专题01 一元一次不等式（高效培优期中专项训练）数学新教材沪教教版五四制七年级下册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01一元一次不等式期中复习 考点归纳 考点01不等式的性质 考点02一元一次不等式的解法 考点03一元一次不等式组的解法 考点04含参数的不等式（组） 考点05一元一次不等式（组）的应用 考点06不等式的创新新题型 考点专练 题型01不等式的性质 1.(24-25七年级下·上海宝山期末)如果4<b,那么下列不等式中一定正确的是() A.a-2b<-b B.a+2>b+2 C.-a-2<-b-2 D.2a>2b 2.(24-25七年级下·上海黄浦·期末)若a<b,则下列不等式正确的是() A.a+2>b+2B.a-5>b-3 c.g D.-3a>-3b 3.(24-25七年级下·上海普陀期末)用适当的不等号填空：如果a≤b,b≤c,那么a 4.(24-25七年级下·上海普陀期末)已知<b,下列不等式中正确的是() A.a+1>b+1 B.a-1>b-1 C.2a>2b D.-2a>-2b 5.(24-25七年级下.上海杨浦·期末)已知a<b<0,下列式子中，正确的是() A.a+b<0 B.a-b>0 C.a2<b2 D.a2<ab 题型02解一元一次不等式 2r+1-3<-5 1.(24-25七年级下上海期末)解不等式3 2，并把它的解集表示在数轴上. -4-3-2-101234 2.(2025·上海杨浦模拟预测)解不等式：x+7≥5(x+3) 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(24-25七年级下上海松江月考)解不等式：4-5>，3 2· 4.(24-25七年级下上海嘉定期中)解不等式：3(6x+7)≥8-2(5x-9). 5.(24-25七年级下.上海·月考)解不等式2x-5<4(x+)-3,并写出它的所有负整数解 题型03解一元一次不等式组 2x-1<3 1.(24-25七年级下…上海期末)解不等式组1 x-1≤0，并写出它的非负整数解。 3x-5<x+1 2.(24-25七年级下·上海松江·月考)解不等式组3x-42x-1.在数轴上表示它的解集并求出它的所有 6 3 非负整数解. -5-4-3-2-1012345 3.(24-25七年级下·上海宝山期末)解下列不等式（组）： (1)9x-1<4x+9(解集在数轴上表示出来). 3x+1>- (2)2 4 x-1≤5+3x 3+2x-1<1+2r 4.(24-25七年级下·上海月考)(1)解下列不等式2 5； {x-2>x-1① (2)解不等式组 3 并写出它的整数解. 1-3x+1,6-x② [2x+1>x-1① 5.(24-25七年级下·上海·期末)求不等式组： r-1s2r-1®的整数解 题型04含参数的不等式（组） 5x>3x+a-10 1.(24-25七年级下·上海闵行·期中)如果关于x的不等式组 3-x≥0-3 无解，求a的取值范围. 4 2x+1z5 2.(24-25八年级上·全国期末)若关于的一元一次不等式组 3 的解集为，求的取值 3x+a>-2+4x x≤7a 2/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 范围. +1>+ 3.(24-25七年级下·上海·月考)解不等式组： 2 x>3m (1)当m=-1时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上： (2)要使此不等式组无解，则m的取值范围是 2x-3<4k-5 4.(24-25七年级下上海月考)若关于，的不等式组2x-10(2+k)>5k-3x无解，求的取值范围. 5.(24-25七年级下·上海·月考)关于x的两个不等式① x”-x<1与②2- 2 x>0,若不等式①的解都是 3 不等式②的解，求a的取值范围. 题型05一元一次不等式（组）的应用 1.(24-25七年级下·上海松江·期末)某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动. 六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类.为了保证垃圾分类助力总次 数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？ 2.(24-25七年级下·上海长宁·期末)某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣2 分，不答题不得分，在这次竞赛中，小明有3道题没有作答，如果希望取得不低于70分的成绩，求小明至 少要答对几道题。 3.(24-25七年级下·上海杨浦期末)如图，这是某电影院的价目表.某社团16人去此电影院看电影，打算 以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料.如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买 多少盒爆米花？ 价目表 电影票 爆米花 饮料 80元/张 25元/盒 20元/杯 *每张电影票能使用下列其中一种优惠， 优惠一：饮料一杯16元： 优惠二：爆米花一盒+饮料一杯30元. 4.(24-25七年级上·吉林长春·月考)高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”，为提高学生的阅读水平，某 中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4 元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元. 317 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方 案. 5.(24-25七年级下·上海·月考)2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网 等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型 号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件. (1)求A、B两种型号智能机器人的单价： (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递 不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 考点06不等式的创新新题型 1.(24-25七年级下重庆期中)已知两个多项式A=x2+7x+2,B=x2+5x+3,将A、B进行加减乘除 运算. ①已知A-B=mr,若关于x的方程无解，则m=2. A-2 ②若，为非零整数，且B-3为整数，则满足条件的x的值的和为-20： ③若24-B=0'则x+之=83 @若4-公+4-8+=4，则x的取值范围为x 3 2 以上说法中正确的个数有()个 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 aa≥bj 2.(24-25七年级下河南期末)定义一种运算a*b= b(a<b)’ 则不等式(x+1)2-x>2的解集是 3.(2026新疆乌鲁木齐一模)记一个四位自然数M=abcd,若a+c=b+d=11,则称M为“双11数”. 例如：四位数279是双1数”，设v是一个“双1致”，记=齐者+5 7一是整数，则 满足条件的N的最小值是」 4/7 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 4.(24-25七年级下·吉林·期中)如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程 为该不等式组的“子方程”. [x-1<3x+3 (1)在方程 2x+1=0②-1=0，@x-5+1=-5中，不等式组214的“子方程”有— (填序号) 2 X- (2)若不等式组了 4 的一个“子方程”的解是整数，则该“子方程”的解为 5x-3>x+1 [2x-1<3x+m (3)若方程6-2x=x 3-x=x+1-3都是关于的不等式组 23 x-2≤m+1的“子方程”，则的取值范围 m 是 5.(24-25七年级下·重庆·期末)阅读下列材料： 问题：已知x-y=1,且x>-1,y<0,求x+y的取值范围？ 解：x-y=1, x=y+1 又x>-1, y+1>-1,即y>-2 又y<0, .-2<y<0① -2+1<y+1<0+1,即-1<x<1② ①+②得，-1+(-2)<x+y<1+0 .x+y的取值范围是-3<x+y<1. 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知x-y=2,且x>1,y<0,则x的取值范围是_；x+y的取值范围是_： (2)已知x-y=m,且x<-n,y>2n,根据上述做法得到-2<3x+y<6,求m,n的值. 6.(25-26八年级下·江苏盐城月考)请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任 务一、任务二、任务三 合理规划校园文创市集场地 我校学生会为举办校园文创市集，划分出一块长方形活动区域，长 素材一 为3x-2)m,宽为m(其中x>2)·去年市集共售出480件文创 产品，由甲、乙两组志愿者负责售卖. 素材二 甲组售卖速度是乙组的1.2倍，且甲组单独售完所有产品比乙组少用 5/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20分钟. 今年从该区域中划出一个边长为m的正方形地块作为“盲盒抽取 区”，其余部分作为“手工体验区”（如图）.“盲盒抽取区”共 吸引360人次参与互动， “手工体验区”共接待240人次. (3x-2)m 素材三 xm 盲盒抽取区 手工体验 xm 问题解决 (1)求甲、乙两组每分钟各售卖多少件产品？ (2)“盲盒抽取区”和“手工体验区”哪一区域的平均单位面积人流量更高？并说明理由. (3)现计划将该区域扩建，长增加10m,宽增加m,若扩建后的面积是原来面积的k倍. ①若k为整数，求整数x的值. ②k的取值范围 7.(25-26七年级下·湖南衡阳·月考)如图，数轴上线段AB=2,CD=4,点A在数轴上表示的数是-10， 点C在数轴上表示的数是16，若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单 位长度/秒的速度向左匀速运动 A B 0 CD→ AB CD→ 备用图 (1)问运动多少秒时，BC=8: (2)当1为何值时，k·AC+(2-3k)BD的值与参数k无关，求满足条件的1： 段B上一点，当®点运动到线段CD上时，是香存在关系武BD,A一2，若存在， PC 的长；若不存在，请说明理由。 8.(25-26七年级下·福建泉州月考)我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称 为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”.例如：已知方程2x-3=1与不等式x+3>0,当x=2时， 2×2-3=1与2+3=5>0同时成立，则称x=2是方程2x-3=1和不等式x+3>0的“梦想解”. (1)方程x+2=3与不等式2x+1≤4的“梦想解”是一： 口尼知0分，②21x+引<4，③号<3，则方程2+31的解是它与不等式一的“梦想解”： 13. (填序号) 617 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 T3x-2y=m+2 (3)若关于x,y的二元一次方程组 2x-y=m-5与55r+y≤1有“梦想解”，求m的取值范围. 9.(25-26八年级上浙江绍兴期末)若一个不等式组M有解且解集为a<x<b(a<b),则称b-a为M的 “绝对距离”，若M的绝对距离是不等式组N的解，则称不等式组V对于不等式组M“绝对包含”. +>0以及不等式组B:-3<≤3”判断不等式组。是香对于不等式组，绝 [2x-4<0 (1)已知关于的不等式组A: R 对包含，并写出判断过程。 x n x+n<8 (2)已知关于的不等式组C: x<m和关于的不等式组D: 2x+n>m若不等式组)对于不等式组c绝 对包含，当-3≤n<-2时，求满足条件的所有整数m的和 (3)已知关于的不等式组E: 2x-1<4m+5以及不等式组F:2m2m+20,且不等式组。对于不等式 x+5>0 x+2>m 组E绝对包含，求m的取值范围. 10.(25-26七年级上·江苏苏州月考)定义一种新运算“a*b”:当a≥b时，a*b=a+2b:当a<b时， a*b=a-2b.例如：3*(-4)=3+(-8)=-5，(-6)*12=-6-24=-30， (1)填空：（4*2=一： (2)若3x-4)*x+6)=(3x-4)+2(x+6),则x的取值范围为一： (3)已知3x-7)*(3-x)<6,求x的取值范围 7/7 专题01 一元一次不等式期中复习 考点01 不等式的性质 考点02 一元一次不等式的解法 考点03 一元一次不等式组的解法 考点04 含参数的不等式（组） 考点05 一元一次不等式（组）的应用 考点06 不等式的创新新题型 题型01 不等式的性质 1.（24-25七年级下·上海宝山·期末）如果，那么下列不等式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：如果， 两边同时减去，得，则A符合题意， 两边同时加上，得，则B不符合题意， 两边同时乘以再同时减去，得，则C不符合题意， 两边同时乘以，得，则D不符合题意， 故选：A． 2.（24-25七年级下·上海黄浦·期末）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的基本性质；根据不等式的基本性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵， 选项A： 两边同时加2，不等号方向不变，应为，故A错误． 选项B： 左边减5，右边减3，应为，故B错误． 选项C： 两边同时除以正数3，不等号方向不变，应为，故C错误． 选项D： 两边同时乘以负数，不等号方向改变，由可得，故D正确． 故选：D． 3.（24-25七年级下·上海普陀·期末）用适当的不等号填空：如果，那么___________． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是正确解答的前提． 根据不等式的性质可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4.（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．两边同时加1，不等式方向不变，原式变为，故A错误，不符合题意． B．两边同时减1，不等式方向不变，原式变为，故B错误，不符合题意． C．两边同时乘正数2，不等式方向不变，原式变为，故C错误，不符合题意． D．两边同时乘负数，不等式方向反转，原式变为，故D正确，符合题意． 故选：D． 5.（24-25七年级下·上海杨浦·期末）已知，下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴，即，故A正确； B.∵， ∴，故选项B错误； C. ∵， ∴，故选项C错误； D. ∵， ∴，故选项D错误； 故选：A． 题型02 解一元一次不等式 1.（24-25七年级下·上海·期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得：， 即不等式的解集为． 将不等式的解集在数轴上表示为： 2.（2025·上海杨浦·模拟预测）解不等式： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 先去括号计算，再移项、合并同类项，最后将系数化为1即可． 【详解】解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 3.（24-25七年级下·上海松江·月考）解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得． 【详解】解：， 去分母得 移项得 合并同类项得, 系数化为得：． 4.（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的计算，根据计算步骤去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； 【详解】解：， ， ， ， ， . 5.（24-25七年级下·上海·月考）解不等式，并写出它的所有负整数解． 【答案】，负整数解为：，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，关键是掌握不等式的解法． 根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． ∴原不等式负整数解为：，． 题型03 解一元一次不等式组 1.（24-25七年级下·上海·期末）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【答案】，不等式组的非负整数解为，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的非负整数解，分别求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，继而可得其非负整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为，． 2.（24-25七年级下·上海松江·月考）解不等式组．在数轴上表示它的解集并求出它的所有非负整数解． 【答案】，数轴见解析，所有非负整数解有0，1，2． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，然后在数轴上表示解集，最后求出所有非负整数解即可． 【详解】解∶， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式的解集为， 在数轴上表示为： ∴所有非负整数解有0，1，2． 3.（24-25七年级下·上海宝山·期末）解下列不等式（组）： (1)（解集在数轴上表示出来）． (2)． 【答案】(1)；数轴见解析 (2) 【分析】（1）先解不等式，然后把解集表示在数轴上即可； （2）先求出两边不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则得出不等式组的解集即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】（1）， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 把解集表示在数轴上，如图所示： ； （2）， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为． 4.（24-25七年级下·上海·月考）（1）解下列不等式； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】（1）（2） ，整数解为 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可； （2）分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定其解集，最后找出其中的整数即可． 本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式和一元一次不等式组的步骤是解题关键． 【详解】解：（1）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为， 它的整数解为 5.（24-25七年级下·上海·期末）求不等式组：的整数解． 【答案】；；； 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则求出不等式的解集后解答即可． 【详解】解：由①可得： ， 由②可得： ， ∴不等式的解集为：， ∴整数解为：；；；． 题型04 含参数的不等式（组） 1.（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查由一元一次不等式组的解集求参数，根据不等式的解集确定a的取值范围是解题的关键． 先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴，解得：． 2.（24-25八年级上·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集即可得出a的取值范围． 【详解】解：．不等式可化为， ∴． ； 不等式可化为， ∴． ∴， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴． ． 3.（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组：． (1)当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； (2)要使此不等式组无解，则的取值范围是_____． 【答案】(1)，见解析； (2)． 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，不等式组无解问题； （1）当时，可得，再解不等式组即可； （2）由得：，由得：，结合不等式组无解可得，进一步可得答案. 【详解】（1）解：当时， ， 解得：， 在数轴上表示两个不等式的解集如下： ∴不等式组的解集； （2）解得：， 解得：， 要使此不等式组无解， ∴， ∴； ∴的取值范围是. 4.（24-25七年级下·上海·月考）若关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出两个不等式的解集，再根据原不等式组无解得到关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：． 5.（24-25七年级下·上海·月考）关于x的两个不等式①与②，若不等式①的解都是不等式②的解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，根据不等式①的解都是②的解，求出的范围即可．根据题意分别求出不等式的解集，进而得到关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：由①得：， 由②得：， 由不等式①的解都是②的解，得到， 解得：． 题型05 一元一次不等式（组）的应用 1.（24-25七年级下·上海松江·期末）某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动．六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类．为了保证垃圾分类助力总次数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？ 【答案】最少需要54名七年级学生参加活动 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设需要x名七年级学生参加活动，则需要名六年级学生参加活动，根据要保证垃圾分类助力总次数不少于360次，可列出关于x的一元一次不等式，解得x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设需要x名七年级学生参加活动，则需要名六年级学生参加活动， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为54． 答：最少需要54名七年级学生参加活动． 2.（24-25七年级下·上海长宁·期末）某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不得分，在这次竞赛中，小明有3道题没有作答，如果希望取得不低于70分的成绩，求小明至少要答对几道题． 【答案】小明至少要答对15道题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设小明答对道题，则小明答错题，根据总得分不低于70分建立不等式求解即可． 【详解】解：设小明答对道题， 由题意得，， 解得：， ∵是整数， ∴x的最小值为15， 答：小明至少要答对15道题． 3.（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，这是某电影院的价目表．某社团16人去此电影院看电影，打算以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料．如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？ 【答案】最多可买４盒爆米花 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，设可以买x盒爆米花，利用总价=单价数量，结合总价不超过1600元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】解：设可以买x盒爆米花，根据题意得： ， 解得，， 所以，最多可买４盒爆米花． 4.（24-25七年级上·吉林长春·月考）高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 【答案】(1)“科普类”图书的单价为20元，“文学类”图书的单价为16元 (2)①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，根据共花费1240元，即可得出关于x的方程，解之即可得出结论； （2）设“文学类”书购a本，根据总价单价数量，结合总费用超过1790元且不超过1800元，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，                         由题意得：， 解得：， 则，                        答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元； （2）解：设“文学类”书购买a本，则“科普类”书购买本， 依题意得：， 解得：． 因为a是正整数，所以． ∴学校有3种购买方案：                         ①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本； ②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本； ③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本． 5.（24-25七年级下·上海·月考）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 【答案】(1)A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元 (2)该企业购买方案有2种：①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台；②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用． （1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，根据信息一的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台，根据要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台， 由题意得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴，6， ∴该企业购买方案有2种： ①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台； ②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台． 考点06 不等式的创新新题型 1．（24-25七年级下·重庆·期中）已知两个多项式，将、进行加减乘除运算． ①已知，若关于的方程无解，则． ②若为非零整数，且为整数，则满足条件的的值的和为． ③若，则． ④若，则x的取值范围为． 以上说法中正确的个数有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题需逐个判断四个结论的正误，通过整式化简，结合一元一次方程无解的条件，分式整数解，完全平方公式，绝对值的性质逐一验证，最终统计正确个数得到结果． 【详解】已知，，逐个判断： ①计算 方程整理得 ∵一元一次方程无解时，一次项系数为，即，得 ∴①正确． ②计算 ∵为非零整数，约去得 ∵分式值为整数， ∴是的整数约数，即 解得，均满足分母不为 ∴的和为，②正确． ③计算 ∵， ∴ ∵，两边除以得 ∴ ∴③错误． ④令，原方程变为 当时，，等式成立 代入得 解得，∴④正确． 综上，正确的结论共个，故选C． 2．（24-25七年级下·河南·期末）定义一种运算，则不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】分和两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得． 【详解】解：当时，原不等式化为， 联立不等式组， 解得； 当时，原不等式化为， 联立不等式组， 解得， ∴不等式的解集是或． 3．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）记一个四位自然数，若，则称为“双11数”．例如：四位数4279就是“双11数”．设是一个“双11数”，记，若是整数，则满足条件的的最小值是___________． 【答案】 2794 【分析】根据双11数的定义，用a和b表示N和，利用是整数的条件，得到a，b满足的整除关系，要使N最小，依次取最小的a，再找满足条件的最小的b，即可求解． 【详解】解：设，其中a，b，c，d都是一位整数，，， 由，得，， 因为，， 因此，， ∴，， ∵， ， 则， ∵该式为整数， ∴能被7整除， ∵， ∴能被7整除， ∴能被7整除， 与7互质， ∴能被7整除， 要使最小，需千位a最小， 因此取，此时能被7整除，即能被7整除， 又，且b为一位整数，因此满足条件的最小， 此时，， ， 4．（24-25七年级下·吉林·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”有___________；（填序号） (2)若不等式组的一个“子方程”的解是整数，则该“子方程”的解为___________； (3)若方程都是关于的不等式组的“子方程”，则的取值范围是___________． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题结合新定义考查一元一次方程与一元一次不等式组的求解，根据新定义，若一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则该方程为不等式组的“子方程”．解题思路为：先求解方程的解，再求解不等式组的解集，再根据新定义判断或计算参数范围． （1）分别求解三个方程与不等式组，判断方程的解是否在不等式组解集内即可； （2）求解不等式组得到解集，找出解集中的整数即可； （3）先求解两个方程，再求解不等式组，根据两个方程的解都在不等式组解集内列不等式求解即可． 【详解】（1）解：对于①，移项系数化为1得； 对于②，解得； 对于③，整理得，解得； 求解不等式组： 解不等式，移项得，系数化为1得； 解不等式，移项得，系数化为1得； 因此不等式组的解集为； 和都在解集内，不在， 因此不等式组的“子方程”是①②； （2）解：解不等式组： 解不等式得； 解不等式得，即； 因此不等式组的解集为， 该区间内的整数只有， 因此该“子方程”的解为； （3）解：解方程，整理得，解得； 解方程，两边同乘得，展开整理得，解得； 解不等式组， 解不等式，移项得，系数化为1得； 解不等式，移项得； 因此不等式组的解集为； 因为两个方程都是“子方程”， 所以和都在解集内，可得： ， 解第一个不等式得，解第二个不等式得， 则． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）阅读下列材料： 问题：已知，且，，求的取值范围？ 解：∵， ∴． 又∵， ∴，即． 又∵， ∴①． ∴，即② ①②得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则x的取值范围是 ；的取值范围是 ； (2)已知，且，，根据上述做法得到，求m，n的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出，再根据求出y的取值范围，进而可得x的取值范围，然后把两式相加即可求出的取值范围； （2）利用材料中方法求出，然后得到关于m，n的方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴①， ∴，即②， ①②得，， ∴的取值范围是； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴①， ∴，即， ∴②， ①②得，，即， ∵， ∴， 解得： 经验证，满足题意． 6．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 合理规划校园文创市集场地 素材一 我校学生会为举办校园文创市集，划分出一块长方形活动区域，长为，宽为（其中）．去年市集共售出480件文创产品，由甲、乙两组志愿者负责售卖． 素材二 甲组售卖速度是乙组的倍，且甲组单独售完所有产品比乙组少用20分钟． 素材三 今年从该区域中划出一个边长为的正方形地块作为“盲盒抽取区”，其余部分作为“手工体验区”（如图）．“盲盒抽取区”共吸引360人次参与互动，“手工体验区”共接待240人次． 问题解决 (1)求甲、乙两组每分钟各售卖多少件产品？ (2)“盲盒抽取区”和“手工体验区”哪一区域的平均单位面积人流量更高？并说明理由． (3)现计划将该区域扩建，长增加，宽增加．若扩建后的面积是原来面积的k倍． ①若k为整数，求整数x的值． ②k的取值范围_______． 【答案】(1)甲组每分钟售卖件产品，乙组每分钟售卖4件产品； (2)“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高，理由见解析 (3)①；② 【分析】（1）设乙组每分钟售卖x件产品，则甲组每分钟售卖件产品，根据甲组单独售完所有产品比乙组少用20分钟建立方程求解即可； （2）分别求出两个区域的平均单位面积人流量，再利用作差法比较大小即可； （3）①求出扩建前后该区域的面积，则可用含x的式子表示出k，再根据k和x都为整数求解即可；②根据（3）①所求，结合x的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：设乙组每分钟售卖x件产品，则甲组每分钟售卖件产品， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲组每分钟售卖件产品，乙组每分钟售卖4件产品； （2）解：“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高，理由如下： “盲盒抽取区”的面积为，则“盲盒抽取区” 的平均单位面积人流量为， “手工体验区”的面积为，则“手工体验区”的平均单位面积人流量为， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高； （3）解：①由题意得，原来的面积为， 扩建后的面积为， ∵扩建后的面积是原来面积的k倍， ∴ ， ∵， ∴， ∵k为整数， ∴或或或或或， 解得（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）或或（舍去）； ②由（3）①得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）如图，数轴上线段，，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，若线段以个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时，； (2)当为何值时，的值与参数无关，求满足条件的； (3)是线段上一点，当点运动到线段上时，是否存在关系式，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)运动2秒或4秒时， (2)或 (3)存在关系式，线段的长为2或 【分析】（1）根据题意得出运动秒后，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，结合，得出，求解即可． （2）根据（1）可得，，根据的值与参数无关，得出，即，求解即可． （3）设点表示的数为，根据在线段上，得出．当在线段上时，，求出．此时，，，根据，得出，再分情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是， ∴点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是， 运动秒后，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ∵， ∴， 即或， 解得：或． （2）解：根据（1）可得， ， ∵， 又的值与参数无关， ∴，即， ∴， 即或， 解得：或． （3）解：设点表示的数为， 在线段上， ∴， 当在线段上时，， 解得：， 此时，，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 即或， 当时，整理得， ∴， 解得：， ∵， ∴，此时，符合条件． 当时，整理得， ∴， 解得：， 在范围内，此时，恒为定值，符合条件． 综上，存在关系式，线段的长为2或． 8．（25-26七年级下·福建泉州·月考）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)方程与不等式的“梦想解”是______； (2)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号） (3)若关于x，y的二元一次方程组与有“梦想解”，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)③ (3) 【分析】（1）先求出方程的解为，再将代入不等式进行验证即可； （2）解方程得，分别解不等式①②③，根据“梦想解”定义逐一判断即可求解； （3）解二元一次方程组得，进而求出，根据题意得即可得到，从而求出的取值范围﹒ 【详解】（1）解：由方程得：， 当时，， ∴方程与不等式的“梦想解”是． （2）解：解方程得， 解不等式得，故方程与不等式①没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式②没有梦想解； 解不等式得，故方程与不等式③的梦想解为﹒ （3）解：解二元一次方程组， 得， ∴， ∵方程组和不等式有“梦想解”， ∴， ∴﹒ 9．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【答案】(1)不等式组对于不等式组绝对包含，理由见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题． （1）先求解不等式组的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组的解集即可； （2）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于和的不等式，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和； （3）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 10．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）定义一种新运算“”：当时，：当时，．例如：． (1)填空：_____； (2)若，则的取值范围为_____； (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过比较和2的大小，可知选择计算； （2）根据等式右边的运算形式确定，解不等式即可； （3）由题意可知，分情况讨论或，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，解得， ∴的取值范围为； （3）解：①当时， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴此不等式组无解； ②当时， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴此不等式组的解集为， 综上可知，的取值范围为 【点睛】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用，根据新运算定义准确判断运算双方的大小关系，选择对应运算公式是解题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $