专题01 四边形相关折叠最值综合动点问题（4种类型32道）（高效培优期中专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

专题01 四边形相关折叠最值综合动点问题 考点01 折叠问题 考点02最值问题 考点03综合问题 考点04动点问题 考点01 折叠问题 1．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接相交于于点，根据折叠的性质可得，进而得出四边形是平行四边形，设，则，，在中，利用勾股定理列出方程，求得，进而可得． 【详解】解：连接相交于于点， 将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处， ，，， ， 又将沿折叠，点恰好落在上的点处，， ，，，， ， ， ， ， ， 又四边形是矩形，， ， 四边形是平行四边形， ， 设，则，， ，， ， ，， 在中，， 即， 化简方程解得，， ， 舍去， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，平行四边形的性质与判定，矩形的性质等知识，掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 2．如图，在矩形ABCD中，，．将矩形沿AC折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．本题中设，根据直角三角形中运用勾股定理求是解题的关键． 由折叠的性质得到，根据矩形的性质得到，从而得到，根据等腰三角形的判定定理得到，设，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由折叠可得． ， ， ， ． 设，则，． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ， ． 故选：A． 3．如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的比例和差关系，进行求解即可． 【详解】解：菱形中，， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 故选：D． 4．在矩形中，，，点E为中点，将沿折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形中位线定理．取的中点M，连接，根据矩形的性质和折叠的性质可得：，，，应用勾股定理可求出，用等面积法求出，利用三角形中位线定理可得，再用勾股定理求，进一步即可求出． 【详解】解：取的中点M，连接， ∵矩形中，，，点为中点，将沿折叠，使点落在矩形内的点处， ∴，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，长方形中，，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的处，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理的应用．由折叠可得，，，在中，由勾股定理可得，则，在中，根据勾股定理可求出，进而可求出的长． 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠可知，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴， 故选C． 6．如图，矩形中，，，连接对角线，将沿所在的直线折叠，得到，交于点F．则的长是（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，证明．根据矩形性质得出，根据平行线的性质得出，根据折叠得出，，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， 由折叠性质，得，， ， 设，则， 在中， 则， 解得， 的长为3， ， ． 故选：C． 7．如图，将一张矩形纸片沿折叠，顶点A刚好落在边上的点处，若的长度为，的长度为，则折痕的长度为（     ）． A． B． C．12 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是图形的翻折变换及勾股定理．先根据翻折变换的性质得出，再先设，则，，在中由勾股定理可求出，得到，在和中由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵由翻折而成， ∴， ∴，，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：，即， ∴，即， 在中，由勾股定理可得， 故选：A． 8．如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、交于点，过点作于点，由正方形的性质可得，，，，由对折可得，，，推出，根据勾股定理求出，则，进而求出，证明，得到，可得，由，可得，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设、交于点，过点作于点， 四边形是正方形， ，，，， 由折叠可得，，， ， ， ， ， 设， 在中，由勾股定理得，即， 解得（负值已舍去）， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，灵活运用相关知识是解题的关键． 考点02 最值问题 9．如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】要解决的最小值问题，需通过线段平移将分散的线段和转化为共线形式，再结合“两点之间线段最短”与勾股定理求解．利用的垂直关系和平移性质构造直角三角形，将的和转化为直角三角形斜边的长度，进而确定最小值． 【详解】解：如图，将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段． ，；，． ，且， ，即． ∵，， ． 在中，根据勾股定理： 由，可得． ∵． 的最小值为的长度，即． 10．如图，菱形中，，E是对角线上的任意一点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先得出，，从而可得，于是有．由于，可得当最小时，最小，即最小，再求得， 利用勾股定理求得，从而可得的最小值为． 【详解】解：过点E作于点F，连接． 因为，且四边形为菱形， 所以，， 因此， 所以． 由于， 因此当最小时，最小， 即最小． 根据垂线段最短， 当时，最小， 记此时的为． 因为，， 所以， 因此， 所以的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂线段最短，三角形三边关系的应用，含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，利用菱形的性质求线段长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 11．如图，在中，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质，根据垂线段最短作出辅助线，确定点P，Q的位置是解答此题的关键． 取的中点G，连接．首先证明，作点B关于的对称点F，连接，证，则的长即为的最小值，求出的长即可． 【详解】解：取的中点G，连接．在中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 作点B关于的对称点F，连接，交于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，，， ∵， ∴， ∴， 当点Q与点G重合时，，的长即为的最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 12．如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出 ，，再利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 如图，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点， 由对称性得，， ∴，当且仅当依次共线时，取得最小值， 如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 13．如图，在中，．H、G分别是上的动点，连接，E、F分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 14．如图，正方形的边长为8，为对角线上一动点，中，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短、全等三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长，理解垂线段最短是解题的关键．根据题意证明，可得的周长为，当最小时周长最小，而，进而可得当时最小，求得此时的周长即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 的周长为， 是等腰直角三角形， ， 如图，当时，最小，   正方形的边长为8， ， ， 的周长的最小值为， 故选：A． 15．如图，在正方形中，，直角三角形的直角顶点在正方形的中心点O处，直角三角形与正方形分别交于点M，N，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．根据正方形的性质得出，，，即可得证，得出，当时，的长最小，则取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：四边形是正方形，点O为正方形的中心点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 当时，的长最小，则取得最小值， 此时， ∴的最小值为， 故选：C． 16．如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接、，是的中点，是的中点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点A作于N，则∠ANB=90°， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 故选：C． 考点03 综合问题 17．如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质和垂直平分线的判定的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题先证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，求得，即，即可得到，可以判断①正确；依据，，可得②正确；假设③正确，那么，即，那么不能构成，可判断③错误； 根据点是的中点，点是的中点，进而得出是的中位线，则可得出，可判断④正确；然后即可求解． 【详解】解：在中， ，，平分，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； 已知：，， 假设③正确，那么， 即，那么不能构成， ∴③错误，不符合题意； ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①②④， 故选：D． 18．如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． ①连接构造全等三角形，得到，，进而可得，是等边三角形，①、②正确；用反证法可知③错误；根据题意可知，四边形的面积等于，则当时，可取得最小值，取得最大值，根据等边三角形性质分别求出此时的，，进而求出． 【详解】解：如图，连接． 四边形为菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，即，①正确， ，为等边三角形，②正确； ∴，则，③不正确； ， ， 可知当取得最小值，取得最大值， 设等边三角形边长为，可知其高为，面积为， 为等边三角形，其面积会随边长变化而变化， 当，取得最小值，则取得最小值， ， 此时，，， ，④正确． 综上，正确的个数有个． 故选：． 19．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明后即可证明①；③；在此基础上，再证明是等腰直角三角形，即可判断②；根据正方形的对角线平分对角的性质，在中，，在中，，在中，，从而即可得出结论． 【详解】解：过作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边是矩形，四边形是矩形， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确，， ∴，故③正确， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，即， ， ， ，即，故②正确， ∵在中，， 在中，， 在中，， ∴，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题． 20．在正方形中，F在上，E在的延长线上，，连接、交对角线于点N，M为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中结论正确的有____．（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】证明可判定①；设，则，求得，从而得，即可判定②；连接，由直角三角形斜边上中线的性质得，再由，即可判定③；取的中点G，连接，则；由直线是的垂直平分线及等腰三角形的性质得：，由勾股定理即可求得的长，从而判定④；最后可得答案． 【详解】解：在正方形中，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； 故①正确； ∵为等腰直角三角形， ∴； 在正方形中，； 设，则， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 如图，连接， ∵，且M是斜边的中点， ∴， ∴； 在正方形中，， ∴是线段的垂直平分线； 故③正确； 取的中点G，连接， ∵M是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴； ∵直线是的垂直平分线，且，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理即得， 故④正确； 综上，全部正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，有一定的综合性，灵活运用这些知识是解题的关键． 21．如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．下列结论中：①；②若，，则四边形是正方形；③若，，，则的长为，其中正确的结论有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键． 利用判定，从而得到；，由已知可得四边形是平行四边形，再利用等底等高的三角形面积相等，即可得，再根据，，可得四边形是菱形也是矩形；再取的中点，连接，，，利用勾股定理求解即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵为的中点， ， ， ，， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ，， ∴， ∴，故结论①正确； 若，时， ∵， ∴平行四边形是菱形． ∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形． ∴四边形是正方形；故结论②正确； 取的中点，连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∵， ，故结论③正确． 综上所述：正确的结论有①②③，故选D． 22．如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．下列正确的选项是（    ） A．①②④ B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】过E作，过E作于N，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出，故③正确；进而求得，故②正确；当时，点C与点F重合，则，，得到不一定等于，故④错误． 【详解】解：过E作，过E作于N，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， 故①正确； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故③正确； ∴， 故②正确； 当时，点C与点F重合，则，， ∴不一定等于， 故④错误． 综上，正确的有①②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键． 23．如图，有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的最小值为5．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的性质及菱形的性质是解题的关键．根据折叠的性质及矩形的性质可知四边形是菱形，再根据全等三角形的判定与性质可知，这个结论不一定成立，最后利用菱形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故②正确； ∴，， ∴， ∵， 若， ∴， ∴，这个结论不一定成立， 故①错误； 点与点重合时，如图所示， 设，则， ∴在中，, ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； 当过点时，如图所示，最短，四边形的面积最小， ∴， 当点与点重合时，如图，最长，四边形的面积最大， ∴， ∴， 即的面积的最小值为4． 故④错误； 正确的项为②③，共两个， 故选：B． 24．如图，在菱形中，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质得到，由三角形的内角和为求出的值，得出，由直角三角形的性质得到，即可得到；在直角三角形中，，故与不全等，由三角形的面积公式即可判断． 【详解】解：菱形， 是等边三角形，是等边三角形， ， 分别是的中点， ，故①正确； ， ， 在和中， ， ， ，故②正确； 是直角三角形， ， 与不全等，故③错误； ， ， ，故④正确； 综上，正确的有3个． 考点04 动点问题 25．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为_____秒． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒） ∵，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动， 到达的时间为（秒）， ∴当在点以及点的左边时，即时， 则， 当在的右边时，即时， 则， 以点为顶点的四边形是平行四边形时， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 26．如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为____________． 【答案】4或6或8 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的分类讨论等知识点，掌握通过构造全等三角形转化线段关系、列方程求解，以及对等腰直角三角形直角顶点的分类讨论方法是解题的关键． 设，则，根据等腰直角三角形直角顶点的不同，分三种情况讨论，通过构造全等三角形，利用矩形性质和全等三角形对应边相等列方程求解的值． 【详解】解：设，则． ①如图①，当，且时，可证得， ． ， 解得． ②如图②，当，且时，过点作于点， 在 和 中， ∴， ， ， 解得． ③如图③，当，且时，过点作于点， 在和中， ， ，，四边形是矩形， ，即， 解得． 综上，的长为或或． 故答案为：或或． 27．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，，分别是，上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理等知识．由题意知，，如图1，在上取点，使，连接，，则，由，可得，，即、、三点共线，如图2，则四边形是矩形，则，由勾股定理得，计算求解即可，明确时，点的位置是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 的平分线交于点， ， 如图1，在上取点，使，连接，， 又， ， ， ， ，， 与的距离为6， ， ， 如图2，则四边形是矩形， ，， ，，， 四边形为正方形， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， ，， 由勾股定理得， 故答案：． 28．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度沿向点运动，过点作于点D． （1）当时，点的坐标为__________； （2）当的值最大时，点的坐标为__________． 【答案】 【分析】（1）先由矩形的性质得，，，根据勾股定理得，证明，整理得，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B运动，故，进行作答即可． （2）取中点T，连接，则；根据，可得当B、T、D三点共线，即点与点E重合时，有最大值，再根据中点坐标公式求解即可． 【详解】解：（1）连接交于点， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴，， ∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B运动，同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿向点O运动． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B运动， ∴， ∴点P的坐标为； 故答案为：； （2）如图所示，取中点T，连接， ∵， ∴； ∵， ∴当B、T、D三点共线，即点与点E重合时，有最大值， ∴此时点D为的中点， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 29．如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，点是线段延长线上的动点，连接，将四边形沿所在直线翻折，若的中点落在点处，则线段的长度是______． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，过点做，点为的中点，连接交于点，易证，得出，，设，则，，，，再根据勾股定理分别用表示出，，进而根据勾股定理得出关于的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，过点做，点为的中点，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵四边形沿所在直线翻折，若的中点落在点处， ∴，， ∴， ∴，， 设，则，，， ∴， 在中，，即， ∴， 在中，，即， ∴， 在中，，即， 整理得：，即， 解得：或， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，翻折的性质，解一元二次方程，熟练应用勾股定理是解题的关键． 30．如图，四边形为矩形，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．点，同时开始运动，当点到达点时，点，同时停止运动，设运动时间为秒．设的面积为，用含的式子表示，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，所对的直角边为斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 过点作于点，根据题意得：，，由矩形的性质可得，所对的直角边为斜边的一半，可得，代入数值，即可求解． 【详解】解：过点作于点， 由题意得：，， ∵四边形为矩形， ∴， ∵，，四边形为矩形， ∴， ∴， ∵ ∴在中，， ∴， 故答案为：． 31．如图，在矩形中，，．点在边上，且，分别是边上的动点，且，是线段上的动点，连接．若取最小值，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，如图，作关于的对称点，连接，可得当共线，且时，，此时最小，证明四边形为矩形，可得，进一步可得答案． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接， ∴， 当共线，且时， ，此时最小， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由对称可得：， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； 故答案为：． 32．在边长为8的正方形中，E为对角线上一动点，F为边上一动点，，点E从点A出发，沿方向移动，若E点移动的路径长为，则的中点G移动的路径长______． 【答案】4． 【分析】取BC的中点M，连接MG并延长，交AC于点N，由题意可知，中点G在MN上移动，E点移动的路径长为时，中点G移动的路径为MN，求出长度即可． 【详解】取BC的中点M，连接MG并延长，交AC于点N， ∵G是的中点， ∴MG∥CD，即中点G在MN上移动，N为AC的中点， 当点E在A点时，点F与点D重合，BF的中点即为AC的中点N， 正方形的边长为8，， E点移动的路径长为，即E点与AC的中点N重合，点F与点C重合，BF的中点即为BC的中点M， ∴BF的中点G移动的路径长即为NM的长， 由中位线性质得，， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了正方形的性质、中位线的性质和动点问题，解题关键是利用中位线的性质得出的中点G移动的路径并求出长度． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 四边形相关折叠最值综合动点问题 考点01 折叠问题 考点02最值问题 考点03综合问题 考点04动点问题 考点01 折叠问题 1．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形ABCD中，，．将矩形沿AC折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 3．如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 4．在矩形中，，，点E为中点，将沿折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C． D． 5．如图，长方形中，，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的处，则的长是（    ） A． B． C． D． 6．如图，矩形中，，，连接对角线，将沿所在的直线折叠，得到，交于点F．则的长是（   ） A．5 B．4 C．3 D． 7．如图，将一张矩形纸片沿折叠，顶点A刚好落在边上的点处，若的长度为，的长度为，则折痕的长度为（     ）． A． B． C．12 D．5 8．如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 考点02 最值问题 9．如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（   ） A．7 B．5 C． D． 10．如图，菱形中，，E是对角线上的任意一点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 11．如图，在中，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D． 12．如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 13．如图，在中，．H、G分别是上的动点，连接，E、F分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 14．如图，正方形的边长为8，为对角线上一动点，中，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 15．如图，在正方形中，，直角三角形的直角顶点在正方形的中心点O处，直角三角形与正方形分别交于点M，N，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 16．如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接、，是的中点，是的中点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 考点03 综合问题 17．如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 18．如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 19．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．在正方形中，F在上，E在的延长线上，，连接、交对角线于点N，M为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中结论正确的有____．（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 21．如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．下列结论中：①；②若，，则四边形是正方形；③若，，，则的长为，其中正确的结论有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 22．如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．下列正确的选项是（    ） A．①②④ B．①③ C．①②③ D．②③④ 23．如图，有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的最小值为5．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．如图，在菱形中，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点04 动点问题 25．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为_____秒． 26．如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为____________． 27．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，，分别是，上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若，则的长为___________． 28．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度沿向点运动，过点作于点D． （1）当时，点的坐标为__________； （2）当的值最大时，点的坐标为__________． 29．如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，点是线段延长线上的动点，连接，将四边形沿所在直线翻折，若的中点落在点处，则线段的长度是______． 30．如图，四边形为矩形，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．点，同时开始运动，当点到达点时，点，同时停止运动，设运动时间为秒．设的面积为，用含的式子表示，则______． 31．如图，在矩形中，，．点在边上，且，分别是边上的动点，且，是线段上的动点，连接．若取最小值，则线段的长为__________． 32．在边长为8的正方形中，E为对角线上一动点，F为边上一动点，，点E从点A出发，沿方向移动，若E点移动的路径长为，则的中点G移动的路径长______． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $