平面向量的数量积题型四：模长与夹角专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

《平面向量的数量积》题型四：模长与夹角 卷首导学 本卷定位 向量的模长与夹角是数量积公式的两大核心应用.求模长必用平方公式，求夹角必用.本专题是月考、期中的必考内容，选择、填空、解答题均有出现，占比约15–20分. 核心易错点 1. 求模长时忘记平方——直接对向量表达式开方是绝对的错误.正确做法：先平方，利用转化为数量积，再开方. 2. 已知型条件时，平方展开后忘记中间项——，中间系数2极易漏掉. 3. 求夹角时只算出余弦值，未结合范围判断角的大小——余弦值为正对应锐角，为负对应钝角，为零对应直角. 4. 由夹角范围反求参数时，不等式列不全——锐角条件为且不共线，钝角条件为且不共线.本卷为简单型，不涉及共线排除，直接列数量积不等式即可. 训练目标 1. 形成“见模就平方”的条件反射. 2. 能熟练处理、型模长问题. 3. 能准确用数量积公式求夹角并判断角的大小. 4. 能由夹角范围正确列出参数的不等式并求解. 建议用时：50–60分钟. 使用说明：本卷题目涉及夹角反求参数时，均为不需排除共线的简单情况.需要排除共线的复杂求参问题将在试卷六中专项训练. 试卷正文 一、单选题（每题5分，共30分） 1. 已知向量的夹角为，且，则等于（ 　　） A. 4   B. 3   C. 2   D. 1 【答案速览】 D 【详细解答】 由模长平方公式：. 计算数量积：. 代入：. 所以. 【易错警示】 常见错误①：求时直接写成.这是绝对错误的！向量模的减法不满足模的减法，必须先平方展开. 常见错误②：平方展开时中间项符号写错.，是减号不是加号. 常见错误③：特殊角余弦值记错，，不是. 【规律总结】 口诀：见模就平方.无论是还是，第一反应永远是平方展开，转化为数量积计算.绝对不要直接对模长进行加减. 2. 已知向量，若，则与的夹角为（ 　　） A.    B.    C.    D. 【答案速览】 B 【详细解答】 由夹角公式：. 代入已知条件：， . 因为，余弦值为对应的角是. 【易错警示】 常见错误①：只算出就选答案，没有确认的范围.时，在内唯一对应.若范围记错可能误选（余弦为）或（余弦为）. 常见错误②：数量积符号处理错.，说明夹角为钝角，答案应在内. 【规律总结】 求两向量夹角的通法：①计算数量积；②计算两模长；③代入；④结合确定角度.余弦为正则锐角，为负则钝角，为零则直角. 3. 已知，且与夹角为，则等于（ 　　） A.    B.    C.    D. 【答案速览】 B 【详细解答】 先求. 展开：. 已知，夹角， . 代入：. 所以. 【易错警示】 常见错误①：数乘向量平方时系数忘记平方.，不是. 常见错误②：展开时中间项符号.，中间是减号.代入时，. 常见错误③：，符号处理错误导致数量积为正，最终答案出错. 【规律总结】 求线性组合向量的模长，统一操作：先平方展开，利用，再代入模长和数量积，最后开方.注意系数也要平方. 4. 已知向量，若，当且仅当时，取得最小值，则向量与的夹角为（ 　　） A.    B.    C.    D. 【答案速览】 B 【详细解答】 ，则. 设向量与的夹角为，则. 代入：. 这是关于的二次函数，开口向上，最小值在对称轴处取得. 已知当且仅当时取得最小值，故，解得. 因为，所以. 【易错警示】 常见错误①：展开时，中间项系数漏写2.正确为. 常见错误②：对称轴公式记错.二次函数的对称轴为.此处，对称轴. 常见错误③：求出后，未结合范围判断，可能误填或. 【规律总结】 将模长表示为参数的二次函数求最值，是处理含参模长问题的通法.关键在于正确展开，利用数量积的定义将用夹角表示，再利用二次函数性质求解. 5. 已知平面向量满足，则（ 　　） A.    B.    C. 3   D. 【答案速览】 C 【详细解答】 要求，先求其平方：. 已知，即，展开得：. 又已知，设. 则，得. 于是. 所以. 【易错警示】 常见错误①：将直接展开，但不知道的具体值.此时需要整体处理，设未知数表示这部分. 常见错误②：观察已知条件和待求的关系，它们平方展开后相差.正确计算：，故.这是更简洁的方法. 常见错误③：系数计算错误，如，不要写成. 【规律总结】 遇到形如和的模长问题，可利用两者的平方展开式相加减，消去未知项.公式：，.熟练运用可简化计算. 6. 已知平面向量，的夹角为，，则实数（ 　　） A. −1   B. 1   C.    D. 【答案速览】 A 【详细解答】 由，平方得：. 已知，夹角，则. 代入：，即，，解得. 【易错警示】 常见错误①：平方展开时中间项系数漏写2.. 常见错误②：数量积算错.，不是. 常见错误③：解方程时符号错.的根是，若列错方程为则会得到错误答案. 【规律总结】 已知模长求参数，直接平方转化为关于参数的方程求解.这是模长公式与方程思想的结合应用. 二、填空题（每题5分，共20分） 7. 若向量满足，则向量的夹角的大小为______. 【答案速览】 【详细解答】 由，得. 已知，则，代入得，. 设夹角为，则. 因为，所以. 【易错警示】 常见错误①：展开时漏项.. 常见错误②：余弦值判断出错.对应（135°），不要误写成. 常见错误③：单位混淆.答案为或135°，根据题目通常以弧度作答. 【规律总结】 利用数量积分配律展开，求出，再代入夹角公式.这是“已知模长和数量积关系求夹角”的经典路径. 8. 设向量满足，则______. 【答案速览】 1 【详细解答】 由已知条件：  ①  ② ① − ②得：，所以. 【易错警示】 常见错误①：平方展开时中间项符号写错.，是减号. 常见错误②：两式相减时系数弄错.①减②得，注意是. 常见错误③：两式相加也可求，但本题只问，相减直接得结果. 【规律总结】 已知和求数量积，是经典套路.公式：.同理，.建议直接记住. 9. 已知，则______. 【答案速览】 【详细解答】 先由条件求： . 代入： ， 解得. 再求. 所以. 【易错警示】 常见错误①：多项式展开时合并同类项出错.，中间项合并为. 常见错误②：计算时，，不要写成但模长符号要带平方. 常见错误③：求模长时算出平方为13后，忘记开方，直接写13. 【规律总结】 先通过数量积运算求，再求模长，是常见综合题.关键步骤：展开→合并→代入模长→解出数量积→代入模长公式. 10. 已知向量的夹角为，且，则______. 【答案速览】 【详细解答】 先求. 再求. 所以. 【易错警示】 常见错误①：直接写.这是最常见的错误，向量模的加法不满足模的加法！ 常见错误②：，不是. 常见错误③：平方展开时中间项系数写成1，漏了2. 【规律总结】 求的标准流程：①求；②平方展开；③开方.每一步都不能省略. 三、解答题（共25分） 11. （12分）已知，且. （1） 求与的夹角； （2） 若，求实数的值. 【答案速览】 （1）   （2） 【详细解答】 （1） 由，平方得： . 已知，代入： ，即，得. 设与的夹角为，则. 因为，所以. 由，得. 展开：. 代入： ， 即，，解得. 【易错警示】 第(1)问：常见错误①：由直接写，忽略了平方展开中的项.常见错误②：由写，正负号判断错误. 第(2)问：常见错误①：垂直条件用错，写成了平行条件.垂直的充要条件是数量积为0.常见错误②：展开时中间项合并错误，如，合并为. 【规律总结】 （1） 已知求夹角，先用平方展开求，再代入夹角公式. （2） 垂直条件求参数，转化为数量积为0的方程，展开代入已知量求解. 12. （13分）已知向量满足，且. （1） 求与的夹角； （2） 求. 【答案速览】 （1）   （2） 【详细解答】 （1） 由，展开： ， 即. 代入： ，， ，得. 设夹角为，则. 因为，所以. . 所以. 【易错警示】 常见错误①：第(1)问展开时合并同类项出错..中间项系数为−3，不是−5或−1. 常见错误②：模长代入时，，不要写成. 常见错误③：由写角度时，误写为或不在内. 【规律总结】 本题先通过数量积运算求，再分别求夹角和模长.掌握多项式展开的合并技巧，能有效提高计算准确率. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《平面向量的数量积》题型四：模长与夹角 卷首导学 本卷定位 向量的模长与夹角是数量积公式的两大核心应用.求模长必用平方公式，求夹角必用.本专题是月考、期中的必考内容，选择、填空、解答题均有出现，占比约15–20分. 核心易错点 1. 求模长时忘记平方——直接对向量表达式开方是绝对的错误.正确做法：先平方，利用转化为数量积，再开方. 2. 已知型条件时，平方展开后忘记中间项——，中间系数2极易漏掉. 3. 求夹角时只算出余弦值，未结合范围判断角的大小——余弦值为正对应锐角，为负对应钝角，为零对应直角. 4. 由夹角范围反求参数时，不等式列不全——锐角条件为且不共线，钝角条件为且不共线.本卷为简单型，不涉及共线排除，直接列数量积不等式即可. 训练目标 1. 形成“见模就平方”的条件反射. 2. 能熟练处理、型模长问题. 3. 能准确用数量积公式求夹角并判断角的大小. 4. 能由夹角范围正确列出参数的不等式并求解. 建议用时：50–60分钟. 使用说明：本卷题目涉及夹角反求参数时，均为不需排除共线的简单情况.需要排除共线的复杂求参问题将在试卷六中专项训练. 试卷正文 一、单选题（每题5分，共30分） 1. 已知向量的夹角为，且，则等于（ 　　） A. 4   B. 3   C. 2   D. 1 2. 已知向量，若，则与的夹角为（ 　　） A.    B.    C.    D. 3. 已知，且与夹角为，则等于（ 　　） A.    B.    C.    D. 4. 已知向量，若，当且仅当时，取得最小值，则向量与的夹角为（ 　　） A.    B.    C.    D. 5. 已知平面向量满足，则（ 　　） A.    B.    C. 3   D. 6. 已知平面向量，的夹角为，，则实数（ 　　） A. −1   B. 1   C.    D. 二、填空题（每题5分，共20分） 7. 若向量满足，则向量的夹角的大小为______. 8. 设向量满足，则______. 9. 已知，则______. 10. 已知向量的夹角为，且，则______. 三、解答题（共25分） 11. （12分）已知，且. （1） 求与的夹角； （2） 若，求实数的值. 12. （13分）已知向量满足，且. （1） 求与的夹角； （2） 求. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 一、单选题 1. 【答案速览】 D 【详细解答】 由模长平方公式：. 计算数量积：. 代入：. 所以. 【易错警示】 常见错误①：求时直接写成.这是绝对错误的！向量模的减法不满足模的减法，必须先平方展开. 常见错误②：平方展开时中间项符号写错.，是减号不是加号. 常见错误③：特殊角余弦值记错，，不是. 【规律总结】 口诀：见模就平方.无论是还是，第一反应永远是平方展开，转化为数量积计算.绝对不要直接对模长进行加减. 2. 【答案速览】 B 【详细解答】 由夹角公式：. 代入已知条件：， . 因为，余弦值为对应的角是. 【易错警示】 常见错误①：只算出就选答案，没有确认的范围.时，在内唯一对应.若范围记错可能误选（余弦为）或（余弦为）. 常见错误②：数量积符号处理错.，说明夹角为钝角，答案应在内. 【规律总结】 求两向量夹角的通法：①计算数量积；②计算两模长；③代入；④结合确定角度.余弦为正则锐角，为负则钝角，为零则直角. 3. 【答案速览】 B 【详细解答】 先求. 展开：. 已知，夹角， . 代入：. 所以. 【易错警示】 常见错误①：数乘向量平方时系数忘记平方.，不是. 常见错误②：展开时中间项符号.，中间是减号.代入时，. 常见错误③：，符号处理错误导致数量积为正，最终答案出错. 【规律总结】 求线性组合向量的模长，统一操作：先平方展开，利用，再代入模长和数量积，最后开方.注意系数也要平方. 4. 【答案速览】 B 【详细解答】 ，则. 设向量与的夹角为，则. 代入：. 这是关于的二次函数，开口向上，最小值在对称轴处取得. 已知当且仅当时取得最小值，故，解得. 因为，所以. 【易错警示】 常见错误①：展开时，中间项系数漏写2.正确为. 常见错误②：对称轴公式记错.二次函数的对称轴为.此处，对称轴. 常见错误③：求出后，未结合范围判断，可能误填或. 【规律总结】 将模长表示为参数的二次函数求最值，是处理含参模长问题的通法.关键在于正确展开，利用数量积的定义将用夹角表示，再利用二次函数性质求解. 5. 【答案速览】 C 【详细解答】 要求，先求其平方：. 已知，即，展开得：. 又已知，设. 则，得. 于是. 所以. 【易错警示】 常见错误①：将直接展开，但不知道的具体值.此时需要整体处理，设未知数表示这部分. 常见错误②：观察已知条件和待求的关系，它们平方展开后相差.正确计算：，故.这是更简洁的方法. 常见错误③：系数计算错误，如，不要写成. 【规律总结】 遇到形如和的模长问题，可利用两者的平方展开式相加减，消去未知项.公式：，.熟练运用可简化计算. 6. 【答案速览】 A 【详细解答】 由，平方得：. 已知，夹角，则. 代入：，即，，解得. 【易错警示】 常见错误①：平方展开时中间项系数漏写2.. 常见错误②：数量积算错.，不是. 常见错误③：解方程时符号错.的根是，若列错方程为则会得到错误答案. 【规律总结】 已知模长求参数，直接平方转化为关于参数的方程求解.这是模长公式与方程思想的结合应用. 二、填空题 7. 【答案速览】 【详细解答】 由，得. 已知，则，代入得，. 设夹角为，则. 因为，所以. 【易错警示】 常见错误①：展开时漏项.. 常见错误②：余弦值判断出错.对应（135°），不要误写成. 常见错误③：单位混淆.答案为或135°，根据题目通常以弧度作答. 【规律总结】 利用数量积分配律展开，求出，再代入夹角公式.这是“已知模长和数量积关系求夹角”的经典路径. 8. 【答案速览】 1 【详细解答】 由已知条件：  ①  ② ① − ②得：，所以. 【易错警示】 常见错误①：平方展开时中间项符号写错.，是减号. 常见错误②：两式相减时系数弄错.①减②得，注意是. 常见错误③：两式相加也可求，但本题只问，相减直接得结果. 【规律总结】 已知和求数量积，是经典套路.公式：.同理，.建议直接记住. 9. 【答案速览】 【详细解答】 先由条件求： . 代入： ， 解得. 再求. 所以. 【易错警示】 常见错误①：多项式展开时合并同类项出错.，中间项合并为. 常见错误②：计算时，，不要写成但模长符号要带平方. 常见错误③：求模长时算出平方为13后，忘记开方，直接写13. 【规律总结】 先通过数量积运算求，再求模长，是常见综合题.关键步骤：展开→合并→代入模长→解出数量积→代入模长公式. 10. 【答案速览】 【详细解答】 先求. 再求. 所以. 【易错警示】 常见错误①：直接写.这是最常见的错误，向量模的加法不满足模的加法！ 常见错误②：，不是. 常见错误③：平方展开时中间项系数写成1，漏了2. 【规律总结】 求的标准流程：①求；②平方展开；③开方.每一步都不能省略. 三、解答题 11. （12分） 【答案速览】 （1）   （2） 【详细解答】 （1） 由，平方得： . 已知，代入： ，即，得. 设与的夹角为，则. 因为，所以. 由，得. 展开：. 代入： ， 即，，解得. 【易错警示】 第(1)问：常见错误①：由直接写，忽略了平方展开中的项.常见错误②：由写，正负号判断错误. 第(2)问：常见错误①：垂直条件用错，写成了平行条件.垂直的充要条件是数量积为0.常见错误②：展开时中间项合并错误，如，合并为. 【规律总结】 （1） 已知求夹角，先用平方展开求，再代入夹角公式. （2） 垂直条件求参数，转化为数量积为0的方程，展开代入已知量求解. 12. （13分） 【答案速览】 （1）   （2） 【详细解答】 （1） 由，展开： ， 即. 代入： ，， ，得. 设夹角为，则. 因为，所以. . 所以. 【易错警示】 常见错误①：第(1)问展开时合并同类项出错..中间项系数为−3，不是−5或−1. 常见错误②：模长代入时，，不要写成. 常见错误③：由写角度时，误写为或不在内. 【规律总结】 本题先通过数量积运算求，再分别求夹角和模长.掌握多项式展开的合并技巧，能有效提高计算准确率. $