专题04 不等式与不等式组（期中真题汇编，辽宁专用）八年级数学下学期新教材北师大版

专题04 不等式与不等式组 5大高频考点概览 考点01对不等式性质的理解 考点02代数式的成立条件 考点03不等式及不等组的实际应用（一） 考点04不等式及不等式组的计算 考点05不等式及不等式组的实际应用（二） 一、单选题地 城 考点01 对不等式性质的理解 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）若，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）若，则下列式子中错误的是（　　） A． B． C． D．2 3．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）已知，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）若，则下列选项不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）若，则下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）若，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点02 代数式的成立条件 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）代数式有意义时，x的取值范围是__________． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）函数中，自变量x的取值范围是___________． 4．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 5．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 地 城 考点03 不等式及不等式组的实际应用（一） 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）小亮和同学约好周末去公园玩，他从学校出发，全程，此时距他和同学的见面时间还有，已知他走路，途中发现自己可能迟到，于是改骑共享单车，速度为，如果小亮不迟到，至少骑车多少分钟？设骑车，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）泡泡某特官网打折促销，现假设某款盲盒定价元，小文根据促销活动的信息列出不等式，那么促销活动的信息是（   ） A．买两件同款盲盒可打九折，再减10元，最后不超过120元 B．买两件同款盲盒可打九折，再减10元，最后不到120元 C．买两件同款盲盒可减10元，再打九折，最后不到120元 D．买两件同款盲盒可减10元，再打九折，最后不超过120元 二、填空题 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加协助种植甲、乙两种作物．已知协助种植1亩甲作物需要5名学生，协助种植1亩乙作物需要6名学生．要种植甲、乙两种作物共亩，所需学生人数不超过人，则至少种植甲作物______亩． 4．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）篮球比赛得分种类如下：三分线外进球得3分（称为三分球），三分线内进球得2分（称为两分球），不进球得0分，若在某次投篮比赛中，小明共投篮25次，有2次没进球，但得分超过了56分，设小明进了个三分球，则可列不等式为_______． 5．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）一次知识竞赛中共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小李有1道题没答，竞赛成绩不少于38分，则小李至少答对了_____________道题． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）为了加强初中生对国防知识的了解，校内开展了一次竞赛活动，共设置30道选择题．评分标准为：答对1题得5分，不答或答错1题扣2分．小明至少要答对几道题，总分才能不低于100分呢？设小明要答对x道题，则根据题意可列不等式为______． 7．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）某种商品进价200元，标价300元出售，商场规定可以打折销售，但其利润不能少于．请你帮助售货员计算一下，此种商品最多__________折销售． 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）随着几代航天人的努力，我国在载人航天领域取得了非凡的成就．某校航空兴趣小组利用课后服务时间开展了航空航天知识竞赛，共有20道题目，答对一题得5分，答错一题扣3分，小颖的得分在76分以上（含76分），则她至少答对了______道题． 地 城 考点04 不等式及不等式组的计算 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）（1）解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． （2）解不等式组： 2．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）解不等式组并写出所有非负整数解． 3．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 4．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）解不等式（组） (1)解一元一次不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来： (2)解一元一次不等式组：并写出它的整数解． 5．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）（1）解不等式：，并在数轴上表示解集； （2）解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解． 6．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）计算： (1)． (2) (3)． (4)， 7．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）解下列不等式（组）： (1)解不等式，并写出它的所有负整数解． (2) (3) 8．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）解下列不等式（或不等式组），并把它们的解集分别表示在数轴上． (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）（1）解不等式组：． （2）关于，的二元一次方程组的解满足不等式，求的取值范围． 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围． 地 城 考点05 不等式及不等式组的实际应用（二） 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿，某商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知每个种娃娃进价元，每个种娃娃进价元．根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进、两种娃娃共个，那么最多购买种娃娃多少个？ 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）某中学开展“数学文化节”活动，八年（1）班负责准备活动奖品，计划购买定制的数学主题笔记本和徽章．已知购买6本笔记本和2个徽章需花费78元，购买11本笔记本和10个徽章需花费238元． (1)求每本笔记本和每个徽章的价格； (2)该班级计划购买笔记本和徽章共60件作为奖品，总费用不超过600元，那么该班级最多可以购买多少个徽章？ 3．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了153亿，某商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知每个种娃娃进价65元，每个种娃娃进价40元．根据网上预约的情况，该商家计划用不超过2000元的资金购进A、B两种娃娃共40个，那么最多购买种娃娃多少？ 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）辽宁省第十四届全民读书节暨读书市集于2025年4月19日正式拉开帷幕，本次市集以“书香辽宁——阅读新时代决胜筑华章”为主题，邀请200余家出版社参加，汇聚近万种精选图书及主题文创产品，其中辽博文创产品最受大家欢迎．已知购买3个“牡丹纹镜”和4个“玉猪龙”共需460元；购买5个“牡丹纹镜”和6个“玉猪龙”共需730元． (1)求购买一个“牡丹纹镜”和一个“玉猪龙”各需多少元？ (2)若某校决定购买一“牡丹纹镜”和“玉猪龙”共12个，总费用不高于880元，则最多能购买多少个“牡丹纹镜”？ 5．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）某中学组织学生到A场馆开展社会实践活动，其收费标准为：学生60元/人，教师100 元/人．现有两种优惠方案： 方案一： 买一张教师票送一张学生票； 方案二：对于超过48人 (含48人)的团体票价享受9折优惠． 小明所在队伍共有50人，其中带队教师x人． (1)若按方案一购票，售票处共收取了2940元，求带队教师的人数； (2)在优惠方案中，若按方案二购票更划算，则该队伍中的带队教师最多有多少人？ 6．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，某学校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《呐喊》两种读物． 已知购买本《艾青诗选》和本《呐喊》需元；购买本《艾青诗选》与购买本《呐喊》需元． (1)求购买本《艾青诗选》和本《呐喊》各需多少元？ (2)若某班计划购买《艾青诗选》和《呐喊》共本，其中《呐喊》的数量不少于《艾青诗选》数量的倍，设购买《艾青诗选》本，购买两种读物所需费用共元，则为何值时总费用最小，并求出的最小值． 7．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，若购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元；若购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元． (1)求购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要多少元？ (2)该商场计划用不超过3100元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件？ 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A，B两种电动车．若购买A种电动车25辆，B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆，B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变． (1)求A，B两种电动车的单价分别是多少元？ (2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A，B两种电动车共200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ 9．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．求该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 10．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）某商场在“三八妇女节"推出了一项打折销售活动，已知某商品的进价120元，标价165元，为庆祝妇女节，商场规定，在利润率不低于的前提下，最多可打几折销售？ 11．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）为优化学生用眼环境，做好青少年近视防控工作，改善教室照明条件，希望中学决定将教室的老式日光灯替换为护眼灯，给孩子们带来视觉上的舒适，有效缓解视疲劳和视力下降等问题，有望对预防近视起到积极作用．现在希望中学计划从店购进护眼黑板灯、护眼教室灯这两种节能灯共28只．已知店关于这两种灯的有关信息如下表所示： 品名 进价（元/只） 售价（元/只） 护眼黑板灯 20 30 护眼教室灯 46 60 (1)希望中学购进这两种护眼灯一共付款1440元，你知道这两种护眼灯分别购进多少只吗? (2)在第（1）问的基础上，学校和厂家进行协商，厂家愿意这两种灯进行打折出售，但要保证销售完这28只护眼灯的总利润率不低于20%．请分析厂家将最多可以打几折出售? 12．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）随着全球能源转型与环保意识增强，新能源汽车逐渐普及，但“充电难”问题成为制约其发展的瓶颈．某校八年级学生在学习了综合与实践课——生活中的“一次模型”后，利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用“一次模型”探究新能源汽车充电桩问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积（单位：平方米） 3 1 已知新建1个地下充电梯比新建1个地上充电桩多万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要万元． 问题一 填空：该小区新建1个地上充电桩需要______万元，新建1个地下充电桩需要______万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于30个，设建造m个地下充电桩，求出m的取值范围． 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，设地下充电桩和地上充电桩占地总面积为s平方米，求s与m的关系式，并求出s的最小值以及s取得最小值时的具体方案． 13．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的车流量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和车流量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东车流量（辆/分钟） 16 34 52 70 88 自东向西车流量（辆/分钟） 62 53 44 35 26 (1)请用一次函数直接表示出与、与之间的函数关系：_____；_____． (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．设单位时间内双向总车流量为，单位时间内，车流量更大的方向为，经查阅资料得知：当时，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．请你通过计算说明：该路段从8时至20时，应如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 14．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）某学校组织学生到郊外植树，并准备了A，B两种食材为学生制作午餐．这两种食材每包质量均为，其营养成分表如图： (1)若制作每份午餐需选用这两种食材共10包，并保证每份午餐摄入热量不低于3800KJ，则至少应选用食材多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，在（1）的条件下，每份午餐脂肪含量要尽可能低．请通过计算，设计符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 15．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）综合与实践 活动背景：研学是一种体验式学习活动，学生通过亲身参与和在场体验，提升社会参与能力和自主发展能力等核心素养．某学校组织七年级个班，共名学生，进行为期一天的研学活动．现有两个方案，如下： 活动方案 方案一城：千年古韵探秘行 方案二古植物园：四季植萃探秘行 活动目的 了解历史文化 了解自然知识 活动内容 1．参观古县城及考古博物馆2．非遗体验活动选①壁画修复②沥金彩绘．古县城内简餐 1．参观植物园2．手工体验活动选①制作植物香囊②制作叶脉书签．植物园内简餐 活动费用 门票 免票（提前预约） 学生团体票，可在半价基础上再打折，为元人： 讲解 古县城讲解元团；考古博物馆讲解元团；注：每个班级为一个研学团 免费 体验活动 非遗体验活动：元人 手工体验活动：元人 用餐 学生简餐：元人 学生简餐：元人 问题解决 (1)设两种方案的费用分别为元和元，则_______，_______． (2)在（1）的基础上请你通过计算说明该学校选择哪个方案进行研学活动所需费用较少？ 16．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示，为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是_______________； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)已知该超市有120辆购物车需要从1楼转运到2楼，若每次使用扶手电梯转运24辆，每次使用直立电梯转运数量为第（2）问所求结果，使用手扶电梯和直立电梯两种方式总次数为6次（两种转运方式必须都使用），则有几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 17．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）根据以下素材，完成任务． 素材1 某商店在无促销活动时，若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务，开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务，须用25元购买“神券”，则本店内所有商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务，本店内所有商品一律按标价的八折出售． 问题解决 任务1 （1）该商店无促销活动时，求，商品的销售单价分别是多少？ 任务2 （2）小明在促销期间购买，两款商品共30件，其中商品购买件． ①若使用外卖配送商品，共需要 元； ②若不使用外卖配送商品，共需要 元（结果均用含的代数式表示）． 任务3 （3）在（2）的条件下，什么情况下使用外卖配送服务更合算？ 18．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）阅读下面解题过程，再解答后面的问题． 学习了一元一次不等式组的解法，老师给同学们布置了一个任务，请大家探究并求出不等式的解集． 小丽类比有理数的乘法法则，根据“同号两数相乘，积为正”可以得到：①或②，解不等式组①得，解不等式组②得，所以原不等式知集为或． 请你仿照上述方法，求不等式的的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 不等式与不等式组 5大高频考点概览 考点01对不等式性质的理解 考点02代数式的成立条件 考点03不等式及不等组的实际应用（一） 考点04不等式及不等式组的计算 考点05不等式及不等式组的实际应用（二） 一、单选题地 城 考点01 对不等式性质的理解 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）若，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式两边加减同一个数或乘除同一个正数不等号方向不变，乘除负数方向改变进行判断即可． 【详解】解：A. 由，两边减5得，故A错误，不符合题意； B. 由，两边除以正数3得，故B错误，不符合题意； C. 由，两边加5得，故C正确，符合题意； D. 由，两边乘得，故D错误，不符合题意， 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）若，则下列式子中错误的是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的基本性质；根据不等式的基本性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：已知，对各选项进行判断： 选项A：两边同时减3，不等式方向不变，故，正确． 选项B：两边同时乘以，不等式方向改变，故，正确． 选项C：两边同时除以正数4，不等式方向应不变，应为，故错误． 选项D：由得，两边加2后仍保持方向，故，正确． 综上，错误的选项是C． 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）已知，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，所以A选项不成立； ∵， ∴， ∴，所以B选项成立； ∵， ∴，所以C选项不成立； ∵， ∴，所以D选项不成立； 故选：B． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）若，则下列选项不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，可得答案，熟练掌握不等式的性质是关键． 【详解】解：A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意； B. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；     C. ∵，∴ ，故该选项正确，不符合题意；     D. ∵且，∴，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，可得答案． 【详解】A、若，则，正确，不符合题意； B、若，且时，则或，原说法错误，符合题意； C、若，则，正确，不符合题意； D、若，则，正确，不符合题意； 故选：B． 6．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）若，则下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴当时，则，当时，则，当，且时，则，当，且时，则，当，且时，则，故此选项不符合题意； C、∵，∴，故此选项不符合题意； D、∵，∴，故此选项符合题意； 故选：D． 7．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，掌握以上知识是解题的关键． 根据不等式的基本性质进行作答，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴所以B，C，D不符合题意，A符合题意， 故选：A. 8．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）若，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原式不成立，不符合题意； B、由可得，原式不成立，不符合题意； C、由可得，则，原式成立，符合题意； D、由可得，则，原式不成立，不符合题意； 故选：C． 一、单选题地 城 考点02 代数式的成立条件 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）若二次根式有意义，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 二、填空题 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）代数式有意义时，x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0，二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．根据题意可得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）函数中，自变量x的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解， 【详解】根据题意，则， ，解得， 综上自变量x的取值范围是且． 4．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】根据题意得≠0， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 5．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，理解二次根式有意义的条件是关键． 根据二次根式有意义的条件列式，求不等式的解集即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故答案为： ． 一、单选题地 城 考点03 不等式及不等式组的实际应用（一） 1．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）小亮和同学约好周末去公园玩，他从学校出发，全程，此时距他和同学的见面时间还有，已知他走路，途中发现自己可能迟到，于是改骑共享单车，速度为，如果小亮不迟到，至少骑车多少分钟？设骑车，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列一元一次不等式解应用题，设骑车时间为分钟，则走路时间为分钟，根据总路程需至少达到2100米（即转换为米），列出不等式即可得到，读懂题意，准确列出不等式是解决问题的关键． 【详解】解：设骑车时间为分钟，则走路时间为分钟， 骑车路程为米，走路路程为米， ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）泡泡某特官网打折促销，现假设某款盲盒定价元，小文根据促销活动的信息列出不等式，那么促销活动的信息是（   ） A．买两件同款盲盒可打九折，再减10元，最后不超过120元 B．买两件同款盲盒可打九折，再减10元，最后不到120元 C．买两件同款盲盒可减10元，再打九折，最后不到120元 D．买两件同款盲盒可减10元，再打九折，最后不超过120元 【答案】D 【分析】本题考查了列一元一次不等式的实际应用；根据不等式的意义结合题意即可求解． 【详解】解：根据不等式知，促销活动的信息是：买两件同款盲盒可减10元，再打九折，最后不超过120元； 故选：D． 二、填空题 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加协助种植甲、乙两种作物．已知协助种植1亩甲作物需要5名学生，协助种植1亩乙作物需要6名学生．要种植甲、乙两种作物共亩，所需学生人数不超过人，则至少种植甲作物______亩． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可． 【详解】解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得：， 解得， 则至少种植甲作物5亩． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）篮球比赛得分种类如下：三分线外进球得3分（称为三分球），三分线内进球得2分（称为两分球），不进球得0分，若在某次投篮比赛中，小明共投篮25次，有2次没进球，但得分超过了56分，设小明进了个三分球，则可列不等式为_______． 【答案】 【分析】本题考查列不等式解应用题，读懂题意，找准三分球、二分球和没进球的个数，再由得分情况列出不等式即可得到答案．读懂题意，正确列出不等式是解决问题的关键． 【详解】解：设小明进了个三分球，则进了个二分球， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）一次知识竞赛中共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小李有1道题没答，竞赛成绩不少于38分，则小李至少答对了_____________道题． 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设小李答对了x道题，则答错了道题，根据总分答对题目数答错题目数，结合总分不少于38分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论． 【详解】解：设小李答对了x道题，则答错了道题， 根据题意，得 解得： ∵x为整数， ∴的整数 即小李至少答对了8道． 故答案为：8． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）为了加强初中生对国防知识的了解，校内开展了一次竞赛活动，共设置30道选择题．评分标准为：答对1题得5分，不答或答错1题扣2分．小明至少要答对几道题，总分才能不低于100分呢？设小明要答对x道题，则根据题意可列不等式为______． 【答案】 【分析】本题考查列不等式，根据得分规则以及总分不低于100分，列出不等式即可． 【详解】解：设小明要答对x道题， 由题意，得：； 故答案为：． 7．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）某种商品进价200元，标价300元出售，商场规定可以打折销售，但其利润不能少于．请你帮助售货员计算一下，此种商品最多__________折销售． 【答案】/七 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据利润的要求，列出相关的关系式，从而求解． 设打折销售，根据题目意思，列出关于的不等式进行求解即可． 【详解】解：设打折销售，则售价为元，利润为元， 由题意得：， 解得：， 此种商品可以按最多打7折销售， 故答案为：7． 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）随着几代航天人的努力，我国在载人航天领域取得了非凡的成就．某校航空兴趣小组利用课后服务时间开展了航空航天知识竞赛，共有20道题目，答对一题得5分，答错一题扣3分，小颖的得分在76分以上（含76分），则她至少答对了______道题． 【答案】17 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设她答对道，则答错道，小颖的得分在76分以上（含76分），列不等式，即可解答，解题的关键是理解题意，列出不等式准确计算． 【详解】解：设她答对道，则答错道， 则可得， 解得， 故她至少答对了道题， 故答案为：． 一、解答题地 城 考点04 不等式及不等式组的计算 1．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）（1）解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． （2）解不等式组： 【答案】（1）；正整数解为：；（2） 【分析】本题考查的是解一元一次不等式、一元一次不等式组， （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，并求得正整数解，即可求解 （2）先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， ∴正整数解为：； （2） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：． 2．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）解不等式组并写出所有非负整数解． 【答案】；非负整数解为0，1． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．正确求解两个一元一次不等式，并准确找到它们的解集的交集，即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①：不等式两边同时乘以2得， 移项整理得 解不等式②：去括号得， 移项整理得 所以不等式组的解集为 所以不等式组的非负整数解为0，1． 3．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 按照解不等式的基本步骤解答即可． (2)先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 本题考查了解不等式，解不等式组，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去分母，得 ， 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 ， 系数化为1，得， 数轴表示如下： ． （2）解： ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 数轴表示如下： ． 4．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）解不等式（组） (1)解一元一次不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来： (2)解一元一次不等式组：并写出它的整数解． 【答案】(1)，见解析 (2)，3，4，5，6 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式得解集，解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可． 【详解】（1）解； 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （2）解； 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为3，4，5，6． 5．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）（1）解不等式：，并在数轴上表示解集； （2）解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解． 【答案】（1），见解析；（2），整数解为：，0，1，2 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），解题的关键是： （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 的步骤求解，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下所示： （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为：，0，1，2． 6．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）计算： (1)． (2) (3)． (4)， 【答案】(1)3 (2)或 (3) (4) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减运算，解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是掌握相应的运算法则． （1）化简绝对值，再根据二次根式的加减法法则计算即可； （2）利用平方根解方程即可； （3）先把方程分别化简，然后利用加减消元法求解即可； （4）先分别解不等式，再取公共部分即可． 【详解】（1）解： ； （2）， 移项得：， ∴或， 解得：或 （3）解：原方程组可化成： 得：，解得： 把代入②得： ∴方程组的解为； （4）解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集是． 7．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）解下列不等式（组）： (1)解不等式，并写出它的所有负整数解． (2) (3) 【答案】(1)解集为：，负整数解是：，； (2) (3) 【分析】本题考查一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，掌握解一元一次不等式一般步骤和公共解的取法是解题的关键．特别注意系数化为1时，若一次项系数为负数，则所得解集不等号方向要改变． （1）按解一元一次不等式的一般步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1运算，再取负整数解即可； （2）分别解出两个一元一次不等式，再取公共解即可； （3）分别解出两个一元一次不等式，再取公共解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴原不等式的负整数解是：，； （2）解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： （3）解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 8．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）解下列不等式（或不等式组），并把它们的解集分别表示在数轴上． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 (3)，数轴表示见解析 (4)，数轴表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确计算是解题的关键： （1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可，再将解集表示在数轴上； （2）根据解一元一次不等式的步骤求解即可，再将解集表示在数轴上； （3）先求出每个不等式的解，再得出不等式组的解，最后将解集表示在数轴上； （4）先求出每个不等式的解，再得出不等式组的解，最后将解集表示在数轴上； 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 不等式的两边同除以，得． 把不等式的解集表示在数轴上如下： （2）解：， 不等式的两边同乘以6，得， 移项，得， 合并同类项，得． 把不等式的解集表示在数轴上如下： （3）解：， 由①得，，，解得， 由②得，，，， 解得， 所以不等式组的解集为：， 把解集在数轴上表示出来如下： （4）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）（1）解不等式组：． （2）关于，的二元一次方程组的解满足不等式，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，求不等式组的解集； （1）分别解两个不等式，求公共部分的解集，即可求解； （2）先求出，再根据列出关于a的不等式求解即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： （2）将两方程相加可得， ∴， 由可得， 解得， 所以a的取值范围为：． 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了已知方程组的解求字母参数的值，解一元一次不等式，解题关键是掌握加减消元法． 先利用加减消元法求出方程组的解，代入中，得到关于字母参数的不等式求解． 【详解】解： 得：， 即， ∵， ∴， 解得． 一、解答题地 城 考点05 不等式及不等式组的实际应用（二） 1．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿，某商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知每个种娃娃进价元，每个种娃娃进价元．根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进、两种娃娃共个，那么最多购买种娃娃多少个？ 【答案】个 【分析】本题主要考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题目中的数量关系建立不等式，并通过解不等式找到符合实际意义的整数解．设最多购买A种娃娃个，则购买B种娃娃为个，列不等式，解得：，再取其中的最大整数值，即可求解． 【详解】解：设最多购买A种娃娃个，则购买B种娃娃为个， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为， 答：最多购买A种娃娃个． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）某中学开展“数学文化节”活动，八年（1）班负责准备活动奖品，计划购买定制的数学主题笔记本和徽章．已知购买6本笔记本和2个徽章需花费78元，购买11本笔记本和10个徽章需花费238元． (1)求每本笔记本和每个徽章的价格； (2)该班级计划购买笔记本和徽章共60件作为奖品，总费用不超过600元，那么该班级最多可以购买多少个徽章？ 【答案】(1)每本笔记本8元，每个徽章15元 (2)该班级最多可以购买17个徽章 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设每本笔记本元，每个徽章元，根据购买6本笔记本和2个徽章需花费78元，购买11本笔记本和10个徽章需花费238元列出方程组求解即可； （2）设该班级可以购买a个徽章，则购买笔记本本，根据总费用不超过600元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每本笔记本元，每个徽章元， 根据题意得， 解得：， 答：每本笔记本8元，每个徽章15元． （2）解：设该班级可以购买a个徽章，则购买笔记本本， 根据题意得， 解得：， 取整数， 的最大值为17 答：该班级最多可以购买17个徽章． 3．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了153亿，某商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知每个种娃娃进价65元，每个种娃娃进价40元．根据网上预约的情况，该商家计划用不超过2000元的资金购进A、B两种娃娃共40个，那么最多购买种娃娃多少？ 【答案】最多购买A种娃娃个 【分析】本题主要考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题目中的数量关系建立不等式，并通过解不等式找到符合实际意义的整数解．设购买A种娃娃个，则购买B种娃娃为个，列不等式，解得：，再取其中的最大整数值，即可求解． 【详解】解：设购买A种娃娃个，则购买B种娃娃为个， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为， 答：最多购买A种娃娃个． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）辽宁省第十四届全民读书节暨读书市集于2025年4月19日正式拉开帷幕，本次市集以“书香辽宁——阅读新时代决胜筑华章”为主题，邀请200余家出版社参加，汇聚近万种精选图书及主题文创产品，其中辽博文创产品最受大家欢迎．已知购买3个“牡丹纹镜”和4个“玉猪龙”共需460元；购买5个“牡丹纹镜”和6个“玉猪龙”共需730元． (1)求购买一个“牡丹纹镜”和一个“玉猪龙”各需多少元？ (2)若某校决定购买一“牡丹纹镜”和“玉猪龙”共12个，总费用不高于880元，则最多能购买多少个“牡丹纹镜”？ 【答案】(1)购买一个“牡丹纹镜”为80元，一个“玉猪龙”为55元； (2)最多能购买8个“牡丹纹镜”． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设购买一个“牡丹纹镜”为元，一个“玉猪龙”为元，根据买3个“牡丹纹镜”和4个“玉猪龙”共需460元；购买5个“牡丹纹镜”和6个“玉猪龙”共需730元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个“牡丹纹镜”，根据购买“牡丹纹镜”和“玉猪龙”共12个，总费用不高于880元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个“牡丹纹镜”为元，一个“玉猪龙”为元，由题意，得： ，解得：， 答：购买一个“牡丹纹镜”为80元，一个“玉猪龙”为55元； （2）设购买个“牡丹纹镜”，则购买个“玉猪龙”，由题意，得：， 解得：， ∵为整数， ∴最大为8； 答：最多能购买8个“牡丹纹镜”． 5．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）某中学组织学生到A场馆开展社会实践活动，其收费标准为：学生60元/人，教师100 元/人．现有两种优惠方案： 方案一： 买一张教师票送一张学生票； 方案二：对于超过48人 (含48人)的团体票价享受9折优惠． 小明所在队伍共有50人，其中带队教师x人． (1)若按方案一购票，售票处共收取了2940元，求带队教师的人数； (2)在优惠方案中，若按方案二购票更划算，则该队伍中的带队教师最多有多少人？ 【答案】(1)带队教师的人数为3人； (2)该队伍中的带队教师最多有5人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组以及一元一次不等式是解此题的关键． （1）设学生有y人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）根据题意列出一元一次不等式，解不等式结合题意即可得解． 【详解】（1）解：设学生有y人， 由题意得： 解得：， 答：带队教师的人数为3人； （2）解：由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大值为5， 答：该队伍中的带队教师最多有5人． 6．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，某学校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《呐喊》两种读物． 已知购买本《艾青诗选》和本《呐喊》需元；购买本《艾青诗选》与购买本《呐喊》需元． (1)求购买本《艾青诗选》和本《呐喊》各需多少元？ (2)若某班计划购买《艾青诗选》和《呐喊》共本，其中《呐喊》的数量不少于《艾青诗选》数量的倍，设购买《艾青诗选》本，购买两种读物所需费用共元，则为何值时总费用最小，并求出的最小值． 【答案】(1)《艾青诗选》的单价10元，《呐喊》的单价15元 (2)当时， 最小，最小值为 元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式和一次函数的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）设《艾青诗选》的单价元，《呐喊》的单价元．根据“购买本《艾青诗选》和本《呐喊》需元；购买本《艾青诗选》与购买本《呐喊》需元．”列出方程组，即可求解； （2）根据“《呐喊》的数量不少于《艾青诗选》数量的倍，”列出不等式，即可求出的取值范围，再列出费用关于的函数解析式，根据一次函数的性质求得最小值即可求解． 【详解】（1）解：设《艾青诗选》的单价x元，《呐喊》的单价y元． 根据题意可得： 解得： 答：《艾青诗选》的单价10元，《呐喊》的单价15元； （2）设购买《艾青诗选》a本，则购买《呐喊》本， 根据题意： 解得总费用 w 为： ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，最小， （元）， 答：当时， 最小，最小值为 元． 7．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，若购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元；若购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元． (1)求购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要多少元？ (2)该商场计划用不超过3100元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件？ 【答案】(1)每件“哪吒”纪念品的进价是30元，每件“敖丙”纪念品的进价是20元 (2)最多购进“哪吒”纪念品70件 【分析】（1）设每件“哪吒”纪念品的进价是x元，每件“敖丙”纪念品的进价是y元，利用进货总价＝进货单价×购进数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进“哪吒”纪念品m件，则“敖丙”纪念品件，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合进货总价不超过3100元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设每件“哪吒”纪念品的进价是x元，每件“敖丙”纪念品的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件“哪吒”纪念品的进价是30元，每件“敖丙”纪念品的进价是20元； （2）解；设购进“哪吒”纪念品m件，则“敖丙”纪念品件， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为70． 答：最多购进“哪吒”纪念品70件． 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A，B两种电动车．若购买A种电动车25辆，B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆，B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变． (1)求A，B两种电动车的单价分别是多少元？ (2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A，B两种电动车共200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ 【答案】(1)A、B两种电动车的单价分别为1000元、3500元 (2)当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元，根据购买A种电动车25辆，B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆，B种电动车120辆，需投入资金48万元，列出方程组，解方程即可． （2）设购买A种电动车m辆，则购买B种电动车辆，列出不等式，即可作答． ②设所需购买总费用为w元，则，根据一次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元， 由题意得， 解得：， 答：A、B两种电动车的单价分别为1000元、3500元； （2）解：设购买A种电动车m辆，则购买B种电动车辆，根据题意得： ， ∴（m为正整数）； 设所需购买总费用为w元， 则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵m取正整数， ∴时，最少， ∴（元）， 答：当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元． 9．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．求该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)A型电脑的单价是100元，B型电脑的单价是150元 (2)购进A型电脑34台，B型电脑66台，利润最大，最大为13300元 【分析】设A型电脑的单价是x元，B型电脑的单价是y元，根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进A型电脑x台，则B型电脑台，根据题意，这100台电脑的销售总利润为y元，则，根据一次函数的性质，不等式的解集求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用，熟练掌握解方程组。一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设A型电脑的单价是x元，B型电脑的单价是y元， 由题意得： 解得：， 答：A型电脑的单价是100元，B型电脑的单价是150元． （2）解：设购进A型电脑x台，则B型电脑台， 根据题意， 解得， 由x是正整数， 故x最小为34台， 由这100台电脑的销售总利润为y元， 则， 由y随x的增大而减小，得当时，利润最大，最大为13300元． 故购进A型电脑34台，B型电脑66台，利润最大，最大为13300元． 10．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）某商场在“三八妇女节"推出了一项打折销售活动，已知某商品的进价120元，标价165元，为庆祝妇女节，商场规定，在利润率不低于的前提下，最多可打几折销售？ 【答案】最多可打八折销售 【分析】本题考查了不等式的应用，设打x折销售，根据“利润率不低于”列不等式求解即可． 【详解】解：设打x折销售， 根据题意，得， 解得， 答：最多可打八折销售． 11．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）为优化学生用眼环境，做好青少年近视防控工作，改善教室照明条件，希望中学决定将教室的老式日光灯替换为护眼灯，给孩子们带来视觉上的舒适，有效缓解视疲劳和视力下降等问题，有望对预防近视起到积极作用．现在希望中学计划从店购进护眼黑板灯、护眼教室灯这两种节能灯共28只．已知店关于这两种灯的有关信息如下表所示： 品名 进价（元/只） 售价（元/只） 护眼黑板灯 20 30 护眼教室灯 46 60 (1)希望中学购进这两种护眼灯一共付款1440元，你知道这两种护眼灯分别购进多少只吗? (2)在第（1）问的基础上，学校和厂家进行协商，厂家愿意这两种灯进行打折出售，但要保证销售完这28只护眼灯的总利润率不低于20%．请分析厂家将最多可以打几折出售? 【答案】(1)护眼黑板灯8只，护眼教室灯20只 (2)最多打九折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设购进只护眼黑板灯，则购进只护眼教室灯，可列出关于的一元一次方程，解之即可； （2）设厂家将护眼教室灯打折出售，利用总利润销售单价销售数量进货单价购进数量，可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进只护眼黑板灯，则购进只护眼教室灯， 根据题意得：， 解得：， ∴（只）． 答：购进只护眼黑板灯，只护眼教室灯； （2）解：设厂家将这两种灯打折出售， 根据题意得：， 解得：． 答：厂家将这两种灯最多打九折出售． 12．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）随着全球能源转型与环保意识增强，新能源汽车逐渐普及，但“充电难”问题成为制约其发展的瓶颈．某校八年级学生在学习了综合与实践课——生活中的“一次模型”后，利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用“一次模型”探究新能源汽车充电桩问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积（单位：平方米） 3 1 已知新建1个地下充电梯比新建1个地上充电桩多万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要万元． 问题一 填空：该小区新建1个地上充电桩需要______万元，新建1个地下充电桩需要______万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于30个，设建造m个地下充电桩，求出m的取值范围． 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，设地下充电桩和地上充电桩占地总面积为s平方米，求s与m的关系式，并求出s的最小值以及s取得最小值时的具体方案． 【答案】问题一：，；问题二：，m为正整数；问题三：，s的最小值94平方米，新建43个地下充电桩，17个地上充电桩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解不等式组的应用，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 问题一：先设一个地上充电桩为x万元，一个地下充电桩为y万元．再根据题意列出方程组，即可作答． 问题二：依题意，列出不等式组，再解得，再结合m为正整数，即可作答． 问题三：根据地上、地下充电桩数量及各自占地面积，得出总占地面积与地下充电桩数量的函数式．依据函数单调性得随增大而减小，结合的范围，取最大43时最小．将代入函数，得，此时地上充电桩数量为，即可得出方案． 【详解】解：问题一：设一个地上充电桩为x万元，一个地下充电桩为y万元． ， 解得 答：一个地上充电桩为万元，一个地下充电桩为万元． 问题二：设地下充电桩数量为m个，则地上充电桩数量为个， ， 解得， ∵为正整数， ∴ 问题三： 地上每个充电桩占地面积为3平方米，地下每个充电桩占地面积为1平方米， 总占地面积：． ，且， 当时，代入得 ， ∴最小为94平方米， 此时，地上充电桩数量为个， ∴对应方案为建造43个地下充电桩和17个地上充电桩． 13．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的车流量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和车流量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东车流量（辆/分钟） 16 34 52 70 88 自东向西车流量（辆/分钟） 62 53 44 35 26 (1)请用一次函数直接表示出与、与之间的函数关系：_____；_____． (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．设单位时间内双向总车流量为，单位时间内，车流量更大的方向为，经查阅资料得知：当时，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．请你通过计算说明：该路段从8时至20时，应如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 【答案】(1)； (2)8时到10时，可变车道的方向设置为自东向西；17时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用.待定系数法求一次函数解析式是解题的关键. （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可． 【详解】（1）解：设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ； （2）解：． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 8时到10时，可变车道的方向设置为自东向西；17时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 14．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）某学校组织学生到郊外植树，并准备了A，B两种食材为学生制作午餐．这两种食材每包质量均为，其营养成分表如图： (1)若制作每份午餐需选用这两种食材共10包，并保证每份午餐摄入热量不低于3800KJ，则至少应选用食材多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，在（1）的条件下，每份午餐脂肪含量要尽可能低．请通过计算，设计符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 【答案】(1)至少应选用食材包 (2)应选用A种食品4包，B种食品6包 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出不等式是解题的关键； （1）设应选用A种食品a包，B种食品包，根据“每份午餐摄入热量不低于3800KJ，”列不等式，求出不等式的最大整数解即可． （2）根据题意，当选用A种食品a包时，得出脂肪含量为，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设应选用A种食品a包，B种食品包， 由题意可知，． 解得：． 为正整数，最小值为 答：至少应选用食材包． （2）当选用A种食品a包时，脂肪含量（单位：g）为， 脂肪含量随a的增大而增大． ∴时既符合蛋白质的需求，又能够保证脂肪含量最少． B种食品:（包）． 答：应选用A种食品4包，B种食品6包． 15．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）综合与实践 活动背景：研学是一种体验式学习活动，学生通过亲身参与和在场体验，提升社会参与能力和自主发展能力等核心素养．某学校组织七年级个班，共名学生，进行为期一天的研学活动．现有两个方案，如下： 活动方案 方案一城：千年古韵探秘行 方案二古植物园：四季植萃探秘行 活动目的 了解历史文化 了解自然知识 活动内容 1．参观古县城及考古博物馆2．非遗体验活动选①壁画修复②沥金彩绘．古县城内简餐 1．参观植物园2．手工体验活动选①制作植物香囊②制作叶脉书签．植物园内简餐 活动费用 门票 免票（提前预约） 学生团体票，可在半价基础上再打折，为元人： 讲解 古县城讲解元团；考古博物馆讲解元团；注：每个班级为一个研学团 免费 体验活动 非遗体验活动：元人 手工体验活动：元人 用餐 学生简餐：元人 学生简餐：元人 问题解决 (1)设两种方案的费用分别为元和元，则_______，_______． (2)在（1）的基础上请你通过计算说明该学校选择哪个方案进行研学活动所需费用较少？ 【答案】(1)， (2)当时，选择方案二费用较少；当时，选择方案一和方案二费用相同；当时，选择方案一费用较少 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一式子是解题的关键． （1）根据题意分别进行列式即可； （2）分，， x三种情况，可求出的取值范围或的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解：选择方案一所需费用为， 选择方案二所需费用为； 故答案为：，； （2）解：当时，即时， 解得：， ∴当时，该学校选择方案二进行研学活动所需费用较少； 当时，即时， 解得：， ∴当时，该学校选择方案一和方案二进行研学活动所需费用相同； 当时，即时， 解得：， ∴当时，该学校选择方案一进行研学活动所需费用较少． 答：当时，该学校选择方案二进行研学活动所需费用较少；当时，该学校选择方案一和方案二进行研学活动所需费用相同；当时，该学校选择方案一进行研学活动所需费用较少． 16．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示，为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是_______________； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)已知该超市有120辆购物车需要从1楼转运到2楼，若每次使用扶手电梯转运24辆，每次使用直立电梯转运数量为第（2）问所求结果，使用手扶电梯和直立电梯两种方式总次数为6次（两种转运方式必须都使用），则有几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 【答案】(1) (2)16辆 (3)共有3种运输方案，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是列出函数解析式和不等式． （1）根据“一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加”，列出函数关系式； （2）把代入解析式，求出的值即可； （3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得 ，求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 车身总长与购物车辆数的表达式为； 故答案为：； （2）解：当时，， 解得，（辆）， 答：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车； （3）解：设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 根据题意得：， 解得， 为正整数，且， ， 共有3种运输方案，即用扶手电梯运输3次，直立电梯运输3次或用扶手电梯运输4次，直立电梯运输2次或用扶手电梯运输5次，直立电梯运输1次． 17．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）根据以下素材，完成任务． 素材1 某商店在无促销活动时，若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务，开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务，须用25元购买“神券”，则本店内所有商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务，本店内所有商品一律按标价的八折出售． 问题解决 任务1 （1）该商店无促销活动时，求，商品的销售单价分别是多少？ 任务2 （2）小明在促销期间购买，两款商品共30件，其中商品购买件． ①若使用外卖配送商品，共需要 元； ②若不使用外卖配送商品，共需要 元（结果均用含的代数式表示）． 任务3 （3）在（2）的条件下，什么情况下使用外卖配送服务更合算？ 【答案】（1），商品的销售单价分别是16元，20元；（2）①；②；（3）购买款商品数量小于25得正整数时，使用外卖配送服务更合算 【分析】本题考查二元一次方程的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）设，商品的销售单价分别是元，元，根据“若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元”列出方程组求解即可； （2）根据题意，列出代数式即可； （3）由题意可知，使用外卖配送服务更合算，再结合实际，即可求解． 【详解】解：（1）设，商品的销售单价分别是元，元， 由题意可知，， 解得：， 答：，商品的销售单价分别是16元，20元； （2）①若使用外卖配送商品，共需要元； ②若不使用外卖配送商品，共需要元； 故答案为：，； （3）由题意得：， 解得：， 又∵，且为整数， ∴购买款商品数量小于25得正整数时，使用外卖配送服务更合算． 18．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）阅读下面解题过程，再解答后面的问题． 学习了一元一次不等式组的解法，老师给同学们布置了一个任务，请大家探究并求出不等式的解集． 小丽类比有理数的乘法法则，根据“同号两数相乘，积为正”可以得到：①或②，解不等式组①得，解不等式组②得，所以原不等式知集为或． 请你仿照上述方法，求不等式的的解集． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 根据“两数相乘，同号得正，异号得负” 可得两个不等式组，在分别求出不等式组的解集，即可． 【详解】解：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”可得 ①或②    解不等式组①得∶不等式组无解， 解不等式组②得∶ ， 综上所述，原不等式的解集为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $