专题02 四边形相关几何证明压轴题分类训练（5种类型40道）（高效培优期中专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

专题02 四边形相关几何证明压轴题分类训练 考点01 平行四边形相关压轴题 考点02 中位线相关压轴题 考点03 矩形相关压轴题 考点04 菱形相关压轴题 考点05 正方形相关压轴题 考点01 平行四边形相关压轴题 1．在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 2．【问题背景】在中，连接，若，点E为边上一点，连接，交于点F． (1)如图1，若点E为中点，对角线与相交于点O，连接，且的面积为，，求的长； (2)【深入探究】如图2，若，，点N在边上，，且平分，线段（点P在点Q的左侧）在线段上，且，连接，过点N作，交于点G，连接，请判断与之间的数量关系并说明理由． 3．如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． (1)若，求的长； (2)当时，求的度数； (3)当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 4．综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 5．已知，在中，点在边上，过点作于点，点在边上，在边上，且是等边三角形，连接，． (1)如图，若，，，求的长； (2)如图，若平分，，且，求证：． 6．如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若，连接，求的面积； (2)如图2，若，连接交于，求证：； (3)若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，直接写出四边形的面积． 7．在中，为中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为上一点，若，试探究的数量关系； (3)如图3，若，点为直线上一动点，以为边作平行四边形，连接，试求出的最小值． 8．已知，平行四边形中，连接，，过点C作，垂足为E，延长与相交于点F． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，若，过点F作于点G，连接、．求证：． 考点02 中位线相关压轴题 9．在等边中，E为线段上一点，D为三角形外一点，连接、，F为上一点，连接，且． (1)如图1，若平分，，求的度数． (2)如图2，若N为中点，且，连接、，求证：． 10．如图1，在中，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点 (1)求证：； (2)把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由： (3)把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值． 11．在等腰三角形中，，点D是线段的中点，点E是中垂线上的一点，连接、． (1)如图1，当点E在边上时，若，求的长度； (2)如图2，当点E在内部时，延长至点F，连接、，若平分，点G为的中点，求证：； (3)如图3，当点E在外（下方）时，与交点H，若为等腰直角三角形，，K为平面内一点，将沿翻折得到，射线交于点M，当最短时，请直接写出的值． 12．如图所示，中，，点是射线上一动点，在射线上截取，连接，取的中点，连接． (1)如图1，若点在边上，与相交于点，求的度数； (2)如图2，若点在边的延长线上，试猜想与的数量关系，并证明你猜想的结论； (3)若点在射线上运动，连接，当取最小值时，请直接写出的值． 13．如图，在和中，与交于点，，． (1)求证：． (2)如图，将图中的“改成，并分别延长交于点，若，求的度数． (3)如图，是等边三角形， ，在平面内将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，是的中点，连接．若，，求的长． 14．如图，在中，，点为边上一点，； (1)如图1，若，，，求点到直线的距离； (2)如图2，点为线段中点，点为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在线段上，连接，与线段交于点，连接，判断线段的数量关系，并证明． 15．已知为等边三角形，D，E分别为边上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转得线段，连接． (1)如图①，当点F落在边上时，求证：； (2)当点F落在内时，连接，设． ①如图②，若平分，判断m与n的数量关系，并说明理由； ②如图③，分别取的中点M，N，连接，若，求的长． 16．已知两个等腰直角、，它们有公共的直角顶点A，． (1)如图1所示，分别连接、，判断、之间的数量和位置关系，并加以证明； (2)如图2所示，分别连接、，取中点M，直线交直线于点N，判断、之间的数量和位置关系，并加以证明； (3)在（2）的条件下，，在同一平面内将绕点A旋转，使得，则； (4)如图3所示，连接、，分别取线段、、的中点P、Q、M，连接、、、，若，则的面积为__________． 考点03 矩形相关压轴题 17．如图1，将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，当点落在边上时，连接与交于点．求证：是的中点． 18．如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 19．如图①，在四边形中，，点E是上一点，连接交于点G，延长交的延长线于点F． (1)若，求证：； (2)如图②，在（1）的条件下，连接，求证：； (3)如图③，四边形关于直线的对称图形为四边形，延长交于点P．若，求四边形的面积． 20．如图，在矩形中，，对角线相交于点O，对角线所在的直线l绕点O顺时针方向旋转，旋转中，直线l分别交于点E，F，将四边形沿直线l折叠得到四边形，其中线段交于点G． (1)如图1，若，求的长． (2)如图2，连接交于点H． ①证明：；②求证：； (3)当时，请直接写出的长． 21．如图1，矩形中，，E为边上一点，将沿翻折，使点A恰好落在边上的点F处，． (1)求的长； (2)如图2，连接交于点P，M为上的点，连接交于点Q，． ①求点A到的距离； ②求的值． 22．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为点．    (1)如图①，当点落在边上时，线段的长度为___________； (2)如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接． ①求证：； ②求线段的长度． (3)如图③设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由． 23．在矩形中，E是上一个动点，连接 (1)如图1，若，，，求的长； (2)如图2，点P是中点，将直线绕点P顺时针旋转后，恰好经过点B，交于点F，连接，若．求证：． (3)如图3，若点P是上一点，直线绕P点顺时针旋转90°，恰好经过点D．若，，连接，请直接写出的最小值． 24．在矩形中，点是边上一动点（不与点重合），连接的延长线交的延长线于点． (1)如图①．当时，若，求的长； (2)如图②，连接，与交于点，当时，有，连接，求证：． (3)如图③，，将沿直线折叠，得到．当射线交线段于点时，连接，当最大时，直接写出的值． 考点04 菱形相关压轴题 25．在菱形中，，点H在平面内，点E为直线上一点． (1)如图1，当H在上时，，若，，求的长； (2)如图2，当H在延长线上时，，O为的中点，连接并延长交于点G，求证：． 26．如图，菱形中，E为延长线上一点，连接，，过点D作于H． (1)若，，求的长； (2)求证：． 27．在菱形中，对角线与交于点． (1)如图1，若，求菱形的面积； (2)如图2，若为延长线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接．所在直线交延长线于点，延长至点，使得为延长线上一点，且，求证：． (3)如图3，若，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点，连接，请直接写出的最大值． 28．已知，在中． (1)如图1，平分交于点，于点，交于点，连接．求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接，，过点作，垂足为，延长与交于点． ①若，，求的长． ②若，过点作于点，连接、．请用等式表式线段之间的数量关系（直接写出结果，不需证明）． 29．如图，四边形和四边形均为菱形，其中点E在菱形的对角线上，． (1)如图1，若E为对角线的中点，交于点P，求的值． (2)如图2，连接交于点H，求证：． (3)如图3，，E在线段上运动，直接写出取最大值时，的值． 30．如图，在边长为10的菱形中，对角线，对角线，相交于点G，点O是直线上的动点，于E，于F．    (1)求对角线的长及菱形的面积． (2)如图①，当点O在对角线上运动时，的值是否发生变化？请说明理由． (3)如图②，当点O在对角线的延长线上时，的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究，之间的数量关系． 31．菱形中，，连接，点是边上一点，连接交于点． (1)如图1，若，当时，求的长； (2)以为边向右侧作等边，连接，． ①如图2，点是中点，连接，求证：； ②如图3，当时，直接写出的值． 32．已知在菱形中，，连接对角线．    (1)如图1，为边上一点，为边延长线上一点，且，连接，交于点． ①求证：； ②过点作，垂足为，求证：； (2)如图2，已知，将沿射线平移，得到，连接，，请直接写出的最小值． 考点05 正方形相关压轴题 33．如图，在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、，正方形的边长为6． (1)如图1，当点M和点C重合时，若，求的面积为 ； (2)在（1）的条件下求线段的长度； (3)如图2，当点在边上时，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 34．正方形中，E为射线上一点 (1)如图1，E在延长线上，F为对角线上一点，连接、、、，若，求线段的长； (2)如图2，E、G分别为、的中点，连接和交于点Q，连接，求证： (3)如图3，E在边上运动，将沿翻折到同一平面内得到．点N为的中点，连接和，当的长度最小时，直接写出的值． 35．如图，四边形为正方形，为四边形所在平面内一点，绕点逆时针旋转至． (1)如图1，若、、三点在同一直线上，，求的度数； (2)如图2，若恰好经过点，，证明：； (3)如图3，若点在直线上运动，，请直接写出的最小值． 36．如图，在正方形中，E是边上任意一点，于点F，于点G． (1)如图1，求证：； (2)如图2，E为的中点时，连接，若，求的长度． 37．在如图所示的正方形中，点E在不含端点的对角线上，F为线段上的点，，连接．    (1)若，，求正方形的周长； (2)若，求的面积的最小值； (3)若点D关于直线的对称点为G，写出三线段的数量关系，并给出证明． 38．已知，在正方形中，点为对角线上的一点，过点作，且，连接，，延长交于，交于． (1)求证：； (2)如图2，连接DE，若为的平分线，求证：； (3)在第（2）问的条件下，在上取一点，使得，连接，，当时，请直接写出四边形面积的值． 39．如图1，正方形中，分别为上的点，，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，为的中点，交于点，连接． 求证：； (3)如图3，若正方形的边长为8，是上两动点，且，请直接写出的最小值． 40．在正方形中，将线段绕着点旋转，得到线段，连接． (1)如图1，延长交于，求的度数； (2)如图2，若，过点作交延长线于点，连接，，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在线段旋转的过程中，直线，交于点，过点作交直线于点，直线交于点．若，当线段取得最小值时，请直接写出的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四边形相关几何证明压轴题分类训练 考点01 平行四边形相关压轴题 考点02 中位线相关压轴题 考点03 矩形相关压轴题 考点04 菱形相关压轴题 考点05 正方形相关压轴题 考点01 平行四边形相关压轴题 1．在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）通过证明，得，又，即可证明四边形是平行四边形； （2）①根据，，得，，则有，再证，得出，然后证明，得，进而根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； ②根据题意设，勾股定理求得，得出，进而得出的长，再根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，点是对角线的中点， ，， ． 在和中， ， ， ． ， 四边形是平行四边形； （2）①证明：如图2，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， ． ②∵ 设 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ 2．【问题背景】在中，连接，若，点E为边上一点，连接，交于点F． (1)如图1，若点E为中点，对角线与相交于点O，连接，且的面积为，，求的长； (2)【深入探究】如图2，若，，点N在边上，，且平分，线段（点P在点Q的左侧）在线段上，且，连接，过点N作，交于点G，连接，请判断与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）首先由平行四边形的性质得到，，，然后得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）如图所示，过点C作于点M，求出，，，得到为等腰三角形，然后利用勾股定理求出，证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图所示，过点G作于点M， ∵，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 3．如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． (1)若，求的长； (2)当时，求的度数； (3)当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及角度计算，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，得到是等腰直角三角形，求出，即可得到答案； （2）利用等腰直角三角形以及平行四边形的性质求出，根据求出，再根据算出，最后由算出答案即可； （3）延长交的延长线于点P，根据得到，证明，根据全等三角形的性质证明，证明，得到，再根据即可得到结论； 【详解】（1）解：， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，延长交的延长线于点P， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ， ． 4．综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）等边三角形；（2）；（3）． 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，根据即可得是等边三角形； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系； （3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知由的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，，则 由折叠可知：，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2），理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， 则， ∴， 由三角形外角可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）由折叠可知：，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 延长交于，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，，即：， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，翻折的性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 5．已知，在中，点在边上，过点作于点，点在边上，在边上，且是等边三角形，连接，． (1)如图，若，，，求的长； (2)如图，若平分，，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定： （1）证得，设，在中，根据勾股定理可知，求解即可求得答案； （2）过点作交于点，交于点，过点作交于点．证得，依据，，可求得，证明，得到，再证明，得到，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵，四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∵， 设，那么． 在中，根据勾股定理可知，即 ． 解得 或（舍去）． ∴． （2）证明：过点作交于点，交于点，过点作交于点． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ． ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在中，． ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． ∵，且，，， ∴． 6．如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若，连接，求的面积； (2)如图2，若，连接交于，求证：； (3)若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)10 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （2）在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出四边形是平行四边形，则可得，由此即可得证； （3）如图1（点在上）和如图2（点在上），过点作，交于点，连接，，先证出，根据全等三角形的性质可得，则，从而可得当点在边上运动时，点在上运动，再根据点到直线的距离、垂线段最短可得当时，线段取得最小值，根据直角三角形的性质可得，，，然后可证四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，，，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． （2）解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即． （3）解：∵， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴， 如图1（点在上）和如图2（点在上），过点作，交于点，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵将线段绕着点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴图1中，， 图2中，， 即在图1和图2中，均有， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴当点在边上运动时，点在上运动， 由点到直线的距离、垂线段最短可知，当时，线段取得最小值， ∴此时在中，， ∴，， ∴， ∴此时四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 7．在中，为中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为上一点，若，试探究的数量关系； (3)如图3，若，点为直线上一动点，以为边作平行四边形，连接，试求出的最小值． 【答案】(1)证明见详解 (2)，探究见详解 (3) 【分析】（1）先由平行四边形性质得到，，进而由平行线性质得到，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而由等边对等角确定，等量代换即可得证； （2）连接，如图所示，由垂直平分线的判定与性质得到，在中，由勾股定理可得，进而结合平行四边形中即可得到的数量关系； （3）由点为直线上一动点，可分三种情况：①点在射线上；②点在线段上；③点在射线上，作出图形，分情况讨论得到动点到直线的距离始终是，即点在平行于的直线上运动，从而由点到直线的距离垂线段最短可知，当时，有最小值，求出线段长即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，， ，， 在中，为中点，即为斜边上的中线，则， ， ； （2）解：， 探究如下： 连接，如图所示： 为中点，且， 是线段的中垂线， 则， 由（1）知，即是直角三角形， 由勾股定理可得， 在中，，又，则； （3）解：由点为直线上一动点，可分三种情况：①点在射线上；②点在线段上；③点在射线上， 在中，， 为中点， ， 当点在射线上，过点作于，如图所示： 以为边作平行四边形，则，， ， ， ， 在中，，，，则； 当点在线段上，过点作于，如图所示： 以为边作平行四边形，则，， ， 在中，，，，则； 当点在射线上，过点作于，如图所示： ， 在中，，，，则； 综上所述，当点为直线上一动点，以为边作平行四边形时，动点到直线的距离始终是，即点在平行于的直线上运动，如图所示： 连接，其中点为定点、点为直线上的动点，则由点到直线的距离垂线段最短可知，当时，有最小值，为，如图所示： ，， ，， ，， ， 在中，，，，则， 则的最小值为． 【点睛】本题考查几何综合，难度较大，涉及平行四边形性质、平行线性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理、含的直角三角形性质等知识，熟练掌握相关几何性质并灵活运用是解决问题的关键． 8．已知，平行四边形中，连接，，过点C作，垂足为E，延长与相交于点F． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，若，过点F作于点G，连接、．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）首先求出，求出，然后根据勾股定理求出，然后根据平行四边形的性质求解即可； （2）如图所示，过点G作交延长线于点H，证明出是等腰直角三角形，得到，，然后证明出，得到，然后证明出是等腰直角三角形，得到，然后证明出，得到是等腰直角三角形，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴； （2）如图所示，过点G作交延长线于点H ∵， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 考点02 中位线相关压轴题 9．在等边中，E为线段上一点，D为三角形外一点，连接、，F为上一点，连接，且． (1)如图1，若平分，，求的度数． (2)如图2，若N为中点，且，连接、，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据题意易得出，，在中利用内角和求出的度数，进而在中利用三角形内角和求解即可； （2）要证，方法一：延长到点H，使，连接、，则，证明，结合等边三角形的性质和三角形内角和定理，再证明，进而推出是等边三角形，即可得证；方法二：延长到K，使，连接、，根据三角形中位线定理可得，证明出是等边三角形，进而推出，得到，即可得证． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：方法一：如图，延长到点H，使，连接、，则， 为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， 在中，， 是等边三角形， ，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， 是等边三角形， ， ． 方法二：延长到K，使，连接、， 是中点，D是中点， 是的中位线， ， 由（1）知， ， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ． 10．如图1，在中，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点 (1)求证：； (2)把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由： (3)把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形；理由见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论 （2）先判断出，得出，同(1)的方法得出，即可得出，同（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论. 【详解】（1）解：点是的中点， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是等腰直角三角形； 理由：由旋转知，， ， ， ， 同（1）的方法，利用三角形的中位线得，， ， 是等腰三角形， 同（1)的方法得，， ， 同(1)的方法得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：由（2）知，是等腰直角三角形，， 最大时，面积最大，即：最大时，面积最大， ∴点D在的延长线上， ， ， ． 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PMCE，PNBD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出BD最大时，△PMN的面积最大． 11．在等腰三角形中，，点D是线段的中点，点E是中垂线上的一点，连接、． (1)如图1，当点E在边上时，若，求的长度； (2)如图2，当点E在内部时，延长至点F，连接、，若平分，点G为的中点，求证：； (3)如图3，当点E在外（下方）时，与交点H，若为等腰直角三角形，，K为平面内一点，将沿翻折得到，射线交于点M，当最短时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先求出，利用线段垂直平分线的性质推出，即可得，，则，结合，可求出，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解； （2）延长至点M使，连接、，得出是的中位线，即，延长至点N使，连接，通过导角得出，则为等边三角形，易得是等边三角形，则可证明，； （3）由题知，将沿翻折得到，可看作将沿翻折得到，如图所示，为直角三角形，，为定值，所以只需最小时，取得最小值，由垂线段最短知垂直于时最小，延长和交于点T，证明，再求．则，利用即可求解． 【详解】（1）解：∵等腰三角形中，， ∴， ∴， ∵点E是中垂线上的一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点D是线段的中点，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，延长至点M，使，连接、， ∵点G为的中点， ∴， ∴是的中位线，即， 延长至点N，使，连接， ∵平分， ∴， ∵点E是中垂线上的一点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：由题知，将沿翻折得到，可看作将沿翻折得到，如图所示，为直角三角形，， ∵点E是中垂线上的一点， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴为定值， 所以只需最小时，取得最小值， 由垂线段最短知垂直于时最小， 延长和交于点T， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，中位线的性质，二次根式的混合运算等，熟练掌握相关性质，并能准确作出辅助线是解题的关键． 12．如图所示，中，，点是射线上一动点，在射线上截取，连接，取的中点，连接． (1)如图1，若点在边上，与相交于点，求的度数； (2)如图2，若点在边的延长线上，试猜想与的数量关系，并证明你猜想的结论； (3)若点在射线上运动，连接，当取最小值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，以及三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识，根据图形作做出恰当的辅助线是解题的关键． （1）易得是等边三角形，证明得，再借助求解； （2）延长至点G，使得，连接，取的中点H，连接，先证，得， 再利用三角形的中位线定理，推出，接着依次说明为等边三角形，为直角三角形，最后利用勾股定理求解； （3）取的中点M，连接，，取的中点N，连接，设等边的边长为，利用勾股定理和三角形的中位线定理， 求出，，结合（2）中推出的，可求的值． 【详解】（1）， 是等边三角形， ， 又， ， ， 又， ， ． （2），理由如下： 如图3，延长至点G，使得，连接，取的中点H，连接， 有， ， ， ，， ，， ， 又E为的中点， 为的中位线， ， ，， ， ，即， 为等边三角形， ，即， 又， ， ， ． （3）如图4，取的中点M，连接，，取的中点N，连接， E为的中点，为的中点， ， 当时，取得最小值，此时， 设等边的边长为， 则，， ，为的中点， ， ， ， 又E为的中点， C为的中点， ， ， ， 由（2）知，， 过点E作于， 又， ，， ， ， ． 13．如图，在和中，与交于点，，． (1)求证：． (2)如图，将图中的“改成，并分别延长交于点，若，求的度数． (3)如图，是等边三角形， ，在平面内将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，是的中点，连接．若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）利用“”即可求证； （）在上取一点，使得，连接，由得，，即得，得到，进而得到，即得，即可求解； （）延长至点，使得，连接，过点作于，于，可证，得到，即得，得到，又由旋转得，即得，即可得是等边三角形，再证明，得，，可得是的平分线，得到，由得，又由直角三角形的性质得，得到，即可得到，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴； （2）解：如图，在上取一点，使得，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，延长至点，使得，连接，过点作于，于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴ 14．如图，在中，，点为边上一点，； (1)如图1，若，，，求点到直线的距离； (2)如图2，点为线段中点，点为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在线段上，连接，与线段交于点，连接，判断线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）过点作延长线于点，利用勾股定理求得，再利用，即可求解； （2）连接，交于点，通过导角得出，可知，证明，可得，即可证明，得，再利用直角三角形证明，得，最后利用中位线证明即可． 【详解】（1）解：过点作延长线于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点到直线的距离为； （2）解：，理由如下： 如图，连接，交于点， 设， ∵，点为线段中点， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，     ∴， ∵点为线段中点， ∴． 15．已知为等边三角形，D，E分别为边上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转得线段，连接． (1)如图①，当点F落在边上时，求证：； (2)当点F落在内时，连接，设． ①如图②，若平分，判断m与n的数量关系，并说明理由； ②如图③，分别取的中点M，N，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)①，理由见解析；②． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，中位线定理等知识，熟知相关知识，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键﹒ （1）先证明是等边三角形，进而证明，根据“”即可证明﹒ （2）①过点F作，交于点H，先证明，再证明，得到，即可证明； ②过点F作，交于点H，证明得到，，在上截取，连接，在上截取，连接，证明，得到，再根据中位线定理即可求出. 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵将绕点E顺时针旋转得线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：(2)①，理由如下： 如解图①，过点F作，交于点H， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如解图②，过点F作，交于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在上截取，连接，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵点N是的中点， ∴. 16．已知两个等腰直角、，它们有公共的直角顶点A，． (1)如图1所示，分别连接、，判断、之间的数量和位置关系，并加以证明； (2)如图2所示，分别连接、，取中点M，直线交直线于点N，判断、之间的数量和位置关系，并加以证明； (3)在（2）的条件下，，在同一平面内将绕点A旋转，使得，则； (4)如图3所示，连接、，分别取线段、、的中点P、Q、M，连接、、、，若，则的面积为__________． 【答案】(1)且，证明见解析 (2)且，证明见解析 (3) (4)8 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质（）、三角形中位线定理、勾股定理及垂直关系的判定与性质，解题的关键是利用等腰直角三角形的边角等量关系构造全等三角形，或借助中位线转化线段与位置关系，结合旋转中的不变量推导结论．（1）通过（均为），结合、，用证，得；再利用对顶角相等和三角形内角和，证，得． （2）延长AM至使，结合是CD中点，用证，得且；推导（均为），结合、，用证，得；再通过和，证，得． （3）过作延长线，由得，结合，用角性质得、；由，勾股定理求，得；设，用勾股定理列，解得，再求，得． （4）连接EC，由（1）得且；用三角形中位线定理，得PQ是的中位线（、），QM是的中位线（、）；证，用面积公式得． 【详解】（1）且，理由如下： ∵， ∴， ∴， 如图1，延长交于I，交于K，在和中，， ∴， ∴， ∴且； （2）且；理由如下： 延长至K，使得，连接，如图， 又∵中点为M， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则 ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴且； （3）过点K作，交延长线于点H，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， 在和中，由勾股定理得， 设，则， ∴， 解得， ， ∴， 故答案为：； （4）如图3，连接，延长交于点交于点I， 由（1）知， 在中，点P为中点，点Q为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 在中，M为中点，Q为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：8． 考点03 矩形相关压轴题 17．如图1，将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，当点落在边上时，连接与交于点．求证：是的中点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查旋转，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出，，得到， 推导出，即可解答； （2）过点作，垂足为点，推导出，，得到，则，进而证明，得到，则是的中点，即可解答． 【详解】（1）解：矩形旋转得到矩形， ，， ， 在矩形中，， （2）证明：如图，过点作，垂足为点， 同（1）得，． ． ， ． ， ∵， ∴， ∵矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中点． 18．如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 【答案】(1)①；②的面积 (2)的长为或 【分析】（1）①根据折叠的性质以及F平分，得出，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，得出，即可求解；②延长交的延长线于点G，根据折叠的性质以及矩形的性质得出，进而在中，勾股定理求得的长，等面积法求得边上的高，进而根据三角形的面积公式即可求解； （2）分两种情况，①当E在的延长线上时，证明，②当E在线段上时，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴； ②如图所示，延长交的延长线于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴，， 设中边上的高为h，则， ∴， ∴的面积； （2）当点E、、D三点共线时，分两种情况： ①当E在的延长线上时，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在线段上时，    由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键． 19．如图①，在四边形中，，点E是上一点，连接交于点G，延长交的延长线于点F． (1)若，求证：； (2)如图②，在（1）的条件下，连接，求证：； (3)如图③，四边形关于直线的对称图形为四边形，延长交于点P．若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点作交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答； （3）由勾股定理可得的值，可得，证明，再证明为等边三角形，可得，最后根据梯形面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：∵ ∴四边形为矩形， 则， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过点作交于，如图2所示： 则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（1）得四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ∵四边形与四边形关于直线对称， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ∴梯形的面积为： ， 故答案为：． 【点睛】本题为四边形综合题，考查了矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握上述性质，作出正确的辅助线是解题的关键． 20．如图，在矩形中，，对角线相交于点O，对角线所在的直线l绕点O顺时针方向旋转，旋转中，直线l分别交于点E，F，将四边形沿直线l折叠得到四边形，其中线段交于点G． (1)如图1，若，求的长． (2)如图2，连接交于点H． ①证明：；②求证：； (3)当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 (3)6或9 【分析】（1）利用矩形性质证，得，过作于，再结合矩形的性质和勾股定理即可求的长； （2）①识别出和是“8”字倒角，从而得出，再根据平行线得出，即可得证； ②证线段等于线段＋线段，思路就是截长补短，再观察题干条件有，构造等边三角形即可证出； （3）分两种情况讨论，①点在右上方；②点在左上方，先利用勾股定理求的长，设，利用矩形和等腰三角形的性质与判定得到，再利用线段和差建立方程即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过作于，则， ， 四边形是矩形， ， 在中，； （2）证明：①∵四边形是矩形， ， ， ， ∵四边形折叠得到四边形， ， ， 又∵， ， ， ， ； ②∵， ， ， 如图，在延长线上取一点， ， ， 在上截取，则为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解∶①当点在右上方时，如图过点G作于点Q， 则， ， 四边形是矩形， 同理可得：四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ， ， 将四边形沿直线l折叠得到四边形， ， ， ， ， 设， 由（1）知，， ， 将四边形沿直线l折叠得到四边形， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ； ②当点在左上方时， 同理可得，， 设，同理有， ， ， 解得， ， 综上，的长为6或9． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，二次根式，一元一次方程的应用等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． 21．如图1，矩形中，，E为边上一点，将沿翻折，使点A恰好落在边上的点F处，． (1)求的长； (2)如图2，连接交于点P，M为上的点，连接交于点Q，． ①求点A到的距离； ②求的值． 【答案】(1) (2)①5；② 【分析】（1）由折叠性质得，，设，则，由，列出方程便可得答案； （2）①过A作于G，过F作于H，则，由折叠性质知，，由三角形的面积法求得，进而得到点A到的距离； ②过点M作于点K，设，则，由，列出方程求得，进而证明，求得，再证明，求得，设，则，由勾股定理，列出方程求得，进而求得． 【详解】（1）解：由折叠性质得，， 设，则， ， ， ， 解得， ； （2）①过A作于G，过F作于H，如图2， 则， 由折叠性质知，， ， 点A到的距离为5； ②过点M作于点K，如图3， 设，则， ， ， 解得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则 ， ， 解得： 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠性质，解题的关键是正确构造直角三角形与全等三角形． 22．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为点．    (1)如图①，当点落在边上时，线段的长度为___________； (2)如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接． ①求证：； ②求线段的长度． (3)如图③设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见详解；②； (3)存在，最大值为：； 【分析】（1）本题考查矩形的性质，旋转的性质与勾股定理，根据旋转得到，根据矩形得到，结合勾股定理即可得到答案； （2）①矩形的性质，旋转的性质及三角形全等的判定，根据旋转及矩形得到，，即可得到证明；②本题考查三角形全等的性质与勾股定理，根据得到，从而得到，即可得到，利用勾股定理求解即可得到答案； （3）本题考考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质，勾股定理求出固定，即可得到高最大，面积最大，结合三角形三边关系得到最大高即可得到答案； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵，逆时针旋转矩形得到矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①证明：∵四边形是矩形，逆时针旋转矩形得到矩形， ∴，， 在与中， ∵， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵为边的中点， ∴， ∴，    过A作于E， ∵点B到的距离小于， ∴当，，三点共线时高最大，的面积最大如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．在矩形中，E是上一个动点，连接 (1)如图1，若，，，求的长； (2)如图2，点P是中点，将直线绕点P顺时针旋转后，恰好经过点B，交于点F，连接，若．求证：． (3)如图3，若点P是上一点，直线绕P点顺时针旋转90°，恰好经过点D．若，，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质，利用勾股定理直接求解即可； （2）过A作交于M点，证明，得到，，根据矩形的性质和旋转的性质，推出，即可得到； （3）取的中点，连接，根据斜边上的中线求出的长，勾股定理求出的长，根据，求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ∴ ∴； （2）过A作交于M点， ∴， ∵P是中点， ∴， 在与中 ， ∴； ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴即， ∵旋转角， 中有， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：直线绕P点顺时针旋转90°，恰好经过点D， ∴， 取的中点，连接， 则：， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，斜边上的中线，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握相关性质，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 24．在矩形中，点是边上一动点（不与点重合），连接的延长线交的延长线于点． (1)如图①．当时，若，求的长； (2)如图②，连接，与交于点，当时，有，连接，求证：． (3)如图③，，将沿直线折叠，得到．当射线交线段于点时，连接，当最大时，直接写出的值． 【答案】(1)8 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据直角三角形含角的性质可得的长； （2）如图②，过点作，交于点，则，证明和，再根据等腰直角三角形的性质可得结论； （3）如图③，当与重合时，最大，此时最大，先由勾股定理可得的长，证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ∵，， ， ； （2）证明：如图②，过点作，交于点，则， ， ， ，， ， 又，， ∴， ， ∴， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）解：如图③，当与重合时，最大，此时最大， 由折叠得：，， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， 当最大时，的值为． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，涉及矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定等知识，第（3）问有难度，确定最大时点的位置是解本题的关键． 考点04 菱形相关压轴题 25．在菱形中，，点H在平面内，点E为直线上一点． (1)如图1，当H在上时，，若，，求的长； (2)如图2，当H在延长线上时，，O为的中点，连接并延长交于点G，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）过点作交于点，根据菱形的性质及已知可得是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，可得，，设，则，，根据勾股定理可得，即，求解即可； （2）过点作交于点，证明是等边三角形，可得，，由，继而得到，证明，可得，证明，可得 ，即可得证． 【详解】（1）解：过点作交于点， ∴， ∵在菱形中，，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴的长为； （2）证明：过点作交于点， ∴， 由（1）知：是等边三角形， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴． 26．如图，菱形中，E为延长线上一点，连接，，过点D作于H． (1)若，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由菱形的性质可得，由勾股定理可得，由等角对等边得出，即可得出结果； （2）作交的延长线于点，连接，则，证明，得出，，再证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，作交的延长线于点，连接， ， 则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 27．在菱形中，对角线与交于点． (1)如图1，若，求菱形的面积； (2)如图2，若为延长线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接．所在直线交延长线于点，延长至点，使得为延长线上一点，且，求证：． (3)如图3，若，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点，连接，请直接写出的最大值． 【答案】(1)40 (2)见解析 (3) 【分析】（1）直接根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可； （2）由旋转得到，，又菱形的性质得到，，，进而得到．连接，可证得，得到，，由，，得到，再证，从而有，得到，再在菱形中，求得，即可得证结论； （3）由勾股定理得，根据，可求出，根据，且的值随着的值增大而增大，得到当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，有最大值．过点B作于M，作于点N，由菱形的面积可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵将绕点顺时针旋转至， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，，平分和， ∴， ， ， ∴， ∴，即． 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在菱形中，， ∴． （3）解：∵在菱形中，，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴ ， ∵，且的值随着的值增大而增大， ∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，有最大值． 过点B作于M，作于点N， ∵， ∴， 又，即， ∴， ∴由轴对称的性质可得， ∵在中，， ∴当有最小值时，有最小值， ∵由垂线段最短可知， ∴当点P与点N重合时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，勾股定理，轴对称图形的性质，垂线段最短等，熟练运用相关知识，掌握转化思想是解题的关键． 28．已知，在中． (1)如图1，平分交于点，于点，交于点，连接．求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接，，过点作，垂足为，延长与交于点． ①若，，求的长． ②若，过点作于点，连接、．请用等式表式线段之间的数量关系（直接写出结果，不需证明）． 【答案】(1)见解析 (2)①② 【分析】（1）平行结合角平分线，推出，三线合一推出，进而推出，得到，得到四边形是平行四边形，再根据，即可得出结论； （2）①线段的和差求出的长，进而得到的长，勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，根据平行四边形的性质，得到，即可； ②易证为等腰直角三角形，得到，，证明为等腰三角形，进而得到，推出，等边对等角求出的度数，证明，求出的度数，进而求出，得到，作，交的延长线于点，证明，进而得到，求出，进而推出，得到，再根据线段的和差，等量代换即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， 作，交的延长线于点， 则：， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键． 29．如图，四边形和四边形均为菱形，其中点E在菱形的对角线上，． (1)如图1，若E为对角线的中点，交于点P，求的值． (2)如图2，连接交于点H，求证：． (3)如图3，，E在线段上运动，直接写出取最大值时，的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，可证明是等边三角形，是等边三角形，然后可得，然后在中，，则，而，同理在中，，即可求解； （2）在上截取，连接，证明，通过全等三角形的性质求证即可； （3）过点作于点，连接，先证明，然后得到点三点共线，可得为定值，故取最大值时取最小值即可，设菱形边长为，则，故当最小时，取最小值，当时，最小，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， 同理可得，是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴同理在中，， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接， 由(1)知是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：过点作于点，连接， 由上知，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理为等边三角形， ∴， ∴点三点共线， ∵菱形中，， ∴以为底的高与相等，且为定值， ∴为定值， ∴取最大值时，取最小值即可， ∵菱形， ∴，， 设菱形边长为， 由是等边三角形得， ∴， ∵， ∴当最小时，取最小值， ∴当时，最小， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵菱形中， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，勾股定理，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 30．如图，在边长为10的菱形中，对角线，对角线，相交于点G，点O是直线上的动点，于E，于F．    (1)求对角线的长及菱形的面积． (2)如图①，当点O在对角线上运动时，的值是否发生变化？请说明理由． (3)如图②，当点O在对角线的延长线上时，的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究，之间的数量关系． 【答案】(1)12，96 (2)不发生变化，9.6 (3)发生变化， 【分析】（1）连接与相交于点，根据菱形的对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解； （2）连接，根据列式计算即可得解； （3）连接，根据列式整理即可得解． 【详解】（1）解：在菱形中，，，， 由勾股定理得， 所以． 所以菱形的面积． （2）解：不发生变化． 理由如下： 如图①，连接，    则， 所以， 即． 解得，是定值，不变． （3）解：发生变化． 如图②，连接，    则， 所以． 即． 解得，是定值，不变． 所以的值发生变化，，之间的数量关系为 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的面积，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，第（2）（3）问作辅助线构造出两个三角形是解题的关键． 31．菱形中，，连接，点是边上一点，连接交于点． (1)如图1，若，当时，求的长； (2)以为边向右侧作等边，连接，． ①如图2，点是中点，连接，求证：； ②如图3，当时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①见解析；② 【分析】（1）由菱形可知，，平分，进而得到，，在中，，在中，，； （2）①延长至，使，即，连接，易通过证明≌，得到，，进而可得，由平行线的性质可得，由等边三角形的性质可知，，于是，易得，则，根据等角加同角相等得，于是可通过证明≌，得到，由可得；②连接交于点，过点作于点，设，则，，易得为等边三角形，，利用含度角的直角三角形性质得，，进而得到，由平行线的性质得到，因此，利用含度角的直角三角形性质得，根据三角形面积公式求得，等等角加同角相等可得，于是根据证明，得到，，则，根据三角形面积公式求得，再进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，， ，，平分， ， ， ， ， ，， ， ，， ∴， ∴， ，； （2）①证明：如图，延长至，使，即，连接， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②解：如图，连接交于点，过点作于点， 设，则， ， 四边形为菱形，， ，，，，， 为等边三角形， ， 在中，，， ， ， ，即， ， 在中，， ， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、含度角的直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的性质、三角形的面积，解题关键是熟知菱形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题． 32．已知在菱形中，，连接对角线．    (1)如图1，为边上一点，为边延长线上一点，且，连接，交于点． ①求证：； ②过点作，垂足为，求证：； (2)如图2，已知，将沿射线平移，得到，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)6 【分析】（1）①根据菱形的性质和已知条件可得，是等边三角形，进而可得，结合，，根据全等三角形的判定可得，即可证明； ②作于，全等三角形的判定，进而求得，根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得CH＝BG；（2）设交于点，取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，，当，，三点共线时，取得最小值，结合已知条件，即可求得的最小值． 【详解】（1）①证明：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和均是等边三角形， ∴， ∴，， 故， 又∵，， ∴， ∴； ②证明：作于，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设交于点，取的中点，连接，，    由平移可知，，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 是的中点， ， ， 当，，三点共线时，取得最小值， 此时，如图，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平移的性质，平行四边形的性质与判定，三角形的中位线性质，全等三角形的判定与性质、线段和最值等知识，涉及知识点较多，综合性强，综合运用以上知识是解题的关键． 考点05 正方形相关压轴题 33．如图，在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、，正方形的边长为6． (1)如图1，当点M和点C重合时，若，求的面积为 ； (2)在（1）的条件下求线段的长度； (3)如图2，当点在边上时，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)；答案见解析； 【分析】（1）求得，利用三角形面积公式即可得解； （2）证，得，，由勾股定理得，再等积法求解即可； （3）过点作于，证，得，进而得出结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ∴的面积为； （2）解：四边形是正方形， ，， ，点和点重合， ，，， ， 在和中，， ， ，， ， ， ∴， 由勾股定理得：， ， ∵， ∴； （3）解：线段、、之间的数量关系为：，理由如下： 过点作于，如图2所示： 则四边形为矩形， ，， ， ，， ， 在和中，， ， ， ，即． 34．正方形中，E为射线上一点 (1)如图1，E在延长线上，F为对角线上一点，连接、、、，若，求线段的长； (2)如图2，E、G分别为、的中点，连接和交于点Q，连接，求证： (3)如图3，E在边上运动，将沿翻折到同一平面内得到．点N为的中点，连接和，当的长度最小时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明，得到，，再由，得到，，则有，利用三角形内角和定理得到，再利用勾股定理即可求解； （2）过点作交延长线于点，根据正方形的性质证明，得到，再证明，得到，，推出是等腰直角三角形，，最后利用线段的和差即可证明； （3）连接，设正方形的边长为，则，，根据翻折的性质得，，，根据线段中点的定义得到，根据两点之间线段最短得到，则有，当的长度最小时，共线，此时点也在线段上，再根据正方形和翻折的性质求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，设与交于点， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点作交延长线于点， ∵正方形， ∴，， ∵E、G分别为、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴； （3）解：如图3，连接， 设正方形的边长为，则， ∴， 由翻折的性质得，，，， ∵点N为的中点， ∴， ∵，即， ∴， ∴当共线时，的长度有最小值，最小值为； 当共线时，点也在线段上， ∴， ∵正方形， ∴，即， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、翻折的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、线段最值问题、二次根式的应用，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 35．如图，四边形为正方形，为四边形所在平面内一点，绕点逆时针旋转至． (1)如图1，若、、三点在同一直线上，，求的度数； (2)如图2，若恰好经过点，，证明：； (3)如图3，若点在直线上运动，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，可求，，即可求解； （2）由可证，可得，即可求解； （3）作直线于，在的延长线上截取，连接，，由题意可得当点，点，点三点共线，的最小值为的长，由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：如图，延长，交于点， ， ， ， ， 绕点逆时针旋转至， ，， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：绕点逆时针旋转至， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：连接， 由（2）可知：， ，， ， 作直线于，在的延长线上截取，连接，， ， ， 当点，点，点三点共线，的最小值为的长， ， ， 又，， ， ， ，， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了四边形综合应用，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题，解题关键是添加恰当辅助线构造全等三角形． 36．如图，在正方形中，E是边上任意一点，于点F，于点G． (1)如图1，求证：； (2)如图2，E为的中点时，连接，若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）证明即可． （2）利用直角三角形面积公式，勾股定理，正方形的性质解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的面积公式，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵正方形，, ∴， ∵E为的中点 ∴， ∴， ∴， 根据（1）得， ∴， 根据， 得， ∴． 37．在如图所示的正方形中，点E在不含端点的对角线上，F为线段上的点，，连接．    (1)若，，求正方形的周长； (2)若，求的面积的最小值； (3)若点D关于直线的对称点为G，写出三线段的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】（1）过作于点，则为等腰直角三角形，进而求得，在中，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理确定的值，进而可得的长度，即可获得答案； （2）过作于点于点，易知四边形是正方形，证明，易得，再证明，可知是等腰直角三角形，设，则的面积为，确定的最小值，即可获得答案； （3）延长使，则是点关于直线的对称点，连接，过作交的延长线于点，由题意得，证明，结合全等三角形的性质可得，易知为等腰直角三角形，可得，进而证明结论． 【详解】（1）解：如图，过作于点，    ∵四边形为正方形， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ， ， ∵在中，， ， ， ∴正方形的周长； （2）如下图，过作于点于点，    ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ， ∵， ∴， ，即， ∴是等腰直角三角形， 设，则的面积为， ， 当时，取最小值，此时， 则的面积的最小值为； （3），证明如下： 由（2）得是等腰直角三角形， 如图，延长使得，则是点关于直线的对称点，连接， 过作交的延长线于点， 由轴对称的性质可得，， ∴， 在与中， ，， ， 又∵， ， ，即， 为等腰直角三角形， ， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、含30度角的直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 38．已知，在正方形中，点为对角线上的一点，过点作，且，连接，，延长交于，交于． (1)求证：； (2)如图2，连接DE，若为的平分线，求证：； (3)在第（2）问的条件下，在上取一点，使得，连接，，当时，请直接写出四边形面积的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定定理，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理解直角三角形，同高三角形的面积与底的关系等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据正方形的性质和垂直的性质，证出，依据全等三角形的性质得出相等的角，利用两个锐角互余的三角形是直角三角形即可得出垂直； （2）连接，交于点，根据正方形的性质和垂直的性质，得出为等腰直角三角形，根据三线合一，得出，再利用角平分线的性质和等量代换可得结论； （3）利用（2）中的结论，逐个求出线段的长度，求出相关三角形的面积，利用同高三角形面积比等于底的比，求出所需要的三角形面积，最后利用切割法求出四个三角形的面积之和即为四边形的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，交于点， 由（1）中正方形的性质和垂直的性质得出， 为等腰直角三角形，且， 根据三线合一得，，且， 又∵为的平分线， ， 又， ， ∴； （3）解：如图所示， 由（2）可得为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得 ∴， ∴，，， ∴， ∴， ， ， ， ∵， ， ， ， ∴， ， ∴． 39．如图1，正方形中，分别为上的点，，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，为的中点，交于点，连接． 求证：； (3)如图3，若正方形的边长为8，是上两动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，进而得到， 由此得证； （2）过点作交于点， 可证出，得， 解直角三角形即可得证； （3）过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，连接，则四边形为平行四边形，可以得到，当G、P、D三点共线时，最小，最小值为长，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，连接，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即当G、P、D三点共线时，最小，最小值为长， ∵是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，勾股定理，充分利用线段和角证明三角形全等、转化线段和角的关系式解题的关键． 40．在正方形中，将线段绕着点旋转，得到线段，连接． (1)如图1，延长交于，求的度数； (2)如图2，若，过点作交延长线于点，连接，，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在线段旋转的过程中，直线，交于点，过点作交直线于点，直线交于点．若，当线段取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键． (1) 先根据正方形的性质证得和，再利用角的和差即可得出结果； (2) 过点作交的延长线于点， 先证可得，再证是等腰直角三角形可得，然后证明可得，再根据等腰直角三角形的性质可得即可证明结论； (3) 先说明当点位于和的交点时最小，再根据正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质可得；设，则，运用勾股定理和可得，进而得到；再通过证明、、最终得到，最后代入计算即可解答． 【详解】（1）解：在正方形中，根据题意得， ∵， ， ， ， ， ， ∴的度数为； （2）解：，理由如下： 如图：过点作交的延长线于点， 四边形是正方形， , ， ， ，且， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 又， 是等腰直角三角形，即， 又， ， 在和中， ， ， 在等腰中， ， 即， ∴； （3）解：如图所示，连接， ， ， ， 当点位于和的交点时最小， 将线段绕着点旋转，得到线段， ， ， 四边形为正方形， ∴, ，， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得： ， 在中，由勾股定理可得： ， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 解得: ， ； ，，， ， ，即， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， . 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $