专题11 几何压轴选填（路径与最值）（复习讲义）（浙江专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题11 几何压轴选填（路径与最值） 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一：几何图形操作压轴题 题型二：将军饮马（两点之间线段最短） 题型三：胡不归模型 题型四：瓜豆原理 题型五：隐圆模型 必备知识 知识1 线段最值问题（将军饮马、胡不归等） 知识2 动点轨迹问题（如“瓜豆原理”） 知识3 巧用辅助圆 命题预测 命题 透视 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，几何压轴选填的命题形式主要为填空题或选择题压轴题，以动点问题为载体，综合考查线段最值与轨迹问题，难度较大，区分度高。 命题内容： 1. 线段最值问题：考查将军饮马、胡不归模型，通过构造对称或三角函数转化线段和，利用垂线段最短或两点间线段最短求最值。 2. 动点轨迹问题：考查瓜豆原理、辅助圆，根据主从联动确定轨迹形状（直线或圆），利用轨迹性质求最值或路径长。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 将军饮马（两点之间线段最短） T9：将军饮马模型最值 T8：正方形与弦图几何结合 T9：将军饮马模型 T8：将军饮马与菱形 T9：将军饮马与矩形 瓜豆原理（主从联动） T24(3)：菱形中动点轨迹（直线型+圆形型） T16：矩形中动点轨迹 T15：正方形中动点轨迹 T16：等边三角形中动点轨迹 隐圆模型（动点定长） T16：矩形折叠中动点轨迹与最值 T16：菱形与对称结合面积比 T15：矩形中隐圆最值 T16：正方形中隐圆最值 T15：矩形中隐圆最值 隐圆模型（直径所对圆周角） T15：正方形中动点与隐圆最值 T16：矩形中直角隐圆 T15：正方形中直角隐圆 T16：等边三角形中隐圆 命题预测 对2026年中考数学试题的考情预测： 1. 模型融合考查：可能在同一题中综合多种最值模型（如将军饮马与瓜豆结合），提升思维含量。 2. 轨迹分析深化：动点轨迹由单一向复合型（直线+圆弧）演变，需灵活运用瓜豆原理判断轨迹。 3. 情境创新突出：融入新定义或真实情境，考查即时学习与模型迁移能力。 备考建议： 1. 夯实基础：熟练掌握将军饮马、胡不归、瓜豆原理的基本模型与解题步骤。 2. 突破中档：专项训练轨迹判断与最值转化，掌握“定角定比”识别技巧。 3. 强化综合：练习多模型融合试题，提升复杂图形中提炼基本模型的能力。 4. 关注创新：适应新定义题型，培养从陌生情境中抽象几何模型并灵活应用的思想。 题型一 几何图形操作压轴题 1. 动态分析：抓住平移、旋转、折叠等变换中不变的量与关系，画出关键位置图形。 2. 分类讨论：根据动点位置或图形形状变化分情况讨论，避免漏解。 3. 方程建模：设未知数，利用勾股定理、相似或面积关系建立方程求解。 1．（2023·浙江衢州·中考真题）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，，四边形，是正方形．过点，将纸片分别沿与平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形，拼成图2．    （1）若，的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为________． （2）若，则________． 【答案】 9 / 【分析】（1）在图1中，过作于，由，可得，，故，而的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为； （2）标识字母如图，设，证明，可得，由，有，即，可得或，而，，即可得到答案． 【详解】（1）在图1中，过作于，如图：    ， ， ， ，即， ， ， ，即， ， ， 的面积为16， ， ， ， 纸片Ⅲ的面积为； 故答案为：9； （2）如图：    ， ， 设，则，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 解得或， 当时，，这情况不符合题意，舍去； 当时，， 而，， ． 故答案为：． 2．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上． （1）若，，则的长是______cm． （2）若，则的值是______． 【答案】 4 3 【分析】（1）将和用表示出来，再代入，即可求出的长； （2）由已知条件可以证明，从而得到，设，，，用x和k的式子表示出，再利用列方程，解出x，从而求出的值． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∵， ∴， 故答案为：4； （2）设， ∵， ∴可设，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ∵四边形对角互补， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴． 故答案为：3． 3．（2023·浙江温州·中考真题）图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域(点，，，在圆上，点，在上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为___________．若点，，在同一直线上，，，则题字区域的面积为___________．    【答案】 5 【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得，连接，取的中点，连接，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，， ∵过左侧的三个端点作圆，， 又， ∴在上，连接，则为半径， ∵， 在中， ∴ 解得：； 连接，取的中点，连接，交于点，连接，，    ∵， ∴， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， 又， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， 设，则 在中， 即 整理得 即 解得：或 ∴题字区域的面积为 故答案为：；． 4．（2022·浙江衢州·中考真题）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，是两侧山脚的入口，从出发任作线段，过作，然后依次作垂线段，直到接近点，作于点．每条线段可测量，长度如图所示．分别在，上任选点，作，，使得，此时点共线．挖隧道时始终能看见处的标志即可． （1）_______km． （2）=_______． 【答案】 1.8 【分析】（1）由图可知CD＝5.5km，EF＝1km，GJ＝2.7km，代入CD－EF－GJ计算即可得到答案； （2）连接AB，过点A作AT⊥CB，交CB的延长线于点T，∠ATB＝90°，共线,得到∠MBQ＝∠ABT，由题意可知BT和AT的长度，即可求得∠ABT的正切，进一步即可得到答案． 【详解】解：（1）由图可知，CD＝5.5km，EF＝1km，GJ＝2.7km， ∴CD－EF－GJ＝5.5－1－2.7＝1.8（km）； 故答案为：1.8 （2）连接AB，过点A作AT⊥CB，交CB的延长线于点T，∠ATB＝90°， ∵点共线, ∴∠MBQ＝∠ABT， 由题意可知，BT＝DE＋FG－CB－AJ＝4.9＋3.1－3－2.4＝2.6, AT＝CD－EF－GJ＝5.5－1－2.7＝1.8， ∴tan∠ABT＝， ∴tan∠MBQ ＝＝， ∴k＝． 故答案为： 题型二 将军饮马（两点之间线段最短） 1. 作对称转化：作其中一个定点关于动点所在直线的对称点，连接对称点与另一定点，与直线交点即为所求。 2. 核心原理：利用“两点之间线段最短”，将折线段之和转化为两点间直线段长度。 3. 模型识别：常见“两定一动”“一定两动”等模型，通过轴对称化折为直求解。 1．如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，过点作，根据轴对称的性质可知，根据三角形三边关系可知，根据垂线段最短可知的最小值是垂线段的最小值，利用三角形的面积公式求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接，过点作， 则有， ， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， 垂线段最短， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 的最小值是． 2．如图，中，，点分别是的中点，在上找一点，连接，当最小时，这个最小值是________________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称最短路径的计算，勾股定理，等腰直角三角形的性质，根据题意，如图，连接，则就是的最小值，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：已知， ∴是等腰直角三角形， ∵点是中点， ∴， ∴点关于的对称点为点， 如图，连接，当点三点共线时，就是的最小值， ∵在中，，点分别是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 3．如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了斜中半定理，三角形中位线的性质以及运用将军饮马模型求线段和的最小值，综合运用以上知识是解题的关键．运用斜中半定理以及三角形中位线性质，证明四边形是平行四边形，求的最小值等同于求的最小值，最后运用将军饮马模型以及勾股定理求得最小值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点M，N分别是，的中点， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴的最小值就是的最小值， 作点C关于直线对称点Q，连接、， ， 当点B、P、Q三点共线时，的最小值就是的长度， 在中，，，， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 题型三 胡不归模型 1. 识别特征：形如“PA+k·PB”的最值问题，动点在直线上运动，且0<k<1。 2. 构造转化：以系数k为sinα构造直角三角形，将k·PB转化为另一直角边，化折为直。 3. 最值原理：利用“垂线段最短”或“两点之间线段最短”求最小值。 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____． 【答案】4 【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果． 【详解】解：如图， 在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P， 此时PA+2PB最小， ∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD＝， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°， ∴PF＝， ∴PA+2PB＝2＝＝2BF， 在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°， ∴BF＝AB•sin45°＝4， ∴（PA+2PB）最大＝2BF＝， 故答案为：． 2．如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，可将转化为，此时就等于，当共线时，即为所要求的最小值． 【详解】解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于， ，，， ， ，， ， ， 当，，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小， 当，，三点共线时，有最小值， 此时， 的最小值为， 故答案为． 题型四 瓜豆原理 1. 识别条件：定点到两动点连线夹角固定、距离比固定，则从动点轨迹与主动点轨迹相同（“种线得线，种圆得圆”）。 2. 确定轨迹：主动点轨迹为直线时，从动点轨迹也为直线；主动点轨迹为圆时，从动点轨迹也为圆，圆心位置通过旋转相似确定。 3. 求解最值：确定从动点轨迹后，利用垂线段最短或三点共线（点圆最值）求最小值或最大值。 5．如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是___________． 【答案】 【分析】以为边作等边，连接．证明，得到，从而，因此是定值，即点G在与成定角的直线上运动．过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长．当点E与点A重合时，过点G作于点M，过点F作于点N，求出，，的面积，得到，根据勾股定理求出，再由三角形的面积求出，即可解答． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接． ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴是定值，即点G在与成定角的直线上运动． 过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长． 如图，当点E与点A重合时， 过点G作于点M，过点F作于点N， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ，， ∴在中， ∵， 又， ∴， ∴， ∴点从点运动到点的过程中，线段的最小值是． 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确找出点G的运动轨迹，根据三角形的面积求解是解题的关键． 6．如图，矩形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，且，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理及垂线段最短等知识．解题的关键是利用瓜豆原理确定点的运动轨迹，再通过矩形的性质转化线段长度，求出最小值．由旋转确定定点与定比，推出从动点的轨迹为直线；再根据点到直线的距离垂线段最短，求出的最小值． 【详解】解：如图，矩形中，，， ，，， 由勾股定理得：， 将线段绕点逆时针旋转至， ，， ，即 在上取点，使，连接， 在和中， ， ， ，即， 点的运动轨迹在过点且垂直于的直线上， 过点作于，过点作直线于， 则当与重合时，取得最小值，最小值为的长， ， ，解得， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ，，， 四边形为矩形， ，即的最小值为． 故答案为：． 题型五 隐圆模型 1. 定点定长：若动点到一个定点距离始终等于定长，则该点轨迹为圆（常见于折叠、旋转或直角三角形斜边中线）。 2. 定弦定角：若线段同侧动点所对角度始终不变，则动点轨迹为圆弧（构造辅助圆）。 3. 四点共圆：对角互补或外角等于内对角的四边形，可利用辅助圆转化角或线段关系。 1．如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，连接，证明，得出，点在点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案． 【详解】解：设的中点为，连接， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∴点在点为圆心，4为半径的圆上． ， ， ∵的最小值为2． 故选：A． 2．如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 作 ，交于点，以为直径画，证明，推出点在以为直径的运动，并求出半径，再连接，推出点运动的路径长为，然后根据三角形函数和圆周角定理解出，最后运用弧长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴， 作 ，交于点，以为直径画， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点在以为直径的运动， ∵点从点运动到点， ∴连接，点运动的路径长为， ∵，，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴的弧长为． ∴点的运动路径总长为：． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，和分别是轴正半轴和线段上的动点，满足，连接，则的最大值是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形和函数综合，取点的坐标为，即，通过乘积式相等证明，进而可得、、、在以为直径的圆上，从而得出，设，再利用相似三角形的性质勾股定理列方程表示出，，从而可得，利用平方和完全平方公式变形求出分母最小值，得出分式最大值（分子一定，正数范围内）．解题关键是构造得出，再利用分式变形求出最大值． 【详解】解：取点的坐标为，即，连接，， ∵，即， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴、、、在以为直径的圆上， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴ 整理变形得：， ∵， ∴， ∴当最小时，即最大，即最大值， ∴， 故答案为． 知识1 线段最值问题（将军饮马、胡不归等） 1. 将军饮马： 两定点在直线同侧，求直线上点使路径和最小。作其中一点关于直线的对称点，连接另一点与对称点，与直线交点即为所求。 2. 胡不归问题： 形如PA + k×PB的最值（0<k<1）。构造正弦值为k的角，将k×PB转化为垂线段，利用垂线段最短求解。 3. 其他模型： 费马点（三角形内到三顶点距离和最小，旋转60°构造等边三角形）；造桥选址（平移构造平行四边形）。 知识2 动点轨迹问题（如“瓜豆原理”） 1. 核心原理： 若两动点与定点连线夹角固定且线段比为定值，则主从点轨迹形状相同（直线或圆），即“种瓜得瓜，种豆得豆”。 2. 轨迹判断： 从动点轨迹由主动点轨迹决定：主动点走直线，从动点走直线；主动点走圆，从动点走圆。关键是找定点、定角、定比。 3. 快速应用： 确定主动点轨迹后，通过旋转缩放（位似变换）得到从动点轨迹的起止位置或圆心半径，进而求线段长或最值。 知识3 巧用辅助圆 1. 四点共圆判定： ① 到定点距离相等的点共圆；② 同侧对边对角互补；③ 同侧共边等角（同弧所对圆周角相等）。快速识别隐圆条件。 2. 定角定边模型： 线段AB固定，所对∠APB为定值且P在AB同侧，则P的轨迹是以AB为弦的圆弧（可用圆周角定理找圆心）。 3. 最值应用： 圆外一点到圆上点距离最值在连心线与圆交点处取得；利用直径所对圆周角为90°构造直角三角形，将线段长转化为半径加减。 一、单选题 1．如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴ ，点G为的中点， ∴， 作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长； ，， ， ∴， ∴； ∴的最小值为4； 故选：B． 2．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 3．如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， ，G，N三点共线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 二、填空题 4．如图，以为直径的中，点为上一点，且，过点O作，垂足为，点为直线上一个动点，则，，构成的封闭图形周长最小值为________． 【答案】 【分析】要使得，，构成的封闭图形周长最小，弧的值不变，则最小即可，点关于的对称点为点，即当点与点重合时， ，，构成的封闭图形周长最小，求出半径和的长即可． 【详解】解：要使得，，构成的封闭图形周长最小，的值不变，则最小即可， 连接，， ， ， 是的垂直平分线， 点关于的对称点为点， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，最小， 即，，构成的封闭图形周长最小， ， ，， 的长为， ，，构成的封闭图形周长最小为：． 5．如图，在边长为2的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 6．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为__________． 【答案】 【分析】本题主要涉及等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形面积的计算．解题的关键思路是通过等边三角形的性质构造全等三角形，找出线段扫过的图形，进而计算其面积． 具体来说，利用是等边三角形和的条件，证明和全等，从而将线段的运动转化为线段的运动，进而确定线段扫过的图形，再计算其面积． 【详解】解：是边长为4的等边三角形， ，． ， 又线段绕点逆时针旋转得到线段， ，． ， 即． 在和中， ， ． ，， ，， ，， ，即点Q的运动轨迹在射线上， 作射线，在射线上截取，连接， ， 即点P从点C运动到点D的过程中，点Q从图中的点Q运动到点，点Q的运动轨迹是下图中的线段， ，，此时， ， 线段扫过的图形的面积等于的面积． 作于， ， ， 线段扫过的面积， 故答案为：． 三、解答题 7．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点，直线与直线交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点为直线上一点，点，是直线上的动点，且，求的最小值，并求出此时点的坐标； (3)如图2，过点作交轴于点，点为直线上一点，满足，点是平面直角坐标系内一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)最小值：； (3)，，或 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、线段和的最小值问题（将军饮马模型）以及等腰直角三角形的存在性问题；解题的关键是准确求出相关点的坐标，并灵活运用几何变换（如平移、对称、旋转）将线段和问题进行转化，同时注意分类讨论等腰直角三角形的不同情况． （1）先求出直线与坐标轴的交点的坐标，进而得到的长度，再根据与的关系求出点的坐标，将点代入直线的方程求出，从而得到点的坐标，最后利用点和点的坐标求出直线的解析式； （2）先求出点的坐标；通过平移变换得到，计算得到，从而证明，将转化为，利用轴对称模型，作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求点，进而求出最小值； （3）根据得到，找到点作图，是以为直角边的等腰直角三角形，分四种情况讨论；根据等积法找到得长度，从而找到点坐标，待定系数法求得，找到点，坐标，再根据找到，再利用中点坐标公式求得，，． 【详解】（1）解：由直线，令得， 点的坐标为，则 代入，得， 即 由，且点在负半轴上，即 设，将，代入得 解得 ∴直线的解析式： （2）∵点为直线上一点 ∴将代入得 ， ∴ 过点作轴于点；过点作，与轴交于点，连接 ∴， ∵直线，与轴交于点 ∴令， ∴， ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴， ∴， 过点作于，过点作的延长线于点 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ 作点关于对称点，连接与交于， ∴ ∴ ∴，即最小值为，此时点在处 设与交于 ∵点，点关于对称 ∴， ∵ ∴ ∴为中点 ∴， ∵， ∴为中点 ， ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， 设，， 则解得， ∴ 联立：，解得 ∴ ∴最小，此时 （3）∵ ∴ 设直线与轴交于点，令， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设点， 整理得:， ， ∴点 设， 解得 ∴，令， 即 ∴ 设， 则 整理得 （舍）， ∴ ∴ ①当在处，，时； 过作轴于点，过作轴于点 ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ， ∴ ②当在处，，时； 则， ∴共线，且 ∴为的中点 则， ∴， ∴ ③当在处，，时； ， ∴， ∴可由平移而来 ∴ ∴ ∴ ④当在处，，时； ∴ ∴共线 又∵，∴为中点 ∴， ∴， ∴ 综上所述，，，或 8．问题提出 (1)如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 (2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 (3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大，如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，得出为等边三角形，则，，求出，则由三角形面积公式可得出答案； （2）如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解． （3）如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】（1）解：作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大， 如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 即面积的最大值. （2）解：如图所示，以为边作等边，连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，且，， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上且在点的上方时，的面积取得最大值， ∴在中，，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， （3）解：∵，， ∴，， 如图，连接，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， 过点作，交于点，则当点D在点的上方时，的面积取得最大值， ∵， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11几何压轴选填（路径与最值） 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 题型一：几何图形操作压轴题 题型二：将军饮马（两点之间线段最短）》 真题动向 题型三：胡不归模型 题型四：瓜豆原理 题型五：隐圆模型 知识1线段最值问题（将军饮马、胡不归等） 必备知识 知识2动点轨迹问题（如“瓜豆原理”） 知识3巧用辅助圆 命题预测 01 析考情目标 命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，几何压轴选填的命题形式主要为填空题或选择题压 轴题，以动点问题为载体，综合考查线段最值与轨迹问题，难度较大，区分度高。 命题 命题内容： 1.线段最值问题：考查将军饮马、胡不归模型，通过构造对称或三角函数转化线段和，利用垂线 透视 段最短或两点间线段最短求最值。 2.动点轨迹问题：考查瓜豆原理、辅助圆，根据主从联动确定轨迹形状（直线或圆），利用轨迹 性质求最值或路径长。 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 将军饮马 (两点之 T9:将军饮马模型最 T8:正方形与 T9:将军饮 78:将军饮马T9:将军饮马与 热考 间线段最 值 弦图几何结合 马模型 与菱形 矩形 角度 短) 瓜豆原理 T24(3):菱形中动点轨 T16:矩形中 T15:正方形 T16:等边三角 (主从联 迹（直线型+圆形型） 动点轨迹 中动点轨迹 形中动点轨迹 动) 1/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 隐圆模型 T16:矩形折叠中动点T16:菱形与对 T15:矩形中 T16:正方形 T15:矩形中隐 (动点定 轨迹与最值 称结合面积比 隐圆最值 中隐圆最值 圆最值 长) 隐圆模型 (直径所 T15:正方形中动点与 T16:矩形中 T15:正方形 T16:等边三角 对圆周 隐圆最值 直角隐圆 中直角隐圆 形中隐圆 角) 对2026年中考数学试题的考情预测： 1.模型融合考查：可能在同一题中综合多种最值模型（如将军饮马与瓜豆结合），提升思维含量。 2.轨迹分析深化：动点轨迹由单一向复合型（直线+圆弧）演变，需灵活运用瓜豆原理判断轨迹。 命题 3.情境创新突出：融入新定义或真实情境，考查即时学习与模型迁移能力。 备考建议： 预测 1.夯实基础：熟练掌握将军饮马、胡不归、瓜豆原理的基本模型与解题步骤。 2.突破中档：专项训练轨迹判断与最值转化，掌握“定角定比”识别技巧。 3. 强化综合：练习多模型融合试题，提升复杂图形中提炼基本模型的能力。 4.关注创新：适应新定义题型，培养从陌生情境中抽象几何模型并灵活应用的思想。 02 筑·专题框架 2/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 平移 图形变换十旋转 翻折 异侧和最小 一几何图形操作压轴题 动点轨迹 同侧差最大 将军饮马口快 最值问题 对称连线解 两点一线 线段带系数 将军饮马核型 两线一点 构造特殊角 胡不归口快 两线两点 化斜为直求 加权线段和 主从联动 五、解题口诀 一、 基础概念 胡不归模型 构造相似三角形 轨迹一致 瓜豆原理口诀 化折为直 缩放旋转 主动点与从动点 定点定长圆 瓜豆原理 轨迹相似性 定弦定角圆 隐圆口决 旋转缩放 对角互补圆 定点定长 直角对径圆 定弦定角 模型识别错误 隐园模型 对角互补 对称点作错 几何压轴选填 直角对直径 轨迹判断不准 四、高频易错点 一作对称点 忽略多解倩况 将军饮马解法 连线求交点 计算过程复杂化 构造含特殊角百角三角形 未考虑临界状态 胡不归解法 转化为垂线铅 线段和最值 确定主从点关系 点到直线距离最值 瓜豆原理解法 判断轨迹形状 路径长计算 二、核心解法 三、高频考点 计算从动点路径 角度最值 识别隐圆条件 面积最值 隐圆模型解法 作出铺助圆 动态轨迹分析 利用圆的性质求解 识别模型 综合解题思路 转化问题 数形结合 03 攻·重难考点 题 动 向 ●●● 》题型一几何图形操作压轴题 点方法 1.动态分析：抓住平移、旋转、折叠等变换中不变的量与关系，画出关键位置图形。 2.分类讨论：根据动点位置或图形形状变化分情况讨论，避免漏解。 3.方程建模：设未知数，利用勾股定理、相似或面积关系建立方程求解。 1. (2023浙江衢州中考真题)下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中， LACB=90(AC<BC),四边形ACDE,CBFG是正方形.过点C,B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂 直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE,ABC拼成图2. 3/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G K B 图1 图2 (1)若cos∠ABC= 4 ABC的面积为16，则纸片ⅢI的面积为 2)若19 05,则然 AK 2.(2023浙江湖州中考真题)如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好 拼成对角互补的四边形ABCD,相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰 RtABCF,③和④分别是Rt△CDG和RIADAH,⑤是正方形EFGH,直角顶点E,F,G,H分别在边 BF,CG,DH,AE上 D P③ G ④⑤ ② I⊙ E B (1)若EF=3cm,AE+FC=11cm,则BE的长是cm. @)考品手则aDm的能是 3.(2023浙江温州中考真题)图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为√2，现将它剪拼 成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A ,E,D,B在圆上，点C,F在AB上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为 .若点A,N, M在同一直线上，AB∥PN,DE=√6EF,则题字区域的面积为 4/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A E D B 图1 图2 4.(2022浙江衢州中考真题)希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A,B是两侧山脚的入 口，从B出发任作线段BC,过C作CD⊥BC,然后依次作垂线段DE,EF,FG,GH,直到接近A点，作 AJ⊥GH于点J.每条线段可测量，长度如图所示.分别在BC,AJ上任选点M,N,作MQ⊥BC, NP1J,使得N-M=k,此时点P么B,Q共线，挖隧道时始终能看见P,Q处的标志即可， AN BM (1)CD-EF-GJ= km (2)k= G 3.1 4.9 5.5 (单位：km) ◆题型二将军饮马（两点之间线段最短） 点方法 1.作对称转化：作其中一个定点关于动点所在直线的对称点，连接对称点与另一定点，与直线交点即为 所求。 2.核心原理：利用“两点之间线段最短”，将折线段之和转化为两点间直线段长度。 3.模型识别：常见“两定一动”“一定两动”等模型，通过轴对称化折为直求解。 1.如图，在△ABE中，∠AEB=90,点C是边BE上的点，且BC=AE=3,CE=1,BD平分∠ABC交 AC于D,点M,N分别是BD,BC上的动点，则CM+MN的最小值为 5/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.如图，ABC中，∠ACB=90,AC=BC=4,点D,E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P,连 接AP、EP,当AP+EP最小时，这个最小值是 D 3.如图，四边形ABCD是矩形，AB=2,AD=3,点P是边AD上一点（不与点A,D重合），连接PB, PC.点M,N分别是PB,PC的中点连接MN,AM,DN,点E在边AD上，ME∥DN,则AM+ME 的最小值是 ◆题型三胡不归模型 皮方法 1. 识别特征：形如“PA+k·PB”的最值问题，动点在直线上运动，且0<k<1。 2. 构造转化：以系数k为snα构造直角三角形，将k·PB转化为另一直角边，化折为直。 3.最值原理：利用“垂线段最短”或“两点之间线段最短”求最小值。 1.如图，在△ABC中，AB=AC=4,∠CAB=30°，ADLBC,垂足为D,P为线段AD上的一动点，连接PB 、PC.则PA+2PB的最小值为 A D 2.如图，在△ACE中，CA=CE,∠CAE=30°，半径为5的O0经过点C,CE是圆0的切线，且圆的直 径4B在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则OD+，CD的最小值为。 6/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C D B ◆题型四瓜豆原理 点方法 1.识别条件：定点到两动点连线夹角固定、距离比固定，则从动点轨迹与主动点轨迹相同(“种线得线， 种圆得圆”）。 2.确定轨迹：主动点轨迹为直线时，从动点轨迹也为直线；主动点轨迹为圆时，从动点轨迹也为圆，圆 心位置通过旋转相似确定。 3.求解最值：确定从动点轨迹后，利用垂线段最短或三点共线（点圆最值）求最小值或最大值。 5.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E是对角线AC上的一动点，连接BE,若以BE为边向右上 侧作等边aBEG;点E从点A运动到点C的过程中，连接CG,则线段CG的最小值是 G B 6.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是边CD上一动点，将线段BE绕点B逆时针旋转至BE', 且∠EBE'=∠DBC,连接AE',则AE的最小值为· E' E B ◆题型五隐圆模型 点方法 1.定点定长：若动点到一个定点距离始终等于定长，则该点轨迹为圆（常见于折叠、旋转或直角三角形 斜边中线)。 2.定弦定角：若线段同侧动点所对角度始终不变，则动点轨迹为圆弧（构造辅助圆）。 3.四点共圆：对角互补或外角等于内对角的四边形，可利用辅助圆转化角或线段关系。 1.如图，矩形ABCD中，AB=2√5，BC=8.点P是BC边上一动点，点M为线段AP上一动点 7/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ADM=∠BAP,则BM的最小值为()· D M A.2 B.8V105 C.2.4 D.√21-4 21 2.如图，在矩形ABCD中，AB=6√3，BC=6,点E是BC边上的动点，将AABE沿直线AE翻折得到 APE,过点P作PF1AD,垂足为F,点Q是线段4P上一点，且A0PF,当点E从点B运动到点C 时，点Q运动的路径长是 D 3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,5)，P和Q分别是x轴正半轴和线段AP上的动点，满足 AQ·AP=10,连接00，则sin ZA0Q的最大值是 核 提 炼 《。知识1 线段最值问题（将军饮马、胡不归等） 1.将军饮马：两定点在直线同侧，求直线上点使路径和最小。作其中一点关于直线的对称点，连接另一点 与对称点，与直线交点即为所求。 2.胡不归问题：形如PA+xPB的最值(0<k<1)。构造正弦值为k的角，将kxPB转化为垂线段，利用垂 线段最短求解。 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.其他模型：费马点（三角形内到三顶点距离和最小，旋转60°构造等边三角形）；造桥选址（平移构 造平行四边形)。 分知识2 动点轨迹问题（如“瓜豆原理”) 1.核心原理：若两动点与定点连线夹角固定且线段比为定值，则主从点轨迹形状相同（直线或圆），即“种 瓜得瓜，种豆得豆”。 2.轨迹判断：从动点轨迹由主动点轨迹决定：主动点走直线，从动点走直线：主动点走圆，从动点走圆。 关键是找定点、定角、定比。 3.快速应用：确定主动点轨迹后，通过旋转缩放（位似变换）得到从动点轨迹的起止位置或圆心半径，进 而求线段长或最值。 《。知识3巧用辅助圆 1.四点共圆判定：①到定点距离相等的点共圆：②同侧对边对角互补；③同侧共边等角（同弧所对圆 周角相等)。快速识别隐圆条件。 2.定角定边模型：线段AB固定，所对∠APB为定值且P在AB同侧，则P的轨迹是以AB为弦的圆弧（可 用圆周角定理找圆心)。 3.最值应用：圆外一点到圆上点距离最值在连心线与圆交点处取得；利用直径所对圆周角为90°构造直 角三角形，将线段长转化为半径加减。 命 。。● 一、单选题 1.如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=2,点G为EF的 中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值是() E D D A.3 B.4 C.5 D.6 B :四边形ABCD是矩形， 9/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，抛物线y=三x2-4x+6与y轴交于点A,与x轴交于点B,线段CD在抛物线的对称轴上移动（点 C在点D下方)，且CD=3,当四边形ABCD的周长最小时，点D的坐标为() D A O B A.（4,1 B.（4,2 C.(4,3 D.4,4) 3.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E,F分别是BC,AD上的点，现将四边形ABEF沿EF折叠， 点A、B的对应点分别为M、N,且点N恰好落在CD上，连接BM,过B作BG⊥EF,垂足为G,则 2BG+BM的最小值为() A.V73 B.5 C.V52 D.7 二、填空题 4.如图，以AB为直径的O0中，点C为O0上一点，且AC=BC=√2，过点O作OD⊥AC,垂足为D, 点P为直线OD上一个动点，则BC,PB,PC构成的封闭图形周长最小值为 5.如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.点E在线段OA上，连接BE,作 CF⊥BE于点F,交OB于点P,给出下面四个结论： 10/12