第01讲 图形的平移（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

本讲义聚焦初中数学“图形的平移”核心知识点，系统梳理平移的定义、要素（方向、距离）、性质（对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等）、作图方法（关键点平移法）及坐标平移规律（左右平移横变纵不变，上下平移纵变横不变），构建从现象识别到性质应用再到坐标计算的学习支架。 该资料亮点在于结合生活实例（如传送带物体移动、皮影吉祥物）和传统文化（甲骨文图案）培养几何直观与空间观念，通过变式练习和综合题（如平移与平行线性质推理）发展推理意识，坐标规律的简洁表达提升数学语言能力。课中助力分层教学，课后便于学生查漏补缺。

第01讲 图形的平移 考点1：平移现象识别 考点2：平移性质应用 考点3：平移作图 考点4：点坐标的平移 重点：（1）平移的定义与要素 （2）平移的性质（核心应用考点） （3）平移的应用 （4）点坐标的平移 难点★：（1）非水平 / 竖直方向的平移距离判断 （2）复杂图形的平移作图 （3）平移性质与平行线性质的综合推理 （4）掌握坐标平移的法则 1.理解平移的定义，明确平移的两大核心要素（方向、距离），能准确识别生活中的平移现象。 2.掌握平移的三大性质（对应线段、对应角、对应点连线的关系），能灵活运用性质解决线段相等、角相等、线段平行的证明与计算问题。 3.熟练掌握“关键点平移法”，能规范完成简单图形（三角形、四边形）的平移作图，标注对应元素 知识点1：平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 【题型1 图形的平移】 【典例1】生活中下列现象可以看作平移的是（    ） A．在游乐场荡秋千 B．翻开数学课本时书页的运动 C．水平传送带上的物体的移动 D．将一张纸对折 【变式1】【传统文化】中华文明，上下五千载延绵不绝；甲骨惊世，跨越三千年历久弥新．安阳殷墟甲骨文成为对话世界的新地标．下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列图案中，不能用其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图是2026马年春晚皮影吉祥物“骐骐”，下列可以通过平移得到的是（  ） A． B． C． D． 【题型2 利用平移的性质求长度】 【典例2】如图，将沿直线平移，得到，若，，则的长为（   ） A．9 B．7 C．6 D．3 【变式1】如图，是由通过平移得到，且点B、E、C、F在同一直线上．若，，则的长度是______． 【变式2】如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 【变式3】如图，将沿水平方向向右平移到的位置，已知点A、D之间的距离为1，，则的长为___________． 【题型3 利用平移的性质求周长】 【典例3】如图，将边长为个单位长度的等边沿边BC向右平移个单位长度得到，则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将沿方向平移2个单位长度得到，若四边形的周长为14，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式2】如图，中，，，将三角形沿向右平移至，点E在上，若，则四边形的周长为（　　） A．21 B．23 C．25 D．27 【变式3】如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用平移的性质求角度】 【典例4】如图，将沿方向平移，得到．点，，的对应点分别为点，，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将沿方向平移到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接．若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】如图，，直线平移后得到直线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，将三角形沿方向平移，得到三角形，点A，B，C的对应点分别为点B，D，E．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型5 利用平移的性质求面积】 【典例5】将向右平移个单位长度得到，，，则阴影四边形的面积是（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将直角梯形平移得直角梯形，若，，，则图中阴影部分的面积（   ） A．30 B．36 C．60 D．72 【变式2】如图，将左边的正方形向右平移5个单位，两个正方形重合，则图中阴影部分的面积是（    ） A．5 B．25 C．50 D．以上都不对 【变式3】如图，中，，把沿直线向右平移3个单位长度得到，则四边形的面积是（　　） A．22 B．18 C．15 D．24 【题型6 利用平移解决实际问题】 【典例6】有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图）．花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（   ）平方米 A．1440 B．1400 C．1344 D．1200 【变式1】如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 【变式2】如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ）． A． B． C． D． 【变式3】如图，大长方形的长是，宽是，阴影部分的宽都是，则空白部分的面积是（   ） A．18 B．24 C．32 D．36 【题型7 平移作图】 【典例7】在平面直角坐标系中的位置如图． (1)分别写出下列各点的坐标：___________；___________；___________； (2)把向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到．画出图形 (3)求三角形的面积． 【变式1】在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点、分别是、的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接、，直接写出与的位置关系：___________． (3)线段扫过的图形的面积为___________． 【变式2】在由边长为1的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及的顶点都在格点上． (1)将先向下平移2，再向右平移5得到，请在图中画出，并写出点A的对应点的坐标为：______． (2)将沿方向平移______可得到． 【变式3】如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标为：，，，将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得． (1)画出，并写出的顶点坐标； (2)若内部有一点，则平移后点的对应点的坐标为 ． (3)求的面积． 知识点2：坐标的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数 a，相应的新图形就把原图形向右(左)平移 a 个单位长度: 如果把它各个点的纵坐标都加(或减去) 一个正数 a,相应的新图形就把原图形向上(下)平移 a 个单位长度 点的平移规律： 左右平移一纵坐标不变，横坐标左减右加; 上下平移-横坐标不变，纵坐标上加下减 【题型8 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 【典例8】将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】若点的坐标为，则点向左平移2个单位后对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度得到点，再作关于轴的对称点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型9 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 【典例9】在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 【变式1】在平面直角坐标系中，点平移后的像的坐标为，则点P平移的方向是（    ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 【变式2】如图，在的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（    ） A．将先向右平移3格，再向上平移2格得到 B．将先向上平移2格，再向右平移3格得到 C．将先向右平移3格，再向下平移2格得到 D．将先向下平移2格，再向左平移3格得到 【变式3】【教材变式】下面是点的平移过程：将平面直角坐标系中的点向右平移个单位长度，再向平移2个单位长度到点的位置，但是部分内容缺失，则以下补充正确的是（    ） A．表示3，表示上 B．表示，表示上 C．表示3，表示下 D．表示，表示下 【题型10 已知图形的平移求点的坐标】 【典例10】如图，将线段平移到，已知三个端点的坐标，，，那么第四个端点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，三角形一边落在轴上，将三角形向右平移得到三角形，已知、的坐标分别为、，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点的对应点是直线上的一点，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，点，的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．如图为马年春晚标识．下列图形可以由如图标识平移得到的是（   ） A．B．C．D． 2．在平面直角坐标系中，把点向左平移三个单位长度后，得到对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，洪洪量得三边长分别为，，．将其向右侧平移后得到，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，沿边所在直线向右平移到，下列结论中不正确的是（    ） A．B． C． D． 6．的顶点A坐标为，若将沿轴平移5个单位长度，则A点坐标变为（    ） A． B．或 C．或 D．或 7．如图，中，，将沿射线方向平移至，如果厘米，厘米，四边形的面积为27平方厘米，那么平移的距离是（   ） A．2厘米 B．3厘米 C．4厘米 D．5厘米 8.如果点向上平移3个单位长度正好落在x轴上，那么点P的坐标为______． 9．如图，长方形中，，，将它沿平移得到长方形，则图中阴影部分的面积为________． 10．在平面直角坐标系中，已知点，，，将线段平移后得到线段，点，的对应点分别是点，，则点的坐标为_____． 11．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位长度，得到点那么点的坐标为___________． 12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．将平移，使点与点重合，得到，其中点，的对应点分别为点，． (1)画出； (2)若点在内，点经过平移后的对应点为点，则点的坐标为______； (3)求的面积． 13． 如图，将沿射线的方向平移2个单位到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)直接写出图中与相等的线段． (2)若，则等于 ． (3)若等于，求的度数． 14．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点的坐标； (2)若将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 图形的平移 考点1：平移现象识别 考点2：平移性质应用 考点3：平移作图 考点4：点坐标的平移 重点：（1）平移的定义与要素 （2）平移的性质（核心应用考点） （3）平移的应用 （4）点坐标的平移 难点★：（1）非水平 / 竖直方向的平移距离判断 （2）复杂图形的平移作图 （3）平移性质与平行线性质的综合推理 （4）掌握坐标平移的法则 1.理解平移的定义，明确平移的两大核心要素（方向、距离），能准确识别生活中的平移现象。 2.掌握平移的三大性质（对应线段、对应角、对应点连线的关系），能灵活运用性质解决线段相等、角相等、线段平行的证明与计算问题。 3.熟练掌握“关键点平移法”，能规范完成简单图形（三角形、四边形）的平移作图，标注对应元素 知识点1：平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 【题型1 图形的平移】 【典例1】生活中下列现象可以看作平移的是（    ） A．在游乐场荡秋千 B．翻开数学课本时书页的运动 C．水平传送带上的物体的移动 D．将一张纸对折 【答案】C 【分析】本题考查平移的概念，平移是平面内图形沿某一方向移动一定距离，运动过程中图形的方向保持不变，所有点移动方向和距离都一致，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、荡秋千是绕固定点的旋转运动，图形方向不断改变，不符合平移定义； 选项B、书页翻动是绕书脊的旋转运动，图形方向改变，不符合平移定义； 选项C、中水平传送带上的物体沿水平方向移动，所有点移动方向相同，图形方向不变，符合平移定义； 选项D、纸对折是翻折变换，图形方向改变，不符合平移定义． 【变式1】【传统文化】中华文明，上下五千载延绵不绝；甲骨惊世，跨越三千年历久弥新．安阳殷墟甲骨文成为对话世界的新地标．下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形的平移，根据平移前后图形的大小，形状和方向都不变，只是位置发生改变，进行判断即可． 【详解】解：∵平移前后图形的大小，形状和方向都不变，只是位置发生改变， ∴能用其中一部分平移得到的是：． 【变式2】下列图案中，不能用其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义判断即可． 【详解】解：由平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动．根据定义可知A、B、D选项均可以用其中一部分经过平移得到，不符合题意，C选项不能用其中一部分经过平移得到，符合题意，故选C． 【变式3】如图是2026马年春晚皮影吉祥物“骐骐”，下列可以通过平移得到的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的大小不变，形状不变，方向不变等性质解答即可． 【详解】 解：通过平移吉祥物“骐骐”，可以得到的图形是． 【题型2 利用平移的性质求长度】 【典例2】如图，将沿直线平移，得到，若，，则的长为（   ） A．9 B．7 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵将沿直线平移，得到， ∴， ∵，， ∴ 故选：C． 【变式1】如图，是由通过平移得到，且点B、E、C、F在同一直线上．若，，则的长度是______． 【答案】4 【详解】解：是由通过平移得到， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 【答案】12 【分析】由平移的性质得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，将沿水平方向向右平移到的位置，已知点A、D之间的距离为1，，则的长为___________． 【答案】5 【分析】根据平移的性质和线段的和差求解即可． 【详解】解：∵沿水平方向向右平移到，点A、D之间的距离为1，， ∴， ∴． 【题型3 利用平移的性质求周长】 【典例3】如图，将边长为个单位长度的等边沿边BC向右平移个单位长度得到，则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平移的性质得出，，由等边三角形的性质得出，进而求出四边形的周长即可． 【详解】解：∵将边长为个单位长度的等边沿边BC向右平移个单位长度得到， ∴，，， ∴的周长是． 【变式1】如图，将沿方向平移2个单位长度得到，若四边形的周长为14，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】根据平移的性质得到，，结合四边形的周长解题即可． 【详解】解：由题意知，，， 又∵四边形的周长为14， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 【变式2】如图，中，，，将三角形沿向右平移至，点E在上，若，则四边形的周长为（　　） A．21 B．23 C．25 D．27 【答案】C 【分析】由平移性质可得、、，根据求出的长，进而求出的长，从而得到四边形的周长． 【详解】解：由平移性质可得，、、， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长为25． 【变式3】如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 首先根据勾股定理求出的长度，根据角平分线和线段平行的性质，可证出，故的周长可转换为，将长度代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵由平移得到， ∴， ∴， 又∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴其周长为， 故选C． 【题型4 利用平移的性质求角度】 【典例4】如图，将沿方向平移，得到．点，，的对应点分别为点，，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平移的性质，三角形内角和定理，结合图形得到角之间的关系是解题关键． 由平移的性质可得，，进而可得，最后三角形内角和定理可得的度数． 【详解】解：由平移的性质可得，， ， 故选：D． 【变式1】如图，将沿方向平移到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接．若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，平行线的性质，根据平移的性质，得到，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵将沿方向平移到， ∴， ∴， 故选B． 【变式2】如图，，直线平移后得到直线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，平行公理的推论，由平移可得，过点作，则，即得，，进而得到，据此解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：由平移可得，， 如图，过点作，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式3】如图，将三角形沿方向平移，得到三角形，点A，B，C的对应点分别为点B，D，E．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键；由平移的性质可知，，进而问题可求解． 【详解】解：由平移的性质可知：，， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【题型5 利用平移的性质求面积】 【典例5】将向右平移个单位长度得到，，，则阴影四边形的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平移的性质可知，，，从而得到，由梯形的面积公式求出结果即可． 本题考查三角形的面积、平移的性质，梯形的面积；掌握平移的性质和梯形的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：，， 将向右平移个单位长度得到， ，， ， ，， ， ， 阴影四边形的面积是． 故选：． 【变式1】如图，将直角梯形平移得直角梯形，若，，，则图中阴影部分的面积（   ） A．30 B．36 C．60 D．72 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质、平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得，，，，再根据平移的性质可得，从而可得四边形和四边形都是直角梯形，然后根据图中阴影部分的面积等于直角梯形的面积求解即可得． 【详解】解：由图可知，在直角梯形中，， 由平移的性质可知，，，，， ∴， ∴四边形和四边形都是直角梯形， ∵， ∴， ∵， ∴图中阴影部分的面积为 ， 故选：B． 【变式2】如图，将左边的正方形向右平移5个单位，两个正方形重合，则图中阴影部分的面积是（    ） A．5 B．25 C．50 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移，平移前后图形的大小，形状完成相同，利用平移的性质求解即可． 【详解】解：由平移的性质可知，把左边正方形的阴影部分向右平移5个单位长度，与右边阴影部凑成一个完整的正方形， 所以阴影部分的面积． 故选：B． 【变式3】如图，中，，把沿直线向右平移3个单位长度得到，则四边形的面积是（　　） A．22 B．18 C．15 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查图形平移的性质，勾股定理，几何图形面积的计算，掌握平移图形对应边相等是解题的关键． 根据平移可得，根据勾股定理可求出的值，最后根据梯形的面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵把沿直线向右平移个单位长度得到， ∴，， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是梯形， ∴四边形的面积， 故选：C． 【题型6 利用平移解决实际问题】 【典例6】有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图）．花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（   ）平方米 A．1440 B．1400 C．1344 D．1200 【答案】C 【分析】利用平移的思想，把人行道路靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，然后可得面积． 【详解】解：将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， 可得种花部分为长米，宽米的长方形， 所以种花的面积是平方米． 【变式1】如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 【答案】D 【分析】根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知， 从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）． 【变式2】如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理计算出另一条直角边，结合平移得出最小长度． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得，， 由平移的性质可得，地毯的长度至少需要． 【变式3】如图，大长方形的长是，宽是，阴影部分的宽都是，则空白部分的面积是（   ） A．18 B．24 C．32 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质，把两条小路都平移到矩形的边上，然后求出空白部分的长和宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：把小路平移到矩形的边上，则空白部分的长为，宽为， 所以，空白部分的面积是：． 故选：C． 【题型7 平移作图】 【典例7】在平面直角坐标系中的位置如图． (1)分别写出下列各点的坐标：___________；___________；___________； (2)把向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到．画出图形 (3)求三角形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)4 【分析】（1）根据平面直角坐标系，直接写出点的坐标，即可； （2）根据图形平移的规律：左减右加，上加下减，找到平移后的点的坐标，依次连接，即可； （3）利用直角梯形的面积减去旁边两个直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由图，可得； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：． 【变式1】在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点、分别是、的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接、，直接写出与的位置关系：___________． (3)线段扫过的图形的面积为___________． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】（1）由点和点的位置，确定平移方式，平移点、，得到点、，即可求解； （2）根据平移的性质进行判断即可； （3）利用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：如图，将点、向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点、，用线段顺次连接点、、，即可得． （2）解：由平移可得，与的位置关系为． （3）解：扫过的图形为四边形， ， ∴线段扫过的图形的面积为． 【变式2】在由边长为1的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及的顶点都在格点上． (1)将先向下平移2，再向右平移5得到，请在图中画出，并写出点A的对应点的坐标为：______． (2)将沿方向平移______可得到． 【答案】(1)画图见解析， (2) 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可， 画出三角形，根据平面直角坐标系直接写成坐标即可； （2）由勾股定理求出的距离即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所作； 如图所示：对应点的坐标为， 故答案为：； （2）解：依题意得，点A到对应点水平距离为5，点A到对应点垂直距离为2， 平移距离为：． 故答案为：． 【变式3】如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标为：，，，将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得． (1)画出，并写出的顶点坐标； (2)若内部有一点，则平移后点的对应点的坐标为 ． (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析，，， (2) (3) 【分析】（1）根据平移规律描出点、、，再连接成三角形即可； （2）根据平移规律写出点的坐标； （3）利用割补法计算三角形的面积即可 【详解】（1）解：如图所示： 由图可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：由平移的规律可知，点平移后得到点； （3）解：． 知识点2：坐标的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数 a，相应的新图形就把原图形向右(左)平移 a 个单位长度: 如果把它各个点的纵坐标都加(或减去) 一个正数 a,相应的新图形就把原图形向上(下)平移 a 个单位长度 点的平移规律： 左右平移一纵坐标不变，横坐标左减右加; 上下平移-横坐标不变，纵坐标上加下减 【题型8 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 【典例8】将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是，即． 【变式1】在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律及y轴上点的坐标特征． 先根据平移规律得到平移后点的坐标，再结合y轴上点的横坐标为0列方程求解即可． 【详解】解：∵点向右平移3个单位长度， ∴平移后点的坐标为， ∵平移后的点落在轴上，且轴上的点横坐标为0， ∴， 解得：． 故选：B． 【变式2】若点的坐标为，则点向左平移2个单位后对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移坐标变化，解题关键是掌握点平移时坐标变化规律． 根据向左平移横坐标减去平移距离即可求解． 【详解】解：若点的坐标为， ∴点向左平移2个单位后对应的点的坐标为，即． 故选：A． 【变式3】在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度得到点，再作关于轴的对称点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移变换以及关于x轴对称点的性质，利用平移的性质得出点的坐标，再直接利用关于x轴对称点的性质得出点坐标． 【详解】解：∵点向右平移2个单位长度， ∴的横坐标为，纵坐标为1，即． ∵关于x轴的对称点为， ∴的横坐标不变为1，纵坐标变为，即． 故选：B． 【题型9 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 【典例9】在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 【答案】C 【分析】根据 “左减右加、上加下减”的平移规律，结合平移前后点的坐标变化确定平移方向与距离． 【详解】解：∵平移前点P的坐标为，平移后点的坐标为， ∴纵坐标保持不变，横坐标的变化量为， ∴根据“左减右加”的平移规律，点P需向左平移6个单位长度． 【变式1】在平面直角坐标系中，点平移后的像的坐标为，则点P平移的方向是（    ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 【答案】C 【详解】解：∵点平移后的坐标为， ∴横坐标保持不变，纵坐标由变为，纵坐标增大了， ∴点平移的方向是向上． 【变式2】如图，在的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（    ） A．将先向右平移3格，再向上平移2格得到 B．将先向上平移2格，再向右平移3格得到 C．将先向右平移3格，再向下平移2格得到 D．将先向下平移2格，再向左平移3格得到 【答案】C 【分析】本题考查图形变换−平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移前后的图形，确定平移方式即可求解． 【详解】解：A.由图可得，将先向右平移3格，再向上平移2格得到选项正确； B.将先向上平移2格，再向右平移3格得到，选项正确； C.将先向左平移3格，再向下平移2格可得到，故选项错误； D.将先向左平移3格，再向下平移2格得到，选项正确； 故选：C． 【变式3】【教材变式】下面是点的平移过程：将平面直角坐标系中的点向右平移个单位长度，再向平移2个单位长度到点的位置，但是部分内容缺失，则以下补充正确的是（    ） A．表示3，表示上 B．表示，表示上 C．表示3，表示下 D．表示，表示下 【答案】C 【分析】本题考查了点的平移与坐标变换，熟记坐标平移变化规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 由题意得，，，再结合坐标平移变化规律，根据题意写出答案即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度到点的位置， ∴表示3，表示下， 故选：C． 【题型10 已知图形的平移求点的坐标】 【典例10】如图，将线段平移到，已知三个端点的坐标，，，那么第四个端点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的规律进行求解即可． 【详解】解：由题意得，线段平移到的横坐标变化为：（向右平移4个单位）； 纵坐标变化：（向上平移2个单位）， ∴平移后的横坐标：； 纵坐标：． ∴． 【变式1】如图，三角形一边落在轴上，将三角形向右平移得到三角形，已知、的坐标分别为、，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，先根据平移性质可得到，，再通过点坐标得到，进而可得到两点重合，进而求出的长度，即可解题． 【详解】解：连接， ∵的坐标为，点的坐标为， ∴， 将三角形向右平移得到三角形， ，， 的坐标为， ， 点，点重合， ， 点的坐标为． 【变式2】在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点的对应点是直线上的一点，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数、点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换是解题关键． 先根据平移的性质求出点的纵坐标为6，代入可得点的坐标，从而可得平移距离，再根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：将沿轴向右平移后得到，且点的坐标为， 点的纵坐标为6， 当时，， 解得， ， 将沿轴向右平移个单位长度后得到， 平移后，点与点是对应点，且点的坐标为， ，即． 故选：C 【变式3】如图，点，的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中线段的平移，解题的关键是利用已知点的坐标变化确定平移规律（横、纵坐标的变化量），再将规律推广到其他点．要解决线段平移后点的坐标问题，需先确定点到的平移规律（横坐标和纵坐标的变化量），再将该规律应用到点 上，从而得到 的坐标． 【详解】已知点的坐标为，平移后点 的坐标为． 横坐标的变化量：，即点的横坐标向左平移了4个单位； 纵坐标的变化量：，即点的纵坐标向下平移了3个单位． 点的坐标为，根据上述平移规律（横坐标减4，纵坐标减3）： 横坐标：； 纵坐标：． 因此，点 的坐标为． 故选D 1．如图为马年春晚标识．下列图形可以由如图标识平移得到的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】利用平移的性质进行判断． 【详解】 解：如图， 可以由B图平移得到． 2．在平面直角坐标系中，把点向左平移三个单位长度后，得到对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律，左右平移只改变横坐标，规律为左减右加，纵坐标不变，根据规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵点向左平移三个单位长度， ∴平移后点的横坐标为，纵坐标仍为， ∴平移后对应点的坐标为， 故选． 3．如图，洪洪量得三边长分别为，，．将其向右侧平移后得到，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移前后两个图形的对应线段相等即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， 故选：C． 4．将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中的平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律，表示出点的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等建立关于的方程即可解决问题． 【详解】解：将点向右平移个单位长度到达点， ， 点的横坐标和纵坐标相等， ，解得． 故选：D ． 5．如图，沿边所在直线向右平移到，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的平移，全等三角形的判定和性质，掌握图形平移的性质是解题的关键．根据图形平移是改变图形的位置，不改变其大小，对应边相等，对应角相等，由此即可求解． 【详解】解：A、根据平移，，则A正确，不符合题意； B、根据对应角相等，则，则B正确，不符合题意； C、根据平移的性质，，则，那么，即，故C正确，不符合题意； D、根据平移可得，，但与不一定相等，故D错误，符合题意； 故选：D． 6．的顶点A坐标为，若将沿轴平移5个单位长度，则A点坐标变为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，沿x轴平移时纵坐标不变，横坐标遵循“右加左减”的规则，需分向右平移和向左平移两种情况计算． 【详解】解：点沿x轴平移时，纵坐标保持不变，横坐标右移加、左移减， 分两种情况： 当沿轴向右平移5个单位长度时，A点坐标变为，即； 当沿轴向左平移5个单位长度时，A点坐标变为，即； 综上，A点坐标变为或， 故选：C． 7．如图，中，，将沿射线方向平移至，如果厘米，厘米，四边形的面积为27平方厘米，那么平移的距离是（   ） A．2厘米 B．3厘米 C．4厘米 D．5厘米 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的不变性． 由平移得，，，则，再由梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移得，，， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为3厘米， 故选：B． 8.如果点向上平移3个单位长度正好落在x轴上，那么点P的坐标为______． 【答案】 【分析】根据坐标平移变化规律，向上平移纵坐标增加，横坐标不变，得到平移后点的坐标，结合x轴上点的纵坐标为0，求出的值，代入即可得到点的坐标． 【详解】解：点向上平移个单位长度后，所得点的坐标为，即． 平移后点落在轴上， ． 将代入点的坐标得，横坐标，纵坐标， 则点的坐标为． 9．如图，长方形中，，，将它沿平移得到长方形，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查平移的性质和线段的运算，，，四边形为长方形，求得，进而可求得答案． 【详解】根据题意可知，，，四边形为长方形， 所以． 所以四边形的面积． 故答案为： 10．在平面直角坐标系中，已知点，，，将线段平移后得到线段，点，的对应点分别是点，，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标的平移，由点和点的坐标可确定平移方式，再将此平移方式应用于点即可得到点的坐标，正确得出平移方式是解此题的关键． 【详解】解：∵点平移后得到点， ∴平移方式为：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵点经过相同平移后得到点， ∴点的坐标为，即， 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位长度，得到点那么点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形点的坐标规律变化，根据点，， ，，，，，，，得点的纵坐标个点一循环，从而求出点为． 【详解】解：∵点，， ，，，，，，， ∴点的纵坐标个点一循环， ∵余2， ∴在，，的位置上，纵坐标为，横坐标为序号的一半，即， ∴点为， 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．将平移，使点与点重合，得到，其中点，的对应点分别为点，． (1)画出； (2)若点在内，点经过平移后的对应点为点，则点的坐标为______； (3)求的面积． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)4 【分析】本题主要考查平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）由点与点重合可知：平移方式为先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，然后问题可求解； （2）由（1）可进行求解； （3）根据割补法可进行求解． 【详解】（1）解：由点与点重合可知：平移方式为先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，所以所作如图所示： （2）解：由（1）可知：点的坐标为； 故答案为； （3）解：由图可知：． 13． 如图，将沿射线的方向平移2个单位到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)直接写出图中与相等的线段． (2)若，则等于 ． (3)若等于，求的度数． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）根据平移的性质，找到的对应边即可； （2）根据平移的性质结合线段的和差关系进行求解即可； （3）根据平移的性质，得到，，利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵平移，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F， ∴； （2）解：由平移可知：， ∴； （3）解：由平移可知：，， ∴． 14．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点的坐标； (2)若将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，平移的性质，正确掌握相关特征是解题的关键． （1）根据第二象限中点的符号特点，列出不等式，解得a的取值范围，再根据横、纵坐标都是整数，即可求解； （2）根据平移的性质，易得平移后点的坐标为，再根据横纵坐标相等，列出方程，求出a的值即可求解． 【详解】（1）解：点位于第二象限， ，， ， 横、纵坐标都是整数， ， ，， 的坐标为； （2）将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到新的坐标为 横纵坐标相等， ，解得， 点． 学科网（北京）股份有限公司 $