专题03 数学思想在四边形中的应用（高效培优期中专项训练）数学新教材沪教教版五四制八年级下册

专题03 数学思想在四边形中的应用 考点01 分类讨论思想的应用 考点02 整体思想的应用 考点03 转化思想的应用 考点04 方程思想的应用 考点01分类讨论的思想 【题型1】线段位置分类 1. 在中，已知，平分交边于点E，点E将分为两部分，则的长为_________． 【答案】8或24 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，以及等角对等边．由角平分线的定义以及平行四边形的性质，求得，点E将分为两部分，可得或两种情况，分别讨论即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点E将分为两部分， ∴或， ∴当时，； 当时，； 故答案为：8或24． 【题型2】交点位置分类 2．在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD所在直线于E点，若AB=6，ED=3，则边BC的长度为____________． 【答案】3或9/9或3 【分析】分E点在线段AD上和在AD延长线上两种情况讨论，根据平行四边形性质以及角平分线的定义，推出AB=AE即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=6，AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE=6， 当E点在线段AD上时，如图甲所示， BC=AD=AE+DE=6+3=9； 当E点在AD延长线上时，如图乙所示， BC=AD=AE－+DE=6-3=3； 故答案为：3或9． 在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD所在直线于E点，若AB=6，ED=3，则边BC的长度为____________． 【答案】3或9/9或3 【分析】分E点在线段AD上和在AD延长线上两种情况讨论，根据平行四边形性质以及角平分线的定义，推出AB=AE即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=6，AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE=6， 当E点在线段AD上时，如图甲所示， BC=AD=AE+DE=6+3=9； 当E点在AD延长线上时，如图乙所示， BC=AD=AE－+DE=6-3=3； 故答案为：3或9． 【点睛】本题考查了平行四边形性质、三角形的角平分线的定义，平行线的性质的应用，关键是推出AB=AE． 【题型3】双角平分线截边（重叠分类） 3. 在中，平分交于点E，平分交于点，若，则边为 A．7 B．9 C．7或8 D．7或9 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边；分两种情况：由平行四边形的性质得，，由平行线的性质及角平分线的定义得，进一步即可求得的长． 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ∴，，， ∴； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． 如图， 同理可得：； ∵， ∴． 综上：的长为或； 故选：D． 【题型4】根据高的位置分类 4. 在平行四边形中，边上的高为，， ，则平行四边形的周长等于______． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，线段和差，根据题意分别画出图形，边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵在中，边上的高，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长等于， 如图所示， ∵在中，边上的高为，， ， ∴ ，， ∴， ∴， ∴的周长等于：， 则的周长等于或， 故答案为：或． 5．已知在平行四边形中，过点A作边上的高，若，，平行四边形的面积是32，则的长为________． 【答案】5或11 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键，分两种情况画图，求解，再进一步可得答案． 【详解】解：∵在中， ，平行四边形的面积是32， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图， ． 同理可得：， 故答案为：或． 【题型5】根据动点的位置分类 6. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F． 若，，，动点P，Q分别从B，C两点同时出发，沿和各边运动，点P沿运动，点Q沿运动，点P的运动速度为1个单位长度/秒，点Q的运动速度是点P的2倍，点Q到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，直接写出t为何值时，四边形是平行四边形． 【答案】t的值为或 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定， ①当点P在上，点Q在上时，可得； ②当点P在上，点Q在上时，可得，分别求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴为边长为1的等边三角形，同理也为边长为1的等边三角形． ①当点P在上，点Q在上时，如图． 当时四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴； 　　　 ②当点P在上，点Q在上时，如图． 当时， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴此时四边形为平行四边形， ∴， ∴， 综上所述，t的值为或． 【题型5】 三定一动求平行四边形顶点位置 7.已知，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，且点，，为上一点，将矩形沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求点的坐标； (2)在平面内是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，函数解析式，坐标与图形，折叠问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，由翻折可得，，进而勾股定理即可求解； （2）设点，根据平行四边形的性质分三种情况分析：当线段为对角线时，当线段为对角线时，当线段为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：矩形，，， ， 由翻折可得，， ∴， 点的坐标为； （2）存在，理由如下： ，，， 设点， 当线段为对角线时， ，， 解得：， ∴； 当线段为对角线时， ，， 解得：， ∴； 当线段为对角线时， ，， 解得：， ∴； 综上得：或或 ． 考点02 整体思想的应用 【题型1】 周长与邻边之和 8．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F． （1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC； （2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）； 【答案】（1）见解析；（2）图②中，DE﹣DF＝AC；图③中，DF﹣DE＝AC；【分析】（1）证明四边形AEDF是平行四边形，且△BED和△DFC是等腰三角形即可证得； （2）与（1）的证明方法相同； 【详解】解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DE＝AF，∠FDC＝∠B， 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C ∴∠FDC＝∠C， ∴DF＝FC， ∴DE＋DF＝AF＋FC＝AC；      （2）如图②，当点D在边BC的延长线上时， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DE＝AF，∠FDC＝∠B， 又∵ＺAB＝AC， ∴∠B＝∠ACB=∠DCF， ∴∠FDC＝∠DCF， ∴DF＝FC， ∴DE=AF=AC+CF＝AC＋DF；      即DE﹣DF＝AC； 当点D在边BC的反向延长线上时，在图③， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DE＝AF，∠FDC＝∠ABC， 又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠FDC＝∠C， ∴DF＝FC， ∴DF=FC=FA+AC=DE+AC；    ∴DF﹣DE＝AC． 【题型2】 平行四边形的对角线与周长 9．如图，平行四边形的对角线交于点，且，若它的对角线的和是32，则的周长为______． 【答案】20 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 由平行四边形的性质得出，，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，． ， ． 的周长． 故答案为：20． 【题型4】 平行四边形的面积问题 10．如图，设P为□ABCD内的一点，△PAB，△PBC，△PDC，△PDA的面积分别记为S1，S2，S3，S4，则有（　 ） A．S1=S4 B．S1+S2=S3+S4 C．S1+S3=S2+S4 D．以上都不对 【答案】C 【分析】由于平行四边形两组对边分别相等，的边上的高的和是两平行线之间的距离，所以,同理可得：． 【详解】过点作的垂线，分别交,于, 四边形是平行四边形 同理 S1+S3=S2+S4． 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 11. 某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（　　） A．红花，白花种植面积一定相等 B．红花，蓝花种植面积一定相等 C．蓝花，黄花种植面积一定相等 D．紫花，橙花种植面积一定相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，，，，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， ，，， ， A、C、D正确，B不正确； 故选：B． 12. 如图，已知正方形和正方形，点E在边上，连接交于点H，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（    ） A．正方形的面积 B．三角形的面积 C．正方形的面积 D．三角形的面积 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，单项式乘以多项式在几何图形中的应用，连接，由平行线的性质可得，则，设正方形和正方形的边长分别为，则，根据可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 设正方形和正方形的边长分别为，则， ∴ ， ∴只需要知道正方形的面积就可以知道阴影部分的面积， 故选：A． 考点03 转化思想的应用 【题型1】多边形内角和的探究 13. 数学课上，老师在组织同学们探索多边形的内角和公式时，同学们提出了将此问题转化为已学的三角形内角和知识进行探索的思路．如图是四名同学探索多边形内角和公式时运用的不同的分割方法，将多边形转化为多个三角形，并得出了相同的结论．这四名同学在探索过程中主要体现的数学思想是（    ） A．建模思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．转化思想 【答案】D 【分析】根据题意即可得到结论． 【详解】解：探究多边形内角和公式时，从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割成（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和即为n边形的内角和，这一探究过程运用的数学思想是转化思想，同理可得其他的做法也是将多边形转化为多个三角形，因此应用的是转化思想． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，数学思想，熟练掌握数学思想是解题的关键． 14. 如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为____________． 【答案】 【分析】首先根据外角的性质可得：根据四边形的外角和为，所以，即可解答． 【详解】解：由三角形外角的性质，得，，，． 四边形的外角和为， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形外角的性质和多边形的外角和，解决本题的关键是熟记多边形的外角和为． 15．如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则________．    【答案】 【分析】本题主要考查多边形内角和定理，三角形内角和定理，角平分线的定义，延长AD、BC交于点P，可将问题转化为三角形双角平分线的夹角问题。 【详解】解：延长AD、BC交于点P， ∵，， ∴∠P=30゜， ∵，分别平分和且相交于点P， ∴在中，， 故答案为：． 【题型2】特殊四边形性质的转化 16. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（　　）． A．①对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一条对角线平分一组对角 D．④对角线相等 【答案】A 【分析】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断． 【详解】解：平行四边形的对角相等，故①错误； 对角线垂直的平行四边形是菱形，故②正确： 有一条对角线平分一组对角的矩形是正方形，故③正确； 对角线相等的菱形是正方形，故④正确， 故选：A． 17. 数学家笛卡尔在《几何》一书阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西以长补短．如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（    ） A． B．8 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，掌握矩形的对角线相等且平分是解题关键．根据坐标两点的距离公式，得出，再根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ，， ， 四边形是矩形，、为对角线， ， 故选：A． 【题型3】几何模型的转化——最小值模型 18. 问题：当时，求代数式的最小值小明的解题思路是：如图，把看作两直角边分别为和2的斜边的长，看作两直角边分别是和3的斜边的长，将问题转化为求的最小值．根据小明的解思路求出该问题的最小值为（   ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，两点之间，线段最短，矩形的判定与性质，灵活应用勾股定理是解题的关键．认真理解题意，结合，则，进行解答即可． 【详解】解：依题意，连接，与的交点记为，如图所示： 当点P与点F重合时，的最小值为的长， 由题意得，，，， ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴， 则的最小值为， 故选：D． 【题型3】几何模型的转化——手拉手模型 19．如图所示，在四边形中，为上一点，都是等边三角形，点分别为的中点，线段与有什么关系？请说明理由． 【答案】互相垂直平分，理由见解析 【分析】由手拉手模型可知AC=BD，由中点四边形可得菱形NPQM,由菱形的性质可证PM,NQ互相垂直平分。 【详解】解：线段与互相垂直平分， 理由：如图所示，分别连接，． 都是等边三角形， ，， ， 即． 在和中， ， ， 分别是的中点， ，且． 同理： ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是菱形． ∴线段与互相垂直平分． 【题型3】几何模型的转化——十字架模型 20. 问题情境：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为M．那么与相等吗？ (1)直接判断∶______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： (2)如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： (3)如图3，点E在边上，且，垂足为H，当H在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点H落在点处． 四边形是正方形吗？请说明理由； 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)四边形是正方形，理由见解析； 【分析】（）证明即可得出结论； （）过点作，证明，由此可得； （）如图，过点H作PQ⏊AD于点P、交BC于点Q，易证△APH≌△HQN，可得AH=NH 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过点作交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，过点H作PQ⏊AD于点P、交BC于点Q，易证△APH≌△HQN，可得AH=NH 由折叠可知，，， ∴， ∴四边形是菱形, ∵， ∴菱形是正方形； 【题型3】几何模型的转化——半角模型与旋转型全等 21．已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线，相交于点，，且，连接．与的数量关系为______．      【答案】； 【分析】本题考查菱形，全等三角形的，等边三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，即可． （1）连接，根据等边三角形的判定，则是等边三角形， 【详解】    如图，连接． ∵四边形是菱形， ∴．， ∵， ∴，都是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴．    考点04 方程思想的应用 【题型1】多边形中边数的计算 22．一个多边形的内角和等于，则该多边形的边数等于______． 【答案】 【分析】本题利用多边形内角和公式建立关于边数的一元一次方程，求解方程即可得到结果. 【详解】解：由题意，，解得. 【题型2】折叠中倒角问题 23．如图，在长方形纸片ABCD中，将沿对角线BD折叠得，FB和AD相交于点E，将沿BE折叠得．若，则的度数为________． 【答案】/22度 【分析】本题考查了折叠的性质、一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解题的关键． 设，根据折叠可得，，依据， 进而求解． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， ∴解得， ∴． 故答案为： ． 24．如图，将矩形纸条如图折叠，若，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】本题可利用矩形纸条对边平行的性质，结合折叠前后对应角相等的特点，通过平角的定义建立与的数量关系，进而求解的度数． 【详解】解：由图题意可得折痕为， ，令点是延长线上一点， ∵，， ∴， 由折叠的性质可知，， ． ， ， ． 【题型3】矩形折叠中线段的计算 25．如图，矩形纸片的长，宽，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后长_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 由折叠的性质得，设长为，根据矩形的性质得和，结合勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：， 设长为， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得： ， 即长为cm， 故答案为：． 26．已知矩形纸片中，，将它沿折叠，如图，使点B与点D重合．当折叠后纸片重叠部分（即图中阴影部分）的面积占矩形纸片面积的时，则BC的长为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，根据面积关系和勾股定理得出方程组是解决问题的关键． 由折叠的性质证得、、，假设、，则，面积关系和勾股定理得出方程组，解方程组即可． 【详解】解：由折叠的性质得： 、、 设、，则 根据题意得： 解得： 即的长为8． 故答案为：8． 【题型4】动点问题中的图形变化 27. 如图四边形是平行四边形，点P为边上一动点，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是 N，连接，，设点 P 运动时间为t（s）解答下列问题： (1)若，，，点 P 从点A 出发沿方向运动速度为．当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质及判定，勾股定理，运用反证法是解题的关键． （1）连接，，当时，可推出，得到，从而四边形是平行四边形，根据，，代入，即可求解； （2）根据已知条件得出，由四边形是平行四边形得到，假设四边形是平行四边形，则，得到四边形是平行四边形，从而得到，，根据得到得．另外若四边形是平行四边形，平行且等于，从而四边形是平行四边形，由（1）可得此时，与当时，四边形是平行四边形相矛盾，即四边形不是平行四边形． 【详解】（1）解：连接，， ∵在中，， ∴， ∵ ∴当时，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 假设四边形是平行四边形，则，， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴ 又∵ ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形， 若四边形是平行四边形，则，， ∵ ∴平行且等于 ∴四边形是平行四边形， 由（1）可得此时， 与当时，四边形是平行四边形相矛盾， ∴四边形不是平行四边形． 28．如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)______； (2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； (3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值． 【答案】(1) (2)为直角三角形， (3)的值为2或6或 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据直角的不同分情况讨论求解． （1）先根据菱形的性质得出，再根据，可得为等边三角形，从而可得出； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，从而可得为直角三角形，再利用勾股定理求得，然后利用求解； （3）分，，三种情况，分别得到关于的一元一次方程求解，求得的值． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为 ∴， ， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为； （2）如图1，12秒后点走过的路程为， 则12秒后点到达点， 即点与点重合； 12秒后点走过的路程为，而， ∴点到点的距离为， 此时点到达的中点，即点为的中点 是等边三角形，而为中线， ， 为直角三角形， 在中， ； （3）为等边三角形， ， 经过3秒后，点运动的路程为、点运动的路程为， 点从点开始运动， ∴， 点为的中点， ∴， ①若，且点在上，如图1， 则， ， 在中，， ， ， ， ； ②若，且点在上，如图2， 则， ， 在中，， ， ， ， ； ③若，即， ， 点在的垂直平分线上， 此时点在点处， ， ， ， 综上所述，的值为2或6或． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数学思想在四边形中的应用 考点01 分类讨论思想的应用 考点02 整体思想的应用 考点03 转化思想的应用 考点04 方程思想的应用 考点01分类讨论的思想 【题型1】根据线段位置分类 1. 在▱ABCD中，已知AB=6，BE平分∠ABC交AD边于点E，点E将AD分为 1:3两部分，则的长为_________． 【题型2】根据交点位置分类 2．在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD所在直线于E点，若AB=6，ED=3，则边BC的长度为____________． 在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD所在直线于E点，若AB=6，ED=3，则边BC的长度为____________． 【题型3】双角平分线截边（根据重叠分类） 3. 在中，平分交于点E，平分交于点，若，则边为 A．7 B．9 C．7或8 D．7或9 【题型4】根据高的位置分类 4. 在平行四边形中，边上的高为，， ，则平行四边形的周长等于______． 5．已知在平行四边形中，过点A作边上的高，若，，平行四边形的面积是32，则的长为________． 【题型5】根据动点的位置分类 6. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F． 若，，，动点P，Q分别从B，C两点同时出发，沿和各边运动，点P沿运动，点Q沿运动，点P的运动速度为1个单位长度/秒，点Q的运动速度是点P的2倍，点Q到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，直接写出t为何值时，四边形是平行四边形． 【题型5】 三定一动求平行四边形顶点位置 7.已知，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，且点，，为上一点，将矩形沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求点的坐标； (2)在平面内是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点02 整体思想的应用 【题型1】 周长与邻边之和 8．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F． （1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC； （2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）； 【题型2】 平行四边形的对角线与周长 9．如图，平行四边形的对角线交于点，且，若它的对角线的和是32，则的周长为______． 【题型3】 平行四边形的面积问题 10．如图，设P为□ABCD内的一点，△PAB，△PBC，△PDC，△PDA的面积分别记为S1，S2，S3，S4，则有（　 ） A．S1=S4 B．S1+S2=S3+S4 C．S1+S3=S2+S4 D．以上都不对 11. 某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（　　） A．红花，白花种植面积一定相等 B．红花，蓝花种植面积一定相等 C．蓝花，黄花种植面积一定相等 D．紫花，橙花种植面积一定相等 12. 如图，已知正方形和正方形，点E在边上，连接交于点H，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（    ） A．正方形的面积 B．三角形的面积 C．正方形的面积 D．三角形的面积 考点03 转化思想的应用 【题型1】多边形内角和的探究 13. 数学课上，老师在组织同学们探索多边形的内角和公式时，同学们提出了将此问题转化为已学的三角形内角和知识进行探索的思路．如图是四名同学探索多边形内角和公式时运用的不同的分割方法，将多边形转化为多个三角形，并得出了相同的结论．这四名同学在探索过程中主要体现的数学思想是（    ） A．建模思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．转化思想 14. 如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为____________． 15．如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则________．    【题型2】特殊四边形性质的转化 16. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（　　）． A．①对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一条对角线平分一组对角 D．④对角线相等 17. 数学家笛卡尔在《几何》一书阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西以长补短．如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（    ） A． B．8 C．6 D． 【题型3】几何模型的转化——最小值模型 18. 问题：当时，求代数式的最小值小明的解题思路是：如图，把看作两直角边分别为和2的斜边的长，看作两直角边分别是和3的斜边的长，将问题转化为求的最小值．根据小明的解思路求出该问题的最小值为（   ） A． B．7 C． D． 【题型3】几何模型的转化——手拉手模型 19．如图所示，在四边形中，为上一点，都是等边三角形，点分别为的中点，线段与有什么关系？请说明理由． 【题型3】几何模型的转化——十字架模型 20. 问题情境：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为M．那么与相等吗？ (1)直接判断∶______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： (2)如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： (3)如图3，点E在边上，且，垂足为H，当H在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点H落在点处． 四边形是正方形吗？请说明理由； 【题型3】几何模型的转化——半角模型与旋转型全等 21．已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线，相交于点，，且，连接．与的数量关系为______．      考点04 方程思想的应用 【题型1】多边形中边数的计算 22．一个多边形的内角和等于，则该多边形的边数等于______． 【题型2】折叠中倒角问题 23．如图，在长方形纸片ABCD中，将沿对角线BD折叠得，FB和AD相交于点E，将沿BE折叠得．若，则的度数为________． 24．如图，将矩形纸条如图折叠，若，则的度数是________． 【题型3】矩形折叠中线段的计算 25．如图，矩形纸片的长，宽，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后长_______． 26．已知矩形纸片中，，将它沿折叠，如图，使点B与点D重合．当折叠后纸片重叠部分（即图中阴影部分）的面积占矩形纸片面积的时，则BC的长为___________． 【题型4】动点问题中的图形变化 27. 如图四边形是平行四边形，点P为边上一动点，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是 N，连接，，设点 P 运动时间为t（s）解答下列问题： (1)若，，，点 P 从点A 出发沿方向运动速度为．当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由． 28．如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)______； (2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； (3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $