专题03 概率解答题（6种类型48道）（高效培优期中专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题03 概率解答题 考点01 放回问题 考点02 不放回问题 考点03 判断是否公平 考点04 设计规则 考点05 几何概率 考点06概率与统计综合 考点01 放回问题 1．1个袋子中装有1个白球和1个黑球，它们除颜色外其他完全相同．甲、乙两人去摸球，每人摸1次，1次摸出1个球． (1)如果摸出球后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜，那么这个游戏对双方公平吗？ (2)若摸出球后不放回，同样规定摸出黑球的人获胜，则这个游戏的公平性是否和摸出球后放回摇匀时的一样？ (3)若袋子中装有除颜色外其他完全相同的5个白球和5个黑球，甲、乙两人先后去摸球，一人摸1次，1次摸出1个球，摸出后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？ 【答案】(1)这个游戏对双方公平 (2)这个游戏的公平性和摸出球后放回时的一样 (3)这个游戏对双方是公平的，理由见解析 【分析】此题目是关于游戏公平性的问题，解题的关键是熟练掌握每种情况下的概率． （1）因为口袋里有1个白球和1个黑球，它们除颜色外其他完全相同，每次摸出一个球后放回，每个人摸出黑球的概率都是，所以对双方公平； （2）由于是摸出后不放回，则总的结果为甲黑乙白，或甲白乙黑，每人摸出黑球的可能性都是，所以这个游戏对双方是公平的； （3）因为口袋里有5个白球和5个黑球，它们除颜色外其他完全相同，每人摸出黑球的可能性都是，所以这个游戏对双方是公平的． 【详解】（1）解：由于是摸出后放回，每个人摸出黑球的概率都是，所以对双方公平； （2）解：由于是摸出后不放回，则总的结果为甲黑乙白，或甲白乙黑，则他们获胜的概率和放回时一样都是，对双方公平； （3）解：游戏对双方公平，因为袋子中白球和黑球各有5个，每人摸出黑球的可能性都是，所以这个游戏对双方是公平的． 2．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，又放回．小明摸取了60次，结果统计如下： 标号 1 2 3 4 次数 16 14 18 12 (1)上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是_______；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是_______； (2)若小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，请用列举法求小明两次摸取到小球的标号相同的概率． (3)若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为5的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查求概率，掌握用列表法或树状图求概率是关键，一般两步完成的事件列表法、树状图都可以用，三步或三步以上完成的事件适合用树状图． （1）直接由频率和概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能结果，满足条件的有4种，由概率公式求解； （3）画树状图，共有12种等可能结果，满足条件的有4种，由概率公式求解． 【详解】（1）解：上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是； ∵口袋中有四个完全相同的小球， ∴小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是； （2）解：画树状图如下：    由树状图可得共有16种可能的结果，其中小明两次摸取到小球的标号相同的结果有4种， ∴小明两次摸取到小球的标号相同的概率为； （3）解：画树状图如下：    由树状图可得共有12种可能的结果，小明摸出两个小球标号的和为5的结果有4种， ∴小明摸出两个小球标号的和为5的概率为． 3．在一个不透明的袋子里装有6个小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．每个小球除数字外都相同． (1)小军随机从中摸出一个小球，摸到标有数字4的小球的概率是多少？ (2)若小军摸出小球上的数字恰好是4，且没有放回袋中．然后小颖从袋中随机摸出一个小球，小球上的数字大于4的概率是多少？ (3)现两位同学把球全部放回，请你重新制定一个摸球规则，使得摸出小球的概率是． 【答案】(1)P（小军摸到标有数字4的小球） (2)P（小颖摸到小球上的数字大于4） (3)随机从袋中摸出一个小球，求小球上的数字大于4的概率是多少 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）在剩下的5个数中，大于4的数有2个，由概率公式求解即可； （3）6个数中，大于4的数有2个，故可得解． 【详解】（1）∵数字1，2，3，4，5，6中，数字4只有一个， ∴P（小军摸到标有数字4的小球） （2）∵小军摸出小球上的数字恰好是4，且没有放回袋中， ∴剩下的5个数为1，2，3，5，6，其中大于4的数有2个， ∴P（小颖摸到小球上的数字大于4） （3）（3）∵数字1，2，3，4，5，6中，数字大于4的有2个， ∴摸出小球的概率是的规则为：随机从袋中摸出一个小球，求小球上的数字大于4的概率是多少． 【点睛】本题主要考查了运用概率公式求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4．一个口袋中装有个白球、个红球，这些球除颜色外完全相同，将口袋中的球搅拌均匀，求： (1)随机摸出一球，发现是白球． 如果将这个白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______ ； 如果这个白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______ ； (2)如果将口袋中加入若干个白球，并取出相同数量的红球，然后再从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，请你估计加入______ 个白球． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①摸出一个白球放回对第二次摸到白球没有影响，直接利用概率公式求解即可； ②确定摸出一个白球不放回的白球和红球的个数，直接利用概率公式求解即可； （2）估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：（1）①如果将这个白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是； ②如果这个白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是； 故答案为：①；② （2）解：设加入个白球， 根据题意得：， 解得， 经检验是方程的解， 估计加入个白球． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的公式和利用频率估计概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 5．一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，在袋中剩下的球中随机摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再随机摸出一个小球，记录颜色后放回、搅匀，……不断重复这一过程，经过大量试验发现从袋中摸出一个球是黑球的频率稳定在，估计从袋中取出黑球的个数． 【答案】2个 【分析】设从袋中取出个黑球，根据题意得，继而求得答案． 【详解】解：设从袋中取出个黑球， 根据题意得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 所以从袋中取出黑球的个数为2个． 【点睛】本题考查概率公式的应用，注意利用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之和． 6．一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右． (1)则可估计箱子里白色小球的个数_________； (2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（请用画树状图或列表的方法）． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先利用频率估计概率，得到摸到红球的概率为，再利用概率公式列方程，解方程可得答案； （2）利用列表或画树状图的方法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵摸到红色小球的频率稳定于左右， ∴摸到红色小球的概率是， 设白色小球的个数为，由题意，得： ， 解得：， 经检验是原方程的解； ∴箱子里白色小球的个数为2； 故答案为：2 （2）解：根据题意，列出表格如下： 列表如下： 红 红 红 白1 白2 红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白1） （红，白2） 红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白1） （红，白2） 红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白1） （红，白2） 白1 （白1，红） （白1，红） （白1，红） （白1，白1） （白1，白2） 白2 （白2，红） （白2，红） （白2，红） （白2，白1） （白2，白2） 一共有25种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有12种， 所以两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为． 【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率，掌握实验次数足够多的情况下，频率会稳定在某个数值附近，这个常数视为概率，以及掌握列表与画树状图的方法是解题的关键． 7．一个不透明的箱子中装有1张白色的卡片和若干张红色的卡片，这些卡片除颜色外，大小、形状、厚度等均相同．某学习小组做试验：将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下颜色后放回；搅匀后再摸一张卡片，记下颜色后放回；不断重复上述过程，获得数据如下： 摸卡的次数 摸到白色卡片的频数 摸到白色卡片的频率 (1)根据上表估计，任意摸一次为白色卡片的概率为（精确到），求红色卡片有多少张？ (2)现从该箱子中先后各摸出1张卡片，求恰好两张卡片颜色相同的概率． 【答案】(1)红色卡片有3张 (2)恰好两张卡片颜色相同的概率为 【分析】（1）利用白色卡片的数量除以任意摸一次为白色卡片的概率为，即可求出总的卡片数量，再减去白色卡片数量即可求解； （2）由于白色卡片只有1张，因此相同颜色的两张卡片只能是红色，再根据不放回试验的特点分别求出两次摸出红色卡片的概率，接着将这两个概率相乘即可求解；或者用列表法求概率． 【详解】（1）总的卡片张数：（张）， 则红色的卡片张数为：（张）， 答：红色卡片有3张； （2）由于白色卡片只有1张，因此相同颜色的两张卡片只能是红色， 第一次摸出红色卡片的概率为：， 摸出一张红色卡片之后，剩余红色卡片为2张，盒中卡片总张数为：3张， 则第二次摸出红色卡片的概率为：， 即：两张卡片均为是红色的概率为：， 答：恰好两张卡片颜色相同的概率为． 列表如下， 白 红1 红2 红3 白 白，红1 白，红2 白，红3 红1 红1，白 红1，红2 红1，红3 红2 红2，白 红2，红1 红2，红3 红3 红3，白 红3，红1 红3，红2 共有12种等可能结果，其中符合题意的有6种， ∴恰好两张卡片颜色相同的概率为 【点睛】本题考查了根据概率求解总数以及求解不放回试验中事件的概率的知识，掌握不放回试验的特点，是解答本题的关键． 8．某公司在六一儿童节来临之际，为员工子女准备了价格不同的三种礼物，员工通过抽签的方式随机选择礼物类型：将A（书包）、B（滑板鞋）、C（儿童手表）分别写在无差别的三个乒乓球上，将其放在不透明的盒子中摇匀，员工老李先从中随机摸出一个球，记下结果后放回摇匀，再由老张从中随机摸出一个，记下结果后放回． (1)老李没有抽中“书包”是______事件，老张抽中“笔记本电脑”是______事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；老李抽中“滑板鞋”的概率为______； (2)试用画树状图或列表的方法表示出所有可能的结果，并求出老李和老张抽中相同礼物的概率． 【答案】(1)随机，不可能， (2)老李和老张抽中相同礼物的概率为． 【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案； （2）画树状图得出所有等可能的结果，再从中找到符合条件的结果数，然后利用概率公式计算可得． 【详解】（1）解：老李没有抽中“书包”是随机事件； 老张抽中“笔记本电脑”是不可能事件； 老李抽中“滑板鞋”的概率为； 故答案为：随机，不可能，； （2）解：列表如下：          第一次 第二次 A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 可能出现的结果共有9种，并且它们出现的可能性相同，其中老李和老张抽中相同礼物的结果有3种， 则老李和老张抽中相同礼物的概率为． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 考点02 不放回问题 9．一个不透明袋子里装有1个红球，1个蓝球，2个黄球（这些球除颜色外完全相同），把这些球放在口袋中搅匀． (1)若从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是______； (2)小新从口袋中随机摸出一球，记下颜色后不放回，随后小颖从口袋里剩下的球中随机摸出一球，记下颜色后不放回，请用列表或树状图求出小新和小颖都没有摸到黄球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了利用树状图或列表法求概率、概率公式等知识． （1）利用概率公式计算即可； （2）列表找到所有可能的情况数，用所有符合要求的情况数除以总的情况数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个不透明袋子里装有1个红球，1个蓝球，2个黄球（这些球除颜色外完全相同）， ∴若从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是， 故答案为：； （2）两个黄球分别记为黄1和黄2，可以用下表列举出所有可能出现的结果.        小颖 小新 红 蓝 黄1 黄2 红 （红，蓝） （红，黄1） （红，黄2） 蓝 （蓝，红） （蓝，黄1） （蓝，黄2） 黄1 （黄1，红） （黄1，蓝） （黄1，黄2） 黄2 （黄2，红） （黄2，蓝） （黄2，黄1） 由上表可知，一共有12种结果，并且它们出现的可能相等，其中小新和小颖都没有摸出黄球的有2种，所以． 答：小新和小颖都没有摸出黄球的概率． 10．一个不透明袋子里装有1个红球，1个蓝球，2个黄球（这些球除颜色外完全相同），把这些球放在口袋中搅匀． (1)若从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是______； (2)小新从口袋中随机摸出一球，记下颜色后不放回，随后小颖从口袋里剩下的球中随机摸出一球，记下颜色后不放回，请用列表或树状图求出小新和小颖都没有摸到黄球的概率． 【答案】(1) (2)小新和小颖都没有摸出黄球的概率． 【分析】此题考查了利用树状图或列表法求概率、概率公式等知识． （1）利用概率公式计算即可； （2）列表找到所有可能的情况数，用所有符合要求的情况数除以总的情况数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个不透明袋子里装有1个红球，1个蓝球，2个黄球（这些球除颜色外完全相同）， ∴若从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是， 故答案为：； （2）解：两个黄球分别记为黄1和黄2，可以用下表列举出所有可能出现的结果.      小颖 小新 红 蓝 黄1 黄2 红 （红，蓝） （红，黄1） （红，黄2） 蓝 （蓝，红） （蓝，黄1） （蓝，黄2） 黄1 （黄1，红） （黄1，蓝） （黄1，黄2） 黄2 （黄2，红） （黄2，蓝） （黄2，黄1） 由上表可知，一共有12种结果，并且它们出现的可能相等，其中小新和小颖都没有摸出黄球的有2种，所以． 答：小新和小颖都没有摸出黄球的概率． 11．袋子里有2个红球，8个白球，每个球除颜色外都相同． (1)如果第一次摸出一个球不放回，第二次从剩下的球中摸出一个球也不放回，那么“第三次再从剩下的球中摸出一个，摸到红球”这个事件是什么事件？ (2)如果第一次摸出一个球不放回，再从剩下的球中摸出一个，直接写出摸到白球的概率． 【答案】(1)不确定事件 (2)或 【分析】（1）根据事件的定义判断即可． （2）根据不放回的特点，结合概率公式计算即可． 【详解】（1）因为第一次摸出一个球不放回，可能是红球，也可能是白球；第二次从剩下的球中摸出一个球也不放回，可能是红球，也可能是白球；故“第三次再从剩下的球中摸出一个，摸到红球可能是红球，也可能是白球； 故这个事件是随机事件或不确定事件． （2）当第一次摸到的是红球时，还余下9个球，其中白球为8个， 故第二次摸到白球的概率为； 当第一次摸到的是白球时，还余下9个球，其中白球为7个， 故第二次摸到白球的概率为； 再从剩下的球中摸出一个，直接写出摸到白球的概率为或． 【点睛】本题考查了随机事件即不确定事件，概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 12．小明参加浙江省城市篮球联赛（浙）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有个红球和个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件． (1)用适当的方法列举摸球所有可能的结果． (2)求出小明同学获得篮球的概率． 【答案】(1)种，列表见解析； (2)． 【分析】本题考查了列举随机试验的所有可能结果，概率公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （）直接用列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果即可； （）由（）得，两次摸出的球颜色相同的结果有种，然后通过概率公式即可求解． 【详解】（1）解：（1）列表如下： 红 红 黄 黄 红 红红 红黄 红黄 红 红红 红黄 红黄 黄 黄红 黄红 黄黄 黄 黄红 黄红 黄黄 所以摸球所有可能的结果共有种； （2）解：由（）得，两次摸出的球颜色相同的结果有种， 所以小明同学获得篮球的概率． 13．甲、乙两名同学在课间玩抽卡片游戏，游戏规则如下：将背面完全相同、正面分别标有数字，，，的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先从中随机抽取一张卡片，不放回；乙再从剩下的张中随机抽取一张卡片． (1)甲抽到卡片上的数字是奇数的概率为___________； (2)若两次抽取的数字之和为奇数，则甲获胜；若数字之和为偶数，则乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．解决本题的关键是利用列表法分别求出甲、乙获胜的概率，根据概率判断游戏是否公平即可 ． 【详解】（1）解：，，，四张卡片中，有，两个奇数，则甲抽到卡片上的数字是奇数的概率为； （2）不公平 理由： 列表如下： 1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 5 6 3 4 5 7 4 5 6 7 ∴共有12种可能结果，其中和为奇数的有8种，和为偶数的有种， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为； ∵， ∴这个游戏对甲、乙双方不公平． 14．有4张正面分别写有数字，，0，1的卡片，这些卡片除了正面其他完全相同． (1)将这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽取的这张卡片上的数字是0的概率是 ； (2)将这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张卡片上的数字之积是负数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取的这张卡片上的数字是0的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及这两张卡片上的数字之积是负数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵有4张正面分别写有数字，，0，1的卡片， ∴将这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽取的这张卡片上的数字是0的概率是． 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片上的数字之积是负数的结果有4种， ∴抽取的这两张卡片上的数字之积是负数的概率为． 15．某班家委会准备组织同学们周末进行徒步健身活动．以抽签的方式从浮山森林公园和中山公园选择一个为徒步地点，规则为：一个不透明纸箱里，装有除颜色不同外其它完全相同的3个红球和2个黑球，先后两次从纸箱里摸出两个球（不放回），若两次所摸球的颜色相同，则去浮山森林公园；否则，去中山公园． (1)求第一次摸到黑球的概率为_____； (2)请用树状图或者列表表示出所有摸球的结果，求出去中山公园概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了简单地概率公式，树状图法求概率，游戏公平性，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据简单的概率公式解答即可． （2）利用画树状图法解答即可．计算颜色相同的概率，颜色不同的概率，比较大小，确定可能性的大小． 【详解】（1）解：根据题意，得摸到黑球的概率为． （2）解：根据题意，设红球用A，B，C表示，黑球用D，E表示，画树状图如下： 一共有20种等可能性，其中颜色相同的有8种等可能性，颜色不同的有12种等可能性． ∴去中山公园的概率为． 16．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．农历五月初五早晨，小王的妈妈用不透明袋子装着一些粽子（粽子除食材不同外，其他一切相同），其中糯米粽两个，还有一些薯粉粽，现小王从中任意拿出一个是糯米粽的概率为． (1)求袋子中薯粉粽的个数； (2)小王第一次任意拿出一个粽子（不放回），第二次再拿出一个粽子，请你用树形图或列表法，求小王两次拿到的都是薯粉粽的概率 ． 【答案】(1)袋子中有薯粉粽个 (2)小王两次拿到的都是薯粉粽的概率为 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）设袋子里有个薯粉粽，根据题意列方程，解方程即可得到答案； （2）画树状图展示所有等可能的结果，再计算概率即可． 【详解】（1）解：设袋子里有个薯粉粽， 根据题意得：， 解得， 答：袋子中有薯粉粽个． （2）解：设糯米粽子分别为1，2；薯粉粽子分别为3，4，5 共有种等可能情况，其中小王两次拿到的都是薯粉粽有种， 小王两次拿到的都是薯粉粽的概率为． 考点03 判断是否公平 17．小明和小颖在一起做游戏．从一个装有4个红球和3个绿球（每个球除颜色外都相同）的不透明口袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到绿球小颖获胜． (1)小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率是多少？ (2)该游戏对双方是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，如何设计该游戏，使该游戏对双方公平． 【答案】(1)小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是 (2)该游戏对双方不公平，设计该游戏规则见解析 【分析】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）根据概率公式分别计算出摸到红球和绿球的概率，比较大小即可得出答案； （2）答案不唯一，只需使两者获胜的概率相等即可． 【详解】（1）解：（小明获胜）， （小颖获胜）， 答：小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是． （2）解：该游戏对双方不公平， 设计该游戏规则为：如可以将其中一个红球换成黄球，从袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到绿球小颖获胜，摸到黄球为平局（答案为不唯一，使小明和小颖获胜的概率一样即可）． 18．在一个不透明的口袋里装有红色、蓝色、白色三种小球，这些小球除颜色外都相同，其中红球有1个，蓝球有2个．从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，大量重复试验后，发现蓝球出现的频率稳定在附近． (1)口袋中白球的数量为______个； (2)小明和小颖玩摸球游戏，规则如下：两人同时从口袋中各摸出1个小球，若两人摸出的小球颜色相同，则小明获胜；若两人摸出的小球颜色可配成紫色（红色和蓝色可配成紫色），则小颖获胜．请用表格或树状图分析游戏是否公平，若不公平，规则对谁更加有利？ 【答案】(1)1 (2)不公平，规则对小颖更加有利，理由见解析 【分析】本题考查了由概率求数量问题，利用树状图求概率， （1）设白球的数量为个，根据概率建立等式求解即可； （2）利用树状图求出两位分别获胜的概率，比较大小，来判断游戏是否公平 【详解】（1）解：红球有1个，蓝球有2个．从口袋中随机摸出一个小球， 记下颜色后放回，大量重复试验后，发现蓝球出现的频率稳定在附近， 设白球的数量为个， 则， 解得：， 故口袋中白球的数量为1个， 故答案为：1． （2）解：设白球，红球，篮球，分别为，作树状图如下： 一共有12中情况，两人同时从口袋中各摸出1个小球，两人摸出的小球颜色相同有2种情况，小明获胜的概率为； 两人摸出的小球颜色可配成紫色有4种情况，小颖获胜的概率为， 游戏不公平， ， 规则对小颖更加有利． 19．在一个不透明的袋中有6个除颜色外其他都相同的小球，其中3个红球，2个黄球，1个白球． (1)小明从中任意摸出一个小球，摸到白球的机会是_________ (2)小明和小亮商定一个游戏，规则如下：小明从中任意摸出一个小球，摸到红球则小明胜，否则小亮胜．问该游戏对双方是否公平，为什么？ 【答案】(1) (2)该游戏对双方是公平的，理由见解析 【分析】此题考查了概率公式和游戏的公平性，熟练掌握概率公式是关键． （1）根据概率公式进行解答即可； （2）根据概率公式求出小明获胜的概率和小亮获胜的概率，比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在一个不透明的袋中有6个除颜色外其他都相同的小球，其中3个红球，2个黄球，1个白球． ∴小明从中任意摸出一个小球，摸到白球的机会是； 故答案为：； （2）该游戏对双方是公平的，理由如下： 由题意可知小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为， 他们获胜的概率相等，所以游戏是公平的． 20．小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔（不放回），若两人所取笔的颜色相同，则小明胜；否则，小军胜． （1）若小明第一个取笔，求他能取到红笔的概率； （2）请用概率知识判断这个游戏是否公平？若不公平，你认为对谁有利． 【答案】（1）；（2）不公平，对小军有利 【分析】（1）根据概率公式直接计算即可； （2）用列表法表示所有等可能的结果，再分别计算小明、小军获胜的概率，继而判断游戏是否公平． 【详解】解：（1）∵一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔， ∴小明取到红笔的概率； （2）若小明从袋中取出一支笔（不放回）所得的颜色是红色，小军从袋中取出一支笔（不放回）所得的颜色是红色，这种情况记为：红1红2，所有等可能的结果列表得： 红1 红2 红3 黑1 黑2 红1 红1红2 红1红3 红1黑1 红1黑2 红2 红2红1 红2红3 红2黑1 红2黑2 红3 红3红1 红3红2 红3黑1 红3黑2 黑1 黑1红1 黑1红2 黑1红3 黑1黑2 黑2 黑2红1 黑2红2 黑2红3 黑2黑1 共20种等可能的情况，其中颜色相同的有8种， 则小明获胜的概率为，小军获胜的概率为， ∵， ∴不公平，对小军有利． 【点睛】本题考查简单的概率计算、列表法求概率、判断游戏是否公平等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 21．如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜． (1)转出偶数的概率是________；转出奇数的概率是________； (2)你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？ 【答案】(1)； (2)这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性， （1）根据概率公式计算即可； （2）比较（1）中求出的概率求解即可． 【详解】（1）∵共有1，2，3，4，5五个数字，其中2个偶数，3个奇数， ∴转出偶数的概率是；转出奇数的概率是； （2）这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由如下： ∵， ∴乙获胜的概率大． 22．2024贵阳马拉松比赛于6月16日上午7点30分在贵阳国际会展中心北广场正式鸣枪起跑，本届马拉松赛共设置四个项目，分别是马拉松、半程马拉松、迷你马拉松以及线上马拉松．经过大家积极的参与，报名人数共计93902人，由于场地人数限制，需要抽签决定是否能够参与比赛．小红和小星类比该方式进行抽签决定是否参加某场活动，在一个不透明的袋子中放入4个完全一样的小球，分别标有1、2、3、4四个数字，小红和小星轮流从袋中摸出一球，记下号码，然后放回． (1)计算摸到小球数字为2的概率； (2)如果摸到的球号码大于2，则小红参加活动，否则小星参加活动，你认为这个抽签方式公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查求简单事件的概率、判断游戏的公平性，理解题意，正确求得概率是解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）先分别求得小红参加活动和小星参加活动的概率，若概率相等，该抽签方式公平，若概率不相等，该抽签方式不公平． 【详解】（1）解：所有等可能的结果有4种，其中摸到2的结果有1种， ∴P（摸到小球数字为2）； （2）解：公平； 理由如下：所有等可能的结果有4种，其中摸到的球号码大于2的结果有2种，不大于2的结果有2种 ∴P（小红参加活动），P（小星参加活动）， ， ∴这个抽签方式公平． 23．某中学准备举行实地研学活动，每个班需选出一名旗手．某班小王、小李都想当，决定采取在不透明袋子摸质地均匀大小一样的小球的办法，小球分别标有1、2、3、4，具体规则是：“每人各摸一次，若小王摸得的数字比小李摸得的数字小，小王胜出，否则小李当选”．试用列表法或画树状图的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 【答案】这个规则对双方不公平，理由见解析 【分析】此题考查事件概率的计算，游戏的公平性；列表求事件的概率，即可得到答案． 【详解】解： 小王小李 有16种等可能结果．其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种：，，，，，   ∴小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为：． 小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为． ∴这个规则对双方不公平． 24．甲、乙二人用4张扑克牌分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片玩游戏，他们将扑克牌洗匀后．背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (1)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是______． (2)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜．请利用画树状图或列表的方法，求出甲、乙获胜的概率，并判断此游戏是否公平？为什么？ 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲抽到的牌的数字比乙的大的结果有5种，甲抽到的牌的数字比乙的小的结果有7种，再由概率公式求出甲胜的概率乙胜的概率，即可得出结论． 【详解】（1）解：甲、乙二人用4张扑克牌分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片玩游戏， 若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是， 故答案为：； （2）解：此游戏不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲抽到的牌的数字比乙的大的结果有5种，甲抽到的牌的数字比乙的小的结果有7种， 甲胜的概率，乙胜的概率， 甲胜的概率乙胜的概率， 此游戏不公平． 考点04 设计规则 25．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有红球、黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球次数 100 150 200 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 52 72 262 404 499 1000 摸到红球的频率 0.52 0.51 0.524 0.505 0.499 0.5 (1)表中的_____________，_____________； (2)通过摸球实验，请你估计摸到红球的概率是_____________； (3)上述实验中，若袋中10个球中有3个黑球，为决定谁将获得仅有的一张电影票，设计了如下的摸球游戏，规则如下：如果摸到黑球，则小明获胜；如果摸到白球，则小颖获胜；如果抽到红球，则视为无效抽球，需将球放回袋中，游戏继续，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由，如果不公平，请重新设计一个公平游戏． 【答案】(1)0.48；102 (2)0.5 (3)这个游戏不公平，理由见解析，新设计一个公平游戏见解析 【分析】此题考查了频率统计表，利用频率估计概率，概率公式，游戏公平性．大量反复试验下频率稳定值即概率．掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）用摸到红球的次数除以摸球的总次数，求出a；用摸球的总次数乘以摸到红球的频率，求出b； （2）根据图表给出的数据即可得出摸到红球的频率，然后用频率估计算概率即可； （3）根据摸到红球的频率计算出红球的个数，从而求出白球个数，再分别求出摸到的白球与黑球的概率，再比较即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：0.48；102． （2）解：由统计表可知：摸到红球的频率约为0.5， ∴估计摸到红球的概率是0.5． （3）解：由（2）摸到红球的概率是0.5， ∴红球的个数为（个）， ∴白球的个数为（个）， ∴摸到的白球的概率为 摸到的黑球的概率， ∵， ∴这个游戏不公平， 设计公平游戏为：将袋中红球拿出 1个换成白球，即袋中10个球，有3个黑球，3个白球，4个红球，或将袋中黑球拿出 1个换成红球，即袋中10个球，有2个黑球，2个白球，6个红球．规则不变，即为公平的游戏． 26．小明和哥哥都很想去看成都蓉城足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去（如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动）． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由：若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得哥哥去的概率为，并简要说明游戏规则． 【答案】(1) (2)游戏公平，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查几何概率模型求概率，读懂题意，搞懂相关事件所占的几何比例是解决问题的关键． （1）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明去观看足球比赛的概率即可得到答案； （2）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明或哥哥去观看成都蓉城足球比赛的概率，比较大小即可得到答案； （3）根据哥哥去的概率为，设计转盘即可． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （哥哥去观看足球比赛）； （小明去观看足球比赛）（哥哥去观看足球比赛）， 游戏公平． （3）解：将转盘平均分为8个区域，其中红色占3份；白色占1份，蓝色和黄色占4份，如果指针转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，哥哥去． 27．如图，一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成10个扇形，分别标有数字，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．小明和小杰用这个转盘进行猜数游戏，游戏规则为：如果指针所指的数字大于6，那么小明获胜，如果指针所指的数字小于6，那么小杰获胜． (1)上述游戏规则公平吗？请你说说理由； (2)为了能使游戏更为公平，请你设计一种对小明、小杰都公平的游戏规则，并说说你的设计依据． 【答案】(1)上述游戏规则不公平，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，游戏的公平性，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）分别求出指针所指的数字大于6的概率和指针所指的数字小于6的概率，即可得出答案； （2）设计游戏规则，使小明和小杰获胜的概率相等，即可得出答案 【详解】（1）解：上述游戏规则不公平．理由如下： 因为转盘被等分成10个扇形，其中指针所指的数字大于6有4种可能，指针所指的数字小于6有5种可能 所以，P（小明获胜）， P（小杰获胜） 因为 所以上述游戏规则不公平； （2）解：规则：如果指针所指的数字不小于6，那么小明获胜，如果指针所指的数字小于6，那么小杰获胜．（答案不唯一） 依据：转盘被等分成10个扇形，其中指针所指的数字不小于6有5种可能，指针所指的数字小于6有5种可能， 所以，P（小明获胜）， P（小杰获胜）， 因为， 所以上述游戏规则公平． 28．“六一”儿童节，全校要举办文艺汇演活动，小玉和小露都想去当节目主持人，但现在只有一个名额，小露设计了一个游戏，她将转盘（均质的）均分成6份，并依次写到1，2，3，4，5，6六个数字，如图所示，游戏规定：随意转动转盘，转盘停止后，若指针指到的数字是2的倍数，则小露去；若指针指到的数字是3的倍数，则小玉去． (1)该游戏是否公平？为什么？请说明理由； (2)若该游戏公平，请你设计一个有利于小玉获胜的游戏规则，若该游戏不公平，你能将这个游戏改进后，使得游戏公平吗？请写出你的游戏规则，并说明理由． 【答案】(1)这个游戏不公平，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别求出两人去的概率即可得到答案； （2）只需要保证两人去的概率相同即可． 【详解】（1）解：这个游戏不公平，理由如下： ∵一共有6个数字，转到每个数字的概率一样， ∴转到每个数字的概率为， ∵这6个数字中是2的倍数的数字有2，4，6共3个，是3的倍数的数字有3、6共2个， ∴小露去的概率为，小玉去的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平； （2）解：由（1）可知这个游戏不公平， 设计规则如下： 随意转动转盘，转盘停止后，若指针指到的数字是奇数，则小露去；若指针指到的数字是偶数，则小玉去； ∵转到每个数字的概率为，奇数和偶数的个数分别为3个、3个， ∴小玉和小露去的概率都为， ∴此规则下，游戏是公平的． 【点睛】本题主要考查了游戏的公平性，正确求出两人去的概率是解题的关键． 29．国庆假期，小明一家准备去西安某景点旅游，出发前需要采购一些生活用品，小明提议采用掷骰子的方式决定谁去采购．小明抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字），若向上的点数是3的倍数，则妈妈去；若向上的点数不是3的倍数，则爸爸去． (1)上述方式公平吗？请说明理由； (2)为了能使游戏更为公平，请你帮小明设计一种对爸爸、妈妈都公平的规则，并说明你的设计依据． 【答案】(1)不公平，理由见解析， (2)若向上的点数是奇数，则妈妈去，若向上的点数是偶数，则爸爸去．（不唯一） 【分析】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键． （1）直接得出是3的倍数的个数，再利用概率公式求出答案． （2）保证他们的概率相等即可． 【详解】（1）根据题意可知，抛掷这个骰子得到的数共6种等可能结果，其中是3的倍数是3，6共2种结果， 所以向上的点数是3的倍数的概率为：． 向上的点数不是3的倍数的概率为：． ∴爸爸去的概率大，不公平， （2）保证爸爸、妈妈去的概率相等即可； 如：若向上的点数是奇数，则妈妈去，若向上的点数是偶数，则爸爸去，此时他们的概率为，所以公平． 30．如图，一个可自由转动的转盘被平均分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这6个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，指针指到分隔线无效，需要重新转动．两人参与游戏：一人转动转盘，一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．如果轮到你猜数，请你设计一种更容易获胜的猜数规则（不限转动次数），并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了概率的基本计算、不同事件发生概率的比较以及多次试验下概率的累积效应．解题的关键是结合数字特征设计猜数规则，通过提高单次获胜概率，并利用多次试验放大优势，实现更容易获胜的目标． 选择包含多个数字的类别（如偶数）作为猜数对象，利用该类别数字数量占比高的特点，提升获胜概率，且在多次转动中累积优势． 【详解】猜数规则：每次猜转出的数字是偶数（即2、4、6中的一个），并且不限转动次数． 理由：转盘被平均分成6等份，标有2、3、4、5、6、7，每个数字被转出的概率均为．其中偶数有3个，单次猜中偶数的概率为，远高于猜单个数字的．由于不限转动次数，随着转动次数增多，根据概率规律，猜中偶数的总次数会更多，猜数人获胜的可能性更大． 31．某商场为吸引顺客，设置了一个可自由转动的转盘．该转盘被均匀划分成20个扇形区域，其中3个扇形为红色，5个扇形为黄色，其余扇形则为白色．顾客每消费满100元商品，即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止转动时，若指针恰好指向红、黄色区域，顾客便能分别获取100元、50元的购物券． (1)某顾客购物消费110元，获得一次转动转盘的机会．他获得100元购物券的概率是_________，他能获得购物券的概率是_________； (2)商场还在一个不透明的盒子里准备了摸球游戏．现有4个红球、3个黄球、2个白球、1个黑球，现需请你帮忙设计一种方案，使在摸球游戏中摸到红球的概率，与转动上述转盘能获得购物券的概率相等． 【答案】(1)， (2)见详解 【分析】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，熟记概率公式是解题的关键． （1）分别由概率公式求解即可； （2）根据使在摸球游戏中摸到红球的概率，与转动上述转盘能获得购物券的概率相等，设计一种方案即可． 【详解】（1）解：∵该转盘被均匀划分成20个扇形区域，其中3个扇形为红色，5个扇形为黄色，指针恰好指向红、黄色区域，顾客便能分别获取100元、50元的购物券， ∴获得100元购物券的概率为，能获得购物券的概率为， 故答案为：，； （2）解：依题意，设计方案：将4个红球、3个黄球、2个白球、1个黑球放到不透明的盒子里，一次只能摸出一个球，摸到红球者能获得购物券，摸到其他球不能获得购物券， 此时在摸球游戏中摸到红球的概率为． 则与转动上述转盘能获得购物券的概率相等． 32．第31届世界大学生夏季运动会将在四川成都举行．小明和哥哥都很想去观看羽毛球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去（如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动）．    (1)求小明去观看羽毛球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】（1）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明去观看羽毛球比赛的概率即可得到答案； （2）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明或哥哥去观看羽毛球比赛的概率，比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看羽毛球比赛）； （2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看羽毛球比赛）； （哥哥去观看羽毛球比赛）； （小明去观看羽毛球比赛）（哥哥去观看羽毛球比赛）， 游戏公平． 【点睛】本题考查几何概率模型求概率，读懂题意，搞懂相关事件所占的几何比例是解决问题的关键． 考点05 几何概率 33．图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． (1)分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率． (2)请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率． (3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3)概率不发生变化，阴影部分概率的公式为 【分析】本题主要考查了几何概率的求法，解题的关键是掌握简单概率公式． （1）利用简单概率公式求解即可； （2）根据概率公式画出图形即可； （3）根据简单概率公式判断即可． 【详解】（1）解：大正方形包含的小正方形个数为（个） 图①阴影部分的正方形个数为8个， 投中纸板上阴影部分的概率为； 图②阴影部分可以看作是矩形的对角线和小正方形的对角线构成的三角形， 每一个阴影三角形的面积等于的矩形面积的一半，即为2个小正方形的面积， 图②阴影部分的正方形个数为个， 投中纸板上阴影部分的概率为； （2）解：涂色如下： （3）解：概率不发生变化， 阴影部分概率的公式为． 34．如图是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）． (1)这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴，并在图中画出所有的对称轴； (2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． (3)请你设计一个与问题2概率相同的游戏． 【答案】(1)是，4，见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是几何概率，概率公式，求出黑色方格在整个地板砖中所占面积的比值是本题的关键． （1）根据轴对称图形的定义即可求解； （2）先求出阴影区域在整个地板砖中所占面积的比值，再根据其比值即可得出结论； （3）根据概率的求解得出答案． 【详解】（1）解：这个图形是轴对称图形，它有4 条对称轴，它的对称轴如图中虚线所示： ， 故答案为：是，4； （2）正方形的面积平均分成16份，阴影部分占4份， 所以停在阴影区域的概率为； （3）如袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中一个红色，三个绿色，充分摇匀后从中随机摸出一个小球是红球的概率．（答案不唯一）． 35．（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】（1） （2） （3）乙获胜的概率大，理由见解析 【分析】本题考查几何概率的求法，掌握正方形面积和阴影部分面积的计算方法是解题关键． （1）用阴影部分的面积除以总面积即可； （2）用阴影部分的面积除以总面积即可； （3）分别求出两人获胜的概率即可解答． 【详解】解：（1）根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率：； （2）∵图形的总面积为，阴影部分面积为， ∴点P恰好在阴影部分的概率是：； （3）乙获胜的概率大，理由如下： 由图可知：甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：， ∴， 故乙获胜的概率大． 36．在如图所示的地板（图中每一块方砖除颜色外完全相同）中，每块方砖的边长为，小猫在地板上自由走动，并随意停留在某块方砖上．求小猫停留在阴影区域的概率． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，根据图形求出阴影部分的面积和地板的面积，再根据概率公式计算即可求解，掌握概率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由图可知，阴影区域的面积个阴影小三角形的面积块方砖的面积， 地板的面积为， ∴小猫停留在阴影区域的概率为． 37．（1）一只小狗在如下图所示的地板上走来走去，地板是由大小相等的小正方形方砖铺成的．求小狗最终停在灰色方砖上的概率； （2）一个不透明的袋子中装有1个红球、2个绿球和3个白球，每个球除颜色外其余都相同．将球搅匀后，从中任意摸出1个球．你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？摸到哪种色的球的可能性最小？ 【答案】（1）；（2）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小 【分析】本题主要考查了可能性大小的知识，几何概率，解题的关键是： （1）先观察次地板一共有多少块小正方形铺成，再把是黑色的小正方块数出来，用黑色的小整块数目比总的小正方块即可得到答案； （2）根据白球数量最多，红球数量最少，得出摸到白球的可能性最大，红球的可能性最小． 【详解】解：（1）因为共有15块方砖，其中灰色方砖有5块，所以P（小狗最终停在灰色方砖上）． （2）因为白球的数量最多，红球的数量最少，所以摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小． 38．小明与小颖玩一个投镖游戏，投镖所用的靶子如下图所示．规定小明投中黑色区域得2分，投中灰色区域减1分，投中白色区域不得分；小颖投中黑色区域减1分，投中灰色区域得2分，投中白色区域不得分．如果两人投镖均是随意的，那么谁获胜的概率大？请说明理由． 【答案】两人获胜的概率一样大．理由见解析 【分析】根据题意分别得出两人得分的概率，进而比较得出即可．此题主要考查了几何概率，正确利用概率公式求出是解题关键． 【详解】解：两人获胜的概率一样大．理由如下： ∵小明投中黑色区域得2分，投中灰色区域减1分，投中白色区域不得分， ∴． ∵小颖投中黑色区域减1分，投中灰色区域得2分，投中白色区域不得分， ∴， ∵， ∴两人获胜的概率一样大． 39．（1）如图①是书房地板的示意图，图中每一块地砖除了颜色外是完全相同的，现任意抛掷一个乒乓球，若乒乓球最后落在某一块地砖上算一次成功的抛掷，试求所有成功抛掷中，乒乓球抛掷后停留在黑地砖上的概率是多少？ （2）请在图②中，重新设计地砖的颜色，使乒乓球最后停留在地砖上的概率为． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查几何中概率的求法，熟练掌握“几何概率相应的面积与总面积之比”是解题的关键． （1）先确定黑色方砖的面积在整个地板中占的比例，这个比例即为出乒乓球停留在黑色方砖上的概率； （2）乒乓球最后停留在黑色地砖上的概率为，则只需黑色块即可． 【详解】解：（1）由图可知共有方砖块，黑色方砖为块， 则乒乓球停留在黑色方砖上的概率是； （2）因为乒乓球最后停留在黑色地砖上的概率为， 所以黑色地砖共有（块）， 画图如下（不唯一）： 40．向如图所示的正三角形区域内扔沙包，（区域中每个小正三角形陈颜色外完全相同）沙包随机落在某个正三角形内． (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是 ． (2)要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出． 【答案】(1) (2)还要涂黑2个小正三角形，图见解析 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． （1）求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答； （2）利用（1）中求法得出答案即可． 【详解】（1）解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是， 所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于． 故答案为：． （2）解：要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，则阴影区域的小正三角形的数量为个， 即还要涂黑2个小正三角形， 如图所示（答案不唯一）： 考点06概率与统计综合 41．某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务，随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问卷 在下列课外活动中，你最喜欢的是（   ）（单选） A．文学    B．科技    C．艺术    D．体育 ※填完后，请将问卷交给教务处． 根据统计得到的数据，绘制成下面两幅不完整的统计图． 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： (1)在这次调查中，抽取的学生一共有__________人；扇形统计图中的值为__________；并补全条形统计； (2)已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生参加座谈会，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是__________； (3)若该校共有1400名学生参加课外活动，请你估计选择“文学”类课外活动的学生多少人． 【答案】(1)200，22，36，见解析 (2) (3)490人 【分析】根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量，利用百分比之和为1，频数等于频率乘以样本容量计算即可． 根据简单的概率公式计算即可． 利用样本估计总体的思想解答即可． 本题考查的是扇形统计图，条形统计图，样本容量的计算，简单地概率公式，用样本估计总体，会计算样本容量，从题目图表中获取有用信息是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得样本容量为：， 根据题意，得， 故， ，补图如下： 故答案为：200，22，36． （2）解：根据题意，得； （3）解：根据题意，得（人）． 答：选择“文学”类课外活动的学生490人． 42．为了解某中学九年级学生中考体育成绩情况，现从中抽取部分学生的体育成绩进行分段（A：50~45分、B：44~35分、C：34~25分、D：24~0分）统计，统计结果如图1、图2所示． 根据上面提供的信息，回答下列问题： (1)本次抽查了______名学生的体育成绩； (2)图2中D分数段所占的百分比为______，B分数段所对应的圆心角为______度； (3)已知中考体育成绩为A等级的8名学生中有3名男生和5名女生，若从这8名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是______； (4)已知该校九年级共有1000名学生，请估计该校九年级学生体育成绩达到35分以上（含35分）的人数． 【答案】(1) (2)12；144 (3) (4)估计该校九年级学生体育成绩达到35分以上（含35分）的人数约为人． 【分析】本题考查了概率公式求概率；扇形统计图与频数分布直方图关联信息，求圆心角及用样本估算总体情况，解题的关键是根据扇形统计图与频数分布直方图求出样本容量． （1）根据A的人数除以其占比即可得到答案； （2）根据（1）中的D分数段除以样本容量可求得D分数段所占的百分比，利用乘以B分数段的占比即可得到答案； （3）根据概率公式求解即可； （4）利用样本估计总体即可得到答案； 【详解】（1）解：由图象可得， 抽查人数为：（人）， 故答案为：； （2）解：D分数段所占的百分比为， B分数段所对应扇形的圆心角度数为：， 故答案为：12；144； （3）解：总人数为8人， 随机抽取1名学生座谈，共有8种等可能结果， 恰好抽到男生的可能有3种， 则恰好抽到男生的概率为：， 故答案为：； （4）解：由题意可得， 体育成绩达到分以上（含分）的有：（人）， 估计该校九年级学生体育成绩达到35分以上（含35分）的人数约为人． 43．为了了解初三男生的身高情况，陈老师对九年级三班名男同学的身高进行了统计，统计结果如下（单位）： ， 整理以上数据，得到身高x的频数分布表 身高 频数 4 1 m n 2 (1)表格中______，______； (2)请计算这组数据的平均数、中位数和众数分别是多少． (3)陈老师要从包括小明在内的4名男同学中随机选取两名同学参加跳高比赛，请用列表或树状图的方法计算出选中小明的概率． 【答案】(1)，3 (2)平均数为；中位数为；众数为和 (3) 【分析】（1）根据数据求解即可； （2）由题意知，将各数从小到大依次排列，根据平均数为，计算求解即可；根据中位数为第个数的平均数计算求解即可；根据众数的定义求解即可； （3）根据题意列表格，然后求概率即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：，3； （2）解：由题意知，各数从小到大依次排列为：， ∴平均数为， ∴中位数为第个数的平均数，为； 在本组数据中，和出现三次，出现次数最多， ∴众数为和； ∴平均数为，中位数为，众数为和； （3）解：设除小明外其他三名同学分别为A，B，C，列表如下： 第二人\第一人 小明 A B C 小明 （小明,A） （小明,B） （小明,C） A （A,小明） B （B,小明） C （C,小明） 由表格可知，一共由种等可能的结果，其中选中小明的共6种， ∴， ∴选中小明的概率是． 【点睛】本题考查了频数分布表，平均数，中位数，众数，列举法求概率．熟练掌握平均数，中位数，众数，列举法求概率是解题的关键． 44．每年都有很多人因火灾丧失生命，某校为提高学生的防火安全意识，开展了“防火灾，爱生命”的防火灾知识竞赛．现抽取部分学生的竞赛成绩，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘成如图所示不完整的统计图，请根据统计图中的信息回答下列问题： （说明：A等级：80～100分，B等级：70～80分，C等级：60～70分，D等级：0～60分，每组中包含最小值不包含最大值，但是80～100分既包含最小值又包含最大值） (1)此次抽查的人数为 ； (2)补全条形统计图，补充完整； (3)扇形统计图中D等级所对的圆心角的度数是 度； (4)从该校学生中随机抽查1人，竞赛成绩是A等级的概率是 ． 【答案】(1)150 (2)见解析 (3)36 (4) 【分析】（1）根据统计图可知C等级的总人数为36（人），占调查人数的24%，从而可以得到本次抽查的学生数； （2）根据（1）中求得的抽查人数可以求得A等级的学生数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）用360°乘以D等级人数所占比例即可； （4）用样本中A等级人数除以被调查的总人数即可． 【详解】（1）解：由条形图知C等级：60～70分，的人数有36人，由扇形统计图知C等级：60～70分占样本的24%， ∴此次抽查的人数为36÷24%=150人， 故答案为150人； （2）解：A等级：80～100分，150-69-36-15=30人， 补全条形统计图如下： （3）扇形统计图中D等级所对的圆心角的度数是， 故答案为：36°； （4）从抽取部分学生的竞赛成绩中随机抽查1人成绩，所有等可能的情况有150种，其中满足条件的情况有30种， 竞赛成绩是A等级的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形统计图和条形统计图获取信息与处理信息、画条形图，扇形圆心角，概率，解题的关键是会从图表中获取有用的信息． 45．初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两个不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： 初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩条形统计图 初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩扇形统计图 (1)本次共抽取了______名学生，扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度； (2)将条形统计图补充完整； (3)如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有多少人； (4)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 【答案】(1)120；72 (2)补图见解析 (3)136 (4)选中的两名同学恰好是甲、丁的概率为 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率，以及扇形统计图、条形统计图的应用，样本估计总体，解题的关键是从统计图表中获取信息． （1）由“一般”人数除以“一般”所对应的扇形的百分数，得出总人数；再由“优秀”所对应百分比乘以360°，得出扇形的圆心角度数； （2）按照良好的百分比乘以总人数120，补充统计图即可； （3）根据比赛成绩良好的占比乘以340即可求解； （4）画出树状图，由概率公式即可得出答案； 【详解】（1）人； “优秀”的百分比为： 对应的度数为：； （2）良好的人数为：人； （3）人； （4）画树状图如图所示： 共有12种等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个， ∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率为． 46．实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究．试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 39 1 71 63 86 开其他颜色花的植株数量 61 9 101 93 129 出现红花的频率 0.39 0.41 0.40 (1)表中_____，_____． (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第_____组的数据不适合用频率估计概率，理由是_____．你认为一株该植物开出红花的概率是_____（结果精确到0.1）． (3)某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 【答案】(1)， (2)二，试验的植株数太少，； (3)估计该公园此植物植株的总数量为1285棵． 【分析】本题考查了频率，用频率估计概率，样本估计总体数量等知识，理解大量重复试验中，频率趋向于一个稳定的数，这个数即为概率是解题的关键． （1）根据频数除以数据总数得频率即可求解； （2）根据大量重复试验中，频率趋向于概率的特点进行解答即可； （3）根据用样本估计总体的思想即可求解． 【详解】（1）解：，． （2）解：第二组的数据不适合用频率估计概率，理由是试验的植株数太少；除第二组外，其余各组的频率在附近摆动，且试验的植株数比较多，可以认为一株该植物开出红花的概率为． （3）解：（棵）； 答：估计该公园此植物植株的总数量为1285棵． 47．年龙年“春节”期间，海南景区人头攒动，热闹非凡．东方市旅游和文化广电体育局随机抽取若干名选择来我市的游客进行了问卷调查．调查问卷（节选）如下： 调查问卷 根据统计得到的数据，绘制成下面两幅不完整的统计图： 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： (1)本次参加抽样调查的游客有 人，喜欢海南花梨谷文化旅游区的游客有 人； (2)在扇形统计图中，喜欢俄贤岭生态文化旅游区的游客人数所占圆心角为 度； (3)从参加抽样调查的游客中任选一名，恰好最喜欢的旅游景点是鱼鳞洲的概率是 ； (4)据不完全统计，龙年春节期间，省内外游客约万人次畅游东方，请估算来鱼鳞洲风景区的游客约 万人次． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）用的人数除以它的百分比可得到参加抽样调查的游客人数，再用总人数减去的人数即可得到的人数； （）用乘以喜欢俄贤岭生态文化旅游区的游客人数占比即可求解； （）用喜欢鱼鳞洲风景区的人数比抽样调查的游客人数即可求解； （）用乘以最喜欢的旅游景点是鱼鳞洲的概率即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，求简单事件发生的概率，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． 【详解】（1）解：本次参加抽样调查的游客人数为人， ∴喜欢海南花梨谷文化旅游区的游客人数为人， 故答案为：，； （2）解：喜欢俄贤岭生态文化旅游区的游客人数所占圆心角为， 故答案为：； （3）解：从参加抽样调查的游客中任选一名，恰好最喜欢的旅游景点是鱼鳞洲的概率是， 故答案为：； （4）解：， ∴估算来鱼鳞洲风景区的游客约万人次， 故答案为：． 48．初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为____________度，并将条形统计图补充完整． (2)我校初三年级共有1200名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有____________人． (3)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 【答案】(1)72，图见详解 (2)480人 (3) 【分析】（1）由360°乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心角度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可； （2）根据比赛成绩良好的占比乘以400即可求解； （3）画出树状图，由概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：72； 全年级总人数为（人）， “良好”的人数为（人）， 将条形统计图补充完整，如图所示： （2）解：参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有：（人）， 故答案为：480； （3）解：画树状图，如图所示： 共有12个等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个， ∴P（选中的两名同学恰好是甲、丁）． 【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，样本估计总体，解题的关键是从统计图表中获取信息． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率解答题 考点01 放回问题 考点02 不放回问题 考点03 判断是否公平 考点04 设计规则 考点05 几何概率 考点06概率与统计综合 考点01 放回问题 1．1个袋子中装有1个白球和1个黑球，它们除颜色外其他完全相同．甲、乙两人去摸球，每人摸1次，1次摸出1个球． (1)如果摸出球后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜，那么这个游戏对双方公平吗？ (2)若摸出球后不放回，同样规定摸出黑球的人获胜，则这个游戏的公平性是否和摸出球后放回摇匀时的一样？ (3)若袋子中装有除颜色外其他完全相同的5个白球和5个黑球，甲、乙两人先后去摸球，一人摸1次，1次摸出1个球，摸出后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？ 2．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，又放回．小明摸取了60次，结果统计如下： 标号 1 2 3 4 次数 16 14 18 12 (1)上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是_______；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是_______； (2)若小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，请用列举法求小明两次摸取到小球的标号相同的概率． (3)若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为5的概率． 3．在一个不透明的袋子里装有6个小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．每个小球除数字外都相同． (1)小军随机从中摸出一个小球，摸到标有数字4的小球的概率是多少？ (2)若小军摸出小球上的数字恰好是4，且没有放回袋中．然后小颖从袋中随机摸出一个小球，小球上的数字大于4的概率是多少？ (3)现两位同学把球全部放回，请你重新制定一个摸球规则，使得摸出小球的概率是． 4．一个口袋中装有个白球、个红球，这些球除颜色外完全相同，将口袋中的球搅拌均匀，求： (1)随机摸出一球，发现是白球． 如果将这个白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______ ； 如果这个白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______ ； (2)如果将口袋中加入若干个白球，并取出相同数量的红球，然后再从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，请你估计加入______ 个白球． 5．一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，在袋中剩下的球中随机摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再随机摸出一个小球，记录颜色后放回、搅匀，……不断重复这一过程，经过大量试验发现从袋中摸出一个球是黑球的频率稳定在，估计从袋中取出黑球的个数． 6．一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右． (1)则可估计箱子里白色小球的个数_________； (2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（请用画树状图或列表的方法）． 7．一个不透明的箱子中装有1张白色的卡片和若干张红色的卡片，这些卡片除颜色外，大小、形状、厚度等均相同．某学习小组做试验：将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下颜色后放回；搅匀后再摸一张卡片，记下颜色后放回；不断重复上述过程，获得数据如下： 摸卡的次数 摸到白色卡片的频数 摸到白色卡片的频率 (1)根据上表估计，任意摸一次为白色卡片的概率为（精确到），求红色卡片有多少张？ (2)现从该箱子中先后各摸出1张卡片，求恰好两张卡片颜色相同的概率． 8．某公司在六一儿童节来临之际，为员工子女准备了价格不同的三种礼物，员工通过抽签的方式随机选择礼物类型：将A（书包）、B（滑板鞋）、C（儿童手表）分别写在无差别的三个乒乓球上，将其放在不透明的盒子中摇匀，员工老李先从中随机摸出一个球，记下结果后放回摇匀，再由老张从中随机摸出一个，记下结果后放回． (1)老李没有抽中“书包”是______事件，老张抽中“笔记本电脑”是______事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；老李抽中“滑板鞋”的概率为______； (2)试用画树状图或列表的方法表示出所有可能的结果，并求出老李和老张抽中相同礼物的概率． 考点02 不放回问题 9．一个不透明袋子里装有1个红球，1个蓝球，2个黄球（这些球除颜色外完全相同），把这些球放在口袋中搅匀． (1)若从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是______； (2)小新从口袋中随机摸出一球，记下颜色后不放回，随后小颖从口袋里剩下的球中随机摸出一球，记下颜色后不放回，请用列表或树状图求出小新和小颖都没有摸到黄球的概率． 10．一个不透明袋子里装有1个红球，1个蓝球，2个黄球（这些球除颜色外完全相同），把这些球放在口袋中搅匀． (1)若从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是______； (2)小新从口袋中随机摸出一球，记下颜色后不放回，随后小颖从口袋里剩下的球中随机摸出一球，记下颜色后不放回，请用列表或树状图求出小新和小颖都没有摸到黄球的概率． 11．袋子里有2个红球，8个白球，每个球除颜色外都相同． (1)如果第一次摸出一个球不放回，第二次从剩下的球中摸出一个球也不放回，那么“第三次再从剩下的球中摸出一个，摸到红球”这个事件是什么事件？ (2)如果第一次摸出一个球不放回，再从剩下的球中摸出一个，直接写出摸到白球的概率． 12．小明参加浙江省城市篮球联赛（浙）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有个红球和个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件． (1)用适当的方法列举摸球所有可能的结果． (2)求出小明同学获得篮球的概率． 13．甲、乙两名同学在课间玩抽卡片游戏，游戏规则如下：将背面完全相同、正面分别标有数字，，，的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先从中随机抽取一张卡片，不放回；乙再从剩下的张中随机抽取一张卡片． (1)甲抽到卡片上的数字是奇数的概率为___________； (2)若两次抽取的数字之和为奇数，则甲获胜；若数字之和为偶数，则乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由． 14．有4张正面分别写有数字，，0，1的卡片，这些卡片除了正面其他完全相同． (1)将这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽取的这张卡片上的数字是0的概率是 ； (2)将这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张卡片上的数字之积是负数的概率． 15．某班家委会准备组织同学们周末进行徒步健身活动．以抽签的方式从浮山森林公园和中山公园选择一个为徒步地点，规则为：一个不透明纸箱里，装有除颜色不同外其它完全相同的3个红球和2个黑球，先后两次从纸箱里摸出两个球（不放回），若两次所摸球的颜色相同，则去浮山森林公园；否则，去中山公园． (1)求第一次摸到黑球的概率为_____； (2)请用树状图或者列表表示出所有摸球的结果，求出去中山公园概率． 16．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．农历五月初五早晨，小王的妈妈用不透明袋子装着一些粽子（粽子除食材不同外，其他一切相同），其中糯米粽两个，还有一些薯粉粽，现小王从中任意拿出一个是糯米粽的概率为． (1)求袋子中薯粉粽的个数； (2)小王第一次任意拿出一个粽子（不放回），第二次再拿出一个粽子，请你用树形图或列表法，求小王两次拿到的都是薯粉粽的概率 ． 考点03 判断是否公平 17．小明和小颖在一起做游戏．从一个装有4个红球和3个绿球（每个球除颜色外都相同）的不透明口袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到绿球小颖获胜． (1)小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率是多少？ (2)该游戏对双方是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，如何设计该游戏，使该游戏对双方公平． 18．在一个不透明的口袋里装有红色、蓝色、白色三种小球，这些小球除颜色外都相同，其中红球有1个，蓝球有2个．从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，大量重复试验后，发现蓝球出现的频率稳定在附近． (1)口袋中白球的数量为______个； (2)小明和小颖玩摸球游戏，规则如下：两人同时从口袋中各摸出1个小球，若两人摸出的小球颜色相同，则小明获胜；若两人摸出的小球颜色可配成紫色（红色和蓝色可配成紫色），则小颖获胜．请用表格或树状图分析游戏是否公平，若不公平，规则对谁更加有利？ 19．在一个不透明的袋中有6个除颜色外其他都相同的小球，其中3个红球，2个黄球，1个白球． (1)小明从中任意摸出一个小球，摸到白球的机会是_________ (2)小明和小亮商定一个游戏，规则如下：小明从中任意摸出一个小球，摸到红球则小明胜，否则小亮胜．问该游戏对双方是否公平，为什么？ 20．小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔（不放回），若两人所取笔的颜色相同，则小明胜；否则，小军胜． （1）若小明第一个取笔，求他能取到红笔的概率； （2）请用概率知识判断这个游戏是否公平？若不公平，你认为对谁有利． 21．如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜． (1)转出偶数的概率是________；转出奇数的概率是________； (2)你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？ 22．2024贵阳马拉松比赛于6月16日上午7点30分在贵阳国际会展中心北广场正式鸣枪起跑，本届马拉松赛共设置四个项目，分别是马拉松、半程马拉松、迷你马拉松以及线上马拉松．经过大家积极的参与，报名人数共计93902人，由于场地人数限制，需要抽签决定是否能够参与比赛．小红和小星类比该方式进行抽签决定是否参加某场活动，在一个不透明的袋子中放入4个完全一样的小球，分别标有1、2、3、4四个数字，小红和小星轮流从袋中摸出一球，记下号码，然后放回． (1)计算摸到小球数字为2的概率； (2)如果摸到的球号码大于2，则小红参加活动，否则小星参加活动，你认为这个抽签方式公平吗？请说明理由． 23．某中学准备举行实地研学活动，每个班需选出一名旗手．某班小王、小李都想当，决定采取在不透明袋子摸质地均匀大小一样的小球的办法，小球分别标有1、2、3、4，具体规则是：“每人各摸一次，若小王摸得的数字比小李摸得的数字小，小王胜出，否则小李当选”．试用列表法或画树状图的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 24．甲、乙二人用4张扑克牌分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片玩游戏，他们将扑克牌洗匀后．背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (1)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是______． (2)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜．请利用画树状图或列表的方法，求出甲、乙获胜的概率，并判断此游戏是否公平？为什么？ 考点04 设计规则 25．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有红球、黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球次数 100 150 200 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 52 72 262 404 499 1000 摸到红球的频率 0.52 0.51 0.524 0.505 0.499 0.5 (1)表中的_____________，_____________； (2)通过摸球实验，请你估计摸到红球的概率是_____________； (3)上述实验中，若袋中10个球中有3个黑球，为决定谁将获得仅有的一张电影票，设计了如下的摸球游戏，规则如下：如果摸到黑球，则小明获胜；如果摸到白球，则小颖获胜；如果抽到红球，则视为无效抽球，需将球放回袋中，游戏继续，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由，如果不公平，请重新设计一个公平游戏． 26．小明和哥哥都很想去看成都蓉城足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去（如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动）． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由：若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得哥哥去的概率为，并简要说明游戏规则． 27．如图，一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成10个扇形，分别标有数字，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．小明和小杰用这个转盘进行猜数游戏，游戏规则为：如果指针所指的数字大于6，那么小明获胜，如果指针所指的数字小于6，那么小杰获胜． (1)上述游戏规则公平吗？请你说说理由； (2)为了能使游戏更为公平，请你设计一种对小明、小杰都公平的游戏规则，并说说你的设计依据． 28．“六一”儿童节，全校要举办文艺汇演活动，小玉和小露都想去当节目主持人，但现在只有一个名额，小露设计了一个游戏，她将转盘（均质的）均分成6份，并依次写到1，2，3，4，5，6六个数字，如图所示，游戏规定：随意转动转盘，转盘停止后，若指针指到的数字是2的倍数，则小露去；若指针指到的数字是3的倍数，则小玉去． (1)该游戏是否公平？为什么？请说明理由； (2)若该游戏公平，请你设计一个有利于小玉获胜的游戏规则，若该游戏不公平，你能将这个游戏改进后，使得游戏公平吗？请写出你的游戏规则，并说明理由． 29．国庆假期，小明一家准备去西安某景点旅游，出发前需要采购一些生活用品，小明提议采用掷骰子的方式决定谁去采购．小明抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字），若向上的点数是3的倍数，则妈妈去；若向上的点数不是3的倍数，则爸爸去． (1)上述方式公平吗？请说明理由； (2)为了能使游戏更为公平，请你帮小明设计一种对爸爸、妈妈都公平的规则，并说明你的设计依据． 30．如图，一个可自由转动的转盘被平均分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这6个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，指针指到分隔线无效，需要重新转动．两人参与游戏：一人转动转盘，一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．如果轮到你猜数，请你设计一种更容易获胜的猜数规则（不限转动次数），并说明理由． 31．某商场为吸引顺客，设置了一个可自由转动的转盘．该转盘被均匀划分成20个扇形区域，其中3个扇形为红色，5个扇形为黄色，其余扇形则为白色．顾客每消费满100元商品，即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止转动时，若指针恰好指向红、黄色区域，顾客便能分别获取100元、50元的购物券． (1)某顾客购物消费110元，获得一次转动转盘的机会．他获得100元购物券的概率是_________，他能获得购物券的概率是_________； (2)商场还在一个不透明的盒子里准备了摸球游戏．现有4个红球、3个黄球、2个白球、1个黑球，现需请你帮忙设计一种方案，使在摸球游戏中摸到红球的概率，与转动上述转盘能获得购物券的概率相等． 32．第31届世界大学生夏季运动会将在四川成都举行．小明和哥哥都很想去观看羽毛球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去（如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动）．    (1)求小明去观看羽毛球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． 考点05 几何概率 33．图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． (1)分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率． (2)请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率． (3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 34．如图是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）． (1)这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴，并在图中画出所有的对称轴； (2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率． (3)请你设计一个与问题2概率相同的游戏． 35．（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 36．在如图所示的地板（图中每一块方砖除颜色外完全相同）中，每块方砖的边长为，小猫在地板上自由走动，并随意停留在某块方砖上．求小猫停留在阴影区域的概率． 37．（1）一只小狗在如下图所示的地板上走来走去，地板是由大小相等的小正方形方砖铺成的．求小狗最终停在灰色方砖上的概率； （2）一个不透明的袋子中装有1个红球、2个绿球和3个白球，每个球除颜色外其余都相同．将球搅匀后，从中任意摸出1个球．你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？摸到哪种色的球的可能性最小？ 38．小明与小颖玩一个投镖游戏，投镖所用的靶子如下图所示．规定小明投中黑色区域得2分，投中灰色区域减1分，投中白色区域不得分；小颖投中黑色区域减1分，投中灰色区域得2分，投中白色区域不得分．如果两人投镖均是随意的，那么谁获胜的概率大？请说明理由． 39．（1）如图①是书房地板的示意图，图中每一块地砖除了颜色外是完全相同的，现任意抛掷一个乒乓球，若乒乓球最后落在某一块地砖上算一次成功的抛掷，试求所有成功抛掷中，乒乓球抛掷后停留在黑地砖上的概率是多少？ （2）请在图②中，重新设计地砖的颜色，使乒乓球最后停留在地砖上的概率为． 40．向如图所示的正三角形区域内扔沙包，（区域中每个小正三角形陈颜色外完全相同）沙包随机落在某个正三角形内． (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是 ． (2)要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出． 考点06概率与统计综合 41．某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务，随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问卷 在下列课外活动中，你最喜欢的是（   ）（单选） A．文学    B．科技    C．艺术    D．体育 ※填完后，请将问卷交给教务处． 根据统计得到的数据，绘制成下面两幅不完整的统计图． 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： (1)在这次调查中，抽取的学生一共有__________人；扇形统计图中的值为__________；并补全条形统计； (2)已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生参加座谈会，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是__________； (3)若该校共有1400名学生参加课外活动，请你估计选择“文学”类课外活动的学生多少人． 42．为了解某中学九年级学生中考体育成绩情况，现从中抽取部分学生的体育成绩进行分段（A：50~45分、B：44~35分、C：34~25分、D：24~0分）统计，统计结果如图1、图2所示． 根据上面提供的信息，回答下列问题： (1)本次抽查了______名学生的体育成绩； (2)图2中D分数段所占的百分比为______，B分数段所对应的圆心角为______度； (3)已知中考体育成绩为A等级的8名学生中有3名男生和5名女生，若从这8名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是______； (4)已知该校九年级共有1000名学生，请估计该校九年级学生体育成绩达到35分以上（含35分）的人数． 43．为了了解初三男生的身高情况，陈老师对九年级三班名男同学的身高进行了统计，统计结果如下（单位）： ， 整理以上数据，得到身高x的频数分布表 身高 频数 4 1 m n 2 (1)表格中______，______； (2)请计算这组数据的平均数、中位数和众数分别是多少． (3)陈老师要从包括小明在内的4名男同学中随机选取两名同学参加跳高比赛，请用列表或树状图的方法计算出选中小明的概率． 第二人\第一人 小明 A B C 小明 （小明,A） （小明,B） （小明,C） A （A,小明） B （B,小明） C （C,小明） 44．每年都有很多人因火灾丧失生命，某校为提高学生的防火安全意识，开展了“防火灾，爱生命”的防火灾知识竞赛．现抽取部分学生的竞赛成绩，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘成如图所示不完整的统计图，请根据统计图中的信息回答下列问题： （说明：A等级：80～100分，B等级：70～80分，C等级：60～70分，D等级：0～60分，每组中包含最小值不包含最大值，但是80～100分既包含最小值又包含最大值） (1)此次抽查的人数为 ； (2)补全条形统计图，补充完整； (3)扇形统计图中D等级所对的圆心角的度数是 度； (4)从该校学生中随机抽查1人，竞赛成绩是A等级的概率是 ． 45．初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两个不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： 初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩条形统计图 初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩扇形统计图 (1)本次共抽取了______名学生，扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度； (2)将条形统计图补充完整； (3)如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有多少人； (4)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 46．实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究．试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 39 1 71 63 86 开其他颜色花的植株数量 61 9 101 93 129 出现红花的频率 0.39 0.41 0.40 (1)表中_____，_____． (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第_____组的数据不适合用频率估计概率，理由是_____．你认为一株该植物开出红花的概率是_____（结果精确到0.1）． (3)某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 47．年龙年“春节”期间，海南景区人头攒动，热闹非凡．东方市旅游和文化广电体育局随机抽取若干名选择来我市的游客进行了问卷调查．调查问卷（节选）如下： 调查问卷 根据统计得到的数据，绘制成下面两幅不完整的统计图： 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： (1)本次参加抽样调查的游客有 人，喜欢海南花梨谷文化旅游区的游客有 人； (2)在扇形统计图中，喜欢俄贤岭生态文化旅游区的游客人数所占圆心角为 度； (3)从参加抽样调查的游客中任选一名，恰好最喜欢的旅游景点是鱼鳞洲的概率是 ； (4)据不完全统计，龙年春节期间，省内外游客约万人次畅游东方，请估算来鱼鳞洲风景区的游客约 万人次． 48．初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为____________度，并将条形统计图补充完整． (2)我校初三年级共有1200名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有____________人． (3)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $