平面向量的数量积题型五：垂直关系专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

《平面向量的数量积》题型五：垂直关系 卷首导学 本卷定位 向量垂直的充要条件是数量积为零（），这是平面向量最核心的性质之一.本专题在月考、期中考试中几乎必考，常出现在选择题、填空题和解答题的证明环节，占比约10–15分.拿下垂直关系，等于打通了向量与几何结合的“任督二脉”. 核心易错点 1. 混淆垂直条件与平行条件——平行是（坐标满足），垂直是（坐标满足）.两者公式完全不同，考场上一旦记混，满盘皆输. 2. 用坐标判断垂直时公式写错——常见错误：写成.正确是“横×横+纵×纵”，即. 3. 证明几何图形中的垂直关系时，向量选取不当——例如证明三角形的高，必须选底边向量与高所在的向量，不能随意选取两条边. 4. 由垂直求参数时，解出参数后忘记检验——若参数使某个向量成为零向量，垂直条件虽成立但无意义，此类增根必须舍去. 训练目标 1. 能条件反射式地写出垂直充要条件. 2. 能熟练运用定义法或坐标法判断两向量是否垂直. 3. 能利用垂直关系求参数、证明几何结论. 4. 能区分垂直与平行的条件，避免概念混淆. 建议用时：45–55分钟. 使用说明：本卷题目围绕垂直关系的直接应用展开，不涉及最值、锐钝角排除等复杂问题.解答题需写出完整的向量表示和垂直条件推导过程. 试卷正文 一、单选题（每题5分，共30分） 1. 设均为单位向量，则“”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件   D. 既不充分也不必要条件 2. 已知平面向量.若，则的值为（ 　　） A. −1或3   B. 1或−3   C. −1   D. 3 3. 已知向量，，，与的夹角为，若，则（ 　　） A.    B.    C.    D. 4. 设，，，若，则实数的值等于（ 　　） A.    B.    C.    D. 5. 已知向量，，若，则与之间的夹角为（ 　　） A.    B.    C.    D. 6. 已知向量，，，且，则实数（ 　　） A. 2   B. 1   C. −1   D. −2 二、填空题（每题5分，共20分） 7. 已知两个单位向量的夹角为，，若，则______. 8. 已知，且，则与的夹角的余弦值______. 9. 已知平面向量为单位向量，且，则在方向上的投影向量的坐标为______. 10. 在四边形ABCD中，已知，且.若，则与的值分别为______.（写出所有可能的解） 三、解答题（共25分） 11. （12分）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直.已知四边形ABCD是菱形，，是其对角线.求证：. 12. （13分）已知，与的夹角是. （1） 计算； （2） 当为何值时，？ 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 一、单选题 1. 【答案速览】 C 【详细解答】 已知均为单位向量，即. 由，两边平方得： . 代入模长得：， 化简得：， 移项得：，即. 所以. 反之，若，则，代入上述平方展开式，两边相等，条件成立. 因此两者是充分必要条件. 【易错警示】 常见错误①：两边平方时中间项符号出错.，.务必注意展开时系数和符号. 常见错误②：只证明了充分性，未证明必要性，误选A. 常见错误③：忘记单位向量的模长为1，代入时写错. 【规律总结】 证明向量垂直的充要条件问题，通常通过模长等式平方，转化为数量积为零，从而得到垂直关系.口诀：模等就平方，化简看数量积，为零则垂直. 2. 【答案速览】 A 【详细解答】 由，得. 坐标代入：， 即， 整理得， 解得或. 【易错警示】 常见错误①：数量积坐标公式写错，写成了.正确是. 常见错误②：解二次方程时因式分解错误.，解为3和−1. 常见错误③：未检验两个解是否都使向量为非零向量.当时，，；当时，，.均有效. 【规律总结】 已知两向量坐标和垂直条件求参数，直接列方程，解出参数即可.若解出的参数使某一向量为零向量，则需舍去（本题无此情况）. 3. 【答案速览】 A 【详细解答】 由与的夹角为，得. 由，得. 展开：. 代入：， 即， ，解得. 【易错警示】 常见错误①：展开时系数出错..注意合并的系数为. 常见错误②：记错，导致数量积算错. 常见错误③：解方程时移项符号出错. 【规律总结】 已知夹角和模长，先用定义求数量积，再利用垂直条件列方程求解参数.这是定义法求垂直参数的典型路径. 4. 【答案速览】 A 【详细解答】 由，，则. 由，得，即， ，，解得. 【易错警示】 常见错误①：向量加法坐标写错.，注意是横坐标加横坐标，纵坐标加纵坐标. 常见错误②：数量积公式用错.，不要写成等. 常见错误③：解方程时符号错误，得. 【规律总结】 坐标法判垂直，直接代入，一步到位.比定义法更简洁，无需考虑模长和夹角. 5. 【答案速览】 A 【详细解答】 由，，且，得，解得. 于是，. 设与的夹角为，则. 计算：. ，. 所以. 由于，故. 【易错警示】 常见错误①：求出后直接选答案，忘记题目问的是与的夹角. 常见错误②：计算数量积时，也可以用分配律：，这样更快且不易出错. 常见错误③：求出余弦值后，写角度时误填或. 【规律总结】 先利用垂直条件求参数，再求两向量夹角，是常见综合题.垂直条件用来确定向量，夹角公式用来求角.注意：若，则，这为后续计算提供了便利. 6. 【答案速览】 A 【详细解答】 由，，得. 由，且，得： ， 即， ，解得. 【易错警示】 常见错误①：向量数乘坐标写错.，注意两个坐标都要乘. 常见错误②：数量积坐标公式写错，写成. 常见错误③：解方程时移项出错，得，不要写成. 【规律总结】 坐标法处理垂直求参，直接写出向量坐标，代入，解方程即得.程序固定，不易出错. 二、填空题 7. 【答案速览】 2 【详细解答】 单位向量：，夹角，故. 由，得. ， ， 解得. 【易错警示】 常见错误①：数量积分配律用错.，不要漏掉系数. 常见错误②：，不要写成. 常见错误③：解方程时，得，若写成则得相同，但过程中符号要小心. 【规律总结】 已知垂直条件和向量线性关系求参数，直接代入数量积分配律展开，利用已知数量积和模长求解.关键步骤：展开分配律→代入已知值→解方程. 8. 【答案速览】 【详细解答】 由，得. 展开：. 已知，代入得，解得. 设夹角为，则. 【易错警示】 常见错误①：展开时漏项.. 常见错误②：由直接写，忘记除以模长之积.模长之积是，. 常见错误③：余弦值为，夹角为或，但题目只问余弦值，写出数值即可. 【规律总结】 已知垂直和模长求夹角余弦，先由垂直条件求数量积，再代入夹角公式.这是垂直与夹角的经典综合. 9. 【答案速览】 【详细解答】 由，得，为单位向量，故. 由，得. 展开：. 代入：，解得. 在方向上的投影向量为. 【易错警示】 常见错误①：展开时合并同类项出错.，中间项系数为−2. 常见错误②：投影向量公式记错.在上的投影向量是，分母是不是. 常见错误③：求出数量积为1后，直接写投影向量为或，未除以. 【规律总结】 本题综合了垂直条件求数量积、投影向量计算两个知识点.先利用垂直展开求，再代入投影向量公式.注意区分投影向量与投影数量. 10. 【答案速览】 或 【详细解答】 由， 故. 由，得， 即，化简得，即. ① ， . 由，得， 即. ② 将①代入②：， . 展开：， . 相加：，即， 解得或. 当时，；当时，. 均满足题意. 【易错警示】 常见错误①：向量坐标计算错误.，注意顺序，不要漏加. 常见错误②：平行条件坐标公式用错.，，共线条件为，即.注意符号. 常见错误③：解二次方程时漏解，只写一组答案. 【规律总结】 向量法解四边形问题，先根据图中的向量关系表示出关键向量，再利用平行、垂直条件列出方程求解.这是向量在平面几何中的典型应用. 三、解答题 11. （12分） 【答案速览】 证明见解析. 【详细解答】 证明：设，. 因为四边形ABCD为菱形，所以. 由向量加法的平行四边形法则，. . 计算. 因为，所以，即. 因此，即.证毕. 【易错警示】 常见错误①：向量的表示选错.设，后，，.若写成则符号相反，但平方后结果相同，不影响结论.但严格来说应保持方向一致. 常见错误②：忘记利用菱形的性质.这是证明的关键. 常见错误③：数量积展开时符号错.. 【规律总结】 用向量法证明几何中的垂直关系，标准步骤：①选定基底表示相关向量；②利用几何性质得出向量模长或数量积的已知条件；③计算目标向量的数量积；④得出数量积为零，下结论垂直.口诀：几何问题向量化，垂直就看数量积. 12. （13分） 【答案速览】 （1）   （2） 【详细解答】 （1） 由，夹角， . 求 . 所以. （2）由，得. 展开： . 代入：， ， ，解得. 【易错警示】 常见错误①：第(1)问中，展开时系数错误.，中间项为. 常见错误②：第(2)问展开时合并同类项出错..注意的系数是. 常见错误③：解方程时符号错误.得，若移项出错可能得. 【规律总结】 垂直条件求参数，直接利用数量积为零列出关于参数的方程.求模长则先平方再开方.本题综合了模长计算与垂直求参，是定义法的经典应用. $ 《平面向量的数量积》题型五：垂直关系 卷首导学 本卷定位 向量垂直的充要条件是数量积为零（），这是平面向量最核心的性质之一.本专题在月考、期中考试中几乎必考，常出现在选择题、填空题和解答题的证明环节，占比约10–15分.拿下垂直关系，等于打通了向量与几何结合的“任督二脉”. 核心易错点 1. 混淆垂直条件与平行条件——平行是（坐标满足），垂直是（坐标满足）.两者公式完全不同，考场上一旦记混，满盘皆输. 2. 用坐标判断垂直时公式写错——常见错误：写成.正确是“横×横+纵×纵”，即. 3. 证明几何图形中的垂直关系时，向量选取不当——例如证明三角形的高，必须选底边向量与高所在的向量，不能随意选取两条边. 4. 由垂直求参数时，解出参数后忘记检验——若参数使某个向量成为零向量，垂直条件虽成立但无意义，此类增根必须舍去. 训练目标 1. 能条件反射式地写出垂直充要条件. 2. 能熟练运用定义法或坐标法判断两向量是否垂直. 3. 能利用垂直关系求参数、证明几何结论. 4. 能区分垂直与平行的条件，避免概念混淆. 建议用时：45–55分钟. 使用说明：本卷题目围绕垂直关系的直接应用展开，不涉及最值、锐钝角排除等复杂问题.解答题需写出完整的向量表示和垂直条件推导过程. 试卷正文 一、单选题（每题5分，共30分） 1. 设均为单位向量，则“”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件   D. 既不充分也不必要条件 【答案速览】 C 【详细解答】 已知均为单位向量，即. 由，两边平方得： . 代入模长得：， 化简得：， 移项得：，即. 所以. 反之，若，则，代入上述平方展开式，两边相等，条件成立. 因此两者是充分必要条件. 【易错警示】 常见错误①：两边平方时中间项符号出错.，.务必注意展开时系数和符号. 常见错误②：只证明了充分性，未证明必要性，误选A. 常见错误③：忘记单位向量的模长为1，代入时写错. 【规律总结】 证明向量垂直的充要条件问题，通常通过模长等式平方，转化为数量积为零，从而得到垂直关系.口诀：模等就平方，化简看数量积，为零则垂直. 2. 已知平面向量.若，则的值为（ 　　） A. −1或3   B. 1或−3   C. −1   D. 3 【答案速览】 A 【详细解答】 由，得. 坐标代入：， 即， 整理得， 解得或. 【易错警示】 常见错误①：数量积坐标公式写错，写成了.正确是. 常见错误②：解二次方程时因式分解错误.，解为3和−1. 常见错误③：未检验两个解是否都使向量为非零向量.当时，，；当时，，.均有效. 【规律总结】 已知两向量坐标和垂直条件求参数，直接列方程，解出参数即可.若解出的参数使某一向量为零向量，则需舍去（本题无此情况）. 3. 已知向量，，，与的夹角为，若，则（ 　　） A.    B.    C.    D. 【答案速览】 A 【详细解答】 由与的夹角为，得. 由，得. 展开：. 代入：， 即， ，解得. 【易错警示】 常见错误①：展开时系数出错..注意合并的系数为. 常见错误②：记错，导致数量积算错. 常见错误③：解方程时移项符号出错. 【规律总结】 已知夹角和模长，先用定义求数量积，再利用垂直条件列方程求解参数.这是定义法求垂直参数的典型路径. 4. 设，，，若，则实数的值等于（ 　　） A.    B.    C.    D. 【答案速览】 A 【详细解答】 由，，则. 由，得，即， ，，解得. 【易错警示】 常见错误①：向量加法坐标写错.，注意是横坐标加横坐标，纵坐标加纵坐标. 常见错误②：数量积公式用错.，不要写成等. 常见错误③：解方程时符号错误，得. 【规律总结】 坐标法判垂直，直接代入，一步到位.比定义法更简洁，无需考虑模长和夹角. 5. 已知向量，，若，则与之间的夹角为（ 　　） A.    B.    C.    D. 【答案速览】 A 【详细解答】 由，，且，得，解得. 于是，. 设与的夹角为，则. 计算：. ，. 所以. 由于，故. 【易错警示】 常见错误①：求出后直接选答案，忘记题目问的是与的夹角. 常见错误②：计算数量积时，也可以用分配律：，这样更快且不易出错. 常见错误③：求出余弦值后，写角度时误填或. 【规律总结】 先利用垂直条件求参数，再求两向量夹角，是常见综合题.垂直条件用来确定向量，夹角公式用来求角.注意：若，则，这为后续计算提供了便利. 6. 已知向量，，，且，则实数（ 　　） A. 2   B. 1   C. −1   D. −2 【答案速览】 A 【详细解答】 由，，得. 由，且，得： ， 即， ，解得. 【易错警示】 常见错误①：向量数乘坐标写错.，注意两个坐标都要乘. 常见错误②：数量积坐标公式写错，写成. 常见错误③：解方程时移项出错，得，不要写成. 【规律总结】 坐标法处理垂直求参，直接写出向量坐标，代入，解方程即得.程序固定，不易出错. 二、填空题（每题5分，共20分） 7. 已知两个单位向量的夹角为，，若，则______. 【答案速览】 2 【详细解答】 单位向量：，夹角，故. 由，得. ， ， 解得. 【易错警示】 常见错误①：数量积分配律用错.，不要漏掉系数. 常见错误②：，不要写成. 常见错误③：解方程时，得，若写成则得相同，但过程中符号要小心. 【规律总结】 已知垂直条件和向量线性关系求参数，直接代入数量积分配律展开，利用已知数量积和模长求解.关键步骤：展开分配律→代入已知值→解方程. 8. 已知，且，则与的夹角的余弦值______. 【答案速览】 【详细解答】 由，得. 展开：. 已知，代入得，解得. 设夹角为，则. 【易错警示】 常见错误①：展开时漏项.. 常见错误②：由直接写，忘记除以模长之积.模长之积是，. 常见错误③：余弦值为，夹角为或，但题目只问余弦值，写出数值即可. 【规律总结】 已知垂直和模长求夹角余弦，先由垂直条件求数量积，再代入夹角公式.这是垂直与夹角的经典综合. 9. 已知平面向量为单位向量，且，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案速览】 【详细解答】 由，得，为单位向量，故. 由，得. 展开：. 代入：，解得. 在方向上的投影向量为. 【易错警示】 常见错误①：展开时合并同类项出错.，中间项系数为−2. 常见错误②：投影向量公式记错.在上的投影向量是，分母是不是. 常见错误③：求出数量积为1后，直接写投影向量为或，未除以. 【规律总结】 本题综合了垂直条件求数量积、投影向量计算两个知识点.先利用垂直展开求，再代入投影向量公式.注意区分投影向量与投影数量. 10. 在四边形ABCD中，已知，且.若，则与的值分别为______.（写出所有可能的解） 【答案速览】 或 【详细解答】 由， 故. 由，得， 即，化简得，即. ① ， . 由，得， 即. ② 将①代入②：， . 展开：， . 相加：，即， 解得或. 当时，；当时，. 均满足题意. 【易错警示】 常见错误①：向量坐标计算错误.，注意顺序，不要漏加. 常见错误②：平行条件坐标公式用错.，，共线条件为，即.注意符号. 常见错误③：解二次方程时漏解，只写一组答案. 【规律总结】 向量法解四边形问题，先根据图中的向量关系表示出关键向量，再利用平行、垂直条件列出方程求解.这是向量在平面几何中的典型应用. 三、解答题（共25分） 11. （12分）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直.已知四边形ABCD是菱形，，是其对角线.求证：. 【答案速览】 证明见解析. 【详细解答】 证明：设，. 因为四边形ABCD为菱形，所以. 由向量加法的平行四边形法则，. . 计算. 因为，所以，即. 因此，即.证毕. 【易错警示】 常见错误①：向量的表示选错.设，后，，.若写成则符号相反，但平方后结果相同，不影响结论.但严格来说应保持方向一致. 常见错误②：忘记利用菱形的性质.这是证明的关键. 常见错误③：数量积展开时符号错.. 【规律总结】 用向量法证明几何中的垂直关系，标准步骤：①选定基底表示相关向量；②利用几何性质得出向量模长或数量积的已知条件；③计算目标向量的数量积；④得出数量积为零，下结论垂直.口诀：几何问题向量化，垂直就看数量积. 12. （13分）已知，与的夹角是. （1） 计算； （2） 当为何值时，？ 【答案速览】 （1）   （2） 【详细解答】 （1） 由，夹角， . 求 . 所以. （2）由，得. 展开： . 代入：， ， ，解得. 【易错警示】 常见错误①：第(1)问中，展开时系数错误.，中间项为. 常见错误②：第(2)问展开时合并同类项出错..注意的系数是. 常见错误③：解方程时符号错误.得，若移项出错可能得. 【规律总结】 垂直条件求参数，直接利用数量积为零列出关于参数的方程.求模长则先平方再开方.本题综合了模长计算与垂直求参，是定义法的经典应用. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $