平面向量的数量积、坐标运算专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 考点目录 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 考点一 平面向量的数量积 例1．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·北京海淀·期末）已知与的夹角为，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 例4．（24-25高一下·福建厦门·月考）设为单位向量，且，则________． 例5．（24-25高一下·上海金山·期末）已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 例6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 例7．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知，，且与的夹角为， (1)求的值， (2)若，求的值． 例8．（25-26高一上·浙江金华·期末）如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.设，. (1)用向量、表示； (2)若，，，求向量、夹角的余弦值. 变式1．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·江西·月考）已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·江苏南通·月考）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，均为单位向量，且，则，的夹角为__________. 变式5．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量满足，且与的夹角为，则_________. 变式6．（25-26高一上·福建厦门·期末）单位向量 满足，则 ______ 变式7．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量与向量的夹角为，且，. (1)求； (2)若，求实数的值. 变式8．（24-25高一下·福建厦门·期中）在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求的取值范围． 考点二 平面向量的坐标运算 例1．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知向量，若，则等于（   ） A． B．1 C．4 D． 例2．（25-26高一上·江苏南京·期末）若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·江苏南京·月考·多选）已知，，则下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．的最大值为2 C．存在 ，使得 D．的最大值为3 例4．（24-25高一下·新疆哈密·期末·多选）下列四个命题为真命题的是（    ） A．若向量，，则与反向共线 B．向量在上的投影向量为 C．与向量共线的单位向量为 D．已知向量，，则的最大值为 例5．（25-26高一下·浙江台州·开学考试）若向量，，则__________. 例6．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知，，且，则_______. 例7．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知平面向量，. (1)若，求的值. (2)若，求的值. 例8．（24-25高一下·广东揭阳·期中）已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若为钝角，求实数的取值范围. 变式1．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·甘肃·期末）已知向量，则在上的投影长为（    ） A． B．1 C． D．2 变式3．（24-25高一下·重庆渝北·期中·多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则实数的值为 C．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 D．在上的投影向量的坐标为 变式4．（24-25高一下·贵州黔东南·期末·多选）已知向量，，则（    ） A． B．向量在向量上的投影向量是 C． D．与向量方向相同的单位向量是 变式5．（24-25高一下·上海·月考）已知，，则在方向上的数量投影为________． 变式6．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）设λ为实数，已知向量．若，则向量与的夹角的余弦值为______ 变式7．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 变式8．（24-25高一下·江西九江·月考）已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若两向量的夹角为锐角，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 考点目录 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 考点一 平面向量的数量积 例1．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由单位向量，，可知，， 故， 设向量与向量的夹角为，则， 所以，解得， 由，可知， 故选：D. 例2．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，，所以， 故选：A． 例3．（25-26高一上·北京海淀·期末）已知与的夹角为，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，， 与的夹角为 ， 所以， ， ， 故选：A 例4．（24-25高一下·福建厦门·月考）设为单位向量，且，则________． 【答案】 【详解】因为为单位向量，且， 所以， 所以， 所以，即 故答案为： 例5．（24-25高一下·上海金山·期末）已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 【答案】 【详解】在上的数量投影为1， 则，即， 故，即， 所以， 又，所以. 故答案为： 例6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 【答案】 【详解】因为点D，E分别是边AB，BC的中点，所以， 因为，所以， 所以. 因为，，， 所以 . 故答案为： 例7．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知，，且与的夹角为， (1)求的值， (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）因为，，且与的夹角为，则， 所以. （2）由（1）可知：，，， 若，则， 可得，即，解得. 例8．（25-26高一上·浙江金华·期末）如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.设，. (1)用向量、表示； (2)若，，，求向量、夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得. （2）解法一：由（1）得 ， 因为为的中点，所以， 从而， ， 所以， 故向量、夹角的余弦值为； 解法二：因为， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 如图，以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得、、、、， 则，， 所以， 故向量、夹角的余弦值为； 解法三：因为， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 如图，以为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得、、、、、 ， 从而，， 所以， 故向量、夹角的余弦值为. 变式1．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 变式2．（25-26高三上·江西·月考）已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设单位向量与的夹角为，可得 因为，可得， 解得，又因为，所以. 故选：B. 变式3．（25-26高一上·江苏南通·月考）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段AB（除）、线段BC、线段CD，线段DE，线段EF（除）上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，AB、AF分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知到AF的距离为， 则， 直线GF的方程为，直线GH的方程为，直线AH的方程为， 当在线段GF（除）上运动时，设， 所以， 当在线段GH上运动时，设， 所以， 当在线段AH（除）上运动时，设， 所以． 的最小值为； 由投影向量的定义可知，当在CD上时，取得最大值， 延长DC交AB的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故， 故， 所以最大值为 故选：D 变式4．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，均为单位向量，且，则，的夹角为__________. 【答案】 【详解】因为，均为单位向量，且， 所以， 所以， 所以， 所以,的夹角余弦值为，所以,的夹角为. 故答案为：. 变式5．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量满足，且与的夹角为，则_________. 【答案】 【详解】因为向量满足，则， 又与的夹角为， 所以， 则. 故答案为：. 变式6．（25-26高一上·福建厦门·期末）单位向量 满足，则 ______ 【答案】 【详解】由两边取平方，可得， 因，则. 故答案为：. 变式7．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量与向量的夹角为，且，. (1)求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)5； (2). 【详解】（1）由，得，而， 则，即， 所以. （2）由（1）得，由，得， 所以. 变式8．（24-25高一下·福建厦门·期中）在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，依题意知，，，. 则， . 因为，， . 所以. 因此. 因为， ，， 所以，，所以. （2）由题意， . 则. 因为，， ， 所以， 由题意知，， 所以的取值范围是， ∴的取值范围是． 考点二 平面向量的坐标运算 例1．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知向量，若，则等于（   ） A． B．1 C．4 D． 【答案】B 【详解】由，可得， 所以由，解得． 故选：B. 例2．（25-26高一上·江苏南京·期末）若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以，所以， 所以. 故选：A 例3．（24-25高一下·江苏南京·月考·多选）已知，，则下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．的最大值为2 C．存在 ，使得 D．的最大值为3 【答案】BCD 【详解】对于A，，则，，，故A错误. 对于B，，故B正确. 对于C，时，则与同向，设，则， ，故C正确. 对于D，， 当，最大值为，最大值为，故D正确. 故选：BCD. 例4．（24-25高一下·新疆哈密·期末·多选）下列四个命题为真命题的是（    ） A．若向量，，则与反向共线 B．向量在上的投影向量为 C．与向量共线的单位向量为 D．已知向量，，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以与反向共线，故A正确； 对于B，向量在上的投影向量为，故B正确； 对于C，与向量共线的单位向量为或，故C不正确； 对于D，若向量，， 则， 其中， 当且仅当时，取得最大值，故D正确. 故选：ABD. 例5．（25-26高一下·浙江台州·开学考试）若向量，，则__________. 【答案】 【详解】由，， 得， 则，，， 所以， 又， 所以， 故答案为： 例6．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知，，且，则_______. 【答案】 【详解】由可得，故，所以， 因此， 故答案为： 例7．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知平面向量，. (1)若，求的值. (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，且， ∴， ∴， ∴. （2）∵，且， ∴， ∵若，则，这与矛盾. ∴，∴，∴. ∴. 例8．（24-25高一下·广东揭阳·期中）已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)且 【详解】（1）由，则， 即， 即，得. （2）若为钝角，即且不共线， 即，得，且， 得且，综上解得且. 变式1．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，，. 因为，的夹角为锐角， 所以且不存在实数使得，即，不共线. ①，因为， 所以，解得. ②，不共线，若，共线，则， 整理得，解得或， 所以且，综上，且. 故选：D. 变式2．（24-25高一下·甘肃·期末）已知向量，则在上的投影长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】因为， 所以，， 所以在上的投影向量为，所以， 所以在上的投影长为. 故选：C. 变式3．（24-25高一下·重庆渝北·期中·多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则实数的值为 C．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 D．在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因，则， ，由可得，解得，故B正确； 对于C，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故C错误； 对于D，因，在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 变式4．（24-25高一下·贵州黔东南·期末·多选）已知向量，，则（    ） A． B．向量在向量上的投影向量是 C． D．与向量方向相同的单位向量是 【答案】ABC 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，向量在向量上的投影向量是，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，与向量方向相同的单位向量是，故D错误. 故选：ABC 变式5．（24-25高一下·上海·月考）已知，，则在方向上的数量投影为________． 【答案】 【详解】在方向上的数量投影为：． 故答案为： 变式6．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）设λ为实数，已知向量．若，则向量与的夹角的余弦值为______ 【答案】 【详解】因，则，则， 从而，则. 故答案为：. 变式7．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3)2 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以， 所以. 变式8．（24-25高一下·江西九江·月考）已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若两向量的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为且， 所以，解得. （2）因为，所以，又且， 所以，解得. （3）由两向量的夹角为锐角，则，且与不共线， 由，得，解得， 由与共线，得， 所以向量与的夹角为锐角时，得取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $