专题06 期中真题易错百练通关（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材青岛版

专题06 期中真题易错百练通关 题型1 四边形相关折叠问题 题型9 二次根式规律性问题 题型2 四边形相关最值问题 题型10 分母有理化 题型3 四边形相关综合问题 题型11 整数部分与小数部分 题型4 四边形相关动点问题 题型12 函数图像与行程问题 题型5 几何证明压轴探究数量关系 题型13 函数与动点几何 题型6 几何证明压轴题存在性问题 题型14 函数与方案问题 题型7 几何证明压轴题定值问题 题型15 函数相关规律性问题 题型8 复合二次根式化简 题型一 四边形相关折叠问题（共3小题） 1．（24-25八下·山东微山·期中）如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点C落在点F处，当为直角三角形时，的长为（    ） A．2 B．3 C．2或1.5 D．3或1.5 【答案】D 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=4，AD=BC=3，∠C=∠ABC=90°， 分两种情况讨论： ①当∠FED=90°时，如图1所示， 则∠CEF=90°， ∴四边形BCEF是矩形， ∴FE=BC， 由折叠的性质得：CE=FE=BC=3； ②当∠DFE=90°时，如图2所示， 在Rt△ABD中，∵AB=4，AD=3， ∴， 由折叠的性质得：∠BFE=∠C=90°，BF=BC=3，FE=CE， ∵∠DFE+∠EFB=180°， ∴点B、F、D共线，即点F在BD上，DF=BD-BF=5-3=2， 设FE=CE=x，则DE=4-x， 在Rt△DEF中，∵EF2+DF2=DE2， ∴x2+22=（4-x）2， 解得：x=1.5 即CE=1.5， 综上所述，CE的长为3或1.5． 故选：D． 2．(24-25八下·山东临沂蒙阴县高都镇中心学校·期中)如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，； ∵将沿折叠，点落在边上的点处， ∴，； 在中，由勾股定理得： ， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即； 故选：B． 3．(2025·山东省济宁市·一模)如图，在矩形中，是边的中点，将沿所在直线折叠得到，延长交于点，已知，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， 是的中点， ， 沿折叠后得到， ， ， 在矩形中， ， ， 在和中， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ． 故选：C． 题型二 四边形相关最值问题（共3小题） 4．（24-25八下·山东乐陵·期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，连接，则的最小值为（　　） A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5 【答案】C 【来源】山东省乐陵市2024-2025年学年八年级下学期期中考试数学试题 【详解】解：连接，如图： ，，， 四边形是矩形， ， 要使最小，只要最小即可， 当时，最短， ，，， ， 的面积， ， 即， 故选：C． 5．（山东省济南市莱芜区2024-2025学年下学期期中）如图，在菱形中，，，点P、M分别是和上的动点，且点M与点B、C不重合，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】解：连接，过点A作，垂足为M，交于点P， ∵四边形是菱形， 垂直平分， ， ，当A，P，M三点共线，且时，有最小值， 在中，，， ， ， ， 的最小值是3， 故选：B． 6．(2025·山东省济宁市·一模)如图，在中，，，，点P为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【详解】解：设与相交于点O，过点O作于点，如下图所示： ，，， ， ， 四边形是平行四边形， 为对角线和的中点， ，， 由，可得， ， ， 由勾股定理得，， ， 解得， 根据垂线段最短，可得， ， 当时，线段有最小值2． 故选：A． 题型三 四边形相关综合问题（共3小题） 7．（山东省德州市德城区第五中学2024-2025学年八年级下学期期中）如图，在正方形对角线上截取，连接并延长交于点F，连接，过B作于点G，交于点H，则下列结论①；②；③；④．正确的有（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【来源】山东省德州市德城区第五中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【详解】解：在正方形中， ∴，， ∵ ∴ ∵， ∴是线段的垂直平分线，， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴，故①、③、④正确； 如图，连接， ∵是垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵不垂直， ∴， ∴， ∴，故②错误， 故正确的有3个 故选B． 8．（24-25八下·济宁南站中学·期中）如图，矩形中，对角线，相交于点O， ，，，交于点M，交于点F，延长交于点E，连接．则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中结论正确的序号是（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴四边形是菱形，故②正确； ∵,, ∴，故③正确； ∵，，， ∴, 由勾股定理可得，，故④正确； ∴正确的序号是：①②③④． 故选：B． 9．（临沂市郯城县2023-2024学年八年级下学期期中）如图，的对角线AC、BD交于点O，DE平分交AB于点E，，连接OE．下列结论：①；②DB平分；③；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【来源】山东省临沂市郯城县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【详解】解：在中， ，，平分， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ，即， ， 故①符合题意； ，， ， 平分， 故②符合题意； 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 垂直平分， 故③④符合题意， 所以正确的有4个． 故选：D． 题型四 四边形相关动点问题（共3小题） 10．（德州市宁津县第四实验中学2023-2024学年八年级下学期期中）如图，在矩形中，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设动点的运动时间为，当______时，四边形是矩形． 【答案】4 【来源】山东省德州市宁津县第四实验中学、第五实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据题意和矩形的性质得到，，再由矩形的对边相等得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得， 故答案为：4． 11．（23-24八下·山东邹城·期中）如图，在矩形中，边长，边长，对角线的垂直平分线分别与相交于点和相交于点O，动点分别从两点出发，分别绕和运动，点P的速度为，路径为．点Q的速度为，路径为两个动点返回起点后均停止运动．若点P和点Q同时出发，当四边形为平行四边形时，所用时间为______s． 【答案】 【来源】山东省济宁市邹城市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∵垂直平分， ∴． 在和中， ， ， ∴． ， ∴四边形是菱形． 设菱形的边长，则． 在中，， 由勾股定理，得， 解得． ， 由作图可以知道，点在上时，点在上，此时四点不可能构成平行四边形； 同理点在上时，点在或上，也不可能构成平行四边形． ∴只有当点在上，点在上时，才能构成平行四边形． 当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，． ∵点的速度为，点的速度为，运动时间为， ， ， 解得． ∴以四点为顶点的四边形是平行四边形时，． 12．(24-25八下·山东菏泽巨野县·期中)如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，____________________ 【答案】或 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． 题型五 几何证明压轴题探究数量关系（共3小题） 13．(23-24八下·山东潍坊坊子区·期中)问题情境 一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考 （1）请解答老师提出的问题． 探索发现 （2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为 ． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②①中的结论仍成立，见解析 【详解】解：（1）， 证明：四边形是菱形， ， ， 和为等边三角形， ， ， ， 又， ， ， ； （2）①如图， E为BM的中点，是等边三角形， ， ， 故答案为：； ②①中的结论仍成立． 证明：延长至H，使，连接，NH， E为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， 又， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 14．（22-23八下·淄博柳泉中学·期中）如图，在正方形中，E、F是直线、上的点，且， (1)如图1，当E、F分别在、边上时，连接和交于点P，请你写出与的关系（位置关系和数量关系），并说明理由． (2)如图2，当E、F分别在、边的延长线上时，连接和，（1）中的结论还成立吗？（请直接回答“是”或“否”，不需证明） (3)如图3，当E、F分别在、边的延长线上时，连接和，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)，；理由见解析； (2)是； (3)成立；理由见解析． 【来源】山东省淄博市张店区柳泉中学2022—2023学年下学期八年级期中数学试卷（五四学制） 【详解】（1），，理由如下： 正方形， ，， 在和中， ， （SAS）， ， 由于， ， ； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 正方形， ，， 在和中， ， （SAS）， ， ， ， ； （3）解：成立，理由如下： 同（1）得：延长交于点，如图所示： 则， ， ， ． 15．（24-25八下·菏泽三桐中学·期中）如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②探究：线段之间的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，理由见解析 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①证明：如图，作于M，于N， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ②， 理由如下， ∵矩形为正方形， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． 题型六 几何证明压轴题存在性问题（共3小题） 16．（22-23八下·山东济宁微山·期中）如图，正方形的对角线，相交于点，点是边上的一动点，连接交于点，过点作于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当点E运动到使平分位置时，与是否存在一定的数量关系?若存在，写出它们的数量关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，，理由见解析 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：在正方形中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴； （3）解：与存在一定的数量关系，，理由如下： 如图，过点作于点， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，． 17．(24-25八下·山东泰安南关中学（五四制）·期中)如图，在四边形中，，，，M、N是线段上两动点，M点从点A出发，以每秒的速度沿方向运动，N点从点D出发，以每秒的速度沿方向运动，M、N同时出发，同时停止，当M运动到点B时，M、N同时停止运动，设运动时间为t秒．    (1)求的长； (2)当t为何值时，四边形为平行四边形？ (3)在M、N运动的过程中，是否存在四边形是矩形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当秒时，四边形是平行四边形 (3)存在，当 【详解】（1）解：如图，过点作的平行线交于点，   ， 四边形是平行四边形， ，， 在直角三角形中，， ． （2）如图，   ， 当时，四边形是平行四边形， 即：， 秒， 当秒时，四边形是平行四边形． （3）如图，    在、运动的过程中，存在四边形是矩形， 理由如下： 当时，四边形是矩形， ， 解得秒， 当秒时，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定、勾股定理、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质、矩形的判定是解题的关键． 18．(24-25八下·山东东营中国石油大学（华东）附属中学·期中)如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，经过点O的任意一条直线分别交AD，BC于点E，F． （1）求证：OE＝OF； （2）如图2，如果点E，F分别是AD，BC的中点，AB＝5，BC＝12．在对角线AC上是否存在点P，使∠EPF＝90°？如果存在，请求出AP的长；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在，4或9 【详解】证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O， ∴AO＝CO，ADBC， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AOE和△COF中 ， ∴（ASA）， ∴OE＝OF； （2）存在， 由（1）可知，OE＝OF，AO＝CO， ∵∠EPF＝90°， ∴OP＝EF， ∵AEBF，AE＝BF，∠B＝90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∴EF＝AB＝5， ∴OP＝EF＝2.5， 在Rt△ABC中，AC＝， ∴AO＝CO＝AC＝6.5， ∴AP＝AO﹣O＝6.5﹣2.5＝4， AP＝AO+O＝6.5+2.5＝9， ∴AP的长为4或9． 题型七 几何证明压轴题定值问题（共3小题） 19．（山东省日照市莒县2024-2025学年八年级下学期期中）如图①，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)如图②，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若，探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析  ②是定值；6 【来源】山东省日照市莒县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形DEFG是矩形， ∴， ∴， ∴ ∴ 又， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； 解：的值为定值6， 理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 又， ∴是定值． 20．(2025·山东省青岛市·二模)如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．    (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)6 【详解】（1）解：如图，作于，于，则，   点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． （2）解：的值是定值，定值为6，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 21．（23-24八下·山东济南历下·期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点E、F分别是边BC、CD上的两个动点，E点从点B向点C运动，F点从点D向点C运动，设点E、F运动的路径长分别是a和b． (1)猜想：如图①，当a=b时，写出线段AE与线段AF的数量关系； (2)证明：如图②，连接AC，若a+b=6，请证明△ABE≌△ACF； (3)应用：在（2）的条件下，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，请直接写出这个定值；如果变化，请直接写出该四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不变， 【详解】（1）解：结论：AE=AF． 理由：如图①中， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠B=∠D， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE=AF； （2）证明：如图②中， ∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， ∴AB=BC=CD=DA=6，∠B=∠D=60°， ∴△ABC和△ACD为等边三角形， ∴∠BAC=∠ACD=60°=∠B，AC=AB， ∵a+b=6，即BE+DF=6=BC， ∴BE=CF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）； （3）解：不变，四边形AECF的面积为， 理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF， 则S△ABE=S△ACF， 故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC=×62=9． 题型八 复合二次根式化简（共3小题） 22．(24-25八下·山东淄博张店区第八中学·期中)像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 23．（24-25八下·山东临沂蒙阴县高都镇中心学校·期中)阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【答案】(1)， (2)或 (3)① ② 【详解】（1）解：， ∴，； （2）解：， ∴，， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 此时，； 当时，； 此时，； ∴或； （3）解：①； ② ． 24．(23-24·山东省临沂市·期中)【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16或32 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解： ； （3）解： 由题意得， ， ∴， ∵，且，，均为正整数， ∴，的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则． 题型九 二次根式规律性问题（共3小题） 25．（24-25八下·山东济宁汶上·期中）观察下列各式： ，，，…… 按照以上的规律，写出第10个式子为________________． 【答案】 【来源】山东省济宁市汶上县2024—2025学年八年级下学期数学期中阶段练习 【分析】本题考查的是数字的变化规律和二次根式的性质，根据上述等式找出一般规律是解题的关键． 根据上述等式，得出一般规律：第个等式为，即可得出第10个等式． 【详解】解：根据上述等式，得出一般规律：第个等式为， 第10个等式：， 故答案为：． 26．（23-24八下·山东泰安·期中）观察并分析下列数据，寻找规律，，3，，，，…，则第n个数据应是 _______． 【答案】 【来源】山东省泰安市泰山区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据题意这列数可化为：，，，，，，…，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：这列数可化为：，，，，，… 即，，，，，，… 所以第n个数据为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数字类规律题，二次根式的性质，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 27．（22-23八下·山东威海环翠·期中）观察下列等式： 第1个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， … 按上述规律，计算___________． 【答案】/ 【来源】山东省威海市环翠区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， … 第个等式：， 故答案为：． 题型十 分母有理化（共3小题） 28．（山东省淄博市张店区2022-2023学年八年级下学期期中）的倒数是__________． 【答案】 【详解】解：的倒数是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了倒数的定义、分母有理化等知识点，掌握分母有理化的基本方法是解答本题的关键． 29．（24-25八下·山东枣庄·期中）化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 【答案】C 【来源】山东省枣庄市市中区2024——2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题考查了分母有理化、运用平方差公式进行计算，根据甲的做法是将分母有理化，乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简，判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：甲的做法是将分母有理化，运用分数的基本性质，分子、分母都乘以不为0的同一个数；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简；均正确， 故选：C． 30．（23-24八下·德州第五中学·期中）化简：___． 【答案】 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的分母有理化，正确找到分母的有理化因式是解题关键． 题型十一 整数部分与小数部分（共3小题） 31．（山东省威海市环翠区2023-2024学年八年级下学期期中）已知的整数部分是a，小数部分是b，则的值是______． 【答案】/ 【来源】山东省威海市环翠区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，平方差公式，求代数式的值．由，可得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 32．(24-25八下·山东潍坊·期中）设的整数部分为，小数部分为，那么_____． 【答案】6 【详解】解：， ， 的整数部分为， 小数部分为， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次根式的运算、无理数的估算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键． 33．(24-25八下·山东烟台蓬莱区·期中)若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______． 【答案】2 【详解】解：∵ ， ∴， ∵ 的整数部分为a，小数部分为b， ∴，． ∴， 故答案为：2． 题型十二 函数图像与行程问题（共3小题） 34．(2025·山东省临沂市·三模)一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续行驶往甲地，快车维修好后按原速继续驶往乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离y（）与慢车行驶的时间x（）之间的关系如图． (1)甲、乙两地之间的距离为______； (2)求快车和慢车的速度，并直接写出点E的坐标； (3)求、对应的函数表达式； (4)慢车出发多少小时后，两车相距？ 【答案】(1) (2)快车和慢车的速度分别为、，点E的坐标为； (3)的函数表达式为，的函数表达式为； (4)慢车出发或小时后，两车相距． 【详解】（1）解：由题意可知，甲、乙两地之间的距离为． 故答案为：． （2）解：由题可知段只有慢车在行驶， 则慢车的速度为：， 表示两车从开始到相遇的过程，则两车速度和为：， 所以快车的速度为：（）， 慢车到达终点所用时间：（）， 快车到达终点所用时间：（）， 所以点E的坐标为：； （3）解：由图知，，，， 设的函数表达式为， 将代入，有，解得， 的函数表达式为， 由表示快车修好开始行驶， 快车正常行驶到目的地需要， 由快车中途维修了1小时，可得快车到达目的地需要5.8小时， 则点D的横坐标为5.8， 从到，快车和慢车一共走的路程为， 则点D的纵坐标为， ∴点D的坐标为， 设的函数表达式为， 把，， 得，解得 ∴的函数表达式为； （4）解：由点D的坐标为， 得两车相距在段和段， 把代入， 解得， 把代入， 解得， ∴慢车出发和小时后，两车相距． 35．(24-25八·山东日照北京路中学·期中)为体验大学校园文化，小华周末骑电动车从家出发去西安交大，当他骑了一段路时，想起要帮在交大读书的张浩买一本书，于是原路返回到刚经过的书店，买到书后继续前往交大，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息解答下列问题: (1)小华家离西安交大的距离是多少? (2)小华在书店停留了多长时间? (3)本次去西安交大途中，小华一共行驶了多少米?其中小华买到书后从书店前往西安交大的速度为多少? 【答案】(1)4800米； (2)小华在书店停留了8分钟； (3)小华一共行驶了6800米，小华买到书后从书店前往西安交大的速度为450米/分钟． 【详解】（1）解：根据图象，可知小华家离西安交大的距离是4800米； （2）解：（分钟）． 答：小华在书店停留了8分钟； （3）解：根据函数图象，小华一共行驶了（米）． 根据函数图象， 小华买到书后从书店前往西安交大的速度为（米/分钟）． 答：小华一共行驶了6800米，小华买到书后从书店前往西安交大的速度为450米/分钟． 36．(23-24八下·山东泰安肥城·期中)为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动，目的地乙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地除法，沿自行车队行进路线前往乙地，到达乙地后立即按原路返回甲地．自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车对行驶速度的3倍，如图表示自行车队、行政车离甲地的路程与自行车队离开甲地时间的关系图象，回答下列问题    (1)自行车队行驶的速度是　 　；邮政车行驶速度是　 　；　 　； (2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？ (3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？ 【答案】(1)；； (2)邮政车出发小时两车首次相遇 (3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地85千米 【详解】（1）解：由图象可知，自行车队行驶的速度是：， 邮政车行驶速度是． ， 故答案为：；； （2）解：设邮政车出发x小时两车首次相遇， 由题意得：， 解得：， 答：邮政车出发小时两车首次相遇； （3）解：设邮政车出发y小时在返程途中与自行车队再次相遇， 根据题意得：， 解得：， ， 答邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地85千米． 题型十三 函数与动点几何（共3小题） 37．（22-23八下·青岛青大附中·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边以1cm/s的速度运动，动点从点开始沿边以3cm/s的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为，求与之间的关系式． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【来源】山东省青岛市青岛大学附属中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，则可得出方程求出t即可； （2）分两种情形：或分别求解即可． （3）过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，交于点，求出和，分别求出三角形和三角形的面积，则可得出答案． 【详解】（1）若点在线段的垂直平分线上，则， ，， ， 解得：， 答：当时，点在线段的垂直平分线上； （2）①若，则是直角三角形， ， ， ， ， ， ②若， 则是直角三角形， ， ， ， ， ， ∴当或时，是直角三角形； （3）过点作，垂足为，交于点， ， ， ， ， ， ， 过点作，垂足为，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 答：与之间的关系式为． 38．（22-23八下·山东淄博·期中）如图1，中，，M点在边上，且，过M点作的垂线交边于E点，动点 P 从点A 出发沿边向M 点运动，速度为1个单位/秒，当动点P 到达M点时，运动停止．连接，设运动时间为t．在此过程中 (1)当时，求的长度； (2)设的面积为s，试求s与t的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)当t为何值时，是等腰三角形? (4)如图2，若点N是线段上一点，且，点Q 是线段上一动点，连接得到，请直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)， (3)当秒或秒或秒时，是等腰三角形 (4) 【详解】（1）解：∵， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由题意得，当时，， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， 由得； （3）解：由题意得，，，， 当时，则，解得； 当时，，解得； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：当秒或秒或秒时，是等腰三角形 （4）解：过点分别作的对称点，连接， ∴， ∴，， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵， ∴， ∴的周长最小值为． 39．（22-23八下·山东青岛·期中）如图1，在中，，点从点出发，沿线段向终点运动．过点作的垂线，与的直角边或相交于点．设线段的长为，线段的长为．    (1)为了探究变量与之间的关系，对点在运动过程中不同时刻，的长度进行测量，得出如表几组数据： 变量 变量 在图中，以变量的值为横坐标，变量的值为纵坐标，描点并连线；在图中，以变量的值为横坐标，变量的值为纵坐标，描点并连线． (2)根据探究的结果，解答下列问题： ①当时，　 ；当时，　 　． ②是否有最大值？若有，请直接写出它的最大值；若没有，请说明理由； ③下列说法正确的是 　 　．(填“A”或“B”) A．变量是以为自变量的函数 B．变量是以为自变量的函数 (3)如图4，若在内扫过的图形面积等于，则是多少？结果精确到 【答案】(1)见解析 (2)①，；②的最大值为；③B (3) 【详解】（1）如图，    （2）①根据函数图象可知当时，h是a 的0.75倍 ∴ ∴当时， 根据表格可知：当时， 故答案为：，7； ②当时，， 根据函数图象可得时，取得最大值， 所以的最大值为； ③∵对于的每一个值，h都有唯一值与其对应， ∴是的函数， ∵当时，或， ∴不是的函数， 故答案为：B； （3）当在上时，即时， 由(2)得， 由题意得：， 解得：． 题型十四 函数与方案问题（共3小题） 40．（山东省乐陵市2024-2025年学年八年级下学期期中）为了积极助力脱贫攻坚工作，如期打赢脱贫攻坚战，某驻村干部带领村民种植草莓，在每年成熟期都会吸引很多人到果园去采摘．现有甲、乙两家果园可供采摘，这两家草莓的品质相同，售价均为每千克30元，但是两家果园的采摘方案不同： 甲果园：每人需购买60元的门票一张，采摘的草莓按6折优惠； 乙果园：不需要购买门票，采摘的草莓按售价付款不优惠． 设小明和爸爸妈妈三个人采摘的草莓数量为x千克，在甲、乙果园采摘所需总费用分别为元，其函数图象如图所示． (1)分别写出与之间的函数关系式； (2)请求出图中点A的坐标，并指出点A表示的实际意义； (3)请根据函数图象，直接写出小明一家选择哪家果园采摘更合算． 【答案】(1)， (2)，点的实际意义是当采摘量为5千克时，到两家果园所需总费用相同均为150元； (3)当采摘量大于5千克时，到甲果园更划算；当采摘量等于5千克时，两家果园所需总费用相同，则到甲乙果园哪家都可以；当采摘量小于5千克时，到家乙果园更划算 【详解】（1）解：由函数图象可知，草莓的售价为元/千克， ∴， （2）解：当时，则，解得，此时， ∴点A的坐标为 ，点的实际意义是当采摘量为5千克时，到两家果园所需总费用相同均为150元； （3）解：观察图象知：当采摘量大于5千克时，到甲果园更划算； 当采摘量等于5千克时，两家果园所需总费用相同，则到甲乙果园哪家都可以； 当采摘量小于5千克时，到乙果园更划算． 41．(23-24八下·山东聊城阳谷县四校·期中)如图某电信公司提供了A、B两种方案的移动通信费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系． (1)当通话时间少于120分钟，那么A方案比B方案便宜 元； (2)当通信费用为60元，那么A方案比B方案的通话时间 （填多或少）； (3)王先生粗算自己每月的移动通信时间在220分钟以上，那么他会选择电信公司的 方案． 【答案】(1)20 (2)少 (3)B 【详解】（1）解：∵通话时间少于120分钟，A方案费用30元，B方案费用50元，， ∴A方案比B方案便宜20元； 故答案为：20； （2）解：从图中可以看出，当通信费用为60元，A方案比B方案的通话时间少； 故答案为：少； （3）解：A方案：当时，； B方案：当时，， 当时，（元）． 故B方案比A方案便宜，他会选择电信公司的B方案． 故答案为：B． 42．(24-25八下·山东聊城东昌府区·期中)元旦期间，某移动公司就手机流量套餐推出三种优惠方案，具体如下表所示：A，B，C三种方案，每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（GB）之间的函数关系如图所示（已知）．解答下列问题 A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 188 每月免费试用流量（GB） 10 m 无限 超出后每GB收费（元） n n (1)填空：表中的m=_________，n=_________； (2)在A方案中，若每月使用的流量不少于10GB，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（GB）之间的函数关系式； (3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少GB时，选择C方案最划算？ 【答案】(1)； (2) (3)74 【详解】（1）解：， ． （2）解：设函数表达式为， 把（10，20），（22，56）代入，得， 解得， ∴关于的函数表达式为：， （3）解：（GB） 由图像可得，当每月使用的流量超过74GB时，选择C方案最划算． 题型十五 函数相关规律性问题（共3小题） 43．(23-24八下·山东聊城·期中)围棋是中华民族发明的迄今最久远的智力博弈活动之一．图中棋局都是由同样大小的黑棋、白棋按一定规律组成的，其中第①个图形中白棋有1枚，黑棋有8枚；第②个图形中白棋有2枚，黑棋有12枚；第③个图形中白棋有3枚，黑棋有16枚，……按此规律排列，若某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚，则y与x的关系可以表示为_______． 【答案】 【详解】解：由第①个图形中白棋有1枚，黑棋有8枚；第②个图形中白棋有2枚，黑棋有12枚；第③个图形中白棋有3枚，黑棋有16枚，… 得白棋每次增加1枚，黑棋每次增加4枚， ∴第个图形中白棋有1枚，黑棋有枚； ∴某个图形中白棋有x枚，黑棋有y枚，则y与x的关系可以表示为． 故答案为：． 44．(24-25八·山东日照北京路中学·期中)如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是______． 【答案】y=x+2x-2（x≥2） 【详解】解：根据题意得： 第1个图：x=2=1+1，y=2+1=1+1+20， 第2个图：x=3=2+1，y=3+2=2+1+21， 第3个图：x=4=3+1，y=4+4=3+1+22， 第4个图：x=5=4+1，y=5+8=4+1+23， … 以此类推：第n个图：x=n+1，y=n+1+2n+1-2， y与x之间关系的表达式是：y=x+2x-2（x≥2）， 故答案为：y=x+2x-2（x≥2）． 【点睛】本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可． 45．（24-25八下·山东德州经开区·期中）如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，按此规律摆下去，若第n个图案中有y个三角形，则y与n之间的关系式是________． 【答案】 【详解】解：由图形可知： 第1个图案有个三角形， 第2个图案有个三角形， 第3个图案有个三角形， ．．．， 第n个图案有个三角形， ∴． 故答案为． 1．如图，在矩形中，，，E在上．，．将矩形沿折叠，A落在处，交于点G，再沿着折叠，点D落在直线上的处，C落在处，F在上，若D、F、三点共线，则（    ）    A．4 B．6 C．7 D．5 【答案】B 【分析】先证明是直角，然后证明和全等即可得出结论． 【详解】解：如图，    ∵、、三点共线，四边形是由四边形翻折得到， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题结合矩形考查了折叠变换，熟知折叠的性质并灵活运用是解题的关键，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 2．如图，在平行四边形中，点是的中点，作交于，若，，下列结论：①，②，③，④中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】延长、交于点，结合平行线的性质和中点利用可证，得到，，再结合根据垂直平分线的性质可得，进一步可得，，即可判断①②④正确；③缺少条件证明． 【详解】解：延长、交于点，如图所示， ∵平行四边形， ∴， ∴，， ∵点是的中点，∴， ∴， ∴，， ∵，∴， ∴，， ∴②正确； ∵，∴， ∴，∴， ∴①正确； ∴， ∴， ∴， ∴④正确； 由现有条件无法证明，③不一定正确； 故选：C ． 3．如图，在正方形中，，O是中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接． （1）点E到距离的最小值为_____． （2）线段长的最小值为_____． 【答案】 / / 【分析】（1）取的中点，连接，先证明四边形是矩形，得到，然后根据，得到当三点共线时，最小，此时，为点E到距离，从而求得答案； （2）连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，先证明，得到，然后根据勾股定理，求得，然后利用，求得答案． 【详解】解：（1）取的中点，连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， 是的中点，是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时，为点E到距离， 点E到距离的最小值为； 故答案为：； （2）如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，， ， ， ，， ， ， 正方形中，，是边的中点， ，， ， ，， ， ， ，当且仅当共线时，等号成立， 线段长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 4．在菱形中，，点E，F分别是的中点，动点P从B出发沿着顺时针方向运动到C点，当为直角三角形时，________． 【答案】或或 【分析】分三种情况考虑：点P在边上；点P在边上；点P在边上，利用等边三角形的判定与性质、勾股定理即可求得． 【详解】∵四边形为菱形，， ∴菱形四边长为4，且， ∴, ∵， ∴，即，． ∵E，F分别是的中点， ∴； 连接，则是等边三角形，即； ①当点P在边上时；如图，    当点P是的中点时， ∵是等边三角形，点P是的中点 ∴ ∴为直角三角形， 此时， ； ②当点P在边上时，如图，连接，    当点P是的中点时， ∵是等边三角形，点P是的中点时， ∴ ∴为直角三角形，此时； ③当点P在边上时，连接，如图，      当点P是的中点时，此时， ∵，为的中位线，为的中位线， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴ 综上所述，的长度为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，注意分类讨论是解题的关键． 5．我们已经学过完全平方公式 ，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如 那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求 的算术平方根． 解： 的算术平方根是 ． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（直接写出结果，结果化成最简）． (1)= ； (2)= ； (3)在中，，那么边的长为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先利用（1）中得到的结论，把换成，然后将变形为完全平方式，最后开平方即可； （3）先利用勾股定理表示出，同样仿造上面把变形为完全平方式，最后开平方即可． 【详解】（1）解：原式 ， 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为：； （3）解：根据题意，得 ． 6．如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)；240； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据时的函数值可得的长，进而可得的长；根据速度等于路程除以时间可求出小云的速度，进而求出小云1小时行驶的路程可得a的值；根据小敏比小云早到小时可求出b的值； （2）设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时，根据路程等于速度乘以时间分别表示出加速前和加速后小敏的路程，进而建立方程求出的值即可得到答案； （3）求出和时二人的距离，可确定当小云与小敏之间的距离为450千米时，，据此建立方程求解即可； （4）求出时二人的距离，可确定当二人相距时，，据此求出当二人相距时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，， ∴； 由题意得，小云一共花了小时到达C景点，且驾车的时间为小时， ∴小云的速度为， ∴小云驾车1小时的路程为， ∴； ∵小敏比小云早到小时， ∴小敏一共花了小时到达C景点， ∴； （2）解：设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时， 由题意得，， 解得， ∴小敏加速前行驶了2小时， ∴小敏加速前一共行驶了， ∴小敏加速后，S与t的函数关系式为； （3）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴当小云与小敏之间的距离为450千米时，， ∴， 解得； （4）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴由（2）可知，当二人相距时，， 则当二人相距时， 解得， ∴当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时． 7．阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：，． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)计算以下式子的值：； (3)已知整数满足，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由阅读材料中的定义、方法直接求解即可； （2）先对括号里各项分母有理化，再化简括号里的，最后由平方差公式计算即可； （3）将题中等式左边式子分母有理化，再由等式列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由阅读材料方法，可知， 则与互为有理化因式； ， 则将分母有理化得； （2）解： ； （3）解： ， ， 解得． 8．在四边形中，，E为射线上的一点，四边形为平行四边形． (1)如图1，连接，，若，求证：四边形是矩形； (2)如图2，连接，，，交于点．若，求的周长的最小值； (3)如图3，连接，，交于点．若，当是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)周长的最小值为 (3)或或 【分析】（1）先证明四边形是菱形得到，，再根据平行四边形的性质推导出，，则四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定可证得结论； （2）过E作交延长线于N，过B作，交延长线于H，在延长线上截取，连接，则，由菱形的性质可求得，进而可得当F、B、M共线时取等号，的周长的最小值为；证明四边形、四边形是矩形，求得，，最后利用勾股定理求得即可求解； （3）先根据线段垂直平分线的判定与性质得到垂直平分，则，，设，则，，则，根据等腰三角形的定义分三种情况求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是菱形，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：过E作交延长线于N，过B作，交延长线于H，在延长线上截取，连接，如图， 则垂直平分， ∴， 由（1）知四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵的周长，当F、B、M共线时取等号， ∴的周长的最小值为， ∵，， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， 在中，， ∴的周长的最小值为； （3）解：∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵，设， ∴，，则， 根据题意，当是等腰三角形时，分三种情况： 当点E在线段上且时，， ∴； 当点E在延长线上且时， ∴； 当时，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，则 ∴， 综上，满足条件的的值为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06期中真题易错百练通关 真题实战：百练通关 题型1“四边形相关折叠问题 题型9 三次根式规律性问题 题型2四边形相关最值问题 题型10分母有理化 题型3“四边形相关综合间题 题型11整数部分与小数部分 题型4四边形相关动点间题 题型12：函数图像与行程间题 题型5几何证明压轴探究数量关系 题型13函数与动点儿何 题型6几何证明压轴题存在性问题 题型14函数与方案问题 题型7几何证明压轴题定值问题 题型15函数相关规律性问题 题型8复合二次根式化简 题型一四边形相关折叠问题（共3小题） 1.(2425八下山东微山期中)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=3,点E是CD边上一点，连接BE, 把∠C沿BE折叠，使点C落在点F处，当△FED为直角三角形时，CE的长为() A.2 B.3 C.2或1.5 D.3或1.5 2.(24-25八下·山东临沂蒙阴县高都镇中心学校期中)如图，在矩形ABCD中，AD=15,AB=9.E是边 AB上一点，将△ADE沿DE所在直线折叠，使得点A恰好落在CB边上点F处，则EF的长是() E B F A.4 B.5 C.25 D.3√2 3.(2025山东省济宁市一模)如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在直线折叠得 到△AGE,延长AG交CD于点F,已知CF=2,FD=1,则BC的长是() 1/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D G B E A.32 B.25 C.2√6 D.25 题型二四边形相关最值问题（共3小题） 4.(24-25八下山东乐陵期中)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,F为边BC上一动 点，FD⊥AB于E,FE⊥AC于F,连接DE,则DE的最小值为() E D B F A.1.5 B.2 C.2.4 D.2.5 5.(山东省济南市莱芜区2024-2025学年下学期期中)如图，在菱形ABCD中，AB=25,∠ABC=60°， 点P、M分别是BD和BC上的动点，且点M与点B、C不重合，则PM+PC的最小值是() A B M A.2 B.3 C.25 D.4 6.(2025山东省济宁市一模)如图，在Rt△ABC中，LBAC=90°，LABC=45°，AB=22,点P为BC 上任意一点，连结PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAC,连结PQ,则PO的最小值为() A.2 B.√2 C.2W2 D.4 题型三四边形相关综合问题（共3小题） 7.(山东省德州市德城区第五中学2024-2025学年八年级下学期期中)如图，在正方形ABCD对角线BD 2/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 上截取BE=BC,连接CE并延长交AD于点F,连接AE,过B作BG⊥AE于点G,交AD于点H,则下 列结论①AH=DF;②S四边形EFHG=SDEr+S,4GH;③LAEF=45°；④△ABH≌△DCF.正确的有(）· H B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 8.(24-25八下济宁南站中学·期中)如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AD=25, ∠COB=60°，BF⊥AC,交AC于点M,交CD于点F,延长FO交AB于点E,连接DE,则下列结论： ①OE=FC；②四边形EBFD是菱形；③△DOF≌△CBF;④MB=3,其中结论正确的序号是() A.①②③ B.①②③④ C.①④ D.②③④ 9.(临沂市郯城县2023-2024学年八年级下学期期中)如图，口ABCD的对角线AC、BD交于点O,DE 平分∠ADC交AB于点E,∠BCD=60,AD=号AB,连接OE.下列结论：①SAcD=AD,BD;②DB平 分∠CDE;③OE=BE;④OE垂直平分BD.其中正确的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型四四边形相关动点问题（共3小题） 10.(德州市宁津县第四实验中学2023-2024学年八年级下学期期中)如图，在矩形ABCD中， AB=20cm,动点P从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度 运动.点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设动点的运动时间为$， 当t=s时，四边形APQD是矩形. 3/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D Q← A P 11.(23-24八下山东邹城期中)如图，在矩形ABCD中，边AB长4cm,边BC长8cm,对角线BD的垂 直平分线EF分别与AD、BC相交于点E、F,BD和EF相交于点O,动点P、Q分别从BD两点出发，分 别绕△BAE和aDCF运动，点P的速度为5cm/s,路径为B→E→A→B.点Q的速度为4cm/s,路径 为D→C→F→D,两个动点返回起点后均停止运动.若点P和点Q同时出发，当四边形BPDQ为平行四 边形时，所用时间为s. E D B C 12.(24-25八下·山东菏泽巨野县·期中)如图，四边形ABCD中，AD∥BC,AD=8cm,BC=12cm，M 是BC上一点，且BM=9cm,点E从点A出发以lcm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的 速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A,M,E,F为顶 点的四边形是平行四边形时，t= A-E D 题型五几何证明压轴题探究数量关系（共3小题） 13.(23-24八下山东潍坊坊子区·期中)问题情境 一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点M在对角线AC上， 点N在射线BC上，且∠MDN=60°，请猜想DM与DN的数量关系，并加以证明. 观察思考 4/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D D M B 图1 图2 图3 (1)请解答老师提出的问题， 探索发现 (2)如图2，在图1的基础上连接BM,取BM的中点E,连接AE,NE. ①试猜想当点M与点A重合时，AE与NE之间的数量关系为-· ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由， 14.(22-23八下，淄博柳泉中学·期中)如图，在正方形ABCD中，E、F是直线DC、CB上的点，且 DE=CF, E D A D B C F 图① 图② 图③ (I)如图1，当E、F分别在DC、CB边上时，连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的关系（位置 关系和数量关系)，并说明理由 (2)如图2，当E、F分别在DC、CB边的延长线上时，连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗？（请直 接回答“是”或“否”，不需证明) (3)如图3，当E、F分别在CD、BC边的延长线上时，连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗？请说明 理由 15.(2425八下菏泽三桐中学·期中)如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接 DE,BE. 5/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D G B 图1 图2 (I)求证：BE=DE; (2)如图2，过点E作EF⊥DE,交边BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. ①求证：矩形DEFG是正方形： ②探究：线段CE、CG、BC之间的数量关系？并说明理由. 题型六几何证明压轴题存在性问题（共3小题） 16.(22-23八下山东济宁微山期中)如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是边BC 上的一动点，连接AE交BD于点M,过点B作BF⊥AE于点P,交AC于点G,交CD于点F. (1)求证：△ABE≌△BCF; (2)当0M=2时，求0G的长； (3)当点E运动到使AE平分∠BAC位置时，BM与OM是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们的数量 关系并证明；若不存在，请说明理由 17.(24-25八下山东泰安南关中学（五四制）期中如图，在四边形ABCD中，AB∥CD, ∠ABC=90°，AD=CD=13cm,BC=I2cm,M、N是线段AB、CD上两动点，M点从点A出发，以每秒 2cm的速度沿AB方向运动，N点从点D出发，以每秒1cm的速度沿DC方向运动，M、N同时出发，同时 停止，当M运动到点B时，M、N同时停止运动，设运动时间为t秒 D →N D >N D A M →M B →M B 备用图一 备用图二 (1)求AB的长； 6/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)当t为何值时，四边形AMCN为平行四边形？ (3)在M、N运动的过程中，是否存在四边形MBCN是矩形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理 由. 18.(24-25八下山东东营中国石油大学（华东）附属中学期中)如图1，在矩形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O,经过点O的任意一条直线分别交AD,BC于点E,F. E D D B 8 图1 图2 (1)求证：OE=OF; (2)如图2，如果点E,F分别是AD,BC的中点，AB=5,BC=12.在对角线AC上是否存在点P,使 ∠EPF=90°？如果存在，请求出AP的长；如果不存在，请说明理由 题型士几何证明压轴题定值问题（共3小题） 19.(山东省日照市莒县2024-2025学年八年级下学期期中)如图①，四边形ABCD为正方形，E为对角 线AC上一点，连接DE,BE. 1 ② (I)求证：BE=DE: (2)如图②，过点E作EF⊥DE,交边BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. ①求证：矩形DEFG是正方形： ②若AB=3√2，探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 20.(2025山东省青岛市二模)如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=3√2，点E为对角线AC上一动 点，连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. 7/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B (1)求证：矩形DEFG是正方形； (②)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 21.(23-24八下山东济南历下期中)如图所示，在菱形ABCD中，AB=6,∠B-60°，点E、F分别是边 BC、CD上的两个动点，E点从点B向点C运动，F点从点D向点C运动，设点E、F运动的路径长分别 是a和b. B B 0 6 b 图① 图② (I)猜想：如图①，当a=b时，写出线段AE与线段AF的数量关系； (2)证明：如图②，连接AC,若a+b=6,请证明△ABE≌△ACF; (3)应用：在(2)的条件下，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，请直接写出这个定值；如果 变化，请直接写出该四边形面积的最大值. 题型八复合二次根式化简（共3小题） 22.(24-25八下山东淄博张店区第八中学期中)像√4-25，√√48-√45，这样的根式叫做复合二次根 式.有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简。 如：V4-25=V3-23+1=VW3y-23x1+12=VW3-102=3-1; V5+26=V3+2V6+2=V(W52+2xV3x2+(2)2=VW3+2)2=5+√2. 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：V10+221; (2)化简：V14-8√5. 8/19 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 23.(24-25八下·山东临沂蒙阴县高都镇中心学校期中)阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如4+23=1+√，善于 思考的小颖进行了以下探索： 设x+y3=(m+n5(其中x,y,m,n均为正整数)，则有x+y√5=m2+3n2+2mn5, .x=m2+3n2,y=2mn.这样小颖就找到了一种把部分x+√3y的式子化为平方式的方法。 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (I)当x,y,m,n均为正整数且x+yW5=(m+n5时，请用含m,n的式子分别表示x,y: x= y= (2)若x+4V5=(m+5,且x,m,n均为正整数，求x的值； (3)①填空：√4+25= ②化简：V4-V9+2W8 24.(23-24山东省临沂市·期中【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化 成另一个式子的平方，如： 5+2W6=(2+3)+22x3=(N2+(W5+2×(2)x×N5)=(N2+3: 7-4W5=(4+3)-2×2×3=22+(N5-2×2×5)=(2-5 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将7+2√10化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：V6-42; 【类比归纳】 (3)若a+25=(m+Vm,其中m>n,且a,m,n均为正整数，求a+m+n的值. 题型九二次根式规律性问题（共3小题） 25.(2425八下山东济宁汶上·期中)观察下列各式： 4 按照以上的规律，写出第10个式子为 26.(23-24八下山东泰安期中)观察并分析下列数据，寻找规律，√6,3,25，√15,3√2，， 9/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则第n个数据应是 27.(22-23八下山东威海环翠期中)观察下列等式： 第1个等式：a=,1 1+22-, 1 第2个等式：a2= 2+35-2, 1 第3个等式：4= 3+2=2-5, 1 第4个等式：a,=2+5=5-2, … 按上述规律，计算a+a2+a…+an= 题型土分母有理化（共3小题） 28.(山东省淄博市张店区2022-2023学年八年级下学期期中) 5+1的倒数是 3 35+2 29.(2425八下山东庄期中)化简52时，甲的解法是：原式= =√5+2， 5-2W5+2 乙的解法是： 原式-5+25- √5-√2 .N5+2,以下判断正确的是（） A.甲的解法正确，乙的解法不正确 B.甲的解法不正确，乙的解法正确 C.甲、乙的解法都正确 D.甲、乙的解法都不正确 30.(23-24八下德州第五中学期中)化简： 2-V2 √2 题型土一整数部分与小数部分（共3小题） 31.(山东省威海市环翠区2023-2024学年八年级下学期期中)已知√47的整数部分是α，小数部分是b, 则a2-b2的值是 32.(24-25八下-山东潍坊期中)设6-√0的整数部分为a,小数部分为b,那么(2a+0)b=一· 33.(24-25八下山东烟台蓬莱区期中)若3-√2的整数部分为a,小数部分为b,则代数式2+√2ab的 值是 题型十二函数图像与行程问题（共3小题） 34.(2025山东省临沂市三模)一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速 10/19