专题04 矩形12大考点（期中真题汇编，广东专用）八年级数学下学期新教材人教版

专题04 矩形 12大高频考点概览 考点01 矩形性质理解 考点02 利用矩形性质求角度 考点03 利用矩形性质求线段 考点04 利用矩形性质求面积 考点05利用矩形性质证明 考点06 求矩形在坐标系中的坐标 考点07 矩形与折叠问题 考点08 斜边中线等于斜边一半 考点09 矩形的判定定理 考点10 添加条件使四边形是矩形 考点11 证明四边形是矩形 考点12 与矩形性质与判定有关的综合问题 地 城 考点01 矩形性质理解 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点O，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案． 【详解】解：A、根据矩形的性质可知不一定成立，故A选项不符合题意； B、根据矩形的性质可知，不一定成立，故B选项不符合题意； C、根据矩形的性质可知不一定成立，故C选项不符合题意； D、根据矩形的性质可知一定成立，故D选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，的平分线交于点E，，垂足为H，连接并延长，交于点F，交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】①根据，再根据勾股定理得到，所以得到，进而得到三角形全等即可判断；②先证，得到是等腰三角形，进而得到，即可算出，即可判断；③由上易得，，即可判断；④要想证明，证明，由上过程易得两组角一组边对应相等，即可判断； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴°， 在和中， ， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的是①③④， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决此题的关键． 3．（24-25八年级下·广东江门·期中）下列四个选项中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．邻边相等 D．对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质和菱形的性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键．根据矩形的性质和菱形的性质进行判断即可． 【详解】解：矩形对角线相等，菱形对角线不一定相等， 故矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 故选B． 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 5．（24-25八年级下·广东·期中）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（    ） A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度增大 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质和平行四边形的性质，熟悉性质是解题的关键． 由题意得向左扭动框架，由矩形变成了平行四边形，四边形四条边不变，故周长不变，高变小，底不变，故面积变小，即可选出答案． 【详解】解：向左扭动框架，由矩形变成了平行四边形，故A选项说法正确，A不符合题意； 此时对角线减小，对角线增大，故B选项说法正确，B不符合题意； 边上的高减小，面积就变小，故C选项说法错误，C符合题意； 四边形四条边都不变，周长就不变，故D选项说法正确，D不符合题意． 故选：C． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知矩形的对角线为1，面积为，则矩形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设矩形的长、宽分别为a、b，根据矩形的性质和面积、周长公式计算即可． 【详解】解：设矩形的长、宽分别为a、b， ∵矩形的对角线为1，面积为m， ∴，， ∴， ∴矩形的周长为， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，关键是用和表示出． 7．（24-25八年级下·广东广州·期中）学校要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了24盆花，还需要从花房运来______盆花；如果一条对角线用了35盆花，还需要从花房运来______盆花；如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来______盆花． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的对角线性质在实际生活中的应用，分类讨论的数学思想．根据矩形的对角线相等且互相平分可知当一条对角线有偶数盆花时，另一条对角线要有相同盆数；当一条对角线有奇数盆花时，另一条对角线的盆数要少一盆． 【详解】解：因为矩形的对角线相等且互相平分，所以当一条对角线有24盆花时，另一条对角线要有相同盆数即24盆； 如果一条对角线用了35盆花，因为两对角线的交点处有一盆，所以还需要从花房运来34盆花． 如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来盆花． 故答案为：，，． 8．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在矩形中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N； ②作直线交于点E，若，，对角线的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图以及矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．根据题意利用基本作图即可判断垂直平分，则，然后利用勾股定理先计算出，再计算出即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·广东江门·期中）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是______． 【答案】10km 【分析】根据题意先求、两地的水平距离和竖直距离，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于，如下图： 观察图形可得：（km）， （km）， 在中， （km）． 故答案为：10km． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解题关键是结合图形找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度． 地 城 考点02 利用矩形性质求角度 1．（四川省成都市东部新区2024-2025学年上学期学业质量监测九年级数学试卷）如图，将两个矩形叠合放置，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形两个锐角互余，因为两个矩形叠合放置，所以，因为，则，即可作答． 【详解】解：如图： ∵两个矩形叠合放置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，由矩形的性质可得，则由等边对等角和三角形外角的性质可得，据此根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C ． 3．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，根据题意，则，点是对角线的交点，则，根据等边对等角，则，，再根据，等边三角形的三线合一，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C 5．（24-25八年级下·广东汕尾·期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（　　） A．55° B．40° C．35° D．20° 【答案】C 【分析】由矩形的性质得出OC=OD，得出∠ODC=∠OCD=55°，由直角三角形的性质求出∠ODE=20°，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OC=OD， ∴∠ODC=∠OCD， ∵∠AOD=110°， ∴∠DOE=70°，∠ODC=∠OCD=（180°-70°）=55°， ∵DE⊥AC， ∴∠ODE=90°-∠DOE=20°， ∴∠CDE=∠ODC-∠ODE=55°-20°=35°； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 6．（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得OA=OD，从而得到∠ADO=55°，再由，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，， ∴∠ADO=55°， ∵，即∠AED=90°， ∴∠DAE=35°． 故选：B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 7．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最大内角等于______ 【答案】/度 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，作于，根据平行四边形的面积等于矩形面积的一半，得出，取的中点，连接，由直角三角形的性质得出为等边三角形，由等边三角形的性质可得，最后由计算即可得解． 【详解】解：如图，作于， 则， 根据题意得，平行四边形的面积， ， 取的中点，连接，则， ， 为等边三角形， ， ， ∵， ∴ 即这个平行四边形的最大内角等于， 故选：． 8．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，四边形是矩形，且对角线相交于点，若，则___________．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，矩形的性质，先根据矩形对角线互相平分且相等得到，根据对顶角相等得到的度数，再由等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵在四边形是矩形，且对角线相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，已知，则的大小是 ________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，根据矩形的性质，可得的度数，与的关系，根据等边三角形的判定，可得答案，利用矩形的性质得出的度数，与的关系是解题关键． 【详解】解：由矩形中，对角线，相交于点O，，得， ∴． 由，得是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中，已知，则的度数为______°． 【答案】/40度 【分析】本题考查了矩形性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形性质推出，由推出，根据推出，即可得到结果． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，，， ∴， ， ∴ 故答案为：． 1．（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（    ）地 城 考点03 利用矩形性质求线段 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为点，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理． 连接，根据矩形的性质和勾股定理得到，，可知，根据等面积法计算即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ． ． 故选：A． 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中（），对角线，相交于点，点关于的对称点为．连接交于点，连接，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 由四边形是矩形，得，，，由勾股定理得，又点关于的对称点为，则，通过等面积法求出，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点关于的对称点为， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，连接，由矩形的性质可得四边形是矩形， 即得，可知要求的最小值，就是要求的最小值，当时，取最小值，由勾股定理得，再根据三角形的面积求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴.， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴要求的最小值，就是要求的最小值， 当时，取最小值， 在中，，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 5．（24-25八年级下·广东·期中）如图，在矩形中，点为边的中点，点为边上一点，且平分．若，，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，延长交于G，由矩形的性质推出，，得到，由判定，得到，求出，得到，求出，而，得到，可得． 【详解】解：延长交于G， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中，与交于，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，，则的值为（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握各性质并利用面积法是解题的关键． 连接，过点A作于G，利用勾股定理列式求出，再利用三角形的面积求出，然后根据的面积求出即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点A作于G， ，， ∴由勾股定理可得：， ，即， 解得：， 在矩形中， ，， ， 故， 故选：B． 7．（24-25八年级下·广东汕头·期中）矩形中，，，分别平分，，交于点E，F，射线，交于点G，若，则的长是（   ） A．6或7 B．8或9 C．7或9 D．6或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．先证，同理，，则，再分两种情况，当点G在矩形内部时，当点G在矩形外部时，画出图形，分别求出AB的长即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 分两种情况： ①当点G在矩形内部时，如图所示： 则， 即， 解得：， ∴； ②当点G在矩形外部时，如图所示： 则， ∴， ∴； 综上所述，的长为7或9， 故选：C． 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为 （　　） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．连接，利用勾股定理列式求出，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴解得， 故选：． 9．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，垂足分别为E、F，连接，则的长最小为（   ） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、，    ，， ． 四边形是矩形， ． 四边形为矩形． ． 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ． 的长度最小为：． 故选：B． 10．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知：如图，在矩形中，点为上一点，平分，点为的中点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，勾股定理，等腰三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． 由矩形的性质得，，，，又，则，故有，同理，设，，所以，，然后用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 设，， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， 故选：． 11．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在矩形中，，，点E在边上，点F在边上，且，连接，则的最小值为 _____． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，证明，易得，即有，作点关于点的对称点，连接，当三点共线时，可有，此时取最小值，然后根据勾股定理求得的值，即可获得答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于点的对称点，连接， 则，当三点共线时， 可有，此时取最小值， ∵， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·广东云浮·期中）如图，矩形中，对角线，相交于点O，于点E，，，则的长为___________． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，根据矩形的性质可求出，然后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解∶∵四边形是矩形，， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：2． 13．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在矩形中，点在边上，点F在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据矩形的性质，勾股定理可得，可证，得到，则点是线段的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，设，则，在中，由勾股定理得到，则，根据题意可得是等腰三角形，，由勾股定理得到，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是线段的中点， 如图所示，连接， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∴，则， ∵， ∴是等腰三角形，， 在中，， ∴， 故答案为： ． 14．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，垂足为H，连接并延长，交于点交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是_______．（只需填序号） 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，然后求出，是等腰直角三角形，然后利用角角边证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后证明出，即可判断①；再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而判断出②；求出，然后根据等角对等边可得，即可判断③；连接，利用全等三角形的性质证明，再证明，可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， 平分， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又∵， ∴，故①正确； ， ， ∴，， ， ，故②错误； ∴， ， ， ，故③正确； 连接．   ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质；熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键． 15．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形中的长为_________．    【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理．由矩形的性质可证为等边三角形，可求的长，可求的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，且， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，矩形中，E为上一点，且，过A作于F，若． (1)当，求的长； (2)当取得最小值时，求的长． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，算术平方根，勾股定理，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据勾股定理即可求出的长； （2）根据，当时，取得最小值，可得，然后由勾股定理求出的长，再证明，可得，即可解决问题． 【详解】（1）， ， ， ，． ， 故的长为； （2）解；， 当时，取得最小值， ， ， ， ． ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， 故的长为． 17．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，求使需经过多少时间？ (2)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)当或或时，为等腰三角形． 【分析】（1）已知，当时，四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得，设运动的时间是，可得关于的方程，解方程即可得到运动的时间； （2）当为等腰三角形，应分三种情况求解：第一种情况、当时，第二种情况、当时，第三种情况、当时． 【详解】（1）解：设运动的时间是， ，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 即， 解得：， 从运动开始，使需经过； （2）解：当或或时，为等腰三角形， 如下图所示，过点 作， 则， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 是等腰三角形， 当时，， 解得：； 如下图所示， 当时， ， ， ， 解得：； 当时， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：； 综上所述，当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了动点几何问题、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是根据图形的性质找到边之间的关系，再利用边之间的关系列方程求解即可． 18．（24-25八年级下·广东·期中）如图，在中，，是的中点．过点作，过点作，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定和性质得到，即可证明结论成立； （2）根据勾股定理求出，再根据矩形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点． ∴， ∴， ∴四边形是矩形 （2）∵是的中点． ∴， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ 19．（24-25九年级上·广东梅州·期中）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． (1)操作发现： 如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为18，，则此完美长方形的边长_____，面积为_____． (2)类比探究： 如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为40，，求完美长方形的周长． (3)拓展延伸： 如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，，求此完美长方形的周长与面积． 【答案】(1)3；9 (2)18 (3)周长为70，面积是300 【分析】（1）根据折叠得到是中点，过点作于，根据△的面积求出的长，推出是的中位线，得到，即可求出完美长方形的面积； （2）根据折叠可知，，从而求出的长，根据平行四边形的面积求出的长，即可求出周长； （3）根据折叠可证点、分别是、的中点，判定四边形是平行四边形，推出，推出矩形的对角线长后根据、之间的数量关系，利用勾股定理求出、的长后即可求出此完美矩形的周长． 【详解】（1）解：由折叠可知，，，， ，点是中点， ， 如图，过点作于，交于点， ， ， 由折叠可知：， ， 完美矩形的面积为：． 故答案为：3；9； （2）解：由折叠可知：，， ， 同理可知：，， 矩形的面积为：， ， 矩形的周长； （3）解：如图，连接， 由折叠可知：点、分别是、的中点， ，， 由题意可知：，， ，， 四边形是平行四边形， ， 在中，设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ，， 此完美矩形的周长为．面积是． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查新定义问题，平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，过矩形 对角线的交点 O，且分别交于 E 、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的（      ）地 城 考点04 利用矩形性质求面积 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要根据矩形的性质，得，再由与同底等高，与同底且的高是高的得出结论．本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质． 【详解】解：四边形为矩形， ， ∴ 在与中， ， ， 阴影部分的面积， ∵与同底且的高是高的 ． 故选：B． 2．（广西壮族自治区南宁市第二中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题）如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】6 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线， (1)如果一条对角线用了18盆红花，还需要从花房运来________盆红花． (2)如果矩形较短的边为，两条对角线所夹的锐角为；求该矩形花坛的面积． 【答案】(1)18 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，解题关键是熟练掌握矩形的对角线互相平分且相等的性质． （1）根据矩形的对角线相等且互相平分，即可得出结果； （2）由矩形的性质可知，，，，由，可知是等边三角形，得，，再结合矩形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴一条对角线用了18盆红花， ∴还需要从花房运来红花18盆； 故答案为：18； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，则， 在中，， ∴． 4．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图所示，在矩形中，cm，cm，点P从A开始沿边以4m/s的速度运动，点Q从C开始沿边以2m/s的速度运动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s． (1)当时，求P，Q两点之间的距离． (2)当为何值时，线段与互相平分? (3)当为何值时，四边形的面积为矩形面积的． 【答案】(1)cm (2)4s (3)3s 【分析】（1）当t=2秒时，表示出QC，AP的长，利用勾股定理求出PQ的长即可． （2）根据线段AQ与DP互相平分，则四边形APQDA为矩形，也就是AP=DQ，分别用含t的代数式表示，解出即可． （3）用t表示出四边形APQD的面积，再求出矩形面积的进而得出即可． 【详解】（1）解：连接PQ，过D点P作PE⊥DQ于点E，如图所示： ∵AB=24cm，BC=10cm，点P从A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，点QA从C开始沿CD边2cm/s的速度移动， ∴当t=2秒时，QC=4cm，AP=8cm， ∴DQ=24-QC=20cm，则EQ=12cm， ∴(cm)， ∴P，Q两点之间的距离cm． （2）∵AP=4t，DQ=24-2t， 当线段AQ与DP互相平分，则四边形APQD为矩形时， 则AP=DQ，即4t=24-2t， 解得：t=4， 故t为4s时，线段AQ与DP互相平分． （3）∵P在AB上， ∴ ， ， ， 解得：， ∴t为3秒时，四边形APQD的面积为矩形面积的． 【点睛】本题考查了矩形的性质及勾股定理的应用，根据运动速度得出QC以及AP的长是解题关键． 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，四边形是矩形，对角线与交于点O．地 城 考点05 利用矩形性质证明 (1)尺规作图：作的角平分线，交于点F，交于点E；（保留作图痕迹，不写做法） (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）按照尺规作图作角平分线的步骤进行即可； （2）由作法及矩形的性质得，，从而得是等边三角形，则由即可求解． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：∵四边形是矩形， ∴，； 由作图知，平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，尺规作图作角平分线等知识，证明等边三角形是解题的关键． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，四边形中，，对角线相交于点O． (1)请从下列条件①，②中选择一个作为已知，求证：四边形为矩形． 条件①：；条件②：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，则按第一个解答计分．） (2)在（1）的结论下，作平分交于点E，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明四边形为矩形是关键． （1）选择条件①，根据三个角是直角的四边形是矩形进行证明即可；选择条件②，根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明即可； （2）证明，得到是等边三角形，则，，求出，即可得到的度数． 【详解】（1）解：选择条件①：； 证明：∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 选择条件②： ∵， ∴， ∵， ∴，、 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． （2）∵四边形为矩形． ∴，， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 3．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在矩形中，点是边上的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，利用矩形的性质证得，，又为边上的中点，则，通过证明，最后通过全等三角形性质即可证得结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵为边上的中点， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在矩形中，为等腰直角三角形， (1)求证：； (2)若矩形的周长为，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算等知识；熟练掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）由为等腰直角三角形，得出，，推出，由证得，得出，即可得出结论； （2）设，利用矩形的性质可得，解得的长，根据勾股定理求得，即可求得的面积． 【详解】（1）证明：为等腰三角形， ，， 又， ， 又四边形是矩形， ，， 在和中， ， ． ， ； （2）解：设，根据题意得：， 解得，即， 在中，， ； 的面积为6.5． 5．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图是以为对角线的矩形和矩形，且平分． (1)连接，，求证； (2)尺规作图：作的平分线交于点G，连接． ①求证； ②若，，求和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①图见解析，证明见解析；② 【分析】（1）先根据矩形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，从而可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①先根据角平分线的尺规作图的方法作的平分线，再交于点G，连接即可；先证出，再证出，从而可得，然后证出是等腰直角三角形，由此即可得证； ②先利用勾股定理求出，再延长，交于点，证出是等腰三角形，然后利用等腰三角形的三线合一可得，利用直角三角形的性质即可得的长，利用的面积公式即可得的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：①尺规作图如下： 由（1）已证：， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴． ②设， 则， 解得， ∴， ∵， ∴， 如图，延长，交于点， ∵，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，点是的中点， 则在中，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题关键． 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ）地 城 考点06 求矩形在坐标系中的坐标 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质以及坐标与图形，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，再利用勾股定理列出等式进行求解即可．根据矩形的性质和折叠的性质证明，设，则，利用勾股定理可得进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ∵将纸片矩形沿折叠，使点B落在点D的位置， , , ， ∵点B的坐标为， ，， 设，则， 在中，， 解得， ∴点E的坐标为， 故选：C． 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在长方形中，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为（    ）．地 城 考点07 矩形与折叠问题 A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识点，灵活利用矩形的性质、运用勾股定理列方程求解成为解题的关键． 根据折叠的性质以及勾股定理，列方程进行计算求解得到DE的长即可． 【详解】解：如图:∵点F在的垂直平分线上， ∴； ∵， ∴， ∴， 设为y，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，即的长为． 故选B． 2．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在矩形纸片中，，点在边上，将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由矩形的性质得到，由折叠得，，由得到，推出，根据勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：矩形纸片， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， 故答案为：A． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．若与交点为，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形与折叠，根据折叠的性质，推出，得到，进而证明，得即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可知：直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵对折至，折痕为， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，矩形中，，点在上，，连接，将矩形沿翻折，点恰好落在上的点处，则________cm． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了勾股定理，设，推出，根据即可建立方程求解． 【详解】解：设， 由题意得：，， ∴； ∵， ∴，解得：， 即： cm． 故答案为： 5．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图所示，将矩形纸对折，设折痕为，再把点叠在折痕线上，（如图点），若，则折痕的长为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了折叠的性质、30度直角三角形性质、勾股定理的应用，解题的关键在于证明是等边三角形， 连接，根据折叠性质可证明．，即可得，由此得，再利用勾股定理和含30度直角三角形性质求解即可． 【详解】解：连接， 由矩形纸对折可知：，， ∴， 又∵折叠可知：， ∴，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折变换的性质和以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的性质和翻折变换的性质可得，，，设，则，运用勾股定理得到，，再证明，过点作于，得到四边形是矩形，，，，在中运用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 折叠， ， 设， 则， 在中，， ， 解得，， ，， ， ， ， ， ， 作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在直角坐标系中，矩形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求折痕的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质与折叠问题是解题的关键． （1）利用折叠的性质及平行线的性质推出即可； （2）过点E作于点H，利用勾股定理求出折痕的长． 【详解】（1）证明：由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴． 8．（24-25八年级下·广东佛山·期中）综合与探究： 折纸作为融合生活实践与数学探究的活动，其折叠过程生动展现了对称性、等长线段、等角关系及图形全等等几何原理．综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 如图1，平行四边形纸片，的长度不确定，点是上的一个动点，连接，把平行四边形沿着线段对折，点的对应点为． 【探究1】如图2，当与重合时，连接，探究与的位置关系，请完成下面的证明过程； 证明：沿翻折至， ， 在平行四边形中，， ， ， ， 在平行四边形中，， ， ， ， ， ， = ， ； 【探究2】如题图3，若刚好能落在的中点时，且，求的长； 【探究3】如图4，若，当刚好落在点的中点上时，是的中点，连接，若是直角三角形，直接写出的长． 【答案】【探究1】；；；；；；；见解析；【探究2】；【探究3】的长为或或或 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，矩形的性质； 探究1：结合图形，根据证明过程中上下步之间的逻辑关系填空即可； （2）延长与交于点M，由折叠得到，则 ， 设则，再证明得到，，最后根据列方程求解即可； （3）根据，，分情况讨论，分别画出图形，再利用勾股定理和折叠计算即可． 【详解】（1）证明：沿翻折至， ， 在平行四边形中，， ， ， ， 在平行四边形中，， ， ， ， ， ， ， ； （2）延长与交于点M， 在四边形是平行四边形中，， ， 折叠得到， ， ， ， 设 ， ， 点是CB的中点， ， 在和中， ， ，， ， ， ，解得， ∴； （3）∵当刚好落在点的中点上时，是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，； 当时，， 如图，当在下方时，交于， ， ， 则， ， ∴， ， ∵刚好落在点的中点上， ； 如图，当在上方时，直线交于， ， ， 则， ， ， ∴， ， ∵刚好落在点的中点上， ； 当时，由折叠可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴ ； 当时，同理可证是矩形， ∴， ∵， ∴，， ． 9．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形纸片中，将纸片折叠压平，使点C与点A重合，折痕为． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题主要考查矩形的性质、翻折的性质、等角对等边、勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学知识． （1）由折叠的性质可得，由矩形的性质和平行线的性质可得，可得结论； （2）由勾股定理可求AE的长，即可求解． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得 ∵四边形是矩形， ， ， ， ． （2）解：在中， ∴， 解得 10．（24-25八年级下·广东惠州·期中）综合与探究 问题情境：折叠问题的实质是图形的轴对称变化，找出对应相等的元素是解题的关键．如图，在矩形中，，，为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为． 问题解决： (1)如图当点落在对角线上时，求线段的长． (2)如图，当时，求线段的长． (3)在点运动的过程中，当三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）利用勾股定理得，由折叠的性质得，，，即得，设，则，在中利用勾股定理解答即可求解； （）在上取一点，使得，连接，可证是等腰直角三角形，得到，即得，进而得，即得到，据此即可求解； （）分点在和点在延长上，分别画出图形，利用矩形和折叠的性质分别解答即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （2）解：如图所示，在上取一点，使得，连接， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，当点在上时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴； 如图所示，当点在延长上时， 同理可证明， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 11．（24-25八年级下·广东深圳·期中）（1）证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于． 如图，在中，，，求证： （2）如 图 ， 是一张长方形纸片，且，沿 过 点D 的折痕将A 角翻折，使得点A 落在 上（如图中的点），折痕交 于 点G．那么 等于多少度？你能证明你的结论吗？（提示：可直接利用（1）的结论） 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）取中点，连接，根据直角三角形斜边上中线性质得出，得出等边三角形，求出，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据（1）中结论即可求得的度数，根据折叠求得，即可求解． 【详解】解：（1）证明：取中点，连接， ∵是直角三角形，， ， ∵， ， ∴是等边三角形， ， ． （2）在长方形中，， 根据折叠可得， ∵， ， ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，正确求得是解题的关键． 12．（24-25八年级下·广东珠海·期中）数学实验： 对矩形纸片进行折纸操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如图1，①将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段． 提出问题：（1）观察所得到的，和，猜想这三个角之间有什么关系？证明你的猜想． 变式拓展： 如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕、线段； 提出问题：（2）已知，，求的长． 【答案】（1），证明见解析；（2） 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，，，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得； （2）先根据折叠的性质可得，，，，，，再利用勾股定理可得，从而可得，然后设，则，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）猜想，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． （2）∵，， ∴由折叠的性质得：，，，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴． 地 城 考点08 斜边中线等于斜边一半 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，为中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：，为中点， ， ， ， 故选：A ． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，点是的中点，，则的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此即可计算． 【详解】解：，点是的中点， ， ， ． 故选：D． 3．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在中，，，作的垂直平分线，且直线交于点，交于点，连接，则．的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的内角和定理得到，根据直角三角形的性质得到，求得，进而即可得解． 【详解】解：由题意可知：为的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握以上性质并能灵活运用是解决此题的关键． 4．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，已知在中，，则边上的中线的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 首先根据勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解决问题． 【详解】在中，∵， ， 边上的中线． 故选C． 5．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，，，点为斜边上的中点，则为（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：在中，，， 点为斜边上的中点，则， 故选：B． 6．（24-25八年级下·广东肇庆·期中）如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：C． 7．（24-25八年级下·广东汕头·期中）在中，，是斜边上的中线，若，则的长为（    ） A． B．5 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，根据，是斜边上的中线，所以，即可作答． 【详解】解：∵在中，，是斜边上的中线， ∴， 故选：C 8．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，已知，，E为的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．由直角三角形斜边中线的性质推出，，即可证明． 【详解】证明：，， ， 为的中点， ，， ． 9．（24-25八年级下·广东深圳·期中）综合与实践：直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现 背 景 深深和圳圳两位同学对几何学习非常感兴趣，在八年级下册的几何学习后，他们俩相约着对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现． 素 材 如图，是直角三角形，， 操作：深深和圳圳画出的角平分线与的垂直平分线，与交于点． 发现：当长度不变，长度变化时，点的位置也会随之变化．当点位于某个特殊位置时，的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性． 问题解决 任 务 1 在如图所示的直角三角形中，深深发现：点正好落在边上． （1）请利用尺规作图帮助深深找出点的位置．（保留角平分线以及垂直平分线的作图痕迹，不要求写作法） 任 务 2 （2）点在图的位置时，圳圳发现： ①______；②与的（数量）关系为：_____． 任 务 3 （3）继续探索发现，如图所示，、、三点共线，此时，深深和圳又有新的发现： ①________； ②若已知，发现能用含字母的式子表示线段的长度，则的长度为________． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）①，②． 【分析】本题考查了作角平分线与垂直平分线，角平分线的性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意作的角平分线，作的垂直平分线，与相交于，点正好落在边上； （2）①根据角平分线的定义设，根据垂直平分线的性质可得，则，根据直角三角形中两个锐角互余得出，解方程，即可得度数；②根据含角的直角三角形的性质得出，进而结合，等量代换，即可得证； （3）①根据、、三点共线，得出，根据三角形内角和定理即可得度数；②过点作于点，根据角平分线的性质得，进而根据等面积法列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）如图，作的角平分线与的垂直平分线，与交于点，点即为所求． （2）①∵是的角平分线， ∴设， ∵是垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，即． ②∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：， （3）①∵、、三点共线，，是垂直平分线， ∴， ∵， ∴． ②如图，过点作于点， ∵是的角平分线，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：①，② 10．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，已知，点分别为的中点，，．求的长． 【答案】5 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，连接，由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，进而由等腰三角形的性质可得，，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，点是的中点，， ， 同理可得， ， ∵点是中点， ，， ． 11．（24-25八年级下·广东深圳·期中）已知：中，，点为上一点，连接并延长至点，连接，使． (1)【初步探究】如图，当时，求证：．为了解决这一问题，八年级班数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：“在上截取，连接，如图，通过证明可推出，再证出为等边三角形，从而顺利得到这一结论”，请你按照该思路写全证明过程； (2)【深入领会】如图，当时，（）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出结论： ； (3)【问题解决】如图，在（）的条件下，在上截取，连接，点在上，连接，且，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)结论不成立， (3) 【分析】（）在上截取，连接，可证，可得，，进而可得为等边三角形，即得，即得到，即可求证； （）在上截取，连接，同理（）可得为等腰直角三角形，即得，进而即可求证； （）连接，过点作于点，同理（）可得为等腰直角三角形，即得，即可得，进而得到，，再根据直角三角形的性质得，由勾股定理得，利用等腰直角三角形性质得，又得，最后根据勾股定理得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：在上截取，连接，如图所示， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 即； （2）解：（）中结论不成立，，理由如下： 在上截取，连接，如图所示， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 故答案为：； （3）解：连接，过点作于点，如图所示， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∵， ， 即， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， ， ， ， 解得， 的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 12．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知矩形和矩形，是上一点，与边相交于点，与边相交于点． (1)如图1，若，，则________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，，求； (3)如图3，若，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据勾股定理计算，即可求解； （2）证明得出，进而证明得出，即可得出为的中点，即可求解； （3）过点作于点，交于点，分别证明，，即可得出，，进而根据，即可得证． 【详解】（1）解：∵矩形 ∴， 在中，，， ∴ 故答案为：． （2）解：∵矩形和矩形， ∴ ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ （3）解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴ 在四边形中， ∴， 又∵ ∴ 在中， ∴ ∴， 在中， ∴ ∴， ∴． 地 城 考点09 矩形的判定定理 1．（第1章2矩形的性质与判定）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作学习小组的位同学拟订的方案，其中正确的是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量其中三个角是否都为直角 D．测量一组对角是否都为直角 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形的判定方法逐一判断即可求解，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误； 、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误； 、由三个角为直角得到另外一个角也为直角，故可得到四边形为矩形，故本选项正确； 、根据一组对角是直角不能确定其余两角为直角，故本选项错误； 故选：． 2．（2025年福建省三明市三元区九年级中考一模数学试题（4月））活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（    ） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定：三个角都是直角的四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．根据矩形的判定逐项判断即可得． 【详解】解：A、测量是否有三个角是直角，能判定四边形是矩形，则此项符合题意； B、测量对角线是否相等，不能判定四边形是矩形，则此项不符合题意； C、测量两组对边是否分别相等，能判定四边形是平行四边形，但不能判定四边形是矩形，则此项不符合题意； D、测量对角线是否互相垂直，不能判定四边形是矩形，则此项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形的对角线互相平分，以下添加的条件不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定四边形ABCD为平行四边形，添加的条件，可得AO=CO=BO=DO，可证AC=2AO=BD，故能判定选项A；添加的条件，由四边形ABCD为平行四边形，可得∠ABC+∠BCD=180°，可求=90°，故能判定选项B；添加的条件，由四边形ABCD为平行四边形，可得四边形ABCD为菱形，故不能判定选项C；添加的条件，由四边形ABCD为平行四边形，可得四边形ABCD为矩形，故能判定选项D ． 【详解】解：四边形的对角线相交于O， ∵四边形的对角线互相平分， ∴AO=CO，BO=DO， ∴四边形ABCD为平行四边形， A选项添加的条件， ∴AO=CO=BO=DO， ∴AC=2AO=BD， ∴四边形ABCD为矩形， 故选项A能判定； B选项添加的条件， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴=90°， ∴四边形ABCD为矩形， 故选项B能判定； C选项添加的条件， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为菱形， 故选项C不能判定； D添加的条件， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为矩形， 故选项D能判定． 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，通过添加条形判定四边形ABCD为矩形，掌握平行四边形的判定，矩形的判定方法是解题关键． 地 城 考点10 添加条件使四边形是矩形 1．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”，由此得到答案． 【详解】解：A、添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； B、添加，根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； C、添加，不能得到为矩形，本选项不符合题意； D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形判断即可． 【详解】解：如图， A、，能判定为矩形，本选项不符合题意； B、∵，，∴，能判定为矩形，本选项不符合题意； C、，能判定为矩形，本选项不符合题意； D、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的判定方法进行解答即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故A不符合题意； B．由可以判定平行四边形为矩形，故B符合题意； C．由可以判定平行四边形为菱形，故C不符合题意； D．由可以判定平行四边形为菱形，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 4．如图，在中、相交于点，，当 ____时，是矩形． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定方法． 利用平行四边形的性质得出对角线相等时即可判定出四边形是矩形． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴时，四边形是矩形， ∴， ∴当时，四边形是矩形， 故答案为：6． 5．（24-25八年级下·广东江门·期中）中，再添加一个条件_____________，就可判定四边形为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理即可解答，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：中，再添加，就可判定四边形为矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（湖南省张家界市桑植县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）如图，在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件：________，则可判定四边形是矩形． 【答案】（或）（答案不唯一，正确即可） 【分析】此题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定定理是解答此题的关键． 根据矩形的判定定理求解即可． 【详解】解：若使变为矩形，可添加的条件是： ；（对角线相等的平行四边形是矩形） 等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 故答案为：或． 地 城 考点11 证明四边形是矩形 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，过点作，垂足为点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定及勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握矩形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，可得的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案； （2）勾股定理求得，进而证明，根据等腰三角形的判定与性质，可得，根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得答案． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）由（1）知四边形是矩形， ∴． 在 中， ，， ， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，连接，，平移至(点与点对应，点与点对应），连接． (1)①直接写出点的坐标为______． ②判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)如图1，点为边上一点，连接，平分交于，连接．若，求的长； (3)如图2，为边的中点．若，连接，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】(1)①；②四边形为矩形，理由见解析 (2) (3)， 【分析】（1）①根据平移的性质可得从点平移至点的距离和方向与点平移至点的距离和方向相同，即可求解； ②根据勾股定理逆定理可得，再根据平移的性质可得且，可证得四边形为平行四边形，即可求解； （2）在线段上取一点，使，可证得，从而得到，，再证明，可得，，设，由勾股定理得，用x表示相关线段可得到关于x的方程，即可求解； （3）连接，取的中点连接，，根据三角形中位线定理和直角三角形的性质可得，，再由三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解∶ ①∵平移至（点与点对应，点与点对应）， ∴从点平移至点的距离和方向与点平移至点的距离和方向相同， ∵，， ∴点先向左平移个单位，再向上平移得到点， ∵， ∴点； 故答案为：； ②四边形为矩形，理由如下：连接， ∵，，， ∴， ∴， 同理：，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∵平移至， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形； （2）∵点，， ∴， ∵平分， ∴， 如图，在线段上取一点，使， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设则， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 即； （3）解：如图，连接，取的中点，连接，， ∵点，，， ∴，， ∵为的中点，为边的中点， ∴，， ∵， ∴的取值范围为． 的最小值为，最大值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形和矩形的性质、三角形全等、勾股定理的运用，直角三角形的性质，三角形中位线定理等，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，点，分别在边，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，交与点； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）由平行四边形的性质易得四边形是平行四边形，再由垂直条件即可得四边形是矩形； （2）按照用尺规作图作线段垂直平分线的方法完成即可； （3）连接，则，，在中，利用勾股定理建立关于的方程，即可求解． 【详解】（1）证明：在中， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：作图如下： （3）解：连接，如图； 则； ∴； ∵四边形是矩形， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，尺规作图作线段的垂直平分线，勾股定理等知识，题目不难，但涉及较多知识点． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）在等腰三角形中，，点是中点，点是中点，过点作交的延长线于点． (1)试判断四边形的形状，并加以证明； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形为矩形，证明见详解 (2)60 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求矩形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用等腰三角形的性质和给出条件，证明得出对应边相等，先得出四边形为平行四边形，再根据有一个直角的平行四边形是矩形可得； （2）利用勾股定理求出的长，利用矩形面积求解即可． 【详解】（1）解：四边形为矩形，证明如下， ∵点是中点， ， 在和中， ∵在等腰三角形中，点是中点， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， 又， 为矩形； （2）解：，点是中点， 在中，由勾股定理得， , ∴四边形的面积为． 5．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，平行四边形中，．求证：四边形是矩形． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定、平行四边形的性质以及矩形的判定．矩形的判定方法：1．一个角是直角的平行四边形是矩形；2．对角线相等的平行四边形是矩形；3．有三个角是直角的四边形是矩形；4．对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 根据平行四边形的性质可得，根据可得，则，根据对角线相等的平行四边形是矩形就可解答． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 地 城 考点12 与矩形性质与判定有关的综合问题 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定，先由平行四边形的性质得结合得即可作答． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴平行四边形是矩形． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识. 首先证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，已知四边形中，，，，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒． (1)求的长； (2)若为等腰三角形，求t的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，以及解勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 先求出，在中根据勾股定理计算即可； 先证得四边形为矩形，再作，，垂足分别为点，，再证得，，，，然后分3种情况、和，然后分别列出等式，即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， （2）解：∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， 作，，垂足分别为点，，如图： ∴四边形、和都是矩形， ∴，，，，， 若为等腰三角形，则有三种可能， ①当时， ∵， ∴， ∴， ∴秒； ②当时， ∴， ∴秒； ③当时，设， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴秒， 综上所述：或或时，为等腰三角形； 4．（24-25八年级下·广东深圳·期中）新定义：如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，如果有，则称点为关于点的勾股点． (1)概念理解：如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、均在小正方形的顶点上，则_______，_______，_______，那么点是关于点______的勾股点． (2)问题探究：如图3，为等腰直角三角形，是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角（点、、顺时针排列），，连接，，求证：点为关于点的勾股点． (3)应用发现：如图4，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点是外一点，且点是关于点的勾股点，，则的长为_______； (4)扩展延伸：在（3）的条件下，如图5，已知点在直线左上方区域，且点是关于点的勾股点，当为等腰三角形时，请直接写出此时四边形的面积． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3)6 (4)或或 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的性质等内容，熟练掌握以上知识点、会用分类讨论的思想进行画图是解题的关键． （1）根据勾股定理和题中勾股点的定义即可求解； （2）要证点为关于点的勾股点，即证，就是证，再从条件出发，证明，进而即可得证； （3）根据勾股点的定义求出的长，再利用勾股定理求解即可； （4）根据勾股点的定义求出的长，当为等腰三角形时，分、、三种情况讨论，再进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ， ， 点是关于点的勾股点， 故答案为：，，，； （2）证明：和为等腰直角三角形， ，，，， ，， ， ，， ， ， ， 点为关于点的勾股点； （3），是边上的中线，， ，， 点是关于点的勾股点， ， ，， ， 在，， 故答案为：6； （4）点是关于点的勾股点， ， 由（3）可知，，， ， ， 当为等腰三角形时，需分三种情况进行讨论， 第一种情况：当时，如图，过点作于点， ， ， ， 在中，， ， ， ； 第二种情况：当时，如图，过点作于点， 此时， ， 在中，， ， ， ； 第三种情况：当时，如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， ； 综上所述，四边形的面积为或或． 5．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在四边形中，，，，， ，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)依题意，，则____________cm． (2)当t为何值时，四边形为平行四边形． (3)当t为何值时，四边形为等腰梯形（等腰梯形是两腰相等，两底角相等）． 【答案】(1)； (2)当时，四边形是平行四边形； (3)经过四边形是等腰梯形． 【分析】（1）根据题意可得，，则； （2）当时，四边形为平行四边形，可得方程，解此方程即可求得答案； （2）过点D作于点，过点P作于点，则，当时，四边形是等腰梯形．即，求出t的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，，则； 故答案为：；； （2）解：∵经过四边形平行四边形， ∴，即， 解得． 当时，四边形是平行四边形； （3）解：如图，过点D作于点，过点P作于点，则， ∴四边形是矩形， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ， ∴，， ∴， ∴． ∴经过四边形是等腰梯形． 【点睛】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，边上的高为12，点P从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点Q从点B出发沿以每秒10个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t（秒），连接． (1)当点Q与点C重合时，t的值为______． (2)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (3)当平分面积时，求t的值； (4)多选题（正确答案不止一个）：当时，t的值可以是（    ） A．2            B．            C．            D．8 【答案】(1)6 (2) (3)4或12 (4)ACD 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确分情况讨论是解题关键． （1）根据当点与点重合时，，由此建立方程，解方程即可得； （2）先求出，再分两种情况：①和②，根据点的运动速度和求解即可得； （3）先求出的面积，再分三种情况：①，②和③，利用梯形的面积公式和平行四边形的性质求解即可得； （4）分三种情况：①当点沿运动时，②当点沿运动，且是钝角时，③当点沿运动，且是锐角时，过点作于点，过点作于点，先求出的长，再根据线段和差建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：当点与点重合时，则， 解得， 故答案为：6． （2）解：∵在中，， ∴， 由题意可知，点从点出发运动到点所需时间为秒；当点从点出发运动到点所需时间为秒，从点出发运动到点所需时间为秒， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上，． （3）解：∵在中，，边上的高为12， ∴的面积为， ①当时，， 则， 解得，符合题设； ②当时，， 则， 解得，不符合题设，舍去； ③当时，点与点重合，点与点重合， 则恰好是的对角线，平分面积，符合题意； 综上，的值为4或12． （4）解：分以下三种情况： ①当点沿运动时，， 如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形，且， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得； ②当点沿运动，且是钝角时，， 如图，过点作于点，过点作于点， 同理可得：，，， ∵， ∴， 解得； ③当点沿运动，且是锐角时，， 如图，过点作于点，过点作于点， 同理可得：，，， ∵， ∴， 解得； 综上，的值可以是2或或8， 故选：ACD． 7．（24-25八年级下·广东珠海·期中）摩天轮已经成为各大城市明信片，已知某摩天轮最低点A离地面，最高点离地面，摩天轮旋转一周需要，小凤从A点出发开始观光，摩天轮逆时针旋转后到达点B，求此时小凤离地面的高度．     【答案】此时小凤离地面的高度为 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．过点作于点，延长，交于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再求出，然后求出，根据含30度角的直角三角形的性质可得的长，最后根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，延长，交于点， 由题意得：，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴的直径， ∴， ∵摩天轮旋转一周需要，小凤从点出发开始观光，摩天轮逆时针旋转后到达点， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 答：此时小凤离地面的高度为． 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）同学用两副三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分四边形也是平行四边形直角三角板互不重叠，两个直角三角形斜边上的高都为 (1)①直接写出：一副三角板中的两个直角三角形的直角边结果用h表示； ②求四边形的面积． (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： ①不与给定的图形状相同； ②画出拼图的4个三角形的边． 【答案】(1)①角三角板直角边长为，角三角板直角边为和；②； (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形和角的直角三角形的三边关系，根据平行四边形的性质来构造图形是本题解题的关键． （1）①根据等腰直角三角形和角的直角三角形的三边关系求解即可； ②根据长方形的面积公式求解即可； （2）根据平行四边形对边相等，邻角互补进行拼接即可． 【详解】（1）解：①作和的高，两个直角三角形斜边上的高都为，如图：则， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∵，， ∴，则， ， 角三角板直角边长为，角三角板直角边为和； ②， ， 平行四边形为矩形， ，， ； （2）解：①顶角为时， ②顶角为时， 9．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，的对角线，交于点，是等边三角形，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理的应用；先根据平行四边形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，然后判断是矩形，再根据勾股定理求出长，利用举行的面积计算解答即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的面积为． 10．（24-25八年级下·广东湛江·期中）阅读材料，回答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》（如图有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么、、，三者之间的数量关系是　　． (2)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明：，，　　　　，且　　　　　　　　， ， 整理得，　　　　． (3)如图3，把矩形折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，掌握矩形的判定和性质是解题关键． （1）根据题意可得直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方，即可得到答案； （2）由图形可知，，，，且，即可证明结论； （3）过点作于点，由折叠的性质可知，，，结合矩形的性质，得到，进而得到，设，利用勾股定理列方程，求出的值，再证明四边形是矩形，，，进而得出，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5． ，， 直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方， 在中，如果，，，，那么、、，三者之间的数量关系是， 故答案为：； （2）证明：，，，且， ， 整理得， ． （3）解：如图，过点作于点， 由折叠的性质可知，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则， ， ， 在中，， ， 解得：， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中， 11．（24-25八年级下·广东广州·期中）矩形中，，点为对角线上一点，过点作于点交边于点，将沿折叠得，连接． (1)如图1，若点落在边上，求证：； (2)如图2，若三点在同一条直线上，求的长； (3)若是以为底的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据矩形的性质和翻折的性质证明，即可解决问题； （2）结合（1）的方法，再利用勾股定理即可求的长； （3）当是以为底的等腰三角形时，即当时，证明，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质得：， ， ； （2）解：如图2，，，三点在同一条直线上， 四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质得：， ， ， ， 是的中点， ， 在矩形中， ，，， ， ， 如图，连接， 是的中点，， ， ， 点是的中点， 是的中位线 ，， 由翻折可知：，， ， 在中，，， 根据勾股定理得：， ， ， ； （3）解： 如图，延长交于点， ，， ， ， 四边形为矩形， 当以为底的等腰三角形时，则， ，，， ， ， 设，则， 在中，， 则可得， 可得， ， ， ， 在中，， 即， 解得，即． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 专题04矩形 目目 考点01 矩形性质理解 2 3 4 5 6 D A C C 7.24 34 2n 8. 4V5 9. 10km 目目 考点02 利用矩形性质求角度 1 2 3 5 6 C C C C B 7. 150°/150度 8. 65°/65度 9. 50° 10.40°/40度 目目 考点03 利用矩形性质求线段 3 4 5 6 C A A B C 马 C 11.8√2 12.2 135 4 14.①③④ 15.5V5 16 【详解】(1)：DE=AD=x,x=5 :DE AD=5, AF⊥DE, ∠AFD=90°，AF=3. :DF=AD2-AF2=4, 1/46 让教与学更高效 8 9 10 B B D 耐学科网 wWW.2 故DF的长为4： (2)解；：√2x-8≥0， :当2x-8=0时，√2x-8取得最小值， .x=4, :DE AD=x=4, .AF⊥DE, LAFD=90°，AF=3. DF=√AD2-AF2=√7， :四边形ABCD是矩形， LC=LAFD=90°，AD∥BC, ∠ADF=∠DEC, 在△ADF和△DEC中， [∠ADF=∠DEC ∠AFD=∠C AD=DE .△ADF≌△DEC(AAS, EC=DF=√7， 故EC的长为√万. 17. 【详解】(1)解：设运动的时间是s, :AP tcm Co=3tcm, .PD =(24-t)cm ADII BC, :当PQ‖DC时，四边形PQCD是平行四边形， .PD=CO, 即3t=24-t, 解得：t=6s, :从运动开始，使P2‖CD需经过6s; xx k.com 让 2/46 教与学更高效 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10 5 (2)解：当1=3s或4s或 s时，△DCQ为等腰三角形， 如下图所示，过点 D作DN⊥BC, 则∠DNC=∠DNB=90°， AD‖BC,∠B=90°， .∠A=LB=90°， :四边形ABND是矩形， :DN AB=8cm AD=BN =24cm, .CN BC-BN =6cm 在RtADNC中，DC=VDW2+CW2=V82+6=10, :△DCQ是等腰三角形， 当DC=C2时，3t=10, 10 解得：t= 39 如下图所示， 当DC=DQ时， :DN⊥BC, ..CN=ON 1C0, 解得：t=4; 3/46 而学科网 www .zxxk.com D 当D2=CQ时， ..Ce=3t,CN=6, .ON =CO-CN =(3t-6)cm ∴.QD=VDW2+QW2=V82+(3t-6)2, V82+(3t-6)2=3, 整理得：36t=100, 解得：1=25 综上所述，当t=10、 3s或4s或5s时，△DC巴为等腰三角形 18 【详解】(1)证明：：AE∥BC,CE∥DA .四边形ADCE是平行四边形， :AB=AC,D是BC的中点. ∴.AD⊥BC, .∠ADC=90°， ∴.四边形ADCE是矩形 (2):D是BC的中点 BD=CD=BC=6 AD=√AB2-BD2=8 :四边形ADCE是矩形 :CE=AD=8 19 【详解】(I)解：由折叠可知，BF=DF,CG=DG,AH DF+DG=BF+CG,点H是AC中点， 4/46 让教与学更高效 DH=CH, 学科网 www.zxxk.com FG=DF+DG=。BC=3, 如图，过点A作AM⊥BC于M,AM交EH于点N, B FMD G S.mC =BC.AM =1x6xAM=18, 2 2 AM=6, 由折叠可知：MN=AN=3, :EF=HG=MN=3, 完美矩形的面积为：3×3=9. 故答案为：3；9； (2)解：由折叠可知：BE=HE,CF=HF, :.EF=BC=4, 2 同理可知：SAABE=S△AHE,S因边形AHG=S因边形DCPG, :矩形AEFG的面积为：40÷2=20， .AE=20÷4=5, :矩形AEFG的周长=2×(4+5)=18； (3)解：如图，连接EG, 由折叠可知：点E、G分别是AB、CD的中点， :.AE=1AB,DG=IDC, 由题意可知：AB=CD,AB∥CD, .AE=DG,AE∥DG, ·四边形AEGD是平行四边形， 5/46 教与学更高效 命学科网 www .zxxk.com :AD=EG=HF 在Rt△HEF中，设EF=3x,则EH=4x, 根据勾股定理得：EF2+EH2=FH2, .(3x)2+(4x)2=252, 解得：x=5, EF=15,EH=20, :此完美矩形的周长为2×(15+20)=70，面积是15×20=300 【详解】(1)解：由折叠可知，BF=DF,CG=DG,AH .DF+DG=BF+CG,点H是AC中点， .FG=DF+DG=BC=3, 如图，过点A作AM⊥BC于M,AM交EH于点N, B FMD G 8S4BC=,BC·AM=2X6×AM=18 .AM=6, 由折叠可知：MN=AN=3, .EF=HG=MN=3, :完美矩形的面积为：3×3=9 故答案为：3；9； (2)解：由折叠可知：BE=HE,CF=HF, :.EF=BC=4, 2 同理可知：S△4BE=S△AHE,S日边形AHrG=S因边影DCFG, ·矩形AEFG的面积为：40÷2=20， .AE=20÷4=5, :矩形AEFG的周长=2x(4+5)=18; (3)解：如图，连接EG, 6/46 让教与学更高效 DH=CH, 学科网 www.zxxk.com H D 由折叠可知：点E、G分别是AB、CD的中点， :.AE=1AB,DG=IDC, 由题意可知：AB=CD,AB∥CD, .AE=DG,AE∥DG, 四边形AEGD是平行四边形， :AD=EG=HF, 在RtAHEF中，设EF=3x,则EH=4x, 根据勾股定理得：EF2+EH2=FH2, (3x)2+(4x)2=252, 解得：x=5, EF=15,EH=20, 此完美矩形的周长为2×(15+20)=70，面积是15×20=300， 目目 考点04 利用矩形性质求面积 B 2.6 3. 【详解】(1)解：：矩形的对角线互相平分且相等， :一条对角线用了18盆红花， ·.还需要从花房运来红花18盆： 故答案为：18； (2)解：：四边形ABCD是矩形， :∠ABC=90°，AC=BD,OA=AC,OB=BD, 、) 0A=0B, 7/46 收与学更高效 丽学科网 www.zxxk.com :∠A0B=60°， :AOB是等边三角形， AB=OA=3,则AC=BD=6, 在Rt△ABC中，BC=V62-32=3V5, :SE形=BC×AB=3V5×3=9V5(m2）. 4. 【详解】(1)解：连接PQ,过D点P作PE⊥DQ于点E,如图所示： D E B :AB=24cm,BC-10cm,点P从A开始沿AB边以4cm/s的速度运动， 度移动， .当乍2秒时，QC=4cm,AP=8cm, ·.DQ=24-QC=20cm,则EQ=12cm, :PQ=VQE2+PE2=V102+122=261(cm), P,Q两点之间的距离2√61cm. (2)AP=4t,DQ=24-2t, 当线段AQ与DP互相平分，则四边形APQD为矩形时， 则AP=DQ,即4124-2t, 解得：仁4， 故t为4s时，线段AQ与DP互相平分. (3):P在AB上， S=(DO+AP):AD E2C41+24-2D0x0 =10t+120(0<t≤6)， 8/46 让教与学更高效 点OA从C开始沿CD边2cm/s的速 命学科网 www.zxxk.com S矩形ABcD=10×24=240, 5 ∴.10t+120=三×240， 8 解得：t=3, :t为3秒时，四边形APQD的面积为矩形面积 5 目目 考点05 利用矩形性质证明 1. 【详解】(1)解：作图如下： (2)解：：四边形ABCD是矩形， .LBAD=LABC=90°，OC=0B=0A=0D; 由作图知，AE平分∠BAD, G∠BAE=。∠BAD=45 ∠AEB=90°-∠BAE=45°=∠BAE, .AB=BE .OC=BE, .0B=AB=0A, ·△ABO是等边三角形， .∠BA0=60°， .LEA0=LBA0-LBAE=60°-45°=15°. 2 【详解】(1)解：选择条件①：∠ABC=∠CDA=90°； 证明：：LABC=∠CDA=90°，AD∥BC, LBAD=180°-∠ABC=90°， .LBAD=∠ABC=∠CDA=90°， :.四边形ABCD为矩形. 9/46 教与学更高效 命学科网 www.Z 选择条件②：0A=0B=0C 0B=0C, .L0BC=∠0CB, :AD∥BC, .∠OBC=∠ADO,∠OCB=∠DAO,、 ∴.∠ADO=∠DAO, 0A=0D, :0A=0B=0C, ∴.0A=0B=0C=0D, :四边形ABCD为平行四边形， AC=20A=20B=BD, .四边形ABCD为矩形 (2):四边形ABCD为矩形 .∠ADC=∠BCD=90°，AD∥BC,OC=OD= :DE平分∠ADC ∠ADE=∠CDE=∠ADC=45°， 2 .∠ADE=∠CED=45°， .∠CDE=∠CED=45°， .CE=CD, .∠BDE=15°， .∠CDO=∠CDE+∠BDE=60°， .△COD是等边三角形， .OD=OC=CD=CE,∠COD=∠OCD=609 ∠0CE=∠BCD-∠0CD=30°， ∠c0E=∠C50-2180-∠0cE=75, .LD0E=LC0E+∠C0D=135° 3. 【详解】证明：：四边形ABCD是矩形， .AD=BC,∠D=∠C=90°， kxk.com 让 OB 10/46 教与学更高效命学科网 www.zxxk.com 专题04 矩形 ☆12大高频考点概览 考点01矩形性质理解 考点02利用矩形性质求角度 考点03利用矩形性质求线段 考点04利用矩形性质求面积 考点05利用矩形性质证明 考点06求矩形在坐标系中的坐标 考点07矩形与折叠问题 考点08斜边中线等于斜边一半 考点09形的判定定理 考点10添加条件使四边形是矩形 考点11证明四边形是矩形 考点12与矩形性质与判定有关的综合问题 目目 考点01 矩形性质理解 1. (2425八年级下·广东广州期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC, 正确的是() D A.AB=AD B.∠BAC=∠DACC.AC⊥BD D.AC 2.(24-25八年级下·广东广州期中)如图，在矩形ABCD中，AD=√2AB, ,DH⊥AE,垂足为H,连接BH并延长，交CD于点F,DE交BF于点O △DHE≌aDCE;②LDHO=30°；③OE=OD;④BH=HF;其中正确的是 D E A.①③④ B.①②④ C.①②③ D.②③ 3.(24-25八年级下·广东江门·期中)下列四个选项中，矩形具有而菱形不 1/29 让教与学更高效 BD交于点O,下列结论一定 BD ∠BAD的平分线交BC于点E 有下列结论：① () ④ 定具有的性质是() 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.邻边相等D.对角线平分一组对 角 4.(2024四川成都中考真题)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0，则下列结论一定正 确的是() K A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD 5.(24-25八年级下·广东·期中)如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架， 观察所得四边形的变化，下面判断错误的是() A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形B.对角线AC的长度增大 C.四边形ABCD的面积不变 D.四边形ABCD的周长不变 6.(24-25八年级下·广东广州·期中)已知矩形的对角线为1，面积为m,则矩形的周长为() A.m2-1 B.m2+1 C.2V1+2m D.2V1-2m 2 2 7.(24-25八年级下·广东广州期中)学校要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线如 果一条对角线用了24盆花，还需要从花房运来 盆花；如果一条对角线用了35盆花，还需要从花房 运来 盆花；如果一条对角线用了2n+1盆花，还需要从花房运来盆花， 8.(24-25八年级下·广东惠州期中)如图，在矩形ABCD中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①分别以点A和C为圆心，以大于】AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N: ②作直线MN交CD于点E,若DE=3,CE=5,对角线AC的长为 2/29 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 E 下 9.（24-25八年级下·广东江门期中)国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A 处出发先往东走8km,又往北走2km,遇到障碍后又往西走3km,再向北走到6km处往东拐，仅走了1km, 就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是 B 3 8 目目 考点02 利用矩形性质求角度 1.(四川省成都市东部新区2024-2025学年上学期学业质量监测九年级数学试卷)如图，将两个矩形叠合 放置，如果∠1=115°，那么∠2等于() A.25° B.45° C.65° D.85 2.(24-25八年级下·广东广州期中)如图，已知在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E,∠ABD=36°，则 ∠CAE的度数是() D C 0 B 3/29 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.36 B.54° C.18° D.以上都不对 3.(24-25八年级下·广东珠海期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,DE⊥AC于 点E,∠AOD=120°，则∠CDE的大小是() 0 子 A.55° B.40° C.30° D.20° 4.(24-25八年级下·广东东莞·期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,DE1AC于 点E,∠AOD=130°，则∠CDE的大小是() ) A.65° B.40° C.250 D.20° 5.(24-25八年级下·广东汕尾·期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,DE LAC于点 E,∠AOD=110°，则∠CDE的大小是() A.55 B.40° C.35 D.20° 6.(24-25八年级下·广东湛江·期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AE⊥BD交 BD于点E,∠AOB=1I0°，则∠DAE的度数为() D C E 0 A.40° B.35° C.30° D.25° 7.（24-25八年级下·广东珠海·期中)如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状， 并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最大内角等于 4/29 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 C 8.(24-25八年级下·广东东莞期中)如图，四边形ABCD是矩形，且对角线AC、BD相交于点0，若 ∠AOB=50,则∠0CD= 50°C C 9.(24-25八年级下·广东广州期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,已知 LACB=25°，则∠A0B的大小是 D B 10.(24-25八年级下·广东东莞·期中)如图，在矩形ABCD中，已知∠A0D=100°，则∠CBD的度数为 0· D B C 目目 考点03 利用矩形性质求线段 1.(24-25八年级下·广东湛江期中)如图所示，在矩形C0ED中，点D的坐标是(1,3)，则CE的长是() 5/29 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.3 B.2W2 C.0 D.4 2.(24-25八年级下·广东广州期中)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,对角线AC与BD交于点 O,点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为点F,G,则EF+EG的值为() A D G B E A. 24 B. 60 13 c号 D号 3.(24-25八年级下·广东东莞期中)如图，在矩形ABCD中（AB>AD),对角线AC,BD相交于点O, 点A关于BD的对称点为A.连接AA'交BD于点E,连接CA',已知AD=3,AB=4,则OE的长为() E B A.0.7 B.1.5 C.2 D.2.5 4.(24-25八年级下·广东广州·期中)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点P是对角线BD上一动 点，过点P分别作BC,CD的垂线，垂足分别为点E,F,连接EF,则EF的最小值为() A F E A B. 5 e号 5.(24-25八年级下·广东·期中)如图，在矩形ABCD中，点E为CD边的中点，点F为边BC上一点，且 AE平分∠DAF.若BF=4,FC=1,则AF的长为() A.5 B.25 C.6 D.√4 6/29 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25八年级下·广东东莞期中)如图，在矩形ABCD中，AC与DB交于O,AB=6,AD=8,P是 AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E,F,，则PE+PF的值 为() P D H C A.2.4 B.4.8 C.5 D.10 7.(24-25八年级下·广东汕头期中)矩形ABCD中，AB=4,BE,CF分别平分∠ABC,∠BCD,交 AD于点E,R,射线E,CF交于点G,若EG=52,则BC的长是《) 2 A.6或7 B.8或9 C.7或9 D.6或9 8.(24-25八年级下·广东广州期中)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,P是AD上不与A和D 重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E,F,则PE+PF的值为（) D B 号 B. 24 C.5 5 D.28 5 9.(24-25八年级下·广东惠州·期中)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,动点P从点B出发，沿 着BD向点D移动，若过点P作PE⊥AB、PF⊥AD,垂足分别为E、F,连接EF,则EF的长最小为() F A号 C.5 D.7 10.(24-25八年级下广东广州期中)已知：如图，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，EB平分∠AEC 。点F为DE的中点，LABF三45，则8的值为( 7/29 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 E A B.v5 C.2 D.V10 5 6 10 11.(24-25八年级下·广东中山期中)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,点E在边AD上，点F 在边BC上，且BF=DE,连接CE,DF,则CE+DF的最小值为一· B 12.(24-25八年级下广东云浮·期中)如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点 E,AE=√，BD=6,则OE的长为 E 13.(24-25八年级下·广东汕头期中)如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且 BF=DE,连接EF交对角线BD于点O,BD=5,CD=3,连接CE,若CE=CF,则EF的长为 E B 14.(24-25八年级下·广东珠海期中)如图，在矩形ABCD中，AD=√2AB,∠BAD的平分线交BC于点 E,DH⊥AE,垂足为H,连接BH并延长，交CD于点F,DE交BF于点O.有下列结论：①aDHE≌△DCE ;②LDH0=30°；③0E=OD;④BH=HF;其中正确的是·（只需填序号） D E 8/29 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 15.(24-25八年级下.广东中山期中)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点0，已知∠A0D=120°， AB=5cm,则矩形中BC的长为 cm D 16.(24-25八年级下广东广州期中)如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，且DE=AD=x,过A作 AF⊥DE于F,若AF=3. B E (I)当x=5,求DF的长； (2)当√2x-8取得最小值时，求EC的长. 17.(24-25八年级下·广东广州期中)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,∠B=90°，AB=8cm, AD=24cm,BC=30cm,点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以 3cm/s的速度向点B运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. P (1)从运动开始，求使PQ川CD需经过多少时间？ (2)连接DQ,是否存在△DC2为等腰三角形？若存在请求t的值，若不存在，说明理由， 18.(24-25八年级下·广东·期中)如图，在ABC中，AB=AC,D是BC的中点.过点A作AE∥BC, 过点C作CE∥DA,交于点E. D 9/29 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：四边形ADCE是矩形： (2)若BC=12,AB=10,求CE的长， 19.（24-25九年级上·广东梅州期中)综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中，我们可以研究图形的运 动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧.定 义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方 形 G 图1 图2 图3 (I)操作发现： 如图1，将ABC纸片按所示折叠成完美长方形EFGH,若ABC的面积为18，BC=6,则此完美长方形 的边长FG=,面积为 (2)类比探究： 如图2，将口ABCD纸片按所示折叠成完美长方形AEFG,若口ABCD的面积为4O,BC=8,求完美长方形 AEFG的周长. (3)拓展延伸： 如图3，将▣ABCD纸片按所示折叠成完美长方形EFGH,若EF:EH=3:4,AD=25,求此完美长方形 EFGH的周长与面积 目目 考点04 利用矩形性质求面积 1. (24-25八年级下·广东惠州期中)如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB,CD于E 、F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的() B A B.I c. D. 3 10 10/29