专题01 整式的乘除相关能力提升题（8种类型64道）（高效培优期中专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题01 整式的乘除相关能力提升题 考点01 幂的乘除运算相关公式反用 考点02 整数乘除相关“不含”问题 考点03 规律性问题 考点04平方差公式与几何图形 考点05 完全平方公式与几何图形 考点06利用完全平方式求参数 考点07完全平方公式变形求值 考点08 整式乘除相关简便运算 考点01 幂的乘除运算相关公式反用 1．已知，，则的值是（    ） A．6 B．24 C．36 D．72 【答案】D 【分析】将所求代数式变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∵ ，． ∴ 原式 ． 2．若，则等于（   ） A．8 B．15 C．6 D．10 【答案】B 【分析】逆用同底数幂乘法法则即可计算出结果. 【详解】解：∵ ，， ∴ 3．若，，则的值为（     ） A．30 B．10 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法运算是解题的关键． 需利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将待求式转化为已知幂的乘积形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选A． 4．若，，则的值为（    ） A．9 B．8 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算．利用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则，将所求式子转化为已知式子的乘积形式，代入计算即可． 【详解】解：， ，， 原式， 故选D． 5．已知，，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】先逆用同底数幂除法法则，再利用幂的乘方对所求式子变形，再将已知条件代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 6．已知 ，，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，，得，，根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 7．若，，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】逆用同底数幂的除法法则即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 8．若，则等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂的乘方和同底数幂的除法法则，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据幂的运算规则可得，， 把，代入得，原式． 故选：D． 考点02 整数乘除相关“不含”问题 9．若关于的代数式与的乘积结果化简后，既不含项，也不含项，则m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用多项式的不含某项问题求字母的值，解答的关键是先按照多项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令不含项的系数等于零，列方程组求解即可． 把与的乘积结果化简后令项、x项的系数为0求解即可． 【详解】 ∵结果化简后令项、x项， ∴， ∴． 故选A． 10．若关于x的多项式与的乘积中不含项，则乘积的一次项系数为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，然后根据不含二次项，得到关于待定字母的方程求解． 【详解】解：由题意得 ， ∵关于x的多项式与的乘积中不含项， ∴， 解得， ∴乘积的一次项系数为． 11．如果与的乘积中不含的一次项，那么的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的值． 计算与的乘积，令一次项系数为零，即可得的值． 【详解】解：, ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， 解得． 故选：C． 12．若关于的多项式乘积不含的二次项，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式中的无关型问题，展开多项式乘积，合并同类项后，令项的系数为零，求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由 ， 又∵乘积不含的二次项， ∴， ∴， 故选：． 13．若的展开式中不含的一次项，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，展开多项式并令一次项系数为0，解方程求的值即可得答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∵的展开式中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：C． 14．若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，令的一次项的系数为0，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【详解】解：， 展开式中不含项， ， ， 故选：D． 15．若的展开式中不含项，则常数a的值为（   ） A．0 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题关键，不含哪一项就合并同类项后令该项的系数等于0． 根据多项式乘多项式法则展开并合并同类项，然后根据展开式中不含x2项，可得x2项的系数等于0，即可求出a的值． 【详解】 ∵的展开式中不含项， ∴ ∴． 故选：B． 16．要使与的乘积中不含x的一次项，则m的值是（    ） A． B．0 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．利用多项式乘多项式的法则计算，再根据“乘积中不含x的一次项”列出方程，即可求出m的值． 【详解】解：， 与的乘积中不含x的一次项， ， 解得：． 故选：A． 考点03 规律性问题 17．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：若，请根据上述规律，写出的值是_____． 【答案】 【分析】令，则，则，令，则，得到，两边乘以即可求解． 【详解】解：∵当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 18．观察下列等式： ； ； …… 按此规律，则第个等式应该是：________； 请你总结这个规律，即第个等式为：________． 【答案】 【分析】本题考查了用代数式表示式子的规律，发现规律是解题的关键． 根据题意观察式子，发现等式的左边为连续的两个奇数的平方差，右边为8与从1开始的自然数的乘积，据此用代数式表示即可求解． 【详解】解：由题意： 第个等式是：； 第个等式是： 第个等式是：； …分析其规律， 则第个等式应该是 第个等式为 故答案为：；． 19．我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比欧洲早五百年左右．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．人们发现，当是大于5的自然数时，这个规律依然成立，那么的展开式中各项的系数的和为______． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，规律型：数字的变化类．能依据“杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和”写出“杨辉三角”的第七行数是解题关键．的展开式的系数对应第七行的数，据图写出第七行的数求和即可． 【详解】解：根据题意可知第七行的数为：1，6，15，20，16，6，1， ∴的展开式中各项的系数分别为：1，6，15，20，16，6，1， ∴的展开式中各项的系数的和为． 故答案为：． 20．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期 _____． 【答案】五 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索问题，把转化为，再根据题中规律展开，即可求解． 【详解】解：，（其中m，n，p，q为常数）， ∴除以7的余数为1， ∵今天是星期四，再过7天还是星期四， ∴再过天是星期五． 故答案为：五． 21．我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数：第四行的四个数恰好对应展开式中的系数等等，利用上述的规律计算： _______．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式及其拓展，正确理解题意、找出规律是解题的关键．根据题目给出的规律可得出的展开式，然后令式中即可得出结果． 【详解】解：根据题意得：； 令上式中，得： ． 故答案为：． 22．观察下列各式的规律，回答问题：262=(26+6)×20+62；372=(37+7)×30+72；432=(43+3)×40+32； (1)请根据上述规律填空：682=____________________． (2)我们知道，任何一个两位数(个位上的数字为n，十位上的数字为m)都可以表示为10m+n，根据上述规律填出空：(10m+n)2=___________________．(并用所学知识说明结论的正确性) 【答案】（1）（68+8）×60+82；（2）（10m+n+n）×10m+n2． 【分析】（1）根据已知算式得出规律，再得出结果即可； （2）根据已知算式得出规律填空，再用完全平方公式证明即可． 【详解】解：（1）682＝（68+8）×60+82； 故答案为：（68+8）×60+82； （2）（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2． 证明：∵（10m+n）2＝（10m）2+2×10m×n+n2＝100m2+20mn+n2， （10m+n+n）×10m+n2＝100m2+20mn+n2， ∴（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2． 故答案为：（10m+n+n）×10m+n2． 【点睛】本题考查了数字的变化类规律和完全平方公式，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． 23．杨辉三角形给出了的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律．如图，例如此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．根据此规律，写出的展开式为______． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．由，，，可得的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和，由此可得的各项系数依次为1、5、10、10、5、1，从而求解． 【详解】解：； ； ； ； 的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和， ， 故答案为：． 24．观察、归纳：；；；…请你根据以上等式的规律，完成下列问题： （1）_________． （2）计算_________． 【答案】 【分析】（1）根据题意得到规律，即可求出的值； （2）将转化为，根据计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得， ∴； （2） ． 考点04平方差公式与几何图形 25．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出两个图形阴影部分的面积，进而根据两个图形阴影部分面积相等即可得出等式，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，第一个图形阴影部分的面积为，第二个图形阴影部分的面积为， ∵两个图形阴影部分面积相等， ∴等式为， 故选：D． 26．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，根据这两个图形的面积关系，写出一个表示因式分解的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．图的面积等于边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积，图2的面积等于梯形的面积（下底是，上底是，高是），结合两个面积是相等的，进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，图的面积；图2的面积； ∵这两个图形的面积是相等的， ∴， 故选：D． 27．如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，数形结合是解决问题的关键． 通过题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置成为边长为的正方形， 图1中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图2中阴影部分的是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得， 故选：C． 28．如图，阴影部分是在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握各图形的面积之间的联系是解题关键． 图①：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得；图②：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得；图③：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得；图④：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得． 【详解】解：图①：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为， 则有； 图②：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为， 则有； 图③：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为， 则有； 图④：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为， 则有； 综上，能够验证平方差公式的有4个， 故选：D． 29．如图，在边长为m正方形纸片中剪去一个边长为小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片．通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的图解，关键是通过几何图形之间的数量关系推出平方差公式． 根据题中的两个图形分别表示出阴影部分的面积，再根据阴影部分的面积相等即可得到相应的等式，据此即可作答． 【详解】解：根据第一个图可知：阴影部分的面积为：； 根据第二个图可知：阴影部分的面积为：； ∴， 故选C． 30．按如图所示的方式分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景．表示出图形阴影部分面积是解题的关键．对图形中阴影部分的面积进行计算即可得到相关的等式：矩形的面积正方形的面积空白部分的面积． 【详解】解：如图所示，矩形的面积正方形的面积空白部分的面积， 则． 故选：D． 31．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式．解决问题的关键是根据拼接前后的面积不变得到等量关系． 边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差， 即； 剩余部分通过割补，拼成的矩形的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴． 故选：B． 32．如图，观察图①与图②，利用阴影部分面积的不同表示方式可以验证一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，图①的阴影部分面积等于平行四边形的面积，图②阴影部分面积等于大正方形面积减去空白正方形面积，据此分别列出两幅图的阴影部分面积的代数式即可得到答案． 【详解】解：图①的阴影部分面积为， 图②的阴影部分面积为， ∵图①和图②的阴影部分面积相等， ∴， 故选：A． 考点05 完全平方公式与几何图形 33．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（    ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】B 【点睛】观察图形可知，阴影部分的面积可以看作是 的面积与 的面积之和，得出阴影面积为 ，利用完全平方公式求出 的值即可求解． 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积 又 ， ． 34．如图，（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则表示中间空的部分的面积不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了整式的混合运算以及完全平方公式，求出正方形的边长是解答本题的关键． 先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积正方形的面积矩形的面积即可得出答案． 【详解】解：∵图（1）是一个长为，宽为的长方形，大正方形的边长为：， ∴大正方形的面积为， ∵原矩形的面积为， ∴中间空的部分的面积． 故表示中间空的部分的面积不正确的是A， 故选：A． 35．四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，全等三角形的性质，正确得出阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积是解题的关键． 根据阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积进行列式计算，即可作答． 【详解】解：观察图形，得出阴影部分的面积等于大正方形的面积个全等直角三角形的面积 即阴影部分的面积等于， 故选：C 36．仔细阅读图，与它的图意相符的式子是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，根据正方形的面积边长×边长，长方形的面积长×宽，解答此题即可． 【详解】解：大正方形的面积：，小正方形的面积：， 长方形的面积：，两个长方形的面积是：，这个图形的总面积是：， 大正方的边长是：，这个图形的面积是：， 与图意相符的式子是：． 故选：B． 37．如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式与图形，掌握数形结合思想成为解题的关键． 分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等列式即可解答． 【详解】解：甲图中阴影部分的面积为：， 图乙中阴影部分的面积为：， 所以． 故选：A． 38．乘法公式可以用几何图形验证，图中验证的乘法公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图中的应用，用两种方式表示出阴影部分的面积，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得，阴影部分的面积可以表示为，还可以表示为， 故验证的公式为， 故选：B． 39．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．28 B．21 C．19 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，由题意得、，则可求出，再根据图1中阴影部分面积等于两个正方形面积减去两个三角形面积列式求解即可． 【详解】解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵图2的阴影部分面积， ∴， ∴， ∴图1的阴影部分面积， 故选：C． 40．现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式在几何图形中的应用，由图2可得，结合，得出，再用含a，b的式子表示出，代入求值即可． 【详解】解：图2右下角阴影部分的面积为9， ， （负值舍去）， ， ， （负值舍去）， 由图可得，，， ， 故选B． 考点06利用完全平方式求参数 41．若是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】形如：的式子叫做完全平方式，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：或． 42．若多项式是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．或7 B．7 C．9或 D． 【答案】A 【分析】根据完全平方公式的结构得到中间项系数的关系，列方程求解即可得到a的值． 【详解】解：∵完全平方公式为，多项式是完全平方的展开式， ∴，即， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值是或． 43．若是完全平方式，则m的值是（   ） A．4 B．2 C．4或 D．或4 【答案】C 【详解】解：由题意， ， ∴ 或. 44．若，则m的值是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题思路是先将等式左边按完全平方公式展开，再利用等式两边对应项相等得到关于m的方程，求解即可得到m的值． 【详解】解：， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 45．若是完全平方式，则m的值为（    ） A． B． C．49 D． 【答案】B 【分析】利用完全平方公式的结构求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式，完全平方式符合的结构， 将原式整理为， ， 开平方得：． 46．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（    ） A．或8 B．4 C． D．4或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据完全平方公式的结构特征，确定一次项系数与常数项的关系，进而求解常数的值． 【详解】解：能用完全平方公式进行因式分解， ． ． 当时， 当时， 的值为4或． 故选D． 47．已知关于x的代数式是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．4 B． C．4或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据代数式为完全平方式，需满足其形式为，据此求解即可． 【详解】解：关于x的代数式为完全平方式， 设其等于，即， ， 当时，，解得； 当时，，解得， 故k的值为4或． 故选：C． 48．若是完全平方式，则k的值是（   ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键． 根据完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴． 故选C． 考点07完全平方公式变形求值 49．若，，则的值为（   ） A． B． C．15 D．不存在 【答案】C 【分析】利用完全平方公式进行变形，将已知条件代入即可求出的值． 【详解】解：∵， ． 又∵， ∴， ， ∴． 50．已知，则的值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】根据完全平方公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， 故． 51．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式展开已知条件，通过加减运算求出的值，再求其平方即可得出答案． 【详解】解：∵， ， 两式相减得：， ∴， ∴． 故选：D． 52．若，，则的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．4050 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 通过设，将原式转化为关于和的等式，利用已知平方和求值． 【详解】∵，， 设，则，， 将两式相加得：， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选B． 53．若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的公式变换，熟练应用是关键． 利用完全平方公式展开 ，并代入已知条件求解 ． 【详解】∵ ， 又 ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故答案选：A． 54．若，，那么的值是（   ） A．－11 B．13 C．37 D．61 【答案】B 【分析】本题重点考查​完全平方公式的变形应用​​，​​灵活运用完全平方公式将已知条件转化为目标表达式是解题的关键​​． 根据完全平方公式化简，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 55．若，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式可知，，据此可得的值，进而得出的值． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 56．已知．则的值为（    ） A．84 B．60 C．42 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形形式． 利用完全平方公式的变形，结合已知条件，将所求式子转化为可直接代入计算的形式． 【详解】解： ， 故选：A． 考点08 整式乘除相关简便运算 57．运用所学乘法公式进行简便运算： (1) (2) 【答案】(1) (2)39601 【分析】（1）将401转化为，399转化为，然后利用平方差公式进行简便计算； （2）将199转化为，再利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 58．简便运算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)9999 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆运算和积的乘方逆运算，平方差公式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先逆用同底数幂的乘法将化为，然后再逆用积的乘方即可计算； （2）将化为，再由平方差公式求解． 【详解】（1）解：； （2）解： 59．用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用．先将式子拆分成同次数的形式，再利用进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 60．用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】利用同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法运算法则，准确计算． 61．简便运算 (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）利用平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1） ； （2） 62．简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）本题考查同底数幂的乘方的逆用，以及积的乘方的逆用，掌握相关运算法则进行运算，即可解题； （2）本题考查利用平方差公式进行运算，将转化为，转化为，结合平方差公式进行计算，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 63．简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用平方差公式进行简便计算即可； （2）逆用积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了积的乘方运算和平方差公式，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则和平方差公式，准确计算． 64．简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）先利用平方差公式简便计算即可； （2）先利用平方差公式简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握平方差公式是解决本题的关键． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘除相关能力提升题 考点01 幂的乘除运算相关公式反用 考点02 整数乘除相关“不含”问题 考点03 规律性问题 考点04平方差公式与几何图形 考点05 完全平方公式与几何图形 考点06利用完全平方式求参数 考点07完全平方公式变形求值 考点08 整式乘除相关简便运算 考点01 幂的乘除运算相关公式反用 1．已知，，则的值是（    ） A．6 B．24 C．36 D．72 2．若，则等于（   ） A．8 B．15 C．6 D．10 3．若，，则的值为（     ） A．30 B．10 C．6 D． 4．若，，则的值为（    ） A．9 B．8 C．5 D．6 5．已知，，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．已知 ，，则 的值为（   ） A． B． C． D． 7．若，，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 8．若，则等于（   ） A．1 B． C． D． 考点02 整数乘除相关“不含”问题 9．若关于的代数式与的乘积结果化简后，既不含项，也不含项，则m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 10．若关于x的多项式与的乘积中不含项，则乘积的一次项系数为（   ） A．0 B． C． D． 11．如果与的乘积中不含的一次项，那么的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 12．若关于的多项式乘积不含的二次项，则的值是（   ） A． B． C． D． 13．若的展开式中不含的一次项，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 14．若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A． B．0 C．3 D．6 15．若的展开式中不含项，则常数a的值为（   ） A．0 B．3 C．2 D． 16．要使与的乘积中不含x的一次项，则m的值是（    ） A． B．0 C． D．3 考点03 规律性问题 17．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：若，请根据上述规律，写出的值是_____． 18．观察下列等式： ； ； …… 按此规律，则第个等式应该是：________； 请你总结这个规律，即第个等式为：________． 19．我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比欧洲早五百年左右．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．人们发现，当是大于5的自然数时，这个规律依然成立，那么的展开式中各项的系数的和为______． 20．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期 _____． 21．我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数：第四行的四个数恰好对应展开式中的系数等等，利用上述的规律计算： _______．（结果用幂的形式表示） 22．观察下列各式的规律，回答问题：262=(26+6)×20+62；372=(37+7)×30+72；432=(43+3)×40+32； (1)请根据上述规律填空：682=____________________． (2)我们知道，任何一个两位数(个位上的数字为n，十位上的数字为m)都可以表示为10m+n，根据上述规律填出空：(10m+n)2=___________________．(并用所学知识说明结论的正确性) 23．杨辉三角形给出了的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律．如图，例如此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．根据此规律，写出的展开式为______． 24．观察、归纳：；；；…请你根据以上等式的规律，完成下列问题： （1）_________． （2）计算_________． 考点04平方差公式与几何图形 25．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（    ） A． B． C． D． 26．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，根据这两个图形的面积关系，写出一个表示因式分解的式子为（    ） A． B． C． D． 27．如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 28．如图，阴影部分是在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 29．如图，在边长为m正方形纸片中剪去一个边长为小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片．通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式（       ） A． B． C． D． 30．按如图所示的方式分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 31．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 32．如图，观察图①与图②，利用阴影部分面积的不同表示方式可以验证一个等式是（   ） A． B． C． D． 考点05 完全平方公式与几何图形 33．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（    ） A．49 B．50 C．51 D．52 34．如图，（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则表示中间空的部分的面积不正确的是（    ） A． B． C． D． 35．四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 36．仔细阅读图，与它的图意相符的式子是（    ）． A． B． C． D． 37．如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（   ） A． B． C． D． 38．乘法公式可以用几何图形验证，图中验证的乘法公式为（    ） A． B． C． D． 39．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．28 B．21 C．19 D．15 40．现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 考点06利用完全平方式求参数 41．若是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 42．若多项式是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．或7 B．7 C．9或 D． 43．若是完全平方式，则m的值是（   ） A．4 B．2 C．4或 D．或4 44．若，则m的值是（    ） A． B．2 C． D．4 45．若是完全平方式，则m的值为（    ） A． B． C．49 D． 46．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（    ） A．或8 B．4 C． D．4或 47．已知关于x的代数式是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．4 B． C．4或 D． 48．若是完全平方式，则k的值是（   ） A．10 B． C． D． 考点07完全平方公式变形求值 49．若，，则的值为（   ） A． B． C．15 D．不存在 50．已知，则的值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 51．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 52．若，，则的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．4050 53．若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 54．若，，那么的值是（   ） A．－11 B．13 C．37 D．61 55．若，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 56．已知．则的值为（    ） A．84 B．60 C．42 D．12 考点08 整式乘除相关简便运算 57．运用所学乘法公式进行简便运算： (1) (2) 58．简便运算： (1)． (2)． 59．用简便方法计算： 60．用简便方法计算： ． 61．简便运算 (1)； (2)． 62．简便运算： (1)； (2)． 63．简便运算： (1)； (2)． 64．简便运算： (1)； (2)． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $