专题03 平行四边形9大考点（期中真题汇编，广东专用）八年级数学下学期新教材人教版

专题03 平行四边形 9大高频考点概览 考点01 利用平行四边形的性质求解 考点02 利用平行四边形的性质证明 考点03 判断能否构成平行四边形 考点04 证明四边形是平行四边形 考点05 平行四边形判定与性质求解 考点06 平行四边形判定与性质证明 考点07 三角形中位线的有关求解 考点08 三角形中位线的有关证明 考点09 三角形中位线有关的实际应用 地 城 考点01 利用平行四边形的性质求解 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含角的直角三角形和勾股定理求出，证明四边形为平行四边形，根据平移的性质求出，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 由平移的性质可知：，， 四边形为平行四边形， 点A对应直尺的刻度为14，点对应直尺的刻度为0， ， ． 2．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在平行四边形中，，那么等于（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：在平行四边形中， ， ， ． 故选D． 3．（24-25八年级下·广东肇庆·期中）如图，四边形是平行四边形，已知，，则阴影部分的面积（    ） A． B．18 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质与三角形面积计算，解题的关键是通过作高，利用平行四边形和等腰直角三角形的性质求出相关线段长度，进而计算阴影部分面积． 先根据平行四边形性质得出边与角的关系，作高构造等腰直角三角形求出高，再结合平行四边形对角线互相平分的性质，确定阴影部分面积与平行四边形、三角形面积的关系，从而计算出阴影部分面积． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， 又已知， ． 过作交的延长线于H， 在中， 所以是等腰直角三角形 则． ， ． 设，可得，即，解得（舍去负根）， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故选：C． 4．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，平分交边于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线定义，平行线的性质，由四边形是平行四边形，则，，故有，然后通过角平分线定义可得，所以，从而求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在平行四边形中，垂直于，是垂足．如果，那么的角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的两个锐角互余，先根据平行四边形的对角相等得到，再根据直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴， ∵垂直于， ∴， 故选：C． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质等，解题的关键是掌握平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质可得，结合可求出，则． 【详解】解：根据题意可画出示意图如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 7．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，，的平分线，分别与直线交于点，．当点，，，相邻两点间的距离相等时，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得，分类讨论①当点在点左侧时，得出再得出，进而得出答案；②当点在点右侧时，得出，进而得出；③当在，之间时，可以求出和的数量关系，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴，， ∵，的平分线，分别与直线交于点，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ①如图，当点在点左侧时， ∵，，，相邻两点间的距离相等， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②如图，当点在点右侧时， ∵，，，相邻两点间的距离相等， ∴， ∴； ③如图，当在之间时， ∵，，，相邻两点间的距离相等， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当点，，，相邻两点间的距离相等时，则的长为或或． 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识点，利用分类讨论的思想解决问题、掌握平行四边形的性质是解题的关键． 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，将一把三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟知平行四边形对边平行是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，则，再由平行四边形的性质得到，则，从而可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 9．（24-25八年级下·广东汕头·期中）在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据四边形是平行四边形，则，然后代入求解即可，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：． 10．（24-25八年级下·广东广州·期中）在平行四边形中，，则平行四边形的周长为（    ） A．18 B．9 C．6 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的周长，直接根据平行四边形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ； 故选A． 11．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，对角线、交于点，且，，则的周长为（    ） A．28 B．24 C．18 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得对角线互相平分且对边相等，即，，再结合周长公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴的周长， 故选：C． 12．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，对角线，相交于点O，若，，则的周长等于（   ） A．14 B．12 C．9 D．7 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分，得到，根据周长公式进行计算即可． 【详解】解：∵对角线，相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长等于； 故选C． 13．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，对角线的垂直平分线分别交，F，连接，若的周长为6，则的周长为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 根据线段垂直平分线的性质可得，那么由的周长为6可得，再根据平行四边形的性质可得，，进而可得答案． 【详解】解：∵对角线的垂直平分线分别交，于点E，F， ∴， ∵的周长为6， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴的周长为． 故选：B． 14．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，，则的值为（    ） A．80 B．64 C．40 D．32 【答案】C 【分析】如图，过点A作于点T，过点B作于点J．证明，推出，，设，．利用勾股定理求解．本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题． 【详解】解：如图，过点A作于点T，过点B作于点J． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，． ∵， 则有 ． 故选：C． 15．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在平行四边形中，若平分，则______________   【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线，等角对等边等知识． 利用平行四边形的性质得，再利用平行线的性质T和等角对等边说明，从而得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别为，，，那么顶点B的坐标为_______ 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点的纵坐标为3， ∵点向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点， ∴点向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点， ∴点的坐标为：； 故答案为：． 17．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，平分，，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，据平行四边形的性质得出，，，根据平行线性质求出，根据角平分线定义求出，推出，推出，求出即可． 【详解】解：∵平分， ∴. ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∴. ∵在平行四边形中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，已知平行四边形中，的平分线交边于点E，交的延长线于点F，如果，，那么_____ ． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质，由平行四边形的性质得出，，则，再由角平分线的定义得出，即可得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 19．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分． 若，则的长为 ________． 【答案】9 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边判定等腰三角形的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，延长交于点，连接，根据平行四边形的性质得到，，由角平分线的定义得到，，再证明，，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是中点，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9 ． 20（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，则的度数为__________． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．根据平行四边形的对角相等，得出答案即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． 故答案为：． 21．（24-25八年级下·广东韶关·期中）如图，的对角线与相交于点，，若，则________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．解题的技巧是平行四边形转化为三角形问题解决． 利用平行四边形的性质可知，在中利用勾股定理可得，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， Rt中，，利用勾股定理可得： ， ， 故答案为：10． 22．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图，在平面直角坐标系中， 点A， B的坐标分别是，， C是平面内一点，为得到，则顶点C的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出，，然后结合点B的坐标即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵B的坐标是，， ∴，即， 故答案为：． 23．（24-25八年级下·广东江门·期中）在中，，则___________． 【答案】/120度 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，得到，结合，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 24．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知在平行四边形中，比大，那么的度数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，先画出图形，再根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，，，再根据“比大”可求出，即可解答． 【详解】解：画出图形如下所示： 四边形是平行四边形， ∴， ∴, ∴ 又， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的邻角互补、对角相等是解答本题的关键． 25．（24-25八年级下·广东广州·期中）如下图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为___________． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，再由角平分线的定义可得，，从而得到，，进而得到，然后在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵的平分线和的平分线交于上一点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 在中，，， ∴． 故答案为：6. 26．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，已知四边形为平行四边形，则点B的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及中点坐标公式，熟练掌握平行四边形的性质及中点坐标公式是解题的关键；因此此题可根据中点坐标公式可进行求解． 【详解】解：连接，交于一点E，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴点E为的中点， 设，则有： ，解得：； ∴， 故答案为． 27．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，点分别在和上，且，则四边形的面积是多少___________． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、平行四边形的面积公式以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据图形的特点，连接，通过证明和全等可知所求的面积正好等于平行四边形面积的一半，即可求出四边形的面积． 【详解】如图，连接， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 与平行，， ， 在与中， ， ≌， 四边形的面积等于面积的一半， ， 作于， ∵为等边三角形， ， 边上的高， 四边形的面积为． 故答案为：． 28．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知的周长为32，若，则_________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形对边相等以及平行四边形的周长的定义解答即可． 由平行四边形的性质推出，，得到的周长，即可求出BC的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴的周长， ∵， ∴． 故答案为：10． 29．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向B点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动APD点也随之停止运动．从运动开始，经过______秒时，． 【答案】4或6 【分析】此题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用．根据，一种情况是：四边形为平行四边形，可得方程，一种情况是：四边形为等腰梯形，可求得当，即时，解方程即可求得答案． 【详解】解：根据题意得：，，则， 若要，分为两种情况： ①当四边形为平行四边形时， 即， ， 解得：； ②当四边形为等腰梯形时， 即， ， 解得：， 即当或时，， 故答案为：4或6． 30．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，中，的平分线交于，则______． 【答案】/4厘米 【分析】本题主要平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，熟知平行四边形对边相等且平行是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，进而根据平行线的性质和角平分线的定义推出得到，进而得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 31．（24-25八年级下·广东肇庆·期中）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)在（1）的基础上，如图②，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，设时间为秒； ①当时，t为何值时，． ②则t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及动点问题，解题的关键是利用平行四边形对边平行且相等、角平分线性质，结合等腰三角形和动点运动规律进行求解． （1）利用平行四边形对边平行得角相等，结合角平分线得出等腰三角形，再由推出是等边三角形，进而求出度数； （2）①根据确定点运动方向，利用平行四边形对边相等，结合列出等式求解；②根据平行四边形对边平行且相等，结合、的运动速度与路程关系，分不同运动阶段列出等式求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：①当时，从向运动，速度为每秒，则， 从向运动，速度为每秒，则． 四边形是平行四边形，，要使，且， 四边形是平行四边形， 此时 即， 解得； t为时， ②如图： ∵， ∴当时，以四点组成的四边形是平行四边形． 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； ∴或或或，以四点组成的四边形是平行四边形． 32．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)的长度a为 ，在图中的数轴上，用圆规找出实数a对应的点P； (2)在网格中画出使A、B、C、D四点构成平行四边形的所有点D； (3)直接写出线段的长为 ． 【答案】(1)；画图见解答 (2)见解答 (3)或 【分析】本题考查格点作图，勾股定理，实数与数轴，平行四边形的性质． （1）利用勾股定理计算的长即可；取数轴上0对应的点O，取数轴上的上方1个单位长度处的格点M，连接，以点O为圆心，的长为半径画弧，交点O右侧的数轴于点P，则点P即为所求． （2）根据平行四边形的判定与性质确定点D的位置，即可得出答案． （3）利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，． 故答案为：． 如图，取数轴上0对应的点O，取数轴上的上方1个单位长度处的格点M，连接，以点O为圆心，的长为半径画弧，交点O右侧的数轴于点P，则点P即为所求． （2）解：如图，点均满足题意． （3）解：由勾股定理得，，， ∴线段的长为或． 故答案为：或． 33．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在四边形中，，，，M是上的一点，且．点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止．设运动时间为，则： (1)_______，__________．（用含t的代数式表示） (2)是否存在时间t，使得以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；或 (2)当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质． （1）根据题意可得出，分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可得到的值； （1）分F在M的右侧和左侧两种情况讨论，利用平行四边形“对边相等”的性质列方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 当F在M的右侧时，， 当F在M的左侧时，， 故答案为：；或； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， 解得； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上，当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 34．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）综合与实践： 【问题情景】如图，在中，对角线，相交于点O，于点D，，．E为上的一动点，连接并延长，交于点F． (1)【独立思考】当时，求的度数； (2)【实践探究】当四边形为平行四边形时，求的长； (3)【问题解决】当点O在的垂直平分线上时，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直角三角形的性质，互余的性质解答即可； （2）根据平行四边形性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质解答即可； （3）根据线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形的面积公式，直角三角形的性质解答，勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． （2）在中，，，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∴． （3）如图，连接， ∵，， ∴． ∵点O在线段的垂直平分线上， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 地 城 考点02 利用平行四边形的性质证明 1．（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图，在平行四边形中，对角线与相相交于点O，过点O任作一条直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分；全等三角形对应边相等． （1）根据平行四边形的性质得出，则，即可根据求证； （2）根据全等三角形的性质得出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴四边形的周长． 2．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知：如图，在平行四边形中，点G，H分别是的中点，点E，F在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，先由平行四边形的性质得到，则，再由线段中点的定义证明，据此可利用证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点G，H分别是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴． 3．（24-25八年级下·广东·期中）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，首先由平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，即可根据定理判定． 【详解】 证明：∵在平行四边形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴在和中， ， ∴． 4．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在中，于点E，于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定． 根据平行四边形性质可得，进而证明，得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 5．（湖北省大冶市第四实验学校等部分学校2024-2025学年九年级下学期中考全真模拟一数学卷）如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，连接，证明四边形为平行四边形即可得证． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵相交于点， ∴． 6．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在中，点、在对角线上，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后通过证明可进行求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)8 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理． （1）由平行四边形的性质得到，由，，可得，，证明，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据求出的长度，然后根据勾股定理求出的长度，即可根据平行四边形对角线互相平分求出的长度； （3）根据题意可求出，根据平行四边形的性质可求出、，然后根据勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明 ：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ； （3）解：， ， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ， ． 地 城 考点03 判断能否构成平行四边形 1．（广东省湛江市雷州市新南方学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题）如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．，，符合两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B．，，符合两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C．，，符合对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D．，，是一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故该选项符合题意； 故选：D． 2.如图，能判定四边形是平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、由，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、由，不能判定四边形是平行四边形，例如等腰梯形符合此条件，不符合题意； C、由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，符合题意； D、由，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 3．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法（①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）成为解题的关键． 利用平行四边形的判定逐项分析判断即可． 【详解】根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形． 故选：C． 5．（24-25八年级下·广东江门·期中）不能判定四边形为平行四边形的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定、梯形的判定；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定条件逐一分析选项，找出无法满足判定的条件． 【详解】解：选项A：且． 仅有一组对边平行（），而和是邻边，不能保证另一组对边平行或相等．此时四边形可能为等腰梯形（等腰梯形满足一组对边平行且两腰相等，但非平行四边形）．因此选项A无法判定为平行四边形． 选项B：∠且． 两组对角分别相等，根据平行四边形的判定定理，满足此条件的四边形是平行四边形． 选项C：且． 一组对边平行且相等，符合平行四边形的判定条件，可判定为平行四边形． 选项D：且． 两组对边分别平行，根据平行四边形的定义，直接判定为平行四边形． 综上，不能判定四边形为平行四边形的条件是A． 故选：A． 6．下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C． ， D． ， 【答案】C 【详解】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定条件是解题的关键．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【分析】解：A．∵，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意； B．∵，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意； C．∵，， ∴一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故该选项符合题意； D．∵，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意； 故选：C． 7．（24-25八年级下·广东·期中）如图，在四边形中，下列条件能判断它是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，平行四边形的判定定理①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，依此判断即可． 【详解】解：A、根据，，得出四边形是平行四边形，故本选项正确； B、根据，不能判断四边形是平行四边形，故本选项错误； C、根据，，不能判断四边形是平行四边形，故本选项错误； D、根据，不能判断四边形是平行四边形，故本选项错误； 故选：A． 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点，，是某平行四边形的三个顶点，下列各点中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和线段的平移，解题的关键是通过平移得到平行四边形． 作出图形，结合图形进行分析可得． 【详解】解： 如图所示，根据题意可以作出平行四边形的最后一个顶点， 将点向右平移4个单位长度可得 将点向右左平移4个单位长度可得； 将点向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度可得； 故符合题意的是D选项， 故选：D. 地 城 考点04 证明四边形是平行四边形 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】只要证明，即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，即， 又， ，即， 四边形是平行四边形． 2.（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果，试证明：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合点E是的中点，，得，，再结合对顶角相等，证明，则，又因为是边上的中线，故，即可作答； （2）因为，，得，由（1）得，又∵，得出四边形为平行四边形，因为，所以四边形为矩形． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是边上的中线， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， 由（1）得， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 3.（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，和都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用即可证明； （2）由全等三角形的性质和等边三角形的性质，结合，可推出，，即为等边三角形，进而得到，，推出，最后由对边相等且平行即可判定四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ，即， ； （2）证明：， ，， 又， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形． ， 是等边三角形， ， ， ，即， ，， ， 四边形是平行四边形． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，四边形中，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的长和四边形的面积； (3)点到线段的距离是______．（此空不要求解题过程） 【答案】(1)证明见解析； (2)，． (3) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，利用条件求得的长，求得其对角线互相平分是解题的关键． （1）在中，可求得，结合条件“对角线相互平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形； （2）由平行四边形的性质可求得，利用平行四边形的面积公式可求得答案． （3）根据勾股定理求得的长，设点到线段的距离是，根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，且， ∴． （3）设点到线段的距离是， 在中， ∵ ∴ 故答案为：． 5．（24-25八年级下·广东惠州·期中）已知：如图所示，四边形是平行四边形，是直线上的两点，且． (1)求证：； (2)连接、，则四边形是平行四边形吗？ 【答案】(1)见解析 (2)是，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据平行四边形的性质得到，，进而证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论； （2）证明，再根据平行四边形的判定定理可得结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ． ． ． 在和中 ， ； （2）解：四边形是平行四边形．理由如下： 如图，连接 、  ， ， . ， 四边形是平行四边形． 6．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，，，，以为边，在外作等边三角形，是的中点，连接并延长，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图，将图中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，含角的直角三角形的性质，关键是掌握平行四边形的判定定理． （1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，进而算出，再证明，，进而证出四边形是平行四边形； （2）设，由折叠可得：，再利用含角的直角三角形的性质及勾股定理可计算出，再利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】（1）证明：∵，为的中点， ，， ， ， 又为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ∴， 四边形是平行四边形； （2）解：设， 由折叠可得：， 在中，，，， ， 在中，，即， 解得：， ． 7．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图1是某旅游景点的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，，，，四点在同一直线上，测得，，．（参考数据：） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点到的距离）．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)证明见解析； (2)雕塑的高为． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质可得，从而可得，进而可得，然后利用平行四边形的判定可得四边形为平行四边形； （）过点作，垂足为，根据平行四边形的性质可得，从而可求出的长，然后在中，利用角所对直角边是斜边的一半，勾股定理求出的长， 即可解答. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：过点作，垂足为，则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，，则， ∴， ∴， 答：雕塑的高为． 8．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，．以为边，在外作等边三角形，D是的中点，连接并延长交于点E． (1)求点B的坐标； (2)求线段的长度； (3)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)4 (3)见解析 【分析】（1）由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，即可得出结论； （2）证，得，得，证明是等边三角形，可得； （33）证，然后证，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； （2）解：∵中，D为的中点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、坐标与图形性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定和平行线的判定是解题的关键． 9．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知：在中，，，，点分别是的中点，，交的延长线于. (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求四边形的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明得，进而得，即可求证； （）由平行四边形的性质得，由三角形中线的性质得，即得，进而即可求解； 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵是的中点，   ∴， ∴， ∵，，， ∴. 10．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，掌握其判定是关键，根据内错角相等，两直线平行得到，结合题意，根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 11．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在四边形中，点E，F分别是延长线上的点，且，． (1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是______； (2)添加了条件后，证明四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质． （1）添加的条件是； （2）利用证明，推出，，证明，得到，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：添加的条件是； 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 地 城 考点05 平行四边形判定与性质的求解 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，点P从点A出发，在射线上以的速度向右运动；点Q从点C同时出发，在线段上以的速度向点B运动．当点Q到达端点B时，点P也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒． (1) ______， ______； (2)在点P，Q运动过程中，是否存在t值，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，t的值为或 【分析】本题主要考查动点问题，代数式表示，平行四边形的判定，一元一次方程等知识，解题的关键是根据题意列出方程求解． （1）根据速度，时间，路程之间的关系，利用代数式表示出，即可； （2）根据题意分两种情况讨论，当点P在线段上时，当点P在的延长线上时，结合平行四边形判定得到，再建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：， 根据题意可知：，， ； 故答案为：，； （2）解：存在，连接， 当点P在线段上时， 又要以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 解得， 当点P在的延长线上时，如图所示： 又要以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 解得， 综上所述，t的值为或． 2．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．若点为直线上的一点，当运动时间为何值时，以、、、构成的四边形是菱形？ 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 (3)当运动时间为3秒或秒时，以、、、构成的四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，推出，证明，得出，即可得证； （2）由平行四边形的性质可得，由全等三角形的性质可得从而得出，求出，即可得解； （3）由勾股定理可得，由平行四边形的性质可得，从而得出，表示出，再分两种情况：以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线同侧，则；以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线异侧，则；分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴  ∵ ∴ ∴  ∴四边形是矩形 （3）解：∵，，， ∴， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图2，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线同侧，则， ， ∴， 解得； 如图3，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线异侧，则， ∵，且， ∴， 解得， 综上所述，当运动时间为3秒或秒时，以、、、构成的四边形是菱形． 3．（24-25八年级下·广东深圳·期中） 如图，在中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点（不在线段上），与相交于点O．    (1)下列条件：① ；② ；③ ，请你从中选择一个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程； (2)若四边形是平行四边形， 且，的面积为5， 求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识点，掌握平行线的判定与性质成为解题的关键． （1）选定一个条件，然后运用平行线的判定与性质即可解答； （2）根据平行线的性质可得及已知条件可得，然后根据三角形中线的性质即可解答． 【详解】（1）解：方法1：我选①，证明如下： ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即 ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 方法2：我选③.证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴，即. 又∵， ∴. ． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图1，在四边形ABCD中，，∠B＝90°，AD＝acm，BC＝bcm，并且a，b满足b＝+8，若动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，回答下列问题： (1)AD＝______cm，BC＝______cm． (2)设点P、Q同时出发，并运动了x秒，求当x为多少秒时，四边形PQBA是矩形． (3)如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发，并运动了t秒，求当t为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1)6，8 (2)当x为3.2秒时，四边形PQBA是矩形 (3)当t为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 【分析】（1）根据二次根式的被开方数非负即可求出a，则b可求，问题得解； （2）根据题意可知AP＝0.5xcm，CQ＝2xcm，则BQ＝BC﹣CQ＝（8﹣2x）cm，当AP＝BQ时，根据，∠B=90°，可得四边形PQBA是矩形，依据AP＝BQ时列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）根据AD=6cm，P点的速度每秒为0.5cm，可得，再求出Q点走完6cm的距离所需时间为6÷2=3秒，即根据题意可知AP＝0.5tcm，AP＝0.5tcm，点Q的运动距离为2tcm，PD＝AD﹣AP＝（6﹣0.5t）cm，当P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，即有PD＝BQ，据此列方程．由于Q点在BC间往复运动，Q点走完6cm的距离所需时间为3秒，即以3秒为一个阶段分情况讨论：①当0＜t≤3时，②当3＜t≤6时，③当6＜t≤9时，④当9＜t≤12时，以上四种情况，均根据PD＝BQ，列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴， ∴a＝6，b＝8， ∴AD＝6cm，BC＝8cm， 故答案为：6，8； （2）解：根据题意可知：AP＝0.5xcm，CQ＝2xcm， ∴BQ＝BC﹣CQ＝（8﹣2x）cm， 当AP＝BQ时，根据可知，四边形ABQP是平行四边形， 又∵∠B=90°， ∴四边形PQBA是矩形， ∴根据AP＝BQ，有0.5x＝8﹣2x， 解得x＝3.2， 答：当x为3.2秒时，四边形PQBA是矩形； （3）解：∵AD=6cm，P点的速度每秒为0.5cm， ∴时间， ∴Q点移动的最大距离为：12×2=24cm， ∵AD=BC=6cm，Q点的速度每秒为2cm， ∴Q点走完6cm的距离所需时间为6÷2=3秒， 根据题意可知：AP＝0.5tcm，点Q的运动距离为2tcm， ∴PD＝AD﹣AP＝（6﹣0.5t）cm， 当P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，即有PD＝BQ， ①当0＜t≤3时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝（6﹣2t）cm， ∴6﹣0.5t＝6﹣2t， 解得t＝0（不符合题意，舍去）； ②当3＜t≤6时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝（2t﹣6）cm， ∴6﹣0.5t＝2t﹣6， 解得t＝4.8； ③当6＜t≤9时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝BC﹣CQ＝（18﹣2t）cm， ∴6﹣0.5t＝18﹣2t， 解得t＝8； ④当9＜t≤12时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝BC﹣CQ＝（2t﹣18）cm， ∴6﹣0.5t＝2t﹣18， 解得t＝9.6． 综上所述：当t为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，一元一次方程在几何中的应用等知识．注重分类讨论的思想是解答本题的关键． 地 城 考点06 平行四边形判定与性质的证明 1．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在□中，对角线，相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)平行四边形的面积是 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质与判定是解题的关键； （1）根据平行线的性质得出，结合即可证明四边形是平行四边形； （2）证明四边形是矩形．勾股定理求得，进而根据矩形的性质，即可求得其面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 交的延长线于点， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）四边形是平行四边形 ， ， ， 四边形是矩形． ， ，， 是等边三角形， ， ， ， 矩形的面积是 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，四边形是平行四边形，平分交于点，平分交于点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得出，，，，，证出，由即可得出，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，，，， 平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，已知中，点分别在上，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质． 证明四边形是矩形可得结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，且交于点，平分．    (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见详解 (2)30 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）根据条件得出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出，利用等角对等边即可得出答案； （2）根据给出条件得出是等边三角形，利用等边三角形和平行四边形的性质求出各边长即可求出四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， , ∵平分， ∴, ∵， ， ， ． （2）解：∵ 是等边三角形 由（1）得四边形是平行四边形，且， , ∴四边形的周长为． 5．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在四边形中，，且．四边形的对角线相交于，点E，F分别是的中点，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，先证明四边形为平行四边形，得到，进而得到，再证明，得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵点E，F分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点07 利用三角形中位线的有关求解 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在四边形中，F为的中点，，为上一点，四边形为平行四边形，若，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理．延长交于点，先证明四边形为平行四边形，求得，，再证明是的中位线，据此求解即可． 【详解】解：延长交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵F为的中点， ∴是的中位线， ∴． 2．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，是边上一点，且. (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作的角平分线交于点；作线段的垂直平分线交于点，交与点. (2)在（）所作图形中，连接，已知，，，求的周长. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（）根据角平分线和线段垂直平分线的作法作图即可； （）由等腰三角形的性质得，，即得，进而得，再根据三角形中位线的性质得，最后求出的周长即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵，是的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是垂直平分线， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴的周长. 【点睛】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作法，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 3．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，矩形中，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒． (1)若、分别是、的中点，且，求证：以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形． (2)在（1）的条件下，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为矩形？ (3)若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为菱形？ 【答案】(1)证明见解析 (2)4.5秒或0.5秒 (3)秒 【分析】（1）要证四边形是平行四边形，根据矩形性质得出边和角的关系，结合中点条件得到线段相等，再利用全等三角形证明一组对边平行且相等 ． （2）平行四边形变矩形需对角线相等，先确定长度，再分、运动的不同阶段，根据与的数量关系列方程求解 ． （3）菱形需对角线垂直且平分，先由菱形性质推出四边形是菱形，设未知数，利用勾股定理求出相关线段长度，进而得出运动时间 ． 【详解】（1）解：∵ 四边形是矩形 ∴ ，，， 又、分别是、中点 ∴ ，，即 、速度均为，运动时间，则， 在和中 ∴ ∴ ，，即 ∴ 四边形是平行四边形 （2）解：连接， ∵ 四边形是平行四边形，、是中点 ∴ 当时，四边形是矩形，分两种情况： ① 、未相遇前，，则 解得 ② 、相遇后， 解得 （3）解：连接、， ∵ 四边形是菱形 ∴ ，，，又 ∴ ，四边形是菱形，故 设，则 在中，由勾股定理，即 解得 则，运动路程为 速度为， 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形与矩形及菱形的判定、全等三角形判定与性质、勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质，结合图形分情况分析，运用勾股定理等建立方程是解题的关键． 4．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，，是的中位线，是的中线．连接，．判断四边形形状，并说明理由． 【答案】四边形为矩形，理由见详解 【分析】本题考查了三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质、矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由是的中位线，是的中线，得出，证明四边形为平行四边形，再结合有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可作答． 【详解】解：四边形为矩形，理由是： ∵是的中位线，是的中线， ∴点分别是边的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又 ∵， ∴平行四边形为矩形． 5．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为2 【分析】（1）根据菱形的性质得，，再由三角形中位线定理得，得四边形是平行四边形，然后证明即可得出结论． （2）由三角形的中位线定理得，再由矩形的性质得，，，然后由勾股定理求出的长，即可得出的长． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2）四边形是菱形， ， 由（1）得：，四边形是矩形， ，，， 是的中点， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理．熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键． 6．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在四边形中，E，F分别是边的中点，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质求出，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可． 【详解】解：连接， ∵点E、F分别是边的中点，， ∴， ∴， 在中，， 则， ∴， ∴． 7．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，点为线段上任一点，为中点，分别以为边向同侧作等边三角形和等边三角形，点分别为的中点，连． (1)当点在上运动时， ①求证：； ②求的大小． (2)若，，则直接写出的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①连接，如图所示，由等边三角形性质，结合三角形全等的判定定理证得，进而由全等性质得到，最后根据三角形中位线的判定与性质即可得证；②根据①中得到的三角形中位线及三角形全等，等量代换确定、，根据得到，数形结合即可得到答案； （2）过作，如图所示，由等腰三角形三线合一及勾股定理求出的相关边长，利用勾股定理求出，再由三角形中位线性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①连接，如图所示： 和是等边三角形， ， 点为线段上任一点， ，则， 在和中， ， ， 为中点，点分别为的中点， 是的中位线；是的中位线； ，即； ②由①知是的中位线；是的中位线； ， ， ， ， ， 由①知，则，即， ， ，则； （2）解：过作，如图所示： 是等边三角形， 由三线合一可得是边上的中线， ， 在中，，由勾股定理可得， ， ， 在中，，由勾股定理可得， 由（1）知． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及等边三角形性质、手拉手模型证全等、三角形全等的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形三线合一性、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，灵活运用求证是解决问题的关键． 地 城 考点08 利用三角形中位线的有关证明 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，四边形是平行四边形，． (1)判断的形状并证明； (2)在（1）的条件下，若，E是的中点，F是延长线上一点，，求证：． (3)在（2）的条件下，若的延长线与交于点P，试判定四边形是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答） 【答案】(1)为直角三角形，理由见解析； (2)见解析； (3)四边形为平行四边形，理由见解析. 【分析】（1）先得到，进而根据平行四边形的性质求证即可； （2）连接，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （3）根据全等三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）证明：在中，∵，， ∴，， 连接，如图1所示： ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴； （3）解：四边形为平行四边形，理由如下： 如图2，由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线性质等，正确的作出辅助线是解题的关键． 2（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，中线，交于点，，分别是，的中点，连接，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定．利用三角形中位线定理证明，进而证明四边形是平行四边形，即可证明． 【详解】证明：∵在中，中线，交于点O， ∴E、D分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵F，G分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 3．（24-25八年级下·广东江门·期中）已知：如图，在中，，平分，垂直并交延长线于E，M是中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理．延长和交于点，利用证明，得到，，再证明是的中位线，据此即可证明结论成立． 【详解】证明：延长和交于点， ∵平分，垂直， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵M是中点， ∴是的中位线， ∴． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，D、E、F分别为边的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)时，四边形为菱形，见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理得到，即可证明为平行四边形； （2）根据三角形中位线定理得到，当，则，即可证明为菱形． 【详解】（1）证明：∵D、E、F分别为边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形为菱形，理由如下： ∵为的中位线， ， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 5．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，，平分交于点．点为的中点，连接，过点作交的延长线于点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，中位线定理，平行四边形的判定，由，平分交于点，得，即为中点，从而可得为中位线，所以，然后根据平行四边形的判定即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵，平分交于点， ∴， ∴为中点， ∵点为的中点， ∴为中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（    ）地 城 考点09 三角形中位线有关的实际问题 A．10米 B．12米 C．16米 D．18米 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，掌握由三角形中位线等于底边的一半成为解题的关键． 由三角形中位线定理得到，再结合米即可解答． 【详解】解：∵和的中点D、E， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴米， ∴A、B两点间的距离为12米． 故选B． 2．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图，某数学实践小组打算测量湖岸B，C两点间的距离，他们在湖的一侧选取一点A，连接，测出的中点E，D之间的距离是，则B，C两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中位线的定义和性质， 根据题意可知是的中位线，可知，即可得出答案． 【详解】解：∵点D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处之间的距离，在直线外选一点C，连接，并分别取线段的中点E，F，测得，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵点E，F分别为线段的中点， ∴是的中位线，且， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在A，B的同侧取一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得，则A，B之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边的一半，由此即可计算． 【详解】解：∵D、E分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：A． 5．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，为了测量一个人工湖湖畔A、B两点之间的距离，实践小组先在湖边地面上确定点O，再用卷尺分别确定、的中点C、D，最后用卷尺量出，则A、B之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，根据三角形的中位线等于第三条边的一半进行作答即可． 【详解】解：∵点C、D分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 6．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，为了测量池塘边、两点之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，．若测得，则，间的距离为（    ） A．13 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理即可得出结果．熟记三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：，， 为三角形的中位线， ， 即，间的距离是， 故选：A． 7．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，平地上、两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点、，测量得米，则、两点间的距离为_____米． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理．由三角形中位线定理得到，据此求解即可． 【详解】解：、分别是中点， 是的中位线， ， 米， 米， 、两点间的距离为16米， 故答案为：16． 8．（24-25八年级下·广东韶关·期中）如图所示，要测量A、B两点间的距离，在O点设桩，取中点C，中点D，测得，则________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是掌握三角形中位线定理． 直接利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：∵取中点C，中点D， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03平行四边形 目目 考点01 利用平行四边形的性质求解 2 3 4 6 8 9 10 11 12 13 14 A D C B C D B B A B 15.2cm 16.(5,3) 17.4 18.5 19.9 20.60°160度 21.10 22.（-2,3 23.120°/120度 24.110° 25.6 26.6 27.9√3cm 28.10 29.4或6 30.4cm4厘米 31 【详解】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形， :AD∥BC, ∠DPC=∠PCB, :CP平分∠BCD, ∠PCD=LPCB, ∠DPC=∠DCP, 1/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DP=DC, :CD=CP, :PC=CD=PD, :△PDC是等边三角形， ∠ABC=∠D=60°； (2)解：①当0<t<3时，Q从C向B运动，速度为每秒4cm,则CQ=4t, P从A向D运动，速度为每秒1cm,则AP=t,PD=12-1. :四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD,要使PQ=CD,且AD∥BC, :四边形PQCD是平行四边形， 此时PD=CQ 即12-1=4t, 解得1=2-24： t为2.4s时，PQ=CD ②如图： P A D PD∥BC, :当PD=BQ时，以P,D,Q,B四点组成的四边形是平行四边形. 当0≤1≤3时，PD=12-t,BQ=12-4t, 12-t=12-41, 解得：t=0; 当3≤1≤6时，PD=12-t,BQ=4t-12, 12-1=41-12, 解得：t=4.8； 当6≤1≤9时，PD=12-6,BQ=36-4t, 12-1=36-41, 解得：t=8; 当9≤1≤12时，PD=12-6,BQ=41-36, 2/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12-1=41-36, 解得：1=9.6； :0s或4.8s或8s或9.6s,以P,D,Q,B四点组成的四边形是平行四边形 32 【详解】(1)解：由勾股定理得，BC=2+32=0. 故答案为：√0. 如图，取数轴上0对应的点O,取数轴上-3的上方1个单位长度处的格点M,连接OM,以点O为圆心， OM的长为半径画弧，交点O右侧的数轴于点P,则点P即为所求. (2)解：如图，点D,D2,D均满足题意 P -3-2-101234 (3)解：由勾股定理得，AD,=AD,=P+32=V0,AD,=√32+5=√34， :线段AD的长为V10或√34， 故答案为：√10或V34 33 【详解】(1)解：由题意得，AE=tcm, 当F在M的右侧时，MF=CM-CF=(3-3tcm, 当F在M的左侧时，MF=CF-CM=(3t-3)cm, 故答案为：t;（3-31)或(3t-3)； (2)解：BM=9cm,BC=12cm, 3/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CM =3cm, :AD∥BC, :当以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形时，AE=MF, 当F在M的右侧时，MF=(3-3t)cm, 又AE=tcm, t=3-31, 解得t=3 当F在M的左侧时，MF=CF-CM=(3t-3)cm, 又AE=tcm, 1=31-3, 3 .t22 综上，当以4，从，E,F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或子 4 2 34 【详解】(1)解：BD⊥AD,∠BAD=30°， .∠ADB=90°，∠ABD=60°. :EF⊥AB, ∠0EB=90°. .∠B0E=30°. 2)在ABCD中，AB∥CD,AB=CD,OD=OB, .∠DBA=∠BDC. :∠DOF=∠BOE, :△DOF≌ABOE(ASA). .DF =BE. :四边形ADFE为平行四边形， .AE=DF. AE-BE-24B. :BD⊥AD,∠BAD=30°，BD=4, 4/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB=2BD=8. AE=4. (3)如图，连接DE, :D0=B0,BD=4, D0=B0=2. D B :点O在线段BE的垂直平分线上， .OE=OB. :∠ABD=60°， “△BOE是等边三角形. BE=BO=2,∠BE0=∠BOE=60°. 0E=0D=2, .∠0ED=∠0DE=30°. ∠DEB=90°. :DE =BDP -BE=23 :S.BDE= BE-DE=1x2×2W5=2V5 2 目目 考点02 利用平行四边形的性质证明 1. 【详解】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .OA=OC,AB∥CD, ∴∠FCO=∠EAO,∠CFO=∠AEO, 在△A0E和△COF中， ∠FCO=∠EAO ∠CFO=∠AEO, OA=OC 5/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.△AOE≌△COF(AAS): (2)解：：△A0E≌△C0F, .OE =OF,AE=CF, :四边形BCFE的周长=BE+CF+BC+EF=BE+AE+BC+20E=AB+BC+20E=8+6+2×3=20. 2. 【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,ABI CD, .ZGAE ZHCF, :点G,H分别是AB,CD的中点， AG-AB.CH-CD. .AG=CH, 又：AE=CF, :△AGE≌aCHF(SAS). 【详解】 证明：：在平行四边形ABCD中，AD=BC,AD‖CB, ·∠BCA=∠DAC, 又：BE∥DF, :ZBEC ZDFA, 在△ADF和aCBE中， ∠BCA=∠DAC ∠BEC=∠DFA, AD=BC .△ADF≌△CBE(AAS). 【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， AD=CB,AD∥CB, ∠DAE=LBCF, :DE⊥AC,BF⊥AC, 6/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠AED=∠CFB=90°， :△AED≌△CFB(AAS), ∴.DE=BF, 5. 【详解】证明：连接BE,DF, A ○ B F ABCD, :AD=BC,ADI BC, DE∥BF, AE=CF, .AD-AE=BC-CF, ·DE=BF, ∴.四边形BEDF为平行四边形， :EF,BD相交于点O, .OE =OF. 【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD, ∠ABE=∠CDF, BF=DE ∴.BF-EF=DE-EF, :BE =DF, .△ABE≌△CDF(SAS, .AE CF. 7. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， A0=C0, 7/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AE⊥BD,CF⊥BD, ·∠AE0=∠CF0=90°， 在△AEO和△CF0中， ∠AEO=∠CFO ∠AOE=∠COF, AO=CO :△AEO≌△CFO(AAS), EO=FO; (2)解：：EF=4, E0=EF=2, 2 在Rt△AE0中，A0=VAE2+E02=V42+22=25, :四边形ABCD是平行四边形， AC=2A0=4V5: (3)解：：AC=4, BD=2AC=8, 四边形ABCD是平行四边形， :A0=AC=2,B0=BD=4, 1 1 2 :AC⊥AB, :AB=VB02-A02=V42-22=2V5, S.ABCD=AB.AC=23x4=83. 目目 考点03 判断能否构成平行四边形 2 3 4 5 6 7 8 D C C C A C A D 8/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点04 证明四边形是平行四边形 1 【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,CD∥AB,即DF∥BE, 又：AE=CF, AB-AE=CD-CF,即BE=DF, ·四边形EBFD是平行四边形. 2 【详解】(1)证明：：点E是AD的中点， ÷AE=DE, 又：AF∥BD, ∠FAE=∠CDE, 又：LFEA=∠CED, .△AFE≌△DCE, .AF=CD, 又：AD是BC边上的中线， .BD=CD, ∴AF=BD, (2)解：：AB=AC,BD=CD, .AD⊥BC, ∠ADB=90°， 由(1)得AF=BD, 又：AF∥BD, 、.四边形AFBD为平行四边形， ∠ADB=90°， 四边形AFBD为矩形. 3 【详解】(1)证明：：△ABC和ADE都是等边三角形， .AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°， 9/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD,即∠EAB=∠DAC, :△ABE≌△4CD(SAS: (2)证明：：△ABE≌△ACD, BE=DC,∠EBA=∠DCA, 又：BF=DC, :.BE=BF :△ABC是等边三角形， ∠DCA=60°， ∠EBA=∠DCA=60°， △BEF为等边三角形. ∠EFB=60°，EF=BF :△ABC是等边三角形， .∠ABC=60°， :∠ABC=LEFB=60°， ∴.EFI‖BC,即EF DC, .EF=BF,BF=DC, :EF=DC, ·四边形EFCD是平行四边形. 【详解】(1)证明：：AD=12,0D=5,∠ADB=90°， A0=13, :AC=26, .A0=0C=13,且D0=0B=5, 、.四边形ABCD为平行四边形： (2)解：：四边形ABCD为平行四边形， .BC=AD=12, :∠ADB=90°，且BD=10, .S图边形4BcD=AD·BD=12×10=120. (3)设点D到线段AB的距离是h, 10/32 专题03 平行四边形 9大高频考点概览 考点01 利用平行四边形的性质求解 考点02 利用平行四边形的性质证明 考点03 判断能否构成平行四边形 考点04 证明四边形是平行四边形 考点05 平行四边形判定与性质求解 考点06 平行四边形判定与性质证明 考点07 三角形中位线的有关求解 考点08 三角形中位线的有关证明 考点09 三角形中位线有关的实际应用 地 城 考点01 利用平行四边形的性质求解 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在平行四边形中，，那么等于（        ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东肇庆·期中）如图，四边形是平行四边形，已知，，则阴影部分的面积（    ） A． B．18 C． D． 4．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，平分交边于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在平行四边形中，垂直于，是垂足．如果，那么的角度为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）在中，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，，的平分线，分别与直线交于点，．当点，，，相邻两点间的距离相等时，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或或 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，将一把三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·广东汕头·期中）在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·广东广州·期中）在平行四边形中，，则平行四边形的周长为（    ） A．18 B．9 C．6 D．3 11．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，对角线、交于点，且，，则的周长为（    ） A．28 B．24 C．18 D．14 12．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，对角线，相交于点O，若，，则的周长等于（   ） A．14 B．12 C．9 D．7 13．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，对角线的垂直平分线分别交，F，连接，若的周长为6，则的周长为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 14．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，，则的值为（    ） A．80 B．64 C．40 D．32 15．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在平行四边形中，若平分，则______________   16．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别为，，，那么顶点B的坐标为_______ 17．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，平分，，，则__________． 18．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，已知平行四边形中，的平分线交边于点E，交的延长线于点F，如果，，那么_____ ． 19．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分． 若，则的长为 ________． 20（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，则的度数为__________． 21．（24-25八年级下·广东韶关·期中）如图，的对角线与相交于点，，若，则________． 22．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图，在平面直角坐标系中， 点A， B的坐标分别是，， C是平面内一点，为得到，则顶点C的坐标为_______． 23．（24-25八年级下·广东江门·期中）在中，，则___________． 24．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知在平行四边形中，比大，那么的度数是______． 25．（24-25八年级下·广东广州·期中）如下图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为___________． 26．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，已知四边形为平行四边形，则点B的坐标为___________． 27．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，点分别在和上，且，则四边形的面积是多少___________． 28．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知的周长为32，若，则_________． 29．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向B点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动APD点也随之停止运动．从运动开始，经过______秒时，． 30．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，中，的平分线交于，则______． 31．（24-25八年级下·广东肇庆·期中）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)在（1）的基础上，如图②，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，设时间为秒； ①当时，t为何值时，． ②则t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形 32．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)的长度a为 ，在图中的数轴上，用圆规找出实数a对应的点P； (2)在网格中画出使A、B、C、D四点构成平行四边形的所有点D； (3)直接写出线段的长为 ． 33．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在四边形中，，，，M是上的一点，且．点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止．设运动时间为，则： (1)_______，__________．（用含t的代数式表示） (2)是否存在时间t，使得以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 34．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）综合与实践： 【问题情景】如图，在中，对角线，相交于点O，于点D，，．E为上的一动点，连接并延长，交于点F． (1)【独立思考】当时，求的度数； (2)【实践探究】当四边形为平行四边形时，求的长； (3)【问题解决】当点O在的垂直平分线上时，连接，求的面积． 地 城 考点02 利用平行四边形的性质证明 1．（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图，在平行四边形中，对角线与相相交于点O，过点O任作一条直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，求四边形的周长． 2．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知：如图，在平行四边形中，点G，H分别是的中点，点E，F在上，且．求证：． 3．（24-25八年级下·广东·期中）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，．求证：． 4．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在中，于点E，于点F．求证：． 5．（湖北省大冶市第四实验学校等部分学校2024-2025学年九年级下学期中考全真模拟一数学卷）如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：． 6．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在中，点、在对角线上，且．求证：． 7．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 地 城 考点03 判断能否构成平行四边形 1．（广东省湛江市雷州市新南方学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题）如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 2.如图，能判定四边形是平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 3．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·广东江门·期中）不能判定四边形为平行四边形的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C． ， D． ， 7．（24-25八年级下·广东·期中）如图，在四边形中，下列条件能判断它是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点，，是某平行四边形的三个顶点，下列各点中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点04 平证明平行四边形是平行四边形 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且，求证：四边形是平行四边形． 2.（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果，试证明：四边形为矩形． 3.（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，和都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，四边形中，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的长和四边形的面积； (3)点到线段的距离是______．（此空不要求解题过程） 5．（24-25八年级下·广东惠州·期中）已知：如图所示，四边形是平行四边形，是直线上的两点，且． (1)求证：； (2)连接、，则四边形是平行四边形吗？ 6．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，，，，以为边，在外作等边三角形，是的中点，连接并延长，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图，将图中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长． 7．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图1是某旅游景点的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，，，，四点在同一直线上，测得，，．（参考数据：） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点到的距离）．（结果保留小数点后一位） 8．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，．以为边，在外作等边三角形，D是的中点，连接并延长交于点E． (1)求点B的坐标； (2)求线段的长度； (3)求证：四边形是平行四边形． 9．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知：在中，，，，点分别是的中点，，交的延长线于. (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求四边形的面积. 10．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，，．求证：四边形是平行四边形． 11．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在四边形中，点E，F分别是延长线上的点，且，． (1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是______； (2)添加了条件后，证明四边形为平行四边形． 地 城 考点05 平行四边形判定与性质的求解 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，点P从点A出发，在射线上以的速度向右运动；点Q从点C同时出发，在线段上以的速度向点B运动．当点Q到达端点B时，点P也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒． (1) ______， ______； (2)在点P，Q运动过程中，是否存在t值，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．若点为直线上的一点，当运动时间为何值时，以、、、构成的四边形是菱形？ 3．（24-25八年级下·广东深圳·期中） 如图，在中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点（不在线段上），与相交于点O．    (1)下列条件：① ；② ；③ ，请你从中选择一个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程； (2)若四边形是平行四边形， 且，的面积为5， 求的面积． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图1，在四边形ABCD中，，∠B＝90°，AD＝acm，BC＝bcm，并且a，b满足b＝+8，若动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，回答下列问题： (1)AD＝______cm，BC＝______cm． (2)设点P、Q同时出发，并运动了x秒，求当x为多少秒时，四边形PQBA是矩形． (3)如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发，并运动了t秒，求当t为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 地 城 考点06 平行四边形判定与性质的证明 1．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在□中，对角线，相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求平行四边形的面积． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，四边形是平行四边形，平分交于点，平分交于点，求证：四边形是平行四边形． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，已知中，点分别在上，且．求证：． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，且交于点，平分．    (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 5．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在四边形中，，且．四边形的对角线相交于，点E，F分别是的中点，求证：． 地 城 考点07 利三角形中位线的有关求解 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在四边形中，F为的中点，，为上一点，四边形为平行四边形，若，，求的长． 2．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，是边上一点，且. (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作的角平分线交于点；作线段的垂直平分线交于点，交与点. (2)在（）所作图形中，连接，已知，，，求的周长. 3．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，矩形中，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒． (1)若、分别是、的中点，且，求证：以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形． (2)在（1）的条件下，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为矩形？ (3)若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为菱形？ 4．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，，是的中位线，是的中线．连接，．判断四边形形状，并说明理由． 5．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 6．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在四边形中，E，F分别是边的中点，若，，求的度数． 7．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，点为线段上任一点，为中点，分别以为边向同侧作等边三角形和等边三角形，点分别为的中点，连． (1)当点在上运动时， ①求证：； ②求的大小． (2)若，，则直接写出的长． 地 城 考点08 利用三角形中位线的有关证明 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，四边形是平行四边形，． (1)判断的形状并证明； (2)在（1）的条件下，若，E是的中点，F是延长线上一点，，求证：． (3)在（2）的条件下，若的延长线与交于点P，试判定四边形是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答） 2（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，中线，交于点，，分别是，的中点，连接，，，．求证：． 3．（24-25八年级下·广东江门·期中）已知：如图，在中，，平分，垂直并交延长线于E，M是中点．求证：． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，D、E、F分别为边的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？并说明理由． 5．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，，平分交于点．点为的中点，连接，过点作交的延长线于点，求证：四边形是平行四边形． 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（    ）地 城 考点09 三角形中位线有关的实际问题 A．10米 B．12米 C．16米 D．18米 2．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图，某数学实践小组打算测量湖岸B，C两点间的距离，他们在湖的一侧选取一点A，连接，测出的中点E，D之间的距离是，则B，C两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处之间的距离，在直线外选一点C，连接，并分别取线段的中点E，F，测得，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在A，B的同侧取一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得，则A，B之间的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，为了测量一个人工湖湖畔A、B两点之间的距离，实践小组先在湖边地面上确定点O，再用卷尺分别确定、的中点C、D，最后用卷尺量出，则A、B之间的距离是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，为了测量池塘边、两点之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，．若测得，则，间的距离为（    ） A．13 B．16 C．18 D．20 7．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，平地上、两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点、，测量得米，则、两点间的距离为_____米． 8．（24-25八年级下·广东韶关·期中）如图所示，要测量A、B两点间的距离，在O点设桩，取中点C，中点D，测得，则________． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $