专题02 图形的旋转（十大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

专题02 图形的旋转（十大题型） 【题型1 生活中的旋转现象】........................................................................................................1 【题型2 找旋转中心、旋转角、对应点】..................................................................................3 【题型3 利用旋转的性质求角度】...............................................................................................7 【题型4 利用旋转的性质求线段长度】.......................................................................................11 【题型5 旋转中的规律性问题】...................................................................................................17 【题型6 旋转综合题】...................................................................................................................23 【题型7 中心对称图形的识别】..................................................................................................31 【题型8 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】...............................................................32 【题型9 求关于原点对称的点的坐标】......................................................................................35 【题型10 作图－旋转、中心对称图形】.....................................................................................37 【题型1 生活中的旋转现象】 1.图中的宸宸是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它逆时针旋转后的图形是（   ）    A．  B．  C．  D．   【答案】A 【分析】本题主要考查旋转，找到旋转中心，旋转方向以及旋转角度即可得到答案。 【详解】 解：逆时针旋转后的图形是  ， 故选A． 2.下列图形中，不能由图形M经过一次平移或旋转得到的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查的是学生对旋转和平移的掌握程度，根据平移后的图形与原图形完全相同，旋转后的图形与原图形方向不同，形状大小相同逐项判断即可。 【详解】解：A．顺时针旋转即可得到该选项的图形，故不符合题意； B．逆时针旋转即可得到该选项的图形，故不符合题意； C．不能由图形M经过一次平移或旋转得到，故符合题意； D．顺时针旋转即可得到该选项的图形，故不符合题意。 故选：C． 3.如图，下列选项中是由该图经过旋转变换得到的是（    ）    A．   B． C．   D．   【答案】C 【解析】略 4.如图是杭州2022年亚运会会徽，在选项的四个图中，不能由下图经过旋转得到的是（    ）    A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】根据旋转的定义，进行判断作答即可。 【详解】解：由题意知， 不能经过旋转得到， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的定义。解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转。 【题型2 找旋转中心、旋转角、对应点】 5．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若是由△绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等。 是由绕点按逆时针方向旋转而得：由图可知，为旋转角，可利用即可解答。 【详解】解：小方格的边长相等，得， ∴，即旋转角为． 故选D． 6.如图，在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标均为整数，可由绕点旋转得到，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查图形的旋转变换。利用网格特点，作和的垂直平分线，它们相交于点，然后写出点坐标即可。 【详解】解：如图，可由绕点顺时针旋转得到，所以旋转中心的坐标为．    故选：A． 7.如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 【答案】C 【分析】本题考查了图形旋转的性质（旋转中心、旋转方向、旋转角度的判断），解题的关键是确定旋转中心，分析对应点绕旋转中心的旋转方向与角度。 观察与的对应点，确定旋转中心为；分析到、到的旋转方向和角度，可知绕点逆时针旋转到绕点逆时针旋转到，从而确定旋转方式。 【详解】解：观察图形，由旋转得到，对应点，，旋转中心为； 绕点逆时针旋转到绕点逆时针旋转到， 故旋转方式是绕点逆时针旋转． 故选：C． 8.如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键。连接、，分别作和的垂直平分线，则交点即为旋转中心。 【详解】解：将绕某个点旋转，得到，则与为对应点，则与为对应点， 连接、，分别作和的垂直平分线，如图所示交于点C，故点C为旋转中心。 故选：C． 9.如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转中心的确定，两组对应点连成的线段的垂直平分线的交点就是旋转中心。分别找到两组对应点A与，C与，然后作线段的垂直平分线，它们的交点即为所求。 【详解】解：如图， 由图可知，点； 故选：B． 10.如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正三角形的判定和性质，旋转的性质，识别图形，理解题意是解决问题的关键。根据可知是正三角形，则，由绕点逆时针旋转得到，所以，进而可得，即可得结论。 【详解】解：， 是正三角形， , 绕点逆时针旋转得到，与是对应边， , 即旋转角为， 故选：C． 【题型3 利用旋转的性质求角度】 11．如图，将绕点逆时针旋转得到，若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质可知，，再根据三角形的内角和定理可知，最后利用角的和差关系即可解答。 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴,, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, 故选． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键。 12.如图，绕点A逆时针旋转得，点D恰好在边上，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质得到，，，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，根据平角的定义即可得到的度数。 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得， ∴,,, ∴是等腰三角形， ∴, ∴, ∴, 故选：C． 【点睛】此题考查了旋转的性质、等腰三角的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质、等腰三角的判定和性质是解题的关键。 13.如图，将绕点A按逆时针方向旋转100°得到，点B的对应点是点，点C的对应点是点，连接，若，，则的度数为（　　）    A．20° B．30° C．40° D．60° 【答案】C 【分析】由旋转的性质可知，，则为等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求解。 【详解】 解：∵将绕点A按逆时针方向旋转100°得到， ∴,, ∴为等腰三角形， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键。 14.如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（    ）。    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得，，，由等边对等角的性质可得，即可求解。 【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转， ∴,,, ∴, ∴, ∴, 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转，等腰三角形，熟练掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，是解题的关键。 15.如图，将绕点顺时针旋转一定的角度至处，使得点恰好在线上，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，与相交于点，先利用旋转的性质得到，，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，所以，然后利用三角形的内角和可求出． 【详解】解：如图，与相交于点，   绕点顺时针旋转一定的角度至处，使得点恰好在线上， ,,,, ， , , , ，， , 即的度数为． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等。 16.如图，将绕点A顺时针旋转角110°得到，若点E恰好在的延长线上，则等于（    ） A．55° B．70° C．80° D．110° 【答案】B 【分析】由旋转得，，，，根据等腰三角形的性质得到，即可求出答案。 【详解】解：由旋转得，，，， ∴, ∴, 故选：B． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰三角形等边对等角求角度，正确理解旋转的性质是解题的关键。 【题型4 利用旋转的性质求线段长度】 17．如图，在中，，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，若点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为（　　）。 A．0.8 B．2 C．2.2 D．2.8 【答案】C 【分析】由旋转的性质可知，即可证为等边三角形，得出，最后由求解即可。 【详解】由旋转的性质可知． ∵, ∴为等边三角形， ∴． ∴． 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质。掌握旋转前、后的图形全等是解题关键。 18.如图，在中，，．将绕点O逆时针方向旋转90°，得到，连接．则线段的长为（    ） A． B．2.5 C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可知 是等腰直角三角形，再由勾股定理可求得的长。 【详解】解：由旋转的性质可知，，=90°， ∴ 是等腰直角三角形， ∴; 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用以上性质是解题的关键。 19.如图，在平行四边形中，，，，将绕点顺时针旋转一定角度后，得到，则平行四边形的对角线的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与交点为，根据旋转性质可得，故，于是，证明，根据全等的对边相等，即可得到，在中利用勾股定理即可得到的长，于是可解得的长。 【详解】解：设与交点为， 由题可知，， , , 四边形为平行四边形， , ,, ， ,, 在中， , ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，证明三角形的全等是解决问题的关键。 20.如图，是等边三角形，点P在内，，将PAB绕点A逆时针旋转得到，则PQ的长等于（    ） A．6 B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】由旋转以及是等边三角形可证△AQP为等边三角形，进而可知PQ的长度。 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60°, ∴∠PAB+∠CAP=60°, ∵∠PAB=∠QAC, ∴∠QAC+∠PAC=60°, ∵AP=AQ, ∴△AQP为等边三角形， ∴PQ=AP=6, 故选：A． 【点睛】本题考查旋转变换，以及等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解决本题的关键。 21.如图，在中，，，D为边上一点，将绕点A逆时针旋转90°得到，点B、D的对应点分别为点C、E，连接，将平移得到（点A、C的对应点分别为点D、F），连接，若，，则的长为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质可得BD＝CE＝2，∠ACE＝∠ABD＝45°，由勾股定理可求BE，由“SAS”可证△ABE≌△DFA，可得BE＝AF． 【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝， ∴∠ABC=∠ACB＝45°, BC＝, ∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE， ∴BD＝CE＝2,∠ACE=∠ABD＝45°, AD＝AE,∠DAE＝90°, ∴∠BCE＝90°, ∴BE＝＝＝2; ∵∠BAC=∠DAE＝90°, ∴∠BAC+∠DAE＝180°, ∴∠BAE+∠DAC＝180°, ∵AC平移得到DF， ∴AC＝DF＝AB, AC∥DF, ∴∠ADF+∠DAC＝180°, ∴∠ADF=∠BAE, 在△ABE和△DFA中， ， ∴△ABE≌△DFA(SAS), ∴BE＝AF＝2, 故选：A 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用性质解决问题是本题的关键。 22.如图，在等边中，D是边AC上一点，连接BD，将绕点B逆时针旋转得到，连接ED，若，则的周长是（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【分析】由旋转的性质可得BD=BE，∠DBE=60°，CD=AE，可证△DBE是等边三角形，可得BD=DE=7，即可求解。 【详解】解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE， ∴BD=BE,∠DBE=60°, CD=AE, ∴△DBE是等边三角形， ∴BD=DE=7, ∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=8+7=15， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键。 【题型5 旋转中的规律性问题】 23．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，且坐标原点O为的中点，点A的坐标为．将正方形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、旋转的性质等知识点，第2026次旋转结束时点D的坐标与第二次旋转得到的D的坐标相同是解题的关键。 通过观察发现第2026次旋转结束时点D的坐标与第二次旋转得到的D的坐标相同，根据正方形的性质，再根据旋转2次（将正方形绕点O顺时针旋转），根据旋转的性质可得，然后根据坐标系即可解答。 【详解】解：如图：将正方形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴每8次一个循环， ∵, ∴第2026次旋转结束时点D的坐标与第二次旋转得到的D的坐标相同，即将正方形绕点O顺时针旋转的D坐标相同， ∵正方形的边在x轴上，且坐标原点O为的中点，点A的坐标为， ∴, 如图：将正方形绕点O顺时针旋转，此时，即， ∴第2026次旋转结束时，点D的坐标为． 故选B． 24.如图，长方形的两边分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为……以此类推，经过2026次翻滚后点A对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是正确求得前几个点的坐标，找出规律。求得前几个点的坐标，找出规律，根据规律求解即可。 【详解】解：如图所示：    点经过一次翻滚后，再经过一次翻滚后，，再经过一次翻滚后，再经过一次翻滚后， 可得：经过4次翻滚后点对应点一循环， , ∵，矩形的周长为， ∴经过2026次翻滚后点A对应点的坐标为，即 故选：B． 25.如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第秒时叶片尖点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，探索规律，掌握相关知识是解决问题的关键。根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标。 【详解】解：， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， 第1、2、3、秒的坐标为：，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， , 第秒时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：D． 26.将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形性质与判定，解题的关键在于灵活运用相关知识。 根据题意得到，结合旋转的性质推出绕原点逆时针旋转，每旋转次为一个循环，进而得到第2026次旋转结束时，点对应点的坐标与第4次旋转结束时，点对应点的坐标相同，记第4次旋转结束时，点的对应点记为，过点，作轴于点，证明，利用全等三角形性质求解，即可解题。 【详解】解： ， , 顶点的坐标为， , 绕原点逆时针旋转，每次旋转，且， 即每旋转次为一个循环， , 第2026次旋转结束时，点对应点的坐标与第4次旋转结束时，点对应点的坐标相同， 如图，记第4次旋转结束时，点的对应点记为， 过点，作轴于点， , 由旋转的性质可知，， , , 即第4次旋转结束时，点的对应点的坐标为， 第2026次旋转结束时，点对应点的坐标为； 故选：A． 27.小星利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，接着他将逆时针转动（）至称为第一次转动，然后进行第二次转动将逆时针转动至，那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型：点的坐标，解题的关键是掌握探究规律的方法，属于中考常考题型。 根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可。 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至， 而， ∴, ∵绕原点O逆时针转动至， ∴, ∵绕原点O逆时针转动至， ∴, ∵绕原点O逆时针转动至， ∴, 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵, ∴在转动2023次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 故选：A． 28.如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…则三角形⑩的直角顶点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化－旋转及点的坐标变化规律，能通过计算发现从三角形①开始，所得三角形的直角顶点的横坐标每旋转三次增加12，且纵坐标按0，，0循环是解题的关键。 根据所给旋转方式，依次求出所得直角三角形的顶点坐标，发现规律即可解决问题。 【详解】解：由题知， 三角形①的直角顶点坐标为， 过点M作x轴的垂线，垂足为N， 因为点、， 所以该直角三角形的斜边长为：， 则， 解得， 所以， 则点M的坐标为， 即三角形②的直角顶点坐标为， 依次类推，三角形③的直角顶点坐标为，三角形④的直角顶点坐标为， 三角形⑤的直角顶点坐标为，三角形⑥的直角顶点坐标为， 由此可见，从三角形①开始，所得三角形的直角顶点的横坐标每旋转三次增加12，且纵坐标按0，，0循环。 又因为余1， 所以三角形⑩直角顶点的横坐标为：，纵坐标为0， 所以三角形⑩的直角顶点的坐标为． 故选：C． 【题型6 旋转综合题】 29．如图，在中，，，点是内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先根据旋转的性质，判断出，，进而判断出；然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出． 【详解】解：由旋转的性质，可得 ,, ,, ， 在和中， ， (SAS), ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质和应用，全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等。②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。③旋转前、后的图形全等。 30.已知：在正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，于点M，N，于点H． （1）当时，与的数量关系是___________； （2）当时，与的数量关系成立吗？若成立，请证明，若不成立，说明理由； (3）如图，，于点H，，，直接写出的长。 【答案】(1)； （2）数量关系还成立，理由见解析； (3)6． 【分析】（1）如图延长至，使，证，得，，再证，利用等积法即可求得结果； （2）如图延长至，使，证，得，，再证，利用等积法即可求得结果； （3）如图，将绕点A逆时针旋转到，与的延长线交于G，则是正方形，证得在中即可求出。 【详解】（1）解：如图延长至，使， ∵,,, ∴， ∴，， ∵, ∴, 即， ∴, 且，， ∴， ∴，， ∴, ∴； （2）数量关系还成立。 如图延长至，使， ∵,,, ∴， ∴，， ∵, ∴, 即， ∴, 且，， ∴， ∴，， ∴, ∴； （3）如图，将绕点A逆时针旋转到， 与的延长线交于G， 则是正方形， ， 由旋转的性质，得 ,, ,, , , ， ， , 在中， , , , 解得或（舍去）， 所以． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的证明和性质等积法和勾股定理等；解题的关键是旋转构造全等三角形。 31.（1）问题发现： 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证．则___________°； （2）拓展研究： 如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，若，，求AB的长度； （3）探究发现： 如图3，P为等边△ABC内一点，且，且，，，，求BD的长。 【答案】（1）120；（2）AB的长度17；（3）BD的长为13． 【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS）。得到∠ADC＝∠BEC．利用△DCE为等边三角形，得到∠CDE＝∠CED＝60°，再利用点A，D，E在同一直线上，可得∠ADC＝120°，即可得∠BEC＝120°； （2）证明△ACD≌△BCE（SAS），可得，，再证明，利用勾股定理求解即可； （3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，可得△BEC≌△APC，证明△PCE是等边三角形，证明∠BED＝90°，再证明D、P、E在同一条直线上，求出DE，利用勾股定理求解即可。 【详解】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴CA＝CB, CD＝CE,∠ACB=∠DCE＝60°, ∴∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴∠ADC=∠BEC, ∵△DCE为等边三角形， ∴∠CDE=∠CED＝60°, ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC＝120°, ∴∠BEC＝120°． 故答案为：120； （2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴CA＝CB, CD＝CE,∠ACB=∠DCE＝90°, ∴∠ACD=∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴,, ∵△DCE为等腰直角三角形， ∴∠CDE=∠CED＝45°, ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC＝135°, ∴∠BEC＝135°, ∴, ∴AB＝＝＝17; （3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示： 则△BEC≌△APC， ∴CE＝CP,∠PCE＝60°, BE＝AP＝5,∠BEC=∠APC＝150°, ∴△PCE是等边三角形， ∴∠EPC=∠PEC＝60°, PE＝CP＝4, ∴∠BED=∠BEC-∠PEC＝90°, ∵∠APD＝30°, ∴∠DPC＝150°﹣30°＝120°, 又∵∠DPE＝∠DPC+∠EPC＝120°+60°＝180°， 即D、P、E在同一条直线上， ∴DE＝DP+PE＝8+4＝12, 在Rt△BDE中，， 即BD的长为13． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用。 32.已知和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，连接AM，BN，求证：； （2）将绕点O顺时针旋转。 ①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：； ②当点A，M，N在同一条直线上时，若，，请直接写出线段AM的长。 【答案】(1）见解析 (2)①见解析；②或 【分析】（1）通过代换得对应角相等，再根据等腰直角三角形的性质得对应边相等，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，即可得到AM=BN； （2）①连接BN，根据等腰直角三角形的性质，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，得对应角相等，对应边相等，从而可证∠MBN=90°，再根据勾股定理，结合线段相等进行代换，即可证明结论成立； ②分点N在线段AM上和点M在线段AN上两种情况讨论，连接BN，设BN=x，根据勾股定理列出方程，求出x的值，即可得到BN的长，BN的长就是AM的长。 【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠MON=90°， ∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON, 即∠AOM=∠BON， ∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形， ∴OA=OB, OM=ON, ∴△AOM≌△BON(SAS), ∴AM=BN; （2）①证明：连接BN， ∵∠AOB=∠MON=90°, ∴∠AOB-∠BOM=∠MON-∠BOM, 即∠AOM=∠BON， ∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形， ∴OA=OB, OM=ON, ∴△AOM≌△BON(SAS), ∴∠MAO=∠NBO=45°, AM=BN, ∴∠MBN=90°, ∴MB2+BN2=MN2, ∵△MON是等腰直角三角形， ∴MN2=2ON2, ∴AM2+BM2=2OM2; ②如图3，当点N在线段AM上时，连接BN，设BN=x， 由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM=BN且AM⊥BN， 在Rt△ABN中，AN2+BN2=AB2， ∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA=，OM=， ∴MN=6, AB=8, ∴, 解得：或（舍）， ∴AM=BN=; 如图4，当点M在线段AN上时，连接BN，设BN=x， 由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM=BN且AM⊥BN， 在Rt△ABN中，AN2+BN2=AB2， ∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA=，OM=， ∴MN=6, AB=8, ∴, 解得：（舍）或， ∴AM=BN=; 综上所述，线段AM的长为或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，勾股定理等知识点，抓住图形旋转中不变的量，巧妙构造直角三角形是解决问题的关键。 【题型7 中心对称图形的识别】 33.下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意。 34.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是轴对称图形。又是中心对称图形，故此选项正确； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误。 35.博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值。下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； B.有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C.有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； D.有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； 【题型8 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 36.如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键。利用中心对称的定义和性质求解即可。 【详解】A、与关于点O成中心对称， 点A与是一组对称点，故A正确，不符合题意； B.由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故B正确，不符合题意； C.与不是对应角， 不成立，故C错误，符合题意； D.与是对应线段， ，故D正确，不符合题意。 故选：C． 37.如图所示的是一个中心对称图形，O为对称中心。若的面积是，，则的边上的高是（   ） A．4 B．3 C．6 D．2 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的性质可得，再根据三角形面积公式底高可以求得底边上的高。 【详解】解：由题可得， 根据三角形的面积公式可得 边上的高是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的知识点为中心对称图形的性质和三角形面积公式，熟练掌握中心对称图形的性质和三角形面积公式是解题的关键。 38.如图，与成中心对称，点是它们的对称中心，若，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称的性质。由中心对称的性质得，然后根据勾股定理即可求解。 【详解】解：∵该图是一个中心对称图形， ∴, ∵,,, ∴, ∴, 故选：A． 39.如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（　　）。 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形的性质，三角形的面积公式。根据中心对称图形的性质得出是解题关键。 【详解】解：∵阴影部分图形关于点O成中心对称， ∴, ∴． ∵的高， ∴． 故选D． 40.如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，关键中心对称性质的应用。 根据中心对称的性质及，由勾股定理即可求得的长。 【详解】∵与关于点成中心对称， ∴， ∴, ∴, ∵, , 故选：D． 【题型9 求关于原点对称的点的坐标】 41.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案。 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是（． 故选：A． 42.在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于轴对称的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的特征、轴对称，根据轴对称写出对称后点的坐标是解题的关键。根据关于原点对称的点的坐标特征，求出a和b的值，得到点A的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求解。 【详解】∵点关于原点对称的点的坐标是， ∴，，解得 ，， ∴点A的坐标为， ∵点A关于x轴对称， ∴对称点的坐标为， 故选：C． 43.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为（    ） A． B．4 C．12 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键；关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数，根据此性质列出方程求解即可。 【详解】解：∵点关于原点的对称点为，且对称点为， ∴，且， 解得，， ∴; 故选D． 44.若点与点关于原点成中心对称，则的值是（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标互为相反数，进而得出答案。 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴,, 解得，， ∴． 故选：A． 【题型10 作图－旋转、中心对称图形】 45.如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） （1）作出绕点顺时针方向旋转后得到的； （2）作出关于原点成中心对称的． 【答案】(1）见解析 （2）见解析 【分析】本题考查中心对称和性质作图，抓住中心对称和旋转的性质是关键。 （1）分别找到点关于原点对称的点，连接三个点即可； （2）分别作线段绕原点顺时针旋转得到三个短点，连接三个点即可。 【详解】（1）解：分别找到点关于原点对称的点，连接三个点即可； 如图所示，即为所求； （2）分别作线段绕原点顺时针旋转90°得到三个短点，连接三个点所得即为所求。 46.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，. （1）将以点C为中心旋转180°，画出旋转后对应的； （2）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）和是否关于某点对称？如是，还请写出这点坐标；如不是，只需作出判断即可。 【答案】(1）详见解析 （2）详见解析 (3)△A1B1C和△A2B2C2关于点P(－1，0）对称 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点A1，B1即可； （2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点A2，B2，C2即可； （3）根据中心对称的定义结合图形即可求解。 【详解】（1）如图，△A1B1C即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）由图可知△A1B1C和△A2B2C2关于P（﹣1，0）对称。 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型。 47.如图，点A的坐标为，点B的坐标为，作如下操作：    （1）画出关于原点对称的图形，点的坐标为______。 （2）以点A为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到，在图中画出，点的坐标为______。 【答案】(1）图见解析； （2）图见解析； 【分析】本题考查了图形的变换、关于原点对称的点的坐标。 （1）根据点关于原点对称的点的坐标为：，同理可得：，，依次连接，即可求解； （2）将绕点A顺时针旋转得到，同理可得：，连接，即可求解； 熟练掌握轴对称图形的性质及旋转的性质是解题的关键。 【详解】（1）解：点关于原点对称的点的坐标为：， 同理可得：，，依次连接， 如图所示，即为所求：    故答案为：． （2）将绕点A顺时针旋转得到， 同理可得：，连接， 如图所示，即为所求：   点的坐标为：， 故答案为：． 48.如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为． （1）平移到，其中点A的对应点的坐标为（，请在图中画出； （2）以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出； （3）与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________。 【答案】(1）见解析 （2）见解析 (3)(-3,1) 【分析】（1）利用点和点的坐标特征得到平移的方向和距离，然后利用此规律得到、的坐标，然后顺次连接即可； （2）根据关于原点对称点的性质分别得到、、的坐标，然后顺次连接即可； （3）如图，连接、、，则、、都经过点，故可知点为对称中心，再根据坐标系写出坐标即可。 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，可知与关于点成中心对称， 故答案为：（－3，1）。 【点睛】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，中心对称，利用条件准确得到对应点的位置是解题的关键。 49.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） （2）请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） （3）点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______。 【答案】(1）作图见解析， （2）作图见解析， (3) 【分析】本题考查坐标变换平移和中心对称，坐标系中的平行四边形判定，熟练掌握相关做法和平行四边形的性质是解题的关键。 （1）利用平移得出相应坐标，再画图即可； （2）利用中心对称得出相应坐标，再画图即可； （3）利用平行四边形的对角线互相平分结合中点坐标即可求解。 【详解】（1）解：∵，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， ∴,,, 如图： 故答案为：； （2）解：∵关于原点O成中心对称的， ∴,,, 如图： 故答案为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，为对角线， ∴, 解得：， ∴, 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 图形的旋转（十大题型） 【题型1 生活中的旋转现象】........................................................................................................1 【题型2 找旋转中心、旋转角、对应点】..................................................................................2 【题型3 利用旋转的性质求角度】...............................................................................................4 【题型4 利用旋转的性质求线段长度】.......................................................................................6 【题型5 旋转中的规律性问题】...................................................................................................7 【题型6 旋转综合题】..................................................................................................................9 【题型7 中心对称图形的识别】..................................................................................................11 【题型8 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】...............................................................12 【题型9 求关于原点对称的点的坐标】......................................................................................13 【题型10 作图－旋转、中心对称图形】.....................................................................................13 【题型1 生活中的旋转现象】 1.图中的宸宸是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它逆时针旋转后的图形是（   ）    A．  B．  C．  D．   2.下列图形中，不能由图形M经过一次平移或旋转得到的是（　　） A．   B．   C．   D．   3.如图，下列选项中是由该图经过旋转变换得到的是（    ）    A．   B． C．   D．   4.如图是杭州2022年亚运会会徽，在选项的四个图中，不能由下图经过旋转得到的是（    ）    A．  B．  C．   D．   【题型2 找旋转中心、旋转角、对应点】 5．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若是由△绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转角度为（    ） A． B． C． D． 6.如图，在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标均为整数，可由绕点旋转得到，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 7.如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 8.如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 9.如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 10.如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用旋转的性质求角度】 11．如图，将绕点逆时针旋转得到，若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 12.如图，绕点A逆时针旋转得，点D恰好在边上，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 13.如图，将绕点A按逆时针方向旋转100°得到，点B的对应点是点，点C的对应点是点，连接，若，，则的度数为（　　）    A．20° B．30° C．40° D．60° 14.如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（    ）。    A． B． C． D． 15.如图，将绕点顺时针旋转一定的角度至处，使得点恰好在线上，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 16.如图，将绕点A顺时针旋转角110°得到，若点E恰好在的延长线上，则等于（    ） A．55° B．70° C．80° D．110° 【题型4 利用旋转的性质求线段长度】 17．如图，在中，，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，若点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为（　　）。 A．0.8 B．2 C．2.2 D．2.8 18.如图，在中，，．将绕点O逆时针方向旋转90°，得到，连接．则线段的长为（    ） A． B．2.5 C． D． 19.如图，在平行四边形中，，，，将绕点顺时针旋转一定角度后，得到，则平行四边形的对角线的长为（   ） A． B． C． D． 20.如图，是等边三角形，点P在内，，将PAB绕点A逆时针旋转得到，则PQ的长等于（    ） A．6 B． C．3 D．2 21.如图，在中，，，D为边上一点，将绕点A逆时针旋转90°得到，点B、D的对应点分别为点C、E，连接，将平移得到（点A、C的对应点分别为点D、F），连接，若，，则的长为（    ） A． B．6 C． D． 22.如图，在等边中，D是边AC上一点，连接BD，将绕点B逆时针旋转得到，连接ED，若，则的周长是（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【题型5 旋转中的规律性问题】 23．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，且坐标原点O为的中点，点A的坐标为．将正方形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 24.如图，长方形的两边分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为……以此类推，经过2026次翻滚后点A对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 25.如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第秒时叶片尖点的坐标为（　　） A． B． C． D． 26.将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 27.小星利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，接着他将逆时针转动（）至称为第一次转动，然后进行第二次转动将逆时针转动至，那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 28.如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…则三角形⑩的直角顶点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【题型6 旋转综合题】 29.如图，在中，，，点是内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、．求证：． 30.已知：在正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，于点M，N，于点H． （1）当时，与的数量关系是___________； （2）当时，与的数量关系成立吗？若成立，请证明，若不成立，说明理由； (3）如图，，于点H，，，直接写出的长。 31.（1）问题发现： 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证．则___________°； （2）拓展研究： 如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，若，，求AB的长度； （3）探究发现： 如图3，P为等边△ABC内一点，且，且，，，，求BD的长。 32.已知和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，连接AM，BN，求证：； （2）将绕点O顺时针旋转。 ①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：； ②当点A，M，N在同一条直线上时，若，，请直接写出线段AM的长。 【题型7 中心对称图形的识别】 33.下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 34.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 35.博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值。下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【题型8 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 36.如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 37.如图所示的是一个中心对称图形，O为对称中心。若的面积是，，则的边上的高是（   ） A．4 B．3 C．6 D．2 38.如图，与成中心对称，点是它们的对称中心，若，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 39.如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（　　）。 A．2 B．3 C．4 D．6 40.如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【题型9 求关于原点对称的点的坐标】 41.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 42.在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于轴对称的坐标为（    ） A． B． C． D． 43.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为（    ） A． B．4 C．12 D． 44.若点与点关于原点成中心对称，则的值是（   ） A． B． C．5 D．9 【题型10 作图－旋转、中心对称图形】 45.如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） （1）作出绕点顺时针方向旋转后得到的； （2）作出关于原点成中心对称的． 46.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，. （1）将以点C为中心旋转180°，画出旋转后对应的； （2）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）和是否关于某点对称？如是，还请写出这点坐标；如不是，只需作出判断即可。 47.如图，点A的坐标为，点B的坐标为，作如下操作：    （1）画出关于原点对称的图形，点的坐标为______。 （2）以点A为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到，在图中画出，点的坐标为______。 48.如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为． （1）平移到，其中点A的对应点的坐标为（，请在图中画出； （2）以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出； （3）与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________。 49.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） （2）请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） （3）点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______。 1 学科网（北京）股份有限公司 $