精品解析：天津市第二新华中学2025-2026学年度高一年级第二学期数学学科练习试题（一）

2025—2026学年度第二学期高一年级学科练习一 数学学科（共2页）2026年4月 Ⅰ卷 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 将正弦函数的图象先向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，最后得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，满足与的夹角为，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 3 7. 已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 10. 如图，是的中线，G为的中点，过点G的直线分别与交于点，且，，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. D. Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. _______. 12. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 13. 已知都是锐角，，则______ 14. 如图，在正方形中，，，若，则___________． 15. 已知，函数与的图象相交，若相邻的三个交点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个顶点，则________． 16. 已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 三、解答题 17. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的值． （3）求面积的值． 18. 如图，在中，角的对边分别为．已知，为CD上一点，且满足． （1）求的值； （2）求的最小值． 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）当时，求函数的最大值与最小值； （3）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在区间上恰有个解，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高一年级学科练习一 数学学科（共2页）2026年4月 Ⅰ卷 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】因为 ，，且 ， 所以，即 所以. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式可得，再结合条件利用二倍角公式求结论. 【详解】因为， . 3. 将正弦函数的图象先向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，最后得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按题意平移、伸缩变换求解即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将所得函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象. ∴. 故选：B. 4. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 则，即， 所以，即， 又因为，则，即, 所以是等腰三角形. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得， 又因为， 联立，解得. 可得 . 6. 已知向量，满足与的夹角为，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】，，， 所以. 7. 已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，，由有两解，得， 即，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 8. 在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由余弦定理得，则， 故的面积为. 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 【答案】B 【解析】 【详解】由图象可知：，，所以， 由得. 由，得，又可得. 所以，故A正确； 因为，所以不是函数的对称中心，故B错误； 当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故C正确； 将的图象向右平移个单位长度可得，故D正确. 10. 如图，是的中线，G为的中点，过点G的直线分别与交于点，且，，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算用表示出，由平面向量基本定理可知，其系数和为1，可得到关于的等式，利用基本不等式中“1”的妙用即可求得的最小值. 【详解】因为G为的中点，所以， 又是的中线，即为的中点，所以， 所以. 由，，其中，得，， 所以. 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. _______. 【答案】 【解析】 【详解】 12. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可得； 【详解】在方向上的投影向量的公式为：， 所以，， 将结果代入公式: . 13. 已知都是锐角，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据两角差的余弦公式，结合同角三角函数关系式进行求解即可. 【详解】因为都是锐角， 所以，又因为， 所以， ， 因此 ， 因为是锐角， 所以. 14. 如图，在正方形中，，，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理求解. 【详解】因为， 又,， 所以. 故答案为： 15. 已知，函数与的图象相交，若相邻的三个交点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个顶点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】结合差角的余弦公式求出函数图象相邻的三个交点坐标，再利用对称性建立方程求出值. 【详解】由，得，整理得， 解得，则， 不妨取函数图象相邻的三个交点为， 依题意，是等腰直角三角形，由对称性得，则， 所以. 故答案为： 16. 已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标和的坐标，利用数量积的坐标计算公式可求得，再设出点，根据，用来表示，再将表示成关于的函数表达式,然后求解最小值. 【详解】建系如图所示 因为是边长为2的等边三角形，，. . 设，. . ，，. . 当时，取得最小值，最小值为. 三、解答题 17. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的值． （3）求面积的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为 ， 由余弦定理可得 ， 因为 ，所以 . 【小问2详解】 在 中,由正弦定理得 ， 又因为 ，所以 ，解得 . 【小问3详解】 因为 ， 所以 . 18. 如图，在中，角的对边分别为．已知，为CD上一点，且满足． （1）求的值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理，以及向量的线性运算，用基底表示向量，求出参数值； （2）根据向量模长与向量数量积的关系，以及基本不等式，求出最小值即可. 【小问1详解】 设，因为，所以， 可知， 当时，解得，即，所以. 【小问2详解】 由得， 在中，，所以， 所以， 可知，当且仅当时，即时取等号， 可得，即，所以的最小值为. 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）当时，求函数的最大值与最小值； （3）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在区间上恰有个解，求的最小值． 【答案】（1）； （2）函数的最大值为，最小值为； （3）. 【解析】 【分析】（1）先由三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦函数周期性的性质计算可得； （2）先由的范围确定的范围，再由正弦函数的性质计算可得； （3）先由题意得到的表达式，再根据恰有个解确定的范围即可得到答案. 【小问1详解】 由，由辅助角公式得， 又因为的最小正周期为，即， 因此的值为. 【小问2详解】 由（1）得，当时，时，则的范围为， 因此的范围为，即函数的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 由（1）得，则将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，则， 令，则，即， 又因为在区间上恰有个解，则应该满足， 因此的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $