专题01 平面向量线性运算、数量积、模长、夹角、平行垂直、投影向量运算（含坐标运算）（专项训练6大重点题型）高一数学人教A版必修第二册

专题01 平面向量线性运算、数量积、模长、夹角、平行垂直、投影向量运算（含坐标运算） 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、平面向量线性运算 1 题型二、数量积运算（重点） 2 题型三、模长运算 3 题型四、夹角运算 4 题型五、投影向量运算（难点） 6 题型六、含平行、垂直关系运算（常考点） 7 B综合攻坚・能力跃升 7 题型一、平面向量线性运算 1．（24-25高一下·福建·期末）（    ） A． B．0 C． D． 2．（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·四川成都·期中）已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 5．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知,则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．正方形或菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形 8．（24-25高一下·江苏扬州·月考）在平行四边形中，E为的中点，与对角线相交于点F，记，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·广东·期中）（多选题）2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案.在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，，，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型二、数量积运算（重点） 1．（24-25高一下·天津·月考）若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（   ） A． B． C． D．2 2．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 3．（24-25高一下·北京西城·期末）已知向量，满足，，则（   ） A． B． C．0 D．1 4．（24-25高一下·广东湛江·月考）在边长为3正方形ABCD中，E为线段上靠近B的三等分点，计算（   ） A．4 B．7 C．8 D．9 5．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）在中，，，，点D满足，则（    ） A．6 B．8 C． D．12 6．（24-25高一下·河北·期末）已知圆为的外接圆，且，，，则（   ） A．1 B．2 C． D．4 7．（24-25高一下·广东河源·期末）如图，在梯形中，，， ，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知平行四边形中，，，，，分别是，的中点，N是上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 题型三、模长运算 1．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知，，，则（   ） A．4 B．2 C．12 D．13 2．（23-24高一下·北京·期末）已知向量，满足，，且， 则= （    ） A． B． C． D． 3．已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（    ） A．2 B． C．2或 D．3或 4．已知向量满足，，则（    ） A． B．1 C． D．2 5．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知向量，，且满足，则（   ） A．1 B． C． D． 6．已知向量，满足，则（   ） A．0 B．2 C． D． 7．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知平面向量，，且，则（    ） A． B． C． D．0 8．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知向量满足与互为相反向量，，则（    ） A． B．3 C． D．7 9．（24-25高一下·重庆·期中）若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（ ） A．5 B．8 C．7或8 D．5或8 10．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知，，，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 题型四、夹角运算 1．（24-25高一下·天津南开·期末）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知和是夹角为的单位向量，，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C．0 D． 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·云南保山·期末）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·全国·课后作业）设点，，，为坐标原点，若四边形是平行四边形，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·重庆·月考）已知向量与，若，，且向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D．或 9．已知向量满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·天津和平·期末）已知向量 若 与 的夹角为锐角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·重庆·期中）如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型五、投影向量运算（难点） 1．（24-25高一下·甘肃·期末）已知向量，则在上的投影长为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（24-25高一下·贵州·月考）已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量在上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 6．在中，点是的中点，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏徐州·期末）在梯形中，，，，，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 题型六、含平行、垂直关系运算（常考点） 1．已知向量，，，若与共线，则实数的值为 ． 2．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知向量，满足，，且，则 . 3．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·月考）已知平面向量，的夹角为60°，且，．若，则 ． 4．已知向量，，，若、、三点共线，则 . 5．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知向量满足，，且，则 . 6．已知向量，若，且，则 . 7．（23-24高一下·重庆·期中）已知，，且，则向量与向量夹角的大小是 ，向量在向量上的投影向量是 ． 1．与向量同向的单位向量为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 3．（24-25高一下·江苏南通·月考）在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D．6 4．（24-25高一下·湖北荆州·期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·四川泸州·月考）如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高一下·陕西渭南·期中）若向量满足，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 7．（24-25高一下·河北保定·期末）在中，若，则（    ） A． B． C． D．0 8．（24-25高一下·四川自贡·期末）若，是夹角为的单位向量，则与夹角是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·广西南宁·期中）已知向量，，满足：，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·广东中山·月考）已知向量，若，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·山东潍坊·期末）团扇作为中国传统非物质文化遗产，蕴含着丰富的文化内涵和数学原理．图1是某团扇模型图，其扇面的平面图形可视为图2中的正八边形，其中，则（   ） A． B． C． D． 12．已知向量、满足，，则（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知向量，，“”是“与的夹角为钝角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知向量满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·湖北孝感·期中）在中，设，则（   ） A．3 B． C． D． 16．已知平面向量，满足：，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）若，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知向量，，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·湖南娄底·期中）已知单位向量、、满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·甘肃天水·月考）（多选题）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若非零向量，满足，则 21．（多选题）已知向量，，，则（    ） A．， B．，使得 C．，使得 D．，使得 22．（24-25高一下·广东揭阳·期末）（多选题）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）（多选题）已知向量，，均为单位向量，，则（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一下·福建福州·期末）（多选题）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 25．（24-25高一下·河南濮阳·期末）（多选题）如图，在中，D为边上的一个三等分点（靠近点B）， ，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．是在上的投影向量 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量线性运算、数量积、模长、夹角、平行垂直、投影向量运算（含坐标运算） 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、平面向量线性运算 1 题型二、数量积运算（重点） 5 题型三、模长运算 8 题型四、夹角运算 12 题型五、投影向量运算（难点） 17 题型六、含平行、垂直关系运算（常考点） 20 B综合攻坚・能力跃升 22 题型一、平面向量线性运算 1．（24-25高一下·福建·期末）（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加减法法则求解即得. 【详解】. 故选：D 2．（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知点，，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解. 【详解】设，则，. 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：B. 3．（23-24高一下·四川成都·期中）已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，表示出，，依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】设，则，， 在平行四边形中， 所以，则，解得， 所以. 故选：B 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】由得到且，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形. 【详解】因为，所以，即且， 所以四边形的一组对边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 故选：D． 5．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 6．在平面直角坐标系中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，，.设，通过向量的坐标运算解得和的值即可判断选项A，B；同理可判断选项C，D. 【详解】由题可得，，. 设，∴，解得，∴，故选项A正确，选项B错误； 设，∴，解得，∴，故选项C错误，选项D错误. 故选：A. 7．已知,则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．正方形或菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】D 【分析】先利用题给条件求得且，再由即可判定四边形的形状为等腰梯形. 【详解】因为，所以且， 则，且，则四边形的形状为梯形； 又，所以， 则四边形为等腰梯形. 故选：D. 8．（24-25高一下·江苏扬州·月考）在平行四边形中，E为的中点，与对角线相交于点F，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，根据向量的线性运算即可得到答案. 【详解】由题意得，，所以，所以， 所以， 所以. 故选：D． 9．（24-25高一下·广东·期中）（多选题）2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案.在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，，，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算法则，逐项计算判断即可得解. 【详解】对于A，因为四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定成立，故A错误； 对于B，，，所以，故B正确； 对于C，，，所以，故C正确； 对于D，连接BD，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以， 又，，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 题型二、数量积运算（重点） 1．（24-25高一下·天津·月考）若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】借助数量积公式计算即可得. 【详解】. 故选：A. 2．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】由向量线性运算及数量积的坐标表示可解. 【详解】， . 故选：A. 3．（24-25高一下·北京西城·期末）已知向量，满足，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】由题可求向量，，再利用向量数量积的坐标公式求解. 【详解】因为，，所以， ，所以. 故选：D. 4．（24-25高一下·广东湛江·月考）在边长为3正方形ABCD中，E为线段上靠近B的三等分点，计算（   ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】以为原点建立直角坐标系，写出相关坐标，得到，代入计算即可. 【详解】以为原点建立如图所示直角坐标系，是上靠近点的三等分点，且边长为3， 所以，所以， 所以. 故选：A. 5．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）在中，，，，点D满足，则（    ） A．6 B．8 C． D．12 【答案】D 【分析】由题意可得，结合向量的运算律及数量积定义求解即可. 【详解】解：由题意可得，      所以. 故选：D. 6．（24-25高一下·河北·期末）已知圆为的外接圆，且，，，则（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】由题可知为直角三角形，然后结合直角三角形和数量积的定义即可得到. 【详解】，为中点，则，， 又，所以，，， 所以. 故选：D. 7．（24-25高一下·广东河源·期末）如图，在梯形中，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用坐标法建系，写出坐标，再用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】 如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，， ，， 设，，，解得， ，，. 故选：D. 8．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知平行四边形中，，，，，分别是，的中点，N是上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性表示及向量的数量积运算律计算求解. 【详解】平行四边形中，，，， ，分别是，的中点，N是上一点，且， 则 . 故选：D. 题型三、模长运算 1．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知，，，则（   ） A．4 B．2 C．12 D．13 【答案】B 【分析】对 两边平方可得答案. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B. 2．（23-24高一下·北京·期末）已知向量，满足，，且， 则= （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用向量的坐标运算，及模的坐标表示列出方程组求解即得. 【详解】设，而，则，又且， 因此，解得， 所以. 故选：B 3．已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（    ） A．2 B． C．2或 D．3或 【答案】D 【分析】根据条件将两边平方，然后利用数量积的运算律计算即可. 【详解】，即， 解得或. 故选：D. 4．已知向量满足，，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据已知条件，先求出，再将平方，并开方，即可求解． 【详解】因为， 则，即，解得，， 则， ． 故选：B． 5．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知向量，，且满足，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据模长的坐标公式以及数量积的运算律，可得答案. 【详解】由，在， 由，则，即， 所以. 故选：D. 6．已知向量，满足，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】把两边同时平方，结合向量的模长可得结果. 【详解】由得，， ∵，∴，即. 故选：B. 7．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知平面向量，，且，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】因为，所以两边平方即可得到关于的一元二次方程，解出即可. 【详解】，，， ，两边平方得：， 化简得到，，则. 故选：B. 8．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知向量满足与互为相反向量，，则（    ） A． B．3 C． D．7 【答案】C 【分析】根据与互为相反向量得出与、的关系，再对的模进行平方，结合已知条件求出，最后开方得到. 【详解】因为与互为相反向量，则它们的和为零向量，可得. 移项可得. 两边平方可得： 可得： 已知，则； 已知，则. 则 因为，且向量的模是非负的，所以. 故选：C. 9．（24-25高一下·重庆·期中）若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（ ） A．5 B．8 C．7或8 D．5或8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量运算律计算即得. 【详解】由向量，，两两的夹角相等， 得或， 当时，， 当时， . 故选：D 10．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知，，，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的运算律以及模长计算公式，计算可得解. 【详解】由题意，，，， 所以，即，可得，则， 所以. 故选：C. 题型四、夹角运算 1．（24-25高一下·天津南开·期末）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量夹角求解即得. 【详解】由，得， ， 则， 因，故. 故选：B 2．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知和是夹角为的单位向量，，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】利用两个向量的夹角公式即可求得结果. 【详解】， 所以，与的夹角的余弦值为0. 故选：C 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】由，，， 则，整理可得，解得，经检验，符合题意. 故选：A. 4．已知向量，，，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的模长公式求出，结合求出，再利用向量数量积的定义求解夹角余弦值，最后结合夹角范围求出夹角即可. 【详解】因为，所以由向量的模长公式得， 因为，所以，即， 得到，解得，设向量与的夹角为， 而，故， 因为，所以，故C正确. 故选：C 5．（24-25高一下·云南保山·期末）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两边平方展开后化简得到关于的方程，解方程即可. 【详解】由两边平方得，，所以． ， 故选：C． 6．（24-25高一下·全国·课后作业）设点，，，为坐标原点，若四边形是平行四边形，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先求参数，再利用夹角公式即可求解. 【详解】因为四边形 是平行四边形,所以, 即 所以. 设 与 的夹角为 因为, 所以, 又 所以, 即 与 的夹角为 . 故选：B. 7．向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出、、的值，再根据向量夹角余弦值公式计算即可. 【详解】解析：因为，所以， 所以，即， 即，所以 又，， 所以， ， ， 所以. 故选：D. 8．（24-25高一下·重庆·月考）已知向量与，若，，且向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】设，先计算数量积，利用数量积的坐标运算得，又，即可求解. 【详解】设，，所以， 所以，即，又，即， 所以，解得或，所以或， 故选：D. 9．已知向量满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可求出、，最后由夹角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以， ， 所以， 又，所以， 即与的夹角为. 故选：B 10．（24-25高一下·天津和平·期末）已知向量 若 与 的夹角为锐角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角余弦公式和向量数量积的坐标公式可求出参数的范围. 【详解】因为，所以. 由于向量与的夹角为锐角，所以，并去掉两者同向共线的情况， 则，且，解得， 则的取值范围为. 故选：C. 11．（24-25高一下·重庆·期中）如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，再利用与共线，与共线，求出点的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式进行求解即可. 【详解】 以为坐标原点，，所在方向分别为轴和轴建立平面直角坐标系， 则，，，，，设， ，，，， 与共线，设，，即， 与共线，设，，即， ，解得，， ， ，， ，， ， . 故选：A. 题型五、投影向量运算（难点） 1．（24-25高一下·甘肃·期末）已知向量，则在上的投影长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】求出在在上的投影向量的坐标，进而求得投影向量的模即可． 【详解】因为， 所以，， 所以在上的投影向量为，所以， 所以在上的投影长为. 故选：C. 2．（24-25高一下·贵州·月考）已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，，进而得到，再求夹角即可． 【详解】在上的投影向量的模等于， 又，所以， 因为， 所以或． 故选：D． 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积的定义求得，再根据投影向量的概念计算即可. 【详解】依题意，， 则， 于是，向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 4．已知向量在上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义及向量夹角公式计算得解. 【详解】依题意，向量在上的投影向量为，则， 由，得，于是，又， 所以. 故选：A 5．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量的定义，结合向量的运算求解即可. 【详解】由于向量，满足，，， 所以，解得， 则在方向上的投影向量为. 故选：B 6．在中，点是的中点，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断三角形为直角三角形，根据投影向量的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知在中，点是的中点，且， 故， 则在上的投影向量为 . 故选：C 7．（24-25高一下·江苏徐州·期末）在梯形中，，，，，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，利用投影向量可得，利用向量的数量积的定义及运算律可求解. 【详解】依题意，设，则， 因为在上的投影向量为，所以，又， 所以，所以，即， 因，，，则，解得，所以. 故选：C. 题型六、含平行、垂直关系运算（常考点） 1．已知向量，，，若与共线，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为与共线， 所以，解得． 故答案为： 2．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知向量，满足，，且，则 . 【答案】 【分析】根据向量垂直的数量积表示，求出向量的数量积即可. 【详解】由得，， 化简得，因为，， 所以，解得. 故答案为：. 3．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·月考）已知平面向量，的夹角为60°，且，．若，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的定义先求出的值，再由得到，将，，代入上式计算即可求出. 【详解】因为平面向量，的夹角为60°，且，， 所以. 因为， 所以， 所以，解得. 故答案为： 4．已知向量，，，若、、三点共线，则 . 【答案】 【分析】计算出、的坐标，由题意可知，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值. 【详解】已知向量，，， 则， ， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故答案为：. 5．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知向量满足，，且，则 . 【答案】 【分析】由可得，结合及题中条件即可求解. 【详解】∵，∴. ∵，， ∴， ∴，∴. 故答案为：. 6．已知向量，若，且，则 . 【答案】 【分析】设，由向量的坐标表示向量共线和垂直，解出，再计算模长可得. 【详解】设，则， 由，可得，解得， 则，所以. 故答案为：. 7．（23-24高一下·重庆·期中）已知，，且，则向量与向量夹角的大小是 ，向量在向量上的投影向量是 ． 【答案】 【分析】由向量垂直表示及数量积的运算律求得，再由投影向量的定义求投影向量. 【详解】设向量、的夹角为，于是， 由，，且， 所以， 解得，又，则， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为：， 1．与向量同向的单位向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单位向量的定义结合共线向量计算求解. 【详解】因为，所以与向量同向的单位向量为. 故选：B 2．（25-26高一上·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】求出的坐标，再根据平行关系求出即可. 【详解】由，，得， 因为，，所以，解得． 故选：C． 3．（24-25高一下·江苏南通·月考）在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，求出，利用数量积的坐标公式即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，    因为在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则， 所以， 所以. 故选：A. 4．（24-25高一下·湖北荆州·期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可根据向量垂直的性质得到向量，的数量积以及模长的关系，再利用向量夹角公式求解夹角. 【详解】因为，所以①， 因为，所以②， 联立①②可得，又向量，为非零向量，所以， 设向量，的夹角为，， 则，所以. 故选：B 5．（23-24高一下·四川泸州·月考）如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可. 【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误， 对于B，因为，故B错误， 对于C，因为E是的中点，所以，故C错误 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D 6．（24-25高一下·陕西渭南·期中）若向量满足，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示和数量积的运算律列式求解. 【详解】由，得， 因此，所以. 故选：B 7．（24-25高一下·河北保定·期末）在中，若，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律，可得，再根据向量的加法运算数量积运算计算即可. 【详解】因为，所以， 即，故， 所以. 故选：C 8．（24-25高一下·四川自贡·期末）若，是夹角为的单位向量，则与夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的夹角公式可解. 【详解】， ， ， ， 所以， 因为， 则与夹角为. 故选：C. 9．（24-25高一下·广西南宁·期中）已知向量，，满足：，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方可得，然后结合向量夹角余弦公式可得答案. 【详解】由两边平方可得， 又，，所以， 所以. 因为，所以. 故选：A 10．（23-24高一下·广东中山·月考）已知向量，若，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，，，求得，，再根据投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得，所以， 又，，所以，解得，所以， 所以，， 故向量在方向上的投影向量为. 故选：A． 11．（24-25高一下·山东潍坊·期末）团扇作为中国传统非物质文化遗产，蕴含着丰富的文化内涵和数学原理．图1是某团扇模型图，其扇面的平面图形可视为图2中的正八边形，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正多边形的性质得正八边形的内角为，再利用数量积的定义，即可求解. 【详解】因为正八边形的内角为， 又，， 所以， 故选：A. 12．已知向量、满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量数量积的运算性质和坐标运算可得出的值. 【详解】因为向量、满足，， 则. 故选：A. 13．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知向量，，“”是“与的夹角为钝角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用向量夹角公式及向量共线的坐标表示列式求解参数，再结合充分，必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由向量与的夹角为钝角，得，且不共线， 则，解得且， 所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 14．已知向量满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可求出、，最后由夹角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以， ， 所以， 又，所以， 即与的夹角为. 故选：B 15．（24-25高一下·湖北孝感·期中）在中，设，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，将用完全平方公式展开计算即得. 【详解】因为，即， 所以， 又， 可得． 故选：C 16．已知平面向量，满足：，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出的坐标，再根据投影向量的公式计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，两式相减可得， 所以， 所以在方向上的投影向量为， 故选：A. 17．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）若，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据模长公式可得,即可根据夹角公式求解. 【详解】由可得，故， 因此， 由于，所以， 故选：D 18．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知向量，，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量公式计算得出，再根据夹角余弦公式计算求解. 【详解】因为向量，，且向量在向量上的投影向量为， 则，所以， 所以. 故选：C. 19．（24-25高一下·湖南娄底·期中）已知单位向量、、满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知等式变形得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，同理可得出、的值，再由结合平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为单位向量、、满足， 则，所以， 所以，，解得，同理可得， 因为 . 故选：D. 20．（24-25高一下·甘肃天水·月考）（多选题）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若非零向量，满足，则 【答案】BD 【分析】对A，若，则与不一定平行；对B，由向量相等的定义判断；对C，利用向量数量积的运算性质判断；对D，根据数量积的运算律及垂直的向量表示判断. 【详解】对于A，若，满足，，但与不一定平行，故A错误； 对于B，由向量相等的定义可知B正确； 对于C，若，即，但不一定成立，故C错误； 对于D，由，则，即， 整理得，又是非零向量，所以，故D正确. 故选：BD. 21．（多选题）已知向量，，，则（    ） A．， B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】ABD 【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A；根据向量平行的坐标表示判断B；利用向量夹角的坐标运算判断C；利用向量线性坐标运算及模的坐标运算求解判断D. 【详解】对于A，向量，，则，即，，可知A正确； 对于B，， ，若，可得，即，所以时，，因此B正确； 对于C， ，，则，得， 平方化简得，此时，显然矛盾，所以不存在，使得，因此C错误； 对于D，若向量，，，则，可得； 当时，，平方化简得，因为，所以方程有解， 即，使得，因此D正确. 故选：ABD 22．（24-25高一下·广东揭阳·期末）（多选题）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确； 对于，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于，，所以，故D正确． 故选:ABD． 23．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）（多选题）已知向量，，均为单位向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由，所以，再平方可得，再逐项验证即可. 【详解】因为，所以， 即， 所以，故A正确； 又，故B错误； 因为，所以，故C正确； 由，所以，故D正确. 故选：ACD. 24．（24-25高一下·福建福州·期末）（多选题）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 【答案】AB 【分析】利用向量模的知识即可求解A；利用投影即可求解B；利用数量积即可求解C；当时，与共线可求解D. 【详解】A：由，是夹角为的单位向量则，则对两边同时平方得，则，故A正确； B：在方向上的投影向量为，故B正确； C：由，，则，故C错误； D：当时，，此时夹角不为锐角，故D错误； 故选：AB. 25．（24-25高一下·河南濮阳·期末）（多选题）如图，在中，D为边上的一个三等分点（靠近点B）， ，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．是在上的投影向量 【答案】BCD 【分析】结合向量线性运算法则利用，，表示，判断A，结合数量积的运算律求，判断B，结合数量积的运算律和定义求，判断C，根据投影向量的定义求在上的投影向量，判断D， 【详解】对于A，由已知， 所以，A错误； 对于B，因为，所以， 所以，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确； 故选：BCD. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $