平面向量的数量积题型三：投影与投影向量专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

《平面向量的数量积》题型三：投影与投影向量 卷首导学 本卷定位 投影是数量积的几何意义，也是高一月考、期中的高频概念题，常以选择题和多选题形式出现，占比约5–10分.虽然分值不高，但概念混淆率极高，是“基础题丢分”的重灾区.拿下本卷，投影问题从此不再模棱两可. 核心易错点 1. 分不清“投影数量”和“投影向量”——投影数量是一个标量（可正可负），投影向量是一个矢量（有大小有方向）.考试中把数量写成向量，或把向量写成数量，都是零分. 2. 求投影数量时忘记除以模长——公式是，不是.直接用数量积当投影数量，是最低级的错误. 3. 投影正负号判断错误——夹角为锐角时投影为正，钝角时为负.不判断符号直接代绝对值，选择题中容易被干扰项迷惑. 4. 求投影向量时未乘单位向量——投影向量 =(投影数量) (方向上的单位向量).只求出投影数量就停笔，等于只做了一半. 训练目标 1. 能瞬间区分“投影数量”与“投影向量”的概念和计算公式. 2. 能熟练求解一个向量在另一个向量方向上的投影数量和投影向量. 3. 能利用投影的几何意义解决简单的数量积问题. 建议用时：40–50分钟. 使用说明：本卷设置多道“概念辨析对比题”，请逐字读题，注意题干问的是“投影”还是“投影向量”.建议做完后对照解析中的对比表格自查. 试卷正文 一、单选题（每题5分，共30分） 1. 已知向量，则向量在方向上的投影为（ 　　） A.    B. 3   C.    D. −3 2. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ 　　） A.    B. C.    D. 3. 设非零向量满足，，则向量在方向上的投影向量为（ 　　） A.    B.    C.    D. 4. 已知，向量在向量上的投影向量为，则等于（ 　　） A. 3   B.    C.    D. 5. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ 　　） A.    B.    C.    D. 6. 已知向量与单位向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ 　　） A.    B.    C.    D. 二、多选题（每题6分，共12分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 7. 已知向量，则下列结论正确的是（ 　　） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 8. 已知平面向量，则下列说法错误的是（ 　　） A. 当时， B. 若在方向上的投影向量为，则 C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 若和的夹角为钝角，则的取值范围为 三、填空题（每题5分，共15分） 9. 已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为______. 10. 已知，则向量在向量方向上的数量投影为______. 11. 已知是相互垂直的单位向量.若向量，，则向量在向量上的投影向量为______. 四、解答题（共13分） 12. （13分）在中，角的对边分别，且. （1）求的值； （2）若，，记，求向量在方向上的投影向量.（用表示） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 一、单选题 1. 【答案速览】 D 【详细解答】 投影数量的公式为. 先求数量积：. 再求模长：. 投影数量为. 【易错警示】 常见错误①：分不清“投影”与“投影向量”.题干问的是“投影”，指投影数量，答案是标量−3.若问“投影向量”，则需乘以单位向量. 常见错误②：求投影数量时忘记除以，直接用数量积−6作为答案. 常见错误③：的平方是3，计算模长时不要写成中的3写错. 【规律总结】 求投影数量，首选公式.这个公式不需要先求夹角，一步到位.口诀：数量积除以模，投影数值就得出. 2. 【答案速览】 D 【详细解答】 投影向量的公式为. 已知，，则，. 投影向量为. 【易错警示】 常见错误①：只求出投影数量，忘记乘以单位向量，导致误选A或B（A和B的模是的倍数但不是向量形式）. 常见错误②：单位向量方向弄反.在上的投影向量一定与共线，方向由的符号决定.此处，投影向量与同向，坐标符号应与一致. 常见错误③：计算时负号处理错，，不是. 【规律总结】 求投影向量的标准两步：①求投影数量；②乘以方向上的单位向量，得.建议直接记住公式，省去求单位向量的步骤. 3. 【答案速览】 A 【详细解答】 投影向量公式为.先需求出夹角余弦. 由，设，则. 由，平方得： ， 即，得，. 设夹角为，则. 投影数量为. 投影向量为. 【易错警示】 常见错误①：先入为主认为投影向量是之类的正数，忽略了数量积为负时投影向量与反向. 常见错误②：平方展开时，，中间系数是2，不要写成1. 常见错误③：设后，最终结果应消去，不要保留参数. 【规律总结】 当题目给出模长关系求投影时，通常先利用模长平方建立数量积方程，求出与模长的关系，进而得到夹角余弦，最后代投影公式.核心思路：见模就平方，遇数量积想定义. 4. 【答案速览】 D 【详细解答】 设向量的夹角为. 在上的投影向量为. 已知该投影向量为，即，所以. 数量积. 【易错警示】 常见错误①：把投影向量公式与投影数量公式混淆.投影向量是，投影数量是.此处已知投影向量，反推数量积，应正确理解两者关系. 常见错误②：由直接认为，忘了的模长.投影向量表达式中的系数已经是乘了之后的结果. 常见错误③：最后一步计算时算错. 【规律总结】 投影向量、投影数量与数量积的关系链： 投影数量；投影向量. 已知投影向量反求数量积，可设投影向量为，则，得. 5. 【答案速览】 B 【详细解答】 由知，为中点，即为外接圆直径，故，为直角三角形. 又，且为中点，故，为等边三角形，，. 向量在上的投影向量公式为. 在Rt中，. 与的夹角为，故. 所以投影向量为. 【易错警示】 常见错误①：没有判断出.由可得，即是平行四边形对角线的一半，说明为中点，为直径，.这一推理是关键. 常见错误②：夹角判断错误.与的夹角是，不是.将两向量平移至共起点即可确认. 常见错误③：投影向量公式用错，除以而不是，导致多了一个模长. 【规律总结】 几何背景下求投影向量，先判断图形形状（直角三角形、等边三角形等），确定各边长比例和角度，再代入公式.公式直接给出投影向量，无需单独求单位向量. 【一题多解】 也可用几何法：在上的投影长度为，在上的投影向量即为.几何法更直观，但需要较强的图形分析能力. 6. 【答案速览】 D 【详细解答】 在方向上的投影向量公式为. 已知，，. 投影数量为. 投影向量为. 【易错警示】 常见错误①：分不清是谁在谁上的投影.题干是“在上”，公式中的模长应该是乘以，再乘以方向上的单位向量.写成就完全反了. 常见错误②：求投影向量时忘记除以.投影数量是，投影向量需再乘，得.直接选C（）是典型错误. 常见错误③：单位向量的方向.在上的投影向量应与共线，故答案中应含，不是. 【规律总结】 求在上的投影向量，公式为.注意：分母是，分子是数量积.口诀：谁在上谁在分子，谁被投影谁在分母. 二、多选题 7. 【答案速览】 AB 【详细解答】 对于A：，正确. 对于B：与同向的单位向量为，正确. 对于C：在上的投影向量公式为，.投影向量为，C错误. 对于D：与的夹角为锐角，需满足且不共线.，，得.不共线条件：，解得.所以，D错误. 综上，正确的是AB. 【易错警示】 常见错误①：C选项把投影向量公式记错，导致坐标错误. 常见错误②：D选项求锐角条件时，只考虑数量积>0，忘记排除共线情况.向量夹角为锐角的充要条件是数量积>0且两向量不共线. 常见错误③：B选项的单位向量有两个（同向和反向），题干明确“同向”，所以只有一个. 【规律总结】 多选题中考查投影向量，通常同时涉及模长、单位向量、夹角条件等多个知识点.解题策略：逐项验证，小心陷阱.尤其注意“锐角”必须排除共线，“钝角”也必须排除共线反向. 8. 【答案速览】 ABD 【详细解答】 对于A：的条件是，即，，解得或.A漏掉了的情况，错误. 对于B：在上的投影向量为，即，得.代入坐标化简得，解得或.B说，错误. 对于C：当时，，在上的投影向量为，，投影向量为.C正确. 对于D：和的夹角为钝角，需且不反向共线.，得.排除反向共线（时夹角为180°，通常钝角指(90°,180°)），所以.D的范围没有排除0，错误. 综上，错误的说法是A、B、D. 【易错警示】 常见错误①：A选项漏解.共线条件列方程时，两边约去之前必须先讨论的情况. 常见错误②：D选项求钝角范围时，忘记排除共线（反向）情况.钝角条件为数量积<0且不共线反向. 常见错误③：C选项计算投影向量时，分子分母不要颠倒，公式是. 【规律总结】 涉及参数的投影向量问题，通常需要解方程或不等式.核心公式：投影向量=.当已知投影向量等于某个向量时，转化为数量积与模长的方程.锐角/钝角条件务必附加“不共线”的限制. 三、填空题 9. 【答案速览】 【详细解答】 投影向量的公式为，其中是方向上的单位向量. 已知，夹角为，. 投影数量为. 投影向量为. 【易错警示】 常见错误①：夹角余弦值记错.，余弦值为，不是. 常见错误②：求投影向量时，方向弄反.数量为负，投影向量应与反向，即. 常见错误③：题干已给出单位向量，答案直接用表示即可，不需要再求. 【规律总结】 已知单位向量时，投影向量 = (投影数量) × 单位向量.投影数量为，符号决定投影向量的方向：正同向，负反向. 10. 【答案速览】 −2 【详细解答】 投影数量（数量投影）的公式为. 已知，，直接代入： 投影数量 = . 【易错警示】 常见错误①：题干问“数量投影”，有学生仍按“投影向量”作答，写成了或等形式.注意区分“数量投影”是标量，“投影向量”是向量. 常见错误②：直接用数量积−4作为答案，忘记除以. 常见错误③：符号处理不当，认为投影都是正数，写了2. 【规律总结】 投影数量（又称数量投影）的公式即.若已知数量积和模长，直接代入，一步到位.结果是标量，可正可负. 11. 【答案速览】 【详细解答】 为相互垂直的单位向量，故，. 先求. 投影向量公式为. 计算. 计算. 投影向量为. 【易错警示】 常见错误①：展开数量积时符号出错.，中间两项合并为，由于，最终为.注意系数. 常见错误②：计算时，，不是.中间项系数是. 常见错误③：投影向量公式分母是，不要只除以. 【规律总结】 在正交单位基底下，向量的数量积和模长计算非常简洁：，.求投影向量时，直接展开计算即可.公式始终适用. 四、解答题 12. （13分） 【答案速览】 （1）   （2） 【详细解答】 （1） 由. 利用倍角公式，及，化简： 原式= . 所以. （2）由，，得. 在中，由正弦定理：，即，得. 由于，，故为锐角，. 由余弦定理：， ， ，，解得（负值舍去）. 向量在方向上的投影向量为. 【易错警示】 第(1)问：三角化简是难点.关键在于识别. 第(2)问：常见错误①：正弦定理求时，没有判断是锐角还是钝角.由大边对大角，，故，必为锐角，舍去的可能.常见错误②：余弦定理求时，代入，符号容易出错..常见错误③：投影向量公式.题干已给出，故投影向量直接为. 【规律总结】 综合大题中，投影向量往往与解三角形结合.解题路径：先用三角恒等变换或正余弦定理求出边长和角度，再代入投影向量公式.投影向量公式在已知单位向量时最简洁：投影向量 = 模长 × 夹角余弦 × 单位向量. $ 《平面向量的数量积》题型三：投影与投影向量 卷首导学 本卷定位 投影是数量积的几何意义，也是高一月考、期中的高频概念题，常以选择题和多选题形式出现，占比约5–10分.虽然分值不高，但概念混淆率极高，是“基础题丢分”的重灾区.拿下本卷，投影问题从此不再模棱两可. 核心易错点 1. 分不清“投影数量”和“投影向量”——投影数量是一个标量（可正可负），投影向量是一个矢量（有大小有方向）.考试中把数量写成向量，或把向量写成数量，都是零分. 2. 求投影数量时忘记除以模长——公式是，不是.直接用数量积当投影数量，是最低级的错误. 3. 投影正负号判断错误——夹角为锐角时投影为正，钝角时为负.不判断符号直接代绝对值，选择题中容易被干扰项迷惑. 4. 求投影向量时未乘单位向量——投影向量 =(投影数量) (方向上的单位向量).只求出投影数量就停笔，等于只做了一半. 训练目标 1. 能瞬间区分“投影数量”与“投影向量”的概念和计算公式. 2. 能熟练求解一个向量在另一个向量方向上的投影数量和投影向量. 3. 能利用投影的几何意义解决简单的数量积问题. 建议用时：40–50分钟. 使用说明：本卷设置多道“概念辨析对比题”，请逐字读题，注意题干问的是“投影”还是“投影向量”.建议做完后对照解析中的对比表格自查. 试卷正文 一、单选题（每题5分，共30分） 1. 已知向量，则向量在方向上的投影为（ 　　） A.    B. 3   C.    D. −3 【答案速览】 D 【详细解答】 投影数量的公式为. 先求数量积：. 再求模长：. 投影数量为. 【易错警示】 常见错误①：分不清“投影”与“投影向量”.题干问的是“投影”，指投影数量，答案是标量−3.若问“投影向量”，则需乘以单位向量. 常见错误②：求投影数量时忘记除以，直接用数量积−6作为答案. 常见错误③：的平方是3，计算模长时不要写成中的3写错. 【规律总结】 求投影数量，首选公式.这个公式不需要先求夹角，一步到位.口诀：数量积除以模，投影数值就得出. 2. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ 　　） A.    B. C.    D. 【答案速览】 D 【详细解答】 投影向量的公式为. 已知，，则，. 投影向量为. 【易错警示】 常见错误①：只求出投影数量，忘记乘以单位向量，导致误选A或B（A和B的模是的倍数但不是向量形式）. 常见错误②：单位向量方向弄反.在上的投影向量一定与共线，方向由的符号决定.此处，投影向量与同向，坐标符号应与一致. 常见错误③：计算时负号处理错，，不是. 【规律总结】 求投影向量的标准两步：①求投影数量；②乘以方向上的单位向量，得.建议直接记住公式，省去求单位向量的步骤. 3. 设非零向量满足，，则向量在方向上的投影向量为（ 　　） A.    B.    C.    D. 【答案速览】 A 【详细解答】 投影向量公式为.先需求出夹角余弦. 由，设，则. 由，平方得： ， 即，得，. 设夹角为，则. 投影数量为. 投影向量为. 【易错警示】 常见错误①：先入为主认为投影向量是之类的正数，忽略了数量积为负时投影向量与反向. 常见错误②：平方展开时，，中间系数是2，不要写成1. 常见错误③：设后，最终结果应消去，不要保留参数. 【规律总结】 当题目给出模长关系求投影时，通常先利用模长平方建立数量积方程，求出与模长的关系，进而得到夹角余弦，最后代投影公式.核心思路：见模就平方，遇数量积想定义. 4. 已知，向量在向量上的投影向量为，则等于（ 　　） A. 3   B.    C.    D. 【答案速览】 D 【详细解答】 设向量的夹角为. 在上的投影向量为. 已知该投影向量为，即，所以. 数量积. 【易错警示】 常见错误①：把投影向量公式与投影数量公式混淆.投影向量是，投影数量是.此处已知投影向量，反推数量积，应正确理解两者关系. 常见错误②：由直接认为，忘了的模长.投影向量表达式中的系数已经是乘了之后的结果. 常见错误③：最后一步计算时算错. 【规律总结】 投影向量、投影数量与数量积的关系链： 投影数量；投影向量. 已知投影向量反求数量积，可设投影向量为，则，得. 5. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ 　　） A.    B.    C.    D. 【答案速览】 B 【详细解答】 由知，为中点，即为外接圆直径，故，为直角三角形. 又，且为中点，故，为等边三角形，，. 向量在上的投影向量公式为. 在Rt中，. 与的夹角为，故. 所以投影向量为. 【易错警示】 常见错误①：没有判断出.由可得，即是平行四边形对角线的一半，说明为中点，为直径，.这一推理是关键. 常见错误②：夹角判断错误.与的夹角是，不是.将两向量平移至共起点即可确认. 常见错误③：投影向量公式用错，除以而不是，导致多了一个模长. 【规律总结】 几何背景下求投影向量，先判断图形形状（直角三角形、等边三角形等），确定各边长比例和角度，再代入公式.公式直接给出投影向量，无需单独求单位向量. 【一题多解】 也可用几何法：在上的投影长度为，在上的投影向量即为.几何法更直观，但需要较强的图形分析能力. 6. 已知向量与单位向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ 　　） A.    B.    C.    D. 【答案速览】 D 【详细解答】 在方向上的投影向量公式为. 已知，，. 投影数量为. 投影向量为. 【易错警示】 常见错误①：分不清是谁在谁上的投影.题干是“在上”，公式中的模长应该是乘以，再乘以方向上的单位向量.写成就完全反了. 常见错误②：求投影向量时忘记除以.投影数量是，投影向量需再乘，得.直接选C（）是典型错误. 常见错误③：单位向量的方向.在上的投影向量应与共线，故答案中应含，不是. 【规律总结】 求在上的投影向量，公式为.注意：分母是，分子是数量积.口诀：谁在上谁在分子，谁被投影谁在分母. 二、多选题（每题6分，共12分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 7. 已知向量，则下列结论正确的是（ 　　） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案速览】 AB 【详细解答】 对于A：，正确. 对于B：与同向的单位向量为，正确. 对于C：在上的投影向量公式为，.投影向量为，C错误. 对于D：与的夹角为锐角，需满足且不共线.，，得.不共线条件：，解得.所以，D错误. 综上，正确的是AB. 【易错警示】 常见错误①：C选项把投影向量公式记错，导致坐标错误. 常见错误②：D选项求锐角条件时，只考虑数量积>0，忘记排除共线情况.向量夹角为锐角的充要条件是数量积>0且两向量不共线. 常见错误③：B选项的单位向量有两个（同向和反向），题干明确“同向”，所以只有一个. 【规律总结】 多选题中考查投影向量，通常同时涉及模长、单位向量、夹角条件等多个知识点.解题策略：逐项验证，小心陷阱.尤其注意“锐角”必须排除共线，“钝角”也必须排除共线反向. 8. 已知平面向量，则下列说法错误的是（ 　　） A. 当时， B. 若在方向上的投影向量为，则 C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 若和的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案速览】 ABD 【详细解答】 对于A：的条件是，即，，解得或.A漏掉了的情况，错误. 对于B：在上的投影向量为，即，得.代入坐标化简得，解得或.B说，错误. 对于C：当时，，在上的投影向量为，，投影向量为.C正确. 对于D：和的夹角为钝角，需且不反向共线.，得.排除反向共线（时夹角为180°，通常钝角指(90°,180°)），所以.D的范围没有排除0，错误. 综上，错误的说法是A、B、D. 【易错警示】 常见错误①：A选项漏解.共线条件列方程时，两边约去之前必须先讨论的情况. 常见错误②：D选项求钝角范围时，忘记排除共线（反向）情况.钝角条件为数量积<0且不共线反向. 常见错误③：C选项计算投影向量时，分子分母不要颠倒，公式是. 【规律总结】 涉及参数的投影向量问题，通常需要解方程或不等式.核心公式：投影向量=.当已知投影向量等于某个向量时，转化为数量积与模长的方程.锐角/钝角条件务必附加“不共线”的限制. 三、填空题（每题5分，共15分） 9. 已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为______. 【答案速览】 【详细解答】 投影向量的公式为，其中是方向上的单位向量. 已知，夹角为，. 投影数量为. 投影向量为. 【易错警示】 常见错误①：夹角余弦值记错.，余弦值为，不是. 常见错误②：求投影向量时，方向弄反.数量为负，投影向量应与反向，即. 常见错误③：题干已给出单位向量，答案直接用表示即可，不需要再求. 【规律总结】 已知单位向量时，投影向量 = (投影数量) × 单位向量.投影数量为，符号决定投影向量的方向：正同向，负反向. 10. 已知，则向量在向量方向上的数量投影为______. 【答案速览】 −2 【详细解答】 投影数量（数量投影）的公式为. 已知，，直接代入： 投影数量 = . 【易错警示】 常见错误①：题干问“数量投影”，有学生仍按“投影向量”作答，写成了或等形式.注意区分“数量投影”是标量，“投影向量”是向量. 常见错误②：直接用数量积−4作为答案，忘记除以. 常见错误③：符号处理不当，认为投影都是正数，写了2. 【规律总结】 投影数量（又称数量投影）的公式即.若已知数量积和模长，直接代入，一步到位.结果是标量，可正可负. 11. 已知是相互垂直的单位向量.若向量，，则向量在向量上的投影向量为______. 【答案速览】 【详细解答】 为相互垂直的单位向量，故，. 先求. 投影向量公式为. 计算. 计算. 投影向量为. 【易错警示】 常见错误①：展开数量积时符号出错.，中间两项合并为，由于，最终为.注意系数. 常见错误②：计算时，，不是.中间项系数是. 常见错误③：投影向量公式分母是，不要只除以. 【规律总结】 在正交单位基底下，向量的数量积和模长计算非常简洁：，.求投影向量时，直接展开计算即可.公式始终适用. 四、解答题（共13分） 12. （13分）在中，角的对边分别，且. （1）求的值； （2）若，，记，求向量在方向上的投影向量.（用表示） 【答案速览】 （1）   （2） 【详细解答】 （1） 由. 利用倍角公式，及，化简： 原式= . 所以. （2）由，，得. 在中，由正弦定理：，即，得. 由于，，故为锐角，. 由余弦定理：， ， ，，解得（负值舍去）. 向量在方向上的投影向量为. 【易错警示】 第(1)问：三角化简是难点.关键在于识别. 第(2)问：常见错误①：正弦定理求时，没有判断是锐角还是钝角.由大边对大角，，故，必为锐角，舍去的可能.常见错误②：余弦定理求时，代入，符号容易出错..常见错误③：投影向量公式.题干已给出，故投影向量直接为. 【规律总结】 综合大题中，投影向量往往与解三角形结合.解题路径：先用三角恒等变换或正余弦定理求出边长和角度，再代入投影向量公式.投影向量公式在已知单位向量时最简洁：投影向量 = 模长 × 夹角余弦 × 单位向量. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $