平面向量的数量积题型七：最值与范围问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

《平面向量的数量积》题型七：最值与范围问题 卷首导学 本卷定位 数量积的最值与范围问题是平面向量模块的压轴题型，常出现在选择压轴、填空压轴和解答题最后一问，分值约10–15分.此类题目解法多样，对思维灵活性要求高，是拉开分差的关键.掌握多种解法，考场上方能游刃有余. 核心易错点 1. 用基本不等式求最值时忘记验证等号能否取到——求出最值后必须检验等号条件是否符合题意，否则可能误选. 2. 坐标法转化为二次函数后，忽略自变量的取值范围——动点坐标往往受限于线段或区域，遗漏定义域会导致最值错误. 3. 几何意义法找错最值对应的几何位置——数量积的几何意义是模长乘以投影，投影最值的位置需结合图形准确判断. 4. 极化恒等式使用不熟练——公式能将复杂数量积转化为线段长度问题，但构造和差向量时易出错. 训练目标 1. 掌握求数量积最值的四种主流方法：模长不等式法、坐标法、几何意义法、极化恒等式法. 2. 能根据题目特征快速选择最优解法. 3. 养成验证等号是否成立的习惯. 4. 能处理动态向量数量积的取值范围问题. 建议用时：60–70分钟. 使用说明：本卷题目难度整体偏高，建议每道题都认真阅读解析中的一题多解部分，对比不同解法的优劣，找到最适合自己的方法.解答题需写出完整的求解和验证过程. 试卷正文 一、单选题（每题5分，共20分） 1. 已知三个单位向量满足，则的最小值为（ 　　） A.    B.    C.    D. 2. 已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则的取值范围是（ 　　） A.    B.    C.    D. 3. 在中，满足，M是BC的中点，若O是线段AM上任意一点，且，则的最小值为（ 　　） A. 0   B.    C.    D. 2 4. 在中，，，.若P，Q分别为边AB，AC上的点，且满足，，则的最大值为（ 　　） A.    B.    C.    D. −6 二、多选题（每题6分，共12分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 5. 已知△ABC是边长为的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则的值可能是（ 　　） A.    B.    C.    D. 6. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其平面图为下图的扇形, 其中，，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ 　　） A. 若，则 B. C. D. 三、填空题（每题5分，共15分） 7. 边长为2的等边三角形ABC的重心为G，设平面内任意一点P，则的最小值为______. 8. 如图，作用于同一点O的三个力处于平衡状态，已知，与的夹角为，则的大小为______. 9. 等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是______. 四、解答题（共33分） 10. （15分）的内角的对边分别为，已知. （1） 若D为BC边上一点，，且，求； （2） 若，M为平面上一点，，其中，求的最小值. 11. （18分）如图，在△ABC中，，，，，，P为线段DE上的一动点. （1） 若，求的值； （2） 求的最小值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 一、单选题 1. 【答案速览】 B 【详细解答】 解法一（模长不等式法）： 已知，. 先求：，故. 由数量积的性质：，其中为与的夹角. 因为，所以. 故最小值为. 【易错警示】 典型错误①：直接用和相加得，但和不能同时取到−1（因为与不共线），这种放缩过于粗糙.正确做法是先将作为一个整体，求出其模长，再用数量积性质.典型错误②：求出后忘记乘以.典型错误③：等号验证：当时，与反向共线，这是可以取到的（例如取），因此最小值确实为. 【规律总结】 求两个单位向量组合与第三个向量的数量积最值，优先将前两个向量组合成一个向量，求其模长，再用求范围.口诀：先合后模，再乘夹角. 【一题多解】 解法二（坐标法）：设，由且，可设.设，则，最小值为.坐标法虽稍繁琐，但能自然得到取值范围.对比：模长不等式法更简洁，但需验证等号能否取到；坐标法程序固定，无需验证等号.本题两种方法均优，推荐模长不等式法. 2. 【答案速览】 A 【详细解答】 解法一（坐标法）： 取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系. 则，，，N为AB中点，故. 设，其中. 则，. . 配方：. 由，当时取最小值；当时取最大值. 故取值范围为. 【易错警示】 典型错误①：建系时原点选错.若以A为原点，AC为x轴，则各点坐标含分数，计算稍繁.以AC中点O为原点，A和C的坐标对称，更简洁.典型错误②：M的横坐标范围写错.AC边长为1，M在AC上，x的范围是，若以A为原点建系则为.典型错误③：二次函数配方后，未结合x的范围判断最值.开口向下的二次函数在区间内的最大值在顶点处取得，最小值在端点处取得. 【规律总结】 正三角形中的动点数量积问题，坐标法是通法.建系口诀：取中点作原点，对称轴为坐标轴.这样能使尽可能多的点坐标简洁，减少计算量. 【一题多解】 解法二（基底法）：以，为基底.则，其中（若M从A到C）.，.计算数量积代入，得关于t的二次函数.此法虽不需建系，但向量运算易出错.对比：坐标法更直观，推荐使用. 3. 【答案速览】 C 【详细解答】 解法一（坐标法）： 由，，知△ABC为等腰直角三角形. 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建系，则. M为BC中点，故. O在AM上，设，，则. . . 计算. 配方：.当时取得最小值. 【易错警示】 典型错误①：O点坐标设错.O在AM上，若设，则O的坐标为倍M的坐标.若设，则需用相似比表示坐标，更繁.典型错误②：的坐标计算错误.注意.典型错误③：配方后未验证t的范围.在内，可以取到，故最小值为. 【规律总结】 等腰直角三角形或矩形的动点问题，坐标法是首选.以直角顶点为原点建系，各点坐标直接写出，目标函数容易表示为参数的一次或二次函数，求最值用函数方法即可. 【一题多解】 解法二（极化恒等式）：.设，则（由勾股定理得）.与反向，故数量积为，最小值.极化恒等式法异常简洁！对比：坐标法步骤稍多但思路简单，极化恒等式法需要发现.两种方法都应掌握. 4. 【答案速览】 A 【详细解答】 由题意，，. 计算数量积：. 展开：. 已知，. 代入： . 这是关于的二次函数，开口向下，对称轴为. 当时，取得最大值. 注意题目问最大值，结果为，绝对值最小的负数. 【易错警示】 典型错误①：展开数量积时漏项或系数错.中间项合并为的系数需仔细.典型错误②：代入模长和数量积时数值写错..典型错误③：二次函数配方或对称轴公式用错.对称轴.注意二次项系数为负，开口向下，对称轴处取得最大值. 【规律总结】 参数化的动点问题，直接以基底表示所有相关向量，将目标数量积表示为参数的函数，转化为函数最值问题.这是处理比例动点的通法. 二、多选题 5. 【答案速览】 BCD 【详细解答】 建立如图平面直角坐标系：设等边三角形ABC边长为，以BC中点O为原点，BC为x轴，则. 设，则，，. . . 配方：. 由于，故. 选项中，A为，取不到；B、C、D均大于等于，可取到（当P取适当的点时）.故正确选项为BCD. 【易错警示】 典型错误①：配方后未分析最小值.本题问“可能是”，即找出所有可能取到的值.最小值为，任何大于等于该值的数都可能取到.A选项小于最小值，不可能取到.典型错误②：建系时A点坐标写错.等边三角形高为，A的纵坐标为. 【规律总结】 等边三角形背景下的数量积最值，坐标法是首选.将目标数量积配方化为平方和形式，直接读出最小值，再判断各选项是否在范围内. 6. 【答案速览】 BC 【详细解答】 本题为扇形背景综合题，正确选项为B和C. 【易错警示】 扇形中的向量最值问题，常需建立极坐标或直角坐标系，将向量坐标用角度表示，转化为三角函数求最值.注意角度范围的限制. 三、填空题 7. 【答案速览】 【详细解答】 解法一（极化恒等式）： 设等边△ABC的边长为2，以BC中点O为原点，BC为x轴建系，则，重心G坐标为. 设，则，. . 配方：. 当时取等号，此时P为△ABC的中心（即重心G上方的一个点）.故最小值为. 解法二（基底法）： 以为基底，设，用重心性质表示，转化为二次函数求最值.步骤略. 【易错警示】 典型错误①：G点坐标写错.等边三角形重心在中线上距顶点处，A的纵坐标为，G的纵坐标为.典型错误②：配方后未注意平方项非负，直接得最小值.本题等号可以取到. 【规律总结】 重心相关的数量积最值，优先用坐标法或极化恒等式.坐标法将几何问题代数化，步骤清晰. 8. 【答案速览】 1 【详细解答】 三个力平衡，即，故. 求即求. . 故. 【易错警示】 典型错误①：力的合成用错.平衡状态下三力和为零向量，而非直接相加.典型错误②：，若记错符号会导致结果错误. 【规律总结】 物理背景的向量模长问题，转化为向量和的模长，利用平方展开求模. 9. 【答案速览】 【详细解答】 建立平面直角坐标系：以A为原点，AB为x轴，则. 由等腰梯形性质及，可求得，. P在AD上，设，，则. ，. . 展开化简得. 二次函数开口向上，对称轴，但，故在区间内单调递减. 当时取得最小值. 【易错警示】 典型错误①：梯形顶点坐标求错.需利用等腰梯形性质，过D作AB的垂线，结合求出坐标.典型错误②：二次函数求最值时忽略定义域.对称轴不在区间内，最小值在端点取得. 【规律总结】 动点在定线段上，设参数表示坐标，将目标数量积表示为参数的函数，结合定义域求最值. 四、解答题 10. （15分） 【答案速览】 （1）   （2） 【详细解答】 （1） 由，结合正弦定理化简得，故. 已知，得，. 在△ABC中，由正弦定理：，即，解得. （2）由，，得. 由，可得. 则， . 计算，展开并代入模长和数量积，整理得关于t的二次函数： . 配方：. 当时取得最小值. 【易错警示】 第(1)问：由求时，注意与的夹角为，数量积为.若忽略负号会得错误答案.第(2)问：向量线性关系化简时注意系数分配，展开数量积时仔细核对每一项. 【规律总结】 向量与解三角形结合的综合题，先用正余弦定理求出边角关系，再处理向量问题.第(2)问中，将动点M的参数表示转化为二次函数求最值，是参数化方法的典型应用. 11. （18分） 【答案速览】 （1）   （2） 【详细解答】 （1） 由，得；由，得. 设，. . . 与对比得. 则. （2） ，. 用表示x,y代入，计算，整理得关于的二次函数： . 配方：. 当时取得最小值. 【易错警示】 第(1)问：注意线段比例转化为向量系数.可得，而非.第(2)问：将用基底表示时注意符号和系数.二次函数配方后需验证对称轴是否在定义域内，本题，可以取到. 【规律总结】 比例动点问题，先选定基底，将动点用参数表示，再将目标向量转化为基底的线性组合，最后将数量积表示为参数的函数求最值.这是向量模块中处理动态问题的通用框架. $ 《平面向量的数量积》题型七：最值与范围问题 卷首导学 本卷定位 数量积的最值与范围问题是平面向量模块的压轴题型，常出现在选择压轴、填空压轴和解答题最后一问，分值约10–15分.此类题目解法多样，对思维灵活性要求高，是拉开分差的关键.掌握多种解法，考场上方能游刃有余. 核心易错点 1. 用基本不等式求最值时忘记验证等号能否取到——求出最值后必须检验等号条件是否符合题意，否则可能误选. 2. 坐标法转化为二次函数后，忽略自变量的取值范围——动点坐标往往受限于线段或区域，遗漏定义域会导致最值错误. 3. 几何意义法找错最值对应的几何位置——数量积的几何意义是模长乘以投影，投影最值的位置需结合图形准确判断. 4. 极化恒等式使用不熟练——公式能将复杂数量积转化为线段长度问题，但构造和差向量时易出错. 训练目标 1. 掌握求数量积最值的四种主流方法：模长不等式法、坐标法、几何意义法、极化恒等式法. 2. 能根据题目特征快速选择最优解法. 3. 养成验证等号是否成立的习惯. 4. 能处理动态向量数量积的取值范围问题. 建议用时：60–70分钟. 使用说明：本卷题目难度整体偏高，建议每道题都认真阅读解析中的一题多解部分，对比不同解法的优劣，找到最适合自己的方法.解答题需写出完整的求解和验证过程. 试卷正文 一、单选题（每题5分，共20分） 1. 已知三个单位向量满足，则的最小值为（ 　　） A.    B.    C.    D. 【答案速览】 B 【详细解答】 解法一（模长不等式法）： 已知，. 先求：，故. 由数量积的性质：，其中为与的夹角. 因为，所以. 故最小值为. 【易错警示】 典型错误①：直接用和相加得，但和不能同时取到−1（因为与不共线），这种放缩过于粗糙.正确做法是先将作为一个整体，求出其模长，再用数量积性质.典型错误②：求出后忘记乘以.典型错误③：等号验证：当时，与反向共线，这是可以取到的（例如取），因此最小值确实为. 【规律总结】 求两个单位向量组合与第三个向量的数量积最值，优先将前两个向量组合成一个向量，求其模长，再用求范围.口诀：先合后模，再乘夹角. 【一题多解】 解法二（坐标法）：设，由且，可设.设，则，最小值为.坐标法虽稍繁琐，但能自然得到取值范围.对比：模长不等式法更简洁，但需验证等号能否取到；坐标法程序固定，无需验证等号.本题两种方法均优，推荐模长不等式法. 2. 已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则的取值范围是（ 　　） A.    B.    C.    D. 【答案速览】 A 【详细解答】 解法一（坐标法）： 取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系. 则，，，N为AB中点，故. 设，其中. 则，. . 配方：. 由，当时取最小值；当时取最大值. 故取值范围为. 【易错警示】 典型错误①：建系时原点选错.若以A为原点，AC为x轴，则各点坐标含分数，计算稍繁.以AC中点O为原点，A和C的坐标对称，更简洁.典型错误②：M的横坐标范围写错.AC边长为1，M在AC上，x的范围是，若以A为原点建系则为.典型错误③：二次函数配方后，未结合x的范围判断最值.开口向下的二次函数在区间内的最大值在顶点处取得，最小值在端点处取得. 【规律总结】 正三角形中的动点数量积问题，坐标法是通法.建系口诀：取中点作原点，对称轴为坐标轴.这样能使尽可能多的点坐标简洁，减少计算量. 【一题多解】 解法二（基底法）：以，为基底.则，其中（若M从A到C）.，.计算数量积代入，得关于t的二次函数.此法虽不需建系，但向量运算易出错.对比：坐标法更直观，推荐使用. 3. 在中，满足，M是BC的中点，若O是线段AM上任意一点，且，则的最小值为（ 　　） A. 0   B.    C.    D. 2 【答案速览】 C 【详细解答】 解法一（坐标法）： 由，，知△ABC为等腰直角三角形. 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建系，则. M为BC中点，故. O在AM上，设，，则. . . 计算. 配方：.当时取得最小值. 【易错警示】 典型错误①：O点坐标设错.O在AM上，若设，则O的坐标为倍M的坐标.若设，则需用相似比表示坐标，更繁.典型错误②：的坐标计算错误.注意.典型错误③：配方后未验证t的范围.在内，可以取到，故最小值为. 【规律总结】 等腰直角三角形或矩形的动点问题，坐标法是首选.以直角顶点为原点建系，各点坐标直接写出，目标函数容易表示为参数的一次或二次函数，求最值用函数方法即可. 【一题多解】 解法二（极化恒等式）：.设，则（由勾股定理得）.与反向，故数量积为，最小值.极化恒等式法异常简洁！对比：坐标法步骤稍多但思路简单，极化恒等式法需要发现.两种方法都应掌握. 4. 在中，，，.若P，Q分别为边AB，AC上的点，且满足，，则的最大值为（ 　　） A.    B.    C.    D. −6 【答案速览】 A 【详细解答】 由题意，，. 计算数量积：. 展开：. 已知，. 代入： . 这是关于的二次函数，开口向下，对称轴为. 当时，取得最大值. 注意题目问最大值，结果为，绝对值最小的负数. 【易错警示】 典型错误①：展开数量积时漏项或系数错.中间项合并为的系数需仔细.典型错误②：代入模长和数量积时数值写错..典型错误③：二次函数配方或对称轴公式用错.对称轴.注意二次项系数为负，开口向下，对称轴处取得最大值. 【规律总结】 参数化的动点问题，直接以基底表示所有相关向量，将目标数量积表示为参数的函数，转化为函数最值问题.这是处理比例动点的通法. 二、多选题（每题6分，共12分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 5. 已知△ABC是边长为的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则的值可能是（ 　　） A.    B.    C.    D. 【答案速览】 BCD 【详细解答】 建立如图平面直角坐标系：设等边三角形ABC边长为，以BC中点O为原点，BC为x轴，则. 设，则，，. . . 配方：. 由于，故. 选项中，A为，取不到；B、C、D均大于等于，可取到（当P取适当的点时）.故正确选项为BCD. 【易错警示】 典型错误①：配方后未分析最小值.本题问“可能是”，即找出所有可能取到的值.最小值为，任何大于等于该值的数都可能取到.A选项小于最小值，不可能取到.典型错误②：建系时A点坐标写错.等边三角形高为，A的纵坐标为. 【规律总结】 等边三角形背景下的数量积最值，坐标法是首选.将目标数量积配方化为平方和形式，直接读出最小值，再判断各选项是否在范围内. 6. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其平面图为下图的扇形, 其中，，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ 　　） A. 若，则 B. C. D. 【答案速览】 BC 【详细解答】 本题为扇形背景综合题，正确选项为B和C. 【易错警示】 扇形中的向量最值问题，常需建立极坐标或直角坐标系，将向量坐标用角度表示，转化为三角函数求最值.注意角度范围的限制. 三、填空题（每题5分，共15分） 7. 边长为2的等边三角形ABC的重心为G，设平面内任意一点P，则的最小值为______. 【答案速览】 【详细解答】 解法一（极化恒等式）： 设等边△ABC的边长为2，以BC中点O为原点，BC为x轴建系，则，重心G坐标为. 设，则，. . 配方：. 当时取等号，此时P为△ABC的中心（即重心G上方的一个点）.故最小值为. 解法二（基底法）： 以为基底，设，用重心性质表示，转化为二次函数求最值.步骤略. 【易错警示】 典型错误①：G点坐标写错.等边三角形重心在中线上距顶点处，A的纵坐标为，G的纵坐标为.典型错误②：配方后未注意平方项非负，直接得最小值.本题等号可以取到. 【规律总结】 重心相关的数量积最值，优先用坐标法或极化恒等式.坐标法将几何问题代数化，步骤清晰. 8. 如图，作用于同一点O的三个力处于平衡状态，已知，与的夹角为，则的大小为______. 【答案速览】 1 【详细解答】 三个力平衡，即，故. 求即求. . 故. 【易错警示】 典型错误①：力的合成用错.平衡状态下三力和为零向量，而非直接相加.典型错误②：，若记错符号会导致结果错误. 【规律总结】 物理背景的向量模长问题，转化为向量和的模长，利用平方展开求模. 9. 等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是______. 【答案速览】 【详细解答】 建立平面直角坐标系：以A为原点，AB为x轴，则. 由等腰梯形性质及，可求得，. P在AD上，设，，则. ，. . 展开化简得. 二次函数开口向上，对称轴，但，故在区间内单调递减. 当时取得最小值. 【易错警示】 典型错误①：梯形顶点坐标求错.需利用等腰梯形性质，过D作AB的垂线，结合求出坐标.典型错误②：二次函数求最值时忽略定义域.对称轴不在区间内，最小值在端点取得. 【规律总结】 动点在定线段上，设参数表示坐标，将目标数量积表示为参数的函数，结合定义域求最值. 四、解答题（共33分） 10. （15分）的内角的对边分别为，已知. （1） 若D为BC边上一点，，且，求； （2） 若，M为平面上一点，，其中，求的最小值. 【答案速览】 （1）   （2） 【详细解答】 （1） 由，结合正弦定理化简得，故. 已知，得，. 在△ABC中，由正弦定理：，即，解得. （2）由，，得. 由，可得. 则， . 计算，展开并代入模长和数量积，整理得关于t的二次函数： . 配方：. 当时取得最小值. 【易错警示】 第(1)问：由求时，注意与的夹角为，数量积为.若忽略负号会得错误答案.第(2)问：向量线性关系化简时注意系数分配，展开数量积时仔细核对每一项. 【规律总结】 向量与解三角形结合的综合题，先用正余弦定理求出边角关系，再处理向量问题.第(2)问中，将动点M的参数表示转化为二次函数求最值，是参数化方法的典型应用. 11. （18分）如图，在△ABC中，，，，，，P为线段DE上的一动点. （1） 若，求的值； （2） 求的最小值. 【答案速览】 （1）   （2） 【详细解答】 （1） 由，得；由，得. 设，. . . 与对比得. 则. （2） ，. 用表示x,y代入，计算，整理得关于的二次函数： . 配方：. 当时取得最小值. 【易错警示】 第(1)问：注意线段比例转化为向量系数.可得，而非.第(2)问：将用基底表示时注意符号和系数.二次函数配方后需验证对称轴是否在定义域内，本题，可以取到. 【规律总结】 比例动点问题，先选定基底，将动点用参数表示，再将目标向量转化为基底的线性组合，最后将数量积表示为参数的函数求最值.这是向量模块中处理动态问题的通用框架. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $