专题03 三角形的有关概念及内角和（高效培优期中专项训练）数学新教材沪教教版五四制七年级下册

专题03 三角形的有关概念及内角和 考点01 三角形的有关概念 考点02 三角形的内角和定理 考点03 三角形的外角性质 考点04 三角形的面积 考点05 三角形中的倒角模型 【考点01】 三角形的有关概念 1．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的识别． 根据，结合钝角三角形的定义即可判断． 【详解】解：∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海长宁·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．只需验证每组中最小的两边之和是否大于最大边即可． 【详解】A．2，3，5：最小两边和为，等于最大边5，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B．3，5，9：最小两边和为，小于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； C．3，6，9：最小两边和为，等于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； D．3，7，9：最小两边和为，大于最大边9，满足条件，能组成三角形． 故选D． 3．（24-25七年级下·上海闵行·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的边角关系， 根据三角形中“大角对大边”的性质，结合已知条件分析的可能长度． 【详解】解： 在中，，由大角对大边定理可知，的对边大于的对边，已知厘米，因此厘米， 所以只有D选项5.4厘米满足此条件． 故选：D． 4．（24-25七年级下·上海金山·期中）如果的两边长分别为和，那么第三边的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系的定理可以确定的取值范围，再解不等式即可．解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得： ， 解得：． 故答案为：． 5．（22-23七年级下·上海静安·期末）下列说法中错误的是（    ） A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线交于同一点 C．三角形的三条角平分线交于同一点 D．直角三角形的三条高的交点在三角形内部 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三条重要线段．根据中线，角平分线，高线的定义和性质，进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，选项正确； B、三角形的三条中线交于同一点，选项正确； C、三角形的三条角平分线交于同一点，选项正确； D、直角三角形的三条高的交点在直角顶点处，选项错误； 故选：D． 【考点02】 三角形的内角和定理 1. （25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知中，，则_______，该三角形是________三角形（按角分类）． 【答案】 70 锐角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理．根据三角形内角和定理，计算的度数，再根据各角的大小判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴是锐角三角形． 故答案为：70；锐角 2．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）定义：若三角形的两个内角和满足，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”．在中，，，是射线上一点，若是“奇异互余三角形”，则_______ 【答案】或或 【分析】本题主要考查了“奇异互余三角形”的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，理解新定义“奇异互余三角形”是解题关键．根据“奇异互余三角形”的定义，分三种情况：当点P在延长线上，，则，当点P在延长线上，时，则，当点P在线段上时，，，分别求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 分三种情况讨论， 如图，当点P在延长线上，，则， 此时， 即， ∴①， ∵②， 由，可得， ∴； 如图，当点P在延长线上，时，则， 此时，即， ∴③， ∵④， ∴得， ∴； 如图，当点P在线段上时，，， ∴， ∴此时； 综上所述，的所有可能的度数为或或． 故答案为：或或． 3．（24-25七年级下·上海普陀·期中）下列说法： ①任意三角形的内角和都是； ②等腰三角形是特殊的等边三角形； ③三角形的中线、角平分线和高线都是线段； ④三角形的三条高线必在三角形内， 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高、中线、角平分线的概念；三角形的内角和定理；三角形的分类．分别根据三角形外角的性质、三角形的分类及三角形的内角和定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：任意三角形的内角和都是，故①正确； 等边三角形是特殊的等腰三角形，故②错误； 三角形的中线、角平分线、高线都是线段，故③正确； 只有锐角三角形的三条高线在三角形内，故④错误； 故选：B． 4．（24-25七年级下·上海·期中）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”．如图，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，则等于________． 【答案】/36度 【分析】本题考查三角形内角和定理、邻补角的性质、平行线的判定与性质等知识点，理解“优美三角形”的定义是解题的关键． 根据邻补角的性质得到，根据平行线的性质得到，推出得到，根据角平分线的定义得到求得，再根据“优美三角形”的定义求解即可． 【详解】解：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ， 是“优美三角形”， ， ，即， ． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知△中，，，求、、的度数及的面积． 【答案】，， 【分析】本题考查了三角形的内角和以及三角形的分类，三角形的面积，根据题意设、、的度数分别为 、、，根据三角形内角和定理得出 、 ，则 是等腰直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设、、的度数分别为 、、，    由三角形内角和定理可得： 解得 所以 、 ，                 所以是等腰直角三角形，, 则 6．（24-25七年级下·上海崇明·期中）当三角形中一个内角β是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形内角和，理解“友好三角形”的意义是解题的关键；分三种情况：当为的时；当为时；当角外的另两个内角有倍数关系时，分别计算即可． 【详解】解：当为的时，即； 当一个角为的时，即； 当角外的另两个内角满足一个角是另外一个内角的时，， ； 综上，“友好角”的度数为或或． 故答案为：或或 【考点03】 三角形的外角性质 1．（24-25七年级下·上海宝山·期中）根据图中的数据，可得的度数为_________________． 【答案】/50度 【分析】本题考查了三角形外角的性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和；据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 2．（24-25七年级下·上海崇明·期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．根据题意先得到，再根据三角形的外角性质进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 根据三角形外角性质，， 所以的度数为． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系是解题的关键， 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据平行线的性质可得，易得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】证明：，，， ， ∵， （两直线平行，内错角相等） ， ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 4．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，为的边上的一点，且，．那么________． 【答案】 【分析】本题考查了本题主要考查了三角形内角定理、三角形外角的性质，首先根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可以求出，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图所示，已知：是的外角，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和以及三角形内角和等于是解题的关键． 先根据三角形外角的性质得出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】证明：∵是的外角， ∴． ∵， ∴． 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，点D在上，点E在上，且， (1)如果平分，求的大小； (2)如果与互余，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了余角与补角． （1）利用平分得到，接着在中，利用三角形内角和定理计算出，根据三角形内角和定理计算出，然后利用三角形外角性质可计算出的度数； （2）先求出，，从而，可得，结合求出，进而可求出的大小． 【详解】（1）平分（已知） （角平分线的定义） （已知） （等量代换） （三角形的内角和等于） 又（已知） （等最代换） （等式性质） （三角形的内角和笭于） 又（已知） （等是代换） （等式性质） （三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） （等式性质） （2）（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），（已知） ∴， ∵（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），， ∴（等量代换）， （等量代换） （等式性质） （已知） （等量代换） （等式性质） ∴ （已知） （等量代换） 7．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知在中，点在上，连接，点、分别在、上，连接． (1)求证：．把以下证明过程补充完整：证明： （已知）， 又（___________）， （___________）． （___________）． （___________） (2)如果，平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． （1）根据推理过程结合图形解答即可； （2）根据角平分线的定义结合三角形外角的性质，推出，由（1）知，即可证明． 【详解】（1）证明：（已知）， 又（平角的定义）， （同角的补角相等）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等） （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点04】 三角形的面积 1．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求线段长，熟记三角形面积公式是解决问题的关键． 根据题意，由等面积法列等式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：，分别是的边，的高线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，，的面积为，，则点到直线的距离为________cm． 【答案】6 【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算、点到直线的距离．作于，先求出，再结合点到直线的距离的意义即可得解． 【详解】解：如图，作于，    的面积等于，， ，即， ， ， 点到直线的距离为， 故答案为：6． 3．（22-23七年级下·上海徐汇·期中）如图，在中，，，，，，则线段_______．    【答案】 【分析】根据即可求出的值． 【详解】解：在中，，，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的面积，熟知直角三角形的面积公式是解答此题的关键． 4．（20-21八年级下·上海黄浦·期中）已知中，D、E分别是边AB、AC上的点，连接DE、BE、DC，下列各式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A选项，设点E、C到AB的距离分别为，，则，根据三角形面积公式进行判断即可；B选项设点D、B到AC的距离分别为x，y，则，，根据三角形面积公式进行判断即可；C选项，设点C到AB距离为h，，，根据三角形面积公式进行判断即可；D选项，设点D到AC距离为，则，，根据三角形面积公式进行判断即可 【详解】A选项：设点E、C到AB的距离分别为，，则， ，， ∴，故A错误； B选项：设点D、B到AC的距离分别为x，y，则，， ，，，故B错误； C选项：设点C到AB距离为h，，， ∴，故C正确； D选项：设点D到AC距离为，则，， ∴，故D错误. 故选C． 【点睛】本题考查了与三角形的高有关的计算，掌握三角形的高的定义，根据三角形的面积计算是解题的关键． 5．（23-24八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________． 【答案】1 【分析】本题考查了中点相关的面积问题，熟练掌握与中点相关面积的计算是解题的关键； 根据中点得到面积关系即可求得. 【详解】解：∵D为BC中点， ∴ 同理可得： ∴ ∵F是EC的中点， 故答案为：1 ． 6．（24-25七年级下·上海·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是______． 【答案】2.5 【分析】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．根据是边上的中线，得到，根据是边上的中线，解答即可． 【详解】解：∵、是的中线，连接，的面积是10， ∴， ∴， 故答案为：2.5． 7．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知是中边上的中线，点、分别在、的延长线上，，如果的面积是8，那么的面积等于___________． 【答案】 【分析】本题考查了根据三角形的中线求面积，连接，根据三角形中线的性质易求，进而求出，同理得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是中边上的中线，的面积是8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8.（24-25七年级下·上海·月考）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则_______ 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积．根据，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9. （24-25七年级下·上海青浦·月考）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点05】 三角形中的倒角模型 1．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识．角平分线的定义求解即可． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，平分，平分，如果，那么______°． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出． 【详解】， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，、的平分线交于点，若，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，熟记性质并作辅助线然后整理出、、三者之间的关系式是解题的关键． 延长交于，根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，整理可得，即可得解． 【详解】如图，延长交于点，设与交于点． 、的平分线交于点， ，． ，， ① ，， ② ①－②，得， ． ，， ． 4．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 5．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，分别在，上．已知，平分，过点作的平分线交于点． (1)求证：； 对于这道题，小明的证明过程如下： 证明：， （两直线平行，同位角相等）．① 平分，平分， ，．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④ 老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正． (2)过点作的平分线交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)④；改正见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行线的判定判断即可； （2）首先由平行得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线得到，，进而求解即可． 【详解】（1）∵和不是同位角， ∴由无法证明出 ∴第④步有问题； 改正：∵ ∴ ∴ ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）∵， ∴ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴． 6．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图①所示，在中，若，则称，分别为的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． (1)如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则________； (2)如图③，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，若，求的度数； (3)在中，是的外角，的三分线与的邻三分线交于点．若，，直接写出的度数．(用含、的代数式表示) 【答案】(1) (2) (3)当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时， 【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理； （1）根据的邻三分线交于点，得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，进而根据新定义，以及三角形内角和定理可得； （3）根据题意画出符合的所有情况，①当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，②当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∵的邻三分线交于点， ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：∵在中，是的邻三分线，是的邻三分线 ∴ ∵ ∴ ∴ （3）分为两种种情况： 情况一：如图1， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可得：， ； 情况二：如图2， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可知：， ； 综上所述，当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时， 7．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形的有关概念及内角和 考点01 三角形的有关概念 考点02 三角形的内角和定理 考点03 三角形的外角性质 考点04 三角形的面积 考点05 三角形中的倒角模型 【考点01】 三角形的有关概念 1．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 2．（24-25七年级下·上海长宁·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 3．（24-25七年级下·上海闵行·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 4．（24-25七年级下·上海金山·期中）如果的两边长分别为和，那么第三边的取值范围是______． 5．（22-23七年级下·上海静安·期末）下列说法中错误的是（    ） A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线交于同一点 C．三角形的三条角平分线交于同一点 D．直角三角形的三条高的交点在三角形内部 【考点02】 三角形的内角和定理 1. （25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知中，，则_______，该三角形是________三角形（按角分类）． 2．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）定义：若三角形的两个内角和满足，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”．在中，，，是射线上一点，若是“奇异互余三角形”，则_______ 3．（24-25七年级下·上海普陀·期中）下列说法： ①任意三角形的内角和都是； ②等腰三角形是特殊的等边三角形； ③三角形的中线、角平分线和高线都是线段； ④三角形的三条高线必在三角形内， 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 4．（24-25七年级下·上海·期中）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”．如图，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，则等于________． 5．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知△中，，，求、、的度数及的面积． 6．（24-25七年级下·上海崇明·期中）当三角形中一个内角β是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为________． 【考点03】 三角形的外角性质 1．（24-25七年级下·上海宝山·期中）根据图中的数据，可得的度数为_________________． 2．（24-25七年级下·上海崇明·期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为________． 3．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，已知，，，，求的度数． 4．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，为的边上的一点，且，．那么________． 5．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图所示，已知：是的外角，求证：． 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，点D在上，点E在上，且， (1)如果平分，求的大小； (2)如果与互余，求的大小． 7．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知在中，点在上，连接，点、分别在、上，连接． (1)求证：．把以下证明过程补充完整：证明： （已知）， 又（___________）， （___________）． （___________）． （___________） (2)如果，平分，求证：． 【考点04】 三角形的面积 1．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 2．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，，的面积为，，则点到直线的距离为________cm． 3．（22-23七年级下·上海徐汇·期中）如图，在中，，，，，，则线段_______．    4．（20-21八年级下·上海黄浦·期中）已知中，D、E分别是边AB、AC上的点，连接DE、BE、DC，下列各式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________． 6．（24-25七年级下·上海·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是______． 7．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知是中边上的中线，点、分别在、的延长线上，，如果的面积是8，那么的面积等于___________． 8.（24-25七年级下·上海·月考）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则_______ 9. （24-25七年级下·上海青浦·月考）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【考点05】 三角形中的倒角模型 1．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是________． 2．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，平分，平分，如果，那么______°． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，、的平分线交于点，若，，则的度数为__________． 4．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 5．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，分别在，上．已知，平分，过点作的平分线交于点． (1)求证：； 对于这道题，小明的证明过程如下： 证明：， （两直线平行，同位角相等）．① 平分，平分， ，．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④ 老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正． (2)过点作的平分线交于点，若，，求的度数． 6．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图①所示，在中，若，则称，分别为的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． (1)如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则________； (2)如图③，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，若，求的度数； (3)在中，是的外角，的三分线与的邻三分线交于点．若，，直接写出的度数．(用含、的代数式表示) 7．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $