专题02 期中真题百练通关（期中复习专项训练，114题20大压轴题型）八年级数学下学期新教材沪科版

专题02 期中真题百练通关（114题20大压轴题型） 说明：真题集训性质，选用期中真题/中高考真题，加题源。 选填小压轴 解答压轴 题型1 求二次根式中的参数 题型14二次根式新定义阅读题 题型2 利用二次根式的性质化简 题型15 二次根式的实际应用 题型3 复合二次根式的化简 题型16 利用一元二次方程解决营销问题 题型4 二次根式的简单应用 题型17 利用一元二次方程解决与图形有关的问题 题型5 由一元二次方程的定义求参数 题型18 利用一元二次方程解决动态几何问题 题型6 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型19 利用勾股定理的实际应用 题型7 一元二次方程根据根的情况求参数 题型20 勾股定理在平面直角坐标系中的综合应用 题型8 一元二次方程的解法 题型9 一元二次方程根与系数的关系 题型10 一元二次方程根的应用 题型11 勾股定理的应用 题型12勾股定律在折叠模型的应用 题型13 利用勾股定理解决最短路径问题 题型1 求二次根式中的参数（共6小题） 1．（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 3．（22-23八年级下·河北邯郸·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24八年级下·河南新乡·期中）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 5．（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 6．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 题型2 利用二次根式的性质化简（共6小题） 7．（24-25八年级下·山东淄博·期中）化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·湖北·期中）若二次根式，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·北京·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 10．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若有意义，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·山东济宁·期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·湖北·期中）已知实数a，b满足，则的值为（    ） A．3 B．7 C．10 D．3或7 题型3 复合二次根式的化简（共6小题） 13．（24-25八年级下·湖北·期中）满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（24-25八年级下·安徽芜湖·自主招生）已知，则（   ） A． B． C． D．2a 15．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 16．（20-21八年级下·安徽合肥·期中）已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 17．（24-25八年级下·山东滨州·期中）（    ） A． B． C．3 D．1 18．（24-25八年级下·天津和平·期中）已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 题型4 二次根式的简单应用（共6小题） 19．（21-22八年级下·云南西双版纳·期中）在边长为的正方形的内部挖去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分图形的面积为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级下·山东济宁·期中）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D．8 22．（24-25八年级下·吉林白城·期中）在中，面积为12，底边长为，则该底边上的高为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级下·云南昭通·期中）高空坠物现象被称为“悬在城市上空的痛”．随着城市化进程加快，一栋栋高楼大厦拔地而起．然而，高空坠物、抛物伤人的事件也呈多发态势．经过查阅相关资料，小明同学得到高空坠物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，，单位：）．若某玩具在高空被抛出后经过后落在地上，则玩具抛出前离地面的高度h为（    ） A．15 B．30 C．45 D．405 24．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在中，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 题型5 由一元二次方程的定义求参数（共6小题） 25．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·全国·期中）把一元二次方程化成一般式之后，其二次项系数与一次项系数分别是（   ） A．2， B．， C．2， D．， 27．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若是方程的根，则代数式的值为（） A．0 B．2023 C．2024 D．2025 28．（24-25八年级上·上海虹口·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 29．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知m是关于x的一元二次方程的根，且，，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 题型6 根据判别式判断一元二次方程根的情况（共6小题） 31．（21-22八年级下·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于的方程的实数根的情况为（    ） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定 32．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程进行了讨论：甲说：这一定是关于x的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；丙说：只有当且时，该方程有实数根；丁说：当时，该方程有实数根（   ） A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．乙和丁说的对 D．乙和丙说的对 33．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级下·浙江·期中）关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（    ） A．当，，时，方程一定有两个不相等的实数根； B．当，，时，方程一定没有实数根； C．当，时，方程一定没有实数根； D．当，，时，方程一定有实数根． 36．（24-25八年级下·广西崇左·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①③ 题型7 一元二次方程根据根的情况求参数（共6小题） 37．（21-22八年级下·浙江衢州·期中）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（   ） A．0或 B．0 C．8 D．无解 38．（21-22八年级下·江苏南通·期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 39．（21-22八年级下·北京海淀·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 40．（24-25八年级下·江西吉安·期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 41．（22-23八年级下·全国·期中）关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 42．（24-25八年级下·全国·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以a，b，c为三边的三角形是（    ） A．以b为斜边的直角三角形 B．以c为底边的等腰三角形 C．以b为底边的等腰三角形 D．以a为斜边的直角三角形 题型8 一元二次方程根的解法（共6小题） 43．（21-22八年级下·浙江衢州·期中）把方程配方转化成的形式，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 44．（21-22八年级下·广西梧州·期中）已知的两边长分别是2和3，第三边的长是方程的一个根，则的周长是（    ） A．5 B．7 C．10 D．12 45．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 46．（24-25八年级下·山东临沂·期中）一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25八年级下·山东临沂·期中）若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定 48．（24-25八年级下·全国·期中）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 题型9 一元二次方程根与系数的关系（共6小题） 49．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）已知实数α，β满足，，且，且的值为（   ） A． B． C． D． 50．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 51．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 52．（20-21八年级下·安徽·期中）已知，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 53．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）已知一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 54．（24-25八年级下·广西百色·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，若其中一个根为1，则这两根之和为（　　） A． B． C． D． 题型10 一元二次方程的实际应用 55．（21-22八年级下·浙江绍兴·期中）随着体育节的开展，浣江初中八年级学生关注篮球比赛的人数由月初的人，上升到月初的人，设月至月关注篮球比赛的人数月平均上升率为，根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 56．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 57．（2026·重庆·二模）已知某国产芯片企业月份营业收入为亿人民币，月份营业收入比月份营业收入高亿人民币．若该芯片企业月份到月份的月营业收入平均增长率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 58．（24-25八年级下·山东烟台·期中）由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有（   ） A． B． C． D． 59．（24-25八年级下·全国·期中）某园艺师用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 60．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某商场在销售一种糖果时发现，如果以元的单价销售，则每天可售出，如果销售单价每增加元，则每天销售量会减少．该商场为使每天的销售额达到元，销售单价应为多少？设销售单价应为元，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 题型11 勾股定理的应用（共6小题） 61．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 62．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（　　） A． B． C． D． 63．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，，，过点作，，连接，则的长是（　　） A． B． C． D． 64．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成图，若两手握住的绳柄两端的距离约为，小臂到地面的距离约为，则适合小红的绳长为（    ） A． B． C． D． 65．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 66．（2026八年级下·浙江杭州·专题练习）实数满足，则以为边长的直角三角形的第三边长为（    ） A． B． C．或 D．4 题型12勾股定律在折叠模型的应用（共6小题） 67．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 68．（21-22八年级下·辽宁抚顺·期中）直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 69．（21-22八年级下·重庆忠县·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 70．（24-25八年级上·重庆大渡口·期中）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 71．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，长方形中，，，把这个长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，是折痕，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 72．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 题型13 利用勾股定理解决最短路径问题（共6小题） 73．（24-25八年级上·广东梅州·期中）有一圆柱体如图，高，底面周长，处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到处，求蚂蚁爬行的最短距离为（ ）． A． B．4 C．5 D．6 74．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点B处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 75．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，长方体的高为4，底面长为3，宽为1，一只蚂蚁从长方体的表面点爬到点．则蚂蚁爬行的最短路程是（    ）． A．5 B． C． D． 76．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图是一个无盖四棱柱的模型，底面正方形的边长为，高为．若一只蚂蚁从该棱柱底面的顶点处，经棱柱侧面爬行到上底面的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ）    A． B． C． D． 77．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）运动铸就辉煌，汗水燃烧激情！阳光小学举办运动会，如图是运动会的颁奖台．3个长方体颁奖台的长均为，宽均为号颁奖台的高度分别是．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 78．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 题型14二次根式新定义阅读题（共3小题） 79．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”新湘教版八年级《数学》上册84页第10题描述了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】（1）______； 【推理证明】（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 80．（21-22八年级上·辽宁沈阳·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． （1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定是可爱三角形，是否正确．并填空 　 　（填“正确”或“不正确”）； ②若三角形的三边长分别是4、2、，则该三角形 　 　（是或不是）可爱三角形； （2）①若等腰三角形是可爱三角形，并且有一边长为，则周长为 　 　； ②若Rt△ABC是可爱三角形，且一条直角边长为，则斜边长为 　 　． 81．（24-25七年级上·山东泰安·期中）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 题型15 二次根式的实际应用（共5小题） 82．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板，，两块光伏发电板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和． (1)光伏发电板，的边长分别为_____，_____；（用最简二次根式表示） (2)计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积． 83．（24-25八年级下·江西赣州·期中）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 84．（24-25八年级下·河南信阳·期中）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式．如： ； ． 【类比归纳】 (1)填空： ； ． (2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方的形式： 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，剩余部分的面积为________． 85．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）小明的爸爸准备用一块面积为的正方形木板制作一个无盖的长方体收纳箱．他先裁去四个角的小正方形，然后折起边沿．若裁去的小正方形的边长为，则制成的收纳箱底面边长为，高为．请解答： (1)当时，求收纳箱的容积； (2)若要使收纳箱的表面积为，求x的值（结果保留根号）． 86．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 题型16 利用一元二次方程解决营销问题（共4小题） 87．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为 件．（用含的代数式表示） (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元． 88．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 89．（24-25八年级下·四川成都·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守一盔一带的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 90．（23-24八年级下·福建漳州·期中）市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． (1)求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； (2)此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 题型17 利用一元二次方程解决与图形有关的问题（共3小题） 91．（11-12八年级下·江苏盐城·期中）某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙． (1)为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ (2)在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 92．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，利用一面长为米的墙，用总长度米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． (1) 米(用含x的代数式表示)； (2)若长方形围栏的面积为平方米，求栅栏的长； (3)长方形栅栏的面积能达到平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 93．（24-25八年级下·广西百色·期中）活动背景：制作无盖方形纸盒． 现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）． 任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是、容积的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？ 任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由． 题型18 利用一元二次方程解决动态几何问题（共6小题） 94．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．    (1)几秒后，的长度为； (2)几秒后，的面积为； (3)的面积能否为？请说明理由． 95．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． (1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 96．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 97．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 题型19 利用勾股定理的实际应用（共4小题） 98．（22-23八年级下·山西吕梁·期中）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 99．（23-24八年级下·河北邯郸·期中）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断支架与的位置关系，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．（结果精确到） 100．（23-24八年级下·江苏盐城·期中如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)连接，试判断的形状，并写出证明过程； (2)求这块空地的面积． 101．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）如图是王大爷承包的一块待开垦的四边形田地，为田间的一条小路，且，已知，，，． (1)求四边形田地的面积； (2)为了方便灌溉，王大爷打算从靠近河岸的边上引一条水渠，使得点到点、、三处距离相等，请你帮他用无刻度的直尺和圆规作出这条水渠，并计算这条水渠的长度为______． 题型20 勾股定理在平面直角坐标系中的综合应用（共3小题） 102．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）如图1，，，，其中、满足． (1)直接写出、的值； (2)如图2，连接，将沿翻折，点的对应点为点，连接交于点，求的长； (3)如图3，点为线段上的一个动点，连接，和关于对称，当为直角三角形时，求的长． 103．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，，，点B在第一象限内，且满足．      (1)试判断的形状，并说明理由； (2)在第二象限内是否存在一点P，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点C为线段上一动点，点D为线段上一动点，且始终满足．求的最小值． 104．（24-25八年级下·浙江金华·期中）已知：在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，点是中边上一点，点是边上一点． (1)如图1，若恰好平分，且，（用含有的式子表示） (2)若， ①如图2，已知，，点，求点的坐标． ②如图3，若，，设，长为，请用含、的代数式表示的长． 1．小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若． ①求的值； ②求的值． 2．某文具店销售一款定制帆布包．当每个帆布包售价为50元时，每天可以售出300个．该店为了提高利润，决定采取涨价措施．市场部门分析发现，每个帆布包售价每上涨1元，日销售量就会减少5个．已知每个帆布包的成本是30元． (1)若设每个帆布包的售价上涨x元，请用含x的代数式表示： ①每个帆布包的销售利润为 元； ②每天的销售量为 个． (2)当单价定为多少元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元？ 3．如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 4．国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代．如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点处同时出发前往处．江江打算沿的路线前往，机器人打算沿的路线前往，已知点在点的南偏西方向上，且米，，米，米． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达处？（结果精确到0.1，参考数据：，，） 5．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向终点C运动，它们到达终点后分别停止运动． (1)点P运动的时间是_______秒，点Q运动的时间是_______秒； (2)几秒后，P，D两点的距离是P，Q两点距离的2倍？ (3)是否存在时间使得的面积是？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 6．如图，是等边三角形，，是上一动点，在上取点，使，，相交于点． (1)求的度数； (2)如图2，过点作交于点，在延长线上截取，连结， ①求证：； ②延长交于点，当是直角三角形时，求的值． 7．如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当______时，平分四边形的面积． (2)求经过多少秒后，． (3)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． (4)运动过程中，是否存在某一时刻使得点B在线段的垂直平分线上？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点分别作x轴，y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点是从点B出发，沿以3个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）． (1)直接写出点B和点C的坐标； (2)当点运动时，用含t的式子表示线段的长； (3)点，连接，，在（2）的条件下是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 9．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为，，，其中a，b，c满足关系式． (1)求a，b，c的值； (2)如果在第二象限内有一点，是否存在点P，使的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如果在平面直角坐标系中存在一个点P，使是以为直角边的等腰直角三角形，则称点P为线段的“小K点”，请直接写出此题中的“小K点”的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期中真题百练通关（114题20大压轴题型） 说明：真题集训性质，选用期中真题/中高考真题，加题源。 选填小压轴 解答压轴 题型1 求二次根式中的参数 题型14二次根式新定义阅读题 题型2 利用二次根式的性质化简 题型15 二次根式的实际应用 题型3 复合二次根式的化简 题型16 利用一元二次方程解决营销问题 题型4 二次根式的简单应用 题型17 利用一元二次方程解决与图形有关的问题 题型5 由一元二次方程的定义求参数 题型18 利用一元二次方程解决动态几何问题 题型6 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型19 利用勾股定理的实际应用 题型7 一元二次方程根据根的情况求参数 题型20 勾股定理在平面直角坐标系中的综合应用 题型8 一元二次方程的解法 题型9 一元二次方程根与系数的关系 题型10 一元二次方程根的应用 题型11 勾股定理的应用 题型12勾股定律在折叠模型的应用 题型13 利用勾股定理解决最短路径问题 题型1 求二次根式中的参数（共6小题） 1．（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 2．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 3．（22-23八年级下·河北邯郸·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2． 【详解】∵是整数，且， ∴是完全平方数， 设（m是正整数）， 则， ∵与同奇同偶， ∴，或， ∴，或， ∴， ∴n的最小正整数值是2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组． 4．（23-24八年级下·河南新乡·期中）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 5．（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 【答案】C 【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解什么情况下为正整数． 【详解】解：∵， ∴是一个平方数， ∴正整数最小是， 故选：． 6．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去1，依据规律进行计算即可． 【详解】解：根据所给式子的规律可得：， 解得：． 故选：B． 题型2 利用二次根式的性质化简（共6小题） 7．（24-25八年级下·山东淄博·期中）化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数为非负数，且分母不为0， ∴且， ∵， ∴， 解得， ∴． 8．（24-25八年级下·湖北·期中）若二次根式，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与绝对值的性质，解题思路是利用二次根式性质将原式化简为绝对值形式，再根据绝对值的性质列不等式求解x的范围 【详解】解：根据二次根式的性质可得 ， ∴ ， 由题意得 ， 根据绝对值的性质：若，则， 得 ， 解得 9．（24-25八年级下·北京·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 【答案】A 【分析】根据题意可知，，再根据绝对值意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】因为，， 所以原式． 10．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若有意义，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二次根式有意义的条件，得到a，b的取值范围，再利用二次根式的性质化简求解. 【详解】解：∵二次根式有意义要求被开方数为非负数，原式有意义， ∴， 由得，即； 由得，即， ∴， ∴． 11．（24-25八年级下·山东济宁·期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴判断出 的正负性及大小关系，进而确定绝对值符号内式子的正负，利用 和 进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴原式 ． 12．（24-25八年级下·湖北·期中）已知实数a，b满足，则的值为（    ） A．3 B．7 C．10 D．3或7 【答案】C 【分析】本题利用二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）求出a的值，再代入计算得到b的值，最后求出即可 【详解】解：∵二次根式中被开方数为非负数， ∴不等式组， 解得且， ∴， 将代入得， ∴ 题型3 复合二次根式的化简（共6小题） 13．（24-25八年级下·湖北·期中）满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，完全平方公式，二次根式的性质，首先利用完全平方公式得到，然后利用二次根式的性质化简得到，然后计算其近似值，确定整数m的范围． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ∵， ∴， ∴； ∴整数m的值为1或2或3，共3个． 故选：B． 14．（24-25八年级下·安徽芜湖·自主招生）已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 15．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值．利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案． 【详解】解：本题根据条件，为的小数部分，因此，因此可以排除A、D选项． 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ， ∵， ∵的整数部分是， ∴小数部分为， 选项B是，选项C是， 只有选项C最接近答案． 故选：C． 16．（20-21八年级下·安徽合肥·期中）已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 17．（24-25八年级下·山东滨州·期中）（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，利用绝对值的意义和乘法公式结合二次根式的性质进行化简． 【详解】解： ， 故选：D． 18．（24-25八年级下·天津和平·期中）已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由，，判断，，化简原式再代入计算即可得解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 题型4 二次根式的简单应用（共6小题） 19．（21-22八年级下·云南西双版纳·期中）在边长为的正方形的内部挖去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】剩余部分面积等于正方形面积减去长方形面积，利用正方形、长方形面积公式结合完全平方公式，二次根式的运算法则计算即可． 【详解】∵ 剩余部分面积 = 正方形面积 - 长方形面积 正方形边长为 ∴ 正方形面积 ∵ 长方形长为，宽为 ∴ 长方形面积 ∴ 剩余部分面积． 20．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据图形列出关系式是关键． 依据题意，由三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，则三个正方形的边长从左到右依次为，2，，可得矩形的长为，宽为2，进而阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和，从而可以列式计算得解． 【详解】解：由题意，∵三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2， ∴三个正方形的边长从左到右依次为，2，． ∴矩形的长为，宽为2． ∴阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和． 故选：D． 21．（24-25八年级下·山东济宁·期中）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查二次根式混合运算的运用，先由题中正方形的面积得到各个正方形的边长，再表示出两个空白图形的长与宽即可得到空白部分的面积为，运用二次根式混合运算法则计算即可得到答案．熟记二次根式性质、二次根式乘法及加减运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 面积为10的正方形边长为、面积为12的正方形边长为、面积为3的正方形边长为， 空白的长为，宽为；空白的长为，宽为； 空白部分的面积为， 故选：A． 22．（24-25八年级下·吉林白城·期中）在中，面积为12，底边长为，则该底边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式除法的应用，熟练掌握二次根式除法的运算法则是解题关键． 根据三角形的面积公式列出运算式子，再根据二次根式的除法法则即可得． 【详解】解：的面积为，底边为， 底边上的高为． 故选：B． 23．（24-25八年级下·云南昭通·期中）高空坠物现象被称为“悬在城市上空的痛”．随着城市化进程加快，一栋栋高楼大厦拔地而起．然而，高空坠物、抛物伤人的事件也呈多发态势．经过查阅相关资料，小明同学得到高空坠物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，，单位：）．若某玩具在高空被抛出后经过后落在地上，则玩具抛出前离地面的高度h为（    ） A．15 B．30 C．45 D．405 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． 将，代入求解即可． 【详解】将，代入得， 解得 因此，玩具抛出前离地面的高度为45米． 故选：C． 24．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在中，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算．根据海伦公式，已知三角形三边长，先计算半周长p，再代入公式即可求出面积． 【详解】解：由三边长分别为，则， 代入海伦公式：， 因此的面积为， 故选：C． 题型5 由一元二次方程的定义求参数（共6小题） 25．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 26．（24-25八年级下·全国·期中）把一元二次方程化成一般式之后，其二次项系数与一次项系数分别是（   ） A．2， B．， C．2， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练把一元二次方程转换为一般形式是解题的关键； 通过移项，合并同类项，转化为一二次方程的一般形式即可得出答案． 【详解】解： ， ∵，，， ∴一元二次方程的二次项系数是2与一次项系数是， 故选：A． 27．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若是方程的根，则代数式的值为（） A．0 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】根据方程根的定义得到的值，再整体代入计算即可. 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 28．（24-25八年级上·上海虹口·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】解：把代入方程 得， 解得， 又因为，即， 所以， 故选：A． 29．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 解得， ∴一元二次方程必有一根为， 故选：． 30．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知m是关于x的一元二次方程的根，且，，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式．根据一元二次方程的解的定义可得，从而得到，再由完全平方公式计算，即可求解． 【详解】解：∵m是关于x的一元二次方程的根， ∴， ∴， ∵，， ∴ 故选：D 题型6 根据判别式判断一元二次方程根的情况（共6小题） 31．（21-22八年级下·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于的方程的实数根的情况为（    ） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据直线不经过第四象限确定的取值范围，再通过根的判别式的符号判断方程根的情况即可． 【详解】解：直线不经过第四象限， ， 方程的根的判别式， ， 即， 方程有两个不相等的实数根． 32．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程进行了讨论：甲说：这一定是关于x的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；丙说：只有当且时，该方程有实数根；丁说：当时，该方程有实数根（   ） A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．乙和丁说的对 D．乙和丙说的对 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的概念，可以判断甲、乙；分类讨论，即当时，此时方程一定有实数根，当时，根据根的判别式，可以得到的取值范围，将取值范围合并即可得到方程有实数根时，的取值范围． 【详解】解：当时，为一元一次方程，故甲的说法错误，乙的说法正确； ①当时，方程为，此时方程的根为，即k可以取0； ②当时，方程为一元二次方程，当时，方程有实数根，即， 解得， 且， 综上所述：当时，方程有实数根，故丁的说法正确，丙的说法错误， 综上，乙和丁说的对． 33．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握判断一元二次方程根的情况是解题的关键，利用一元二次方程根的判别式对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根，此项错误； B、∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根，此项错误； C、∵， ∴， ∴方程有两个相等实数根，此项正确； D、， ∴， ∴方程没有实数根，此项错误； 故选：C． 34．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，解题关键是掌握求一元二次方程根的情况的方法． 根据一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，列出式子求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 35．（24-25八年级下·浙江·期中）关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（    ） A．当，，时，方程一定有两个不相等的实数根； B．当，，时，方程一定没有实数根； C．当，时，方程一定没有实数根； D．当，，时，方程一定有实数根． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据“若方程，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根”进行排除选项即可． 【详解】解：A、由，可得：，，所以，则方程有两个相等的实数根，故不符合题意； B、当时，满足，，，此时，即方程有两个不相等的实数根，故该选项错误，不符合题意； C、当时，满足，，此时，即方程有两个不相等的实数根，故该选项错误，不符合题意； D、∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即方程一定有实数根；故该选项正确，符合题意； 故选D． 36．（24-25八年级下·广西崇左·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①③ 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的判别式及根的性质，①由条件变形后代入判别式，利用平方非负性判断；②通过判别式推导，结合已知条件分析；③根据求根公式代入验证等式是否恒成立． 【详解】解：①若，则是原方程的解，即方程至少有一个根， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：， 故①正确； ②方程有两个不相等的实根， ， ， 又方程的判别式为， ， 方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③若是一元二次方程的根， 则根据求根公式得：或， 或， ， 故③正确； 综上，①②③正确． 故选：C． 题型7 一元二次方程根据根的情况求参数（共6小题） 37．（21-22八年级下·浙江衢州·期中）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（   ） A．0或 B．0 C．8 D．无解 【答案】A 【分析】已知一元二次方程有两个相等的实数根，利用判别式等于0列方程求解即可. 【详解】解：∵ 一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴ ， 其中 ，，，代入得： ， 解得 或 . 38．（21-22八年级下·江苏南通·期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程定义，二次项系数不为0，方程有两个实数根得判别式非负，列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，且有两个实数根， ∴，且， 解不等式得， 又∵， ∴的取值范围是且． 39．（21-22八年级下·北京海淀·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，需注意二次项系数不为零，根据一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根时，判别式大于零，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 其中，，， ∴， 解得， 又∵， ∴且． 故选：D． 40．（24-25八年级下·江西吉安·期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围． 【详解】解：当时，方程化为，解得； 当时，则，解得且， 综上所述，的取值范围为． 故选：C． 41．（22-23八年级下·全国·期中）关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 42．（24-25八年级下·全国·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以a，b，c为三边的三角形是（    ） A．以b为斜边的直角三角形 B．以c为底边的等腰三角形 C．以b为底边的等腰三角形 D．以a为斜边的直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理． 根据一元二次方程有两个相等实数根的条件得到判别式，代入方程系数计算后得到关系式，进而判断三角形的形状． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴， ∴、、为边的三角形是以为斜边的直角三角形， 故选：D． 题型8 一元二次方程根的解法（共6小题） 43．（21-22八年级下·浙江衢州·期中）把方程配方转化成的形式，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照配方法步骤整理方程，即可得到对应结果． 【详解】解：∵原方程为 ． 移项得 ． 根据配方法，方程两边需加上一次项系数一半的平方，这里一次项系数为，一半的平方为． ∴方程两边同时加，得 ． 整理得 ． 因此正确结果为A选项． 44．（21-22八年级下·广西梧州·期中）已知的两边长分别是2和3，第三边的长是方程的一个根，则的周长是（    ） A．5 B．7 C．10 D．12 【答案】B 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不符合的根，最后计算周长得到正确选项． 【详解】解：对方程因式分解得 ， ， 当第三边长为时不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去， 第三边长只能为， 的周长为． 45．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程－因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想． 根据两个因式的积为零，那么这两个因式的值就都有可能为0，将方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 故选B ． 46．（24-25八年级下·山东临沂·期中）一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查配方法，熟悉配方法是解题的关键． 根据题意配方即可求解． 【详解】， ， ． 故选：B． 47．（24-25八年级下·山东临沂·期中）若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系． 先求出这个方程的解，再根据等腰三角形及三角形的三边关系即可求出周长． 【详解】解：解方程得， ∵三角形为等腰三角形， ∴三边长为5，5，2或2，2，5（舍去） ∴周长为， 故选B． 48．（24-25八年级下·全国·期中）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 【答案】B 【分析】根据新定义，把方程化成定义型方程，利用恒等式性质，确定a，b的值，后代入，配方，利用非负性求最值即可． 本题考查了一元二次方程新定义问题，配方法求最值是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 又与是“同族二次方程”． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值，且为2020， 故选：B． 题型9 一元二次方程根与系数的关系（共6小题） 49．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）已知实数α，β满足，，且，且的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把变形为，则、可看作方程的两根，利用根与系数的关系得到，，由于，所以可先化为，再变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ，且， 、可看作方程的两根， ，， ， ， ． 50．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，对所求代数式变形后整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 51．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及不等式的综合应用．根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又因为，所以，即，利用根与系数的关系， 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， 解得， ∵，， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴a的取值范围是． 故选：D． 52．（20-21八年级下·安徽·期中）已知，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，，．根据题意得，，再根据计算即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ， 故选：D． 53．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）已知一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 54．（24-25八年级下·广西百色·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，若其中一个根为1，则这两根之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根与系数的关系，设另一个根为，根据根与系数的关系得到，进而求出两根之和即可，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：设另一个根为，由题意，可知：， ∴， ∴两根之和为； 故选D． 题型10 一元二次方程的实际应用 55．（21-22八年级下·浙江绍兴·期中）随着体育节的开展，浣江初中八年级学生关注篮球比赛的人数由月初的人，上升到月初的人，设月至月关注篮球比赛的人数月平均上升率为，根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵月平均上升率为，月初人数为， ∴月初人数为， ∴月初人数为， ∵月初人数为， ∴可得方程． 56．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，核心是根据每月销量的增长关系列出方程． 【详解】解：∵月增长率为x，5月份销售量为144个， ∴6月份销售量为个， ∴7月份销售量为个， 又∵7月份实际销售量为225个， ∴可列方程为. 57．（2026·重庆·二模）已知某国产芯片企业月份营业收入为亿人民币，月份营业收入比月份营业收入高亿人民币．若该芯片企业月份到月份的月营业收入平均增长率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为平均增长率应用题，根据平均增长率的变化关系列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可得到结果． 【详解】解：∵月份营业收入为亿人民币，月平均增长率为， ∴月份营业收入为， 根据题意，月份营业收入比月份高亿人民币， 可得月份营业收入为亿人民币， 列方程得：， 解得，（舍去）． 58．（24-25八年级下·山东烟台·期中）由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该店冬装原本打x折，根据折上折的优惠规则，结合原价和最终实际售价，找出等量关系列出方程即可． 【详解】解：设该店冬装原本打x折． ∵打折时，打x折表示现价为原价的． 又∵本题为两次折扣相同的“折上折”，需要连续两次按计算价格． ∴原价1000元经过两次打折后价格为． ∵优惠后实际价格为490元， ∴可得方程． 59．（24-25八年级下·全国·期中）某园艺师用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解题的关键． 根据题意，每盆增加x株，则总株数为株，平均单株盈利减少x元，即为元，每盆盈利为总株数与平均单株盈利的乘积，令其等于40元，可得方程． 【详解】解：设每盆增加x株花苗， 由题意得，， 故选：A． 60．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某商场在销售一种糖果时发现，如果以元的单价销售，则每天可售出，如果销售单价每增加元，则每天销售量会减少．该商场为使每天的销售额达到元，销售单价应为多少？设销售单价应为元，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据销售额售价销售量列方程，求解即可． 【详解】解：设销售单价应为元，则销售量为， 依题意得， 故选：C． 题型11 勾股定理的应用（共6小题） 61．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】延长到点E，使，连接，证明，得，然后在中，根据勾股定理求出CE的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长到点E，使，连接， 则， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 62．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设荷花入水部分长，则荷花的高，因荷花偏离原位置，那么水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设荷花入水部分长，则荷花的高， 根据题意得， 解得， 答：水的深度为． 63．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，，，过点作，，连接，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作交于点，利用“角角边”证明后，由全等三角形的性质推得，，最后结合勾股定理即可得解． 【详解】解：过点作交于点， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 中，． 64．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成图，若两手握住的绳柄两端的距离约为，小臂到地面的距离约为，则适合小红的绳长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，则，由等腰三角形“三线合一”的性质得，然后根据勾股定理即可求得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，则， 由题意可知，，， ∴， ∴， ∴适合小红的绳长为． 65．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】首先求出四个直角三角形的面积，即可得到的值，根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后根据即可求解． 【详解】解：因为大正方形的面积是41，小正方形的面积是1， 所以一个小三角形的面积是，， 所以，即， 所以． 所以． 66．（2026八年级下·浙江杭州·专题练习）实数满足，则以为边长的直角三角形的第三边长为（    ） A． B． C．或 D．4 【答案】C 【分析】先利用非负数的性质求出的值，再分情况结合勾股定理计算第三边长，注意分类讨论避免漏解． 【详解】解：∵绝对值和算术平方根都是非负数，且满足， ∴，， 解得，， 分两种情况讨论： ① 当为直角三角形的斜边长时 由勾股定理得，第三边长为； ② 当第三边长为直角三角形的斜边长时 由勾股定理得，第三边长为； 综上，第三边长为或． 题型12勾股定律在折叠模型的应用（共6小题） 67．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 68．（21-22八年级下·辽宁抚顺·期中）直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合折叠性质得，设，，根据勾股定理列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：依题意得：，，，， 设，， 中，， ， 解得， ． 69．（21-22八年级下·重庆忠县·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用折叠性质得到，然后在直角三角形中设未知数，通过勾股定理列方程求解． 【详解】解：为的中点，正方形的边长为， ，， 设，根据折叠的性质可知， 在中，， 可得， 解得，即． 70．（24-25八年级上·重庆大渡口·期中）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据折叠得到，，，，然后求出 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵，，然后利用勾股定理求解即可． ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 71．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，长方形中，，，把这个长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，是折痕，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理． 根据折叠的性质可得，利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵将此长方形折叠，使点B与点D重合， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 72．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定，根据勾股定理求得，根据折叠的性质以及勾股定理求得，过点作于点，证明，进而得出，勾股定理求得的长，进而在中，利用勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∵将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上， ∴，，， ∴ 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴， 如图，过点作于点， ∵，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴， 设，则 在中， ∴ 解得：，即，则， ∴， ∴， 故选：A． 题型13 利用勾股定理解决最短路径问题（共6小题） 73．（24-25八年级上·广东梅州·期中）有一圆柱体如图，高，底面周长，处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到处，求蚂蚁爬行的最短距离为（ ）． A． B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，把圆柱展开，连接，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，把圆柱展开，连接，则， 由勾股定理得：； 故选：C． 74．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点B处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题．将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将盒子侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求， 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜， ，，，， ， ， ， ， 故选：D． 75．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，长方体的高为4，底面长为3，宽为1，一只蚂蚁从长方体的表面点爬到点．则蚂蚁爬行的最短路程是（    ）． A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面展开—最短路线问题，勾股定理，无理数的大小比较．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：按照正面和右面展开，如下， ∴， ∴； 按照正面和上面展开，如下， ∴， ∴； 按照上面和左面展开，如图3， ∴， ∴； ∵， ∴需要爬行的最短距离是， 故选：B． 76．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图是一个无盖四棱柱的模型，底面正方形的边长为，高为．若一只蚂蚁从该棱柱底面的顶点处，经棱柱侧面爬行到上底面的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立体图形侧面展开图与勾股定理的应用，熟练掌握将立体路径转化为平面线段并运用勾股定理比较长度是解题的关键． 将四棱柱侧面展开，分两种情况得到平面图形，利用勾股定理分别计算路径长度，再比较得出最短距离． 【详解】如图，展开侧面后， 在中，，，． ∴此时距离．    如图2，展开侧面后，    在中，，，． ∴． ∵， ∴最短距离为． 故选：． 77．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）运动铸就辉煌，汗水燃烧激情！阳光小学举办运动会，如图是运动会的颁奖台．3个长方体颁奖台的长均为，宽均为号颁奖台的高度分别是．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查展开图求最短路径的问题，运用勾股定理求两点之间的距离是解题的关键． 根据题意将长方体展成平面图，根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求得蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】解：将长方体部分展成平面图如图，则的长为蚂蚁爬行的最短距离， 由题意，，， ∴， 故选：B． 78．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求边长是解题的关键；先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得， 在中，， 故选：． 题型14二次根式新定义阅读题（共3小题） 79．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”新湘教版八年级《数学》上册84页第10题描述了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】（1）______； 【推理证明】（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1）；（2）（，且n为正整数），见解析；（3）14或34或71 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，分式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义得到，整理得到，分情况求出，的值，代入即可得到答案． 【详解】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， ； （3）∵ ∴根据（2）规律可得： ∴ ∴ ∵a，b为正整数 ∴或或 ∴或或． 80．（21-22八年级上·辽宁沈阳·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． （1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定是可爱三角形，是否正确．并填空 　 　（填“正确”或“不正确”）； ②若三角形的三边长分别是4、2、，则该三角形 　 　（是或不是）可爱三角形； （2）①若等腰三角形是可爱三角形，并且有一边长为，则周长为 　 　； ②若Rt△ABC是可爱三角形，且一条直角边长为，则斜边长为 　 　． 【答案】（1）①正确；②是；（2）①；②或 【分析】（1）①设等边三角形的边长为，根据定义即可判断；②根据定义将已知数据代入验证即可； （2）①根据定义分类讨论，根据最短边的平方与最长边的平方和等于第三边的平方的2倍，列出方程求解即可；②设斜边长为，根据新定义以及勾股定理列出方程解方程即可 【详解】（1）①设等边三角形的边长为， 等边三角形一定是可爱三角形， 故答案为：正确； ② 该三角形是可爱三角形 （2）①等腰三角形是可爱三角形，有一边长为 当为腰时，设底边为，根据题意可得： 或 周长为 当为底边时，设腰长为，根据题意得： 或 解得 周长为 ②ABC一条直角边长为，设斜边长为， 则另一条直角边为， Rt△ABC是可爱三角形， 或 解得：或 故答案为：或 【点睛】本题考查了新定义，实数的运算，勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 81．（24-25七年级上·山东泰安·期中）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 【答案】(1)，属于“族”的数 (2)；为“族”的数． 【分析】本题考查了二次根式的定义，分母有理化，熟练掌握二次根式的定义及分母有理化是关键． （1）根据二次根式的定义判断即可； （2）根据分母有理化的方法求解即可． 【详解】（1）解：，属于“族”的数； （2）解：， ，为有理数，， 为“族”的数． 题型15 二次根式的实际应用（共5小题） 82．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板，，两块光伏发电板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和． (1)光伏发电板，的边长分别为_____，_____；（用最简二次根式表示） (2)计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正方形的面积公式以及最简二次根式的定义进行解题即可； （2）根据图形进行列式计算即可． 【详解】（1）解：∵两块正方形的光伏发电板的面积为， 故光伏发电板的边长为； ∵两块正方形的光伏发电板的面积为， 故光伏发电板的边长为． （2）， 根据题意可得，阴影部分是一个长为，宽为的矩形， 故阴影部分的面积为（）． 83．（24-25八年级下·江西赣州·期中）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1)电视背景墙的周长为 (2)整个电视背景墙需要花费元 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为． （2）解：长方形的面积：， 大理石的面积， ∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）． 答：整个电视背景墙需要花费元． 84．（24-25八年级下·河南信阳·期中）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式．如： ； ． 【类比归纳】 (1)填空： ； ． (2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方的形式： 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，剩余部分的面积为________． 【答案】(1)，；； (2)； (3)． 【分析】（）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； 结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （）设两小正方形的边长分别为，，则有，，然后化简得，，然后通过剩余部分的面积为即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：，； ， 故答案为：； （2）解： （3）解：设两小正方形的边长分别为，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴剩余部分的面积为． 85．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）小明的爸爸准备用一块面积为的正方形木板制作一个无盖的长方体收纳箱．他先裁去四个角的小正方形，然后折起边沿．若裁去的小正方形的边长为，则制成的收纳箱底面边长为，高为．请解答： (1)当时，求收纳箱的容积； (2)若要使收纳箱的表面积为，求x的值（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长方体体积公式进行求解； （2）根据总体面积减去四个小正方形的面积列出等式，然后利用平方根进行求解． 【详解】（1）解：当时，底面边长为， 容积为； （2）解：由题意， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴． 86．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． （2）解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 题型16 利用一元二次方程解决营销问题（共4小题） 87．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为 件．（用含的代数式表示） (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出平均每天的销售数量即可； （）设每件商品降价元，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：根据题意得：若降价元，则平均每天的销售数量为件； （2）解：设每件商品降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵每件盈利不少于元， ∴，解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 88．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)①55元；②不能实现，说明见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，根据经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①根据使月销售利润达到11250元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； ②根据使月销售利润达到12500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①由题意得：， 解得：，， 当时，月销售量为个； 当时，月销售量为个， 因需要尽快减少库存，故应选择销售量大的方案，所以，舍去， ， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为55元； ②不能实现，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数根， 不能实现利润为12500元． 89．（24-25八年级下·四川成都·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守一盔一带的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意得：，即可求解； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元个，则，即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， ， ， 解得：，（舍， 该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：该品牌头盔的实际售价应定为元个， 则， ， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元个． 90．（23-24八年级下·福建漳州·期中）市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． (1)求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； (2)此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)50元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据增长率问题列方程，解方程，即可求解； （2）根据等量关系式：涨价后每个头盔的利润涨价后的销售量元，据此列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月均增长率为x， 依题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的销售价为y元，依题意得 ， 解得，． 尽可能让顾客得到实惠， 不合题意，舍去． 故， 答：该品牌头盔的销售价应定为50元． 题型17 利用一元二次方程解决与图形有关的问题（共3小题） 91．（11-12八年级下·江苏盐城·期中）某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙． (1)为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ (2)在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】(1)车棚的长为米，宽为米 (2)小路的宽为米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设与墙垂直的一面为米，然后可得另两面则为米，然后利用其面积为列出方程求解即可； （2）设小路的宽为米，利用去掉小路的面积为平方米列出方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，(舍去)， 当时，， 答：车棚的长为米，宽为米． （2）解：设小路的宽为米， 根据题意得：， 整理得， 解得：(舍去)，， 答：小路的宽为米． 92．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，利用一面长为米的墙，用总长度米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． (1) 米(用含x的代数式表示)； (2)若长方形围栏的面积为平方米，求栅栏的长； (3)长方形栅栏的面积能达到平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)米； (3)长方形栅栏的面积不能达到平方米，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，根据题意列出一元二次方程是解题的关键； （1）利用的长栅栏的总长度的长，即可用含的代数式表示出的长； （2）根据长方形围栏的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长米，即可确定结论； （3）假设长方形栅栏的面积能达到平方米，根据长方形围栏的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即长方形栅栏的面积不能达到平方米． 【详解】（1）解：根据题意得：米． 故答案为：； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：栅栏的长为米； （3）长方形栅栏的面积不能达到平方米，理由如下： 假设长方形栅栏的面积能达到平方米， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立， 即长方形栅栏的面积不能达到平方米． 93．（24-25八年级下·广西百色·期中）活动背景：制作无盖方形纸盒． 现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）． 任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是、容积的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？ 任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由． 【答案】（1）原硬纸板的长是和宽是； （2）剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键． 任务1：设原硬纸板的长是和宽是，建立方程，求解即可； 任务2：设剪裁的小正方形的边长为，建立方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设原硬纸板的长是和宽是．则          解得，（不符，舍）     所以 答：原硬纸板的长是和宽是．     任务2：小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒     设剪裁的小正方形的边长为．则              ，（不符，舍）     答：剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 题型18 利用一元二次方程解决动态几何问题（共6小题） 94．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．    (1)几秒后，的长度为； (2)几秒后，的面积为； (3)的面积能否为？请说明理由． 【答案】(1)后，的长度为 (2)或后，的面积等于 (3)的面积不可能等于，见解析 【分析】本题主要考查动点与几何图形的综合，理解动点的运动规律，掌握几何图形的面积计算方法，一元二次方程根的判别式等知识是解题的关键． （1）设点运动的时间为，则，，，在中，根据勾股定理即可求解； （2）根据，解方程即可求解； （3）根据，得关于的一元二次方程，运用一元二次方程根的判别式判定方程是否有实数解即可． 【详解】（1）解：设点运动的时间为，则，，，， ∴在中，根据勾股定理，得，， ∴，解得或（舍去）， ∴后，的长度为． （2）解：同（1）中所设，设点运动的时间为，则，，，， ∴，即， 解得或， ∴或后，的面积等于． （3）解：不能，理由如下： 当时，即， ∴，整理得，， ∵， ∴方程没有实数根， ∴的面积不可能等于． 95．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． (1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】(1)经过或后、两点之间的距离是 (2)经过秒或秒的面积为． 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用矩形的性质是解题关键． （1）如图，过点P作于E，设x秒后，利用勾股定理得出即可． （2）分类讨论：①当点P在上时；②当点P在边上；③当点P在边上时，根据面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作于． 设秒后，点和点的距离是． 根据题意得： ，即， ∴， ∴，； ∴经过或后、两点之间的距离是； （2）连接．设经过后的面积为． ①当时，则， ∴，即， 解得； ②当时， ，，则 ， 解得，（舍去）； ③时，， ， ∴， 解得（舍去）． 综上所述，经过秒或秒的面积为． 96．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 【答案】(1)8或10 (2)8或12 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质和判定， 对于（1），设运动时间为t秒，表示出，即可得再根据两种情况得出方程，求出解即可； 对于（2），根据题意作出图形，再根据勾股定理求出，并表示出，然后结合得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒，可知，则 当时，四边形是平行四边形，即， 解得； 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 所以当时间为8秒或10秒时，其中一个四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，过点D作，交于点E， 根据题意可知四边形是矩形， ∴， ∴． 在中，， 解得． 如图所示四边形是等腰梯形或平行四边形，即，此时， 即， 解得或， 所以当或时，． 故答案为：8或12． 97．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】(1)； (2)1 (3)7 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴ 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 题型19 利用勾股定理的实际应用（共4小题） 98．（22-23八年级下·山西吕梁·期中）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 【答案】(1)“远方”号沿东南方向航行 (2)25海里 【分析】（1）根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：由题知，海里，海里，，， ， ， 是直角三角形，且， ， 即“远方”号沿东南方向航行． （2）解：根据题意得：海里，海里， 在中，， ∴海里， 即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里． 99．（23-24八年级下·河北邯郸·期中）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断支架与的位置关系，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．（结果精确到） 【答案】(1),理由见解析 (2)约为． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理及面积法的综合应用，解题的关键是利用勾股定理的逆定理判定垂直关系，并结合几何图形的性质，通过作辅助线将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题． （1） 利用勾股定理的逆定理，验证与的数量关系，从而判断； （2） 作，结合勾股定理求、面积法求，最后加上轮半径得到到地面的距离． 【详解】（1）解：，理由如下： ，，， ， ， ． 为直角三角形，且． ． （2）解：过点作于点， 在中，，， 由面积相等得： 。 滚轮半径， ∴左边缘D到地面的距离. 答：购物车上篮子的左边缘到地面的距离约为． 100．（23-24八年级下·江苏盐城·期中如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)连接，试判断的形状，并写出证明过程； (2)求这块空地的面积． 【答案】(1)是直角三角形；见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，线段垂直平分线的性质，掌握直角三角形的判定方法是关键． （1）根据题意，运用勾股定理逆定理判定直角三角形，即可求解； （2）由面积公式得到，由勾股定理得到，则，，由此即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由题意得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴这块空地的面积为． 101．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）如图是王大爷承包的一块待开垦的四边形田地，为田间的一条小路，且，已知，，，． (1)求四边形田地的面积； (2)为了方便灌溉，王大爷打算从靠近河岸的边上引一条水渠，使得点到点、、三处距离相等，请你帮他用无刻度的直尺和圆规作出这条水渠，并计算这条水渠的长度为______． 【答案】(1) (2)详见解析， 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）在中，由勾股定理，求得，再由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，根据三角形的面积公式即可得到结论． （2）作线段的垂直平分线，垂足为，连接即可． 【详解】（1）解：， ， 在中，， ∴， ，， ， 是直角三角形，且， 四边形田地的面积为： ． （2）如图，线段即为所求，， 故答案为：． 题型20 勾股定理在平面直角坐标系中的综合应用（共3小题） 102．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）如图1，，，，其中、满足． (1)直接写出、的值； (2)如图2，连接，将沿翻折，点的对应点为点，连接交于点，求的长； (3)如图3，点为线段上的一个动点，连接，和关于对称，当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或3 【分析】本题考查了非负数的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键． （1）由非负数的性质即可求解； （2）由折叠的性质及平行线的性质得，设，则，在中利用勾股定理建立方程即可求解； （3）分两种情况：；；利用折叠的性质及勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质知：， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故； （3）解：连接，如图， 由折叠的性质得：， 当时， ∵， ∴点H在线段上， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， 即； 当时，此时点H在线段上， ∴四边形为正方形， ∴； 综上，的长为或3． 103．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，，，点B在第一象限内，且满足．      (1)试判断的形状，并说明理由； (2)在第二象限内是否存在一点P，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点C为线段上一动点，点D为线段上一动点，且始终满足．求的最小值． 【答案】(1)是以B为直角顶点的直角三角形，理由见解析 (2)存在，点P的坐标为或 (3) 【分析】（1）先由非负数性质求得b、c，再求出，然后利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）分当和当两种情况讨论求解即可； （3）过点O作以为腰，的等腰直角三角形，可证得到，则，故要使的值最小，只需的值最小，即当A、C、H三点共线时，有最小值，即有最小值，为的长，由（2）可知H的坐标为，利用两点距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，解得，，， ∴，， ∵A的坐标为， ∴， ∴， ∴是以B为直角顶点的直角三角形； （2）解：如图所示，当，是以为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作轴于E，轴于F，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵P在第二象限， ∴点P的坐标为； 如图所示，当，是以为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作轴于E，交延长线于F，交y轴于D，    同理可以求出，， 同理可以证明， ∴，， ∴，， ∵P在第二象限， ∴点P的坐标为； ∴综上所述，存在点P的坐标为或，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形； （3）解：如图所示，过点O作以为腰，的等腰直角三角形，    ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴要使的值最小，只需的值最小， ∴当A、C、H三点共线时，有最小值，即有最小值，为的长， 由（2）可知H的坐标为， ∴． 故的最小值为． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理的逆定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 104．（24-25八年级下·浙江金华·期中）已知：在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，点是中边上一点，点是边上一点． (1)如图1，若恰好平分，且，（用含有的式子表示） (2)若， ①如图2，已知，，点，求点的坐标． ②如图3，若，，设，长为，请用含、的代数式表示的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由平分，结合直角三角形锐角互余的性质即可求解； （2）首先根据导出；①根据得出平分，再结合已知线段长对含的直角运用勾股定理即可求解； ②构造轴对称图形得出，利用角度关系得出为等腰直角三角形，从而证得，结合线段数量关系即可求解． 【详解】（1）解：平分，，， ， ， 故答案为：； （2），， ， ①如图，过点C作， ， ， ， ， 平分， ，， ， 点， ， 在中，， 解得， ， ，，， ， 在中，， 解得， ， ； ②如图，取点A关于的对称点N，连接，延长交于点M， 由轴对称性质可知， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的性质、三角形周长的线段转化、勾股定理的应用、全等三角形的性质与判定等知识点，掌握直角三角形的特殊角关系、线段和差与周长的联系、勾股定理的应用是解题的关键． 1．小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①; ② 【分析】（1）结合题意进行分母有理化即可得解； （2）分母有理化后推得， ①将原式化为后代入求解即可； ②将原式化为，代入推得原式后，再代入即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ①； ②， ， ， ， ， ． 2．某文具店销售一款定制帆布包．当每个帆布包售价为50元时，每天可以售出300个．该店为了提高利润，决定采取涨价措施．市场部门分析发现，每个帆布包售价每上涨1元，日销售量就会减少5个．已知每个帆布包的成本是30元． (1)若设每个帆布包的售价上涨x元，请用含x的代数式表示： ①每个帆布包的销售利润为 元； ②每天的销售量为 个． (2)当单价定为多少元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元？ 【答案】(1)①；② (2)当单价定为74元或66元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元 【分析】（1）根据题意列出表达式即可； （2）由题意，得即可得到答案． 【详解】（1）解：①每个帆布包的销售利润为（元）； ②每天的销售量为（个）； （2）解：由题意，得 解得， (元)，（元）． 答：当单价定为74元或66元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元． 3．如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)出发秒或秒后，的面积为 (2)出发秒或秒后，线段的长为 (3)的面积不能为，见解析 【分析】本题考查了直角三角形的面积，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握性质和应用是解题的关键． （1）设运动时间为秒时，则，．根据的面积为，列方程解答即可． （2）设运动时间为秒时，则，．根据勾股定理，列方程解答即可． （3）根据三角形的面积，构造一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有实数根；若有，则可能；若没有，则不能． 【详解】（1）解：设运动时间为秒时，则，． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，的面积为． （2）解：根据题意得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，线段的长为． （3）解：假设能，根据题意得：， 整理，得：， ， 该方程无解， 假设不成立，即的面积不能为． 4．国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代．如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点处同时出发前往处．江江打算沿的路线前往，机器人打算沿的路线前往，已知点在点的南偏西方向上，且米，，米，米． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达处？（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)机器人先到达处 【分析】（1）过点作于点，结合题意求得和，在中，用勾股定理求得，根据计算即可． （2）先利用勾股定理求得，再利用路程与速度求得时间，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 由题意得， 米 （米），（米） 在中，，米 由勾股定理得，（米） （米） 答：的长度为米． （2）解：在中，，米， 由勾股定理得，（米）， 江江从需要时间（秒）， 机器人从需要时间（秒）， ∵， 机器人先到达处． 5．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向终点C运动，它们到达终点后分别停止运动． (1)点P运动的时间是_______秒，点Q运动的时间是_______秒； (2)几秒后，P，D两点的距离是P，Q两点距离的2倍？ (3)是否存在时间使得的面积是？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5；8 (2)3秒或秒 (3)存在；2秒或5.6秒 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，再根据运动时间路程速度计算即可得解； （2）设t秒后，P，D两点的距离是P，Q两点距离的2倍，则，从而可得，由矩形的性质并结合勾股定理可得，．由题意可得，，则，再分两种情况：①时，②时，分别求解即可； （3）设t秒后，的面积是．分两种情况：①时，；②时．点P运动到点B停，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴， ∵点P从点A出发沿以的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向终点C运动， ∴点P运动的时间是秒，点Q运动的时间是秒； （2）解：设t秒后，P，D两点的距离是P，Q两点距离的2倍， ，即． ∵四边形是矩形， ， ，． 由题意可得：，， ∴， ①时．， ， 解得，（不符合题意，舍去）． ； ②时． 时，点P运动到点B停止， ． ， ． ∵点Q从点B出发沿以的速度向终点C运动， ． 综上所述，3秒或秒后，P，D两点的距离是P，Q两点距离的2倍． （3）解：存在．求值如下：                     设t秒后，的面积是． ①时． ， ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． ； ②时． 时，点P运动到点B停止， ， 解得． 综上所述，当t的值为2或5.6秒时，的面积是． 6．如图，是等边三角形，，是上一动点，在上取点，使，，相交于点． (1)求的度数； (2)如图2，过点作交于点，在延长线上截取，连结， ①求证：； ②延长交于点，当是直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②或 【分析】（1）根据等边三角形的性质，即可得，，又由，利用，即可判定，可得，由三角形外角的性质可求的度数； （2）①先证是等边三角形，再证（），即可得证；②先证是等腰三角形，然后分类讨论，根据（）可知，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①证明：∵，是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰三角形． 如图，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的值是或． 7．如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当______时，平分四边形的面积． (2)求经过多少秒后，． (3)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． (4)运动过程中，是否存在某一时刻使得点B在线段的垂直平分线上？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)当时，恰好平分． (4)当时，点B在线段的垂直平分线上． 【分析】（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案； （2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可； （3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可． （4）如图，连接，过作于，证明，结合，，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵ ∴四边形是直角梯形， 由题意可得，， 解得． （2）解：当时， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则， 解得：， 当，时，如图， 过作于，过作于， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 同理：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 综上：当或时，． （3）解：如图，连接，过作于， ∵恰好平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∴当时，恰好平分． （4）解：如图，连接，过作于， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 综上：当时，点B在线段的垂直平分线上． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程，全等三角形的判定与性质等知识，分情况讨论是解题的关键． 8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点分别作x轴，y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点是从点B出发，沿以3个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）． (1)直接写出点B和点C的坐标； (2)当点运动时，用含t的式子表示线段的长； (3)点，连接，，在（2）的条件下是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当在段时，，当在段时，； (3)存在， 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）根据得到，，分当点在线段上时，当点在线段上时讨论即可； （3）当点在线段上时，当点在线段上时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，轴，轴 ∴； （2）解：由可得：， 当点P在线段上时， ∵点是从点B出发，沿以3个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ， ； 当点在线段上时， ∵， ∴， 即， ∴ 点走过的路程． （3）解：存在符合条件的t值， 当点在线段上时 ， ， 解得：； 当点在线段上时， ， ， 解得：（舍去）， 综上所述：当秒时，． 9．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)、、 (2)见解析 (3)97 【分析】（1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为，，，其中a，b，c满足关系式． (1)求a，b，c的值； (2)如果在第二象限内有一点，是否存在点P，使的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如果在平面直角坐标系中存在一个点P，使是以为直角边的等腰直角三角形，则称点P为线段的“小K点”，请直接写出此题中的“小K点”的坐标． 【答案】(1) (2)存在点P， (3)或或或 【分析】（1）由非负数的性质得，即可得出结论； （2）过点C作轴于点E，求出，再由面积法求出，然后由三角形面积关系得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①，时，过点P作轴于点F，证，得，当点P在第二象限时，，点P的坐标为；当点P在第三象限时，，点P的坐标为； ②，时，过点P作轴于点G，同①得，则，当点P在第一象限时，，点P的坐标为；当点P在第三象限时，，点P的坐标为． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：存在点P，使的面积与的面积相等，理由如下： 如图1，过点C作轴于点E，则轴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积的面积， ∴， 解得：， ∵P在第二象限， ∴点P的坐标为； （3）解：分两种情况： ①，时，如图2，过点P作轴于点F， 则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当点P在第二象限时，， ∴点P的坐标为； 当点P在第三象限时，， ∴点P的坐标为； ②，时，如图3，过点P作轴于点G， 则， 同①得：， ∴， 当点P在第一象限时，， ∴点P的坐标为； 当点P在第三象限时，， ∴点P的坐标为； 综上所述，“小K点”的坐标为或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 99 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $