2026年中考数学模拟猜题卷（江苏连云港专用）

2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．有理数﹣2026的绝对值是（　　） A．2026 B． C．﹣2026 D． 2．ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　） A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011 3．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A．a＞5 B．a＜﹣5 C．a≥﹣5 D．a≤﹣5 4．一个三角形的两边长分别为2cm和6cm，第三边长为偶数，则该三角形的第三边长为（　　） A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm 5．如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝6cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（　　） A．22cm B．24cm C．26cm D．28cm 6．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．合伙人数、物品的价格分别是多少？设人数为x，则可列方程为（　　） A．8x﹣3＝7x+4 B．8x+3＝7x﹣4 C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A和B，则关于x方程的解是（　　） A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝﹣1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣1，x2＝﹣5 8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH，连结EG并延长交AB于点I，交CD于点J，正方形ABCD的面积为S1，正方形EFGH的面积为S2，若AIBI时，则的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．如果单项式2x3yn与﹣6xm+5y的和仍是单项式，则m+n＝ 　 　 ． 10．因式分解：（x2+1）2﹣4x2＝　 　 ． 11．如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，折射光线BC射到水底C处，点D在AB的延长线上，若∠1＝67°，∠2＝45°，则∠DBC的度数为 　 　 ． 12．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2米，若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为　 　 米． 13．如图，若△ABC内接于⊙O，∠BAC＝50°，的长是，则⊙O的半径是　 　 ． 14．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．小雪的镜片焦距为0.2米时，眼镜度数为500度，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距变为0.5米，此时眼镜的度数为 　 　 度． 15．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是　 　 ． 16．如图，在菱形ABCD中，，BD＝4，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为　 　 ． 三、解答题（本大题共11小题，满分102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）解方程：． 19．（6分）解不等式组． 20．（8分）中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．在航天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选择一个主题进行介绍．下面是班长制作正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同．将这4张卡片背面向上，洗匀，放好． A．嫦娥探月 B．天问探火 C．北斗组网 D．神舟飞天 （1）小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是　 　 ； （2）若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主题相同的概率（卡片名称用A，B，C，D表示即可）． 21．（10分）某校举行全体学生“禁毒知识竞赛”活动，每位学生完成20道选择题．现随机抽取了部分学生的答对题数，绘制成如下不完整的图表． 组别 A B C D E 答对题数x 20 16≤x＜20 12≤x＜16 8≤x＜12 0≤8x＜8 人数 10 15 25 m n 根据以上信息，完成下列问题： （1）统计表中的m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）求扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数？ （3）已知该校共有1800名学生，若答对题数不小于16个定为优秀，请你估计该校本次“禁毒知识竞赛”优秀的学生人数． 22．（10分）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入5000kJ热量和80g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共8包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 23．（10分）如图，某天我国一艘海监船巡航到B港口正西方的A处时，发现在A的北偏东60°方向，相距150海里的C处有一可疑船只正沿CB方向行驶，点C在B港口的北偏东30°方向上，海监船向B港口发出指令，执法船立即从B港口沿BC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时点D与点A的距离为海里． （1）求点A到直线CB的距离． （2）执法船从B到D航行了多少海里？ 24．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于D，E，点F在AC的延长线上． （1）尺规作图：连接AE，作∠CBF＝∠BAE（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：直线BF是⊙O的切线； （3）若AB＝10，，求BC和CF的长． 25．（12分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+1． （1）若二次函数的图象经过点（1，﹣2），求a的值； （2）在（1）的条件下，当m﹣2≤x≤2时，二次函数的最大值是6，求m的值； （3）已知点A（﹣2，7），B（3，2），直线AB与x轴和y轴分别交于点E，F，若y＝x2﹣2ax+1与直线AB有两个不同的交点，其中一个交点在线段AF上（包含A，F两个端点），另一个交点在线段BE上（包含B，E两个端点），直接写出a的取值范围． 26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y）与P2（x2，y2）的“近似距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|y1﹣y2|． （1）已知点P（3，﹣5），点Q（1，0），求点P与点Q的“近似距离”； （2）已知点A（0，﹣2），B为x轴上的动点． ①若点A与点B的“近似距离”为5，试求出满足条件的点B的坐标； ②求出点A与点B的“近似距离”的最小值． 27．（12分）折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们准备了一张边长为6cm的正方形纸片，以“正方形的折叠”为主题开展了数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图①，在正方形ABCD的边AD上任选一点E，沿BE折叠，使点A落在点G处，把纸片展平，折痕BE与对角线AC交于点I； 操作二：将边BC折叠，使点C落在射线BG上，折痕交CD于点F，把纸片展平，折痕BF与正方形的对角线AC交于点H． （1）根据以上操作，得∠EBF的度数为 　 　 ． 【迁移探究】 （2）经过多次操作，同学们发现EF与HI的比值不变，试求出该比值． 【拓展提升】 （3）小明在操作中不慎将正方形纸片撕破，得到一个矩形ABCD，其中AB为6cm，AD为4cm，如图②，经过上述操作一、二，得到折痕BE、BF，EG的延长线与BF的延长线交于点K，当点E在线段AD（E不与A重合）上运动时，求点K到直线AD的最大距离． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟猜题卷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B C A D B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．﹣1 10. （x+1）2（x﹣1）2 11．22° 12．2.5 13．4.5 14. 200 15．3m 16．2 三、解答题（本大题共11小题，满分102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 解： ．···········································································6分 18．（6分） 解：， 3﹣x＝2（x﹣3）， 解得：x＝3，··········································································4分 检验：当x＝3时，x（x﹣3）＝0， ∴x＝3是原方程的增根， ∴原方程无解．········································································6分 19．（6分） 解：由2x≥2﹣x解得， 由4x﹣7＜x+2解得x＜3， ∴不等式组解集为．····························································6分 20．（8分） 解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸到“B．天问探火”的结果有1种， ∴摸到“B．天问探火”的概率为． 故答案为：．·······································································3分 （2）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中他们两人介绍的航天工程主题相同的结果有4种， ∴他们两人介绍的航天工程主题相同的概率为．····································8分 21．（10分） 解：（1）∵15÷15%＝100（人）， ∴抽取学生总人数为100人， ∴m＝100×30%＝30， ∴n＝100﹣30﹣25﹣15﹣10＝20， 故答案为：30；20；··································································4分 （2）根据题意可得“C组”所对应的圆心角的度数是， 故答案为：90°．···································································7分 （3）∵1800100%＝450（人）， ∴1800名学生中，优秀的学生人数为450人．···········································10分 22．（10分） 解：（1）设应选用x包A种食品，y包B种食品， 根据题意得：， 解得：． 答：应选用2包A种食品，4包B种食品；··············································4分 （2）设选用m包A种食品，则选用（8﹣m）包B种食品， 根据题意得：10m+15（8﹣m）≥90， 解得：m≤6，·······································································7分 设摄入的总热量为wKJ，则w＝700m+900（8﹣m）， 即w＝7200﹣200m， ∵﹣200＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝6时，w取得最小值，此时8﹣m＝8﹣6（包）． 答：应选用6包A种食品，2包B种食品．·············································10分 23．（10分） 解：（1）过点A作AH⊥CB于点H，如图． 由题意得：∠CAB＝30°，∠ABC＝120°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣120°＝30°， ∴AHAC150＝75． 答：点A到直线CB的距离是75海里；···················································5分 （2）在Rt△ADH中，∵AD＝75，AH＝75， ∴， ∵∠ABH＝∠BAC+∠C＝60°， 在Rt△ABH中，， ∴， ∴， 答：执法船从B到D航行了海里．·············································10分 24．（10分） （1）解：1．连接AE，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交AB于点M，交AD于点N， 2．以点B为圆心，以AM为半径画弧GH交AB于点G， 3．以点G为圆心，以MN画弧交弧GH于点H， 4．作射线BH交AF与点C，如图， 则∠CBF＝∠BAE．····································································3分 （2）证明：∵AB为直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， 由（1）知：∠CBF＝∠BAE， ∴∠CBF+∠ABE＝90°， ∴∠ABF＝90°， ∴AB⊥BF， ∵OB为⊙O的半径， ∴直线BF是⊙O的切线；·····························································6分 （3）解：连接BD，如图， ∵AB为直径， ∴∠AEB＝90°， ∴sin∠BAE． ∵∠CBF＝∠BAE，， ∴sin∠BAE． ∴， ∵AB＝10， ∴BE＝2， ∴AE4． ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴BC＝2BE＝4； ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD⊥AC， ∵， ∴4， ∴BD＝8． ∴AD6， 由（2）知：∠ABF＝90°， ∵BD⊥AF， ∴△ABD∽△AFB， ∴， ∴， ∴， ∴FC＝AF﹣AC．·······························································10分 25．（12分） 解：（1）∵二次函数的图象经过点（1，﹣2）， ∴﹣2＝1﹣2a+1， ∴a＝2；············································································2分 （2）由（1）可知二次函数为y＝x2﹣4x+1， ∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3， ∴抛物线y＝x2﹣4x+1开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣3）， ∵当m﹣2≤x≤2时，二次函数的最大值是6， ∴当x＝m﹣2时，二次函数的最大值是6， ∴（m﹣2﹣2）2﹣3＝6， 解得m＝1或m＝7（舍去）， 故m的值为1；·····································································6分 （3）∵已知点A（﹣2，7），B（3，2）， ∴设直线AB的表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（﹣2，7），B（3，2）代入得：， 解得：， ∴y＝﹣x+5． ∴E（5，0），F（0，5）， ∵抛物线y＝x2﹣2ax+1必过点（0，1）， ∴当抛物线y＝x2﹣2ax+1经过点A（﹣2，7）时，a， ∴抛物线y＝x2﹣2ax+1与直线y＝﹣x+5交点在线段AF上时，a， ∴当抛物线y＝x2﹣2ax+1与BM相交时，只需考虑抛物线过线段BM端点时即可． 当抛物线y＝x2﹣2ax+1经过B（3，2）时，a， 当抛物线y＝x2﹣2ax+1经过E（5，0）时，a， ∴a．········································································12分 26．（12分） 解：（1）∵点P（3，﹣5）、点Q（1，0），|3﹣1|＜|﹣5﹣0|＝5， ∴点P与点Q的“近似距离”为5．·····················································2分 （2）①∵B为x轴上的一个动点， ∴设点B的坐标为（x，0）． ∵A、B两点的“近似距离”为5，A（0，﹣2）， ∴|0﹣x|＝5， 解得：x＝5或x＝﹣5， ∴点B的坐标是（5，0）或（﹣5，0），·················································6分 ②∵设点B的坐标为（x，0），且A（0，﹣2）， ∴|﹣2﹣0|＝2，|0﹣x|＝|x|， 若|﹣2﹣0|＜|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|x|＞2； 若|﹣2﹣0|≥|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|﹣2﹣0|＝2； ∴A、B两点的“近似距离”的最小值为2．·············································12分 27．（12分） 解：（1）∵正方形ABCD， ∴∠ABC＝90°， 由折叠的性质得∠ABE＝∠GBE，∠GBF＝∠CBF， ∵将边BC折叠，点C落在射线BG上， ∴∠ABE+∠GBE+∠GBF+∠CBE＝∠ABC＝90°， ∴∠， 故答案为：45°；·····································································2分 （2）如图，连接EH， ∵正方形ABCD， ∴∠BAD＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°， 由（1）知：∠EBF＝45°＝∠EAH， ∴点A，B，H，E四点共圆， ∴∠BEH＝∠BAH＝45°， ∴∠BEH＝∠EBH＝45°， ∴BH＝EH， ∴∠BHE＝180°﹣∠BEH﹣∠EBH＝90°， ∴， ∵∠FBI＝∠EBH＝45°，∠AIE＝∠BIH， ∴∠AEI＝∠BHI， 由折叠的性质得∠AEI＝∠BEF， ∴∠BHI＝∠BEF， ∴△BHI∽△BEF， ∴；··························································6分 （3）作KM⊥BC于M，交AD的延长线于N， ∴∠BGK＝∠M＝90°， ∵AD∥BC， ∴MN⊥AD， ∴MN＝AB＝6， ∵∠GBK＝∠MBK，BK＝BK， ∴△GBK≌△MBK（AAS）， ∴BG＝BM，GK＝MK， ∵AB＝BG＝6， ∴BM＝6， ∴当E在线段AD上移动时，K在直线MN上，且E接近点D时，K接近点M， ∴E、D重合时，KN最大，如图所示： 设GK＝MK＝x，EK＝4+x，KN＝6﹣x， ∴（4+x）2＝22+（6﹣x）2， ∴， ∴．···································································12分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．有理数﹣2026的绝对值是（　　） A．2026 B． C．﹣2026 D． 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数计算即可． 【解答】解：有理数﹣2026的绝对值是2026， 故选：A． 【点评】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 2．ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　） A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：175000000000＝1.75×1011． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A．a＞5 B．a＜﹣5 C．a≥﹣5 D．a≤﹣5 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可． 【解答】解：由题意得：a+5≥0， ∴a≥﹣5． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键． 4．一个三角形的两边长分别为2cm和6cm，第三边长为偶数，则该三角形的第三边长为（　　） A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm 【分析】设三角形第三边的长是xcm，由三角形的三边关系得出4＜x＜8，再由第三边长为偶数，即可得出结论． 【解答】解：设三角形第三边的长是xcm， 由三角形三边关系得：6﹣2＜x＜6+2， ∴4＜x＜8， 又∵第三边长为偶数， ∴第三边的长是6cm， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键． 5．如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝6cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（　　） A．22cm B．24cm C．26cm D．28cm 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝12cm，再根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝6cm， ∴DA＝DC，AC＝2AE＝12cm， ∵△ABD的周长为14cm， ∴AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝14cm， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝14+12＝26（cm）， 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 6．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．合伙人数、物品的价格分别是多少？设人数为x，则可列方程为（　　） A．8x﹣3＝7x+4 B．8x+3＝7x﹣4 C． D． 【分析】根据“若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱”，可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意，可列方程为：8x﹣3＝7x+4． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A和B，则关于x方程的解是（　　） A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝﹣1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣1，x2＝﹣5 【分析】根据求得一次函数y1＝kx+b的图象与一次函数y＝kx﹣b的图象关于原点对称，反比例函数的图象关于原点对称，即可求得一次函数y＝kx﹣b的图象与反比例函数的图象交点的横坐标，根据题意即可得出关于x方程的解． 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b的图象与一次函数y＝kx﹣b的图象关于原点对称，反比例函数的图象关于原点对称， 又一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A和B，A点的横坐标为1，B点的横坐标为5， ∴一次函数y＝kx﹣b的图象与反比例函数的图象交点的横坐标为﹣1和﹣5， ∴关于x方程的解是x1＝﹣1，x2＝﹣5， 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点．解题的关键是掌握反比例函数的中心对称性． 8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH，连结EG并延长交AB于点I，交CD于点J，正方形ABCD的面积为S1，正方形EFGH的面积为S2，若AIBI时，则的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】设AE＝a，ED＝b，则EH＝EF＝b﹣a，过点F作MF∥AB，可得△AEI∽△FEM，△GMF∽△GIB，得出b＝2a，即可求解． 【解答】解：如图，过点F作MF∥AB， 设AE＝a，ED＝b，则EH＝EF＝b﹣a， ∴，， ∴， ∵FM∥AB， ∴△AEI∽△FEM，△GMF∽△GIB， ∴，， ∴， 即， ∵AIBI， ∴2， 即b＝2a， ∴5． 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．如果单项式2x3yn与﹣6xm+5y的和仍是单项式，则m+n＝ 　﹣1　 ． 【分析】根据同类项的性质即可求解． 【解答】解：∵单项式2x3yn与﹣6xm+5y的和是单项式． ∴2x3yn与﹣6xm+5y是同类项， 故m+5＝3，n＝1， ∴m＝﹣2，n＝1， ∴m+n＝﹣2+1＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了同类项的定义，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项． 10．因式分解：（x2+1）2﹣4x2＝　（x+1）2（x﹣1）2 ． 【分析】先利用平方差公式法进行因式分解，再利用完全平方公式进行求解即可． 【解答】解：利用平方差公式法进行因式分解， （x2+1）2﹣4x2 ＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x） ＝（x+1）2（x﹣1）2； 故答案为：（x+1）2（x﹣1）2． 【点评】本题考查因式分解，正确进行计算是解题关键． 11．如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，折射光线BC射到水底C处，点D在AB的延长线上，若∠1＝67°，∠2＝45°，则∠DBC的度数为 　22°　 ． 【分析】由平行线的性质推出∠1+∠CBN＝180°，求出∠CBN＝113°，由平角定义求出∠DBC＝180°﹣45°﹣113°＝22°． 【解答】解：∵MN∥EF， ∴∠1+∠CBN＝180°， ∵∠1＝67°， ∴∠CBN＝113°， ∵∠2＝45°， ∴∠DBC＝180°﹣45°﹣113°＝22°． 故答案为：22°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠1+∠CBN＝180°． 12．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2米，若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为　2.5　 米． 【分析】设OB＝x，则OD＝（x+0.5），巧用梯子的长不变，利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：由题意，得：AC＝BD＝0.5米，AB＝CD， ∴OC＝OA﹣AC＝1.5米， 设OB＝x，则OD＝OB+BD＝x+0.5， 在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2， 在Rt△COD中，CD＝OC2+OD2， ∵AB＝CD， ∴OA2+OB2＝OC2+OD2，即：22+x2＝1.52+（x+0.5）2， 解得：x＝1.5， ∴OB＝1.5米， ∴米． 故答案为：2.5． 【点评】本题考查勾股定理的应用，掌握相关知识点是解题的关键． 13．如图，若△ABC内接于⊙O，∠BAC＝50°，的长是，则⊙O的半径是　4.5　 ． 【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理求出∠BOC，根据弧长公式即可求出⊙O的半径． 【解答】解：连接OB、OC， 由圆周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝100°， 设⊙O的半径为r， ∵的长， ∴， 解得：r＝4.5， 故答案为：4.5． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键． 14．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．小雪的镜片焦距为0.2米时，眼镜度数为500度，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距变为0.5米，此时眼镜的度数为 　200　 度． 【分析】根据待定系数法求出反比例函数解析式，令x＝0.5时，求y的值即可． 【解答】解：设y（k≠0）， ∵（0.2，500）在图象上， ∴k＝500×0.2＝100， ∴函数解析式为：y， 当x＝0.5时，y200， ∴此时眼镜的度数为200度． 故答案为：200． 【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，根据待定系数法求出反比例函数解析式是解决问题的关键． 15．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是　3m ． 【分析】由题意可以知道M（1，），A（0，10）用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y＝0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2，由题意，得10＝a， 解得：a． ∴抛物线的解析式为：y（x﹣1）2， 当y＝0时，， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝3． OB＝3m． 故答案为：3m． 【点评】此题考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键． 16．如图，在菱形ABCD中，，BD＝4，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为　　 ． 【分析】利用四边形DAEF为平行四边形，得出EF＝AD，DF＝AE，过点B作AC的平行线MN，过点E作关于线段MN的对称点E′，由对称性得BE＝BE′，则BE+BF＝BE′+BF≤E′F，当且仅当E′、B、F依次共线时，BE′+BF取得最小值E′F，设AC与BD交于点O，EE′交MN于点H，延长E′E交FD延长线于点G，分别证明四边形EOBH和四边形DOEG是矩形，求出GF＝GD+DF＝EO+AE＝AO＝4，GE′＝GE+EH+E′H＝6，再利用勾股定理求出E′H即可． 【解答】解：如图，过点B作AC的平行线MN， 过点E作关于线段MN的对称点E′， 由对称性得BE＝BE′， ∵四边形DAEF为平行四边形， ∴EF＝AD，DF＝AE， ∵E为线段AC上的动点， ∴BE+BF＝BE′+BF≤E′F，当且仅当点E′、B、F依次共线时，BE′+BF取得最小值E′F， 如图，设AC与BD交于点O，EE′交MN于点H，延长E′E交FD延长线于点G， ∵菱形ABCD中，，BD＝4，AC⊥BD ∴， ∴， 由题可得AC∥MN， ∴由对称性可得EH⊥HB， ∴AC⊥GH， ∴∠OEH＝∠EOB＝∠EHB＝90°， ∴四边形EOBH是矩形， ∴E′H＝EH＝OB＝2， ∵四边形DAEF为平行四边形， ∴DF＝AE，DF∥AC， ∴GD⊥DO， ∴∠GDO＝∠DOE＝∠GEO＝90°， ∴四边形DOEG是矩形， ∴GD＝EO，GE＝DO＝2， ∴GF＝GD+DF＝EO+AE＝AO＝4，GE′＝GE+EH+E′H＝6， ∴， 即BE+BF的最小值为． 故答案为：2． 【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 三、解答题（本大题共11小题，满分102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 【分析】先分别计算乘方、积的乘方、零指数幂、绝对值，再进行加减运算． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，掌握相应的运算法则是关键． 18．（6分）解方程：． 【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：， 3﹣x＝2（x﹣3）， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，x（x﹣3）＝0， ∴x＝3是原方程的增根， ∴原方程无解． 【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． 19．（6分）解不等式组． 【分析】先分别算出每个不等式的解集，再取公共部分的解集，即可作答． 【解答】解：由2x≥2﹣x解得， 由4x﹣7＜x+2解得x＜3， ∴不等式组解集为． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练解每个不等式，准确确定不等式组的解集． 20．（8分）中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．在航天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选择一个主题进行介绍．下面是班长制作正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同．将这4张卡片背面向上，洗匀，放好． A．嫦娥探月 B．天问探火 C．北斗组网 D．神舟飞天 （1）小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是　　 ； （2）若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主题相同的概率（卡片名称用A，B，C，D表示即可）． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸到“B．天问探火”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及他们两人介绍的航天工程主题相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸到“B．天问探火”的结果有1种， ∴摸到“B．天问探火”的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中他们两人介绍的航天工程主题相同的结果有4种， ∴他们两人介绍的航天工程主题相同的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21．（10分）某校举行全体学生“禁毒知识竞赛”活动，每位学生完成20道选择题．现随机抽取了部分学生的答对题数，绘制成如下不完整的图表． 组别 A B C D E 答对题数x 20 16≤x＜20 12≤x＜16 8≤x＜12 0≤8x＜8 人数 10 15 25 m n 根据以上信息，完成下列问题： （1）统计表中的m＝　30　 ，n＝　20　 ； （2）求扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数？ （3）已知该校共有1800名学生，若答对题数不小于16个定为优秀，请你估计该校本次“禁毒知识竞赛”优秀的学生人数． 【分析】（1）由B组的人数为15人，所占的比是15%，可求出参与的总人数，即样本容量，用样本容量乘以D组所占的百分比即可求出m的值，再让样本容量减去其他组的人数即可求出n的值． （2）C组所占圆心角的度数，看C组所占整体的百分比，用360°去乘这个百分比即可． （3）用样本估计总体，样本中优秀人数所占的百分比去估计总体，总人数乘以这个百分比即可． 【解答】解：（1）∵15÷15%＝100（人）， ∴抽取学生总人数为100人， ∴m＝100×30%＝30， ∴n＝100﹣30﹣25﹣15﹣10＝20， 故答案为：30；20； （2）根据题意可得“C组”所对应的圆心角的度数是， 故答案为：90°． （3）∵1800100%＝450（人）， ∴1800名学生中，优秀的学生人数为450人． 【点评】本题考查了样本估计总体，频数分布直方图，圆心角的计算的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．（10分）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入5000kJ热量和80g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共8包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【分析】（1）设应选用x包A种食品，y包B种食品，根据要从这两种食品中摄入5000kJ热量和80g蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设选用m包A种食品，则选用（8﹣m）包B种食品，根据要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设摄入的总热量为wKJ，利用摄入的总热量＝每包A种食品的热量×选用A种食品的数量+每包B种食品的热量×选用B种食品的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设应选用x包A种食品，y包B种食品， 根据题意得：， 解得：． 答：应选用2包A种食品，4包B种食品； （2）设选用m包A种食品，则选用（8﹣m）包B种食品， 根据题意得：10m+15（8﹣m）≥90， 解得：m≤6， 设摄入的总热量为wKJ，则w＝700m+900（8﹣m）， 即w＝7200﹣200m， ∵﹣200＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝6时，w取得最小值，此时8﹣m＝8﹣6（包）． 答：应选用6包A种食品，2包B种食品． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 23．（10分）如图，某天我国一艘海监船巡航到B港口正西方的A处时，发现在A的北偏东60°方向，相距150海里的C处有一可疑船只正沿CB方向行驶，点C在B港口的北偏东30°方向上，海监船向B港口发出指令，执法船立即从B港口沿BC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时点D与点A的距离为海里． （1）求点A到直线CB的距离． （2）执法船从B到D航行了多少海里？ 【分析】（1）过点A作AH⊥CB于点H，根据含30°角的直角三角形性质，得到AHAC，据此解题； （2）在Rt△ADH中，利用勾股定理求得DH＝75，在Rt△ABH中，利用正切函数定义得出BH＝25，那么BD＝DH﹣BH． 【解答】解：（1）过点A作AH⊥CB于点H，如图． 由题意得：∠CAB＝30°，∠ABC＝120°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣120°＝30°， ∴AHAC150＝75． 答：点A到直线CB的距离是75海里； （2）在Rt△ADH中，∵AD＝75，AH＝75， ∴， ∵∠ABH＝∠BAC+∠C＝60°， 在Rt△ABH中，， ∴， ∴， 答：执法船从B到D航行了海里． 【点评】本题考查解直角三角形，涉及含30°角的直角三角形、勾股定理、正切函数定义等知识，是重要考点，难度适中，准确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 24．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于D，E，点F在AC的延长线上． （1）尺规作图：连接AE，作∠CBF＝∠BAE（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：直线BF是⊙O的切线； （3）若AB＝10，，求BC和CF的长． 【分析】（1）利用作角等于已知角的方法解答即可； （2）利用圆周角定理，直角三角形的性质得到∠ABF＝90°，则AB⊥BF，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论； （3）连接BD，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理求得BE＝2，利用勾股定理求得AE，利用等腰三角形的三线合一的性质求得BC＝2BE＝4；利用三角形的面积公式求得BD，利用勾股定理求得AD，再利用相似三角形的判定与性质求得AF，则FC＝AF﹣AC． 【解答】（1）解：1．连接AE，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交AB于点M，交AD于点N， 2．以点B为圆心，以AM为半径画弧GH交AB于点G， 3．以点G为圆心，以MN画弧交弧GH于点H， 4．作射线BH交AF与点C，如图， 则∠CBF＝∠BAE． （2）证明：∵AB为直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， 由（1）知：∠CBF＝∠BAE， ∴∠CBF+∠ABE＝90°， ∴∠ABF＝90°， ∴AB⊥BF， ∵OB为⊙O的半径， ∴直线BF是⊙O的切线； （3）解：连接BD，如图， ∵AB为直径， ∴∠AEB＝90°， ∴sin∠BAE． ∵∠CBF＝∠BAE，， ∴sin∠BAE． ∴， ∵AB＝10， ∴BE＝2， ∴AE4． ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴BC＝2BE＝4； ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD⊥AC， ∵， ∴4， ∴BD＝8． ∴AD6， 由（2）知：∠ABF＝90°， ∵BD⊥AF， ∴△ABD∽△AFB， ∴， ∴， ∴， ∴FC＝AF﹣AC． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，尺规作图，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 25．（12分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+1． （1）若二次函数的图象经过点（1，﹣2），求a的值； （2）在（1）的条件下，当m﹣2≤x≤2时，二次函数的最大值是6，求m的值； （3）已知点A（﹣2，7），B（3，2），直线AB与x轴和y轴分别交于点E，F，若y＝x2﹣2ax+1与直线AB有两个不同的交点，其中一个交点在线段AF上（包含A，F两个端点），另一个交点在线段BE上（包含B，E两个端点），直接写出a的取值范围． 【分析】（1）把点（1，﹣2）代入y＝x2﹣2ax+1即可求解； （2）由二次函数为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3可知抛物线y＝x2﹣4x+1开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣3），结合当m﹣2≤x≤2时，二次函数的最大值是6可知当x＝m﹣2时，二次函数的最大值是6，把x＝m﹣2代入求得m的值，而m﹣2＜2，即可求得m的值为1； （3）首先由已知求出直线AB的解析式，进而确定E，F点坐标；然后结合函数图象与直线交点在AF、BE上，讨论抛物线经过线段端点A、B、E的特殊情况即可． 【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点（1，﹣2）， ∴﹣2＝1﹣2a+1， ∴a＝2； （2）由（1）可知二次函数为y＝x2﹣4x+1， ∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3， ∴抛物线y＝x2﹣4x+1开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣3）， ∵当m﹣2≤x≤2时，二次函数的最大值是6， ∴当x＝m﹣2时，二次函数的最大值是6， ∴（m﹣2﹣2）2﹣3＝6， 解得m＝1或m＝7（舍去）， 故m的值为1； （3）∵已知点A（﹣2，7），B（3，2）， ∴设直线AB的表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（﹣2，7），B（3，2）代入得：， 解得：， ∴y＝﹣x+5． ∴E（5，0），F（0，5）， ∵抛物线y＝x2﹣2ax+1必过点（0，1）， ∴当抛物线y＝x2﹣2ax+1经过点A（﹣2，7）时，a， ∴抛物线y＝x2﹣2ax+1与直线y＝﹣x+5交点在线段AF上时，a， ∴当抛物线y＝x2﹣2ax+1与BM相交时，只需考虑抛物线过线段BM端点时即可． 当抛物线y＝x2﹣2ax+1经过B（3，2）时，a， 当抛物线y＝x2﹣2ax+1经过E（5，0）时，a， ∴a． 【点评】本题考查了二次函数图形与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值，待定系数法求一次函数解析式；抛物线与x轴的交点，分类讨论是解题的关键． 26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y）与P2（x2，y2）的“近似距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|y1﹣y2|． （1）已知点P（3，﹣5），点Q（1，0），求点P与点Q的“近似距离”； （2）已知点A（0，﹣2），B为x轴上的动点． ①若点A与点B的“近似距离”为5，试求出满足条件的点B的坐标； ②求出点A与点B的“近似距离”的最小值． 【分析】（1）由题意即可得点P与点Q的“近似距离”； （2）①设点B的坐标为（x，0），由“近似距离”的定义得出|0﹣x|＝5，即可得出结论； ②设点B的坐标为（x，0），且A（0，﹣2），由|﹣2﹣0|＜|0﹣x|，得点A、B两点的“近似距离”为|x|＞2；再由|﹣2﹣0|≥|0﹣x|，得点A、B两点的“近似距离”为|﹣2﹣0|＝2；即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点P（3，﹣5）、点Q（1，0），|3﹣1|＜|﹣5﹣0|＝5， ∴点P与点Q的“近似距离”为5． （2）①∵B为x轴上的一个动点， ∴设点B的坐标为（x，0）． ∵A、B两点的“近似距离”为5，A（0，﹣2）， ∴|0﹣x|＝5， 解得：x＝5或x＝﹣5， ∴点B的坐标是（5，0）或（﹣5，0）， ②∵设点B的坐标为（x，0），且A（0，﹣2）， ∴|﹣2﹣0|＝2，|0﹣x|＝|x|， 若|﹣2﹣0|＜|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|x|＞2； 若|﹣2﹣0|≥|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|﹣2﹣0|＝2； ∴A、B两点的“近似距离”的最小值为2． 【点评】本题是三角形综合题，考查了新定义“近似距离”、点的坐标、绝对值的定义、绝对值不等式等知识，本题综合性强，正确理解新定义“近似距离”和绝对值的定义是解题的关键，属于中考常考题型． 27．（12分）折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们准备了一张边长为6cm的正方形纸片，以“正方形的折叠”为主题开展了数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图①，在正方形ABCD的边AD上任选一点E，沿BE折叠，使点A落在点G处，把纸片展平，折痕BE与对角线AC交于点I； 操作二：将边BC折叠，使点C落在射线BG上，折痕交CD于点F，把纸片展平，折痕BF与正方形的对角线AC交于点H． （1）根据以上操作，得∠EBF的度数为 　45°　 ． 【迁移探究】 （2）经过多次操作，同学们发现EF与HI的比值不变，试求出该比值． 【拓展提升】 （3）小明在操作中不慎将正方形纸片撕破，得到一个矩形ABCD，其中AB为6cm，AD为4cm，如图②，经过上述操作一、二，得到折痕BE、BF，EG的延长线与BF的延长线交于点K，当点E在线段AD（E不与A重合）上运动时，求点K到直线AD的最大距离． 【分析】（1）由折叠的性质得∠ABE＝∠GBE，∠GBF＝∠CBF，根据∠ABE+∠GBE+∠GBF+∠CBE＝∠ABC＝90°，即可求得∠EBF； （2）连接EH，由正方形的性质推出∠BAD＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°，得到点A，B，H，E四点共圆，进而得到∠BEH＝∠BAH＝45°，得到BH＝EH，△BEH为等腰直角三角形，进而可证明△BHI∽△BEF，即可得解； （3）作KM⊥BC于M，交AD的延长线于N，证明△GBK≌△MBK（AAS），可得BG＝BM，GK＝MK，BM＝6，推出当E在线段AD上移动时，K在直线MN上，且E接近点D时，K接近点M，得E、D重合时，KN最大，设GK＝MK＝x，EK＝4+x，KN＝6﹣x，根据勾股定理建立方程，进而可得答案． 【解答】解：（1）∵正方形ABCD， ∴∠ABC＝90°， 由折叠的性质得∠ABE＝∠GBE，∠GBF＝∠CBF， ∵将边BC折叠，点C落在射线BG上， ∴∠ABE+∠GBE+∠GBF+∠CBE＝∠ABC＝90°， ∴∠， 故答案为：45°； （2）如图，连接EH， ∵正方形ABCD， ∴∠BAD＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°， 由（1）知：∠EBF＝45°＝∠EAH， ∴点A，B，H，E四点共圆， ∴∠BEH＝∠BAH＝45°， ∴∠BEH＝∠EBH＝45°， ∴BH＝EH， ∴∠BHE＝180°﹣∠BEH﹣∠EBH＝90°， ∴， ∵∠FBI＝∠EBH＝45°，∠AIE＝∠BIH， ∴∠AEI＝∠BHI， 由折叠的性质得∠AEI＝∠BEF， ∴∠BHI＝∠BEF， ∴△BHI∽△BEF， ∴； （3）作KM⊥BC于M，交AD的延长线于N， ∴∠BGK＝∠M＝90°， ∵AD∥BC， ∴MN⊥AD， ∴MN＝AB＝6， ∵∠GBK＝∠MBK，BK＝BK， ∴△GBK≌△MBK（AAS）， ∴BG＝BM，GK＝MK， ∵AB＝BG＝6， ∴BM＝6， ∴当E在线段AD上移动时，K在直线MN上，且E接近点D时，K接近点M， ∴E、D重合时，KN最大，如图所示： 设GK＝MK＝x，EK＝4+x，KN＝6﹣x， ∴（4+x）2＝22+（6﹣x）2， ∴， ∴． 【点评】本题考查正方形与折叠，四点共圆，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $