平面向量的数量积题型二：坐标运算专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

《平面向量的数量积》题型二：坐标运算 卷首导学 本卷定位 坐标运算是解决向量数量积问题最通用、最程序化的方法，尤其适合处理图形规则或已知点坐标的题目.本卷专攻建系后的坐标运算，是月考、期中考试的主流解法，分值占比约30–40分.掌握了坐标法，等于拿到向量题的“保底分数”. 核心易错点 1. 建系原点选错——以矩形中心为原点虽对称，但各点坐标多为分数，计算极易出错.最优策略：以矩形顶点为原点，两边落在坐标轴上. 2. 向量坐标顺序写反——向量坐标 = 终点坐标 − 起点坐标.写成起点减终点，得到的向量完全相反，后续数量积符号全错. 3. 数量积公式与模长公式混淆——数量积是，模长是。考试中因公式记混而丢分的人数惊人. 4. 求夹角时忘记除以模长之积——，只算数量积不除以模长，得到的是分子而非本身. 训练目标 1. 能根据图形特征，在10秒内确定最优建系方案. 2. 能准确写出各点坐标，并熟练计算向量的坐标. 3. 熟练运用坐标法求数量积、模长、夹角和判断垂直，形成肌肉记忆. 建议用时：50–60分钟. 使用说明：本卷所有题目均需通过建立平面直角坐标系求解，请勿使用定义法.建系→写坐标→算向量→代公式，四步走完就能稳稳拿分. 试卷正文 一、单选题（每题5分，共30分） 1. 若向量，则实数的值为（ 　　） A.    B.    C. 2   D. 6 【答案速览】 D 【详细解答】 两向量坐标已知，直接用数量积的坐标公式： 由得，解得. 【易错警示】 常见错误：数量积公式记成，导致写成，解得.正确公式是“横×横+纵×纵”，即. 【规律总结】 已知两向量坐标求数量积，直接代公式.已知数量积求参数，列出方程求解即可.坐标法处理垂直问题比定义法更直接——无需知道模长和夹角. 【一题多解】 本题若用定义法：需先求，，再求，步骤繁琐且易错.坐标法一步到位，显然更优. 2. 在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是平行四边形，，则（ 　　） A. 5   B. 4   C. 3   D. 2 【答案速览】 A 【详细解答】 平行四边形ABCD中，对角线. 由题：，， 则. 求：. 【易错警示】 常见错误①：把写成.平行四边形中，对角线是从A到C的向量，等于两边之和；才是两边之差.画个图确认方向就不会错. 常见错误②：向量坐标加法时符号出错，，纵坐标，不是. 【规律总结】 平行四边形的向量关系：，.记住：对角线=邻边和，另一对角线=邻边差. 3. 已知向量，则向量在方向上的投影为（ 　　） A.    B. 3   C.    D. −3 【答案速览】 D 【详细解答】 向量在方向上的投影（数量）公式为：. 先求数量积：. 再求. 投影值为. 【易错警示】 常见错误①：将投影向量与投影数量混淆.投影数量是一个实数（可正可负），投影向量是一个向量.本题问的是“投影”，指的是数量. 常见错误②：忘记除以，直接用数量积−6作为答案. 常见错误③：的模算错，平方是3，不是. 【规律总结】 投影数量公式：.口诀：数量积除以模，投影数值就得出.结果为负说明投影方向与相反. 4. 已知向量，且，则实数的值为（ 　　） A.    B. 0   C. 3   D. 【答案速览】 C 【详细解答】 先求的坐标： ，， ，， . 由，且，得数量积为0： ，即，，解得. 【易错警示】 常见错误①：向量数乘时系数分配错误，如写成是正确的，但有人会写成漏乘. 常见错误②：垂直条件写成，这是平行条件！垂直是，平行才是. 常见错误③：计算时符号出错，写成+6. 【规律总结】 垂直条件的坐标表示：.平行条件的坐标表示：.区分口诀：垂直横横加纵纵，平行交叉相减零. 5. 已知点，点在轴上，当取最小值时，点的坐标是（ 　　） A.    B.    C.    D. 【答案速览】 D 【详细解答】 点在轴上，设. 则，. . 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴为. 当时取得最小值，此时点的坐标为. 【易错警示】 常见错误①：向量坐标写反.，即终点坐标减起点坐标，写成则得到相反的向量.但本题中由于后续是数量积，两个向量同时写反，结果不变（负负得正），但这是侥幸，换成其他题可能就错了. 常见错误②：二次函数配方时系数算错.展开，注意符号. 常见错误③：求出后忘记写完整坐标，只写了横坐标. 【规律总结】 处理“点在x轴上”的动点问题：设坐标为，把目标数量积表示为的函数，再用二次函数求最值.这是坐标法处理最值问题的经典套路. 6. 平面向量与的夹角为，，，则等于（ 　　） A.    B.    C. 4   D. 12 【答案速览】 B 【详细解答】 ，故. 与的夹角为，且. 可用定义法先求. 再求：先平方， . 所以. 【易错警示】 常见错误①：认为没有坐标就不能用坐标法.实际上有坐标，可以建系：设沿x轴正方向，由夹角和可得，然后用坐标法计算.两种方法均可. 常见错误②：展开时漏掉系数，写成.正确是. 常见错误③：算出平方为12后，忘记开方，直接写12. 【规律总结】 见模就平方！无论定义法还是坐标法，处理型问题的第一反应永远是平方展开.这是数量积模块最重要的技巧之一. 二、填空题（每题5分，共20分） 7. 已知，若，则______. 【答案速览】 【详细解答】 ，， 先求. 由，得数量积为0： 即，，解得. 所以，. 【易错警示】 常见错误①：向量减法时符号出错.，注意纵坐标是，不是. 常见错误②：垂直条件公式用错，写成了平行条件. 常见错误③：求出后直接作为答案.题目问的是，不是！一定要审清题目问什么. 【规律总结】 已知垂直求参数，直接列数量积=0的方程.求向量模长，先用坐标公式，不要与数量积公式混淆. 8. 若向量，则______. 【答案速览】 【详细解答】 ，， 先求. 再求模长：. 【易错警示】 常见错误①：数乘时符号出错.，注意负负得正. 常见错误②：向量减法时，，纵坐标，不要算成. 常见错误③：模长公式与数量积公式混淆.模长是，数量积是. 【规律总结】 求向量模长的标准流程：①先算向量的坐标；②再代公式.不要跳步，每一步都写出坐标，能有效减少计算错误. 9. 已知向量，，则（是的夹角）______. 【答案速览】 【详细解答】 夹角余弦公式：. 数量积：. 模长：， . 代入：. 【易错警示】 常见错误①：数量积算错.，符号注意. 常见错误②：模长计算时，，不要写成或不化简. 常见错误③：最后化简时，分子分母约分后要分母有理化，得，不能写成. 【规律总结】 求夹角余弦的三步：①数量积；②两个模长；③代入公式化简.注意最后结果要化为最简形式，分母一般要有理化. 10. 已知，.若与的夹角为，则______. 【答案速览】 2 【详细解答】 由夹角公式：. 数量积：. 模长：，. 代入：. 交叉相乘：， 即. 两边平方：，展开得， 整理：，即. 解得或. 检验：当时，，但等式左边原本为正值（因为且模长均为正），平方后引入了增根，应舍去.故. 【易错警示】 常见错误①：直接平方解方程，忘记检验增根.由于，所以必须大于0.时，是平方产生的增根，必须舍去.这是已知夹角求参数题最常见的扣分点！ 常见错误②：交叉相乘时系数出错. 常见错误③：解二次方程时因式分解出错.正确分解为. 【规律总结】 已知夹角求参数的标准流程：①代入夹角公式；②交叉相乘；③平方去根号（此时可能产生增根）；④解方程；⑤检验增根.口诀：夹角求参必检验，平方增根要分辨. 三、解答题（共25分） 11. （12分）已知是同一平面内的三个向量，其中. （1） 若，且，求的坐标； （2） 若，且与垂直，求与的夹角. 【答案速览】 （1） 或  （2） 【详细解答】 （1） 设. 由得，即. ① 由且，得，即. ② 将②代入①：，，，解得. 当时，；当时，. 故或. （2）由，得. 展开：，即. 已知，故，. 已知，故. 代入：，即， ，得. 由夹角公式：. 因为，所以. 【易错警示】 第(1)问：常见错误①：平行条件写错.的坐标条件是，即，写成是垂直条件.常见错误②：解出后只写一个解，漏掉.平行包括同向和反向两种情况. 第(2)问：常见错误①：向量展开时漏项或系数错.，中间合并为，不是.常见错误②：求出后，写或均可，但不能写. 【规律总结】 （1） 共线条件求向量坐标：设出坐标，列方程组（模长方程+共线方程），解方程组时注意正负两个解. （2） 垂直条件求夹角：由垂直条件列数量积为0的方程，求出的值，再用夹角公式求.这是“先求数量积，再求夹角”的经典路径. 【一题多解】 第(1)问也可用定义法：由，设，由模长得，直接得到坐标.这种“倍数法”比列方程组更简洁，建议掌握. 12. （13分）如图，在△ABC中，，，，为线段的垂直平分线，与交于点，为上异于的任意一点. （1）求的值； （2）判断的值是否为一个常数，并说明理由. 【答案速览】 （1） 14  （2） 是常数，值为14 【详细解答】 （1） 建系说明：由知，∠A=90°.以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 各点坐标推导： ，由得；由得. 由勾股定理，. D为BC中点（等腰不要求，直角三角形的斜边中点），故. 向量坐标计算： ，. 代入公式求解： . （2）设点E坐标：E在BC的垂直平分线l上，l过点D且与BC垂直.设E的坐标为，则. 计算： . 利用E在l上的条件：l是BC的中垂线，BC的方向向量为，即.l与BC垂直，且过D(4,3).l上的点E满足，即. 展开：，即，，两边乘−1得. 因此为常数. （或者用几何法：无论E在l上何处，在方向上的投影恒等于的投影，故数量积恒为14.） 【易错警示】 常见错误①：建系时原点选错.以BC中点为原点虽对称，但A点坐标会是分数，计算复杂.以直角顶点A为原点是最优策略. 常见错误②：第(1)问中的坐标算错.，注意终点减起点. 常见错误③：第(2)问中求l的方程时，方向向量或法向量用错.BC的方向向量是，l是它的法向量，故l上点满足与BC方向向量垂直. 【规律总结】 建系口诀：直角顶点作原点，两边落在坐标轴.这是处理含直角三角形图形的最优策略. 处理“垂直平分线上任意一点”的问题：设出动点坐标，利用该点满足的几何条件（到两端点距离相等，或连线与底边垂直），建立坐标之间的关系，代入目标数量积，往往能消去参数得到常数. 【一题多解】 第(2)问也可用定义法（投影法）：在方向上的投影长度等于在方向上的投影长度（因为E和D到BC的垂足相同），故数量积为定值.坐标法的优势在于将几何关系转化为代数方程，程序固定，不易出错. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《平面向量的数量积》题型二：坐标运算 卷首导学 本卷定位 坐标运算是解决向量数量积问题最通用、最程序化的方法，尤其适合处理图形规则或已知点坐标的题目.本卷专攻建系后的坐标运算，是月考、期中考试的主流解法，分值占比约30–40分.掌握了坐标法，等于拿到向量题的“保底分数”. 核心易错点 1. 建系原点选错——以矩形中心为原点虽对称，但各点坐标多为分数，计算极易出错.最优策略：以矩形顶点为原点，两边落在坐标轴上. 2. 向量坐标顺序写反——向量坐标 = 终点坐标 − 起点坐标.写成起点减终点，得到的向量完全相反，后续数量积符号全错. 3. 数量积公式与模长公式混淆——数量积是，模长是。考试中因公式记混而丢分的人数惊人. 4. 求夹角时忘记除以模长之积——，只算数量积不除以模长，得到的是分子而非本身. 训练目标 1. 能根据图形特征，在10秒内确定最优建系方案. 2. 能准确写出各点坐标，并熟练计算向量的坐标. 3. 熟练运用坐标法求数量积、模长、夹角和判断垂直，形成肌肉记忆. 建议用时：50–60分钟. 使用说明：本卷所有题目均需通过建立平面直角坐标系求解，请勿使用定义法.建系→写坐标→算向量→代公式，四步走完就能稳稳拿分. 试卷正文 一、单选题（每题5分，共30分） 1. 若向量，则实数的值为（ 　　） A.    B.    C. 2   D. 6 2. 在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是平行四边形，，则（ 　　） A. 5   B. 4   C. 3   D. 2 3. 已知向量，则向量在方向上的投影为（ 　　） A.    B. 3   C.    D. −3 4. 已知向量，且，则实数的值为（ 　　） A.    B. 0   C. 3   D. 5. 已知点，点在轴上，当取最小值时，点的坐标是（ 　　） A.    B.    C.    D. 6. 平面向量与的夹角为，，，则等于（ 　　） A.    B.    C. 4   D. 12 二、填空题（每题5分，共20分） 7. 已知，若，则______. 8. 若向量，则______. 9. 已知向量，，则（是的夹角）______. 10. 已知，.若与的夹角为，则______. 三、解答题（共25分） 11. （12分）已知是同一平面内的三个向量，其中. （1） 若，且，求的坐标； （2） 若，且与垂直，求与的夹角. 12. （13分）如图，在△ABC中，，，，为线段的垂直平分线，与交于点，为上异于的任意一点. （1）求的值； （2）判断的值是否为一个常数，并说明理由. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 一、单选题 1. 【答案速览】 D 【详细解答】 两向量坐标已知，直接用数量积的坐标公式： 由得，解得. 【易错警示】 常见错误：数量积公式记成，导致写成，解得.正确公式是“横×横+纵×纵”，即. 【规律总结】 已知两向量坐标求数量积，直接代公式.已知数量积求参数，列出方程求解即可.坐标法处理垂直问题比定义法更直接——无需知道模长和夹角. 【一题多解】 本题若用定义法：需先求，，再求，步骤繁琐且易错.坐标法一步到位，显然更优. 2. 【答案速览】 A 【详细解答】 平行四边形ABCD中，对角线. 由题：，， 则. 求：. 【易错警示】 常见错误①：把写成.平行四边形中，对角线是从A到C的向量，等于两边之和；才是两边之差.画个图确认方向就不会错. 常见错误②：向量坐标加法时符号出错，，纵坐标，不是. 【规律总结】 平行四边形的向量关系：，.记住：对角线=邻边和，另一对角线=邻边差. 3. 【答案速览】 D 【详细解答】 向量在方向上的投影（数量）公式为：. 先求数量积：. 再求. 投影值为. 【易错警示】 常见错误①：将投影向量与投影数量混淆.投影数量是一个实数（可正可负），投影向量是一个向量.本题问的是“投影”，指的是数量. 常见错误②：忘记除以，直接用数量积−6作为答案. 常见错误③：的模算错，平方是3，不是. 【规律总结】 投影数量公式：.口诀：数量积除以模，投影数值就得出.结果为负说明投影方向与相反. 4. 【答案速览】 C 【详细解答】 先求的坐标： ，， ，， . 由，且，得数量积为0： ，即，，解得. 【易错警示】 常见错误①：向量数乘时系数分配错误，如写成是正确的，但有人会写成漏乘. 常见错误②：垂直条件写成，这是平行条件！垂直是，平行才是. 常见错误③：计算时符号出错，写成+6. 【规律总结】 垂直条件的坐标表示：.平行条件的坐标表示：.区分口诀：垂直横横加纵纵，平行交叉相减零. 5. 【答案速览】 D 【详细解答】 点在轴上，设. 则，. . 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴为. 当时取得最小值，此时点的坐标为. 【易错警示】 常见错误①：向量坐标写反.，即终点坐标减起点坐标，写成则得到相反的向量.但本题中由于后续是数量积，两个向量同时写反，结果不变（负负得正），但这是侥幸，换成其他题可能就错了. 常见错误②：二次函数配方时系数算错.展开，注意符号. 常见错误③：求出后忘记写完整坐标，只写了横坐标. 【规律总结】 处理“点在x轴上”的动点问题：设坐标为，把目标数量积表示为的函数，再用二次函数求最值.这是坐标法处理最值问题的经典套路. 6. 【答案速览】 B 【详细解答】 ，故. 与的夹角为，且. 可用定义法先求. 再求：先平方， . 所以. 【易错警示】 常见错误①：认为没有坐标就不能用坐标法.实际上有坐标，可以建系：设沿x轴正方向，由夹角和可得，然后用坐标法计算.两种方法均可. 常见错误②：展开时漏掉系数，写成.正确是. 常见错误③：算出平方为12后，忘记开方，直接写12. 【规律总结】 见模就平方！无论定义法还是坐标法，处理型问题的第一反应永远是平方展开.这是数量积模块最重要的技巧之一. 二、填空题 7. 【答案速览】 【详细解答】 ，， 先求. 由，得数量积为0： 即，，解得. 所以，. 【易错警示】 常见错误①：向量减法时符号出错.，注意纵坐标是，不是. 常见错误②：垂直条件公式用错，写成了平行条件. 常见错误③：求出后直接作为答案.题目问的是，不是！一定要审清题目问什么. 【规律总结】 已知垂直求参数，直接列数量积=0的方程.求向量模长，先用坐标公式，不要与数量积公式混淆. 8. 【答案速览】 【详细解答】 ，， 先求. 再求模长：. 【易错警示】 常见错误①：数乘时符号出错.，注意负负得正. 常见错误②：向量减法时，，纵坐标，不要算成. 常见错误③：模长公式与数量积公式混淆.模长是，数量积是. 【规律总结】 求向量模长的标准流程：①先算向量的坐标；②再代公式.不要跳步，每一步都写出坐标，能有效减少计算错误. 9. 【答案速览】 【详细解答】 夹角余弦公式：. 数量积：. 模长：， . 代入：. 【易错警示】 常见错误①：数量积算错.，符号注意. 常见错误②：模长计算时，，不要写成或不化简. 常见错误③：最后化简时，分子分母约分后要分母有理化，得，不能写成. 【规律总结】 求夹角余弦的三步：①数量积；②两个模长；③代入公式化简.注意最后结果要化为最简形式，分母一般要有理化. 10. 【答案速览】 2 【详细解答】 由夹角公式：. 数量积：. 模长：，. 代入：. 交叉相乘：， 即. 两边平方：，展开得， 整理：，即. 解得或. 检验：当时，，但等式左边原本为正值（因为且模长均为正），平方后引入了增根，应舍去.故. 【易错警示】 常见错误①：直接平方解方程，忘记检验增根.由于，所以必须大于0.时，是平方产生的增根，必须舍去.这是已知夹角求参数题最常见的扣分点！ 常见错误②：交叉相乘时系数出错. 常见错误③：解二次方程时因式分解出错.正确分解为. 【规律总结】 已知夹角求参数的标准流程：①代入夹角公式；②交叉相乘；③平方去根号（此时可能产生增根）；④解方程；⑤检验增根.口诀：夹角求参必检验，平方增根要分辨. 三、解答题 11. （12分） 【答案速览】 （1） 或  （2） 【详细解答】 （1） 设. 由得，即. ① 由且，得，即. ② 将②代入①：，，，解得. 当时，；当时，. 故或. （2）由，得. 展开：，即. 已知，故，. 已知，故. 代入：，即， ，得. 由夹角公式：. 因为，所以. 【易错警示】 第(1)问：常见错误①：平行条件写错.的坐标条件是，即，写成是垂直条件.常见错误②：解出后只写一个解，漏掉.平行包括同向和反向两种情况. 第(2)问：常见错误①：向量展开时漏项或系数错.，中间合并为，不是.常见错误②：求出后，写或均可，但不能写. 【规律总结】 （1） 共线条件求向量坐标：设出坐标，列方程组（模长方程+共线方程），解方程组时注意正负两个解. （2） 垂直条件求夹角：由垂直条件列数量积为0的方程，求出的值，再用夹角公式求.这是“先求数量积，再求夹角”的经典路径. 【一题多解】 第(1)问也可用定义法：由，设，由模长得，直接得到坐标.这种“倍数法”比列方程组更简洁，建议掌握. 12. （13分） 【答案速览】 （1） 14  （2） 是常数，值为14 【详细解答】 （1） 建系说明：由知，∠A=90°.以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 各点坐标推导： ，由得；由得. 由勾股定理，. D为BC中点（等腰不要求，直角三角形的斜边中点），故. 向量坐标计算： ，. 代入公式求解： . （2）设点E坐标：E在BC的垂直平分线l上，l过点D且与BC垂直.设E的坐标为，则. 计算： . 利用E在l上的条件：l是BC的中垂线，BC的方向向量为，即.l与BC垂直，且过D(4,3).l上的点E满足，即. 展开：，即，，两边乘−1得. 因此为常数. （或者用几何法：无论E在l上何处，在方向上的投影恒等于的投影，故数量积恒为14.） 【易错警示】 常见错误①：建系时原点选错.以BC中点为原点虽对称，但A点坐标会是分数，计算复杂.以直角顶点A为原点是最优策略. 常见错误②：第(1)问中的坐标算错.，注意终点减起点. 常见错误③：第(2)问中求l的方程时，方向向量或法向量用错.BC的方向向量是，l是它的法向量，故l上点满足与BC方向向量垂直. 【规律总结】 建系口诀：直角顶点作原点，两边落在坐标轴.这是处理含直角三角形图形的最优策略. 处理“垂直平分线上任意一点”的问题：设出动点坐标，利用该点满足的几何条件（到两端点距离相等，或连线与底边垂直），建立坐标之间的关系，代入目标数量积，往往能消去参数得到常数. 【一题多解】 第(2)问也可用定义法（投影法）：在方向上的投影长度等于在方向上的投影长度（因为E和D到BC的垂足相同），故数量积为定值.坐标法的优势在于将几何关系转化为代数方程，程序固定，不易出错. $