江苏省江阴市祝塘中学2025-2026学年高二3月阶段性测试数学试卷

高二数学3月阶段性测试 一、单选题：本题共8小题．每小题5分，共计40分． 1.若曲线在处的切线的斜率为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】先对给定的函数求导，然后将带入即可. 【解答过程】由题意得，则，由导数的几何意义可知切线的斜率为， 故选：C. 2.函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出导函数，在定义域内解不等式可得单调递增区间. 【解答过程】因为，，所以对函数求导得：， 令，即，，， 解得， 因此函数的单调递增区间为． 故选：B. 3. 甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（    ） A．18种 B．48种 C．108种 D．192种 【思路】由分步乘法计数原理求解即可. 【解析】因甲不去北京，应该分步完成： 第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法； 第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有中选法； 由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种． 故选：D． 4.已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数求出函数的单调增区间为，利用集合关系列不等式求解即可. 【解答过程】由得，令，得． 当时，，所以的单调增区间为， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：D. 5.函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞) D.(0，＋∞) 答案　B 解析　函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线， 即f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解， 即a＝2－. 因为x＞0，所以2－＜2， 所以a的取值范围是(－∞，2). 6.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【思路】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解. 【解析】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 7.函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【思路】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【解析】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A. 8.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(2)=1,且f(x)的导函数f'(x)<1,则f(x)>x－1的解集为(　　) A.{x|－2<x<2} B.{x|x<2} C.{x|x<－2,或x>2} D.{x|x>2} 答案　B 解析　令g(x)=f(x)－(x－1), 则g'(x)=f'(x)－1<0, 所以g(x)在R上单调递减. 又f(2)=1,所以g(2)=f(2)－(2－1)=0. 由g(x)>0,解得x<2. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】利用导数的运算法则及复合函数的导数求解. 【详解】解：对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC 10.对于函数，下列说法正确的是（    ） A．在处取得极大值 B． C．有两个不同的零点 D．若在上恒成立，则 【答案】ABD 【解题思路】根据函数的零点，极值，单调性，最值和导函数的关系，求出函数单调性，判断零点和极值点，和函数最大值，依次判断各选项正误. 【解答过程】已知，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，取得极大值，，所以A正确； 已知，，可得， 因为在上单调递减，所以，所以，所以B正确； 当时，，当时，且， 所以只有一个零点，且零点在之间，所以C错误； 当在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，取得极大值，也是最大值，所以，所以D正确. 故选：ABD 11.从 ， ， ， ， ， 中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中( ACD ) A. 偶数有60个 B. 比300大的奇数有48个 C. 个位和百位数字之和为7的数有24个 D. 能被3整除的数有48个 [解析]解：对于A，先从 ， ， 中任取一个数放在个位，再任取两个数放在十位和百位，共有 （个），故A正确. 对于B，若百位数字为3或5,有 （个）三位奇数；若百位数字为4或6,有 （个）三位奇数.则符合题意的三位数有 （个），故B错误. 对于C，个位和百位的数可以是 ， ， 顺序可以交换，再从剩下的数中任选一个放在十位上，共有 （个），故C正确. 对于D，要使组成的数能被3整除，则各位数之和为3的倍数，取出的数有 ， ， ， ， ， ， ， ，共8种情况，所以组成的能被3整除的数有 （个），故D正确． 故选 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12.若，则 ． 【答案】4 【解答过程】根据导数的定义可得 ， 由可得，可得， 即． 故答案为：4. 13. 有7名同学排成一排照相，甲、乙、丙三人必须相邻，有 种不同的排法 【解析】依题意，将甲、乙、丙看作一个整体，其内部有种排法， 再将这个整体与其他4人全排列，有种排法， 所以一共有种不同的排法. 14.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为 . 【详解】函数的定义域为， 因为函数有两个不同的极值点， 所以有两个不同正根， 即有两个不同正根， 所以解得， 四、解答题：本题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15计算： (1)； (2)； (3)已知，求 【解析】（1）. （2）. （3）由，得，即，则， 整理得，所以. 16.已知函数，. （1）设曲线在处的切线的倾斜角为，求的值； （2）若函数的极小值为，求的值. （1）由，得.由，解得 （2）. ①当时， ， 在R上为增函数， 无极值. ②当时，令，得， . 所以， ； ， ； ∴在上单调递减；在上单调递增. ∴在取得极小值， 极小值为. 17.已知函数，. (1)当的单调区间； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】 【详解】（1）易知的定义域为， 可得； 在（0,1）上单调递减，在（1，+）上单调递增； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增， 此时最小值，不合题意； 当时，可知在上单调递减，在上单调递增； 此时在处取得极小值，也是最小值； 因此，解得，符合题意； 当时，在上单调递减，此时最小值，不合题意； 综上可知， 18.已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最大值，求的值. 【思路】（1）把代入函数解析式，求导函数，可得，再求出，利用直线方程的点斜式得答案； （2）利用导数分别求出与的最大值，由最大值相等可得关于的方程，再构造关于的函数，然后利用导数求最值即可． 【解析】（1）当时，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）的定义域为，而， 若，则， 此时函数在上单调递减，无最大值，不符合题意，故. 令，得，当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以的最大值为. 的定义域为，而. 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的最大值为. 因为和有相同的最大值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上所述，. 19.已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； (3)若，求证：当时，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）利用导数与函数单调性的关系即可判断在上的单调性； （3）设，结合（2）分类讨论，可判断该函数的单调性，即可证明不等式. 【解答过程】（1）当时，，则， 所以． 又，故所求切线方程为． （2），，， ①当时，，在上单调递增． ②当时，令，解得． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故时，在上单调递增； 时，在上单调递减；在上单调递增． （3）证明：设． ，由（2）可知 ①当时，在上单调递增，所以， 即在上单调递增，所以，满足题意； ②当时， 当时，单调递减； 当时，单调递增， ， ，，即， 在上单调递增，，满足题意， 综上可得，当且时，． 第16页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学3月阶段性测试 一、单选题：本题共8小题．每小题5分，共计40分． 1.若曲线在处的切线的斜率为（   ） A．2 B． C．1 D． 2.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3. 甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（     ） A．18种 B．48种 C．108种 D．192种 4.已知函数在单调递增，则的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 5.函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　) A. (－∞，2] B. (－∞，2) C. (2，＋∞) D. (0，＋∞) 6. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7.函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(2)=1,且f(x)的导函数f'(x)<1,则f(x)>x－1的解集为(　　) A. {x|－2<x<2} B. {x|x<2} C. {x|x<－2,或x>2} D. {x|x>2} 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共计18分． 9．下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 10.对于函数，下列说法正确的是（    ） A．在处取得极大值 B． C．有两个不同的零点 D．若在上恒成立，则 11.从 ， ， ， ， ， 中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中( ) A. 偶数有60个 B. 比300大的奇数有48个 C. 个位和百位数字之和为7的数有24个 D. 能被3整除的数有48个 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12.若，则 ． 13. 有7名同学排成一排照相，甲、乙、丙三人必须相邻，有 种不同的排法 14.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15计算：(1)； (2) ； (3) 已知，求 16.已知函数，. （1）设曲线在处的切线的倾斜角为，求的值； （2）若函数的极小值为，求的值. 17.已知函数，. (1)当的单调区间； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 18.已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最大值，求的值. 19.已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； (3)若，求证：当时，． 第16页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $