专题02 期中真题百练通关（期中复习专项训练，110题21大压轴题型）七年级数学下学期新教材沪科版

专题02 期中真题百练通关（110题21大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 平方根立方根的取值范围问题 题型13 实数运算的实际应用 题型2 平方根与立方根的综合应用 题型14 一元一次不等式（组）的分配问题 题型3 实数的新定义运算 题型15 一元一次不等式（组）的方案选择问题 题型4 实数运算的规律探究 题型16 一元一次不等式（组）的阶梯收费问题 题型5 求一元一次不等式（组）解的最值 题型17一元一次不等式（组）与数轴综合问题 题型6 用一元一次不等式与几何综合问题 题型18 多项式乘法的综合应用 题型7 一元一次不等式（组）中的参数问题 题型19 完全平方公式在几何图形中的应用 题型8 一元一次不等式（组）中的错解问题 题型20 十字相乘法的阅读 题型9 幂的混合运算应用 题型21 因式分解的综合应用 题型10 多项式乘积不含某项求字母的值 题型11 平方差公式与几何图形 题型12 综合应用公式法分解因式 题型1 平方根立方根的取值范围问题（共6小题） 一、单选题 1．（22-23七年级下·甘肃武威·期中）估计的大小应在（   ） A．8.5与9.0之间 B．8.0与8.5之间 C．7与8之间 D．9与10之间 2．（24-25七年级下·重庆万州·期中）估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3间 D．3和4之间 3．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 4．（24-25七年级下·云南大理·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张圆形绣布，面积为51（注：取3），下列关于这张绣布半径的说法正确的是（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察表格中的数据：由表格中的数据可知（   ） x 42 43 44 45 46 47 48 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 6．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）有一款计算器，显示屏最多能显示14位（包括小数点）的数，例如：计算时，显示于显示屏．现在，想利用这款计算器知道中3的下一位数字是什么，可以用这款计算器计算下面（    ）的值． A． B． C． D． 题型2 平方根与立方根的综合应用（共6小题） 7．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 8．（23-24七年级下·山东滨州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 9．（21-22七年级下·安徽宣城·期中）已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根（    ）． A． B．12 C．13 D． 10．（21-22七年级下·山东济宁·期中）的立方根是（　　） A． B．4 C．8 D．2 11．（21-22七年级下·云南昆明·期中）如果的算术平方根是2，27的立方根是，则（    ） A． B．1 C． D．3 12．（20-21七年级下·安徽芜湖·期中）计算﹣﹣的结果为（    ） A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10 题型3 实数的新定义运算（共6小题） 13．（20-21七年级下·河北沧州·期中）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（　　） A． B． C．0 D． 14．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数，例如，则的运算结果为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）定义运算：．例如：．若，则的值是（　　） A．3 B． C． D．9 16．（24-25七年级下·广东湛江·期中）对于任意不相等的两个数，定义一种运算“*”如下，如，计算：（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 17．（24-25七年级下·云南昆明·期中）现对实数a，b定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．5 18．（24-25七年级下·湖南永州·期中）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如，，．对数99进行如下操作：99第1次第2次第3次，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似的，使数2025变为1需要进行操作的次数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型4 实数运算的规律探究（共6小题） 19．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·四川泸州·期中）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 21．（22-23七年级下·广东江门·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，， ，，， ，…则按此规律可推得这一列数中的第个数应是( ) A． B． C． D．2023 22．（20-21七年级下·湖北武汉·期中）已知按照一定规律排成的一列实数： ﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（    ） A． B．﹣ C． D．2021 23．（20-21七年级下·湖北武汉·期中）已知T1=，T2=，T3=，，Tn=，其中为正整数．设Sn=T1+T2+T3++Tn，则S2021值是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型5 求一元一次不等式（组）解的最值（共6小题） 25．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 26．（23-24七年级下·陕西商洛·期中）若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 27．（21-22七年级下·江苏南通·期中）已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 28．（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 29．（20-21七年级下·重庆南岸·期中）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 30．（24-25七年级下·河北雄安·期中）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型6 用一元一次不等式与几何综合问题（共6小题） 31．（24-25七年级下·河北雄安·期中）数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 32．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 33．（22-23七年级下·湖南益阳·期中）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 34．（21-22七年级下·河南驻马店·期中）现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 35．（21-22七年级下·河南驻马店·期中）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 36．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）现有一段围墙长20米，王伯伯想紧靠这段围墙圈一块长方形空地作为兔舍饲养小兔．已知他圈好的空地如图所示，是一个长方形，它的一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．设垂直于墙的一边的长度为米，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型7 一元一次不等式（组）中的参数问题（共6小题） 37．（21-22七年级下·四川遂宁·期中）关于x的不等式组的解集为，则a、b的值是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（21-22七年级下·四川内江·期中）已知不等式组的解集为，则（　　） A．2016 B． C． D．1 40．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）小程在解“已知关于的不等式组的所有整数解的和为，求的取值范围”这题时，墨水把题中的条件给挡住了，通过翻阅参考答案发现的取值范围是或，则的值为（ ） A． B． C． D．或 41．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若关于的方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的值之和是（   ） A． B． C． D． 42．（2022七年级下·重庆九龙坡·期中）关于，的方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有一个偶数解，则所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 题型8 一元一次不等式（组）中的错解问题（共6小题） 43．（24-25七年级下·上海闵行·期中）解不等式，小聪的解题过程如下： ①；②；③；④． 这个结果是错的，其中造成解答错误的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 44．（24-25七年级下·广西百色·期中）解不等式的过程中，错误之处是（   ） A． B． C． D． 45．（24-25七年级下·四川成都·期中）下列解不等式的过程：去分母，得；去括号，得；移项，得；合并同类项，得；系数化为，得．其中，开始出现错误的一步是（    ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级下·全国·课后作业）解不等式的过程如图所示，开始出现错误的步骤是（    ） 解：， 去分母，得，    第一步 移项，得，    第二步 合并同类项，得，    第三步 系数化为1，得．    第四步 A．第四步 B．第三步 C．第二步 D．第一步 47．（24-25七年级下·陕西西安·期中）下列解不等式的过程中出现错误的一步是（    ） A．去分母，得 B．去括号，得 C．移项，合并同类项，得 D．两边都除以，得 48．（24-25七年级下·河北唐山·期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有甲 B．甲和乙 C．乙和丙 D．甲和丁 题型9 幂的混合运算应用（共6小题） 49．（24-25七年级下·江西南昌·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 50．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算的结果是（      ） A． B． C． D． 51．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 52．（2021七年级下·全国·专题练习）若，则的值是(   ). A．8 B．10 C．12 D．15 53．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 54．（21-22七年级下·山西晋中·期中）下面是小颖同学和小芳同学计算（a•a2）3的过程： 解：小颖：（a•a2）3＝a3•（a2）3…① ＝a3•a6…② ＝a9…③ 小芳：（a•a2）3＝（a3）3…① ＝a9…② 则她们步骤依据的运算性质依次分别是（　　） A．积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的乘法，幂的乘方 B．幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的乘法 C．同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，幂的乘方，积的乘方 D．幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，幂的乘方 题型10 多项式乘积不含某项求字母的值（共6小题） 55．（24-25七年级下·江苏·期中）若展开后不含x的一次项，且常数项为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 56．（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）使乘积中不含和项的，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 57．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）若的结果中不含x项，则a的值为（ ） A．0 B．2 C． D． 58．（21-22六年级下·山东烟台·期中）若的结果中关于x的二次项的系数为，则a的值为（    ） A．3 B． C． D．53 59．（24-25七年级下·广西桂林·期中）若的展开式中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 60．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）若关于x的多项式与的乘积中不含项，则乘积的一次项系数为（   ） A．0 B． C． D． 题型11 平方差公式与几何图形（共6小题） 61．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A． B． C． D． 62．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，将一个边长为的大正方形一边增加，另一边减少，根据图形的变化可以验证下列哪一个等式成立（   ） A． B． C． D． 63．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，在边长为的正方形中，减去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式（   ） A． B． C． D． 64．（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（    ） A． B． C． D． 65．（24-25七年级下·全国·期中）如图1，将一个底边为，高为的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（    ） A． B． C． D． 66．（24-25七年级下·四川眉山·期中）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 题型12 综合应用公式法分解因式（共6小题） 67．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 68．（24-25七年级下·陕西安康·期中）已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 69．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）设a，b，c是三角形的三边，则多项式的值（    ） A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．无法确定 70．（20-21七年级·全国·期中）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 71．（22-23七年级下·全国·期中）将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 72．（24-25七年级下·福建泉州·期中）小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 题型13 实数运算的实际应用（共4小题） 73．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 74．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 75．（23-24七年级下·河南商丘·期中） 阅读下列材料∶ 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小诚和小乐分别用自己的方法进行了验证： 小诚：而，， ，即． 小乐：，，这就说明， 与都是 的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 ． 回答以下问题： (1)结合材料直接写出当，时， 和 之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； ； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为 ，求这个长方形的面积． 76．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 题型14 一元一次不等式（组）的分配问题（共4小题） 77．（21-22七年级下·江苏南通·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 78．（24-25七年级下·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 79．（24-25七年级下·湖南永州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 80．（24-25七年级下·浙江金华·期中）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 题型15 一元一次不等式（组）的方案选择问题（共4小题） 81．（24-25七年级下·四川成都·期中）小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算． 82．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）某初中519名学生和20名教师参加春游活动，现有A、B两种公交车型可供租用，且A、B两种公交车型核载人数分别为35人辆、28人辆．已知租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元． (1)求租用每辆A型客车与每辆B型客车各需要多少元； (2)若要求此次租车共18辆，且总租金不高于6200元，请问有几种租车方案？ 83．（21-22七年级下·吉林长春·期中）某学校为奖励在趣味运动会上取得好成绩的学生，计划购买“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件作为奖品，两种挂件一共买个．其中“冰墩墩”挂件每个元，“雪容融”挂件每个元． (1)如果购买“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件共花费元，求两种挂件各购买了多少个？ (2)如果购买“冰墩墩”挂件的数量超过个，总费用又不超过元，那么该学校共有哪几种不同的购买方案？哪种方案费用最少？最少费用是多少元？ 84．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用1辆A型大巴车和2辆B型大巴车，共需费用1100元；4辆A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 题型16一元一次不等式（组）的阶梯收费问题（共2小题） 85．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 86．（24-25七年级下·浙江台州·期中）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 题型17一元一次不等式（组）与数轴综合问题（共2小题） 87．已知：点、在数轴上的位置如图所示，为原点，点对应的数是90．点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点运动，同时点从点出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向点运动（当点运动到点时，点、均停止运动）．设运动的时间为秒．    (1)若、两点相遇，求的值；； (2)若、两点相距18个单位长度，求的值； (3)若在、相遇前，线段之间只有10个整数点（不包括点、点），求的取值范围． 88．对于数轴上两条线段，给出如下定义：若线段的中点H与线段上点的最小距离不超过1，则称线段是线段的“限中距线段”． 已知：如图，在数轴上点P，M，N表示的数分别为，1，2． (1)设点Q表示的数为m，若线段是线段的“限中距线段”， ①m的值可以是_________； A．1      B．6      C．14 ②m的最大值是_________； (2)点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒． 当时，若线段的“限中距线段”的长度恰好与的值相等，求出的中点H所表示的数； (3)点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，同时线段以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．若对于线段上任意一点Q，都有线段是线段的“限中距线段”，则t的最小值为_________，最大值为_________． 题型18 多项式乘法的综合应用（共4小题） 89．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，如图，已知该地块是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a，b的式子表示种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求此时种植区的总面积S． 90．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）一些平面几何图形的面积，可以用代数恒等式来表示． 例如：图①就可以用等式来表示该几何图形的面积． (1)请写出图②所表示的代数恒等式：__________________； (2)请写出图③所表示的代数恒等式：__________________； (3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． 91．（24-25七年级下·山东青岛·期中）观察下列各式： ； ； ； … (1)你能否由此归纳出一般性规律：______； (2)根据以上规律解决： ①； ②，则______． 92．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图，并直接写出 ； (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 ； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，随着的长度变化时，当a、b之间满足怎样的数量关系时，S的值始终保持不变，请说明理由． 题型19 完全平方公式在几何图形中的应用（共4小题） 93．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）利用拼图常常可以得到一些有应用价值的等式，方法是把所给的图形以不同的方式拼成不同形状的图形，把图形面积用不同的代数式表示，由于拼图前后的面积相等，从而相应的代数式的值也相等，进而得到等式． (1)【初步应用】 如图，通过计算阴影部分面积，写出一个等式：________（用图中字母表示）． (2)【深入探究】 ①构造图形计算； ②计算________．（直接写出结果） (3)若，，求的值． 94．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得等式__________； (2)根据图2所得的公式，若，，求的值； (3)如图3，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在三角形和三角形区域内种花，在三角形和三角形的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 95．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为米的空白的正方形地块将修建一个凉亭． (1)用含有a，b的式子表示绿化总面积． (2)若，，求出此时的绿化总面积． 96．（24-25七年级下·陕西西安·期中）将四个长为a，宽为b的长方形（如图1），拼成如图2的“回形”正方形和正方形． (1)观察与发现：请你观察图2直接写出，，之间的一个等量关系式为 ； (2)运用与探究：根据（1）的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)实践与拓展：将两个正方形、按如图3摆放（点H与点A重合），若两个正方形面积之和为106，，求图中阴影部分面积和． 题型20 十字相乘法的阅读（共3小题） 97．（24-25七年级下·陕西西安·期中）根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 98．（24-25七年级下·江西·期中）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 99．（24-25七年级下·山东临沂·期中）阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 题型21 因式分解的综合应用（共3小题） 100．（22-23七年级下·广东深圳·期中）阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： (1)因式分解： ①； ②； (2)对关于的多项式因式分解：． 101．（2023七年级下·浙江·专题练习）材料一：一个正整数x能写成（a，b均为正整数，且），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时． 例如：，24为“雪松数”，7和5为24的一个平方差分解，，，因为，所以9和7为32的最佳平方差分解，； 材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”． 根据材料回答： (1)请直接写出两个“雪松数”，并分别写出它们的一对平方差分解； (2)试证明10不是：“雪松数”； (3)若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中的最大值． 102．（20-21七年级下·浙江嘉兴·期中）已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示． （1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式； （2）请通过拼图的方式画出一个面积为的长方形示意图，并写出其因式分解的结果； （3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？ 1．解决问题 【问题发现】 (1)如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为_____，大正方形的边长为_____． 【知识迁移】 (2)设钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；边长为_____． 【拓展延伸】 (3)小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 2．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_____；（填序号） ①；②；③ (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围． 3．有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 4．下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润，某汽车公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只能装一种蔬菜） 甲 乙 丙 每辆汽车能满装的吨数 2 1 1.5 每吨蔬菜可获得利润（百元） 5 7 4 公司计划用20辆汽车装运甲乙丙三种蔬菜36吨到某地销售（每种蔬菜不少于1车）， (1)试分析：有几种可能的方案？ (2)如何安排装运，可使公司获得最大利润？最大利润是多少？ 5．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 6．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为______； (2)展开式共有______项，第19项系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式：______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 7．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 8．(1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期中真题百练通关（110题21大压轴题型） 说明：真题集训性质，选用期中真题/中高考真题，加题源。 选填小压轴 解答压轴 题型1 平方根立方根的取值范围问题 题型13 实数运算的实际应用 题型2 平方根与立方根的综合应用 题型14 一元一次不等式（组）的分配问题 题型3 实数的新定义运算 题型15 一元一次不等式（组）的方案选择问题 题型4 实数运算的规律探究 题型16 一元一次不等式（组）的阶梯收费问题 题型5 求一元一次不等式（组）解的最值 题型17一元一次不等式（组）与数轴综合问题 题型6 用一元一次不等式与几何综合问题 题型18 多项式乘法的综合应用 题型7 一元一次不等式（组）中的参数问题 题型19 完全平方公式在几何图形中的应用 题型8 一元一次不等式（组）中的错解问题 题型20 十字相乘法的阅读 题型9 幂的混合运算应用 题型21 因式分解的综合应用 题型10 多项式乘积不含某项求字母的值 题型11 平方差公式与几何图形 题型12 综合应用公式法分解因式 题型1 平方根立方根的取值范围问题（共6小题） 一、单选题 1．（22-23七年级下·甘肃武威·期中）估计的大小应在（   ） A．8.5与9.0之间 B．8.0与8.5之间 C．7与8之间 D．9与10之间 【答案】A 【分析】先找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的范围． 【详解】解：∵， ∴，排除C和D， 又∵， ∴的大小应在8.5与9.0之间． 2．（24-25七年级下·重庆万州·期中）估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的估算能力， 通过比较平方数确定 的取值范围，然后计算 的区间． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 因此值在2和3之间 故选：C． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25七年级下·云南大理·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张圆形绣布，面积为51（注：取3），下列关于这张绣布半径的说法正确的是（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了算数平方根的估算， 根据圆的面积公式求出，即可得出答案 【详解】解：设圆的半径是r， 根据题意得， 解得. ∵， ∴r在之间. 故选：C 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察表格中的数据：由表格中的数据可知（   ） x 42 43 44 45 46 47 48 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 根据题意得到在之间，得到在之间，即可得到答案． 【详解】解：， 在之间， 在之间， 故选：C． 6．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）有一款计算器，显示屏最多能显示14位（包括小数点）的数，例如：计算时，显示于显示屏．现在，想利用这款计算器知道中3的下一位数字是什么，可以用这款计算器计算下面（    ）的值． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，理解题意是解本题的关键，先分别计算各选项的近似值，再与题干信息比较即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，有14位，不符合题意； ，有13位，符合题意； ，有14位，不符合题意； ，有14位，不符合题意； 故选B 题型2 平方根与立方根的综合应用（共6小题） 7．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义是解题的关键．根据是8的立方根，求出，再根据算术平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵是8的立方根， ∴， ∴的算术平方根是． 故选：C． 8．（23-24七年级下·山东滨州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解． 【详解】解：的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 9．（21-22七年级下·安徽宣城·期中）已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根（    ）． A． B．12 C．13 D． 【答案】C 【分析】根据平方根，立方根的定义即可得到x、y的值，最后代入求解，再计算出其算术平方根即可得到答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， 又∵的立方根是3， ∴， ∴把x的值代入解得： ， ∴， ∴， ∴的算术平方根为， 故答案选：C． 【点睛】此题考查了平方根，立方根的概念，解题关键是根据定义判断出一个非负数的算术平方根，借助乘方运算来寻找答案． 10．（21-22七年级下·山东济宁·期中）的立方根是（　　） A． B．4 C．8 D．2 【答案】D 【分析】先根据算术平方根求得=8，再由立方根概念“一个数x的立方等于a，那么x就叫做a的立方根”求解即可． 【详解】解：∵=8， ∴8的立方根是2， ∴的立方根是2， 故选：D． 【点睛】本题考查算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根和由立方根概念是解题的关键． 11．（21-22七年级下·云南昆明·期中）如果的算术平方根是2，27的立方根是，则（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据算术平方根以及立方根算出、即可得到答案． 【详解】解：的算术平方根是2， ， ， 27的立方根是， ，即， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键． 12．（20-21七年级下·安徽芜湖·期中）计算﹣﹣的结果为（    ） A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10 【答案】B 【分析】根据算术平方根、立方根的定义计算即可． 【详解】解：﹣﹣ ． 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的运算，正确的计算算术平方根、立方根是解题的关键． 题型3 实数的新定义运算（共6小题） 13．（20-21七年级下·河北沧州·期中）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（　　） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，根据，得，再解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 14．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数，例如，则的运算结果为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考算术平方根，实数的新定义运算，能够熟练运用新运算法则是解题关键． 根据定义计算即可． 【详解】解：∵ ∴，． 故选：D． 15．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）定义运算：．例如：．若，则的值是（　　） A．3 B． C． D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，平方根的性质，正确理解题意是解题的关键． 首先根据定义的运算法则得到，然后整理得到，然后利用平方根的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 16．（24-25七年级下·广东湛江·期中）对于任意不相等的两个数，定义一种运算“*”如下，如，计算：（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下实数的运算，算术平方根，先依据定义列出算式，然后再进行计算即可，正确理解计算公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 17．（24-25七年级下·云南昆明·期中）现对实数a，b定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根，立方根和新定义实数运算，先计算，，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ． 故选：A． 18．（24-25七年级下·湖南永州·期中）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如，，．对数99进行如下操作：99第1次第2次第3次，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似的，使数2025变为1需要进行操作的次数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据表 示不大于x的最大整数，结合定义的新运算和无理数的估算进行求解． 【详解】解：． ∴对只需进行4次操作后变为1． 故选：B． 题型4 实数运算的规律探究（共6小题） 19．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可． 【详解】解：，，，， ∴第个数为， ∴第8个数为； 故选C． 20．（23-24七年级下·四川泸州·期中）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与实数规律有关的计算，根据已知等式，得到，进而求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵，…， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选D． 21．（22-23七年级下·广东江门·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，， ，，， ，…则按此规律可推得这一列数中的第个数应是( ) A． B． C． D．2023 【答案】B 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2023个数． 【详解】解：∵一列实数：，，，，，， ，，， ，…， ∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数、算术平方根、立方根， ∵， ∴这一列数中的第2023个数应是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解． 22．（20-21七年级下·湖北武汉·期中）已知按照一定规律排成的一列实数： ﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（    ） A． B．﹣ C． D．2021 【答案】A 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2021个数． 【详解】解：∵一列实数：﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…， ∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的负的算术平方根、算术平方根、立方根， ∵2021÷3＝673…2， ∴这一列数中的第2021个数应是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解． 23．（20-21七年级下·湖北武汉·期中）已知T1=，T2=，T3=，，Tn=，其中为正整数．设Sn=T1+T2+T3++Tn，则S2021值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数字间的规律探索列式计算 【详解】解：由题意可得：T1=， T2=， T3= ∴Tn= ∴T2021= ∴S2021=T1+T2+T3++T2021 = = = = = = = 故选：A． 【点睛】本题考查实数数字类的规律探索，探索规律，准确计算是解题关键． 24．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，在计算1、，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是，表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 表示的数是，表示的数是5，， 可知以，两个数一环出现， ∵， ∴， 故选：A． 题型5 求一元一次不等式（组）解的最值（共6小题） 25．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数的取值范围，从而求出的最大值． 【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是， ∴这两个正整数解为和， 要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）； 同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解）， ∴， ∴的最大值为． 故选：D． 26．（23-24七年级下·陕西商洛·期中）若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 27．（21-22七年级下·江苏南通·期中）已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，将问题转化为解不等式是解题的关键． 由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和 约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ 。 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴ 的最大值为 ， 此时， 故最大值为， 故选：B． 28．（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 29．（20-21七年级下·重庆南岸·期中）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出不等式的解集，然后根据的解都是不等式的解进行求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式的解集是解题的关键． 30．（24-25七年级下·河北雄安·期中）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 题型6 用一元一次不等式与几何综合问题（共6小题） 31．（24-25七年级下·河北雄安·期中）数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得，解一元一次不等式即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧， ∴， 解得：， ∴x的值可以是， 故选：A． 32．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 33．（22-23七年级下·湖南益阳·期中）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 34．（21-22七年级下·河南驻马店·期中）现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先计算出每个小正方体的棱长，再计算出木板的长度，后建立不等式求不等式的整数解即可． 【详解】解：∵体积是125的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块， ∴每一块的棱长l＝2.5cm， ∵长方形面积是36 ，长方形木板的长是宽的4倍， 设宽为x cm，长为4x cm， x•4x＝36， 得：x＝3， ∴长为12 cm，根据题意,得2.5n≤12， ∴n≤4.8， ∵n是正整数， ∴n的最大值是4． 故选：C． 【点睛】本题考查了立方体的体积，长方形的面积，算术平方根即平方根中的正的那个，不等式的整数解，熟练求不等式的整数解是解题的关键． 35．（21-22七年级下·河南驻马店·期中）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，计算p的值，代入中，利用不等式求出它的最大值． 【详解】∵a=3，b+c=5， ∴p=； =4（bc-4）==9， 当且仅当b=c=2.5时取等号， ∴, ∴这个三角形的面积的最大值是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式和基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，解题的关键是列出不等式． 36．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）现有一段围墙长20米，王伯伯想紧靠这段围墙圈一块长方形空地作为兔舍饲养小兔．已知他圈好的空地如图所示，是一个长方形，它的一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．设垂直于墙的一边的长度为米，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意可得平行于墙的一边的长为米，垂直于墙的长度要大于0，平行于墙的长度大于0且不能超过墙的长度，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边的长为米， ∴， 解得， 故选：B． 题型7 一元一次不等式（组）中的参数问题（共6小题） 37．（21-22七年级下·四川遂宁·期中）关于x的不等式组的解集为，则a、b的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式组的解集得到一个关于a和b的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：不等式组的解集为， ， 解得． 38．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，根据整数解的个数求出关于的不等式组是解题关键． 先解不等式组，得到解集范围，再根据有4个整数解（即2，3，4，5）确定上界条件，从而求出a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 不等式组的解集为 ； 有且只有4个整数解，即整数解为2，3，4，5， ； 解 得 ，即 ， 解 得 ，即 ， ， 故选：D． 39．（21-22七年级下·四川内江·期中）已知不等式组的解集为，则（　　） A．2016 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解，能够通过不等式的解集得到参数的取值范围是解题关键． 先解不等式组，得到解集的范围，再根据给定的解集求出参数的值，最后计算幂． 【详解】解：解不等式组： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 不等式组的解集为 ． 给定解集为 ， ∴ ， 解得 ， 代入得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 40．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）小程在解“已知关于的不等式组的所有整数解的和为，求的取值范围”这题时，墨水把题中的条件给挡住了，通过翻阅参考答案发现的取值范围是或，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】解每个不等式得出不等式组的解集为，然后由或得到或，分别求出整数解，然后求和即可． 本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的能力． 【详解】解：∵ ∴由，得出， 由，得出， ∴不等式组的解集为， ∵的取值范围是或， ∴或， ∴当时，整数解为，0，1，2，3，和为； 当时，整数解为2，3，和为； 综上所述，的值为5． 故选：A． 41．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若关于的方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的值之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由得和，再结合关于的不等式组的解集为，得，解得，根据得，再结合于的方程有非负整数解，得出或或，即可作答． 【详解】解：∵， ∴由得， 解得； 由得， ∴， ∴， 解得， ∵关于的不等式组的解集为， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∵关于的方程有非负整数解， ∴， ∴ ∴， ∵为整数， ∴或或或或， 当时，则，是整数，符合题意； 当时，则，不是整数，不符合题意； 当时，则，是整数，符合题意； 当时，则，不是整数，不符合题意； 当时，则，是整数，符合题意； ∴或或， ∴． 故选：A 42．（2022七年级下·重庆九龙坡·期中）关于，的方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有一个偶数解，则所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程组的解为整数，可得是偶数，由不等式组有且仅有一个偶数解，知这个偶数解为，从而，可得，即可得到答案． 【详解】解：∵方程组 ∴，这两个方程相加，得 ∴，这两个方程相减，得 即， 方程组的解为整数， 是偶数， 由不等式组可得， 不等式组有且仅有一个偶数解， 这个偶数解为， ， ， 可取，， 所有满足条件的整数的和为． 题型8 一元一次不等式（组）中的错解问题（共6小题） 43．（24-25七年级下·上海闵行·期中）解不等式，小聪的解题过程如下： ①；②；③；④． 这个结果是错的，其中造成解答错误的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 根据解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 移项，得 合并同类项，得 将系数化为1，得 故选A． 44．（24-25七年级下·广西百色·期中）解不等式的过程中，错误之处是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把未知数的系数化为1，再逐一比对即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得． ∴A，B，C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 45．（24-25七年级下·四川成都·期中）下列解不等式的过程：去分母，得；去括号，得；移项，得；合并同类项，得；系数化为，得．其中，开始出现错误的一步是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的一般步骤逐一排除即可，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键． 【详解】解：∵原不等式：， 去分母（两边乘）：， ∴（步骤正确）， 去括号：（步骤正确）， 移项：（步骤正确）， 合并同类项：（步骤正确）， 系数化为（两边乘，不等号方向改变）：， 但步骤得，错误，故开始出现错误的一步是， 故选：． 46．（24-25七年级下·全国·课后作业）解不等式的过程如图所示，开始出现错误的步骤是（    ） 解：， 去分母，得，    第一步 移项，得，    第二步 合并同类项，得，    第三步 系数化为1，得．    第四步 A．第四步 B．第三步 C．第二步 D．第一步 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，去分母时的乘法分配律，掌握解不等式去分母时，每一项都要乘以公分母，注意括号内的符号变化是解题的关键． 检查解不等式的每一步，重点在于去分母时是否正确处理符号和分配律． 【详解】解：∵原不等式为 ， 去分母时，两边应同乘， 左边： ， 右边： ， ∴正确结果应为 ， 但步骤中写为 ，即 ， ∴第一步错误，开始出现错误的步骤是第一步． 故选：D． 47．（24-25七年级下·陕西西安·期中）下列解不等式的过程中出现错误的一步是（    ） A．去分母，得 B．去括号，得 C．移项，合并同类项，得 D．两边都除以，得 【答案】D 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解：， 去分母，得，故A正确，不符合题意； 去括号，得，故B正确，不符合题意； 移项，合并同类项，得，故C正确，不符合题意； 两边都除以，得，故D错误，符合题意； 故选：D． 48．（24-25七年级下·河北唐山·期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有甲 B．甲和乙 C．乙和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过“去分母，移项、合并同类项，化系数为”解不等式即可，掌握一元一次不等式解法是解题的关键． 【详解】解：由去分母，得，故甲步骤错误； 由系数化为，得，故丁步骤错误， 综上甲、丁步骤错误， 故选：． 题型9 幂的混合运算应用（共6小题） 49．（24-25七年级下·江西南昌·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用负整数指数幂，以及幂的运算法则，计算求解，即可解题． 【详解】解：． 50．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的运算法则即可求解． 此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知积的乘方公式和同底数幂的除法公式． 【详解】， 故选D． 51．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则分别计算两部分，再合并同类项即可得到结果． 【详解】解： ． 52．（2021七年级下·全国·专题练习）若，则的值是(   ). A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【分析】直接利用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，求出，再代入中计算出结果 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算，解题的关键是：正确掌握相关运算法则． 53．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 54．（21-22七年级下·山西晋中·期中）下面是小颖同学和小芳同学计算（a•a2）3的过程： 解：小颖：（a•a2）3＝a3•（a2）3…① ＝a3•a6…② ＝a9…③ 小芳：（a•a2）3＝（a3）3…① ＝a9…② 则她们步骤依据的运算性质依次分别是（　　） A．积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的乘法，幂的乘方 B．幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的乘法 C．同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，幂的乘方，积的乘方 D．幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，幂的乘方 【答案】A 【分析】根据幂得运算法则进行扽西判断即可． 【详解】由幂的运算法则，有： 小颖：①为积的乘方，②为幂的乘方，③为同底数幂的乘法， 小芳：①为同底数幂的乘法，②为幂的乘方． 【点睛】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算法则是关键． 题型10 多项式乘积不含某项求字母的值（共6小题） 55．（24-25七年级下·江苏·期中）若展开后不含x的一次项，且常数项为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先根据多项式乘多项式法则把展开，再根据展开后不含x的一次项，且常数项为，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b，再代入即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含x的一次项，且常数项为， ∴，， 由得：， 把代入得：， ∴． 56．（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）使乘积中不含和项的，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先根据多项式乘以多项式把展开，再合并同类项，让和项的系数为0即可． 【详解】解：原式, ∵乘积中不含和项， ∴， 解得． 故选：A． 57．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）若的结果中不含x项，则a的值为（ ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先展开原式合并同类项，再令x项的系数为0，即可求解a的值． 【详解】解： ∵ 结果中不含x项， ∴ x项的系数为，即， 解得∶． 58．（21-22六年级下·山东烟台·期中）若的结果中关于x的二次项的系数为，则a的值为（    ） A．3 B． C． D．53 【答案】C 【分析】首先将化简，然后根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解： ∵的结果中关于x的二次项的系数为， ∴ ∴． 59．（24-25七年级下·广西桂林·期中）若的展开式中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，根据展开式中不含项可知，项的系数为0，即可得解． 【详解】解： 展开式中不含项， ， 解得：． 60．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）若关于x的多项式与的乘积中不含项，则乘积的一次项系数为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，然后根据不含二次项，得到关于待定字母的方程求解． 【详解】解：由题意得 ， ∵关于x的多项式与的乘积中不含项， ∴， 解得， ∴乘积的一次项系数为． 题型11 平方差公式与几何图形（共6小题） 61．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，由图1中大正方形的面积小正方形的面积图2长方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由题意，； 故选D． 62．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，将一个边长为的大正方形一边增加，另一边减少，根据图形的变化可以验证下列哪一个等式成立（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，根据题意可得变化后的长方形的长为，宽为可得． 【详解】解：根据题意得变化后的长方形的长为，宽为， 故：． 故选：C． 63．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，在边长为的正方形中，减去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，利用图形面积相等建立等式是解题的关键． 分别表示出两个图形中阴影部分的面积，根据阴影部分面积相等即可得到答案． 【详解】解：∵正方形中，， 梯形中，， ∴关于、的恒等式为：． 故选：C． 64．（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出两个图形阴影部分的面积，进而根据两个图形阴影部分面积相等即可得出等式，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，第一个图形阴影部分的面积为，第二个图形阴影部分的面积为， ∵两个图形阴影部分面积相等， ∴等式为， 故选：D． 65．（24-25七年级下·全国·期中）如图1，将一个底边为，高为的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是解决问题的关键． 根据图1和图2用代数式分别表示（1）（2）两部分的面积和，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论． 【详解】解：图1是由（1）（2）两部分拼成的底为，高为的平行四边形，因此面积为， 图2中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即， 因此有， 故选：D． 66．（24-25七年级下·四川眉山·期中）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 故选：C． 题型12 综合应用公式法分解因式（共6小题） 67．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】分解：原式， 故选：D． 68．（24-25七年级下·陕西安康·期中）已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 69．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）设a，b，c是三角形的三边，则多项式的值（    ） A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．无法确定 【答案】C 【分析】先将原式进行因式分解可得，然后根据三角形的三边关系可得，即可求解． 【详解】解： ， ∵a，b，c是三角形的三边， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，三角形的三边关系，熟练掌握多项式的因式分解的方法，三角形的三边关系是解题的关键． 70．（20-21七年级·全国·期中）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方差公式因式分解可得，又因为可得，进而求得． 【详解】解：∵ ，， ∴ ∴ 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握乘法公式是快速解决本题的关键． 71．（22-23七年级下·全国·期中）将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 72．（24-25七年级下·福建泉州·期中）小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 【答案】C 【分析】灵活运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．先对式子提取公因式，再利用平方差公式分解，最后结合已知的式子与汉字的对应关系，得出结果呈现的密码信息． 【详解】解：， 又根据平方差公式可得，， 原式， 已知对应关系为对应安，对应爱，对应惠，对应我， 四个因式对应的汉字为我、爱、惠、安，结果呈现的密码信息是我爱惠安． 题型13 实数运算的实际应用（共4小题） 73．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 74．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 75．（23-24七年级下·河南商丘·期中） 阅读下列材料∶ 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小诚和小乐分别用自己的方法进行了验证： 小诚：而，， ，即． 小乐：，，这就说明， 与都是 的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 ． 回答以下问题： (1)结合材料直接写出当，时， 和 之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； ； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为 ，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)； (3)20 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）由题意可得当，时，； （2）根据法则计算； ； （3）由长方形的面积可知． 【详解】（1）当，时， ； （2）； ， （3）根据题意得：长方形的面积为． 76．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 题型14 一元一次不等式（组）的分配问题（共4小题） 77．（21-22七年级下·江苏南通·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】(1)A种产品应生产件，B种产品生产件； (2)有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； (3)生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 【详解】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 78．（24-25七年级下·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 79．（24-25七年级下·湖南永州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元 (2)该商家有3种进货方案，方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个；方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个；方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键： （1）设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元，根据购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃，根据该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元， 依题意，得：， 解得：； 答：每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元． （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃， 依题意，得：解得： 是整数， ， 当时，； 当时，； 当时，； 答：该商家有3种进货方案， 方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个； 方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个； 方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个． 80．（24-25七年级下·浙江金华·期中）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】(1)A型50元，B型100元； (2)A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． 题型15 一元一次不等式（组）的方案选择问题（共4小题） 81．（24-25七年级下·四川成都·期中）小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算． 【答案】(1)每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元 (2)共有种采购方案 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解得到两种产品的成本； （2）根据总费用不超过1800元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数，即可得到采购方案的数量． 【详解】（1）解：设每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元，根据题意可得 解得 答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元． （2）解：设购进纪念徽章个，则购进吉祥摆件个，为正整数， 根据题意可得 解得， 因为为正整数，所以的取值为 的可取值个数为 答：小王共有种采购方案． 82．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）某初中519名学生和20名教师参加春游活动，现有A、B两种公交车型可供租用，且A、B两种公交车型核载人数分别为35人辆、28人辆．已知租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元． (1)求租用每辆A型客车与每辆B型客车各需要多少元； (2)若要求此次租车共18辆，且总租金不高于6200元，请问有几种租车方案？ 【答案】(1)租用每辆A型客车需要350元，每辆B型客车需要336元 (2)共有6种租车方案 【分析】（1）设租用每辆A型客车需要元，每辆B型客车需要元，根据租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元，列出方程组进行求解即可； （2）设租用A型客车辆，则租用B型客车辆，根据题意，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设租用每辆A型客车需要元，每辆B型客车需要元，由题意，得： ， 解得； 答：租用每辆A型客车需要350元，每辆B型客车需要336元； （2）解：设租用A型客车辆，则租用B型客车辆，由题意，得： ， 解得， ∵为整数， ∴， ∴共有6种租车方案． 83．（21-22七年级下·吉林长春·期中）某学校为奖励在趣味运动会上取得好成绩的学生，计划购买“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件作为奖品，两种挂件一共买个．其中“冰墩墩”挂件每个元，“雪容融”挂件每个元． (1)如果购买“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件共花费元，求两种挂件各购买了多少个？ (2)如果购买“冰墩墩”挂件的数量超过个，总费用又不超过元，那么该学校共有哪几种不同的购买方案？哪种方案费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1)购买“冰墩墩”挂件个，“雪容融”挂件个； (2) 一共有三种购买方案：方案一：当购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个；方案二：当购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个；方案三：当购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个；选择购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个，这种方案的总花费最小，最小为元． 【分析】（1）设购买“冰墩墩”挂件个，“雪容融”挂件个，根据“两种挂件一共买个，两种挂件共花费元”列出方程组求解即可； （2）设购买“冰墩墩”挂件个，购买“雪容融”挂件个，然后根据“购买“冰墩墩”挂件的数量超过个，总费用又不超过元”，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设购买“冰墩墩”挂件个，“雪容融”挂件个， 由题意得：， 解得， 答：购买“冰墩墩”挂件个，“雪容融”挂件个． （2）设购买“冰墩墩”挂件个，购买“雪容融”挂件个， 由题意得：， 解得， 是正整数， 或或， 一共有三种购买方案： 方案一：当购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个，总花费为元， 方案二：当购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个，总花费为元， 方案三：当购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个，总花费为元， ， 选择购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个，这种方案的总花费最小，最小为元， 答：一共有三种购买方案：方案一：当购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个； 方案二：当购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个； 方案三：当购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个； 选择购买“冰墩墩”挂件个时，购买“雪容融”挂件个，这种方案的总花费最小，最小为元． 84．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用1辆A型大巴车和2辆B型大巴车，共需费用1100元；4辆A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)租用1辆A型大巴车需500元，租用1辆B型大巴车需300元； (2)共有3种租车方案，方案1：租用10辆A型大巴车，20辆B型大巴车；方案2：租用11辆A型大巴车，19辆B型大巴车；方案3：租用12辆A型大巴车，18辆B型大巴车； (3)采用方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 【分析】设租用1辆A型大巴车需x元，租用1辆B型大巴车需y元，根据“租用1辆A型大巴车和2辆B型大巴车，共需费用1100元；4辆A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用m辆A型大巴车，则租用辆B型大巴车，根据“租用A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各租车方案； （3）求出各租车方案所需总费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设租用1辆A型大巴车需x元，租用1辆B型大巴车需y元， 根据题意得：， 解得： 答：租用1辆A型大巴车需500元，租用1辆B型大巴车需300元； （2）设租用m辆A型大巴车，则租用辆B型大巴车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为10，11，12， 共有3种租车方案， 方案1：租用10辆A型大巴车，20辆B型大巴车； 方案2：租用11辆A型大巴车，19辆B型大巴车； 方案3：租用12辆A型大巴车，18辆B型大巴车； （3）选择方案1所需总费用为元 选择方案2所需总费用为元 选择方案3所需总费用为元， ， 采用方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 题型16一元一次不等式（组）的阶梯收费问题（共2小题） 85．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 86．（24-25七年级下·浙江台州·期中）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 题型17一元一次不等式（组）与数轴综合问题（共2小题） 87．已知：点、在数轴上的位置如图所示，为原点，点对应的数是90．点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点运动，同时点从点出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向点运动（当点运动到点时，点、均停止运动）．设运动的时间为秒．    (1)若、两点相遇，求的值；； (2)若、两点相距18个单位长度，求的值； (3)若在、相遇前，线段之间只有10个整数点（不包括点、点），求的取值范围． 【答案】(1)秒 (2)秒或秒 (3) 【分析】（1）由两点的路程之和等于90，再列方程求解即可； （2）由两点的路程之和等于或，再列方程求解即可； （3）设这10个整数为、、、、、，则可得，解得，由①、②有公共部分，可得，解得：，再确定k的整数值，从而可得答案． 【详解】（1）解：设经过后，点A、B相遇． 依题意，得， 解得：． 答：经过秒钟后，点A、B相遇； （2）设经过（），A、B两点相距，依题意， 得：或， 解得，或． 综上所述，或． 答：经过秒或秒后，A、B两点相距； （3）设这10个整数为、、、、、，则 解得： 有解 ①、②有公共部分 解得： 为整数 将代入①、②，得： ． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，建立准确的方程与不等式组是解本题的关键． 88．对于数轴上两条线段，给出如下定义：若线段的中点H与线段上点的最小距离不超过1，则称线段是线段的“限中距线段”． 已知：如图，在数轴上点P，M，N表示的数分别为，1，2． (1)设点Q表示的数为m，若线段是线段的“限中距线段”， ①m的值可以是_________； A．1      B．6      C．14 ②m的最大值是_________； (2)点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒． 当时，若线段的“限中距线段”的长度恰好与的值相等，求出的中点H所表示的数； (3)点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，同时线段以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．若对于线段上任意一点Q，都有线段是线段的“限中距线段”，则t的最小值为_________，最大值为_________． 【答案】(1)①B；②12 (2) (3)， 【分析】（1）的中点表示的数是，可得，故，①由可得答案；②由得的最大值为12； （2）设表示的数是，根据线段的“限中距线段” 的长度恰好与的值相等，且，有，可得，即可得的中点所表示的数是； （3）根据题意，表示的数是，表示的数是，表示的数是，设表示的数是，则，又线段是线段的“限中距线段”，有，从而，由得，由得，即可得答案． 【详解】（1）解：表示的数是，表示的数是， 的中点表示的数是， 根据题意得， ， ①由可知，当时，线段是线段的“限中距线段”， 故答案为：B； ②由可知，线段是线段的“限中距线段“，的最大值为12， 故答案为：12； （2）设表示的数是，根据题意知表示的数是， 的中点所表示的数是， 线段的“限中距线段” 的长度恰好与的值相等，且， ， ， ， 的中点所表示的数是； （3）根据题意，表示的数是，表示的数是，表示的数是， 设表示的数是，则， 线段是线段的“限中距线段”， ， 解得， 由得， 由得， ， 最小值为，最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题教材一元一次方程和一元一次不等式组的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“限中距线段”的概念． 题型18 多项式乘法的综合应用（共4小题） 89．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，如图，已知该地块是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a，b的式子表示种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求此时种植区的总面积S． 【答案】(1)平方米 (2)此时种植区的总面积S为108平方米 【分析】（1）用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将，代入（1）中代数式求解即可． 【详解】（1）解： 平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：此时种植区的总面积S为108平方米． 90．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）一些平面几何图形的面积，可以用代数恒等式来表示． 例如：图①就可以用等式来表示该几何图形的面积． (1)请写出图②所表示的代数恒等式：__________________； (2)请写出图③所表示的代数恒等式：__________________； (3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）图（2）中，大长方形面积为，图形中包括了两个边长为x的正方形，三个边长为x、y的长方形，一个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式； （2）图（3）中，大长方形面积为，图形中包括了两个边长为x的正方形，五个边长为x、y的长方形，二个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式； （3）根据题意，画出长为，宽为的长方形，再将图形划分，利用面积关系说明等式． 【详解】（1）解：由图（2）的面积关系可知，； 故答案为； （2）解：由图（3）的面积关系可知，； 故答案为； （3）解：以长为，宽为画长方形，如图所示， 由图可知，． 91．（24-25七年级下·山东青岛·期中）观察下列各式： ； ； ； … (1)你能否由此归纳出一般性规律：______； (2)根据以上规律解决： ①； ②，则______． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据题干中给出的等式，即可得出规律； （2）①将原式化为，利用规律求解即可；②根据规律得到，进而得到，再进行计算即可. 【详解】（1）解：由题意可知：； （2）解：①原式 ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，. 92．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图，并直接写出 ； (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 ； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，随着的长度变化时，当a、b之间满足怎样的数量关系时，S的值始终保持不变，请说明理由． 【答案】(1)拼图见解析， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）画一个边长分别为和的长方形，然后根据图形求解即可； （2）利用正方形的面积即可解决问题； （3）设，根据题意可得则可求出，根据S的值与无关得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， 根据图形可知：； （2）解：选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，可以得到一个边长为的正方形， 剪出中间正方形作为第四种D型卡片，可知D型卡片的面积为一个边长为的正方形的面积减去4张C型卡片的面积，即：， 由图可得D型卡片是一个边长为的正方形， 由正方形的面积为边长的平方可知：； （3）解：设， 根据题意，得， ， ∴ ， ∵随着的长度变化，S的值始终保持不变 ∴， ∴， ∴当时，随着的长度变化，S的值始终保持不变． 题型19 完全平方公式在几何图形中的应用（共4小题） 93．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）利用拼图常常可以得到一些有应用价值的等式，方法是把所给的图形以不同的方式拼成不同形状的图形，把图形面积用不同的代数式表示，由于拼图前后的面积相等，从而相应的代数式的值也相等，进而得到等式． (1)【初步应用】 如图，通过计算阴影部分面积，写出一个等式：________（用图中字母表示）． (2)【深入探究】 ①构造图形计算； ②计算________．（直接写出结果） (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）阴影部分的面积等于4个长方形的面积之和，阴影部分的面积又等于大正方形的面积减去小正方形的面积，据此用两种方法分别表示出阴影部分的面积即可得到答案； （2）①把边长为的正方形分割成三个边长为a、b、c的正方形，2个长为b，宽为a的长方形，2个长为c，宽为a的长方形，2个长为c，宽为b的长方形，根据图形面积之间的关系列式求解即可；②把中的换成，c换成3，再根据（2）①的结论求解即可； （3）根据（2）所求可得，则可求出，进而得到，则可推出；证明，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，阴影部分的面积等于4个长为a，宽为b的长方形面积之和，则阴影部分的面积为； 阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积减去边长为的正方形的面积，则阴影部分的面积为， ∴； （2）解：①如图所示，最大的正方形面积等于三个边长为a、b、c的正方形的面积之和加上2个长为b，宽为a的长方形面积，加上2个长为c，宽为a的长方形的面积，再加上2个长为c，宽为b的长方形面积， ∴． ②由（2）①可得 ． （3）解：∵， ∴，即， ∵， ∴，即 ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 94．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得等式__________； (2)根据图2所得的公式，若，，求的值； (3)如图3，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在三角形和三角形区域内种花，在三角形和三角形的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】(1) (2)54 (3)种草区域的面积和为平方米 【分析】（1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）根据求解即可； （3）设米，米，由题意得，米，，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ； （2）解：因为，， 所以； （3）解：设米，米， 由题意得，米，， 即， 因为， 所以，解得， 所以种草区域的面积和为（平方米）． 95．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为米的空白的正方形地块将修建一个凉亭． (1)用含有a，b的式子表示绿化总面积． (2)若，，求出此时的绿化总面积． 【答案】(1)平方米 (2)179平方米 【分析】（1）用长方形的面积减去中间正方形的面积即可用含有a，b的式子表示出绿化总面积； （2）把a，b的数值代入（1）中的式子即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，长方形地块面积（平方米）， 正方形地块面积（平方米）， ∵绿化总面积＝长方形地块面积－正方形地块面积， ∴绿化总面积（平方米）． （2）解：，， ∴绿化总面积（平方米）． 96．（24-25七年级下·陕西西安·期中）将四个长为a，宽为b的长方形（如图1），拼成如图2的“回形”正方形和正方形． (1)观察与发现：请你观察图2直接写出，，之间的一个等量关系式为 ； (2)运用与探究：根据（1）的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)实践与拓展：将两个正方形、按如图3摆放（点H与点A重合），若两个正方形面积之和为106，，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1) (2) (3)28 【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个小长方形面积和小正方形面积之和，可得结论； （2）利用（1）中关系式计算可得结论； （3）利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可． 【详解】（1）解：图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，四个长方形的面积和为， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． （3）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 由题意得，，， ∵，即， ∴， 又∵，而， ∴， ∴ ． 题型20 十字相乘法的阅读（共3小题） 97．（24-25七年级下·陕西西安·期中）根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①把化为，然后利用十字相乘法分解因式； ②把化为，然后利用十字相乘法分解因式； （2）先把多项式看作关于的二次三项式，然后利用十字相乘法分解因式； （3）先把多项式分成和两组，再把两组分别分解，然后利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 98．（24-25七年级下·江西·期中）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)7或或2或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘再相加得到，据此可得答案． （2）把展开，得出，，把分解成两个整数的乘积形式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数，且， ∴或或或或或或或 ∴或或或或或或或 ∴整数p的所有可能值为7或或2或． 99．（24-25七年级下·山东临沂·期中）阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 【答案】（1）；（2）；（3），画图见解析 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键； 任务一：（1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由题意得一次项系数为：2，二次项系数是1，常数项，一次项系数，再利用十字相乘法分解因式即可； 任务二：（3）根据提示方法求解即可． 【详解】解：任务一：（1） ； （2） ； 任务二：（3） ，二次项系数是1，常数项，一次项系数， ∴， 如图 故答案为：． 题型21 因式分解的综合应用（共3小题） 100．（22-23七年级下·广东深圳·期中）阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： (1)因式分解： ①； ②； (2)对关于的多项式因式分解：． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查了新定义“凑数法”因式分解，正确理解阅读材料中的思维方法是解答本题的关键． （1）①根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，进一步推理后又可凑得，，即得答案； ②根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，，进一步推理后又可凑得，，即得答案； （2）设，则，同样可先凑答案，，代入关系式得，比较系数可得，，针对b，d，可进行讨论，并逐一验证，可得，符合题意，即得答案． 【详解】（1）①由题意得，，，， 所以可凑数，， 故； ②由题意得，，，， 所以可凑数，， 则，， 又可凑数，， 故； （2）设， 则， 凑数，， ， ，， 分四种情况讨论： 当，时，代入，不成立，舍去； 当，时，代入，不成立，舍去； 当，时，代入，成立，符合题意； 当，时，代入，不成立，舍去； 所以只有，， 故． 101．（2023七年级下·浙江·专题练习）材料一：一个正整数x能写成（a，b均为正整数，且），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时． 例如：，24为“雪松数”，7和5为24的一个平方差分解，，，因为，所以9和7为32的最佳平方差分解，； 材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”． 根据材料回答： (1)请直接写出两个“雪松数”，并分别写出它们的一对平方差分解； (2)试证明10不是：“雪松数”； (3)若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的最大值为14824013 【分析】本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键． （1）根据“雪松数”的特征即可得到结论； （2）根据题意即可得到结论； （3）设（a，b均为正整数，且），另一个“南麓数”为（m，n均为正整数，且），根据“南麓数”的特征即可得到结论． 【详解】（1）解：； （2）解：若10是“雪松数”， 则可设（a，b均为正整数，且）， 则， 又∵， ∵a，b均为正整数， ∴， ∴，或， 解得：或， 与a，b均为正整数矛盾， 故10不是“雪松数”； （3）解：设（a，b均为正整数，且），另一个“南麓数”为（m，n均为正整数，且）， 则， ∴， 整理得， ∵a，b，m，n均为正整数， ∴， 经探究，，符合题意， ∴t的值分别为：2772，5445， 设， 当时，，则， 当时，，则， ∴的最大值为14824013． 102．（20-21七年级下·浙江嘉兴·期中）已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示． （1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式； （2）请通过拼图的方式画出一个面积为的长方形示意图，并写出其因式分解的结果； （3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？ 【答案】(1)；（2）画图见解析，；（3）266． 【分析】(1)用面积和差和长方形面积公式分别计算即可； (2)根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形即可，根据面积的不同求法可写成因式分解结果； (3)根据题意列出方程，求出即可． 【详解】解：(1)用面积和差计算得：； 用长方形面积公式计算得：； 可得等式为：； (2) 根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形，如图所示： 根据面积公式可得，； (3) （2）中拼成的长方形周长为66，则， 解得，， ∴，即， 图1中小长方形的面积为24，则， 则， ； 拼成的长方形面积是266． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，树立数形结合思想，利用面积法列出等式是解题的关键． 1．解决问题 【问题发现】 (1)如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为_____，大正方形的边长为_____． 【知识迁移】 (2)设钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；边长为_____． 【拓展延伸】 (3)小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 【答案】(1)2， (2)1，13， (3)不可行，理由见详解 【分析】（1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可求解大正方形的面积，继而可求解边长； （2）根据直角三角形的长直角边减去短直角边即可求解小正方形的边长；根据大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积即可求解大正方形的面积，继而可求解边长； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程，计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：所得到的大正方形面积为， ∴边长为； （2）解：由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：； ∴边长为； （3）解：不可行，理由如下： 由题意可设裁出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 2．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_____；（填序号） ①；②；③ (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． （1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【详解】（1）解：解不等式组，得， 解方程得：； 解方程得：； 解方程得：， ∵，， ∴①②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：①②； （2）解：解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； （3）解：解方程得， 解方程得， ∵方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，， 所以分为两种情况：①当时，则， ∴不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以m的取值范围是． 3．有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 【答案】(1) (2)通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等 (3)当，选择套餐省钱 【分析】本题考查了一元一次方程以及一元一次不等式的生活应用，根据问题，把实际问题转化成相应的一元一次方程知识解答是解题的关键． （1）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，代入解答即可； （2）设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元，分类解答即可； （3）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元，分类计算可． 【详解】（1）解：设通话时长为分钟，根据题意得：套餐的通话费用计算方式为：， 当时， （元， 故答案为：； （2）解：设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元， 当两位老师的费用都是元时，根据题意得： ， 解得：； 当两位老师的费用超过元时，根据题意得： ， 解得． 故通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等． （3）解：设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元， 根据（2）解答得： 时，套餐便宜， 此时； 当时，套餐便宜， 此时； 故当，选择套餐省钱． 4．下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润，某汽车公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只能装一种蔬菜） 甲 乙 丙 每辆汽车能满装的吨数 2 1 1.5 每吨蔬菜可获得利润（百元） 5 7 4 公司计划用20辆汽车装运甲乙丙三种蔬菜36吨到某地销售（每种蔬菜不少于1车）， (1)试分析：有几种可能的方案？ (2)如何安排装运，可使公司获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)21种 (2)安排装运甲种蔬菜的汽车为18辆，乙种蔬菜的汽车为1辆，装运丙种蔬菜的汽车为1利润，最大利润为193百元 【分析】（1）设装运甲种蔬菜的汽车为x辆，乙种蔬菜的汽车为y辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆，根据题意列出二元一次方程，根据每种蔬菜不少于1车得到不等关系，即可求解； （2）设利润为w元，可以得到出，然后x取（1）中的数值，并根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：设装运甲种蔬菜的汽车为x辆，乙种蔬菜的汽车为y辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆， 根据题意，得， 化简得 ， ∴， ∵每种蔬菜不少于1车， ∴，，， ∴，， ∴当时，，2，3，4，5，6， 当时，，2，3，4，5， 当时，，2，3，4， 当时，，2，3， 当时，，2， 当时，， ∴一共有种方案； （2）解：设利润为w元， 根据题意得 ， 当时，， ∵ ∴， ∴w有最大值为， 当时，， ∵ ∴， ∴w有最大值为， 当时，， ∵， ∴， ∴w有最大值为， 当时，， ∵ ∴， ∴w有最大值为， 当时，， ∵ ∴， ∴w有最大值为， 当时，， ∴， 综上，安排装运甲种蔬菜的汽车为18辆，乙种蔬菜的汽车为1辆，装运丙种蔬菜的汽车为1辆时，公司获得最大利润，最大利润为193百元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用以及不等式组的应用，明确题意，正确列出方程与不等式，是解答本题的关键． 5．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2） ①；②；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、整式的混合运算-化简求值，熟练掌握以上知识点是关键； （1）根据几何图形面积计算方法填空即可； （2）利用图1图2的计算公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）图1中，，组成大正方形四部分面积之和， 即：， 图2中，， 即：， 故答案为：，； （2）①由图2可得， ，， ， ②由图1可得：， ， ， ， 故答案为：①；②13； （3）由题意可得， ， ， ， ， 6．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为______； (2)展开式共有______项，第19项系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式：______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5)四 【分析】本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）罗列后按照规律展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数是 ，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令 时代入展开式即可得到所求代数式的值； （5）将变形为展开后前项和是的倍数，所以 除结果的余数为，则有假如今天是星期五，那么再过 天是星期四． 【详解】（1）解：图中括号内的数为， 故答案为：； （2），展开式有项； ，展开式有 项，倒数第三项系数为； ，展开式有 项，倒数第三项系数为 ； ，展开式有项，倒数第三项系数为； 展开式有项，倒数第三项系数为 ； ……； 以此类推，展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数 ； 展开式共有项，第项系数为 ； 故答案为：；； （3）根据图示， 故答案为：； （4） ∴当时，， ； （5） (、、、、是一列常数) , ， 刚好是的整数倍， ∴除结果的余数为， ∴假如今天是星期五，那么再过天是星期四. 故答案为：四． 7．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)①③④⑤ (2)画图见解析， (3)9或21或12 【分析】本题考查整式乘法与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． （1）根据图形表示出两个正方形边长与a、b的关系、，结合面积加减计算逐个判断即可； （2）根据整式得到两个大正方形、两个小正方形、五个长方形，然后画出图形即可解答； （3）根据因式分解平方项凑长宽展开求解即可解答． 【详解】（1）解：由图形可得，、，故①正确， ∴，即②错误； 由图形可得，，即，即③正确； ∵、， ∴，即，即④正确； ∵，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． （2）解：由题意可得，图形如图所示， ∴． 故答案为：． （3）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． 故答案为：9或21或12． 8． (1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【答案】(1) (2)； (3)；43或 【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可． （2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可． 【详解】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以． 故答案为：． （2）①把二次项系数2写成，，满足，所以． 故答案为：． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足， 所以． 故答案为：． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件， 所以． 故答案为：． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件， 所以m=或m=， 故m的值为43或-78． 【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 91 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $