平面向量的数量积题型八：综合运用专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

《平面向量的数量积》题型八：综合应用 卷首导学 本卷定位 数量积的综合应用是平面向量模块的集大成者，将数量积与三角形的“四心”、解三角形、平面几何图形等知识深度融合.此类题目常作为解答题的压轴问或选择填空的难题出现，分值约10–15分.能做好本卷，说明对数量积的理解已到融会贯通的境界. 核心易错点 1. 不会将几何条件转化为向量条件——如三角形重心对应向量和为零，垂心对应数量积相等，内心对应角平分线方向向量.转化能力是综合题的第一道坎. 2. 与解三角形结合时，分不清何时用正弦定理、何时用余弦定理、何时用数量积——数量积用于已知两边及夹角求对边，正弦定理用于已知两角一边或两边一对角.综合题中需灵活切换. 3. 平面几何图形中向量选取不当——在复杂图形中，选错基底会导致运算量激增甚至无法进行.优先选图形中天然的垂直或相等关系作为建系依据. 4. 综合题步骤多，中间某步出错导致全盘皆输——务必步步为营，每一步都写清楚所用定理和公式. 训练目标 1. 掌握三角形“四心”的向量表达及其与数量积的结合方式. 2. 能熟练运用数量积解决解三角形中的边角关系问题. 3. 能在复杂平面几何图形中灵活选取基底或建系，用数量积求解几何量. 4. 形成“几何条件→向量表达→数量积运算→几何结论”的完整解题链条. 建议用时：60–70分钟. 使用说明：本卷题目综合性强，涉及前七个专题的知识点，建议在完成前七张专项卷后再做本卷.解答题需写出完整的推理过程，注意每一步的向量表达和数量积运算的规范书写. 试卷正文 一、单选题（每题5分，共20分） 1. 在中，点M是BC的中点，，点P在AM上，且满足，则等于（ ） A.    B.    C.    D. 【答案速览】 A 【详细解答】 由AM=1，AP=2PM，得PM=AM，AP=AM.点P是△ABC中线的三等分点，恰为△ABC的重心.由重心性质：，故.则.由AP=，故，得. 【易错警示】 常见错误①：重心向量性质记错.重心G满足.常见错误②：AP=2PM时，误认为P靠近M，把模长算错.AP:PM=2:1，AP占AM的.常见错误③：数量积运算时符号弄错. 【规律总结】 遇到中线上的分点问题，优先判断是否为重心.若为重心，直接利用化简表达式，可避免复杂的坐标运算. 2. 已知向量，且，则的最大值为（ ） A. 1   B. 2   C.    D. 4 【答案速览】 B 【详细解答】 .由，可设.又，则，，即，.于是.当时，取得最大值2. 【易错警示】 常见错误①：共线条件用错.写成垂直条件则全错.常见错误②：解出参数后代入时符号弄错.常见错误③：二次函数求最值时未注意开口方向. 【规律总结】 向量与函数结合求最值，关键是利用向量关系建立参数方程，将目标量表示为参数的函数，再用函数方法求最值. 3. 某学生体重为，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为（重力加速度大小为g），如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（ ） A.    B. C.    D. 【答案速览】 B 【详细解答】 设两胳膊的拉力为，夹角为，且.由平衡条件，平方得.代入模长：，得，.故. 【易错警示】 常见错误①：力的合成公式用错.正确为.常见错误②：特殊角余弦值记错. 【规律总结】 物理中的力与向量结合，关键是画出受力分析图，将力用向量表示，根据平衡条件列向量等式，再用数量积转化为模长方程. 4. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案速览】 AC 【详细解答】 对于A：由正五角星的对称性，，正确.对于B：，而，两者不相等，错误.对于C：由，故，正确.对于D：，系数计算有误，错误.故选AC. 【易错警示】 常见错误①：对正五角星中线段的比例关系不熟悉.常见错误②：向量加减法时方向容易写反.常见错误③：黄金分割比的倒数运算出错. 【规律总结】 正五角星中的向量问题，核心是利用几何对称性和黄金分割比例.解题时先分析图形中各线段的比例关系，再将向量用已知比例关系的线段表示. 二、填空题（每题5分，共20分） 5. 在中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足，且.则的取值范围是______. 【答案速览】 【详细解答】 由得，同理，故O为△ABC的外心.延长AO交外接圆于D，则AD为直径，.由得，解得.代入得.当时取最小值，当时趋于0，当时趋于2，故范围为. 【易错警示】 常见错误①：外心向量性质应用不熟练.常见错误②：直径所对圆周角为直角的投影应用.常见错误③：由求b的范围时忘记b>0. 【规律总结】 外心与数量积的综合题，核心是利用外心到三顶点等距的性质，结合几何投影将向量数量积转化为边长平方. 6. 如图，在四边形ABCD中，为等边三角形，，则______. 【答案速览】 18 【详细解答】 由，得，故，即，则.由得，故.△ACD为等边三角形，，，故. 【易错警示】 常见错误①：未先判断△ABC的形状.常见错误②：向量减法方向写反.常见错误③：等边三角形内角记错. 【规律总结】 几何图形中求数量积，先分析图形特征，将目标向量向已知模长和夹角的向量转化. 7. 十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知分别是三个内角的对边，且，若点为的费马点，则______. 【答案速览】 【详细解答】 由，三角形三个角均小于120°，故费马点P满足.设，由面积关系：.则，化简得，同理另两项均为乘以对应乘积.三者和为. 【易错警示】 常见错误①：费马点的角度记成60°.常见错误②：面积公式代入数值出错.常见错误③：数量积与夹角余弦的对应关系记反. 【规律总结】 费马点问题与数量积结合，核心是利用三个120°夹角和面积拆分建立模长乘积的关系式，进而求出数量积的和. 8. 如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥CB，，，，E为CD上一点，且，设，若F为线段AB的中点，则______；若F为线段AB上的动点，则的最大值比最小值大______. 【答案速览】 1； 【详细解答】 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建系.由AB⊥AD，AB=2，AD=，得A(0,0)，B(2,0)，D(0,).由CD⊥CB，，过C作CG⊥x轴于G，作CH⊥y轴于H，由几何关系可求得C().由，得E分CD为CE:ED=1:2，可求得E().当F为AB中点时，F(1,0)，代入，解得，故.当F为AB上的动点时，设F(m,0)，m∈[0,2]，由向量等式解出，结合m范围得，最大值与最小值之差为. 【易错警示】 常见错误①：建系后C点坐标求错.常见错误②：向量等式列写时方向符号出错.常见错误③：求μ范围时未考虑m的定义域. 【规律总结】 复杂四边形中的向量问题，建系坐标法是首选.步骤：分析图形中的垂直关系选原点→求出各点坐标→将向量条件转化为坐标方程→求解参数并求范围. 三、解答题（共35分） 9. （10分）如图所示，是边长为1的正三角形，点四等分线段. （1） 求的值； （2） 若点Q是线段上一点，且，求实数m的值. 【答案速览】 （1）   （2） 【详细解答】 （1） 以点A为原点，AB为x轴正方向，建立平面直角坐标系.则A(0,0)，B(1,0)，C().由四等分线段BC，可得各分点坐标：，.也可直接计算坐标：，.计算.相加得. 由为靠近C的四等分点，.点Q在上，设.又已知.对比系数得，解得.代入得. 【易错警示】 常见错误①：四等分点坐标计算错误.BC四等分，靠近B，靠近C.常见错误②：向量相等对比系数时，基底不共线是前提.常见错误③：定比分点公式应用不熟练. 【规律总结】 正三角形中的向量问题，建系坐标法最为直观.分点问题可用定比分点坐标公式或向量线性表示.设参后用基底对比系数求参数是通法. 10. （12分）已知.是否存在实数使与垂直？ 【答案速览】 存在， 【详细解答】 由得，代入模长得，解得.若，则.展开得.代入：，即，.检验可知存在. 【易错警示】 常见错误①：展开时漏掉中间项系数2.常见错误②：解方程时符号和分数运算出错. 【规律总结】 已知三向量和为零及模长，通过平方建立数量积方程求，再代入垂直条件求参数. 11. （13分）（1） 在四边形ABCD中，，，，且，若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值； （2） 在中，，，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若，求的最大值. 【答案速览】 （1）   （2） 【详细解答】 （1） 由，，得，.以B为原点，BC为x轴建系，得.设，则，，当时取最小值. （2）设，则，.由余弦定理.由中点及比例得，.由，得，故最大值为. 【易错警示】 第(1)问：与的夹角为120°.第(2)问：基底表示时系数正确，基本不等式求最值验证等号条件. 【规律总结】 几何动态问题优先建系，将动点坐标参数化；解三角形与向量结合时，基底法是通法，利用已知边角关系化简，再用基本不等式求最值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $《平面向量的数量积》题型八：综合应用 卷首导学 本卷定位 数量积的综合应用是平面向量模块的集大成者，将数量积与三角形的“四心”、解三角形、平面几何图形等知识深度融合.此类题目常作为解答题的压轴问或选择填空的难题出现，分值约10–15分.能做好本卷，说明对数量积的理解已到融会贯通的境界. 核心易错点 1. 不会将几何条件转化为向量条件——如三角形重心对应向量和为零，垂心对应数量积相等，内心对应角平分线方向向量.转化能力是综合题的第一道坎. 2. 与解三角形结合时，分不清何时用正弦定理、何时用余弦定理、何时用数量积——数量积用于已知两边及夹角求对边，正弦定理用于已知两角一边或两边一对角.综合题中需灵活切换. 3. 平面几何图形中向量选取不当——在复杂图形中，选错基底会导致运算量激增甚至无法进行.优先选图形中天然的垂直或相等关系作为建系依据. 4. 综合题步骤多，中间某步出错导致全盘皆输——务必步步为营，每一步都写清楚所用定理和公式. 训练目标 1. 掌握三角形“四心”的向量表达及其与数量积的结合方式. 2. 能熟练运用数量积解决解三角形中的边角关系问题. 3. 能在复杂平面几何图形中灵活选取基底或建系，用数量积求解几何量. 4. 形成“几何条件→向量表达→数量积运算→几何结论”的完整解题链条. 建议用时：60–70分钟. 使用说明：本卷题目综合性强，涉及前七个专题的知识点，建议在完成前七张专项卷后再做本卷.解答题需写出完整的推理过程，注意每一步的向量表达和数量积运算的规范书写. 试卷正文 一、单选题（每题5分，共20分） 1. 在中，点M是BC的中点，，点P在AM上，且满足，则等于（ ） A.    B.    C.    D. 2. 已知向量，且，则的最大值为（ ） A. 1   B. 2   C.    D. 4 3. 某学生体重为，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为（重力加速度大小为g），如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（ ） A.    B. C.    D. 4. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共20分） 5. 在中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足，且.则的取值范围是______. 6. 如图，在四边形ABCD中，为等边三角形，，则______. 7. 十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知分别是三个内角的对边，且，若点为的费马点，则______. 8. 如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥CB，，，，E为CD上一点，且，设，若F为线段AB的中点，则______；若F为线段AB上的动点，则的最大值比最小值大______. 三、解答题（共35分） 9. （10分）如图所示，是边长为1的正三角形，点四等分线段. （1） 求的值； （2） 若点Q是线段上一点，且，求实数m的值. 10. （12分）已知.是否存在实数使与垂直？ 11. （13分）（1） 在四边形ABCD中，，，，且，若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值； （2） 在中，，，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若，求的最大值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 一、单选题 1. 【答案速览】 A 【详细解答】 由AM=1，AP=2PM，得PM=AM，AP=AM.点P是△ABC中线的三等分点，恰为△ABC的重心.由重心性质：，故.则.由AP=，故，得. 【易错警示】 常见错误①：重心向量性质记错.重心G满足.常见错误②：AP=2PM时，误认为P靠近M，把模长算错.AP:PM=2:1，AP占AM的.常见错误③：数量积运算时符号弄错. 【规律总结】 遇到中线上的分点问题，优先判断是否为重心.若为重心，直接利用化简表达式，可避免复杂的坐标运算. 2. 【答案速览】 B 【详细解答】 .由，可设.又，则，，即，.于是.当时，取得最大值2. 【易错警示】 常见错误①：共线条件用错.写成垂直条件则全错.常见错误②：解出参数后代入时符号弄错.常见错误③：二次函数求最值时未注意开口方向. 【规律总结】 向量与函数结合求最值，关键是利用向量关系建立参数方程，将目标量表示为参数的函数，再用函数方法求最值. 3. 【答案速览】 B 【详细解答】 设两胳膊的拉力为，夹角为，且.由平衡条件，平方得.代入模长：，得，.故. 【易错警示】 常见错误①：力的合成公式用错.正确为.常见错误②：特殊角余弦值记错. 【规律总结】 物理中的力与向量结合，关键是画出受力分析图，将力用向量表示，根据平衡条件列向量等式，再用数量积转化为模长方程. 4. 【答案速览】 AC 【详细解答】 对于A：由正五角星的对称性，，正确.对于B：，而，两者不相等，错误.对于C：由，故，正确.对于D：，系数计算有误，错误.故选AC. 【易错警示】 常见错误①：对正五角星中线段的比例关系不熟悉.常见错误②：向量加减法时方向容易写反.常见错误③：黄金分割比的倒数运算出错. 【规律总结】 正五角星中的向量问题，核心是利用几何对称性和黄金分割比例.解题时先分析图形中各线段的比例关系，再将向量用已知比例关系的线段表示. 二、填空题 5. 【答案速览】 【详细解答】 由得，同理，故O为△ABC的外心.延长AO交外接圆于D，则AD为直径，.由得，解得.代入得.当时取最小值，当时趋于0，当时趋于2，故范围为. 【易错警示】 常见错误①：外心向量性质应用不熟练.常见错误②：直径所对圆周角为直角的投影应用.常见错误③：由求b的范围时忘记b>0. 【规律总结】 外心与数量积的综合题，核心是利用外心到三顶点等距的性质，结合几何投影将向量数量积转化为边长平方. 6. 【答案速览】 18 【详细解答】 由，得，故，即，则.由得，故.△ACD为等边三角形，，，故. 【易错警示】 常见错误①：未先判断△ABC的形状.常见错误②：向量减法方向写反.常见错误③：等边三角形内角记错. 【规律总结】 几何图形中求数量积，先分析图形特征，将目标向量向已知模长和夹角的向量转化. 7. 【答案速览】 【详细解答】 由，三角形三个角均小于120°，故费马点P满足.设，由面积关系：.则，化简得，同理另两项均为乘以对应乘积.三者和为. 【易错警示】 常见错误①：费马点的角度记成60°.常见错误②：面积公式代入数值出错.常见错误③：数量积与夹角余弦的对应关系记反. 【规律总结】 费马点问题与数量积结合，核心是利用三个120°夹角和面积拆分建立模长乘积的关系式，进而求出数量积的和. 8. 【答案速览】 1； 【详细解答】 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建系.由AB⊥AD，AB=2，AD=，得A(0,0)，B(2,0)，D(0,).由CD⊥CB，，过C作CG⊥x轴于G，作CH⊥y轴于H，由几何关系可求得C().由，得E分CD为CE:ED=1:2，可求得E().当F为AB中点时，F(1,0)，代入，解得，故.当F为AB上的动点时，设F(m,0)，m∈[0,2]，由向量等式解出，结合m范围得，最大值与最小值之差为. 【易错警示】 常见错误①：建系后C点坐标求错.常见错误②：向量等式列写时方向符号出错.常见错误③：求μ范围时未考虑m的定义域. 【规律总结】 复杂四边形中的向量问题，建系坐标法是首选.步骤：分析图形中的垂直关系选原点→求出各点坐标→将向量条件转化为坐标方程→求解参数并求范围. 三、解答题 9. （10分） 【答案速览】 （1）   （2） 【详细解答】 （1） 以点A为原点，AB为x轴正方向，建立平面直角坐标系.则A(0,0)，B(1,0)，C().由四等分线段BC，可得各分点坐标：，.也可直接计算坐标：，.计算.相加得. 由为靠近C的四等分点，.点Q在上，设.又已知.对比系数得，解得.代入得. 【易错警示】 常见错误①：四等分点坐标计算错误.BC四等分，靠近B，靠近C.常见错误②：向量相等对比系数时，基底不共线是前提.常见错误③：定比分点公式应用不熟练. 【规律总结】 正三角形中的向量问题，建系坐标法最为直观.分点问题可用定比分点坐标公式或向量线性表示.设参后用基底对比系数求参数是通法. 10. （12分） 【答案速览】 存在， 【详细解答】 由得，代入模长得，解得.若，则.展开得.代入：，即，.检验可知存在. 【易错警示】 常见错误①：展开时漏掉中间项系数2.常见错误②：解方程时符号和分数运算出错. 【规律总结】 已知三向量和为零及模长，通过平方建立数量积方程求，再代入垂直条件求参数. 11. （13分） 【答案速览】 （1）   （2） 【详细解答】 （1） 由，，得，.以B为原点，BC为x轴建系，得.设，则，，当时取最小值. （2）设，则，.由余弦定理.由中点及比例得，.由，得，故最大值为. 【易错警示】 第(1)问：与的夹角为120°.第(2)问：基底表示时系数正确，基本不等式求最值验证等号条件. 【规律总结】 几何动态问题优先建系，将动点坐标参数化；解三角形与向量结合时，基底法是通法，利用已知边角关系化简，再用基本不等式求最值. $