析】利用分组分解法，先分解二次项部分，再提取公因式即可求解。 【详解】解： ． 【变式2】分解因式：______。 【答案】 【分析】先将前三项分为一组，利用完全平方公式分解，再利用平方差公式继续分解即可得到最终结果。 【详解】原式 ． 【变式3】因式分解：___________。 【答案】 【分析】本题考查了因式分解。运用分组分解法，先将多项式合理分组，再依次利用提取公因式法、平方差公式进行因式分解，直至分解为几个整式的积的形式。 【详解】解： 故答案为：． 【题型11 因式分解的应用】 【典例11】要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫作分组分解法。 （1）请用上述方法分解因式：； (2）已知，，求式子的值； （3）已知的三边长，满足，试判断的形状。 【答案】(1) (2) （3）是等腰三角形。 【分析】（1）根据分组分解法因式分解即可； （2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可； （3）根据分组分解法因式分解后，得到，即可得到结论。 【详解】（1）解： ． (2) ,, ． (3) ∵的三边长， ∴ ∴， ∴ ∴是等腰三角形。 【变式1】已知，，则的值是_________。 【答案】8 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入求值即可。 【详解】解：对所求多项式因式分解，得 , , 将，代入得， 原式. 【变式2】若长方形的长为，宽为，它的周长为24，面积为32，则____。 【答案】384 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及长方形的性质。直接利用长方形的性质结合提取公因式法分解因式得出答案。 【详解】解：由题意可得：，， 则， 故 ． 故答案为：384． 【变式3】已知． （1）求的值； （2）求的值。 【答案】(1)15 (2)19 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值。 （1）将原式变形为，再代入求值即可； （2）将原式变形为，再代入求值即可。 【详解】（1）解： 当时， 原式； （2）解： 当时， 原式． 1.下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，对各选项逐一判断即可。 【详解】解：A选项右边是和的形式，整个式子没有化为几个整式的乘积的形式，不符合因式分解的定义，错误。 B选项右边是差的形式，整个式子没有化为几个整式的乘积的形式，不符合因式分解的定义，错误。 C选项左边多项式变形后为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，正确。 D选项变形是整式乘法，是将乘积化为和的形式，不是因式分解，错误。 2．已知，，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解。 再整体代入已知条件计算即可。 【详解】解：对所求式子因式分解得：， ∵ ,, ∴ 原式． 3.把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查提公因式法分解因式，需确定各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数。 【详解】解：∵ ， ∴应提取的公因式是， 故选：B． 4.下列二次三项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式，掌握知识点是解题的关键。 完全平方式的形式为，通过比较各选项的系数判断是否符合即可。 【详解】解：A．在中，常数项是，是负数，该项不可能是完全平方式，不符合题意； B．，一次项系数的一半的平方为，该项不是完全平方式，不符合题意； C．，中间项应为，该项不是完全平方式，不符合题意； D． ，该项是完全平方式，符合题意。 故选D． 5.把多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．, B．, C．, D．, 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法，根据因式分解结果求参数，解题的关键是熟练掌握多项式乘法。根据多项式乘法，计算，由对应项系数相等，即可得，的值。 【详解】解：∵把多项式分解因式，得， ∴, ∴,, 故选：． 6．若，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，利用平方差公式分解因式，再代值求解即可。 【详解】解：∵，， ∴, 解得， 故选：A． 7.若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出的值。 【详解】解：（ , 又∵， ∴多项式对应项系数相等， 得， 解得， 代入得． 8.若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，根据完全平方公式的形式，对应系数列方程求解即可得到结果。 【详解】解：先将原式变形可得 ∵该多项式是完全平方式，完全平方公式符合 ∴一次项系数满足 即 分两种情况计算： 当时，解得 当时，解得 ∴的值为或． 9.小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”，“我”，“爱”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．最美铁曲 B．我爱最美 C．我爱美曲 D．我爱铁曲 【答案】A 【分析】先对原式因式分解，再根据因式与汉字的对应关系得到密码信息，即可选出正确选项。 【详解】解： ∵ ，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”， ∴结果呈现的密码信息可能是最美铁曲。 10．因式分解：_____。 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可。 【详解】解： ． 11．已知，，则代数式的值是______。 【答案】 【分析】先把提公因式分解因式，再整体代入进行计算即可。 【详解】解：由， ∵,, ∴原式， ∴代数式的值是． 12.已知多项式可分解因式为，则为_____。 【答案】 【分析】本题考查了因式分解。 计算，进而根据“多项式可分解因式为”即可得出的值。 【详解】解：， ∵多项式可分解因式为， ∴． 故答案为：． 13.分解因式： (1); (2); (3)． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法。 （1）先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解； （3）先提取公因式，再用平方差公式分解。 【详解】（1）解：， , ; （2）解： , ; （3）解：， , ． 14.阅读材料：对于某些二次三项式（a、b、c是常数，且），可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方式，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”。例如：因式分解：． 解：原式． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用“配方法”因式分解：； (2）若，求M的最小值。 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用： （1）原式常数项化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可。 【详解】（1）解： ; （2）解： ∵, ∴当时，有最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 因式分解 考点1：因式分解的定义 考点2：公因式的定义 考点3：提公因式分解 考点4：公式法分解 考点5：提公因式与公式法分解因式综合 考点6：十字相乘法分解因式 重点：掌握提公因式法和公式法进行因式分解。 难点★：准确判断公因式、灵活选用公式，分解彻底且规范。 1.理解因式分解的概念，明确与整式乘法的互逆关系。 2.掌握提公因式法、公式法（平方差、完全平方）的基本步骤。 3.能正确、规范地对多项式进行因式分解，培养运算能力。 知识点1：因式分解的定义 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫作把这个多项式因式分解。 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。 3.弄清因式分解与整式乘法的内在关系。 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式。 【题型1 判断是不是因式分解】. 【典例1】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（  ）。 A． B． C． D． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 【典例2】把关于的多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．2,3 B．, C．,3 D．2, 【变式1】已知，则a的值为（   ） A．1 B．3 C．-3 D．-1 【变式2】若，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【变式3】把多项式分解因式，得，则a，b的值分别是（    ） A．, B．, C．, D．, 知识点2：公因式 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫作这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 【题型3 公因式】 【典例3】与的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（    ） A．3 B． C． D． 【变式2】多项式分解因式时应提取的公因式为（   ） A． B． C． D． 【变式3】多项式和的公因式是（    ） A． B． C． D． 知识点3：提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式。 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项。 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。 【题型4 提公因式法分解因式】 【典例4】因式分解：_____。 【变式1】因式分解：________。 【变式2】分解因式：__________。 【变式3】如果，，那么的值为______。 知识点4：公式法分解 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【题型5 平方差公式分解因式】 【典例5】因式分解：______。 【变式1】分解因式：___________。 【变式2】因式分解：______。 【变式3】因式分解：______ 【题型6 完全平方公式分解因式】 【典例6】分解因式：_______。 【变式1】因式分解：____________。 【变式2】因式分解：______ 【变式3】分解因式：_______________。 知识点5：提公因式与公式法结合 （1）提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 （2）公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 【题型7 综合提公因式和公式法分解因式】 【典例7】因式分解：____________。 【变式1】分解因式：______。 【变式2】分解因式：______。 【变式3】分解因式：_________。 【题型8 因式分解在有理数简算中的应用】 【典例8】计算 等于（ ） A． B． C． D． 【变式1】利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 【变式2】已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 【变式3】利用因式分解计算：的结果是（    ） A．44 B．800 C．2200 D．8800 知识点6：十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  (x+p )(x+q ) 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ． 【题型90字相乘法】 【典例9】阅读下列材料，并完成后面的任务。 在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如下图所示。 任务： (1）因式分解：____________。 （2）若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数的所有可能的值。 【变式1】材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： （1）用十字相乘法将分解因式的结果为________； （2）用十字相乘法将分解因式的结果为________； （3）若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值。 【变式2】在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”。例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示。 仿照上述方法进行因式分解。 (1); (2)． 【变式3】【阅读与思考】请认真阅读下列材料，并完成相应的任务。 分解因式，我们可以按下面的方法解答。 ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式：（，（． ．我们把这种因式分解的方法形象地称为十字相乘法。 【任务】试用十字相乘法把下列各式分解因式： (1); (2); (3)． 【题型10 分组分解法】 【典例10】分解因式：________。 【变式1】分解因式：______。 【变式2】分解因式：______。 【变式3】因式分解：___________。 【题型11 因式分解的应用】 【典例11】要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫作分组分解法。 （1）请用上述方法分解因式：； (2）已知，，求式子的值； （3）已知的三边长，满足，试判断的形状。 【答案】(1) (2) （3）是等腰三角形。 【变式1】已知，，则的值是_________。 【变式2】若长方形的长为，宽为，它的周长为24，面积为32，则____。 【变式3】已知． （1）求的值； （2）求的值。 1.下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 3.把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D．2 4.下列二次三项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 5.把多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．, B．, C．, D．, 6．若，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7.若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8.若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 9.小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”，“我”，“爱”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．最美铁曲 B．我爱最美 C．我爱美曲 D．我爱铁曲 10．因式分解：_____。 11．已知，，则代数式的值是______。 12.已知多项式可分解因式为，则为_____。 13.分解因式： (1); (2); (3)． 14.阅读材料：对于某些二次三项式（a、b、c是常数，且），可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方式，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”。例如：因式分解：． 解：原式． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用“配方法”因式分解：； (2）若，求M的最小值。 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