第四单元：比例（期中知识清单）数学人教版六年级下册

人教版六年级数学下册 第四单元：比例（期中知识清单） 知识点01：比例的意义和基本性质 1、比例的意义 （1）定义：表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）核心条件：两个比的比值相等，才能组成比例。 （3）比和比例的联系和区别 2、比例的各部分名称 组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 3、比例的基本性质 比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 4、判断两个比能否组成比例的方法 （1）求出比值，看它们的比值是否相等； （2）根据比例的基本性质求“积”，看两个外项的积是否等于两个内项的积。 5、解比例 （1）定义：求比例中的未知项，叫做解比例。 （2）解比例的依据：比例的基本性质。 （3）解比例的方法：利用比例的基本性质将比例转化为外项之积与内项之积相等的等式，再通过解方程求出未知项的值。 【易错点】 （1）混淆“比”和“比例”：认为“两个数的比就是比例”，忽略比例是“两个相等比的等式”。 （2）找错内项和外项：在分数形式的比例中，误将分子和分子当作内项，实际交叉相乘的两项分别为外项和内项。 知识点02：正比例 1、相关联的量：两种量中，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量叫做相关联的量。 2、正比例 （1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 （2）字母表达式：如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为。 （3）关键特征：比值一定，变化方向相同（一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小）。 （4）正比例的图象：如果把成正比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，形成一条射线；反之，该射线上的每一个点对应的就是正比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 知识点03：反比例 1、定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2、字母表达式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy＝k。 3、关键特征：乘积一定，变化方向相反（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）。 4、反比例的图象：反比例关系也可以用图象来表示，如果把成反比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，会形成一条光滑的曲线；反之，该曲线上的每一个点对应的就是反比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 【易错点】 （1）忽略“相关联的量”前提：两种量无关联（如人的身高和体重），却判断成比例。 （2）混淆“比值一定”和“乘积一定”：如认为“长方形的周长一定，长和宽成反比例”，实际周长一定时，长+宽的和一定，比值和乘积都不固定，不成比例。 （3）漏判“定值”：如“正方形的边长和面积”，比值（面积÷边长=边长）不是定值，不成正比例。 知识点04：比例尺 1、比例尺的意义 （1）定义：一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 （2）公式表达：用公式表示为图上距离：实际距离＝比例尺，或 ＝比例尺 2、比例尺的分类 （1）按照表现形式分，比例尺有数值比例尺和线段比例尺两种，两种比例尺可以互相转化。 把线段比例尺改写成数值比例尺时，一定要统一单位。 ①数值比例尺：用数字比表示； ②线段比例尺：在图上画一条线段，并注明线段上的长度代表的实际距离。 （2）按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。 ①缩小比例尺：比例尺的前项为1（用于绘制地图、建筑平面图）； ②放大比例尺：比例尺的后项为1（用于绘制精密零件图纸）。 3、比例尺的实际应用 （1）已知图上距离和实际距离，求比例尺：先统一单位，然后根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”列式，并化简为比的前项或后项是“1”的形式。 （2）已知图上距离和比例尺，求实际距离：可以根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，用解比例的方法求出，也可以把比例尺看作一个比值，用“图上距离÷比例尺＝实际距离”直接计算。 （3）已知实际距离和比例尺求图上距离：可以用解比例的方法计算，也可以根据“图上距离＝实际距离×比例尺”直接计算。 4、应用比例尺画图 （1）先确定比例尺； （2）根据比例尺求出图上距离； （3）根据图上距离画出相应的平面图； （4）标明平面图的名称和比例尺。 【易错点】 （1）比例尺是一个比，没有单位。 （2）计算时单位必须统一。 （3）线段比例尺需先转化为数值比例尺，再进行计算。 知识点05：比例的应用 1、图形的放大与缩小 （1）图形按一定的比放大或缩小后，只是图形的大小发生了变化，图形原有的形状没变化。 （2）把图形按比放大或缩小，就是把图形的每一条边都按比放大或缩小。 2、用正、反比例知识解决问题的解题步骤： （1）根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例或反比例关系。 （2）找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例方程。 （3）解比例。 （4）检验并写出答语。 考点1：比例的意义和基本性质 【典型例题1】如果，那么ab＝（ ），如果（x与y均不为0），那么（ ）。 【典型例题2】在一个比例里，两个内项互为倒数，一个外项是3.5，另一个外项是（ ）；如果一个内项是最小的质数，那么这个比例可能是（ ）。 【练习】在比例2∶5＝18∶45中，如果外项2加上4，要使比例仍然成立，那么下面做法正确的是（     ）。 A．内项5加上4 B．外项45除以3 C．内项18乘2 考点2：解比例 【典型例题】解比例。 3∶4＝X∶16                            0.2∶9＝8∶X ＝                           40∶X＝2.5∶1.5 【练习】解比例。                             考点3：正比例的意义和应用 【典型例题1】农民李叔叔采摘苹果的质量和时间如下表。 质量（千克） 450 900 时间（天） 1 2 3 4 5 6 （1）把上表填完整。 （2）李叔叔采摘苹果的质量和时间这两种量成什么比例？ （3）照上面计算，李叔叔半个月（按15天计算）能采摘多少千克苹果？ 【典型例题2】郑州二七纪念塔高约63米，它的影长是45米。如果同一时间、同一地点测得一栋楼房的影长20米，这栋楼高多少米？（用比例知识解答） 【练习】下面是同学们做“弹簧伸长的长度与它所受的拉力的关系”的探究实验记录表。（拉力不超过弹性限度30N）（牛顿是国际力学单位，简称：牛，符号：N） 所受拉力/N 1 2 3 4 5 6 … 弹簧伸长的长度/cm 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 … （1）根据上表数据，在图中描点并顺次连接。 （2）在弹性限度内，弹簧伸长的长度与它所受的拉力成正比例关系吗？你是依据什么作出判断的？ （3）同学又做了一次实验来验证这一规律，结果弹簧伸长了6cm，那么弹簧所受的拉力是（ ）牛。 考点4：正比例的图象问题 【典型例题】2025年3月26日，某加油站92号汽油的价格为6.98元/升，下面图像（     ）能表示出王老师当天在这个加油站加油总价和数量之间的关系。 A． B． C．D． 【练习】下列说法不正确的是（     ）。 A．轮船行驶的速度一定，行驶的路程和时间成正比例关系。 B．平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例关系。 C．《科普世界》的单价一定，订阅的份数与总价成正比例关系。 D．一本书的总页数一定，未读的页数与已读的页数成反比例关系。 考点5：反比例的意义和应用 【典型例题1】如果7x＝8y（x，y都不为0），则x与y成（ ）关系；如果＝，则x与y成（ ）关系。 【典型例题2】某工厂生产一批零件，工人的工作效率（每人每天生产零件个数）和工作时间（天）的关系如下表： 每人每天生产零件个数 20 30 40 50 工作时间（天） 60 40 30 24 （1）每人每天生产零件个数与工作时间这两种量成什么比例关系？为什么？ （2）如果每人每天生产零件个数变为60个，需要多少天完成这批零件？（用比例解） 【练习】是（ ）比例尺，把它改写成数值比例尺是（ ）。 考点6：比例尺的分类和改写 【典型例题】比例尺改写成数值比例尺是（ ），在这样的地图上，图上3.5cm的距离表示实际距离（ ）km。 【练习】改写成数值比例尺是（ ）。 考点7：比例尺的实际应用 【典型例题1】近年来，我国无人驾驶技术不断取得突破。技术人员为获得一辆以新能源为动力的无人驾驶汽车在行驶过程中的数据，他们在图纸上规划一段公路，让无人驾驶汽车试运行。已知这幅图的比例尺是1∶500000，这段公路的图上距离是28厘米，如果这辆汽车以40千米/时的速度行驶，几小时能行驶完？ 【典型例题2】北京故宫是中国最大的古代宫殿建筑群，占地呈长方形。在一幅比例尺为1∶5000的地图上，量得故宫南北长约19.2厘米，东西宽约15厘米。故宫实际长约为（ ）米，宽约为（ ）米。 【练习】中央处理器（CPU）是计算机系统的运算核心和控制核心，被称为“计算机的心脏”。现将一个长12mm的CPU零件画在比例尺是30∶1的图纸上，长为（     ）cm。 A．360 B．4 C．36 考点8：应用比例尺画图 【典型例题】小红家正东方向200米是超市，超市正北方向400米是邮局，邮局正西方向500米是公园，公园正南方向300米是书店。先确定比例尺，再画出上述地点的平面图。 【练习】小明家正北方向300米是科技馆，科技馆正东方向600米是动物园，动物园正南方向400米是书店，画出上述地点的平面图。 考点9：图形的放大与缩小 【典型例题】把一个长和宽分别是和的长方形，按放大后，它的周长扩大到原来的（ ）倍，扩大后的面积是（ ）。 【练习】每个小方格的边长表示1cm。 （1）将网格中长方形ABDC按2∶1放大，画出放大后的图形，放大后的长方形面积与原长方形面积的比是（     ）。 （2）在放大后的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的半径是（     ）厘米。 考点10：用比例解决问题 【典型例题1】玩具厂生产的汽车模型的长度与实际长度的比是1∶30。 （1）洒水车模型长25厘米，洒水车的实际长度是多少？ （2）挖掘机长10.5米，挖掘机的模型的长度是多少？ 【典型例题2】张师傅铺一间客厅的地面，用边长为50厘米的方砖需要120块，若改用边长为20厘米的方砖，需要多少块？（用比例解答） 【练习】某装配工厂原计划派20人完成一项装配任务，因为工作需要，实际派了30人。原计划24天完成任务，照这样计算，实际几天完成任务？（用比例的知识解答） 一、选择题 1．下列哪个比例是不正确的？（     ） A．1∶3＝2∶6 B．2∶5＝4∶10 C．3∶4＝6∶10 2．关于正反比例判断，以下说法不正确的是（     ）。 A．路程不变的情况下，汽车平均行驶速度和行驶时间成反比例关系 B．圆的面积与它的半径成正比例关系 C．正方形的周长和它的面积不成比例关系 3．用比例尺的知识作出判断，正确的是（     ）。 A．线段比例尺表示用图上1厘米代表实际距离60千米 B．把一个长108米、宽64米的长方形画在练习本上，选择1∶20的比例尺比较合适 C．一个微型零件长5毫米，画在图纸上是5厘米，比例尺是10∶1 4．把一个图形先按3∶1的比放大，再把放大后的图形按1∶4的比缩小，最后得到的图形与原图形相比，（     ）。 A．不变 B．变小了 C．变大了 5．20名工人施工时，每天可完成100平方米的建筑任务。若每天完成150平方米的建筑任务，需要（     ）名工人。 A．30 B．40 C．50 二、填空题 6．如果用3，8，12和x可以组成比例，那么x最大是（ ），最小是（ ）。 7．如果a∶b＝2∶5，且b＝25，那么a＝（ ）。 8．四名同学看同一本故事书，平均每天看的页数和看完全书所需天数如表。表中（ ）和（ ）是两种相关联的量，这两种量相对应的两个数的（ ）一定，这两种量成（ ）关系。 姓名 小敏 小峰 小英 小强 平均每天看的页数 10 15 20 30 看完全书所需天数 12 8 6 4 9．一个比例的两个外项互为倒数，已知一个内项是，另一个内项是（ ）。 10．如果5A＝4B（A、B均不为0），则A∶B＝（ ）∶（ ），A和B成（ ）比例关系。 11．一幅地图的比例尺是1∶30000000，这是（ ）比例尺，请你用线段比例尺表示出来（ ）。 12．边长5厘米的正方形按4∶1放大，则正方形边长为（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 13．算一算，填一填。 比例尺 图上距离 实际距离 2厘米 8千米 1∶2000000 180千米 1∶500000000 2.5厘米 14．甲数的等于乙数的，则甲、乙两数（ ）。（填“成正比例”“成反比例”或“不成比例”） 15．配备多种智能驾驶模式的智能插秧机可以实现完全自主驾驶。如图是该插秧机中两个相互啮合的齿轮，大齿轮与小齿轮的齿数比是7∶2，如果小齿轮每分转49圈，大齿轮每分转（ ）圈。 16．将一批纸装订成练习本，如果每本装订20页，那么可装订600本；如果每本多装订10页，那么可装订（ ）本。 17．“天下大事，必作于细”的工匠精神是我国制造前行的精神源泉。一个精密零件长是2.5mm，宽是0.88mm，为保证精准，画在图纸上的长是5cm。 （1）这幅图纸的比例尺是（ ）。 （2）要加工700个这样的精密零件，前4天加工了200个，照这样计算，加工完这些零件共需要（ ）天。 18．一幅地图的比例尺为改写成数值比例尺是（ ），在这幅地图上量得A地到B地的图上距离是7.5厘米，则实际距离是（ ）千米。 19．甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲行完全程要20分钟，乙行完全程要30分钟，甲和乙的速度比是（ ）∶（ ），甲到B地后立即返回继续走，途中与乙相遇，这时乙行了（ ）分钟。 20．一瓶饮料300毫升，其中橙汁与水的比例是1∶4，这瓶饮料中水有（ ）毫升；妈妈感觉太浓了，于是倒出一半后再用清水加满，新饮料中橙汁浓度为（ ）%。 三、计算题 21．解比例。         0.4∶＝1.2∶2                四、作图题 22．下面方格纸中的正方形的边长是1厘米，请按要求完成下面各题。 （1）在方格纸中作一个长为3厘米、宽为2厘米的长方形。 （2）画出上面图形按2∶1放大的图形。 （3）原图的面积是（ ）平方厘米，放大后的图形的面积是（ ）平方厘米。 五、解答题 23．法国巴黎的埃菲尔铁塔高度约为320米。北京的世界公园里有一座埃菲尔铁塔模型，它的高度与原塔高度的比是1∶10。这座模型的高度是多少厘米？（用比例解答） 24．一艘货轮从A港满载货物，每小时行24km，20小时到达B港。返回时空船，船速提高了25%，返回时用了多长时间？（用比例解答） 25．周末，丫丫一家开车到花溪谷游玩。在一幅比例尺为1∶3000000的地图上，丫丫家到花溪谷的距离是7.2厘米。他们的车平均每小时行驶80千米，从丫丫家到花溪谷需要多少小时？ 26．一块长与宽的比为5∶3的长方形稻田按1∶1000的比例尺画在一幅设计图上，在设计图上量得这块稻田的周长是96厘米，这块稻田的实际面积是多少平方米？ 27．梦想中学整修环形跑道，甲、乙两队从两端同时施工，工作效率比是2：3，6天完成任务。已知甲队每天整修40米，需核算乙队效率及跑道总长。 （1）乙队每天能整修多少米？ （2）这条环形跑道全长多少米？ 28．猜灯谜是中秋月圆夜备受大家喜爱的活动。在猜灯谜活动中，妙妙猜对了16个灯谜，获得了18个金币和一盏花灯；奇奇猜对了13个灯谜，获得了9个金币和一盏花灯。那么甜甜猜对了15个灯谜，可以获得一盏相同的花灯和多少个金币？（用比例知识解答。） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版六年级数学下册 第四单元：比例（期中知识清单） 知识点01：比例的意义和基本性质 1、比例的意义 （1）定义：表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）核心条件：两个比的比值相等，才能组成比例。 （3）比和比例的联系和区别 2、比例的各部分名称 组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 3、比例的基本性质 比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 4、判断两个比能否组成比例的方法 （1）求出比值，看它们的比值是否相等； （2）根据比例的基本性质求“积”，看两个外项的积是否等于两个内项的积。 5、解比例 （1）定义：求比例中的未知项，叫做解比例。 （2）解比例的依据：比例的基本性质。 （3）解比例的方法：利用比例的基本性质将比例转化为外项之积与内项之积相等的等式，再通过解方程求出未知项的值。 【易错点】 （1）混淆“比”和“比例”：认为“两个数的比就是比例”，忽略比例是“两个相等比的等式”。 （2）找错内项和外项：在分数形式的比例中，误将分子和分子当作内项，实际交叉相乘的两项分别为外项和内项。 知识点02：正比例 1、相关联的量：两种量中，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量叫做相关联的量。 2、正比例 （1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 （2）字母表达式：如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为。 （3）关键特征：比值一定，变化方向相同（一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小）。 （4）正比例的图象：如果把成正比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，形成一条射线；反之，该射线上的每一个点对应的就是正比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 知识点03：反比例 1、定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2、字母表达式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy＝k。 3、关键特征：乘积一定，变化方向相反（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）。 4、反比例的图象：反比例关系也可以用图象来表示，如果把成反比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对，在方格纸上把写这些数对相对应的点连起来，会形成一条光滑的曲线；反之，该曲线上的每一个点对应的就是反比例关系中两个相关联的量的一组具体值。 【易错点】 （1）忽略“相关联的量”前提：两种量无关联（如人的身高和体重），却判断成比例。 （2）混淆“比值一定”和“乘积一定”：如认为“长方形的周长一定，长和宽成反比例”，实际周长一定时，长+宽的和一定，比值和乘积都不固定，不成比例。 （3）漏判“定值”：如“正方形的边长和面积”，比值（面积÷边长=边长）不是定值，不成正比例。 知识点04：比例尺 1、比例尺的意义 （1）定义：一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 （2）公式表达：用公式表示为图上距离：实际距离＝比例尺，或 ＝比例尺 2、比例尺的分类 （1）按照表现形式分，比例尺有数值比例尺和线段比例尺两种，两种比例尺可以互相转化。 把线段比例尺改写成数值比例尺时，一定要统一单位。 ①数值比例尺：用数字比表示； ②线段比例尺：在图上画一条线段，并注明线段上的长度代表的实际距离。 （2）按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。 ①缩小比例尺：比例尺的前项为1（用于绘制地图、建筑平面图）； ②放大比例尺：比例尺的后项为1（用于绘制精密零件图纸）。 3、比例尺的实际应用 （1）已知图上距离和实际距离，求比例尺：先统一单位，然后根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”列式，并化简为比的前项或后项是“1”的形式。 （2）已知图上距离和比例尺，求实际距离：可以根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，用解比例的方法求出，也可以把比例尺看作一个比值，用“图上距离÷比例尺＝实际距离”直接计算。 （3）已知实际距离和比例尺求图上距离：可以用解比例的方法计算，也可以根据“图上距离＝实际距离×比例尺”直接计算。 4、应用比例尺画图 （1）先确定比例尺； （2）根据比例尺求出图上距离； （3）根据图上距离画出相应的平面图； （4）标明平面图的名称和比例尺。 【易错点】 （1）比例尺是一个比，没有单位。 （2）计算时单位必须统一。 （3）线段比例尺需先转化为数值比例尺，再进行计算。 知识点05：比例的应用 1、图形的放大与缩小 （1）图形按一定的比放大或缩小后，只是图形的大小发生了变化，图形原有的形状没变化。 （2）把图形按比放大或缩小，就是把图形的每一条边都按比放大或缩小。 2、用正、反比例知识解决问题的解题步骤： （1）根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例或反比例关系。 （2）找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例方程。 （3）解比例。 （4）检验并写出答语。 考点1：比例的意义和基本性质 【典型例题1】如果，那么ab＝（ ），如果（x与y均不为0），那么（ ）。 【答案】 24 【分析】根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，进行分析。 【详解】在中，外项是8和3，内项是a和b，所以：；根据比例的基本性质把转化为，再进行化简：。 【典型例题2】在一个比例里，两个内项互为倒数，一个外项是3.5，另一个外项是（ ）；如果一个内项是最小的质数，那么这个比例可能是（ ）。 【答案】 【分析】根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，如果两个内项互为倒数，则两个内项之积等于1，用1÷3.5即可求出另一个外项。最小的质数是2，即一个内项是2，用1÷2求出另一个内项，然后写出比例即可。 【详解】另一个外项：1÷3.5 ＝1÷ ＝1× ＝ 1÷2＝ 比例可能为：（答案不唯一） 【练习】在比例2∶5＝18∶45中，如果外项2加上4，要使比例仍然成立，那么下面做法正确的是（     ）。 A．内项5加上4 B．外项45除以3 C．内项18乘2 【答案】B 【分析】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。据此分析解答。 【详解】A．内项5加上4，外项2加上4，则5＋4＝9，9×18＝162；2＋4＝6，6×45＝270；270≠162，比例不成立； B．外项45除以3，外项2加上4，则2＋4＝6，45÷3＝15，6×15＝90；5×18＝90；90＝90，比例仍然成立； C．内项18乘2，外项2加上4，则18×2＝36，5×36＝180；2＋4＝6，6×45＝270；270≠180，比例不成立； 考点2：解比例 【典型例题】解比例。 3∶4＝X∶16                            0.2∶9＝8∶X ＝                           40∶X＝2.5∶1.5 【答案】x＝12；x＝360； x＝16；x＝24 【分析】（1）根据比例的基本性质，把式子转化为4x＝3×16，再化简方程，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以4求解。 （2）根据比例的基本性质，把式子转化为0.2x＝9×8，再化简方程，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以0.2求解。 （3）根据比例的基本性质，把式子转化为3x＝8×6，再化简方程，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以3求解。 （4）根据比例的基本性质，把式子转化为2.5x＝40×1.5，再化简方程，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以2.5求解。 【详解】（1）3∶4＝x∶16 解：4x＝3×16 4x＝48 4x÷4＝48÷4 x＝12 （2）0.2∶9＝8∶x 解：0.2x＝9×8 0.2x＝72 0.2x÷0.2＝72÷0.2 x＝360 （3）＝ 解：3x＝8×6 3x＝48 3x÷3＝48÷3 x＝16 （4）40∶x＝2.5∶1.5 解：2.5x＝40×1.5 2.5x＝60 2.5x÷2.5＝60÷2.5 x＝24 【练习】解比例。                             【答案】x＝30；x＝；x＝0.2；x＝80 【分析】因为比例的基本性质是两内项之积等于两外项之积，所以先将每个比例式根据该性质转化为方程； 对于转化后的方程，利用等式的性质2，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式不变，求解未知数x。 【详解】（1） 解：4∶x＝∶3 x＝4×3 x＝12 x＝12÷ x＝12× x＝30 （2） 解：x＝× x＝ x＝÷ x＝× x＝ （3） 解：3x＝×0.7 3x＝0.6 x＝0.6÷3 x＝0.2 （4） 解：0.125x＝40× 0.125x＝10 x＝10÷0.125 x＝80 考点3：正比例的意义和应用 【典型例题1】农民李叔叔采摘苹果的质量和时间如下表。 质量（千克） 450 900 时间（天） 1 2 3 4 5 6 （1）把上表填完整。 （2）李叔叔采摘苹果的质量和时间这两种量成什么比例？ （3）照上面计算，李叔叔半个月（按15天计算）能采摘多少千克苹果？ 【答案】（1）13500；1800；2250；2700； （2）正比例 （3）6750千克 【分析】（1）根据表格中已知的数据，先计算每天采摘苹果的质量，然后用每天采摘的质量乘对应的时间，即可填表。 （2）判断两种量是否成正比例，要看这两种量相对应的比值是否一定。如果比值一定，则成正比例。判断两种量是否成反比例，要看这两种量相对应的乘积是否一定。如果乘积一定，则成反比例。据此根据题目的量判断它们所成的比例。 （3）根据每天采摘苹果的质量一定，用每天采摘的质量乘半个月的天数（15天），即可求出总质量。 【详解】（1）每天采摘苹果的质量为： 450÷1＝450（千克） 900÷2＝450（千克） 3天采摘的质量：3×450＝1350（千克） 4天采摘的质量：4×450＝1800（千克） 5天采摘的质量：5×450＝2250（千克） 6天采摘的质量：6×450＝2700（千克） 填表如下： 质量（千克） 450 900 1350 1800 2250 2700 时间（天） 1 2 3 4 5 6 （2）因为采摘苹果的质量÷时间＝每天采摘的质量（一定），即比值一定，所以李叔叔采摘苹果的质量和时间这两种量成正比例。 （3）450×15＝6750（千克） 答：李叔叔半个月（按 15 天计算）能采摘6750千克苹果。 【典型例题2】郑州二七纪念塔高约63米，它的影长是45米。如果同一时间、同一地点测得一栋楼房的影长20米，这栋楼高多少米？（用比例知识解答） 【答案】28米 【分析】同一时间、同一地点物体的高度和它的影长的比值一定。即物体的高度和它的影长成正比例。设这栋楼高x米。二七纪念塔高与影长的比是63∶45，楼的高与影长的比是x∶20，据此列出比例：63∶45＝x∶20，再解比例即可。 【详解】解：设这栋楼高x米。 63∶45＝x∶20         45x＝63×20 45x÷45＝63×20÷45         x＝28             答：这栋楼高28米。 【练习】下面是同学们做“弹簧伸长的长度与它所受的拉力的关系”的探究实验记录表。（拉力不超过弹性限度30N）（牛顿是国际力学单位，简称：牛，符号：N） 所受拉力/N 1 2 3 4 5 6 … 弹簧伸长的长度/cm 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 … （1）根据上表数据，在图中描点并顺次连接。 （2）在弹性限度内，弹簧伸长的长度与它所受的拉力成正比例关系吗？你是依据什么作出判断的？ （3）同学又做了一次实验来验证这一规律，结果弹簧伸长了6cm，那么弹簧所受的拉力是（ ）牛。 【答案】（1）图见详解 （2）成正比例关系；依据见详解 （3）15 【分析】（1）根据各数量的多少，在方格图的纵、横的交点上描出表示数量多少的点；把各点用线段顺次连接起来，标记数据即可。 （2）如果x÷y＝k（一定），那么x和y成正比例关系。 （3）根据弹簧伸长的长度÷0.4＝它所受的拉力，列式计算即可。 【详解】（1） （2）0.4÷1＝0.4、0.8÷2＝0.4、1.2÷3＝0.4…… 弹簧伸长的长度与它所受的拉力成正比例关系，因为弹簧伸长的长度÷它所受的拉力＝0.4。 （3）6÷0.4＝15（牛） 弹簧所受的拉力是15牛。 考点4：正比例的图象问题 【典型例题】2025年3月26日，某加油站92号汽油的价格为6.98元/升，下面图像（     ）能表示出王老师当天在这个加油站加油总价和数量之间的关系。 A． B． C．D． 【答案】B 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。已知汽油的价格为6.98元/升，即总价÷数量＝单价（一定），所以总价和数量成正比例关系。正比例关系的图像是一条经过原点的直线。据此解答。 【详解】已知汽油的价格为6.98元/升，可得总价÷数量＝单价（一定），所以总价和数量成正比例关系，其图像是经过原点的直线。 故答案为：B 【练习】下列说法不正确的是（     ）。 A．轮船行驶的速度一定，行驶的路程和时间成正比例关系。 B．平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例关系。 C．《科普世界》的单价一定，订阅的份数与总价成正比例关系。 D．一本书的总页数一定，未读的页数与已读的页数成反比例关系。 【答案】D 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系； 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系； 【详解】A．根据速度＝路程÷时间，当速度一定时，路程与时间成正比例。该说法正确。 B．根据平行四边形的面积＝底×高，当面积一定时，它的底和高成反比例关系。该说法正确。 C．根据单价＝总价÷数量，当单价一定时，订阅的份数与总价成正比例关系。该说法正确。 D．根据总页数＝未读的页数＋已读的页数，当总页数一定时，未读的页数和已读的页数的和相等，不是商或乘积一定，它们不成比例。该说法错误。 考点5：反比例的意义和应用 【典型例题1】如果7x＝8y（x，y都不为0），则x与y成（ ）关系；如果＝，则x与y成（ ）关系。 【答案】 正比例 反比例 【分析】根据正比例和反比例的判断规则，两种相关联的量，若对应的比值一定，则成正比例关系；若对应的乘积一定，则成反比例关系。先对第一个等式7x＝8y进行变形，推导x与y的比值是否为定值；再利用比例的基本性质对第二个等式＝​进行变形，推导x与y的乘积是否为定值，据此判断两个量的比例关系。 【详解】7x＝8y（x，y都不为0）等式两边同时÷7y，得：​＝比值为固定值，因此x与y成正比例关系。 ＝​（x，y都不为0）根据比例的基本性质，交叉相乘得：xy＝8×3＝24 x与y的乘积为固定值24，因此x与y成反比例关系。 【典型例题2】某工厂生产一批零件，工人的工作效率（每人每天生产零件个数）和工作时间（天）的关系如下表： 每人每天生产零件个数 20 30 40 50 工作时间（天） 60 40 30 24 （1）每人每天生产零件个数与工作时间这两种量成什么比例关系？为什么？ （2）如果每人每天生产零件个数变为60个，需要多少天完成这批零件？（用比例解） 【答案】（1）反比例；因为总零件数一定，所以每人每天生产零件个数与工作时间这两种量成反比例。 （2）20天 【分析】（1）先计算每组数据的乘积，发现乘积一定。根据反比例定义：两种相关联的量，若相对应两个数的乘积一定，则成反比例，所以这两种量成反比例关系。 （2）因为总零件数一定，所以每天生产个数与工作时间成反比例。设需要x天，根据题意列出比例式60x＝20×60，解方程即可。 【详解】（1）因为20×60＝30×40＝40×30＝50×24＝1200，即每人每天生产零件个数×工作时间＝零件总件数（一定）。 答：因为总零件数一定，所以每人每天生产零件个数与工作时间这两种量成反比例。 （2）解：设需要x天完成这批零件。 60x＝20×60 60x＝1200 60x÷60＝1200÷60 x＝20 答：需要20天完成这批零件。 【练习】是（ ）比例尺，把它改写成数值比例尺是（ ）。 【答案】 线段 1∶5000000/ 【分析】一幅图的图上距离与实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，比例尺按表现形式分为数值比例尺和线段比例尺，题中的线段比例尺表示图上1厘米代表实际距离50千米，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”把线段比例尺转化为数值比例尺，据此解答。 【详解】 是线段比例尺； 1厘米∶50千米 ＝1厘米∶5000000厘米 ＝1∶5000000 考点6：比例尺的分类和改写 【典型例题】比例尺改写成数值比例尺是（ ），在这样的地图上，图上3.5cm的距离表示实际距离（ ）km。 【答案】 140 【分析】由图可知，1cm代表40km。根据比例尺的定义，通过图上距离与实际距离的比进行转换，注意单位统一；可以利用“实际距离＝图上距离÷比例尺”的公式来计算，最后注意单位换算成km。 【详解】40km＝4000000cm，改写成数值比例尺是； 3.5÷＝3.5×4000000＝14000000（cm） 14000000cm＝140km 所以图上3.5cm的距离表示实际距离140km。 【练习】改写成数值比例尺是（ ）。 【答案】1∶2000 【分析】由线段比例尺可知，图上2厘米表示实际距离40米，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，即可解答。 【详解】40米＝4000厘米 2∶4000＝1∶2000 所以，改写成数值比例尺是1∶2000。 考点7：比例尺的实际应用 【典型例题1】近年来，我国无人驾驶技术不断取得突破。技术人员为获得一辆以新能源为动力的无人驾驶汽车在行驶过程中的数据，他们在图纸上规划一段公路，让无人驾驶汽车试运行。已知这幅图的比例尺是1∶500000，这段公路的图上距离是28厘米，如果这辆汽车以40千米/时的速度行驶，几小时能行驶完？ 【答案】3.5小时 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，因此实际距离＝图上距离÷比例尺，注意将计算结果的单位换算成千米，再根据“时间＝路程÷速度”求出行驶所需的时间。 【详解】实际距离：（厘米） 14000000厘米＝140千米 行驶时间：140÷40＝3.5（小时） 答：3.5小时能行驶完。 【典型例题2】北京故宫是中国最大的古代宫殿建筑群，占地呈长方形。在一幅比例尺为1∶5000的地图上，量得故宫南北长约19.2厘米，东西宽约15厘米。故宫实际长约为（ ）米，宽约为（ ）米。 【答案】 960 750 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际的长和宽；再根据1米＝100厘米，进行换算即可。 【详解】长：19.2÷＝19.2×5000＝96000（厘米） 96000厘米＝960米 宽：15÷＝15×5000＝75000（厘米） 75000厘米＝750米 【练习】中央处理器（CPU）是计算机系统的运算核心和控制核心，被称为“计算机的心脏”。现将一个长12mm的CPU零件画在比例尺是30∶1的图纸上，长为（     ）cm。 A．360 B．4 C．36 【答案】C 【分析】根据比例尺的意义，比例尺＝图上距离实际距离，由此推导出图上距离＝实际距离×比例尺。已知实际距离为mm，比例尺为，先计算出图上距离是多少mm，再根据长度单位换算关系将mm换算成cm，最后对照选项进行选择。 【详解】 （cm） 长为cm。 考点8：应用比例尺画图 【典型例题】小红家正东方向200米是超市，超市正北方向400米是邮局，邮局正西方向500米是公园，公园正南方向300米是书店。先确定比例尺，再画出上述地点的平面图。 【答案】见详解 【分析】遵循“上北下南、左西右东”的方位逻辑，正东、正北、正西、正南分别对应右、上、左、下四个方向。所有实际距离单位均为米，根据1米＝100厘米，先换算为厘米，再根据比例尺：图上距离＝实际距离×比例尺，计算图上距离。以小红家为起点，按方位顺序依次确定超市、邮局、公园、书店的位置，依次画出各段线段并标注地点名称即可。 以图中已标注的“小红家”为起点，按“上北下南、左西右东”的方位规则绘制： 画超市：从小红家出发，沿正东方向画一条长2厘米的线段，在终点处标注“超市”。 画邮局：从超市出发，沿正北方向画一条长4厘米的线段，在终点处标注“邮局”。 画公园：从邮局出发，沿正西方向画一条长5厘米的线段，在终点处标注“公园”。 画书店：从公园出发，沿正南方向画一条长3厘米的线段，在终点处标注“书店”。 【详解】因为10000 厘米＝100 米，图上1厘米代表实际距离100米，因此选择比例尺：1∶10000。 小红家到超市：200÷100＝2（厘米） 超市到邮局：400÷100＝4（厘米） 邮局到公园：500÷100＝5（厘米） 公园到书店：300÷100＝3（厘米） 【练习】小明家正北方向300米是科技馆，科技馆正东方向600米是动物园，动物园正南方向400米是书店，画出上述地点的平面图。 【答案】见详解 【分析】先根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出每一段的线段长度；再确定观测点，根据图上方向“上北下南，左西右东”确定方向，终点处标注地点。 【详解】比例尺1∶10000表示图上1厘米代表实际距离10000厘米即100米。 300÷100＝3（厘米），即以小明家作为观测点，取正北方向3厘米处，标注为科技馆； 600÷100＝6（厘米），即以科技馆作为观测点，取正东方向6厘米处，标注为动物园； 400÷100＝4（厘米），即以动物园作为观测点，取正南方向4厘米处，标注为书店； 路线平面图如下图所示： 考点9：图形的放大与缩小 【典型例题】把一个长和宽分别是和的长方形，按放大后，它的周长扩大到原来的（ ）倍，扩大后的面积是（ ）。 【答案】 4 240 【分析】由题意知，长方形的长和宽分别扩大到原来的4倍，分别用长和宽乘放大到原来的倍数，即可求出放大后的长和宽；再根据长方形周长＝（长＋宽）×2，分别求出扩大后的周长和原来的周长，用扩大后的周长除以扩大前的周长即可求出周长扩大到原来的几倍；最后根据长方形面积＝长×宽，求出扩大后的面积，据此解答。 【详解】扩大后的长：5×4＝20（dm） 扩大后的宽：3×4＝12（dm） 原来的周长：（5＋3）×2 ＝8×2 ＝16（dm） 扩大后的周长：（20＋12）×2 ＝32×2 ＝64（dm） 周长扩大到原来的：64÷16＝4 扩大后的面积：20×12＝240（dm2） 【练习】每个小方格的边长表示1cm。 （1）将网格中长方形ABDC按2∶1放大，画出放大后的图形，放大后的长方形面积与原长方形面积的比是（     ）。 （2）在放大后的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的半径是（     ）厘米。 【答案】画图见详解；（1）4∶1（2）3 【分析】（1）按2∶1放大，是指长和宽分别扩大到原来的2倍。计算放大前后的面积分别为6平方厘米、24平方厘米，可计算出放大后面积与原面积比是4∶1； （2）在放大后的长方形内画最大的半圆，需要看长方形的长和宽哪个更适合做半圆的直径。让半圆能完整画在长方形内，就能得到最大的半圆。 【详解】 （1） 计算小长方形的面积：3×2＝6（平方厘米）； 大长方形的长：（厘米） 大长方形的宽：（厘米） 计算大长方形的面积：6×4＝24（平方厘米），因此放大后面积与原面积比是24∶6＝4∶1。 （2） 这个圆的直径是6，半径是6÷2＝3（厘米）。 考点10：用比例解决问题 【典型例题1】玩具厂生产的汽车模型的长度与实际长度的比是1∶30。 （1）洒水车模型长25厘米，洒水车的实际长度是多少？ （2）挖掘机长10.5米，挖掘机的模型的长度是多少？ 【答案】（1）7.5 米 （2）35 厘米 【分析】（1）已知模型长度，求实际长度，根据模型长度∶实际长度＝1∶30列比例解答，计算出结果后注意将单位换算为米。 （2）已知实际长度，求模型长度，根据模型长度∶实际长度＝1∶30列比例解答，计算前需统一单位，将米换算为厘米，计算出结果后单位为厘米。 【详解】（1）解：设洒水车的实际长度是厘米。 答：洒水车的实际长度是7.5米。 （2） 解：设挖掘机的模型的长度是厘米。 答：挖掘机的模型的长度是35厘米。 【典型例题2】张师傅铺一间客厅的地面，用边长为50厘米的方砖需要120块，若改用边长为20厘米的方砖，需要多少块？（用比例解答） 【答案】750块 【分析】根据题意可知，客厅地面的总面积是一定的，即每块方砖的面积×方砖的块数＝客厅地面的总面积（一定），乘积一定，那么每块方砖的面积与方砖的块数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设需要块。 20×20×＝50×50×120 400＝300000 ＝300000÷400 ＝750 答：需要750块。 【练习】某装配工厂原计划派20人完成一项装配任务，因为工作需要，实际派了30人。原计划24天完成任务，照这样计算，实际几天完成任务？（用比例的知识解答） 【答案】16天 【分析】本题考查反比例的应用。根据题意，这项装配任务的工作总量是一定的。 工作总量＝人数×天数，积一定，所以人数与天数成反比例关系。 根据反比例的意义，实际人数×实际天数＝原计划人数×原计划天数，据此列方程解答。 【详解】解：设实际 天完成任务。 答：实际 16 天完成任务。 一、选择题 1．下列哪个比例是不正确的？（     ） A．1∶3＝2∶6 B．2∶5＝4∶10 C．3∶4＝6∶10 【答案】C 【分析】判断是否为比例，可运用比例基本性质：两外项之积等于两内项之积，据此依次分析各个选项得出答案。 【详解】A.1∶3＝2∶6，两内项之积为3×2＝6，两外项之积为1×6＝6，两个数相等，则比例正确； B.2∶5＝4∶10，两内项之积为5×4＝20，两外项之积为2×10＝20，两个数相等，则比例正确； C.3∶4＝6∶10，两内项之积为4×6＝24，两外项之积为3×10＝30，两个数不相等，则比例不正确。 不正确的比例是：3∶4＝6∶10 2．关于正反比例判断，以下说法不正确的是（     ）。 A．路程不变的情况下，汽车平均行驶速度和行驶时间成反比例关系 B．圆的面积与它的半径成正比例关系 C．正方形的周长和它的面积不成比例关系 【答案】B 【分析】如果x÷y＝k（一定），那么x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），那么x和y成反比例关系；除此之外不成比例关系。 【详解】A．速度×时间＝路程，路程不变的情况下，汽车平均行驶速度和行驶时间成反比例关系，说法正确； B．圆的面积÷半径＝圆周率×半径（不定量），圆的面积与它的半径不成比例关系，选项说法错误； C．正方形的周长＝边长×4，正方形面积＝边长×边长，正方形面积÷周长＝边长÷4，正方形的周长和它的面积不成比例关系，说法正确。 说法不正确的是圆的面积与它的半径成正比例关系。 3．用比例尺的知识作出判断，正确的是（     ）。 A．线段比例尺表示用图上1厘米代表实际距离60千米 B．把一个长108米、宽64米的长方形画在练习本上，选择1∶20的比例尺比较合适 C．一个微型零件长5毫米，画在图纸上是5厘米，比例尺是10∶1 【答案】C 【分析】A．在线段比例尺中，图上的1厘米表示实际的30千米，据此判断； B．图上距离＝实际距离×比例尺，据此求出长方形按照1∶20画在练习本上的长和宽，再结合实际判断即可； C．先根据1厘米＝10毫米把5厘米换算成毫米，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离求出比例尺，最后判断即可。 【详解】A．线段比例尺表示用图上1厘米代表实际距离30千米；原说法错误； B．108米＝10800厘米 64米＝6400厘米 10800×＝540（厘米） 6400×＝320（厘米） 把一个长108米、宽64米的长方形画在练习本上，如果选择1∶20的比例尺，则画出的长是540厘米宽是320厘米，不符合练习本的实际大小，所以选择1∶20的比例尺不合适；原说法错误； C．5厘米＝50毫米 50毫米∶5毫米 ＝50∶5 ＝（50÷5）∶（5÷5） ＝10∶1 一个微型零件长5毫米，画在图纸上是5厘米，比例尺是10∶1；原说法正确。 4．把一个图形先按3∶1的比放大，再把放大后的图形按1∶4的比缩小，最后得到的图形与原图形相比，（     ）。 A．不变 B．变小了 C．变大了 【答案】B 【分析】先假设原图纸上的一条线段的长度，按3∶1的比放大就是将图形的假设的这条边放大到原来的3倍；按1∶4的比缩小就是将放大后这条边缩小到原来的；据此计算出放大后和缩小后的长度，再比较判断即可。 【详解】设原图纸上的一条线段长为8厘米； 8×3＝24（厘米） 24÷4＝6（厘米） 6厘米＜8厘米，因此最后得到的图形与原图形相比变小了。 5．20名工人施工时，每天可完成100平方米的建筑任务。若每天完成150平方米的建筑任务，需要（     ）名工人。 A．30 B．40 C．50 【答案】A 【分析】根据题意，每名工人每天可完成的建筑任务是一定的，也就是每天完成的任务与工人人数的比值是一定的。所以可以用比例来解决此题。 【详解】解：设每天完成150平方米的建筑任务，需要x名工人。 100x＝20×150 100x＝3000 100x÷100＝3000÷100 x＝30 二、填空题 6．如果用3，8，12和x可以组成比例，那么x最大是（ ），最小是（ ）。 【答案】 32 2 【分析】根据比例的基本性质，内项积等于外项积，则x最大为8×12÷3；最小是3×8÷12。据此解答即可。 【详解】最大：8×12÷3 ＝96÷3 ＝32 最小：3×8÷12 ＝24÷12 ＝2 7．如果a∶b＝2∶5，且b＝25，那么a＝（ ）。 【答案】10 【分析】根据比例基本性质：比例的两内项之积等于两外项之积，可将比例化为方程，再根据等式性质可计算得出答案。 【详解】根据题意比例为a∶25＝2∶5 5a＝25×2 5a÷5＝25×2÷5 a＝10 8．四名同学看同一本故事书，平均每天看的页数和看完全书所需天数如表。表中（ ）和（ ）是两种相关联的量，这两种量相对应的两个数的（ ）一定，这两种量成（ ）关系。 姓名 小敏 小峰 小英 小强 平均每天看的页数 10 15 20 30 看完全书所需天数 12 8 6 4 【答案】 平均每天看的页数 看完全书所需天数 积 反比例 【分析】平均每天看的页数×看完全书所需天数＝总页数，这本书的总页数不变，也就说明平均每天看的页数×看完全书所需天数的积不变。因为平均每天看的页数和看完全书所需天数是两种相关联的量，且这两种量相对应的两个数的积一定，根据反比例的定义，这两种量成反比例关系。 【详解】表中平均每天看的页数和看完全书所需天数是两种相关联的量，这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量成反比例关系。 9．一个比例的两个外项互为倒数，已知一个内项是，另一个内项是（ ）。 【答案】/1.2/ 【分析】互为倒数的两个数乘积是1，然后根据比例的基本性质：内项积等于外项积，据此用1除以解答即可。 【详解】1÷＝1×＝ 10．如果5A＝4B（A、B均不为0），则A∶B＝（ ）∶（ ），A和B成（ ）比例关系。 【答案】 4 5 正 【分析】根据比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，将5A＝4B转化为两个比相等的式子； 当两种相关联的量，比值一定时，成正比例关系；当两种相关联的量，乘积一定时，成反比例关系；据此判断A和B成什么比例关系。 【详解】A∶B＝4∶5 A∶B＝4∶5＝4÷5＝0.8（比值一定） 因此，如果5A＝4B（A、B均不为0），则A∶B＝（4）∶（5），A和B成（正）比例关系。 11．一幅地图的比例尺是1∶30000000，这是（ ）比例尺，请你用线段比例尺表示出来（ ）。 【答案】 数值 见详解 【分析】因为要判断比例尺类型，根据数值形式判断该比例尺的类型。 因为要将数值比例尺转化为线段比例尺，所以先根据比例尺的定义，计算出图上1厘米代表的实际距离，再据此画出线段比例尺。 【详解】30000000÷100000＝300（千米） 一幅地图的比例尺是1∶30000000，这是数值比例尺，请你用线段比例尺表示出来。 12．边长5厘米的正方形按4∶1放大，则正方形边长为（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【答案】 20 400 【分析】图形放大与缩小前后形状不变。根据图形放大的比例，用原边长乘放大的倍数，求出放大后的边长。再利用正方形面积＝边长×边长，计算放大后正方形的面积。 【详解】放大后的边长：5×4＝20（厘米） 放大后的面积：20×20＝400（平方厘米） 13．算一算，填一填。 比例尺 图上距离 实际距离 2厘米 8千米 1∶2000000 180千米 1∶500000000 2.5厘米 【答案】1：400000；9 厘米；12500 千米 【分析】把8千米换算成800000厘米，根据比例尺＝图上距离∶实际距离解决； 把180千米换算成18000000厘米，图上距离＝实际距离×比例尺； 实际距离＝图上距离÷比例尺，再把单位换算成千米。 【详解】第1空，8千米＝800000厘米，2∶800000＝（2÷2）∶（800000÷2）＝1∶400000 第2空，1∶2000000＝ 180千米＝18000000厘米，18000000×＝9（厘米） 第3空，1∶500000000＝ 2.5÷＝2.5×500000000＝1250000000（厘米） 1250000000厘米＝12500千米 14．甲数的等于乙数的，则甲、乙两数（ ）。（填“成正比例”“成反比例”或“不成比例”） 【答案】成正比例 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。根据题意列出等量关系式，然后通过变形求出甲数与乙数的比值或乘积。进而解答。 【详解】甲数×＝乙数× 甲数∶乙数＝∶ 甲数∶乙数＝×6 甲数∶乙数＝ 甲数∶乙数＝（一定），甲、乙两个数成正比例。 15．配备多种智能驾驶模式的智能插秧机可以实现完全自主驾驶。如图是该插秧机中两个相互啮合的齿轮，大齿轮与小齿轮的齿数比是7∶2，如果小齿轮每分转49圈，大齿轮每分转（ ）圈。 【答案】14 【分析】设大齿轮每分转x圈，根据每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设大齿轮每分转x圈。 7x＝2×49 7x＝98 x＝98÷7 x＝14 大齿轮每分转14圈。 16．将一批纸装订成练习本，如果每本装订20页，那么可装订600本；如果每本多装订10页，那么可装订（ ）本。 【答案】400 【分析】由于纸的总量不变，装订的页数与本数成反比例；用乘法，求出这批纸的总量，再用纸的总量÷多装订10页的每本页数，即可解答。 【详解】（20×600）÷（20＋10） ＝12000÷30 ＝400（本） 17．“天下大事，必作于细”的工匠精神是我国制造前行的精神源泉。一个精密零件长是2.5mm，宽是0.88mm，为保证精准，画在图纸上的长是5cm。 （1）这幅图纸的比例尺是（ ）。 （2）要加工700个这样的精密零件，前4天加工了200个，照这样计算，加工完这些零件共需要（ ）天。 【答案】（1）20∶1 （2）14 【分析】（1）先统一单位，再根据图上距离∶实际距离＝比例尺，写出这幅图纸的比例尺，再化简即可。 （2）根据题意可知，加工的总个数÷天数＝每天加工的个数（一定），商一定，也就是比值一定，加工的总个数和天数成正比例，据此设加工这些零件需要x天，列方程为：700∶x＝200∶4，然后解出比例即可。 【详解】（1） 2.5mm＝0.25cm 5cm∶0.25cm＝（5×100）∶（0.25×100）＝500∶25＝（500÷25）∶（25÷25）＝20∶1 这幅图纸的比例尺为20∶1。 （2） 解：设加工这些零件需要x天。 700∶x＝200∶4 200x＝700×4 200x＝2800 x＝2800÷200 x＝14 照这样计算，加工这些零件需要14天。 18．一幅地图的比例尺为改写成数值比例尺是（ ），在这幅地图上量得A地到B地的图上距离是7.5厘米，则实际距离是（ ）千米。 【答案】 1∶4000000 300 【分析】把图上距离和实际距离统一单位，再写出比并化简得到数值比例尺。再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，计算出A、B两地的实际距离。 【详解】从图中可以看出，1厘米表示40千米。 40千米＝4000000厘米，改写为数值比例尺：1∶4000000。 实际距离： 7.5÷ ＝7.5×4000000 ＝30000000（厘米），30000000厘米＝300千米，因此，实际距离是300千米。 19．甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲行完全程要20分钟，乙行完全程要30分钟，甲和乙的速度比是（ ）∶（ ），甲到B地后立即返回继续走，途中与乙相遇，这时乙行了（ ）分钟。 【答案】 3 2 24 【分析】（1）把全程看作单位 “1”，速度＝路程÷时间，分别求出甲、乙的速度，再写出速度比，最后化为最简单的整数比。 （2）甲到 B 地后立即返回与乙相遇，实际上两人一共相遇了两次，一次相遇走完一个全程，两次相遇时，两人一共走了2 个全程，用总路程除以两人速度和，得到相遇共用时间，也就是乙行的时间。 【详解】将全程看作单位“1”，甲的速度：​；乙的速度：。 两人的速度比：：＝30：20＝3：2； 两人的速度和：，相遇时间，用2个总路程除以速度和： （分钟），因此，甲到B地后立即返回继续走，途中与乙相遇，这时乙行了24分钟。 20．一瓶饮料300毫升，其中橙汁与水的比例是1∶4，这瓶饮料中水有（ ）毫升；妈妈感觉太浓了，于是倒出一半后再用清水加满，新饮料中橙汁浓度为（ ）%。 【答案】 240 10 【分析】这瓶饮料中水的体积＝饮料的体积÷总份数×水占的份数，这瓶饮料中橙汁的体积＝饮料的体积÷总份数×橙汁占的份数，倒出一半后再用清水加满，新饮料中橙汁浓度＝原来橙汁的体积÷2÷这瓶饮料的总体积×100%。 【详解】水的体积： 300÷（1＋4）×4 ＝300÷5×4 ＝60×4 ＝240（毫升） 橙汁的体积： 300÷（1＋4）×1 ＝300÷5×1 ＝60×1 ＝60（毫升） 新饮料中橙汁的体积： 60÷2＝30（毫升） 新饮料中橙汁浓度： 30÷300×100% ＝0.1×100% ＝10% 一瓶饮料300毫升，其中橙汁与水的比例是1∶4，这瓶饮料中水有240毫升；妈妈感觉太浓了，于是倒出一半后再用清水加满，新饮料中橙汁浓度为10%。 三、计算题 21．解比例。         0.4∶＝1.2∶2                【答案】＝0.6；；＝5；＝50 【分析】（1）先根据比与分数的关系，将分数写成比的形式，再根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），把比例转化成方程，最后根据等式的基本性质，给方程的两边同时除以12，求出方程的解。 （2）根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），把比例转化成方程，再根据等式的基本性质，给方程的两边同时除以1.2，求出方程的解。 （3）根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），把比例转化成方程，再根据等式的基本性质，给方程的两边同时除以，求出方程的解。 （4）根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），把比例转化成方程，再根据等式的基本性质，给方程的两边同时除以0.6，求出方程的解。 【详解】 解：12∶2.4＝3∶ 12＝3×2.4 12＝7.2        12÷12＝7.2÷12 ＝0.6 0.4∶＝1.2∶2 解：1.2＝0.4×2 1.2＝0.8      1.2÷1.2＝0.8÷1.2    解：       ＝5 解： 0.6＝30         0.6÷0.6＝30÷0.6 ＝50 四、作图题 22．下面方格纸中的正方形的边长是1厘米，请按要求完成下面各题。 （1）在方格纸中作一个长为3厘米、宽为2厘米的长方形。 （2）画出上面图形按2∶1放大的图形。 （3）原图的面积是（ ）平方厘米，放大后的图形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 6 24 【分析】（1）根据长方形的特征，画出一个长为3厘米、宽为2厘米的长方形。 （2）长方形按2∶1放大，原来长方形的长和宽都乘2，即是放大后长方形的长和宽，据此画出放大后的长方形。 （3）根据长方形的面积＝长×宽，分别求出原长方形和放大后的长方形的面积。 【详解】（1）长为3厘米、宽为2厘米的长方形如下图： （2）放大后长方形的长是：3×2＝6（厘米） 放大后长方形的宽是：2×2＝4（厘米） 放大后的长方形如下图： （3）原长方形的面积：3×2＝6（平方厘米） 放大后长方形的面积：6×4＝24（平方厘米） 五、解答题 23．法国巴黎的埃菲尔铁塔高度约为320米。北京的世界公园里有一座埃菲尔铁塔模型，它的高度与原塔高度的比是1∶10。这座模型的高度是多少厘米？（用比例解答） 【答案】3200厘米 【分析】根据题意，模型高度∶原塔高度＝1∶10，设这座模型的高度为厘米，根据等量关系列比例求解。解答前需将320米换算为32000厘米。 【详解】320米＝32000厘米 解：设这座模型的高度是厘米。 答：这座模型的高度是3200厘米。 24．一艘货轮从A港满载货物，每小时行24km，20小时到达B港。返回时空船，船速提高了25%，返回时用了多长时间？（用比例解答） 【答案】16小时 【分析】根据题意，货轮往返于A、B两港之间，路程一定。根据关系式“速度×时间＝路程”，当路程一定时，速度和时间成反比例关系。先求出返回时的速度，再设返回时间为未知数，根据反比例关系列出方程解答。 【详解】解：设返回时用了小时。 返回时的速度为： 因为路程一定，速度和时间成反比例，列方程得： 答：返回时用了16小时。 25．周末，丫丫一家开车到花溪谷游玩。在一幅比例尺为1∶3000000的地图上，丫丫家到花溪谷的距离是7.2厘米。他们的车平均每小时行驶80千米，从丫丫家到花溪谷需要多少小时？ 【答案】2.7小时 【分析】实际距离＝图上距离÷比例尺，据此求出丫丫家到花溪谷的实际距离，再根据1千米＝100000厘米把单位换算成千米，再根据时间＝路程÷速度用丫丫家到花溪谷的实际距离除以他们的速度即可。 【详解】7.2÷＝21600000（厘米） 21600000厘米＝216千米 216÷80＝2.7（小时） 答：从丫丫家到花溪谷需要2.7小时。 26．一块长与宽的比为5∶3的长方形稻田按1∶1000的比例尺画在一幅设计图上，在设计图上量得这块稻田的周长是96厘米，这块稻田的实际面积是多少平方米？ 【答案】54000平方米 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，据此求出长和宽；根据比的应用，总数÷总份数＝1份量，进而求出设计图上的长和宽；实际距离＝图书距离÷比例尺，求出实际距离；根据长方形面积＝长×宽，代入即可求解。（注意单位统一） 【详解】96÷2÷（5＋3） ＝48÷8 ＝6（厘米） 6×5＝30（厘米） 6×3＝18（厘米） 30÷＝30×1000＝30000（厘米） 18÷＝18×1000＝18000（厘米） 30000厘米＝300米；18000厘米＝180米 300×180＝54000（平方米） 答：这块稻田的实际面积是 54000 平方米。 27．梦想中学整修环形跑道，甲、乙两队从两端同时施工，工作效率比是2：3，6天完成任务。已知甲队每天整修40米，需核算乙队效率及跑道总长。 （1）乙队每天能整修多少米？ （2）这条环形跑道全长多少米？ 【答案】（1）60米 （2）600米 【分析】（1）根据甲、乙两队工作效率比是 2∶3，已知甲队每天整修40米，可设乙队每天整修的长度为x，再根据甲、乙两队工作效率比是 2∶3列出比例式，从而求出乙队每天能整修多少米。 （2）环形跑道全长属于工作总量，根据“工作总量 ＝ 工作效率和 × 工作时间”，将两队每天整修长度相加后乘施工天数即可求出全长。 【详解】（1）解：设乙队每天能整修x米， 40∶x＝2∶3 2x＝40×3 2x＝120 x＝120÷2 x＝60 答：乙队每天能整修60米。 （2） （米） 答：这条环形跑道全长600米。 28．猜灯谜是中秋月圆夜备受大家喜爱的活动。在猜灯谜活动中，妙妙猜对了16个灯谜，获得了18个金币和一盏花灯；奇奇猜对了13个灯谜，获得了9个金币和一盏花灯。那么甜甜猜对了15个灯谜，可以获得一盏相同的花灯和多少个金币？（用比例知识解答。） 【答案】15 【分析】由题可知，三人获得的花灯数量相同，说明花灯是固定奖励，金币数量的变化是由猜对灯谜数量的变化引起的。因此，金币数量的差值与猜对灯谜数量的差值成正比例关系。解题时，设甜甜获得的金币数为x，利用妙妙与奇奇的金币差值比灯谜差值，等于甜甜与奇奇的金币差值比灯谜差值，列出比例式求解。 【详解】解：设甜甜可以获得x个金币。 （18－9）∶（16－13）＝（x－9）∶（15－13） 9∶3＝（x－9）∶2 3×（x－9）＝9×2 3×（x－9）÷3＝18÷3 x－9＝6 x－9＋9＝6＋9 x＝15 答：甜甜猜对了15个灯谜，可以获得一盏相同的花灯和15个金币。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $