辽宁省丹东市2025届高三总复习质量测试（一）数学试卷

丹东市 2025届高三总复习质量测试（一） 高三数学试题评分参考 一、选择题 1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．A 7．A 8．B 二、选择题 三、填空题 12．1 13．15 14． 2 2 ， 2 2 1 4 2 x y + = （其中第 14题，第一空 2分，第二空 3分） 四、解答题 15．解： （1） 64 46 110s = + = ， 46 54 100t = + = . …………2 分 （2）由2 2 列联表中的数据， 可得 2 2 200 (64 54 36 46) 6.545 3.841 110 90 100 100    −  =      ． 根据小概率值 0.050 = 的独立性检验，故可以认为居民的购车倾向与性别有关． …………6 分 （3）从倾向燃油车的 90 人中按性别分层抽样抽取 5 人，则男性有 36 5 2 90  = 人，女性 有 3 人，设选中男性的人数为 X ，则 X 的取值分别为 0,1,2 所以 2 3 2 5 3 ( 0) 10 C P X C = = = 1 1 2 3 2 5 3 ( 1) 5 C C P X C = = = 2 2 2 5 1 ( 2) 10 C P X C = = = …………10 分 则 X 的分布列为 X 0 1 2 P 3 10 3 5 1 10 期望 3 3 1 4 ( ) 0 1 2 10 5 10 5 E X =  +  +  = ． …………13 分 9．BD 10．BCD 11．ACD 高三数学参考答案 第 1 页（共 6 页） 16．解： （1）因为 2(ln 2) 1 ( ) 1 x f x x x +  = − + 所以 ( )f x 在 1x = 处的切线的斜率为 7 (1) 2 f  = ，且 (1) 4 ln 2f = − …………3 分 则 ( )f x 在 1x = 处的切线方程为 7 4 ln 2 ( 1) 2 y x− + = − ，即7 2 1 2ln2 0x y− + − = ． …………5 分 （2）证明：因为 1 2ln 4 2ln 3 1 1 x x x x x − + = + + + + ( 1)x  令 1 ( ) 2ln 3 1 g x x x = + + + ( 1)x  所以 2 2 2 2 1 2 3 2 ( ) 0 ( 1) ( 1) x x g x x x x x + +  = − =  + + 恒成立 …………8 分 ( )g x 在 (1, )+ 上单调递增， 7 ( ) (1) 0 2 g x g =  ，所以 ( ) 0g x  即 1x  时， 2ln 4 0 1 x x x − +  + 成立． …………10 分 （3）由 2(ln 2) 1 ( ) 1 x f x x x +  = − + ，得 1 1 1 ( ) [2(ln 2) ] (2ln 3) 1 1 x f x x x x x x x  = + − = + + + + 由（2）可知， (0, )x + ， ( ) 0g x  ，则 1 ( ) 2ln 3 1 g x x x = + + + 在 (0, )+ 上单调递增 1 e ( ) 1+ >0 e e+1 g = ， 2 2 2 1 e ( ) 1<0 e e +1 g = − 所以 0 2 1 1 ( , ) e e x  ，使 0( ) 0f x = 则 ( )f x 在 0(0, )x 上单调递减，在 0( , )x + 上单调递增 …………13 分 因为 nZ ，满足 1 1 e en ，即 1n 所以整数 n的最大值为 1． …………15 分 17．解： （1）当 2n = 时， 2 2 1 24S a a a= = + ， 2 1 6 a = ，所以 1 1 2 a = …………4 分 （2）当 2n 时， 2 21 1( 1)n n n n na S S n a n a− −= − = − − 高三数学参考答案 第 2 页（共 6 页） 得 2 2 1( 1) ( 1)n nn a n a −− = − ，即 1( 1) ( 1)n nn a n a −+ = − …………6 分 同乘 n得， 1( 1) ( 1)n nn n a n n a −+ = − 所以 1 1( 1) ( 1) 2 1 1n nn n a n n a a−+ = − = =   = 所以数列{ ( 1) }nn n a+ 是常数列． …………10 分 （3）由（2）知 ( 1) 1nn n a+ = ，所以 1 ( 1) na n n = + ，则 ( 1)2nnb n= + …………12 分 1 2 32 2 3 2 4 2 ( 1) 2nnT n=  +  +  + + +  2 nT = 2 3 12 2 3 2 2 ( 1) 2n nn n + +  + +  + +  1 2 3 1 12 (1 2 )2 2 2 2 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2 1 2 n n n n nT n n + + −− =  + + + + − +  = + − +  − 所以 12nnT n +=  ． …………15 分 18．解： （1）证明：因为点G 是等边△ABC 的重心， 连接CG 并延长交 AB 于点 F ， 所以 F 是 AB 的中点，连接 PF 在△PCF 中， 2 CG GF = ， 2 CD DP = ， 所以 //DG PF …………2 分 DG 平面 PAB， PF 平面 PAB， 所以 //DG 平面 PAB ． …………5 分 （2） （i）△ABC 是等边三角形，G 为重心，E 是 BC 的中点，所以 A，G，E 三点共线，连 接 AD，所以△ADE 的三边是 与三棱锥的面的交线， …………7 分 则两部分的几何体分别为三棱锥 A CDE− 和四棱锥 A BPDE− 设 1 A CDEV V −= ， A PBCV V −= ，三棱锥 A PBC− 的高为 h， 则 1 1 1 2 1 1 sin sin 3 3 3 2 9 CDEV S h CP CB PCB h CP CB PCB h=   =      =     高三数学参考答案 第 3 页（共 6 页） C B A P D E G F 1 1 1 3 3 3 PBCV S h CP CB h CP CB h=   =    =   所以 1 1 3 V V = ，即 1 1 1 2 V V V = − 所以三棱锥 A CDE− 的体积与四棱锥 A BPDE− 的体积之比为 1:2． …………11 分 （ii）取 AC 的中点 H ，连接 BH ， PH ， AC BH⊥ ， AC PH⊥ ，BH PH H= 所以 AC ⊥平面 PBH ， AC 平面 ABC ，则平面 ABC ⊥平面 PBH …………13 分 以 H 为坐标原点， HB的方向为 x 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 H-xyz， 可知 z 轴在平面 PBH 内． (0, 3,0)A − ， (0, 3,0)C ， (3,0,0)B ， (1,0,0)G ，设 ( ,0, )P x z 2 2 2 2 2 2 ( 3) 3 6 PB x z PH x z  = − + =  = + = ，解得 2 2 x z =  = ， 所以 (2,0, 2)P 由 1 3 PD PC= ，得 4 3 2 2 ( , , ) 3 3 3 D 因为 4 4 3 2 2 ( , , ) 3 3 3 AD = ， (1, 3,0)AG = ， (0,2 3,0)AC = ， (2, 3, 2)AP = 设平面 ADG 的法向量 m＝ 1 1 1( , , )x y z ，由 0 0 AD AG   =   = m m 可得 1 1 1 1 1 4 4 3 2 2 0 3 3 3 3 0 x y z x y  + + =   + = ，可取 m＝ ( 3,1,0)− ， 设平面 PAC 的法向量 n＝ 2 2 2( , , )x y z ，由 0 0 AC AP   =   = n n 可得 2 2 2 2 2 3 0 2 3 2 0 y x y z  =  + + = ，可取 n＝ (1,0, 2)− ， …………15 分 所以 3 1 cos , 22 3  −   = = = − m n m n m n ，设平面 与平面 PAC 所成角为 2 3sin 1 cos , 2  = −   =m n A C B P D E G H z 高三数学参考答案 第 4 页（共 6 页） 所以 与平面 PAC 所成角的正弦值为 3 2 …………17 分 19．解： （1）圆M 经过 (0,0)O ，有 2 4p = ( 0)p  ，则 2p = ，所以抛物线的准线方程为 1x = − ． …………3 分 （2）解法 1： 因为 120ABC = ，由题意可知，点 B 位于点 C的上方，则直线 AB 的倾斜角为30 设 AB 与圆M 切于点 N ，所以 AB 与 x轴的交点为 ( 2,0)− ， 设 AB ： 3 2x y= − 联立 2 4y x= ，得 2 4 3 8 0y y− + = ，则 2 3 2y = + 或 2 3 2y = − （舍） 所以点 A的坐标为 (4 2 3,2 3 2)+ + …………5 分 过点 A作 AD x⊥ 轴，垂足为 D， 2OM = ，所以△ ADM 是等腰直角三角形 则 45AMD = ，所以 15BAM = ，所以 30BAC = ，且有 3 3AC AB BC= = 1 1 sin ( ) 2 2 2 ABCS AB BC ABC AB AC BC =     =  + +  所以 3 4(2 3)AB = + ，即 8 4 3AC = + …………10 分 解法 2： 因为 120ABC = ，由题意可知，点 B 位于点 C的上方，则直线 AB 的倾斜角为30 设 AB 与圆M 切于点 N ，所以 AB 与 x轴的交点为 ( 2,0)− ， 设 AB ： 3 2x y= − 联立 2 4y x= ，得 2 4 3 8 0y y− + = ，则 2 3 2y = + 或 2 3 2y = − （舍） 所以点 A的坐标为 (4 2 3,2 3 2)+ + …………5 分 则 2 2(2 3 2) (2 3 2) 2( 6 2)AM = + + + = + 在Rt AMN 中， 6 2 sin 4 MN MAN AM −  = = 则 6 2 6 2 1 sin sin 2 2 4 4 2 BAC MAN − +  =  =   = …………8 分 因为 90BAC  ，所以 30BAC = ，且有 3 3AC AB BC= = 1 1 sin ( ) 2 2 2 ABCS AB BC ABC AB AC BC =     =  + +  所以 3 4(2 3)AB = + ，即 8 4 3AC = + …………10 分 高三数学参考答案 第 5 页（共 6 页） （3）设 0 0( , )A x y 0( 4)x  ， (0, )B b ， (0, )C c ，不妨设 0b c−  直线 AB ： 0 0 y b y x b x − = + ，圆心 (2,0)M 到直线 AB 的距离为 2， 0 0 20 0 2( ) 2 ( ) 1 y b b x y b x − + = − + ，整理得 20 0 0( 4) 4 4 0x b y b x− + − = 同理直线 AC ： 0 0 y c y x c x − = + ，得 20 0 0( 4) 4 4 0x c y c x− + − = 所以b ， c 是方程 20 0 0( 4) 4 4 0x x y x x− + − = 的两个根，则有 0 0 4 4 y b c x + = − − ， 0 0 4 4 x bc x = − − …………12 分 则 2 2 2 20 0 0 2 0 0 0 4 16 16 ( ) ( ) 4 ( ) 4 4 ( 4) y x x b c b c bc x x x − = + − = + = − − − ，所以 0 0 4 4 x b c x − = − 所以△ ABC 面积 2 0 0 0 21 ( ) 2 4 x S b c x x =  −  = − 令 0 4x t− = ( 0)t  ， 0 4x t= + 所以 22( 4) 16 16 2( 8) 2(2 8) 32 t S t t t t t + = = + +  + = 当且仅当 16 t t = ，即 04 8t x= =， 时，等号成立 所以当 0 8x = 时，△ ABC 面积的有最小值为 32． …………17 分 高三数学参考答案 第 6 页（共 6 页） 丹东市2025届高三总复习质量测试(一) 数 学 总分150分 时间120分钟 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案 写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中. 只有一项是符合题目要求的。 1. 知集合A=(xx-2x-3=0,B=(xllx<3,则AB= C. 1,3{ B.1,-3 A.(-1,-3 D.i-1,3 2. 已知向量a=(3.3),b=(1,-3),则a与b的夹角为 C.2 D. B. 3. 圆C:x+v}+2x-4v=0关于x轴对称的圆的圆心坐标头 C.(-1,2) B.(1,2) A.(-1,-2) D.(1,-2) .15 4. 已知随机变量X~B(4.p),且P(X1)= 6 2,则P(X-3)= 1. D 2” 5. 已知函数/(x)= r1 在R上单调递增,且f(2a-1)<f(a+3),则 logx+a,x>1 实数a的取值范围为 C.[2,4) B. [1.4) A.(-o,4) D.(1.4) 6. 已知F,F是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且/FPF=900,PFl= 3PF,则C的离心率为 高三数学 第1页(共5页) A.3+1 B. 23-2 C. 23 D. 2 tan=2tanB,则sin(a-= C. D.- 8. 已知圆台的上、下底面的直径分别为2和6,母线与下底面所成角为60{},则圆 台的外接球表面积为 208π 1127r 567 B. C. D. 28/r A. ~2 3 3 ) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多 项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9. 已知复数2,则下列说法正确的是 A. 若z=1,则z-士1 B. 若z2>0,则zER C. 若z-ieR,则z的虚部为i D. 若z=1,则1<z+2i<3 其中相邻的两条对称轴间的距离 B. D. f(x)-sinx在[0,2z]上有4个解 11. 设正实数x,v满足x+y=2,则 A.xy有最大值为1 B.x2+v有最小值为4 C. x) D. x+3+y+4有最大值为32 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 已知实数a,b满足4"=3,3-2,则2ab=_. 13. 将5个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的排法有 种。(用数 字作答) 高三数学 第2页(共5页) 14. 已知F,F为圆C: C相切于点P(点P在第一象限),过E,E作EB1/,FB1/,垂足分别 为P,B,O为坐标原点,OPl=lB]l=2,则FFl=,C的方程为 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤。 15.(13分) 为调查居民购车倾向与性别的关系,对某地区随机抽查了200名居民进行调查 得到如下表格: 购买倾向 合计 新能源车 燃油车 男性 36 64 100 54 女性 46 t 合计 90 f 200 (1)求s,1; (2)根据小概率值g三0.050的独立性检验,能否认为居民的购车倾向与性别有 关? (3)从倾向燃油车的90人中按性别分层抽样抽取5人,再从这5人中任选2 人,求选中男性的人数的分布列和期望. P(2>k) 0.050 0.010 n(ad-bc)2} 0.001 附:2- (a+b)(a+c)(b+d)(c+d) 。 3.841 6.635 10.828 16. (15分) 已知函数/(x)=(lnx+2){-ln(x+1). (1)求f(x)在x=1处的切线方程 (2)证明:当x>1时,2lnx--+4>0; :+1 高三数学 第3页(共5页) 17.(15分) 记$.为数列(a!的前n项和, (1)求a: (2)求证:数列(n(n+1)a)是常数列 (3)设b= na. 18.(17分) 如图,在三校锥P-ABC,点G是边长为23的等边△ABC的重心,PA= P$C=3,PB=3,点D在梭PC上,且CD=2PD,E是BC的中点. (1)求证:DG//平面PAB (2)设过点G,D,E的平面为a,a与此三梭锥的面相交,交线围成一个 多边形. (i)请在图中画出这个多边形(不必说出画法和理由),并求出g将三校锥分 成两部分的几何体体积之比: (ii)求a与平面PAC所成角的正弦值 P 高三数学 第4页(共5页) 19.(17分) 记O为坐标原点,点A在抛物线y=2px(p>0)上,A在第一象限, B,C 两点位于v轴上,已知圆M:(x-p)+v}=4经过点O,且圆M内切于△ABC. (1)求抛物线的准线方程 (2)若乙ABC=120{,求点A的坐标及AC的长 (3)求△ABC面积的最小值 高三数学 第5页(共5页)