第1-3章复习专题（9大考点33类题型）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

第1-3章复习专题（9大考点33类题型） 新教材浙教版七下：第1章 相交线与平行线， 第2章 二元一次方程组， 第3章 整式的乘除. 目录 一、基础篇 2 【考点一】图形的识别 2 【题型1】生活中的平移 2 【题型2】三线八角 3 【考点二】定义、概念、运算法则辨析 4 【题型1】二元一次方程（组）定义 4 【题型2】同底数幂的乘除 4 【题型3】单（多）项式相乘运算法则 5 【题型4】乘法公式 5 【考点三】科学记数法与零指数、负整指数 6 【题型1】科学记数法表示绝对值小于1的有理数 6 【题型2】零指数、负整指数的意义 6 【考点四】幂的运算法则、乘法公式、二元一次方程（组）的参数 7 【题型1】二元一次方程（组）的解 7 【题型2】幂的运算与逆运算 7 【题型3】单（多）项式相乘中不含某项问题 7 【题型4】乘法公式 8 【考点五】二元一次方程组、幂的运算、整式乘除基础运算 8 【题型1】解二元一次方程组 8 【题型2】零指数、负整指数、平（立）方根综合运算 9 【题型3】同底数幂乘除综合运算 9 【题型4】单（多）项式相乘运算 10 【题型5】利用乘法公式进行运算 10 【考点六】几何性质与判定的基本运算、推理 11 【题型1】相交线中角度、线段长度计算 11 【题型2】平行线的判定辨析 12 【题型3】平行线的性质与判定中角度运算 14 【题型4】平行线的性质与判定求值与推理 14 二、综合篇 15 【考点七】二元一次方程（组）、幂的运算与整式乘法运算化简求值 15 【题型1】解二元一次方程组 15 【题型2】特殊方法解二元一次方程组 16 【题型3】幂的运算与零指数、负整指数综合 17 【题型4】整式乘法与乘法公式综合运算 18 【题型5】整式乘法与乘法公式综合化简求值 18 【考点八】二元一次方程组、整式乘法、平行线与相交线的实际应用 19 【题型1】二元一次方程组的应用 19 【题型2】整式乘法的应用 20 【题型3】相交线与平行线的应用 21 三、压轴篇 22 【考点九】二元一次方程组、整式乘法、平行线的性质与判定 23 【题型1】二（三）元一次方程组与整体思想 23 【题型2】多项式乘多项式与整体代入求值 25 【题型3】杨辉三角与整式展开式系数规律探索 27 【题型4】相交线与平行线与折叠、旋转问题探究 28 一、基础篇 【考点一】图形的识别 【题型1】生活中的平移 1-1．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是（   ） A． B． C． D． 1-2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 1-3．（2025九年级下·北京·专题练习）下列选项中的车标图案可以看作是由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 1-4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图案可以由其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】三线八角 2-1．（25-26七年级下·河南信阳·开学考试）下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2-2．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2-3．（24-25七年级下·浙江·期末）下列图形中，与的位置关系属于同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 2-4．（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）如图，下面说法错误的是（   ） A．和是对顶角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【考点二】定义、概念、运算法则辨析 【题型1】二元一次方程（组）定义 1-1．（24-25七年级下·吉林白山·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 1-2．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 1-3．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 1-4．（24-25七年级下·重庆江北·期中）若方程组是二元一次方程组，则“……”可以是_______． 【题型2】同底数幂的乘除 2-1．（25-26七年级下·河北张家口·月考）下列式子中，正确的有（   ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2-2．（2026·浙江舟山·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2-3．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 2-4．（2026·广东广州·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】单（多）项式相乘运算法则 3-1．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 3-2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 3-3．（25-26八年级上·云南昆明·月考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3-4．（2026七年级下·北京·专题练习）下列计算错误的是（ ） A． B． C． D． 【题型4】乘法公式 4-1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4-2．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）下列等式中能够成立的是（　　） A． B． C． D． 4-3．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 4-4．（24-25七年级下·四川成都·期中）下列乘法公式的运用中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点三】科学记数法与零指数、负整指数 【题型1】科学记数法表示绝对值小于1的有理数 1-1．（2026·河南驻马店·模拟预测）生活中常见的打火机所用燃料的主要成分是丁烷，其密度很小，丁烷的质量约为，数据0.00057用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 1-2．（2026·河南商丘·一模）某种新型流感病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 1-3．（25-26八年级下·湖北武汉·开学考试）据悉，世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，用科学记数法表示为___________克． 1-4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为______． 【题型2】零指数、负整指数的意义 2-1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如果等式成立，则满足条件x值为（   ） A．3或 B．4或3或 C．4或2或 D．4或 2-2．（22-23八年级上·河北保定·期末）若成立，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2-3．（2024八年级上·全国·专题练习）若有意义，则a应满足的条件是 ___________． 2-4．（25-26八年级上·山东临沂·期末）已知有意义，则的取值范围是______． 【考点四】幂的运算法则、乘法公式、二元一次方程（组）的参数 【题型1】二元一次方程（组）的解 1-1．（2026七年级下·福建泉州·专题练习）若是关于x，y的方程组的解，则的值为（　 　） A．6 B．8 C．10 D．12 1-2．（25-26八年级上·福建漳州·期末）是关于、的方程的一个解，的值是（   ）． A．7 B．3 C． D． 1-3．（25-26八年级上·广东河源·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____． 1-4．（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 【题型2】幂的运算与逆运算 2-1．（25-26八年级上·福建福州·期末）计算，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 2-2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则“？”是（    ） A． B． C． D． 2-3．（25-26六年级下·全国·课后作业）已知，则的值为__________． 2-4．（2026七年级下·江苏·专题练习）若，则x的值是_______． 【题型3】单（多）项式相乘中不含某项问题 3-1．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若关于的代数式与的乘积结果化简后，既不含项，也不含项，则m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 3-2．（25-26八年级上·江西赣州·月考）关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为______． 3-3．（25-26八年级上·广东广州·期中）若关于x的代数式计算后不含x的一次项． （1）当时，化简原代数式； （2）若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 3-4．（24-25八年级上·河南安阳·期中）已知与的积不含项，也不含项，求系数、的值． 【题型4】乘法公式 4-1．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 4-2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若多项式是一个多项式的平方，则的值为（   ） A． B． C． D． 4-3．（24-25七年级下·四川成都·期中）若关于x的多项式（其中是常数）是完全平方式，则的值是______． 4-4．（25-26八年级上·江西上饶·期末）多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是___________（任写一个符合条件的即可）． 【考点五】二元一次方程组、幂的运算、整式乘除基础运算 【题型1】解二元一次方程组 1-1．（2026七年级下·河北·专题练习）用代入法解方程组，下列最合适的变形是（   ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 1-2．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）已知满足方程组，则_____． 1-3．（21-22七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）解方程组 （1） （2） 1-4．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列二元一次方程组： （1） （2） 【题型2】零指数、负整指数、平（立）方根综合运算 2-1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的顺序是（   ） A． B． C． D． 2-2．（2026九年级下·重庆·专题练习）计算：___________． 2-3．（25-26八年级下·湖南郴州·开学考试）计算：． 2-4．（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）计算：． 【题型3】同底数幂乘除综合运算 3-1．（24-25七年级下·江苏徐州·周测）计算． （1）； （2）． 3-2．（21-22八年级上·重庆璧山·期中）计算： （1）； （2）． 3-3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 3-4．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）计算： （1）； （2）． 【题型4】单（多）项式相乘运算 4-1．（25-26八年级上·广东江门·期中）计算： （1）； （2）． 4-2．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）计算： （1）； （2）． 4-3．（25-26八年级上·重庆江北·期末）计算 （1） （2） 4-4．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）计算： （1）； （2）． 【题型5】利用乘法公式进行运算 5-1．（25-26七年级下·河北张家口·月考）一个圆的半径为，减少后，这个圆的面积减少（     ） A． B． C． D． 5-2．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）计算：_______． 5-3．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）计算： （1）； （2）． 5-4．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）化简： （1）； （2） 【考点六】几何性质与判定的基本运算、推理 【题型1】相交线中角度、线段长度计算 1-1．（25-26九年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，点在直线上，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 1-2．（25-26九年级下·广东广州·月考）如图，已知直线，，相交于点．若，，则的度数为______． 1-3．（25-26七年级上·福建福州·期末）请根据条件进行推理，并在下列解答中填空． 如图，直线，交于点，平分，于点，，求的度数． 解：直线，交于点（已知） （    ） 又平分（已知） _____（    ） （已知） （    ） 1-4．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点，将一个直角三角板的直角顶点放置在点处，且平分． （1）若，求的度数； （2）判断是否平分，并说明理由． 【题型2】平行线的判定辨析 2-1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，下列推理错误的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵，∴ D．∵，∴ 2-2．（24-25七年级下·青海西宁·单元测试）已知，如图，，，，．将下列推理过程补充完整： （1）∵（已知）， ∴______； （2）∵（已知）， ∴______，（______________） （3）∵（已知）， ∴_______________，（___________） 2-3．（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，，平分，．试说明：． 2-4．（2026七年级下·全国·专题练习）完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 【题型3】平行线的性质与判定中角度运算 3-1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，已知，点在上方，连接，．，与互相垂直，垂足为，求的度数为（　　） A． B． C． D． 3-2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，直线， 过点A作于点B，与直线m相交于点C， 测得 ，则的大小为______． 3-3．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，D、E、F分别在的三条边上，且，．若，平分，求的度数． 3-4．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）如图，，求的度数． 【题型4】平行线的性质与判定求值与推理 4-1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4-2．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，直线，点E，点P在两条平行线之间，和的角平分线交于点H，，则的度数为_____． 4-3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知，如图，在中，平分，过点作的平行线交的延长线于点，在的延长线上取一点，使．求证： 4-4．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于，，求的度数． 二、综合篇 【考点七】二元一次方程（组）、幂的运算与整式乘法运算化简求值 【题型1】解二元一次方程组 1-1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）解二元一次方程组： （1） （2） 1-2．（25-26九年级下·广东珠海·开学考试）解下列方程组： （1） （2） 1-3．（25-26八年级上·山西晋中·期末）解方程组： （1）； （2）． 1-4．（25-26八年级上·四川成都·期末）按要求解方程组，（1）题用代入法，（2）题用加减法： （1）； （2） 【题型2】特殊方法解二元一次方程组 2-1．（25-26八年级上·广东梅州·期中）对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组．小华的解法是，把②代入①，得 （1）把小华的解法补充完整： 解：把②代入①，得： （2）请仿照小华的方法解方程组： 2-2．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． （1）求正确的a，b的值； （2）求原方程组的正确解． 2-3．（2022七年级下·重庆綦江·竞赛）已知关于x，y的二元一次方程，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解． （1）求出这个公共解； （2）请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 2-4．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知方程组，求的值． 【题型3】幂的运算与零指数、负整指数综合 3-1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）计算： （1） （2） 3-2．（21-22七年级下·江苏扬州·期中）计算： （1）； （2）． 3-3．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 3-4．（24-25六年级下·全国·单元测试）运算能力计算： （1）； （2）． 【题型4】整式乘法与乘法公式综合运算 4-1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）计算： （1） （2） 4-2．（25-26八年级上·广西崇左·期末）计算： （1）； （2）． 4-3．（25-26八年级上·山东济宁·期末）计算下列各式： （1） （2）（用简便方法计算） 4-4．（25-26八年级上·天津·月考）运用乘法公式计算 （1）； （2） （3）； （4） 【题型5】整式乘法与乘法公式综合化简求值 5-1．（24-25七年级下·四川雅安·开学考试）先化简，再求值 （1），其中，． （2），其中． 5-2．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）计算或化简 （1）先化简再求值：，其中，． （2）已知：，．求和的值． 5-3．（25-26八年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中． 5-4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）计算与化简： （1）已知，求的值． （2）化简：． 【考点八】二元一次方程组、整式乘法、平行线与相交线的实际应用 【题型1】二元一次方程组的应用 1-1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是（    ） A． B． C． D． 1-2．（25-26九年级下·甘肃兰州·开学考试）《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡为一群、七鸭为另一群，两群共重24千克，鸡重鸭轻，若从两群中各取一只互换，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 1-3．（25-26七年级下·全国·单元测试）骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． （1）甲、乙每小时各行多少千米？ （2）若甲出发后两人相距1km，求的值． 1-4．（25-26七年级上·安徽六安·期末）某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 （1）若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ （2）现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【题型2】整式乘法的应用 2-1．（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，边长为a的正方形，边长为b的正方形，边长为b，c的长方形，边长为b，的长方形，组成了边长为a，的长方形．其中边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8，则边长为b的小正方形的面积为（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 2-2．（24-25七年级下·全国·课后作业）模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 2-3．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）【实践操作】 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是_____． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 2-4．（25-26八年级上·山东济宁·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图，图，图阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图：___________，图：___________，图：__________ （2）根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： 已知，，求代数式①；②的值． （3）若，求的值． 【题型3】相交线与平行线的应用 3-1．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是___________度． 3-2．（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是_______，的度数为_______． 3-3．（20-21七年级下·河北沧州·期中）如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． （1）若，求的度数； （2）已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 3-4．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． （1）问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； （2）迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 三、压轴篇 【考点九】二元一次方程组、整式乘法、平行线的性质与判定 【题型1】二（三）元一次方程组与整体思想 1-1．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得，解得． 将代入①，解得， 所以原方程组的解是 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解． 请写出方程组的解为________； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组： （3）已知满足方程组，求的值． 1-2．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． （1）材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 （2）运用上述方法，解方程组； （3）已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． （4）对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 1-3．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） （1）已知二元一次方程组求和的值； （2）解方程组： （3）已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 1-4．（24-25七年级下·福建泉州·期中）下面是小明同学的一篇学习笔记（部分），请认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例题，解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得，． 把代入①，得． 方程组的解为． （1）类比例题的解法，解方程组； （2）请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； （3）实际应用：为促进同学们积极参加体育锻炼、强身健体，七年级1班需要购买篮球、足球、排球若干．若购买2个篮球，4个足球，6个排球，共需388元；若购买2个篮球，5个足球，8个排球，共需479元．则购买篮球、足球、排球各1个需要多少钱？ 【题型2】多项式乘多项式与整体代入求值 2-1．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？ （1）已知，求的值； （2）已知，求代数式的值． 2-2．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 2-3．（25-26八年级上·云南昆明·期中）在代数的“分式变形与求值”领域，有一种常用的解题策略——“降次变形”与“整体代换”．如，已知，求的值时，我们可以对两边平方，得到，即，从而推出．这种通过对已知式子变形，结合公式（如完全平方公式）进行整体代换的方法，能有效解决复杂分式的求值问题．请运用该思路解决以下问题： （1）已知，求的值； （2）已知，且，求的值． 2-4．（25-26八年级上·福建泉州·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 【题型3】杨辉三角与整式展开式系数规律探索 3-1．（24-25八年级上·广西南宁·月考）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 3-2．（2025八年级上·全国·专题练习）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，在下列的四个结论中： ①； ②展开式的系数和是128； ③展开式的系数和是； ④展开式的系数和是； 正确的是________（填序号）． 3-3．（25-26八年级上·四川资阳·月考）观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得______（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：． （3）计算：； 3-4．（24-25八年级上·福建泉州·月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）图中括号内的数为______； （2）利用上面的规律计算：； （3）假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 【题型4】相交线与平行线与折叠、旋转问题探究 4-1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4-2．（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，将一长方形纸条先沿着进行第一次折叠，使得两点分别落在的位置，再将纸条沿着进行第二次折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置． （1）若，则的度数为___________； （2）若，则的度数为___________． 4-3．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 4-4．（24-25七年级下·广西南宁·期中）【知识初探】 （1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线． 王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整； 证明：由折叠可知： 又∵ ∴ …… 【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段上），再画出和的角平分线所在的直线交于点G，请求出的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1-3章复习专题（9大考点33类题型） 新教材浙教版七下：第1章 相交线与平行线， 第2章 二元一次方程组， 第3章 整式的乘除. 目录 一、基础篇 2 【考点一】图形的识别 2 【题型1】生活中的平移 2 【题型2】三线八角 4 【考点二】定义、概念、运算法则辨析 6 【题型1】二元一次方程（组）定义 6 【题型2】同底数幂的乘除 7 【题型3】单（多）项式相乘运算法则 9 【题型4】乘法公式 11 【考点三】科学记数法与零指数、负整指数 13 【题型1】科学记数法表示绝对值小于1的有理数 13 【题型2】零指数、负整指数的意义 14 【考点四】幂的运算法则、乘法公式、二元一次方程（组）的参数 15 【题型1】二元一次方程（组）的解 15 【题型2】幂的运算与逆运算 17 【题型3】单（多）项式相乘中不含某项问题 18 【题型4】乘法公式 20 【考点五】二元一次方程组、幂的运算、整式乘除基础运算 22 【题型1】解二元一次方程组 22 【题型2】零指数、负整指数、平（立）方根综合运算 25 【题型3】同底数幂乘除综合运算 26 【题型4】单（多）项式相乘运算 28 【题型5】利用乘法公式进行运算 30 【考点六】几何性质与判定的基本运算、推理 32 【题型1】相交线中角度、线段长度计算 32 【题型2】平行线的判定辨析 35 【题型3】平行线的性质与判定中角度运算 38 【题型4】平行线的性质与判定求值与推理 41 二、综合篇 45 【考点七】二元一次方程（组）、幂的运算与整式乘法运算化简求值 45 【题型1】解二元一次方程组 45 【题型2】特殊方法解二元一次方程组 48 【题型3】幂的运算与零指数、负整指数综合 51 【题型4】整式乘法与乘法公式综合运算 54 【题型5】整式乘法与乘法公式综合化简求值 56 【考点八】二元一次方程组、整式乘法、平行线与相交线的实际应用 59 【题型1】二元一次方程组的应用 59 【题型2】整式乘法的应用 62 【题型3】相交线与平行线的应用 67 三、压轴篇 71 【考点九】二元一次方程组、整式乘法、平行线的性质与判定 71 【题型1】二（三）元一次方程组与整体思想 71 【题型2】多项式乘多项式与整体代入求值 78 【题型3】杨辉三角与整式展开式系数规律探索 82 【题型4】相交线与平行线与折叠、旋转问题探究 86 一、基础篇 【考点一】图形的识别 【题型1】生活中的平移 1-1．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移，解题关键在于要有丰富的空间想象能力．根据平移的性质逐项判断即可． 解：线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是平行四边形，如图所示： 故选：B． 1-2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义，在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，据此逐个分析，即可作答． 解：A、工作中的雨刮器不属于平移，故该选项不符合题意； B、移动中的黑板属于平移，故该选项符合题意； C、折叠中的纸片不属于平移，故该选项不符合题意； D、骑行中的自行车不属于平移，故该选项不符合题意； 故选：B 1-3．（2025九年级下·北京·专题练习）下列选项中的车标图案可以看作是由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同． 根据平移的定义判断即可． 解：A、通过旋转得到，故本选项不符合题意； B、通过平移得到，故本选项符合题意； C、通过轴对称得到，故本选项不符合题意； D、通过旋转得到，故本选项不符合题意； 故选：B． 1-4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图案可以由其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小对各选项分析判断即可得解． 解：A、可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项符合题意； B、不可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意； C、不可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意； D、不可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意． 故选：A． 【题型2】三线八角 2-1．（25-26七年级下·河南信阳·开学考试）下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义．对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．结合对顶角的定义，逐项分析四个图形中的与是否满足“两边互为反向延长线且有公共顶点”的条件，即可确定哪一组角是对顶角． 解：根据对顶角的定义可知，只有选项中的与是对顶角，其他都不是， 故选：． 2-2．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的识别，熟知对顶角的定义是解题的关键． 根据对顶角的定义来判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，然后即可求解． 解：根据对顶角的定义可知，只有C中和属于对顶角， 故选：C． 2-3．（24-25七年级下·浙江·期末）下列图形中，与的位置关系属于同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 解：A、与是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意； B、与是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意； C、与是同旁内角，故本选项符合题意； D、与不是同旁内角，故本选项不符合题意； 故选C． 2-4．（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）如图，下面说法错误的是（   ） A．和是对顶角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【答案】B 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的定义，由同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的概念，即可判断，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的概念． 解：A、和是对顶角，说法正确，故选项不符合题意； B、和不是同位角，故选项符合题意； C、和是同旁内角，说法正确，故选项不符合题意； D、和是内错角说法正确，故选项不符合题意； 故选：B． 【考点二】定义、概念、运算法则辨析 【题型1】二元一次方程（组）定义 1-1．（24-25七年级下·吉林白山·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．二元一次方程需满足两个条件：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1．据此逐项判断即可． 解：A：，含两个未知数，但含未知数的项的次数为2，不是一次方程； B：，含两个未知数，但次数均为2，不是一次方程； C：，含两个未知数x和y，次数均为1，是二元一次方程； D：，含两个未知数，但y在分母，不是二元一次方程． 故选：C． 1-2．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组需满足：含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1，据此进行逐项分析，即可作答． 解：A、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意； B、含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； C、的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； D、的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； 故选：A． 1-3．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，整理方程后让含项的系数不为即可求解． 解：将方程整理得． 又该方程是关于，的二元一次方程． 含项的系数不能为，即． ． 故选：C． 1-4．（24-25七年级下·重庆江北·期中）若方程组是二元一次方程组，则“……”可以是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组求解． 解：“”可以是：， 故答案为：．（答案不唯一，符合即可） 【点拨】本题考查了二元一次方程组的定义，理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 【题型2】同底数幂的乘除 2-1．（25-26七年级下·河北张家口·月考）下列式子中，正确的有（   ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】按照运算法则逐个计算判断每个式子是否正确，统计正确个数即可得到答案． 解：① ∵ ，式子右边为， ∴①错误． ② ∵，式子右边为， ∴②错误． ③ ∵，，左右两边相等， ∴ ③正确． ④ ∵，左右两边相等， ∴ ④正确． 综上，正确的式子共2个． 2-2．（2026·浙江舟山·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A、∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，A计算错误； B、∵幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘，∴，B计算错误； C、∵与不是同类项，不能合并，∴C计算错误； D、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，D计算正确． 2-3．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，积的乘方法则进行计算即可. 解：A、不能合并，原计算错误； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算正确. 2-4．（2026·广东广州·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A：，∴ A错误； B：，∴ B错误； C：，∴ C错误； D：，∴ D正确． 【题型3】单（多）项式相乘运算法则 3-1．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 解： . 3-2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算，掌握单项式乘多项式时要注意符号的分配，每一项都要乘以单项式并保留符号是解题的关键． 对每个选项运用单项式乘多项式的法则展开计算，对比左右两边是否相等，从而找出计算错误的选项． 解：A、等式左边，但等式右边为 ，两者不相等，计算错误，符合题意； B、等式左边 ，等于等式右边，不符合题意； C、等式左边 ，等于等式右边，不符合题意； D、等式左边 ，等于等式右边，不符合题意． 故选：A． 3-3．（25-26八年级上·云南昆明·月考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，包括幂的运算、多项式的乘法和除法,通过直接计算每个选项，判断其正确性． 解：对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D错误． 故选：B． 3-4．（2026七年级下·北京·专题练习）下列计算错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式的法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 解：，与选项A结果一致，故计算正确； ，而选项B给出的结果为，两者不相等，故计算错误； ，与选项C结果一致，故计算正确； ，与选项D结果一致，故计算正确； 故选：B． 【题型4】乘法公式 4-1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式结构为，需两个二项式乘积中，一项相同，另一项互为相反数才能使用该公式，据此判断选项即可． 解：A、，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意； B、 ，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意； C、 ，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意； D、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算，符合题意． 4-2．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）下列等式中能够成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式展开各选项左边的式子，和右边对比即可判断求解． 解：、，该选项等式不成立，不符合题意； 、，该选项等式不成立，不符合题意； 、，该选项等式不成立，不符合题意； 、，该选项等式成立，符合题意． 4-3．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式的应用，包括完全平方公式和平方差公式．通过观察各选项的形式，判断是否可以直接应用公式． 解：A. 不符合乘法公式的形式； B. ，可以用完全平方公式； C. 不符合乘法公式的形式； D. 不符合乘法公式的形式． 故选：B． 4-4．（24-25七年级下·四川成都·期中）下列乘法公式的运用中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键；根据完全平方公式和平方差公式逐项判断即可得出答案． 解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【考点三】科学记数法与零指数、负整指数 【题型1】科学记数法表示绝对值小于1的有理数 1-1．（2026·河南驻马店·模拟预测）生活中常见的打火机所用燃料的主要成分是丁烷，其密度很小，丁烷的质量约为，数据0.00057用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法表示形式为，要求，当原数的绝对值小于1时，为负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字前面所有0的个数（含小数点前的0）． 解：0.00057用科学记数法表示为． 1-2．（2026·河南商丘·一模）某种新型流感病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，据此求解即可． 解：用科学记数法表示为米． 1-3．（25-26八年级下·湖北武汉·开学考试）据悉，世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，用科学记数法表示为___________克． 【答案】 【分析】对于绝对值小于1的正数，用科学记数法可表示为的形式，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数（包含小数点前的． 解：原数中，左边起第一个不为零的数字是9，满足，且它前面有7个0， 根据科学记数法的表示规则，． 1-4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查科学记数法的定义，掌握相关知识点是解题的关键． 将用科学记数法表示，比较指数即可求解． 解：用科学记数法表示为， 可得， 因此， 解得， 故答案为4． 【题型2】零指数、负整指数的意义 2-1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如果等式成立，则满足条件x值为（   ） A．3或 B．4或3或 C．4或2或 D．4或 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的运算，根据1的任何次幂均为1，的偶数次幂均为1，任何非零数的零次幂均为1，即可进行解答． 解： 若，解得：，此时符合题意； 若，解得：，此时，，不符合题意； 当时，解得：，此时，符合题意； 综上：或． 故选：D． 2-2．（22-23八年级上·河北保定·期末）若成立，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由 可得，从而可得答案． 解： 故选：D． 【点拨】本题考查零次幂的含义，掌握零指数幂底数不等于0，是解题的关键． 2-3．（2024八年级上·全国·专题练习）若有意义，则a应满足的条件是 ___________． 【答案】且 【分析】本题考查了负整数指数幂和0指数幂，0指数幂和负整数指数的底数不能为0， 根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则列不等式求解． 解：∵有意义， ∴， ∴且． 故答案为：且． 2-4．（25-26八年级上·山东临沂·期末）已知有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂．考虑负指数有意义的条件，即底数不能为零，即可求解． 解：依题意， 解得： 故答案为：． 【考点四】幂的运算法则、乘法公式、二元一次方程（组）的参数 【题型1】二元一次方程（组）的解 1-1．（2026七年级下·福建泉州·专题练习）若是关于x，y的方程组的解，则的值为（　 　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 1-2．（25-26八年级上·福建漳州·期末）是关于、的方程的一个解，的值是（   ）． A．7 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程解的定义，将方程的解代入原方程，转化为关于的一元一次方程，求解即可． 解：将代入方程，得， ， 解得． 故选：B． 1-3．（25-26八年级上·广东河源·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____． 【答案】1 【分析】二元一次方程需含有两个未知数、含未知数的项的次数为1、未知数的系数不为0的条件，列不等式与方程求解即可． 解：因为方程是关于，的二元一次方程，根据二元一次方程的定义可得：， 由，解得或， 由，解得， 综上，的值为1． 1-4．（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义得，求出后进行验证，即可得出最终的值． 解：∵方程组是关于的二元一次方程组， ∴，即， 解得：， 当时，原方程组可转化为：，不符合二元一次方程组的定义，舍去； 当时，原方程组可转化为：，符合二元一次方程组的定义； 综上所述：的值为． 故答案为：． 【题型2】幂的运算与逆运算 2-1．（25-26八年级上·福建福州·期末）计算，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，先将等式左边的加法运算转化为乘法运算，再把等式左右两边的底数统一为2，进而推导m与n的关系． 解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 2-2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则“？”是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂的乘方法则建立方程求解即可． 解：设“？”为， ∵， ∴， ∴， 解得：，即“？”是． 2-3．（25-26六年级下·全国·课后作业）已知，则的值为__________． 【答案】3 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的乘方，同底数幂相乘的运算法则，是解题的关键． 将转化为，利用同底数幂的乘法法则合并指数，得到，从而指数相等，解方程得． 解：由， 将写成， ∴， ∴． ∵底数相等的幂相等， ∴指数相等， 即， 解得． 故答案为：3． 2-4．（2026七年级下·江苏·专题练习）若，则x的值是_______． 【答案】1 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，幂的乘方． 逆用积的乘方得到，根据幂的乘方得到，进而根据列方程求解即可． 解：，， ∵， ∴， 解得 ． 故答案为：1． 【题型3】单（多）项式相乘中不含某项问题 3-1．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若关于的代数式与的乘积结果化简后，既不含项，也不含项，则m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用多项式的不含某项问题求字母的值，解答的关键是先按照多项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令不含项的系数等于零，列方程组求解即可． 把与的乘积结果化简后令项、x项的系数为0求解即可． 解： ∵结果化简后令项、x项， ∴， ∴． 故选A． 3-2．（25-26八年级上·江西赣州·月考）关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查整式的混合运算，将代数式展开并合并同类项，根据不含二次项的条件，令二次项系数为零，求解a的值即可 解：原式 = = = ， ∵不含x的二次项， ∴ ， 解得 。 故答案为3 3-3．（25-26八年级上·广东广州·期中）若关于x的代数式计算后不含x的一次项． （1）当时，化简原代数式； （2）若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题主要考查多项式乘法运算以及根据特定条件求解参数的值，解题的关键在于正确运用多项式乘多项式法则． （1）将代入原式运用多项式乘多项式法则展开即可解出； （2）运用多项式乘多项式法则展开，根据条件确地系数为，求出参数即可． 解：（1）解：当时， 则原式为 ． （2）解：原式 ∵化简后不含x的一次项, ∴， 解得：． 3-4．（24-25八年级上·河南安阳·期中）已知与的积不含项，也不含项，求系数、的值． 【答案】，． 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式，首先利用多项式乘法法则计算出再根据积不含的项，也不含的项，可得含的项和含的项的系数等于零，即可求出与的值，关键是掌握多项式与多项式相乘的法则． 解： ， ∵积不含的项，也不含的项， ∴，， 解得：，， ∴系数、的值分别是，． 【题型4】乘法公式 4-1．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 【答案】D 【分析】利用完全平方公式的结构特征求解． 解：∵代数式是完全平方式， 又∵， ∴， ∴， 当时，解得； 当时，解得； ∴t的值为或． 4-2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若多项式是一个多项式的平方，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的逆用，掌握完全平方公式是解题关键． 将给定多项式与完全平方公式的结构对应，通过对比系数求出的值． 解：∵完全平方公式为， 已知多项式是某个多项式的平方，其结构与完全平方公式一致， ∴对应项可得，， ∴，代入得， ∴， ∴． 故选：． 4-3．（24-25七年级下·四川成都·期中）若关于x的多项式（其中是常数）是完全平方式，则的值是______． 【答案】4 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可得到常数的值． 解：完全平方公式的结构为，将多项式变形可得，对比完全平方公式的结构，可得， ， 4-4．（25-26八年级上·江西上饶·期末）多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是___________（任写一个符合条件的即可）． 【答案】（或或） 【分析】本题考查完全平方式． 根据完全平方式的结构特征，即可求解． 解：， 若添加一次项，则需添加，得到， 若添加四次项，设，则需添加， ∵原多项式为， ∴， ∴， ∴， ∴添加的单项式可以是或或． 故答案为：（或或）． 【考点五】二元一次方程组、幂的运算、整式乘除基础运算 【题型1】解二元一次方程组 1-1．（2026七年级下·河北·专题练习）用代入法解方程组，下列最合适的变形是（   ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】本题考查了代入法解方程组．代入法解方程组时，优先选择系数为的未知数进行变形，可避免分数运算，简化计算．观察方程组，方程②中的系数为，最适合变形． 解：∵方程②中，的系数为，变形时无需引入分数，计算简便， ∴由②移项得，此变形最合适， 对比其他选项，A、B、C变形后均含有分数，计算相对繁琐， 故选：D． 1-2．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）已知满足方程组，则_____． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程，通过将第一个方程减去第二个方程，直接得到所求代数式的值． 解： 将第一个方程减去第二个方程： 简化得： 故答案为：． 1-3．（21-22七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）解方程组 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）先将原方程组整理，再由加减消元法求解． 解：（1）解： 将②代入①，得 解得 把代入②，得 ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组可化为， 得 ， 解得 把代入②，得 ， 解得 ∴原方程组的解为 1-4．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）利用代入消元法解答，即可求解； （2）利用加减消元法解答，即可求解． 解：（1）解：， 由②得③， 将③代入①，得， 解得， 将代入③，得， 则方程组的解为； （2）解：， ②①得， 解得， 将代入①，得， 则方程组的解为． 【题型2】零指数、负整指数、平（立）方根综合运算 2-1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，计算出三个数的结果，再比较大小得到正确排序． 解：∵，，， 又∵， ∴. 2-2．（2026九年级下·重庆·专题练习）计算：___________． 【答案】 【分析】先根据负整数指数幂的运算法则计算第一项，再根据绝对值的性质化简绝对值，最后合并同类项得到结果. 解： ． 2-3．（25-26八年级下·湖南郴州·开学考试）计算：． 【答案】5 【分析】首先计算有理数的乘方，立方根，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减，即可求解． 解： 2-4．（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】先计算乘方、零次幂、负指数幂及绝对值化简，再根据实数的混合运算法则计算即可． 解： ． 【题型3】同底数幂乘除综合运算 3-1．（24-25七年级下·江苏徐州·周测）计算． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据幂的乘方，可得幂，再根据同底数幂的乘法，可得答案； （2）根据幂的乘方，可得幂，再根据同底数幂的乘法，可得同类项，根据合并同类项，可得答案． 解：（1）解： ； （2）解： ． 3-2．（21-22八年级上·重庆璧山·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算幂的乘方，再合并同类项即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可得出结果． 解：（1）解： ； （2）解： ． 3-3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将原式变形为，利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可； （2）将原式变形为，利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可； （3）将原式变形为，利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 3-4．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的四则运算，有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减； （2）分别计算同底数幂的乘法，幂的乘方、积的乘方，再合并同类项即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 【题型4】单（多）项式相乘运算 4-1．（25-26八年级上·广东江门·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据积的乘方计算，然后根据单项式乘单项式运算法则计算； （2）根据多项式乘多项式运算法则计算． 解：（1）解： ； （2）解： ． 4-2．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则，掌握知识点是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式，单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可； （2）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 4-3．（25-26八年级上·重庆江北·期末）计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，最后合并同类项，即可作答． （2）先运算单项式乘多项式，多项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． 解：（1）解： ； （2）解： ． 4-4．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键， （1）先计算乘方，再计算乘法即可求解； （2）根据多项式乘以多项式法则计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型5】利用乘法公式进行运算 5-1．（25-26七年级下·河北张家口·月考）一个圆的半径为，减少后，这个圆的面积减少（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出原圆面积和半径减小后的圆面积，作差化简即可求解． 解：∵原圆半径为 ∴原圆面积 半径减少后，新半径为 ∴新圆面积 5-2．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）计算：_______． 【答案】1 【分析】将2024变形为，2026变形为，再利用平方差公式展开化简计算即可得到结果． 解： ． 5-3．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： （2）解： 5-4．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）化简： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知乘法公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【考点六】几何性质与判定的基本运算、推理 【题型1】相交线中角度、线段长度计算 1-1．（25-26九年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，点在直线上，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 1-2．（25-26九年级下·广东广州·月考）如图，已知直线，，相交于点．若，，则的度数为______． 【答案】/112度 【分析】观察图形可知、与共同组成一个平角，由此求出的度数，再根据对顶角相等的性质，直接得出的度数． 解：如图， ，， ， ． 1-3．（25-26七年级上·福建福州·期末）请根据条件进行推理，并在下列解答中填空． 如图，直线，交于点，平分，于点，，求的度数． 解：直线，交于点（已知） （    ） 又平分（已知） _____（    ） （已知） （    ） 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，角平分线的定义，垂直的定义，角的和差，解题的关键是掌握以上性质和定义． 根据对顶角相等得出，根据角平分线的定义得出，根据垂直得出直角，最后利用角的和差进行求解即可． 解：直线，交于点（已知） （对顶角相等） 又平分（已知） （角平分线定义） （已知） （垂直定义） ． 1-4．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线、相交于点，将一个直角三角板的直角顶点放置在点处，且平分． （1）若，求的度数； （2）判断是否平分，并说明理由． 【答案】（1）；（2）平分，理由见分析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差计算，对顶角相等，解题的关键是掌握以上知识点． 对于（1），先由对顶角相等和角平分线定义求出，进而求解即可； 对于（2），根据题意证明出，即可得到平分． 解：（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴； （2）解：是，理由如下： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【题型2】平行线的判定辨析 2-1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，下列推理错误的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵，∴ D．∵，∴ 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理，逐项判断即可． 解：A、∵， ∴，故本选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，故本选项正确，不符合题意； C、，无法得到，故本选项错误，符合题意； D、∵， ∴，故本选项正确，不符合题意； 2-2．（24-25七年级下·青海西宁·单元测试）已知，如图，，，，．将下列推理过程补充完整： （1）∵（已知）， ∴______； （2）∵（已知）， ∴______，（______________） （3）∵（已知）， ∴_______________，（___________） 【答案】 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据平行线的判定，求解即可． 解：（1）∵（已知）， ∴； （2）∵（已知）， ∴，（内错角相等，两直线平行） （3）∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 2-3．（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，，平分，．试说明：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，根据角平分线的定义可得，根据已知条件可得，根据内错角相等，两直线平行即可得证． 解：因为平分，（已知）， 所以（角平分线的概念）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 2-4．（2026七年级下·全国·专题练习）完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为，，．试说明：． 解：， ________°， 即________°． ，且， ， ________， （________________）． 【答案】90  90  4  同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定、余角的性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据垂直的定义得到，再根据等角的余角相等得到，最后根据平行线的判定定理求解即可． 解：， ， 即． ，且， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 【题型3】平行线的性质与判定中角度运算 3-1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，已知，点在上方，连接，．，与互相垂直，垂足为，求的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，理解题意，作出辅助线是解题关键． 过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 解：如图，过点作， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 3-2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，直线， 过点A作于点B，与直线m相交于点C， 测得 ，则的大小为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点A作，则，根据平行线的性质得到，由垂线的定义可得，据此求出的度数，进而求出的度数，则可得到答案． 解：如图所示，过点A作， ∵直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3-3．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，D、E、F分别在的三条边上，且，．若，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键． 由平行线的性质可得、，得，由角平分线的定义可得，再证明，最后根据平行线的性质即可解答． 解：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3-4．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）如图，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．先判定，再根据两直线平行，同旁内角互补计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型4】平行线的性质与判定求值与推理 4-1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． ①根据平行线的传递性可以判断出来； ②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得， 即，联立可求得结果； ③根据以及，可求得结果； ④根据即以及，可求得结果； 解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确 ②∵， ∴ ∴，即， ∵， ∴ ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴故④不正确； 正确的有个：①②③， 故选：A． 4-2．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，直线，点E，点P在两条平行线之间，和的角平分线交于点H，，则的度数为_____． 【答案】/136度 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行内错角相等得出结论． 过点作，过点作，根据平行线的性质得到，结合角平分线的定义得到，同理可得． 解：过点作，过点作， ， ， ， ， ， ， 平分平分， ， 同理可得，， 故答案为：． 4-3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知，如图，在中，平分，过点作的平行线交的延长线于点，在的延长线上取一点，使．求证： 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 根据平行线的性质，得出，根据角平分线定义得出，从而证明，再根据已知条件得出，最后根据平行线的判定，得出答案即可． 解：证明：， ， 平分， ， ， ， ， ． 4-4．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义，垂线的定义． （1）根据平行线的判定证明，根据平行线的性质得出，证明，最后根据平行线的判定得出结论； （2）根据垂线定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义求出，再由平行线的性质即可得到． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 二、综合篇 【考点七】二元一次方程（组）、幂的运算与整式乘法运算化简求值 【题型1】解二元一次方程组 1-1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）解二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 解：（1）解：， 将①代入②得：， 解得， 将代入①得：， 所以方程组的解为； （2）解：， 方程组整理为， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 1-2．（25-26九年级下·广东珠海·开学考试）解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 对于（1），由消去x求出y，再将y值代入求出x，即可得出答案； 对于（2），由消去y求出x，再代入求出y得出答案． 解：（1）解：原方程可化为， ，得， 解得； 把代入①得，解得． 所以原方程组的解为； （2）解：， ，得， 解得； 将代入①，得， 解得． 所以原方程组的解是． 1-3．（25-26八年级上·山西晋中·期末）解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握好二元一次方程组的解法是关键． （1）使用加减消元法解方程即可； （2）使用加减消元法解方程即可； 解：（1）解：， 将，得， ， 解得， 将代入①，得， ， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 将，得， ， 解得， 将代入①，得， ， 解得， ∴方程组的解为． 1-4．（25-26八年级上·四川成都·期末）按要求解方程组，（1）题用代入法，（2）题用加减法： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 解：（1）解：， 由①得：③， 把③代入②得，， 解得， 把代入③得，， ∴方程组的解是； （2）解：， 得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴方程组的解是． 【题型2】特殊方法解二元一次方程组 2-1．（25-26八年级上·广东梅州·期中）对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组．小华的解法是，把②代入①，得 （1）把小华的解法补充完整： 解：把②代入①，得： （2）请仿照小华的方法解方程组： 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）整体代入消去未知数，再求解即可； （2）先整理方程，观察两个方程特征，整体代入消去未知数，再求解即可； 解：（1）解：， 把②代入①，得：， 解得， 把代入②，得：， 解得， ∴原二元一次方程组的解为； （2）解：原方程组整理为， 把①代入②，得：， 解得， 把代入①，得：， 解得， ∴原二元一次方程组的解为． 【点拨】重点观察两个方程的特征，整体代入后能消去一个未知数． 2-2．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． （1）求正确的a，b的值； （2）求原方程组的正确解． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 解：（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 2-3．（2022七年级下·重庆綦江·竞赛）已知关于x，y的二元一次方程，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解． （1）求出这个公共解； （2）请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）详见分析 【分析】（1）先把原方程去括号整理得出，再由题意得出，解方程即可； （2）先整理原方程，再把公共解代入方程，可得出方程的解与a的值无关，即可说明无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 解：（1）解： 整理得：， 由题意得：， 解得． （2）解：把化为下面的形式：， ∵， ∴，即， ∴当时，二元一次方程的解与a的值无关， ∴无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 2-4．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是换元法解二元一次方程组，灵活运用换元思想简化复杂方程组是解题的关键．观察到方程组中和重复出现，可令，，将原方程组转化为关于、的二元一次方程组，解出m的值，即可得到的值． 解：令，， 则原方程组变为， 解得：， ． 【题型3】幂的运算与零指数、负整指数综合 3-1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）6；（2） 【分析】（1）原式分别计算绝对值、有理数的乘方、负整数指数幂以及零指数幂，然后再进行加减运算即可； （2）原式先计算同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方，然后再合并即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 3-2．（21-22七年级下·江苏扬州·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先分别计算负整数指数幂、乘方运算、零次幂，再进行加减运算． （2）将看作整体，利用平方差公式展开，再利用完全平方公式计算． 解：（1）解： ； （2）解： ． 3-3．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）7；（2） 【分析】本题主要考查了实数运算，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据乘方，负整数指数幂，零指数幂化简，再计算，即可求解． （2）先根据负整数指数幂，零指数幂化简，再计算，即可求解． 解：（1）解： ； （2）解： ． 3-4．（24-25六年级下·全国·单元测试）运算能力计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关知识是做题的关键． （1）先算零指数幂，负整数指数幂，乘方，再算加减即可； （2）先算零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，再算加减即可． 解：（1）解：． （2）解：． 【题型4】整式乘法与乘法公式综合运算 4-1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． （1）先运用单项式乘多项式法则与完全平方公式计算，再合并同类项化简． （2）先运用多项式乘多项式法则与平方差公式展开各项，再去括号合并同类项化简 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4-2．（25-26八年级上·广西崇左·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平方差公式的连续应用，解题的关键是灵活运用平方差公式简化运算； （1）先运用平方差公式计算，再将结果与继续运用平方差公式； （2）先运用平方差公式计算，再将结果与继续运用平方差公式． 解：（1）解： （2）解： 4-3．（25-26八年级上·山东济宁·期末）计算下列各式： （1） （2）（用简便方法计算） 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了整式的计算，平方差公式的运用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． （1）先计算多项式乘以多项式以及平方差公式，最后合并同类项即可； （2）将变形为，采用平方差公式计算即可得出结果． 解：（1）解：原式 （2）解：原式 4-4．（25-26八年级上·天津·月考）运用乘法公式计算 （1）； （2） （3）； （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查完全平方公式以及平方差公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式、以及平方差公式． （1）根据完全平方公式即可求出答案； （2）根据平方差公式即可求出答案； （3）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案； （4）根据完全平方公式即可求出答案． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型5】整式乘法与乘法公式综合化简求值 5-1．（24-25七年级下·四川雅安·开学考试）先化简，再求值 （1），其中，． （2），其中． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，再代入求值即可； （2）利用完全平方公式和多项式乘以多项式法则计算，再进行整式的加减计算，最后代入求值． 解：（1）解： ， 当，时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 5-2．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）计算或化简 （1）先化简再求值：，其中，． （2）已知：，．求和的值． 【答案】（1）化简结果为，值为；（2）， 【分析】本题考查乘法公式，整式的混合运算，代数式求值，完全平方公式的变形求值，熟练掌握相关公式是关键． （1）先利用乘法公式展开，再按照整式混合运算的法则进行化简，最后代入求值即可； （2）利用完全平方公式对代数式进行变形，然后求值即可． 解：（1）解：， ， ， ， 当，时， 原式， ， ， ； （2）解：由完全平方公式可得： ， ∴， 由完全平方公式可得： ， ∴． 5-3．（25-26八年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先算整式除法及平方差公式，再代入计算． 解：原式 ， 当时，原式． 5-4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）计算与化简： （1）已知，求的值． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查完全平方公式，整式的混合运算： （1）利用完全平方公式变形计算即可； （2）根据乘法公式和多项式除以单项式的法则进行计算即可． 解：（1）解：∵， ∴； ； （2）解： ． 【考点八】二元一次方程组、整式乘法、平行线与相交线的实际应用 【题型1】二元一次方程组的应用 1-1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，找到等量关系，列出方程组是解题的关键．设小长方形的长为米，宽为米，根据图中长方形活动场地的长与宽找到等量关系，列出方程组求解即可． 解：设小长方形的长为米，宽为米， 根据题意，得， 解得， ∴布置文化展示区域的面积是， 故选：C． 1-2．（25-26九年级下·甘肃兰州·开学考试）《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡为一群、七鸭为另一群，两群共重24千克，鸡重鸭轻，若从两群中各取一只互换，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总重量和互换后重量相等两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组． 解：∵设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，六鸡、七鸭共重24千克， ∴可得第一个方程，可排除B、C选项； 互换其中一只后，一侧为5只鸡加1只鸭，另一侧为6只鸭加1只鸡，二者重量相等， ∴可得第二个方程； 联立得方程组． 1-3．（25-26七年级下·全国·单元测试）骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． （1）甲、乙每小时各行多少千米？ （2）若甲出发后两人相距1km，求的值． 【答案】（1）甲每小时行20km   乙每小时行16km；（2）或或 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，行程问题，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）设甲每小时行，乙每小时行，则甲总共走了，乙总共走了，根据题意列方程组进行求解即可，注意单位换算； （2）分相遇前；相遇后，甲未到终点；相遇后，甲到终点后三种情况，列方程求出所用的时间即可解答． 解：（1）解：设甲每小时行，乙每小时行． 根据题意，得 解得 故甲每小时行，乙每小时行． （2）解：相遇前：，解得，，符合题意； 相遇后，甲未到终点：，解得，，符合题意； 相遇后，甲到终点后：，解得，，符合题意． 综上所述，的值为或或． 1-4．（25-26七年级上·安徽六安·期末）某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 （1）若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ （2）现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【答案】（1）班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个；（2）方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． （1）设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个，根据“总价单价数量”，再结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买钥匙扣个、玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于的二元一次方程，结合“均为正整数，且，”，即可得出各购买方案． 解：（1）解：设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个， 由题意得： 解得：， 答：班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个； （2）解：设购买钥匙扣个、玩偶个， 由题意得：， ， 是正整数，且，， 或 或 ， 共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个； 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个； 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 【题型2】整式乘法的应用 2-1．（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，边长为a的正方形，边长为b的正方形，边长为b，c的长方形，边长为b，的长方形，组成了边长为a，的长方形．其中边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8，则边长为b的小正方形的面积为（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，单项式乘以多项式的应用，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到，，则可推出，据此可得答案． 解：∵边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴边长为b的小正方形的面积为10， 故选：B． 2-2．（24-25七年级下·全国·课后作业）模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景及图形面积的计算，解题的关键是通过计算两种不同图形的面积，建立等式，从而推导出平方差公式． （1）用大正方形面积减去小正方形面积，得到图①阴影部分的面积； （2）观察图形，确定图②中平行四边形的底边长和高，再用底乘高计算其面积； （3）根据两个图形中阴影部分面积相等，列出等式，推导出平方差公式． 解：（1）解： 故答案为：． （2）解：底边长为；对应的高为； 故答案为：；；． （3） 故答案为：． 2-3．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）【实践操作】 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是_____． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【答案】（1）；（2）①90000；② 【分析】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； （2）①先将原式变形为，然后利用（1）中结论求解即可； ②利用（1）的结论，把原式化为：，再连续利用平方差公式即可求解． 解：（1）图①中阴影部分的面积为：；图②中阴影部分的面积为：； 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）① ； ② ． 2-4．（25-26八年级上·山东济宁·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图，图，图阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图：___________，图：___________，图：__________ （2）根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： 已知，，求代数式①；②的值． （3）若，求的值． 【答案】（1）；；；（2）①；②；（3） 【分析】本题考查乘法公式的几何背景，准确识图，熟练掌握图形的面积计算，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． （1）根据图中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图中的阴影部分是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成得面积为，由此可得出答案；根据图中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成得面积为，由此可得出答案；根据图中两种不同拼图计算面积即可得出答案； （2）①根据图所得出的乘法公式可求出的值； ②根据图及①的结论可求出，再根据图所得出的乘法公式即可求出的值； （3）设，，则，，根据即可得出的值． 解：（1）解：∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形， ∴图中的阴影部分的面积为， 又∵图中的阴影部分是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成， ∴图中的阴影部分的面积为， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； ∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形， ∴图中的阴影部分的面积为， 又∵图中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成， ∴图中的阴影部分的面积为：， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； ∵图中的左边阴影部分是一个长为，宽为的长方形， ∴图中的阴影部分的面积为， ∵图中的右边阴影部分的面积是边长的正方形与边长为的正方形的差， ∴图中的右边阴影部分的面积为， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； 故答案为：；；； （2）解：①∵， 又∵，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为； （3）解：设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值为． 【题型3】相交线与平行线的应用 3-1．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是___________度． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，先根据题意作出图形，再根据平行线得到，，，接着根据镜面反射可得，，最后根据平角列方程求解即可． 解：如图，与平行的光线经过第一次镜面反射后得到线段，经过第二次镜面反射后得到射线，交于， ∵经过两次镜面反射后，与原光线夹角为， ∴， ∵与平行的光线， ∴，，， 由镜面反射可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 3-2．（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是_______，的度数为_______． 【答案】 /36度 /72度 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由，得到，，得到，又由得到． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 3-3．（20-21七年级下·河北沧州·期中）如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． （1）若，求的度数； （2）已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查平角的定义，几何图形中角度计算，平行线的判定等知识，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）由平角定义，知，结合已知条件计算求解； （2）由平角为可求得，，由直角三角形性质，得，于是，所以． 解：（1）解：∵，，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∴． 3-4．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． （1）问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； （2）迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【答案】（1），见分析；（2） 【分析】本题考查平行线的判定和性质及其应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）过点F作，则，再证，根据平行线的性质，通过等量代换可得； （2）过点C作，则，进而求出，根据平行线的性质即可求解． 解：（1）解：结论：， 证明：如图，过点F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点C作， ∴， ∵， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∴． 三、压轴篇 【考点九】二元一次方程组、整式乘法、平行线的性质与判定 【题型1】二（三）元一次方程组与整体思想 1-1．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得，解得． 将代入①，解得， 所以原方程组的解是 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解． 请写出方程组的解为________； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组： （3）已知满足方程组，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）15 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键． （1）先将①式进行变形，再利用整体代入法解方程组即可； （2）先将①式进行变形，再利用整体代入法解方程组即可； （3）先将①式进行变形化简，再利用整体代入法解方程组即可． 解：（1）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得， 则原方程组的解为； 故答案为：； （2）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得，解得， 则原方程组的解为； （3） 由①，得， 化简，得③ 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得， 所以． 1-2．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． （1）材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 （2）运用上述方法，解方程组； （3）已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． （4）对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 【答案】（1）B；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可． （1）根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， （2）仿照材料中的解题思路，设，，则方程组可化为，解方程组求出，从而可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （3）首先把方程组，整理成的形式，根据方程组的解为，可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （4）根据新定义，列出关于的方程组，得出，进而根据新定义得出的值，即可求解． 解：（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． （4）解：∵ ∴ ∴ ∴ 1-3．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） （1）已知二元一次方程组求和的值； （2）解方程组： （3）已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）两个方程分别相加或相减，即可求解； （2）将②可变形为，将①代入求解即可； （3）由整体思想得，即可求解． 解：（1）解： ①②得， ①②得， ， 的值为，的值为3； （2）解： 解：②可变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为； （3）解：方程组的解是， ， 解得． 故原方程组的解为． 1-4．（24-25七年级下·福建泉州·期中）下面是小明同学的一篇学习笔记（部分），请认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例题，解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得，． 把代入①，得． 方程组的解为． （1）类比例题的解法，解方程组； （2）请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； （3）实际应用：为促进同学们积极参加体育锻炼、强身健体，七年级1班需要购买篮球、足球、排球若干．若购买2个篮球，4个足球，6个排球，共需388元；若购买2个篮球，5个足球，8个排球，共需479元．则购买篮球、足球、排球各1个需要多少钱？ 【答案】（1）；（2）见分析；（3）103元 【分析】本题考查了解二元一次方程组，三元一次方程组的应用，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解此题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （3）设篮球、足球、排球单价分别是元、元、元，根据题意列出方程组，解方程组即可得解． 解：（1）解：， 把②代入①，得， 解得． 把代入②，得 所以方程组的解为； （2）解：， ①得③， 得：， 则，即无论取何值，的值始终不变； （3）解：设篮球、足球、排球单价分别是元、元、元， 根据题意得：， ①②得： ， 购买篮球、足球、排球各1个需要103元． 【题型2】多项式乘多项式与整体代入求值 2-1．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？ （1）已知，求的值； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）2026 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值． （1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 解：（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ． 2-2．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）10；（2）58 【分析】本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）仿照题例，利用整体代入法解答即可； （2）先化简代数式，再整体代入计算即可求解． 解：（1）解：∵， ∴， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 2-3．（25-26八年级上·云南昆明·期中）在代数的“分式变形与求值”领域，有一种常用的解题策略——“降次变形”与“整体代换”．如，已知，求的值时，我们可以对两边平方，得到，即，从而推出．这种通过对已知式子变形，结合公式（如完全平方公式）进行整体代换的方法，能有效解决复杂分式的求值问题．请运用该思路解决以下问题： （1）已知，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式变形为已知条件的形式，进而得出结果是解题的关键． （1）把两边平方即可得出； （2）先由得，代数式中分子和分母同时除以，得，即，把，代入得，即， 由得，解方程即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 代数式中分子和分母同时除以，得，即， 把，代入得，即， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 2-4．（25-26八年级上·福建泉州·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（）仿照题例，利用整体代入法解答即可； （）先化简代数式，再整体代入计算即可求解； （）把代数式转化为，再整体代入计算即可求解； 本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键． 解：（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 【题型3】杨辉三角与整式展开式系数规律探索 3-1．（24-25八年级上·广西南宁·月考）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题 解：由题意可得展开式中含项为第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，根据杨辉三角形展开式中，第二项的系数为， 的展开式中含项的系数是2023， 故选：C． 3-2．（2025八年级上·全国·专题练习）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，在下列的四个结论中： ①； ②展开式的系数和是128； ③展开式的系数和是； ④展开式的系数和是； 正确的是________（填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了杨辉三角的规律，熟练掌握“通过赋值法（令，或，）求出系数和”是解题的关键． 根据杨辉三角的规律确定展开式系数，利用“令，，求系数和，令，，求系数和”的方法分析各结论． 解：∵由杨辉三角的展开式规律得的展开式系数为1，5，10，10，5，1， ∴ ①正确； ∵ 系数和为，当时，系数和为， ∴ ②错误； ∵ 当时，系数和为， ∴ ③正确； ∵ 系数和为， ∴ ④错误； 故答案为：①③． 3-3．（25-26八年级上·四川资阳·月考）观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得______（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：． （3）计算：； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查平方差公式，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的等式的形式，把所求的式子转化成为所给的等式的形式． （1）由题干信息归纳总结可得答案； （2）把原式乘以，使之符合（1）中归纳出的公式特点，再利用公式进行计算即可； （3）先把原式化为：，使之符合（1）中归纳出的公式特点，再利用公式进行计算即可． 解：（1）由题意总结归纳可得： ， 故答案为：； （2） ； （3） ． 3-4．（24-25八年级上·福建泉州·月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）图中括号内的数为______； （2）利用上面的规律计算：； （3）假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 【答案】（1）6；（2）32；（3）四 【分析】本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）根据展开式，令，时，代入展开式即可得到所求代数式的值； （3）将变形为，展开后前21项和是7的倍数，所以除以7的余数为6，即可求解． 解：（1）解：根据表中数据得， 故答案为：． （2）解： ∴当，时，， ． （3）解：∵ （、、、、是一列常数）， ∴，刚好是的整数倍， ∴除以结果的余数为， ∴假如今天是星期五，那么再过天是星期四． 【题型4】相交线与平行线与折叠、旋转问题探究 4-1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，掌握翻折变换，平行线的性质是解题的关键．由折叠的性质可得，由平行线的性质可求，再由折叠性质可得，再由平行线的性质可得 ，最后即可求解． 解：， ， 由折叠性质可得：， ， 由题意得：， ， ， 由折叠性质可得：， ， ， 由题意得：， ， 故选：D 4-2．（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，将一长方形纸条先沿着进行第一次折叠，使得两点分别落在的位置，再将纸条沿着进行第二次折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置． （1）若，则的度数为___________； （2）若，则的度数为___________． 【答案】 /120度 /150度 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，熟记矩形的性质以及折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠及平行线的性质即可求解； （2）根据平行以及折叠对应角相等，得到：，利用外角的性质得到：，再根据折叠得到：，利用平角的定义即可求解． 解：（1）根据题意得： ，， ∴， ∵， ∴； （2）根据题意得： ， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4-3．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 【答案】任务一：A，B，C；任务二：见分析 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判定即可 解：任务一：如图， ∵ ∴ 又 ∴ ∵, ∴， 故选项A正确； ∵ ∴， 故选项B正确； ∵ ∴， 故选项C正确； D.平行于同一条直线的两条直线互相平行，说法错误； E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行说法错误； 所以，能作为判定上述材料中的依据的有A，B，C； 故答案为：A，B，C； 任务二：∵ ∴ 由折叠得， ∴ 又 ∴ 由折叠得， ∴， ∴， ∴． 4-4．（24-25七年级下·广西南宁·期中）【知识初探】 （1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线． 王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整； 证明：由折叠可知： 又∵ ∴ …… 【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段上），再画出和的角平分线所在的直线交于点G，请求出的度数． 【答案】（1）见分析（2）（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）折叠推出，进而得到，即可得出结论； （2）作，得到，推出，即可得出结果； （3）分交点在的上方和下方，两种情况进行求解即可． 解：（1）证明：由折叠可知： 又∵ ∴ 同理，， ∴， ∴； （2）作，则：， ∴，， ∴， ∵，（正方形的一个内角为90度）， ∴； （3）当点在直线的下方时，如图：过点作，则：， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）可知：， ∴； 当点在上方时，如图，作，则：， 则：， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）知：， ∴； 综上：或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $