期中检测必考题型（三）——应用题（10大考点10类题型）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

期中检测必考题型（三）——应用题（10大考点10类题型） 目录 一、 考点考法易错点 1 二、题型精析： 2 【题型1】和差倍分问题（列二元一次方程组解应用题） 2 【题型2】销售利润问题（列二元一次方程组解应用题） 2 【题型3】方案选择问题（列二元一次方程组解应用题） 4 【题型4】古代数学问题（列二元一次方程组解应用题） 4 【题型5】几何问题（列二元一次方程组解应用题） 5 【题型6】行程问题（列二元一次方程组解应用题） 6 【题型7】工程分配问题（列二元一次方程组解应用题） 7 【题型8】数字与年龄问题（列二元一次方程组解应用题） 8 【题型9】乘法公式的应用（乘法公式与图形面积问题） 9 【题型10】因式分解的应用（因式分解与几何图形） 10 1、 考点考法易错点 序号 考点 考法 易错点 1 和差倍分与配套问题 1. 根据“多、少、倍、共”列方程； 2. 物品或人数配套. 1. “比… 多或少” 列反； 2. 配套比例颠倒. 2 销售利润问题 1. 利润=售价−进价； 2. 总利润=单件利润数量； 3. 折扣、进价、售价计算. 1. 折扣算错（8 折≠8）； 2. 利润与总价混淆. 3 方案选择问题 1. 列二元一次方程求正整数解； 2.租车或购票或进货方.案； 3. 最省钱或最大利润 1. 漏解、少方案2. 整数解条件忽略. 4 古代数学问题 1. 古文翻译列方程组； 2.人车、酒斗、货物问题. 1. 文意理解错误； 2. 等量关系找错 5 几何问题 1. 图形不同摆放列方程； 2. 利用图形周长和面积列方程. 1. 面积周长公式混用； 2. 不能找出等量关系. 6 行程问题 1. 相遇：路程和 = 全程； 2. 追及：路程差 = 间距. 1. 相遇追及公式混淆； 2. 单位不统一. 7 工程分配问题 1. 工作总量=效率时间； 2. 合作完工、物资分配. 1. 效率直接相加、时间不相加. 8 数字与年龄问题 1. 两位数=10十位+个位； 2. 年龄差不变. 1.两位数表示漏乘10. 9 乘法公式的应用 1.简便运算（平方差、完全平方）； 2.几何面积推导与计算； 3.公式变形求值. 1.完全平方漏 2ab 项； 2.平方差公式用错. 10 因式分解的应用 1.整除、倍数、因数问题； 2.几何面积化简. 1.分解不彻底； 2.符号、公因式提错. 二、题型精析： 【题型1】和差倍分问题（列二元一次方程组解应用题） 1.（25-26七年级下·吉林长春·月考）某校组织学生参加植树活动，已知七年1班有28人在甲处植树，七年2班有21人在乙处植树．现调七年3班20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处人数的2倍，问应调往甲处多少人？ 2.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级下·全国·周测）某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为_________万元． 4.（24-25七年级下·海南儋州·期中）在某工程建设中，有甲、乙两种卡车参加运土，3辆甲种卡车与2辆乙种卡车一次共可运土48立方米，2辆甲种卡车与3辆乙种卡车一次共可运土52立方米．求甲种卡车和乙种卡车一次可运土多少立方米？ 【题型2】销售利润问题（列二元一次方程组解应用题） 1.（24-25七年级下·山东聊城·期中）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 （1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件? （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 2.（25-26八年级上·四川成都·期末）某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级下·湖南长沙·月考）“相超文具店”新到两款限定中性笔：“永州款”每支笔杆带闪粉，“星城款”每支笔帽会变色．小艾买了9支永州款和4支星城款，老板报价：“一共52元”付完钱后，小艾突然说：“姐姐，我少要1支星城款，多换3支永州款吧”老板看了看库存，说：“可以，不过你还得再补1元钱”根据他们的对话，可知：永州款的单价为_______元． 4.（24-25七年级上·河南平顶山·期末）某商店销售A，B两种品牌的毛绒玩具，已知两种型号毛绒玩具单个成本价和为25元，且3个A型号毛绒玩具的成本价等于2个B型号毛绒玩具成本价． （1）求A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为多少元？ （2）将A，B两种型号毛绒玩具按成本价均提高后标价出售． ①A型号毛绒玩具的标价为________元，B型号毛绒玩具的标价为________元； ②若商店分别购进两种毛绒玩具各10个，A型号毛绒玩具按标价出售，B型号毛绒玩具打折销售，要保证售完所有毛绒玩具后利润率达到，求B型号毛绒玩具打几折？（提示：利润率） 【题型3】方案选择问题（列二元一次方程组解应用题） 1.（2025·辽宁大连·模拟预测）已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）某物流公司现有货物若干吨要运输，计划同时租用型车3辆，型车5辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，请求出该物流公司有多少吨货物要运输． 2.（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）今年，明华中学开展了以迎接新生为主题的演讲活动，计划拿出240元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 3.（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）大学生运动会召开时，某校有56名学生报名参加志愿者活动，这些学生被分为4人小组或6人小组，则分组的方案共有________种． 4.（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）王洋准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？ （2）现有30吨梨子，王洋计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有多少种租车方案？ （3）若1辆甲型车需租金180元/次，1辆乙型车需租金150元/次，请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【题型4】古代数学问题（列二元一次方程组解应用题） 1.（25-26八年级上·安徽宿州·期末）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？ 2.（重庆市凤中教共体学校2025—2026学年度下期初2024级数学阶段性消化作业（一））《九章算术》中有题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意：若干人一起买东西．如果每人出8钱，就多出3钱；如果每人出7钱，就还差4钱．设人数为x人，物品价格为y钱，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级下·河南南阳·期中）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如图1，从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x、y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则图2表示的方程是_________，这两个方程组成的方程组的解为_________． 4.（24-25七年级下·辽宁大连·月考）华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺（尺厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？” 【题型5】几何问题（列二元一次方程组解应用题） 1.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在一个大长方形的内部无重叠地放入六个完全一样的小长方形（阴影部分），大长方形的长为12，宽为10，求一个小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 2.（25-26八年级上·山东枣庄·月考）如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，与的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 3.（2026·河北邯郸·一模）如图1是一块长为，宽为的小矩形地板砖，用这样相同的8块地板砖拼成如图2所示的大矩形，根据图中数据，每块小矩形的面积是______． 4.（24-25七年级下·全国·课后作业）设合适的未知数，列出二元一次方程组： （1）一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大． （2）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半面钱亦五十，问甲乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50，而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？” 【题型6】行程问题（列二元一次方程组解应用题） 1.（25-26七年级上·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． （1）两人每小时分别行进多少千米？ （2）相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 2.（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为，在坡路上行驶的速度为．汽车从学校到自然保护区一共行驶了，则汽车在坡路上行驶了______ h． 4.（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． （1）求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ （2）已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【题型7】工程分配问题（列二元一次方程组解应用题） 1.（25-26八年级上·河南开封·月考） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 2.（24-25七年级下·全国·课后作业）抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级下·全国·课后作业）某家具生产厂生产某种配套桌椅（1张桌子配4把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子3把，现计划用140块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），生产出来的桌椅刚好配套．设用块板材制作桌子，用块板材制作椅子，则________． 4.（25-26八年级上·四川成都·月考）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： （1）甲、乙两队每天费用各为多少？ （2）若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【题型8】数字与年龄问题（列二元一次方程组解应用题） 1.（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 2.（24-25七年级下·四川眉山·期中）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（2026七年级下·吉林长春·专题练习）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 4.（25-26八年级上·四川成都·月考）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【题型9】乘法公式的应用（乘法公式与图形面积问题） 1.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为米的空白的正方形地块将修建一个凉亭．； （1）用含有a，b的式子表示绿化总面积． （2）若，，求出此时的绿化总面积． 2.（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）数形结合是初中数学重要的思想方法，图①到图②的变化过程描述了一个重要的数学公式，这个公式是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·安徽合肥·月考）如图，已知大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若，则阴影部分的面积为______． 4.（24-25六年级下·山东东营·期末）（附加题）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示） （3）【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知，则的值为 ②计算： （4）【拓展】①结果的个位数字为 ②计算： 【题型10】因式分解的应用（因式分解与几何图形） 1.（2026·江苏南京·模拟预测）按照要求解答： （1）如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． （2）类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． （3）结合上述经验，将因式分解的结果是______． 2.（25-26八年级下·陕西西安·月考）小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”，“我”，“爱”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．最美铁曲 B．我爱最美 C．我爱美曲 D．我爱铁曲 3.（24-25八年级下·江苏南通·期中）边长分别为a和b的两个正方形按图的样式摆放，如果阴影部分的面积为58，，则_____． 4.（2026·河北·模拟预测）利用图1中甲、乙、丙三种矩形卡片若干张拼成图2的正方形（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释． （1）【发现】若要拼成图3的矩形，请通过计算说明需要利用图1中的三种卡片各自的张数； （2）【探究】若要利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为__________（用含的式子表示）； （3）【应用】若，则______；若，则_______，_______． 2或30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中检测必考题型（三）——应用题（10大考点10类题型） 目录 一、 考点考法易错点 1 二、题型精析： 2 【题型1】和差倍分问题（列二元一次方程组解应用题） 2 【题型2】销售利润问题（列二元一次方程组解应用题） 4 【题型3】方案选择问题（列二元一次方程组解应用题） 6 【题型4】古代数学问题（列二元一次方程组解应用题） 9 【题型5】几何问题（列二元一次方程组解应用题） 11 【题型6】行程问题（列二元一次方程组解应用题） 13 【题型7】工程分配问题（列二元一次方程组解应用题） 16 【题型8】数字与年龄问题（列二元一次方程组解应用题） 19 【题型9】乘法公式的应用（乘法公式与图形面积问题） 21 【题型10】因式分解的应用（因式分解与几何图形） 25 1、 考点考法易错点 序号 考点 考法 易错点 1 和差倍分与配套问题 1. 根据“多、少、倍、共”列方程； 2. 物品或人数配套. 1. “比… 多或少” 列反； 2. 配套比例颠倒. 2 销售利润问题 1. 利润=售价−进价； 2. 总利润=单件利润数量； 3. 折扣、进价、售价计算. 1. 折扣算错（8 折≠8）； 2. 利润与总价混淆. 3 方案选择问题 1. 列二元一次方程求正整数解； 2.租车或购票或进货方.案； 3. 最省钱或最大利润 1. 漏解、少方案2. 整数解条件忽略. 4 古代数学问题 1. 古文翻译列方程组； 2.人车、酒斗、货物问题. 1. 文意理解错误； 2. 等量关系找错 5 几何问题 1. 图形不同摆放列方程； 2. 利用图形周长和面积列方程. 1. 面积周长公式混用； 2. 不能找出等量关系. 6 行程问题 1. 相遇：路程和 = 全程； 2. 追及：路程差 = 间距. 1. 相遇追及公式混淆； 2. 单位不统一. 7 工程分配问题 1. 工作总量=效率时间； 2. 合作完工、物资分配. 1. 效率直接相加、时间不相加. 8 数字与年龄问题 1. 两位数=10十位+个位； 2. 年龄差不变. 1.两位数表示漏乘10. 9 乘法公式的应用 1.简便运算（平方差、完全平方）； 2.几何面积推导与计算； 3.公式变形求值. 1.完全平方漏 2ab 项； 2.平方差公式用错. 10 因式分解的应用 1.整除、倍数、因数问题； 2.几何面积化简. 1.分解不彻底； 2.符号、公因式提错. 二、题型精析： 【题型1】和差倍分问题（列二元一次方程组解应用题） 1.（25-26七年级下·吉林长春·月考）某校组织学生参加植树活动，已知七年1班有28人在甲处植树，七年2班有21人在乙处植树．现调七年3班20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处人数的2倍，问应调往甲处多少人？ 【答案】应调往甲处人 【分析】设调往甲处的人数为x人，调往乙处的人数为y人，根据一共有20人调往甲、乙两处，且支援后甲处植树的人数是乙处人数的2倍建立方程组求解即可． 解：设调往甲处的人数为x人，调往乙处的人数为y人， 由题意得，， 解得， 答：应调往甲处18人． 2.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则；②男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 解：根据某年级学生共有246人，则； 男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 可列方程组为． 故选：B． 3.（25-26七年级下·全国·周测）某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为_________万元． 【答案】34 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组来解决现实生活中的应用问题；解题的关键是把握题意，正确列出方程，准确求解计算． 设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元，根据总营业额万元和一月份变化后总营业额万元，列出方程组求解即可． 解：设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元， 由题意，得方程组 解得 故甲柜台去年十二月份的营业额为万元． 故答案为：． 4.（24-25七年级下·海南儋州·期中）在某工程建设中，有甲、乙两种卡车参加运土，3辆甲种卡车与2辆乙种卡车一次共可运土48立方米，2辆甲种卡车与3辆乙种卡车一次共可运土52立方米．求甲种卡车和乙种卡车一次可运土多少立方米？ 【答案】甲种卡车一次可运土8立方米，乙种卡车一次可运土12立方米 【分析】设甲种卡车一次可运土x立方米，乙种卡车一次可运土y立方米，再根据题意列出二元一次方程组，解方程即可． 解：设甲种卡车一次可运土x立方米，乙种卡车一次可运土y立方米， 由题意得， 解得：， 答：甲种卡车一次可运土8立方米，乙种卡车一次可运土12立方米． 【题型2】销售利润问题（列二元一次方程组解应用题） 1.（24-25七年级下·山东聊城·期中）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 （1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件? （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【答案】（1）该超市购进甲商品150件，乙商品90件；（2）以五折售出的乙商品有70件 【分析】（1）设购进甲，乙商品分别为m，n件，根据题意列方程求解即可； （2）设以五折售出的乙商品有y件，根据题意列方程求解即可． 解：（1）解：设购进甲，乙商品分别为m，n件， 依题意可知：， 解得：， 答：该超市第一次购进甲种商品件、乙种商品件； （2）解：设以五折售出的乙商品有y件， 根据题意得：， 解得：， 故以五折售出的乙商品有70件． 2.（25-26八年级上·四川成都·期末）某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出代数式，正确列出方程是解题的关键．根据利润关系建立方程：按定价销售时每件利润为；按八折销售8件利润与降价35元销售12件利润相等． 解：∵按定价销售，每件获利45元， ∴. ∵按定价八折销售，每件利润为，销售8件利润为. ∵定价降低35元销售，每件利润为，销售12件利润为. ∵两者利润相同， ∴. ∴方程组为， 故选：C. 3.（25-26九年级下·湖南长沙·月考）“相超文具店”新到两款限定中性笔：“永州款”每支笔杆带闪粉，“星城款”每支笔帽会变色．小艾买了9支永州款和4支星城款，老板报价：“一共52元”付完钱后，小艾突然说：“姐姐，我少要1支星城款，多换3支永州款吧”老板看了看库存，说：“可以，不过你还得再补1元钱”根据他们的对话，可知：永州款的单价为_______元． 【答案】 【分析】设永州款的单价为x元，星城款的单价为y元，根据他们的对话，列出方程组，即可求解． 解：设永州款的单价为x元，星城款的单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：永州款的单价为元． 4.（24-25七年级上·河南平顶山·期末）某商店销售A，B两种品牌的毛绒玩具，已知两种型号毛绒玩具单个成本价和为25元，且3个A型号毛绒玩具的成本价等于2个B型号毛绒玩具成本价． （1）求A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为多少元？ （2）将A，B两种型号毛绒玩具按成本价均提高后标价出售． ①A型号毛绒玩具的标价为________元，B型号毛绒玩具的标价为________元； ②若商店分别购进两种毛绒玩具各10个，A型号毛绒玩具按标价出售，B型号毛绒玩具打折销售，要保证售完所有毛绒玩具后利润率达到，求B型号毛绒玩具打几折？（提示：利润率） 【答案】（1）A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为10元和15元；（2）①14，21；②打9折销售 【分析】（1）设A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为x、y，再根据等量关系“两种型号毛绒玩具单个成本价和为25元”和“3个A型号毛绒玩具的成本价等于2个B型号毛绒玩具成本价”列二元一次方程组求解即可； （2）①根据A，B两种型号毛绒玩具按成本价均提高后标价出售，据此分别列式求解即可；②B型号毛绒玩具打z折，即按照标价的销售，再根据“售完所有毛绒玩具后利润率达到”列一元一次方程求解即可； 解：（1）解：设A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为x元和y元， 由题意可得：，解得：． 答：A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为10元和15元． （2）解：①A型号毛绒玩具的标价为元； B型号毛绒玩具的标价为元； ②B型号毛绒玩具打z折，即按照标价的销售， 由题意可得：， 解得：， 答：B型号毛绒玩具打9折销售． 【题型3】方案选择问题（列二元一次方程组解应用题） 1.（2025·辽宁大连·模拟预测）已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）某物流公司现有货物若干吨要运输，计划同时租用型车3辆，型车5辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，请求出该物流公司有多少吨货物要运输． 【答案】（1）1辆A型车满载为3吨，1辆B型车满载为4吨；（2）该物流公司有29吨货物要运输 【分析】（1）设1辆A型车运x吨，1辆B型车运y吨，根据用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求结合恰好每辆车都载满货物列式求解即可． 解：（1）解：设1辆A型车运x吨，1辆B型车运y吨， 由题意得，解得， 答：1辆A型车满载为3吨，1辆B型车满载为4吨． （2）解：依题意得：（吨）． 答：该物流公司有29吨货物要运输． 2.（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）今年，明华中学开展了以迎接新生为主题的演讲活动，计划拿出240元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，解题关键是根据总价等量关系列出方程，结合，为正整数的条件求出所有可行方案． 解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，，均为正整数， 根据题意得 整理得 . ∵，均为正整数， ∴，，，，，， ∴购买方案共有种． 3.（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）大学生运动会召开时，某校有56名学生报名参加志愿者活动，这些学生被分为4人小组或6人小组，则分组的方案共有________种． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程的非负整数解，设4人小组有x组，6人小组有y组，则 化简得，求出方程的非负整数解，问题得解﹒ 解：设4人小组有x组，6人小组有y组，则 化简得， 方程的非负整数解有， ∴有5种分组方案﹒ 故答案为：5 4.（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）王洋准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？ （2）现有30吨梨子，王洋计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有多少种租车方案？ （3）若1辆甲型车需租金180元/次，1辆乙型车需租金150元/次，请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】（1）1辆甲型车装满梨子一次可运货4吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货3吨；（2）共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，6辆乙型车；方案2：租用6辆甲型车，2辆乙型车；（3）租用6辆甲型车和2辆乙型车最省钱，最少租车费用为1380元 【分析】（1）设1辆甲型车装满梨子一次可运货x吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货y吨，根据用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨，列出方程组，解方程组即可； （2）根据一次运完30吨梨，列出方程，求出方程的正整数解即可； （3）分别求出两种方案的租金，然后进行比较即可． 解：（1）解：设1辆甲型车装满梨子一次可运货x吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货y吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆甲型车装满梨子一次可运货4吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货3吨． （2）解：依题意，得：， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，；当时，． ∴共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，6辆乙型车；方案2：租用6辆甲型车，2辆乙型车． （3）解：方案1所需租金（元）； 方案2所需租金（元）． ∵， ∴租用6辆甲型车和2辆乙型车最省钱，最少租车费用为1380元． 【题型4】古代数学问题（列二元一次方程组解应用题） 1.（25-26八年级上·安徽宿州·期末）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？ 【答案】甜果买了657个，苦果买了343个 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 设甜果买x个，苦果买y个根据数量和钱数，列出方程组求解即可． 解：设甜果买x个，苦果买y个． 列方程组得，， 解得， 答：甜果买了657个，苦果买了343个． 2.（重庆市凤中教共体学校2025—2026学年度下期初2024级数学阶段性消化作业（一））《九章算术》中有题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意：若干人一起买东西．如果每人出8钱，就多出3钱；如果每人出7钱，就还差4钱．设人数为x人，物品价格为y钱，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意找出等量关系即可列出方程组． 解：∵人数为人，物品价格为钱， 根据“每人出8钱，多出3钱”，可知总出钱数比物价多3钱，可得． 根据“每人出7钱，还差4钱”，可知物价比总出钱数多4钱，可得． ∴可列方程组为． 3.（25-26七年级下·河南南阳·期中）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如图1，从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x、y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则图2表示的方程是_________，这两个方程组成的方程组的解为_________． 【答案】 【分析】先得到图二表示的方程，进而得到方程组求解即可． 解：∵从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x、y的系数与相应的常数项， ∴表示， ∴表示， ∴图2表示的方程是， 可得， 解得：． 4.（24-25七年级下·辽宁大连·月考）华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺（尺厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？” 【答案】绳长尺，井深尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．题中的等量关系有：将绳子折成四等份，井外余绳尺；将绳子折成五等份，井外余绳尺，据此列方程组并解方程组即可得解． 解：设绳长尺，井深尺，根据题意得： ，解得． 答：绳长尺，井深尺． 【题型5】几何问题（列二元一次方程组解应用题） 1.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在一个大长方形的内部无重叠地放入六个完全一样的小长方形（阴影部分），大长方形的长为12，宽为10，求一个小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组，理解题意找到等量关系是解题关键． 设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长和宽构造方程，并求解即可． 解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知，大长方形的长为，大长方形的宽为， 列方程组，得，， 将，得，， 将代入①，得，， 解得，， ∴方程组的解为， 答：小长方形的长为，宽为． 2.（25-26八年级上·山东枣庄·月考）如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，与的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为x，宽为y，根据“与的差为1，小长方形的周长为14”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得：，， ． 故选：A． 3.（2026·河北邯郸·一模）如图1是一块长为，宽为的小矩形地板砖，用这样相同的8块地板砖拼成如图2所示的大矩形，根据图中数据，每块小矩形的面积是______． 【答案】 【分析】先根据图2列方程组求出小长方形的长和宽，再根据长方形的面积公式计算即可． 解：由题意可得， 解得， ∴每块小矩形的面积为． 4.（24-25七年级下·全国·课后作业）设合适的未知数，列出二元一次方程组： （1）一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大． （2）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半面钱亦五十，问甲乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50，而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？” 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意正确列方程组即可． （1）设，根据平角的定义和的度数比的度数大列方程组即可； （2）设甲的钱数为，乙的钱数为，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50，而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50”列方程组即可． 解：（1）解：设， 根据题意，得； （2）解：设甲的钱数为，乙的钱数为， 根据题意，得． 【题型6】行程问题（列二元一次方程组解应用题） 1.（25-26七年级上·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． （1）两人每小时分别行进多少千米？ （2）相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【答案】（1）李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米；（2）相遇后经过刘伟到达A地 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据路程速度时间解答即可． 解：（1）解：设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米； （2）解：， 答：相遇后经过刘伟到达A地． 2.（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用——行程问题，关键是根据线段图准确分析两次行程中甲乙的行驶时间、路程与总路程的数量关系． 解：根据第一次行程的线段图可知，甲先行驶小时，再与乙共同行驶2小时，两人走完的路程， 甲的总路程为，乙的路程为，因此列方程为； 根据第二次行程的线段图可知，甲乙同时行驶1小时后，两人之间仍相距，总路程为， 因此甲乙1小时的路程和加上等于总路程，列方程为； 综上，可列方程组为， 故选：A． 3.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为，在坡路上行驶的速度为．汽车从学校到自然保护区一共行驶了，则汽车在坡路上行驶了______ h． 【答案】5.2 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设汽车在平路上行驶了，在坡路上行驶了，再利用汽车从学校到自然保护区一共行驶了，前路段为平路，建立方程组求解即可． 解：设汽车在平路上行驶了，在坡路上行驶了， 由题意，得， 解得 故汽车在坡路上行驶了． 故答案为：5.2． 4.（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． （1）求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ （2）已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】（1）A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒；（2）完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键． （1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 解：（1）解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． ， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒． （2）解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． ， ， 均为正整数， 或或， ①秒， ②秒， ③秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 【题型7】工程分配问题（列二元一次方程组解应用题） 1.（25-26八年级上·河南开封·月考） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【答案】规定的时间为天，这批零件的总数为个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设规定的时间为天，这批零件的总数为个，根据“如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件”列出方程组，解出即可．解题的关键是正确理解题意，设出未知数，利用等量关系列出方程组． 解：设规定的时间为天，这批零件的总数为个， 依题意，得： 解得：． 答：规定的时间为天，这批零件的总数为个． 2.（24-25七年级下·全国·课后作业）抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线，且修完时，甲工程队比乙工程队多修了”，即可得出关于，的二元一次方程组． 解：∵甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线， ∴； ∵修完时，甲工程队比乙工程队多修了， ∴． ∴根据题意可列方程组 故选：B． 3.（25-26七年级下·全国·课后作业）某家具生产厂生产某种配套桌椅（1张桌子配4把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子3把，现计划用140块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），生产出来的桌椅刚好配套．设用块板材制作桌子，用块板材制作椅子，则________． 【答案】60 【分析】本题考查二元一次方程组在配套问题中的应用，掌握根据配套比例建立数量关系，结合总资源数列方程的方法是解题的关键． 根据总板材数和桌椅配套关系列出二元一次方程组，通过代入法求解． 解：设用块板材制作桌子，块板材制作椅子， 由总板材数可得． 生产桌子张，椅子把，由于配套要求为张桌子配把椅子，故椅子数量是桌子数量的倍，即． 联立方程得： 解得： 故答案为：． 4.（25-26八年级上·四川成都·月考）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： （1）甲、乙两队每天费用各为多少？ （2）若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】（1）甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元；（2）乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 解：（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 【题型8】数字与年龄问题（列二元一次方程组解应用题） 1.（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 2.（24-25七年级下·四川眉山·期中）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要根据题意找出两个等量关系，正确用代数式表示两位数，再列出方程组，两位数等于10乘十位数字加个位数字．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程． 解：设这个两位数的个位数字为，十位数字为， 由“十位数字与个位数字的和是8”可得第一个方程． ∵原两位数为，数字对调后组成的新两位数为， ∴由“这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数”可得第二个方程 ． ∴所列方程组为． 故选：D． 3.（2026七年级下·吉林长春·专题练习）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 【答案】14 【分析】设聪聪的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于，的二元一次方程，解之即可得出结论． 解：设聪聪的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴聪聪的年龄为岁． 4.（25-26八年级上·四川成都·月考）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【答案】时看到的两位数是16 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，根据两位数之和为7可列一个方程，再根据匀速行驶，时行驶的里程数等于时行驶的里程数列出第二个方程，解方程组即可． 解：设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，即为； 则13时看到的两位数为，时行驶的里程数为：； 则时看到的数为，时行驶的里程数为：； 由题意列方程组得： ， 解得：， 时看到的两位数是16． 【题型9】乘法公式的应用（乘法公式与图形面积问题） 1.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为米的空白的正方形地块将修建一个凉亭．； （1）用含有a，b的式子表示绿化总面积． （2）若，，求出此时的绿化总面积． 【答案】（1）平方米；（2）179平方米 【分析】（1）用长方形的面积减去中间正方形的面积即可用含有a，b的式子表示出绿化总面积； （2）把a，b的数值代入（1）中的式子即可求解． 解：（1）解：根据题意，长方形地块面积（平方米）， 正方形地块面积（平方米）， ∵绿化总面积＝长方形地块面积－正方形地块面积， ∴绿化总面积（平方米）． （2）解：，， ∴绿化总面积（平方米）． 2.（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）数形结合是初中数学重要的思想方法，图①到图②的变化过程描述了一个重要的数学公式，这个公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个图形的面积相等，列出等式即可． 解：图①中长方形的面积为：， 图②中相应图形的面积为：， 因此可以得出相应的公式：． 3.（25-26八年级下·安徽合肥·月考）如图，已知大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【分析】先将整式变形为，进而求出、的值，利用阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形面积求解即可． 解：由题意得： ， ， ， 解得， 阴影部分的面积为． 4.（24-25六年级下·山东东营·期末）（附加题）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示） （3）【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知，则的值为 ②计算： （4）【拓展】①结果的个位数字为 ②计算： 【答案】（1），；（2）；（3）①；②；（4）①；② 【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的形状表示出面积即可； （2）由题意得两个图形中阴影部分的面积相等，令（1）中两个式子相等即可； （3）①根据（2）中结论可得，代入数据计算即可；②将原式变形为，利用（2）中结论计算即可； （4）①将原式变形为，再利用（2）中结论计算即可；②将原式变形为，再利用（2）中结论计算即可． 解：（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为； （2）解：由题意得两个图形中阴影部分的面积相等， 则； （3）解：①由（2）中结论可得， ∵， ∴； ② ； （4）解：① ， ∵； ∴2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环， ∵， ∴尾数为6，即结果的个位数字为； ②原式 ． 【题型10】因式分解的应用（因式分解与几何图形） 1.（2026·江苏南京·模拟预测）按照要求解答： （1）如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． （2）类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． （3）结合上述经验，将因式分解的结果是______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）通过两种方法计算同一阴影面积，验证平方差公式； （2）通过两种方法计算同一几何体体积，推导并证明立方差公式； （3）拆项构造立方差公式，结合提公因式、完全平方公式进行因式分解． 解：（1）解：据图可知，对于阴影部分的面积， 方法：； 方法：， 故． （2）解：据图可知，对于图中几何体的体积， 方法：； 方法：， 故， 证明： ， 左边， 左边右边． （3）解： ． 2.（25-26八年级下·陕西西安·月考）小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”，“我”，“爱”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．最美铁曲 B．我爱最美 C．我爱美曲 D．我爱铁曲 【答案】A 【分析】先对原式因式分解，再根据因式与汉字的对应关系得到密码信息，即可选出正确选项． 解： ∵ ，，，，分别对应“曲”，“美”，“最”，“铁”， ∴结果呈现的密码信息可能是最美铁曲． 3.（24-25八年级下·江苏南通·期中）边长分别为a和b的两个正方形按图的样式摆放，如果阴影部分的面积为58，，则_____． 【答案】16 【分析】根据和完全平方公式解题即可． 解：由图可知， ， ∴， 解得． 4.（2026·河北·模拟预测）利用图1中甲、乙、丙三种矩形卡片若干张拼成图2的正方形（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释． （1）【发现】若要拼成图3的矩形，请通过计算说明需要利用图1中的三种卡片各自的张数； （2）【探究】若要利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为__________（用含的式子表示）； （3）【应用】若，则______；若，则_______，_______． 【答案】（1）需要2张甲卡片，1张乙卡片，3张丙卡片，计算见分析；（2）；（3）12，1，1 【分析】（1）计算，即可得到答案； （2）计算，即可得到答案； （3）利用完全平方公式，即可得到答案． 解：（1）解：∵， ∴需要2张甲卡片，1张乙卡片，3张丙卡片； （2）解：∵1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片， ∴， ∴该正方形的边长为； （3）解：∵，， ∴； ∵，， ∴，， 解得，． 2或30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $