精品解析：天津市静海区第一中学2025-2026学年高一下学期6月学业能力调研数学试题

静海一中2025-2026第二学期高一数学（6月） 学生学业能力调研试卷 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（105分）和第Ⅱ卷提高题（15分）两部分，含3分卷面分，满分共120分. 第Ⅰ卷 基础题（共105分 一、选择题: 每小题5分，共35分. 1. 复数z满足，则复数z=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模，复数除法运算公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，所以. 故选：C 2. 记的内角，，的对边分别是，若，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】中，由正弦定理，即，解得， 又，所以 ，所以为锐角，故． 3. 已知向量，满足，且，则向量，的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知，，． 设向量与的夹角为，． 对两边同时平方可得：， 将，代入上式：  ， 化简得，解得． 根据向量点积的定义，代入已知值：， 解得，结合，可得． 4. 已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，且，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面、面面位置关系，结合线面平行的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由，，，得或与相交或与是异面直线，A错误； 对于B，由，，，，得或与相交，B错误； 对于C，由，，，得，C正确； 对于D，由，，，且，，得或与相交，D错误. 故选：C 5. 庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形的边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥，由柱体和锥体的体积公式，计算可得所求值. 【详解】解：取的中点，连接， 可得几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥， 将三棱柱补成一个底面与矩形全等的矩形的平行六面体， 可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半， 则三棱柱的体积为， 四棱锥的体积为， 则几何体的体积为. 故选：D. 6. 如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】将正三棱台中补成正三棱锥，如图所示． 因为为棱的中点，所以，又， 所以四边形是平行四边形.所以. 由，且，得是的中位线，所以分别为的中点， 故，与的面积比为. 所以三棱锥是正四面体. 取底面的中心为，连接，易知底面，又平面，所以． 因为为正三角形，，． 在中，． 所以正四面体的体积为. 所以． 7. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中错误的是（ ） A. EF平面 B. C. EF与AD1所成角为60° D. EF与平面所成角的正弦值为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，证得，则EF平面ABC1D1，从而得出判断；对于B，证得平面ABC1D1，从而，而EFBD1，可得EF⊥B1C，从而得出判断；对于C，由，得EF与AD1所成角为，在中求解即可得出判断；对于D，由，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角，在中求解即可得出判断． 【详解】对于A，连接BD1，在中，E、F分别为D1D、DB的中点，则EFD1B， 又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1 ，∴EF平面ABC1D1，故A正确； 对于B，∵平面，平面，∴B1C⊥AB， 又B1C⊥BC1，AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1， 又∵BD1平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，而EFBD1，∴EF⊥B1C，故B正确； 对于C，由，得EF与AD1所成角为. 在中，，所以， 所以EF与AD1所成角不为60°，故C错误； 对于D，由，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角， 在中，，所以，故D正确． 故选：C． 二、填空题：每小题5分，共25分. 8. 设m∈R， 复数若z为纯虚数，则m=________； 【答案】 【解析】 【分析】由复数的定义列方程组，即可求出. 【详解】复数若z为纯虚数， 则，解得：. 故答案为：. 9. 如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面，是的中点，则异面直线与所成角是 ________ 【答案】 【解析】 【详解】因为，且面， 所以面，而因为面， 所以， 又因为为正三角形，且为中点，所以， 且， 因此面，而面， 所以，即异面直线与所成角为. 10. 图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为．若圆柱的底面圆半径为，则几何体的体积是________ 【答案】 【解析】 【分析】分别计算圆锥的体积与圆柱的体积，体积和即为所求. 【详解】 如图可知，过的截面为五边形，其中四边形为矩形， 为等腰三角形，，在直角中，，， 故圆锥的底面半径为，高为，其体积为. 圆柱的底面半径为，高为，其体积为. 所以几何体的体积为. 11. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则______． 【答案】# 【解析】 【详解】因为分别为的中点，则 所以，则. 12. 中，为边中点，，，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算，即可求得；结合平面向量的数量积运算及向量的垂直条件，即可求得. 【详解】由题意，可得， 又，所以， 又为边中点，所以，所以， 所以， 又，，所以. 因为，即，所以， 即，两边同乘得①， 又，， 所以，即， 即，两边同乘得②， 由②得③，代入①得， 即④， 又， 所以， 将③代入，得， 将④代入，得. 三、解答题：（本大题共4小题，共45分） 13. 如图，直三棱柱中，，E、F分别为AB、的中点． （1）求证：平面；（用两种方法证明） （2）求证：； （3）请根据（1）的解题过程，试概括一下证线面平行的方法. 【答案】（1）证明：连接交于O点，连接， 法一：直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则O为的中点，又E为AB的中点，故， 平面，平面， 故平面； 法二：取中点，连接，. 由于，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面平面， 所以平面. 根据直三棱柱的性质可知， 因为平面，平面， 所以平面. 由于，平面， 所以平面平面， 由于平面， 所以平面； （2）证明：取BC中点为H，连接， F为的中点，故，而底面， 故底面，底面，故; 又E为AB的中点，则，而，即， 故，而平面， 故平面，平面，故. （3）要证明线面平行，可以通过线面平行的判定定理，利用线线平行来证明；也可以通过面面平行的性质定理，先证明面面平行，进而得到线面平行. 【解析】 【分析】（1）通过线面平行的判定定理、或者面面平行的性质定理证得平面. （2）通过证明平面，证得. （3）根据线面平行的判定定理和面面平行的性质定理来进行概括. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 14. 在中，角，，所对的边分别为，，．满足． （1）求角的大小： （2）设，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可； （2）（i）利用余弦定理求解即可；（ii）利用二倍角公式，两角差的正弦公式即可求解． 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得，， 可得， 因为，故，则， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，，且，， （i）则，即， 解得或（舍），故； （ii）由， 得， 解得，则， 则，， 由， 所以 所以. 15. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）因为，， 由余弦定理得， 即，解得或（舍）， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且交于， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得，根据勾股定理，可得，再利用线面垂直的性质可得，进而可得平面. （2）取的中点，连接，可得为直线与平面所成角，利用勾股定理可得，，再利用余弦定理即可求得直线与平面所成角的余弦值． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 16. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）已知，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合三角恒等变换求得. （2）利用正弦定理、三角恒等变换等知识求得周长的取值范围． 【小问1详解】 由正弦定理，得 ， 代入原式，化简得， 交叉整理，变形为. 若，化简得，与三角形内角范围矛盾，舍去； 若，则，结合，得，即. 【小问2详解】 由，，，得 . ，， ， ，则，所以， 所以. 周长，即. 第Ⅱ卷 提高题（共15分） 17. 如图，在四棱锥中，为正三角形，平面平面，//，，. （1）求证：平面平面. （2）求三棱锥的体积. （3）在棱上是否存在点，使得//平面？若存在，请确定点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】证明见解析；；在棱上存在点，当为的中点时，平面.理由见解析. 【解析】 【分析】（1）先根据面面垂直性质定理得CD⊥平面PAD，再根据面面垂直判定定理得结果； （2）取AD的中点O，根据面面垂直性质定理得PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P—ABC的高，最后根据三棱锥体积公式得结果； (3)先探索得E为PC的中点，取CP，CD的中点E，F，利用平面几何知识得四边形ABFD为平行四边形，即得BF//AD，再根据线面平行判定定理得结论. 【详解】（1）证明：因为AB∥CD，AB⊥AD，所以CD⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以CD⊥平面PAD. 因为CD⊂平面PCD， 所以平面PCD⊥平面PAD. （2）取AD的中点O，连接PO. 因为△PAD为正三角形， 所以PO⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD， 所以PO为三棱锥P—ABC的高． 因为△PAD为正三角形，CD＝2AB＝2AD＝4， 所以PO＝. 所以V三棱锥P—ABC＝S△ABC·PO ＝. (3)在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时，BE∥平面PAD. 分别取CP，CD的中点E，F，连接BE，BF，EF， 所以EF∥PD.因为AB∥CD，CD＝2AB， 所以AB∥FD，AB＝FD， 所以四边形ABFD为平行四边形， 所以BF∥AD. 因为BF∩EF＝F，AD∩PD＝D， 所以平面BEF∥平面PAD. 因为BE⊂平面BEF， 所以BE∥平面PAD. 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海一中2025-2026第二学期高一数学（6月） 学生学业能力调研试卷 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（105分）和第Ⅱ卷提高题（15分）两部分，含3分卷面分，满分共120分. 第Ⅰ卷 基础题（共105分 一、选择题: 每小题5分，共35分. 1. 复数z满足，则复数z=（ ） A. B. C. D. 2. 记的内角，，的对边分别是，若，，，则（    ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，且，则向量，的夹角是（ ） A. B. C. D. 4. 已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，且，，则 5. 庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形的边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中错误的是（ ） A. EF平面 B. C. EF与AD1所成角为60° D. EF与平面所成角的正弦值为 二、填空题：每小题5分，共25分. 8. 设m∈R， 复数若z为纯虚数，则m=________； 9. 如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面，是的中点，则异面直线与所成角是 ________ 10. 图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为．若圆柱的底面圆半径为，则几何体的体积是________ 11. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则______． 12. 中，为边中点，，，，则______（用，表示），若，，则_______ 三、解答题：（本大题共4小题，共45分） 13. 如图，直三棱柱中，，E、F分别为AB、的中点． （1）求证：平面；（用两种方法证明） （2）求证：； （3）请根据（1）的解题过程，试概括一下证线面平行的方法. 14. 在中，角，，所对的边分别为，，．满足． （1）求角的大小： （2）设，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 15. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 16. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）已知，求周长的取值范围． 第Ⅱ卷 提高题（共15分） 17. 如图，在四棱锥中，为正三角形，平面平面，//，，. （1）求证：平面平面. （2）求三棱锥的体积. （3）在棱上是否存在点，使得//平面？若存在，请确定点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $