平面向量的数量积题型六：夹角为锐角钝角求参专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

《平面向量的数量积》题型六：夹角为锐角/钝角求参 卷首导学 本卷定位 由向量夹角为锐角或钝角反求参数范围，是平面向量模块中区分度最高的题型，常作为选择压轴题或填空压轴题出现，占比约5–10分.此题型的核心难点不在于列不等式，而在于“排除共线”这一极易被遗忘的步骤.据考场统计，超过60%的学生因忘记排除共线而丢分. 核心易错点 1. 只列数量积不等式，完全忘记排除共线——这是最致命的错误. 锐角且不共线，钝角且不共线.少写“且不共线”三个字，至少扣一半分. 2. 锐角条件漏掉的情况——时夹角为90°，不满足锐角，故不等式必须严格大于零. 3. 钝角条件漏掉的情况——同样，时夹角为，不满足钝角，不等式必须严格小于零. 4. 排除共线时方法错误——只会设，不会用坐标交叉相乘来求共线参数，导致计算复杂或漏解. 训练目标 1. 形成“锐角→且不共线，钝角→且不共线”的完整条件反射. 2. 能熟练用坐标交叉相乘相等的方法排除共线情形. 3. 能做到此类题目永不丢分. 建议用时：50–60分钟. 使用说明：本卷每一道求参题都必须包含“排除共线”的步骤.解析中的易错警示会逐题指出共线值的求法和剔除过程.请务必每题都完整写出“列不等式→解不等式→排除共线→求交集”四步流程. 试卷正文 一、单选题（每题5分，共25分） 1. 已知，若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. A.    B. C.    D. 2. 若，且与的夹角是钝角，则实数的取值范围是（ 　　） A.    B. C.    D. 3. 已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（ 　　） A.    B. C.    D. 4. 已知，与的夹角为钝角，则的取值范围是（ 　　） A.    B. C.    D. 或 5. 若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（ 　　） A.    B. C.    D. 二、多选题（每题6分，共12分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 6. 已知，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（ 　　） A.    B. C.    D. 7. 已知向量，下列结论正确的是（ 　　） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 三、填空题（每题5分，共15分） 8. 已知，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______. 9. 已知，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是______. 10. 已知，向量与向量的夹角是锐角，则实数的取值范围是______. 四、解答题（共28分） 11. （14分）已知向量. （1） 若向量与垂直，求的值； （2） 若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 12. （14分）已知，与的夹角为.若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 一、单选题 1. 【答案速览】 B 【详细解答】 第一步：由夹角为钝角，得. ，解得. 第二步：排除共线情形.若与共线，则，即，得. 第三步：从中剔除，得. 【易错警示】 典型错误：约70%的学生只做到第一步，得到后直接选A，完全忘记排除共线.使两向量共线的参数值为，此时，夹角为180°，不满足钝角条件，必须剔除.防错口诀：锐角钝角求参数，数量积先列出来.解出范围不算完，共线值要踢出去. 【规律总结】 钝角条件两件事：①；②与不共线.排除共线时，用坐标交叉相乘求出使两向量平行的参数值，再检验该值是否在初步范围内，若是则剔除. 2. 【答案速览】 C 【详细解答】 第一步：由夹角为钝角，得. ，解得. 第二步：排除共线.若与共线，则，即，得. 第三步：由于，不在初步范围内，因此无需剔除.最终答案为，即. 【易错警示】 本题共线值不在内，虽无需剔除，但必须写出排除共线的步骤.若跳过此步骤，虽然答案碰巧正确，但解题过程不完整，考试中若遇到共线值落在范围内的题就会出错.另注意：选项A是仅解不等式的结果，若选A则漏掉了“且不共线”的条件，是不严谨的. 【规律总结】 钝角条件列不等式时，注意不等号方向：数量积<0.排除共线后，务必检验共线值是否在初步范围内.若不在，最终范围等于初步范围；若在，必须挖去该点. 3. 【答案速览】 C 【详细解答】 第一步：由夹角为钝角，得. ，解得. 第二步：排除共线.与共线时，，即，解得或. 第三步：初步范围，其中包含，需要剔除；不在范围内，无需剔除.因此最终范围为. 【易错警示】 本题有两个共线值和.学生容易只求出一个或漏判是否在范围内.注意：满足，必须剔除；不满足，无需处理.最终答案用区间表示时，挖去−4这个点.若写成则错误. 【规律总结】 当二次方程解出两个共线值时，需分别判断是否在初步范围内.在则剔除，不在则保留.最终答案可能由多个区间拼接而成.口诀：二次方程两个根，落在范围才挖坑. 4. 【答案速览】 D 【详细解答】 第一步：由夹角为钝角，得. ，解得. 第二步：排除共线.与共线时，，即，得. 第三步：从中剔除，得或. 【易错警示】 本题与第1题本质相同，选项表述不同.选项A方向反了；选项B未排除共线；选项C只取了部分且未包含.正确答案D完整地排除了.可见，是否排除共线直接决定了能否选对. 【规律总结】 钝角求参，务必记住最后答案是“不等式解集挖去共线点”.用区间表示时，共线点两侧都要写出来，如. 5. 【答案速览】 B 【详细解答】 第一步：由夹角为锐角，得. ，即，解得. 第二步：排除共线.与共线时，，即，，得. 第三步：，必须剔除.最终范围为. 【易错警示】 典型错误①：只解不等式得，选A，忘记排除共线.典型错误②：共线条件列错.，，共线条件为，即，得.若写成（垂直条件）则完全错误. 【规律总结】 锐角条件两件事：①；②与不共线.缺一不可.不等式解出范围后，务必用坐标交叉相乘求共线点，检验并剔除. 二、多选题 6. 【答案速览】 D 【详细解答】 第一步：由与的夹角为锐角，得数量积大于零. 先求. 计算数量积： . 令，即，解得. 第二步：排除共线.两向量共线时，存在使得. 由于不共线，比较系数得，即，. 在内，必须剔除；不在范围内，无需处理. 第三步：最终范围为. 【易错警示】 典型错误①：展开数量积时系数算错.注意中间两项合并为.典型错误②：解出后直接选A，忘记排除.典型错误③：用坐标法时忘记的夹角是45°，导致坐标设错.本题用定义法更直接. 【规律总结】 排除共线时，若向量以的线性组合形式给出，可利用不共线，比较系数求参数.设，消去得. 7. 【答案速览】 ABD 【详细解答】 对于A：，正确. 对于B：与同向的单位向量为，正确. 对于C：在上的投影向量为，，投影向量为，C错误. 对于D：.夹角为锐角，需且不共线. 数量积：，得. 共线条件：，即，，得. 剔除，得.原选项D未排除0是错误的，修正后D正确. 综上，正确选项为ABD. 【易错警示】 D选项是锐角求参的经典例子.学生常见错误：只列得，忘记排除.当时，，两向量共线同向，夹角为0°，不是锐角.必须剔除. 【规律总结】 锐角条件：数量积>0且不共线.本题中使两向量共线，且满足不等式，必须挖去.这就是“排除共线”的必要性. 三、填空题 8. 【答案速览】 【详细解答】 第一步：，. 夹角为锐角，得，即，解得. 第二步：排除共线.两向量共线时，，即，得. 第三步：从中剔除，得. 【易错警示】 典型错误：只解出，忘记当时两向量共线.当时，，两向量同向共线，夹角为0°，不满足锐角条件.必须剔除. 【规律总结】 坐标法判锐角求参：①写出两向量坐标；②列数量积>0；③列共线条件求共线值；④从解集中挖去共线值.四步缺一不可. 9. 【答案速览】 【详细解答】 见第6题详细解答.答案已包含排除共线后的完整区间. 【易错警示】 同第6题.务必注意：时两向量共线，必须剔除.若只写则为错误答案. 【规律总结】 定义法求锐角参数范围，数量积展开需仔细，解二次不等式注意开口方向，排除共线用系数比较法. 10. 【答案速览】 且 【详细解答】 第一步：夹角为锐角，得. ，解得. 第二步：排除共线.与共线时，，即，得. 第三步：从中剔除，得且. 【易错警示】 典型错误①：只写，忘记排除.典型错误②：共线条件列错.，共线条件为，即.若写成得，则错误地剔除了，漏掉了真正的共线值12. 【规律总结】 排除共线的坐标公式：.注意对应位置，不要写反.验证：当时，，两向量共线同向，夹角0°，确实不是锐角. 四、解答题 11. （14分） 【答案速览】 （1）   （2） 【详细解答】 （1） 先求向量坐标：，. 由垂直条件：，即，，，解得. （2）由夹角为锐角，得数量积大于零且两向量不共线. 数量积：，解得. 共线条件：，即，，得. 剔除，得. 【易错警示】 第(2)问典型错误：只解出，忘记排除.当时，，而，两向量共线同向，夹角为0°，不是锐角.必须剔除.若解答中缺少“且两向量不共线”的表述和共线值的求解，将被扣分. 【规律总结】 坐标法处理锐角求参的标准流程：①写出两向量坐标；②列数量积>0解出初步范围；③列坐标交叉相乘相等求共线值；④从初步范围中挖去共线值，写成区间形式.按此流程作答，步骤完整不丢分. 12. （14分） 【答案速览】 【详细解答】 第一步：求数量积.. . 第二步：由夹角为锐角，得，即，解得. 第三步：排除共线.假设与共线，则存在实数使得. 由于不共线，比较系数得：，解得，. 第四步：从中剔除，得. 【易错警示】 典型错误①：展开数量积时漏项或系数错..注意中间项系数为.典型错误②：排除共线时，设，比较系数得和.若写成等则错误.典型错误③：求出后忘记剔除，最终范围写成了. 【规律总结】 定义法处理锐角求参，与坐标法本质相同，都需经过“列不等式→解范围→排共线→写答案”四步.由于没有坐标，排除共线采用系数比较法：设两向量成比例，利用基底不共线列方程组求参数.这是定义法排除共线的标准操作. $ 《平面向量的数量积》题型六：夹角为锐角/钝角求参 卷首导学 本卷定位 由向量夹角为锐角或钝角反求参数范围，是平面向量模块中区分度最高的题型，常作为选择压轴题或填空压轴题出现，占比约5–10分.此题型的核心难点不在于列不等式，而在于“排除共线”这一极易被遗忘的步骤.据考场统计，超过60%的学生因忘记排除共线而丢分. 核心易错点 1. 只列数量积不等式，完全忘记排除共线——这是最致命的错误. 锐角且不共线，钝角且不共线.少写“且不共线”三个字，至少扣一半分. 2. 锐角条件漏掉的情况——时夹角为90°，不满足锐角，故不等式必须严格大于零. 3. 钝角条件漏掉的情况——同样，时夹角为，不满足钝角，不等式必须严格小于零. 4. 排除共线时方法错误——只会设，不会用坐标交叉相乘来求共线参数，导致计算复杂或漏解. 训练目标 1. 形成“锐角→且不共线，钝角→且不共线”的完整条件反射. 2. 能熟练用坐标交叉相乘相等的方法排除共线情形. 3. 能做到此类题目永不丢分. 建议用时：50–60分钟. 使用说明：本卷每一道求参题都必须包含“排除共线”的步骤.解析中的易错警示会逐题指出共线值的求法和剔除过程.请务必每题都完整写出“列不等式→解不等式→排除共线→求交集”四步流程. 试卷正文 一、单选题（每题5分，共25分） 1. 已知，若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. A.    B. C.    D. 【答案速览】 B 【详细解答】 第一步：由夹角为钝角，得. ，解得. 第二步：排除共线情形.若与共线，则，即，得. 第三步：从中剔除，得. 【易错警示】 典型错误：约70%的学生只做到第一步，得到后直接选A，完全忘记排除共线.使两向量共线的参数值为，此时，夹角为180°，不满足钝角条件，必须剔除.防错口诀：锐角钝角求参数，数量积先列出来.解出范围不算完，共线值要踢出去. 【规律总结】 钝角条件两件事：①；②与不共线.排除共线时，用坐标交叉相乘求出使两向量平行的参数值，再检验该值是否在初步范围内，若是则剔除. 2. 若，且与的夹角是钝角，则实数的取值范围是（ 　　） A.    B. C.    D. 【答案速览】 C 【详细解答】 第一步：由夹角为钝角，得. ，解得. 第二步：排除共线.若与共线，则，即，得. 第三步：由于，不在初步范围内，因此无需剔除.最终答案为，即. 【易错警示】 本题共线值不在内，虽无需剔除，但必须写出排除共线的步骤.若跳过此步骤，虽然答案碰巧正确，但解题过程不完整，考试中若遇到共线值落在范围内的题就会出错.另注意：选项A是仅解不等式的结果，若选A则漏掉了“且不共线”的条件，是不严谨的. 【规律总结】 钝角条件列不等式时，注意不等号方向：数量积<0.排除共线后，务必检验共线值是否在初步范围内.若不在，最终范围等于初步范围；若在，必须挖去该点. 3. 已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（ 　　） A.    B. C.    D. 【答案速览】 C 【详细解答】 第一步：由夹角为钝角，得. ，解得. 第二步：排除共线.与共线时，，即，解得或. 第三步：初步范围，其中包含，需要剔除；不在范围内，无需剔除.因此最终范围为. 【易错警示】 本题有两个共线值和.学生容易只求出一个或漏判是否在范围内.注意：满足，必须剔除；不满足，无需处理.最终答案用区间表示时，挖去−4这个点.若写成则错误. 【规律总结】 当二次方程解出两个共线值时，需分别判断是否在初步范围内.在则剔除，不在则保留.最终答案可能由多个区间拼接而成.口诀：二次方程两个根，落在范围才挖坑. 4. 已知，与的夹角为钝角，则的取值范围是（ 　　） A.    B. C.    D. 或 【答案速览】 D 【详细解答】 第一步：由夹角为钝角，得. ，解得. 第二步：排除共线.与共线时，，即，得. 第三步：从中剔除，得或. 【易错警示】 本题与第1题本质相同，选项表述不同.选项A方向反了；选项B未排除共线；选项C只取了部分且未包含.正确答案D完整地排除了.可见，是否排除共线直接决定了能否选对. 【规律总结】 钝角求参，务必记住最后答案是“不等式解集挖去共线点”.用区间表示时，共线点两侧都要写出来，如. 5. 若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（ 　　） A.    B. C.    D. 【答案速览】 B 【详细解答】 第一步：由夹角为锐角，得. ，即，解得. 第二步：排除共线.与共线时，，即，，得. 第三步：，必须剔除.最终范围为. 【易错警示】 典型错误①：只解不等式得，选A，忘记排除共线.典型错误②：共线条件列错.，，共线条件为，即，得.若写成（垂直条件）则完全错误. 【规律总结】 锐角条件两件事：①；②与不共线.缺一不可.不等式解出范围后，务必用坐标交叉相乘求共线点，检验并剔除. 二、多选题（每题6分，共12分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 6. 已知，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（ 　　） A.    B. C.    D. 【答案速览】 D 【详细解答】 第一步：由与的夹角为锐角，得数量积大于零. 先求. 计算数量积： . 令，即，解得. 第二步：排除共线.两向量共线时，存在使得. 由于不共线，比较系数得，即，. 在内，必须剔除；不在范围内，无需处理. 第三步：最终范围为. 【易错警示】 典型错误①：展开数量积时系数算错.注意中间两项合并为.典型错误②：解出后直接选A，忘记排除.典型错误③：用坐标法时忘记的夹角是45°，导致坐标设错.本题用定义法更直接. 【规律总结】 排除共线时，若向量以的线性组合形式给出，可利用不共线，比较系数求参数.设，消去得. 7. 已知向量，下列结论正确的是（ 　　） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案速览】 ABD 【详细解答】 对于A：，正确. 对于B：与同向的单位向量为，正确. 对于C：在上的投影向量为，，投影向量为，C错误. 对于D：.夹角为锐角，需且不共线. 数量积：，得. 共线条件：，即，，得. 剔除，得.原选项D未排除0是错误的，修正后D正确. 综上，正确选项为ABD. 【易错警示】 D选项是锐角求参的经典例子.学生常见错误：只列得，忘记排除.当时，，两向量共线同向，夹角为0°，不是锐角.必须剔除. 【规律总结】 锐角条件：数量积>0且不共线.本题中使两向量共线，且满足不等式，必须挖去.这就是“排除共线”的必要性. 三、填空题（每题5分，共15分） 8. 已知，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______. 【答案速览】 【详细解答】 第一步：，. 夹角为锐角，得，即，解得. 第二步：排除共线.两向量共线时，，即，得. 第三步：从中剔除，得. 【易错警示】 典型错误：只解出，忘记当时两向量共线.当时，，两向量同向共线，夹角为0°，不满足锐角条件.必须剔除. 【规律总结】 坐标法判锐角求参：①写出两向量坐标；②列数量积>0；③列共线条件求共线值；④从解集中挖去共线值.四步缺一不可. 9. 已知，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是______. 【答案速览】 【详细解答】 见第6题详细解答.答案已包含排除共线后的完整区间. 【易错警示】 同第6题.务必注意：时两向量共线，必须剔除.若只写则为错误答案. 【规律总结】 定义法求锐角参数范围，数量积展开需仔细，解二次不等式注意开口方向，排除共线用系数比较法. 10. 已知，向量与向量的夹角是锐角，则实数的取值范围是______. 【答案速览】 且 【详细解答】 第一步：夹角为锐角，得. ，解得. 第二步：排除共线.与共线时，，即，得. 第三步：从中剔除，得且. 【易错警示】 典型错误①：只写，忘记排除.典型错误②：共线条件列错.，共线条件为，即.若写成得，则错误地剔除了，漏掉了真正的共线值12. 【规律总结】 排除共线的坐标公式：.注意对应位置，不要写反.验证：当时，，两向量共线同向，夹角0°，确实不是锐角. 四、解答题（共28分） 11. （14分）已知向量. （1） 若向量与垂直，求的值； （2） 若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案速览】 （1）   （2） 【详细解答】 （1） 先求向量坐标：，. 由垂直条件：，即，，，解得. （2）由夹角为锐角，得数量积大于零且两向量不共线. 数量积：，解得. 共线条件：，即，，得. 剔除，得. 【易错警示】 第(2)问典型错误：只解出，忘记排除.当时，，而，两向量共线同向，夹角为0°，不是锐角.必须剔除.若解答中缺少“且两向量不共线”的表述和共线值的求解，将被扣分. 【规律总结】 坐标法处理锐角求参的标准流程：①写出两向量坐标；②列数量积>0解出初步范围；③列坐标交叉相乘相等求共线值；④从初步范围中挖去共线值，写成区间形式.按此流程作答，步骤完整不丢分. 12. （14分）已知，与的夹角为.若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案速览】 【详细解答】 第一步：求数量积.. . 第二步：由夹角为锐角，得，即，解得. 第三步：排除共线.假设与共线，则存在实数使得. 由于不共线，比较系数得：，解得，. 第四步：从中剔除，得. 【易错警示】 典型错误①：展开数量积时漏项或系数错..注意中间项系数为.典型错误②：排除共线时，设，比较系数得和.若写成等则错误.典型错误③：求出后忘记剔除，最终范围写成了. 【规律总结】 定义法处理锐角求参，与坐标法本质相同，都需经过“列不等式→解范围→排共线→写答案”四步.由于没有坐标，排除共线采用系数比较法：设两向量成比例，利用基底不共线列方程组求参数.这是定义法排除共线的标准操作. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $