辽宁丹东市2026届高三教学质量监测（一模）数学试题

丹东市2026届高三教学质量监测 数学 总分150分 时间120分钟 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴 在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的 答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5,保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知全集U=N,A={x∈Nx>2},则C,A= A.{0,1,2} B.{0,1} C.1} D.{1,2} 2.双曲线二-x=1的离心率为 3 A.2 B.5 2W3 D. 3 3.复数z满足1 11,则水 A.1 B.√2 C.3 D.2 4.已知等比数列{a}的公比为q,命题s:{a}是递增数列，t:q>0,则s是t的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.一个口袋里装有大小形状完全相同的8个红球和2个白球，从中不放回的任取两个， 则取到一个是红球的条件下，另一个是白球的概率为 A.2 B. 11 c.16 D.7 5 18 数学试题第1页（共4页) 6.已知函数f(x)的定义域为R,若f(x)与f(x+2)都是奇函数，则 A.f1)=0B.f3)=0 C.f13)=0 D.f14=0 7.在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,AB=2CD=2,AD=V3,AC与BD 交于点O,点M满足CM=CB(0≤1≤1)，则AO.AM的取值范围是 A.传2 B.[2 c. D.习 8.已知>1，y>1且+61，则炒的最小值为 A.6 B.7 C.8 D.9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 文.记8是等若数列a)的前n项和，a)的公茶为d,号-号=2，号与号的爷装中 项为-2，则 A.S=5 B.d=2 C.S,最小 D.S<a 10.已知函数=sm(a+(@>0,水孕清足f爱=f-且fw在后 上恰有两个极值点，则 A.0=4 B. 3 c.f=f后0 D。四在区间（写苧上单调递鹕 3 11.记O为坐标原点，F为抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点，过点P(2P,2pP)作C的 切线l,1与y轴，x轴分别交于点Q,K,过点O作I的垂线l与PF的延长线交于 点M,则 A.直线1的斜率为P B.KF=PF 2 C.OM∥QF D.△OMF是等腰三角形 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知y与x的成对数据如下表，且y关于x的回归直线方程为y=bx+0.6,则 b= 13.已知半径为23的球内切于圆台，若圆台的上、下底面半径之比为1：3，则圆台的母 线长为 14.不等式x3+xe≥ae*Inx+e对任意x∈1，+o)恒成立，则实数a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知simn(4+C9)=4sim 2 (1)求cosB: (2)若D是AC的中点，且a+c=6,b=2W3,求BD的长 16.(15分) 已知函数f(x)=(x-1)3-3,a∈R· (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)存在极值点x,且f(x)=f(2),x≠x2,求证：2x+x,为定值. 17.(15分) 已知椭圆C:+y2 十 =1的右顶点为M,圆M的半径等于椭圆的长半轴长，圆N: 43 (x+1)2+y2=1,直线l与圆M和圆N都相切. (1)求出圆M的方程，并判断圆M与圆N的位置关系： (2)求直线1的方程： (3)若直线l与C交于A,B两点，求△ABM的面积. 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，△PAD是边长为2的等边三角形， AB=√3，点M,N,E分别是AD,BC,PC的中点. (1)求证：平面PMN⊥平面ABCD; (2)设二面角P-AD-B的大小为. (i)若直线DE与平面PMW所成角的正弦值为10 ,求cosa的值： 10 (ii)若o=60°时，求四棱锥P-ABCD的外接球表面积. 19.(17分) Basel6 Encoding是网络数据传输中常用的编码技术，它将二进制数转换为十六进制 数，从而将冗长的二进制序列转换为更短、更规整的十六进制字符串，便于传输与解码. (1)写出二进制数111001011101转换后的十六进制字符串（参考附2）： (2)十六进制字符串由数字与字母组成，传输时，数字不变，字母替换为两个连续 的*，得到加密字符串（如5A6F3加密为5**6*3），位十六进制字符串加密后，其加 密字符串的第n位为*的概率为Pn· (i)求乃，P2,并证明数列8Pn+3Pn-1}为常数列： (i)若a=CQ1p,-6,求数列a,}的通项公式. k=0 附1：十进制与十六进制的对应关系 十进制 0 1 2 9 10 11 12 13 14 15 十六进制0 2 9 A B CD EF 附2：二进制数转换为十六进制数规则 将二进制数按4位一组映射为1位十六进制字符：从二进制数的最右侧开始，向左 每4位分为一组：若最左侧一组不足4位，则在其左侧补0凑齐4位. 例如：二进制数11010，先补0分组为00011010.由0×23+0×22+0×21+1×2=1，得 0001e=1aw,映射为十六进制数字1；由1×2+0×22+1×2+0×2=10，得1010e=10a,映射 为十六进制字母A.因此二进制数11010映射为十六进制字符串1A. 数学试题第4页（共4页）丹东市2026届高三教学质量监测 数学试题评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.A 2.D 3.B 4.A 5.B 6.D 7.C 8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的给6分，有选错的给0分。有两个正确选项的仅选其中一个给3 分；有三个正确选项的仅选其中一个给2分，仅选其中两个给4分。 9.BC 10.AC 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.1.2 13.8 14.a≤3 四、解答题：共77分。 15.解： (1)思路1： 由题设及A+B+C=π得simB=21-cosB) 两边平方得sin2B=2(1-cosB)2 所以1-cos2B=41-cosB)2,cosB≠1,1+cosB=41-cosB), 得eB-号 …5分 思路2： 由题设及A+B+C=π得simB=21-cosB),两边平方整理得 5cos2B-8c0SB+3=0,解得c0sB=3或cosB=1(舍) 所以oB-子 …5分 (2) 由余弦定理及a+c=6,b=23得 b2=a2+c2-2ac cos B "(-e-5 =12 所以ac=15 2’a+c2=21 …9分 a4a:2a020c,Mr-0g.g0- 在△ADB和△CDB中， 2AD:BD 2CD.BD 两式相加得BD=+c 2 AD2=15 2 所以BD= 2 …13分 数学试题答案第1页（共5页） 16.解： (1)f'(x)=3(x-1)2-3a=3(x-1)2-a …1分 当a≤0时，f'(x)≥0，所以f(y)在(-m,+o)上单调递增 当a>0时，f'(x)>0,得(x-1)2-a>0,解得x<1-√a或x>1+√a f'(x)<0,得(x-1)2-a>0,解得1-a<x<1+√a 所以f(x)在(-，1-√回)和(1+√a,+o)上单调递增，在1-√a,1+√@)上单调递减 …5分 综上所述， 当a≤0时，f(x)在(-n,+o)上单调递增 当a>0时，f(x)在(-n,1-√@和1+Va,+w)上单调递增，在1-Va,1+√a)上单调递 减 …7分 (2)由(1)知，a>0,且(x-1)2-a=0,即(x-1)2=a 由f(x)=f(x2),得(1-1)3-31=(x2-1)3-3ax2 …9分 整理得（化-x2)[1-1)2+(x2-1)2+(化-1）(x2-1)-3=0 因为x≠x2,所以（化1-1）2+（化2-1）2+(x,-10(x2-1)-3a=0 因为x,是极值点，将a=(化-1)2代入上式中，整理得 (2-x)2x1+x2-3)=0,所以2x1+x2=3. …15分 17.解： (1)由题意可得M(2,0),椭圆的长半轴长为2 故圆M的方程为(x-2)2+y2=4 因为MN=3,所以两个圆的圆心距等于半径之和，故圆M与圆N外切. …5分 (2)因为圆M与圆N外切于原点O,所以x=0是一条切线 「若直线I与x轴交于点9·因为=，得2(-3,0) 设直线1方程为x=y-4,即为x-y+4=0 由直线l与圆N外切得， 3 ,=1,解得m=±2√2 V1+m2 所以x-2W2y+4=0或x+2W2y+4=0 综上所述，所求直线1方程为x-2W2y+4=0或x+2W2y+4=0或x=0 …10分 (3)当x=0时，14BF25,则△4BM的面积为Saw方×25x2-25 当x22v+4=0时，代入年+3=1中，得7y-12W2y+9=0 因为△=288-252=36>0 9 投4,2，则有+22， 数学试题答案第2页（共5页） 11B4VG-)产+0-=3G+)P-42=1s 点M到直线x-2W2y+4=0的距离为d= 6 2 V1+(2√2)2 =×18×2-18 则△ABM的面积为S△ABM=亏X 27 7 根据对称性，当+22y+4=0时，ABL,△MM的面积为SA-19 综上所述，△A8M的面积为Saw=25或SAaw=18 …15分 18.解： (1)尺规作出直观图（要求直线，虚线明显，否则扣1分，不用直尺作图得0分） …2分 M,N分别为AD,BC的中点，所以ADLMN,因为PA=PD,所以AD⊥PM PM∩MN=M,所以ADL平面PMN, ADc平面ABCD,所以平面PN⊥平面ABCD …5分 (2)思路1： (i)由(1)知，∠PN是二面角P-AD-B的平面角，则∠PMN=a 取PN,MD的中点分别为F,G,连接EF,FG 因为Er∥CN且EF=CN,GD/ICN.且FG=CN,所以EF/IGD.且EF=GD, 2 所以四边形DEFG是平行四边形，所以DE∥FG,连接FM,FMC平面PMN 所以∠GFM是直线GF与平面PMN所成的角 即直线DE与平面PMN所成的角， …7分 在△GM中，GM-月Mr=5c号 则Gn=V7+6cosa 2 所以sin∠GFM=GM 1 GF √7+6cos 10 得cosu= √7+6cosa10 2 …11分 数学试题答案第3页（共5页） (i) 记矩形ABCD外接圆的圆心为O,△PAD外接圆的圆心为O, 过O的直线，使1⊥平面ABCD,过O,的直线2使L21平面PAD, 则，与，的交点即为外接球的球心，球心记为O, …13分 在四边形O0MO,中，OO⊥OM,O0,⊥M0,,∠OM0,=60° 则0,02= √21 oM=O0-万 ,连接OA,OA是球的半径 6 2sin60°3 所以QA=OM+MA,得OA'-1 所以四棱锥P-ABCD的外接球表面积为S=4πOA?=4π 9 …17分 (2)思路2： (i)由(1)知，∠PN是二面角P-AD-B的平面角，则∠PN=a,可得 A1,0,0),D(-1,0,0),C(-1,V3,0),P(0,V5cosa√3sina),E(- 1+3cosa 3sind) 2 2 DE-G专5-5马，平面Py的一个法向章为a-00 2 2 1 10 Cos(DE.)F DEl.n7+Gcos 2:所以7+6a1 1 解得cosw=1 2 …11分 (ii)由(i)知，a=60°，根据球的截面性质得，球心在平面ABCD的投影在矩形ABCD 的外接圆圆心上，即投影为对角线AC与BD的交点，记球心为0，则O0. 2,) g0,因为0H0,所以6多-+得+，都得名君 …13分 所以1QA-5,所以四棱锥P-ABCD的外接球表面积为S=4xQ4-6号 9 …17分 19.解： (1)将二进制串111001011101按4位分组为 1110→1×23+1×22+1×2+0×2°=140×2°=10-→E, 0101→0×23+1x22+0x2+1x2°=50×2°=10→5 1101→1×23+1×22+0×2+1×2°=130×2°=10→D 所以十六进制串为E5D. …4分 (2)(i)由题意= 3 8 数学试题答案第4页（共5页） …5分 当=2时，若原始字符串第一个字符是数字，加密字符串的第2位为的概率为 g×84:若原始字符串第一个字符是字母，该字符加窑后*占2位，加密字符串的第2 5.315 位为的概率为×1。所以R-15日9 88 64864 …7分 记事件1：“原始字符车的第1个字行为数字”则严心0-记率件8：“原始字符审 第L个字符为字母”，则P®)=3：记事件C:“长度为n的原始字符审，加密后所得 密字符串的第n位为*”，则P(C)=Pn 若原始字符串第一个字符是数字，该字符加密后仅占1位，剩余字符串的加密结果从第 2位开始.此时，原加密字符串的第位，等价于剩余字符串加密后的第-1位，故 P(C|A)=卫1；若原始字符串第一个字符是字母，该字符加密后占2位，剩余字符串的加 密结果从第3位开始.此时，原加密字符串的第位，等价于剩余字符串加密后的第-2 位，故P(CB)=Pn-2· 由全率公式PrC=0PC用+)PC,得R-P+ ·从而 3 只+含-R因为见1子所R+后=子 3 即8Pn+3Pn-1=6,所以数列8Pn+3Pn-1}为常数列. …12分 8)由sg识6R合意月 6 所以数列化是首项为5 3 。,公比为-的等比数列， 8 所以卫，一合 88 88 6岁 =a12-02c1学 =0 -5x(9 =5x(-2)” …17分 数学试题答案第5页（共5页)