专题02 勾股定理19大考点（期中真题汇编，广东专用）八年级数学下学期新教材人教版

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02勾股定理及其逆定理 ☆19大高频考点概览 考点01两点之间的距离 考点02勾股定理解三角形 考点03直角三角形三边的面积问题 考点04以弦图为背景的计算 考点05勾股数问题 考点06勾股定理与网格问题 考点07勾股定理与折叠问题 考点08勾股定理的证明 考点09勾股定理与无理数 考点10梯子问题 考点11勾股定理应用-求旗杆高度 考点12勾股定理应用-大树折断问题 考点13勾股定理应用-杯中筷子问题 考点14勾股定理应用-航海问题 考点15勾股定理应用-汽车超速和台风受影响问题 考点16判断附能否构成直角三角形 考点17网格中判断直角三角形 考点18利用勾股定理的逆定理求解 考点19勾股定理逆定理的实际应用 目目 考点01 两点之间的距离 1.(24-25八年级下·广东江门期中)若有点A(0,2),点B(-3,0),则AB的长度为() A.22 B.0 C.25 D.√13 2.(24-25八年级下·广东佛山期中)在平面直角坐标系中，点P(3,2)到原点的距离是() A.√3 B.1 C.5 D. 3.(24-25八年级下·广东江门期中)在平面直角坐标系中，点(3，-4)到原点的距离是() A.3 B.4 C.5 D.√万 4.(24-25八年级下·广东惠州期中)在直角坐标系中，点P(-2,3)到原点的距离是() A.5 B.13 C.11 D.2 5.(24-25八年级下广东东莞期中)点P(8,-6)到原点的距离是 1/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25八年级下·广东汕头期中)如图，一束光线从点A(8,9)出发，经过y轴上的点C反射后经过点 B(4,0),则光线从A点到B点经过路线长是 4 B x 7.(24-25八年级下广东汕头期中)阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点M(x,y1),M,x2,y2) ,我们把d=Vx-x)尸+(y-叫做M,M2两点间的距离，记作d(M1,M,).如A(-2,3),B2,5),则 d(4,B)=V(-2-2)2+(3-5)2=25. 请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若A3V2,0,B(0,4V2,直接写出d(A,B)的值： (2)当A(a,1),B(-1,4)的距离d(A,B)=5时，求出a的值； (3)若在平面内有一点C(x,y),使式子V(x+)2+y-4)2+V(x-3)2+y+1)2有最小值，请求出这个最小值。 8.(24-25八年级下·广东广州期中)阅读下列文字，回答问题： 【材料阅读】平面直角坐标系内两点M(x,),N(x2,y2),由勾股定理可得，这两点间的距离公式 MN=Vx-x)2+(y-y2)2，例如，M(3,,N(L,-2),则Mw=V3-12+1+22=3. y B 0 图1 图2 【直接应用】 2/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 知点4o,点Pr+小 连接PA. (I)(多选题)当PA=5时，则m的值可以是() A.m=2B.m=4C.m=-4D.m=0 (2)如图1，当m>0时，过点P作PB⊥x轴于点B,求证：PA=PB. (3)如图2，当m>0时，点C(2,6),求△APC的周长的最小值. 9.(24-25八年级下·广东惠州·月考)如图①，在平面直角坐标系中，已知点A(8,0),点C(0,6),点B在x 轴负半轴上，且AB=AC. VA YA BO A BO M Ax BO BO ① ② ⑧ 备用图 (1)点B的坐标为 (2)如图②，若点E在AC边上，且点E坐标为(4,3)，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线 段BA向点A匀速运动，设点M运动的时间为t(秒)； ①若OME的面积为2，求t的值； ②如图③，在点M运动的过程中，OME能否成为直角三角形？若能，求出此时t的值，并写出相应的点 M的坐标；若不能，请说明理由. 目目 考点02 勾股定理解三角形 1.(24-25八年级下，广东广州期中)如图是一个长，宽，高分别是acm,bcm,ccm的长方体无盖盒子， 己知一根木棒长为7cm,且DC⊥AC.通过计算发现，能放入此木棒的无盖盒子的规格是() D a A.a 6cm b=2cm c=2cm B.a=5cm b=3cm c=3cm C.a=4cm,b=4cm,c=4cm D.a=5cm,b=5cm c=1cm 2.(24-25八年级下广东广州期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为 3/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 半径画弧，分别交BA,BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于三MN的长为半径画弧，两弧交于 点P,作射线BP交AC于点D,若BC=43,则在△ABD中AB边上的高为() D N A.3 B.4 C.8 D.6 3.(江苏省扬州市宝应县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题)如图，长方形中，AB=3, AD=1,AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为() D BM> -101 2 A.V10 B.V10-1 C.5 D.V5-1 4.(24-25八年级下·广东江门期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E分别为BC、AC中点， 若AE=4,BD=5,则AB的长为() A.9 B.7 C.6 D.8 5.(22-23八年级下·广东东莞期中)如图，将一个边长分别为8cm,16cm的长方形纸片ABCD折叠，使点 C与A重合，则BE的长是() D C E A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm 4/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 直角三角形三边的面积问题 1.(24-25八年级下·广东惠州期中)如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，正方 形A,B,C,D的边长分别是3,4,2,3，则最大正方形E的面积是(). D E A.37 B.38 C.39 D.40 2.(24-25八年级下·广东·期中)如图，在ABC中，∠ACB=90°，分别以AC,BC,AB为边向外作半圆， 并分别记它们的面积为S,S2,S,若S,=8π，S2=24π，则S,=（) A S3 S c S2 A.4V2π B.32π C.40元 D.64π 3.(24-25八年级下·广东惠州期中)有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两 个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继 续“生长”下去，它将变成“枝繁叶茂”的“勾股树”.请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的 面积和是() A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 4.(24-25八年级下广东惠州期中)如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”.记图中正方形ABCD, 正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S,S2,S,,若正方形EFGH的边长为√6，则S,+S2+S,的值 5/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D H A.16 B.17 C.18 D.20 5.(24-25八年级下·广东汕头·月考)1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片 中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形.如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积 可以是() EAAL-AX3 图1 图2 A.2,3,5 B.3,4,5 C.6,8,13 D.5,12,14 6.(24-25八年级下·广东惠州期中)如图，若直角三角形的两条直角边长分别为6,8，则图中阴影部分（正 方形)的面积为() A.10 B.24 C.48 D.100 7.(24-25八年级下·广东广州期中)下图是由正方形和直角三角形拼组成的，若正方形A,B的面积分别 为9,4，则正方形C的面积是() 6/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A A.5 B.√5 C.13 D.13 目目 考点04 以弦图为背景的计算 1.(24-25八年级下·广东韶关期中)“赵爽弦图巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄 傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，设直 角三角形较长直角边长为Q,较短直角边长为b.若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则b的值是() A.4 B.6 C.8 D.10 2.(24-25八年级下·广东广州期中)“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄 傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的 直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是() A.25 B.36 C.49 D.64 3.(24-25八年级下·广东广州期中)勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠.被誉为清代“历算第一名家”的名 数学家梅文鼎先生（图①)在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股 定理的证法.其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的.在ABC中，∠ACB=90°，四边 形ABDE,ACFG,BCHI均为正方形，H与AE相交于点J,可以证明点D在直线HI上.若△AHJ, △DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为() 7/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A H J E 图① 图② A.√2 B.3 C.5 D.2 目目 考点05 勾股数问题 1.(24-25八年级下·广东广州期中)下列各组数为勾股数的是（) A.7,12,13B.3,4,7 C.8,15,17 D.4,5,6 2.(24-25八年级下·广东广州期中)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三 角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则正方形E的面积是() B E A.13 B.11 C.8 D.6 3.(24-25八年级下·广东东莞·期中)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数 学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是(). A.3,4,5B.4,5,6 C.7,8,9 D.8,9,10 4.(24-25八年级下·广东惠州期中)下列各组数据中，是勾股数的是() A.8、10、6B.1、1、√2 C.0.3、0.4、0.5D.5、12、14 5.(24-25八年级下·广东东莞期中)下列各组数中，是勾股数的是() A.2,3,4B.1,2,5 C.1.5,2,2.5 D.5,12,13 6.(24-25八年级下·广东汕头期中)下列各组数中，是勾股数的是() A.1,1,√2 B.0.3,0.4,0.5 C.5,12,13 D.9,15,17 8/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点06 勾股定理与网格问题 1.(24-25八年级下·广东惠州期中)如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点 均在格点上，直角顶点与数轴上表示-1的点重合，则数轴上点A所表示的数为() -3 -2 -1 0 A.2W2 B.1.8 C.-1+22 D.5 2.(24-25八年级下·广东汕头期中)如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长 为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为() 楚河 汉界 炮 卒 A.3 B.5 C.5 D.5 3.(24-25八年级下·广东广州期中)如图是4×4方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则 该阴影正方形的边长为(). A.√2 B.阿 C.⑧ D.10 4.(24-25八年级下·广东广州期中)如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画 弧，交网格线于点D,则ED的长为() 9/32 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.5 B.√2 C.3 D.无法确定 5.(24-25八年级下·广东广州期中)如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，连 接三个小格点，可得ABC,则AC边上的高是() 4 B A.3V2 B.35 C.3 D. 4v5 2 10 5 6.(24-25八年级下·广东惠州期中)【题目】求√2的整数部分. 【解题方法】方法一：由(W2)2=2,得√<√2<√4， 1<V2<2, √2的整数部分是1. 方法二：如图①，正方形ABCD的边长为1，由勾股定理可求得对角线AC的长为√2，再由三边关系可求 得1<√2<2，进而求得的整数部分是1. D B 图① 图② 【应用】 (1)利用方法一求√1的小数部分； (2)如图②，在3×3的正方形网络中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点.借助图②， 利用方法二说明√2+√8与√10的大小关系. 7.(24-25八年级下广东广州期中)图，在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫 做格点，点A、B、C均为格点. 10/32丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02勾股定理及其逆定理 目目 考点01 两点之间的距离 1 2 3 4 D A c B 5.10 6.15 7. 【详解】(1)解：A3V2,0,B0,4W2 由材料中两点之间的距离公式可知d(4,B)=32-0+0-42=52: (2)解：a,l,B-l,4)d川A,B)=5 d(4,B)=5=Va+12+1-4)2=Va+1)2+9,即(a+12+9=25, :(a+1=16,解得a+1=4,即a=3或a=-5: (3)解：由材料中两点之间的距离公式可知Vc++0-4+Vx-3+v+表示动点Cx,)到定点 (-14的距离与动点Cx川到定点3，-的距离之和， 根据两点之间线段最短，要使式子VG++0-4+V(x-3那+0+少有最小值，则三点共线，且C在 两个定点之间， 则这个最小值为V3+)2+4+12=√4 8. 【详解】()解：A、m=2时，P22.则PA=2-0=25,故A不符合愿意 B、m=4时，P(4,5),则PA=V4-0+5-2=5,故B符合题意： C、m=-4时，P-4,5),则P1=V-4-0+5-2=5,故C符合题意 1/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D、m=0时， P(0,1 则PA=2-1=1≠5，故D不符合题意， 故选：BC: 2②证明：点40,2，点Pm+ 1 P=m-0+m+1-2j 2 、2 PB⊥x轴， 1 .PB-m+1. ∴PA=PB: (3)解：…C2,6),40,2 :.AC=2-0)2+6-22-25 .△APC的周长的最小值化为PC+PA的最小值， 过点C,P分别作CR⊥x轴，PB⊥x轴，垂足为点R,B, R B 由上可得，PA=PB, PC+PA=PC+PB≥CR=6,当且仅当点 ,P,B,R 共线时，取得最小值， △AP 的周长的最小值为6+25 9. 【详解】(1)解：“点 A(8,0).C(0,6) 、点 0A=8,0C=6, 2/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AC=VOC2+0A=V62+82=10 .AB=AC=10, .0B=2, .B(-2,0), (-2,0) 故答案为： (2)解：如图，作EH⊥OA于H, (4,3).A8,0).C(0,6) 点E坐标为，点 ，点 点E为边AC的中点， :在Rt△AOC中，点E为边AC的中点， E0=EA=5, EH⊥OA, ..OH AH=4, .EH=V52-42=3 当点M在点O的左侧时，OM=2-2t, C E BMO H Ax 1 ×(2-2t)×3=2 2 1 当点M在点O的右侧时，OM=2t-2, B 0HM衣 1 图2 x(21-2)x3=2 ,t= 3 3/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15 综上所述，若△OME的面积为2，t的值为3或3· ②当点M在BO上，即0≤t<1时，△OME为钝角三角形不能成为直角三角形： 当t=1时，点M运动到点O,△OME不构成三角形， 当点M在OA上，即1≤t≤5时， 如图3，当∠OME=90°时， M 图3 .·OE=AE .21-2=4, t=3, .M(4,0) 如图4，当∠OEM=90°时，作EH⊥OA于H, BO HMAx 图4 ..OE2+EM2=OM2 ∴.52+(21-6)}2+32=(21-2)2 133 ∴.M 0 4 综上所述，符合要求时，-3”AM4.0现=是.M图 81 0 4/30 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 勾股定理解三角形 1 2 3 4 5 D B B 目目 考点03 直角三角形三边的面积问题 1 2 3 4 5 6 7 B B C C A D A 3.225 4.15 目目 考点04 以弦图为背景的计算 2 3 A C D 目目 考点05 勾股数问题 2 3 5 6 A A A D C 目目 考点06 勾股定理与网格问题 1 3 4 5 C D D A C 6. 【详解】（D解：由y=Ⅱ，得5<而<6 .3<11<4 . 的小数部分是厅-3 (2)解：如图，由勾股定理可求得4C=V5,BC=8AB=0 5/30 列学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在△ABC中，AC+BC>AB, √2+⑧>o 7 【详解】(1)解：由勾股定理得，4B=V4+3=5 故答案为：5. (2)解：如图，点， DD:DD Ds 均满足题意， D 1 【详解】(1)阴影部分面积=4×4-4×。×1×3=16-6=10 阴影部分正方形的边长V而 (2)9<10<16, :3co<4 即边长的值在整数3和4之间： (3)V22+32=V3 如图所示，正方形ABCD即为所求. 6/30 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 图2 目目 考点07 勾股定理与折叠问题 1 2 3 4 5 D C A A 132} 6.616 5 7.2 8. 【详解】(1)证明：：长方形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△AEC的位置， AE=AB∠E=∠B=∠D=90 又四边形ABCD为长方形， .AB=CD :AE=DC, 而∠AFE=∠DFC, 在△AFE与△DFC中： [∠AFE=∠DFC ∠E=∠D AE=CD ∴.Rt△AEF≌RtACDF(AAS .EF DF: (2)解：四边形ABCD为长方形， .AD=BC=6 CD=AB=23 ,RtAAEF≌RtACDF, 7/30 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.FC=FA, 设FA=x, 则FC=x,FD=6-x, 在RtACDF中， CF2=CD2+DF2 即2256-2， 解得x=4。 9 【详解】(1)解：“长方形ABC0,点B的坐标为 15,9) ..A0=BC=9,OC=AB=15, “点A的坐标为0,9)，点C的坐标为15,0 故答案为： (0,9)(15,0 (2)解：由折叠的性质得，BE=AB=15,DE=AD, .CE=VBE2-BC2=V152-92=12 ∴.OE=OC-CE=15-12=3, 设DE=AD=x,则OD=AO-AD=9-x, 在Rt△OED中，OE2+OD2=DE2, 即3产+9-刘2= 解得：x=5,即AD=5, 综上所述，CE=12,AD=5 (3)解：由(2)得，AD=5, .0D=9-5=4, 由折叠的性质得， SABD-SEBD ∴四边形DOEB的面积 S△BDE+S△ODE=S△ABD+S△oDE 4B4D+0E-00 1 8/30 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2*15x5+ ×3×4 2 87 2， 87 四边形DOEB的面积为2： 10 【详解】(1)：DC∥AB, ∠FCA=∠CAB 由折叠的性质得：∠EAC=∠CAB, ∴.∠EAC=∠FCA, ∴.△FAC为等腰三角形： (2)解：设CF为x △FCE≌△FAD∴DF=FE=l6-x, 故有：x=(16-x2+8 解得：x=10 即CF=10cm 11. 【详解】(1)解：：四边形ABCD为长方形， ∴.AD=BC=10cm,CD=AB=8cm,∠C=∠D=∠B=90°， 根据折叠可知，AF=AD=10cm, 在Rt△ABF中，根据勾股定理可得： BF=AF2-4B2 =102-82=6(cm) FC=BC-BF=10-6=4(cm) (2)解： 设EF=xrcm,则DE=EF=xcm,EC=(8-x)cm, 在RIAEFC中，由勾股定理得FC2+EC2=EF2, 42+(8-x)2=x2 解得：x=5, ∴.EC=8-5=3(cm) 9/30 列学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点08 勾股定理的证明 2 3 D D 4. 【详解】解：【方法运用】： ①由题意得， Sx540BF+号D-Cr-号4D8C-,sxb+ai6= 2， S.wn-ila-bja-u-ab 2 故答案为：①ab+b：42a2:，c2: 2； ②：边形a0C=8形x+S.8ED 1c2=62+ab+a2-ab .222, 2 :2+=c2 ； 【方法迁移】： (1)设AB边上的高为h, 8版=44-×2x4*2x43*2x2=6, 2 AB=V22+42=2V5 :S=)4B-h=)x2V5h=6, 1 2 2 :5 5, 即6边上的商是65 10/30 专题02 勾股定理及其逆定理 19大高频考点概览 考点01 两点之间的距离 考点02 勾股定理解三角形 考点03 直角三角形三边的面积问题 考点04 以弦图为背景的计算 考点05 勾股数问题 考点06 勾股定理与网格问题 考点07 勾股定理与折叠问题 考点08 勾股定理的证明 考点09 勾股定理与无理数 考点10梯子问题 考点11 勾股定理应用-求旗杆高度 考点12 勾股定理应用-大树折断问题 考点13勾股定理应用-杯中筷子问题 考点14 勾股定理应用-航海问题 考点15 勾股定理应用-汽车超速和台风受影响问题 考点16 判断能否构成直角三角形 考点17 网格中判断直角三角形 考点18 利用勾股定理的逆定理求解 考点19 勾股定理逆定理的实际应用 地 城 考点01 两点之间的距离 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）若有点，点，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理求两点坐标，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据平面直角坐标系中两点间距离公式，进行计算即可求解． 【详解】解：∵点，点， ∴ 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．作轴于A，则，，再根据勾股定理求解． 【详解】解：作轴于A，则，， 则根据勾股定理，得， 故选：A． 3．（24-25八年级下·广东江门·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据该点坐标和原点坐标，即可直接利用勾股定理求出该点到原点的距离． 【详解】解：该点坐标为，原点坐标为， 该点到原点的距离， 故选：． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）在直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了两点间距离公式，掌握已知，则是解题的关键． 根据两点间距离公式直接求解即可． 【详解】解：点到原点的距离是， 故选：B． 5．（24-25八年级下·广东东莞·期中）点到原点的距离是________． 【答案】10 【分析】本题考查两点间的距离，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：点到原点的距离是； 故答案为：10． 6．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则光线从点到点经过路线长是________．    【答案】15 【分析】延长交轴于．根据光的反射原理，点、关于轴对称，．路径长就是的长度．结合点坐标，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：延长交轴于，      则点、关于轴对称，，点的坐标为， ， ， 光线从点到点经过路线长为：， 故答案为：15． 【点睛】本题考查的是勾股定理，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键． 7．（24-25八年级下·广东汕头·期中）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做，两点间的距离，记作．如，，则． 请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若，，直接写出的值； (2)当，的距离时，求出的值； (3)若在平面内有一点，使式子有最小值，请求出这个最小值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解材料中两点之间的距离公式是解决问题的关键． （1）由材料中两点之间的距离公式直接带点求值即可得到答案； （2）由材料中两点之间的距离公式直接带点列方程求解即可得到答案； （3）由材料中两点之间的距离公式，理解表示动点到定点的距离与动点到定点的距离之和，再由两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由材料中两点之间的距离公式可知； （2）解：，， ，即， ，解得，即或； （3）解：由材料中两点之间的距离公式可知表示动点到定点的距离与动点到定点的距离之和， 根据两点之间线段最短，要使式子有最小值，则三点共线，且在两个定点之间， 则这个最小值为． 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）阅读下列文字，回答问题： 【材料阅读】平面直角坐标系内两点，，由勾股定理可得，这两点间的距离公式，例如，，，则． 【直接应用】 已知点，点，连接． (1)（多选题）当时，则的值可以是（    ） A．    B．    C．    D． (2)如图1，当时，过点作轴于点，求证：． (3)如图2，当时，点，求的周长的最小值． 【答案】(1)BC (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了两点之间距离公式，利用二次根式的性质化简，垂线段最短，完全平方公式等知识点，灵活运用两点之间距离公式求解是解题的关键． （1）先求出每个选项中点P坐标，再由两点之间距离公式求解进行比较即可； （2）先根据两点之间距离公式表示，然后根据完全平方公式化简，再根据二次根式的性质化简，而，即可证明； （3）先由两点之间距离公式求出，则的周长的最小值化为的最小值，过点分别作轴，轴，垂足为点，由上可得，，而，当且仅当点共线时，取得最小值． 【详解】（1）解： A、时，，则，故A不符合题意； B、时，，则，故B符合题意； C、时，，则，故C符合题意； D、时，，则，故D不符合题意， 故选：BC； （2）证明：∵点，点， ∴， ∵轴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴的周长的最小值化为的最小值， 过点分别作轴，轴，垂足为点， 由上可得，， ∴，当且仅当点共线时，取得最小值， ∴的周长的最小值为． 9．（24-25八年级下·广东惠州·月考）如图①，在平面直角坐标系中，已知点，点，点B在x轴负半轴上，且． (1)点B的坐标为________． (2)如图②，若点E在边上，且点E坐标为，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A匀速运动，设点M运动的时间为t（秒）； ①若的面积为2，求t的值； ②如图③，在点M运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，求出此时t的值，并写出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①或；②能，，或，． 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，正确画出图形进行分类讨论是解题的关键． （1）由勾股定理求出，则，可求出答案； （2）作于，求出，当点在点的左侧时，，可得；当点在点的右侧时，，可得； （3）当点在上，即时，为钝角三角形不能成为直角三角形；当时，点运动到点，不构成三角形，当点在上，即时，当时，当时，作，可求出答案． 【详解】（1）解：点、点， ，， ． ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，作于， 点E坐标为，点，点， 点为边的中点， 在中，点为边的中点， ， ， ， ． 当点在点的左侧时，， ， ； 当点在点的右侧时，， ， ； 综上所述，若的面积为2，的值为或． ②当点在上，即时，为钝角三角形不能成为直角三角形； 当时，点运动到点，不构成三角形， 当点在上，即时， 如图3，当时， ， ， ， ， ； 如图4，当时，作于， ， ， ， ； 综上所述，符合要求时，或，． 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图是一个长，宽，高分别是，，的长方体无盖盒子，已知一根木棒长为，且通过计算发现，能放入此木棒的无盖盒子的规格是（   ）地 城 考点02 勾股定理解三角形 A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】连接，根据勾股定理分别求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， A选项，由勾股定理得：， ，故选项A不符合题意； B选项，由勾股定理得：， ，故选项B不符合题意； C选项，由勾股定理得：， ，故选项C不符合题意； D选项，由勾股定理得： ，故选项D符合题意． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，则在中边上的高为（    ） A．3 B．4 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 由作图可知，为的平分线，过点D作于点E，结合勾股定理解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 过点D作于点E， 由作图可知，为的平分线， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 3．（江苏省扬州市宝应县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由题意可得，，，再由勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴点表示的数为， 故选：B． 4．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据中点，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵点D、E分别为中点， ∴， 在中，， ∴； 故选C． 5．（22-23八年级下·广东东莞·期中）如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用折叠性质得到，设的长为，表示出的长度，再在中，根据勾股定理列方程求解．本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理并利用折叠性质得到相等线段是解题的关键． 【详解】解：设， ∵ 长方形中， ∴ ． ∵ 折叠后点与重合， ∴ ． ∵ 四边形是长方形， ∴ ． 在中，由勾股定理得， 又∵ ， ∴ ， ， ， ， ． 故选：A． 1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，正方形，，，的边长分别是，，，，则最大正方形的面积是（    ）．地 城 考点03 直角三角形三边的面积问题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理的几何意义可得，然后代入即可求解，解题的关键是熟悉勾股定理的几何意义． 【详解】解：如图， 根据勾股定理的几何意义， 可知 ， 故选：． 2．（24-25八年级下·广东·期中）如图，在中，，分别以，，为边向外作半圆，并分别记它们的面积为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，根据在中，，得到，结合，，求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，，即，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·广东惠州·期中）有一个面积为的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变成“枝繁叶茂”的“勾股树”．请你算出“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，找出规律是解答本题的关键． 根据题意可知“生长”次后，所有正方形的面积和是；“生长”次后，所有正方形的面积和是；即可求出“生长”次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：由勾股定理可知，“生长”次，“生长”出的两个正方形面积和原来正方形的面积，所有正方形的面积和为； “生长”次，“生长”出的四个正方形面积和第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积和为； ， 经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； 经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是， 故选：C． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若正方形的边长为，则的值（    ） A．16 B．17 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，以及完全平方公式等知识．根据八个直角三角形全等，四边形，，都是正方形，得出，再根据，，即可求解． 【详解】解：在中，由勾股定理得： ∵八个直角三角形全等，四边形，，都是正方形， ∴， ∴ ； ； ∵正方形的边长为， ∴， ∴ 故选：C． 5．（24-25八年级下·广东汕头·月考）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（   ） A．2，3，5 B．3，4，5 C．6，8，13 D．5，12，14 【答案】A 【分析】据勾股定理可得：，然后利用正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，即可解答． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积， ∵，，，， ∴选取的三块正方形纸片的面积可以是2，3，5， 故选：A． 6．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，若直角三角形的两条直角边长分别为6，8，则图中阴影部分（正方形）的面积为（    ） A．10 B．24 C．48 D．100 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理求出的值即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得， ∵阴影部分是一个正方形， ∴阴影部分的面积为， 故选：D． 7．（24-25八年级下·广东广州·期中）下图是由正方形和直角三角形拼组成的，若正方形A，B的面积分别为9，4，则正方形C的面积是（    ） A．5 B． C．13 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理得，代入计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵A，B的面积分别为9，4， ∴正方形C的面积为， 故选：A． 1.（24-25八年级下·广东韶关·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则的值是（　　）　地 城 考点04 以弦图为背景的计算    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理并能准确对代数式进行变形、求值．根据勾股定理可得，利用整体代入的思想求出的值即可． 【详解】解：根据题意得：，且， ， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（   ） A．25 B．36 C．49 D．64 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据题意求得大正方形的边长，根据勾股定理求出直角三角形的小直角边长为3，从而得小正方形的边长，即可得出结果． 【详解】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的小直角边为a， ∵大正方形的面积是169， ∴， ∵直角三角形的长直角边是12， ∴， ∴小正方形的边长， ∴小正方形的面积． 故选：C． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点，可以证明点在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先证明得，设，，，由勾股定理得，，进而得，，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形，为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 设，，， 由勾股定理得，， 即， , ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：D． 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各组数为勾股数的是（   ）地 城 考点05 勾股数问题 A．7，12，13 B．3，4，7 C．8，15，17 D．4，5，6 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，以及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，且8、15、17都是整数，故此选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 分别设正方形的边长为，得到，，，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，分别设正方形的边长为， 由勾股定理得，， 正方形的面积， 故选：A． 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ）． A．3，4，5 B．4，5，6 C．7，8，9 D．8，9，10 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理问题，若三个正整数满足较小的两个数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴3，4，5这组数是勾股数，符合题意； B、∵， ∴4，5，6这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴7，8，9这组数不是勾股数，不符合题意； D、∵， ∴8，9，10这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）下列各组数据中，是勾股数的是（    ） A．8、10、6 B．1、1、 C．、、 D．5、12、14 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义进行判断即可． 【详解】解：，故选项A符合题意； 不是正整数，故选项B不符合题意； 、、均不是整数，故选项C不符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选A． 5．（24-25八年级下·广东东莞·期中）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．2，3，4 B．1，2， C． D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股数，根据勾股数的概念对各选项进行逐一分析即可．熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 【详解】解：A、，不能构成勾股数，不符合题意； B、不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； C、不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； D、，能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 6．（24-25八年级下·广东汕头·期中）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B、0.3，0.4，0.5，不是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，是勾股数，符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　）地 城 考点06 勾股定理与网格问题    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应和勾股定理，正确理解题意是解题的关键； 本题需要通过勾股定理求得，进而得到，然后即可求解； 【详解】解：如图：  ， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴数轴上点A所表示的数为， 故选：C； 2．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，直接根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为， 故选：D． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理即可直接得出答案． 【详解】解：根据题意可得： 该阴影正方形的边长为：， 故选：． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为（　　） A． B． C．3 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理，连接，从而根据勾股定理计算是解题的关键． 【详解】解：连接， 则, ∴， 故选A． 5．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，连接三个小格点，可得，则边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设边上的高为，由题意知，，则，即，计算求解即可． 【详解】解：设边上的高为， 由题意知，， ∴，即， 解得， ∴边上的高为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格．解题的关键在于熟练掌握割补法求面积以及等面积法． 6．（24-25八年级下·广东惠州·期中）【题目】求的整数部分． 【解题方法】方法一：由，得， ， 的整数部分是1． 方法二：如图①，正方形的边长为1，由勾股定理可求得对角线的长为，再由三边关系可求得，进而求得的整数部分是1． 【应用】 (1)利用方法一求的小数部分； (2)如图②，在的正方形网络中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点．借助图②，利用方法二说明与的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查无理数的估算，勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据题意得到，即可得到答案； （2）由勾股定理可求得，，，根据三角形三边关系得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：由，得， ， 的小数部分是． （2）解：如图，由勾股定理可求得，，， 在中，， ． 7．（24-25八年级下·广东广州·期中）图，在的网格中，每个小正方形的边长为，小正方形的顶点叫做格点，点、、均为格点． (1)线段的长为______； (2)确定格点，使为等腰直角三角形，画出所有符合条件的格点． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】本题考查了网格问题，涉及了勾股定理以及等腰三角形的定义等知识点，熟记相关结论即可． （1）根据即可求解； （2）分类讨论即可完成作图； 【详解】（1）解：由勾股定理得，． 故答案为：． （2）解：如图，点，，，，均满足题意． 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）观察图1，每个小正方形的边均为1．可以得到每个小正方形的面积为1． （1）图中阴影部分的面积是多少？阴影部分正方形的边长是多少？ （2）估计边长的值在哪两个相邻整数之间？ （3）请你利用图2在的方格内作出边长为的正方形． 【答案】（1）阴影部分面积为10； 阴影部分正方形的边长为；（2）边长的值在整数3和4之间；（3）见解析． 【分析】（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算即可得解；再利用算术平方根的定义求出边长； （2）根据无理数的大小估算方法解答； （3）利用勾股定理作出边长，画出正方形即可． 【详解】（1）阴影部分面积 阴影部分正方形的边长； （2）∵， ∴， 即边长的值在整数3和4之间； （3）∵ 如图所示，正方形即为所求． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图，算术平方根，三角形的面积以及无理数大小的比较，勾股定理，此种阴影部分的面积的求法是常用方法，需熟练掌握并灵活运用． 1．（24-25八年级下·湖北黄石·月考）已知，如图长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　）地 城 考点07 勾股定理与折叠问题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用，理解折叠的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意，设，则，在中由勾股定理得到，则，结合三角形面积的计算公式即可求解． 【详解】解：根据折叠可得，， ∴设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：D ． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题注意考查勾股定理与折叠问题．设边的长为，首先根据长方形的性质得出，，，进而求出的长度，然后根据折叠的性质得出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设边的长为， ∵四边形是长方形， ∴，，． ， ． 由折叠的性质可知，， ． 在中， ∵， ， 解得， ∴边的长为， 故选：C． 3．（24-25八年级下·广东江门·月考）如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．设，则，根据题意可证得，可得．在中，根据勾股定理可得到关于x的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：设，则． 根据图形折叠的性质得：． ∵四边形为长方形， ∴． ∴． 在和中 ∵， ∴． ∴． 在中， 即． 解得：． ∴． 故选：A． 4．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，中，，现将沿进行翻折，使点A刚好落在，则的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则，，在直角中，根据勾股定理，即可得到一个关于CD的方程，即可求得． 【详解】解：设，则， 在中， ， ， 在中， 即： 解得：， 故选：A． 6．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，，可得，继而设，则，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处， ∴，， ∵折叠纸片，使点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， 解得：， 即， 故答案为：； 7．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，边的垂直平分线交于E，交于D，F为上一点，连接，点C关于的对称点恰好落在的延长线上，则的长为 __________________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，轴对称的性质．由勾股定理，求得，由垂直平分线的性质，得到，，，设，利用勾股定理列方程求解，得出，进而得到，再结合轴对称的性质，即可求出的长． 【详解】解：，，， ， 垂直平分， ，，， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， 在中，， 由对称的性质可知，， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，易证，即可得到结论； （2）根据（1）易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，即可作答． 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，也考查了长方形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理；利用长方形的性质、三角形全等的性质以及勾股定理进行正确计算是解题的关键． 【详解】（1）证明：长方形沿对角线对折，使落在的位置， ，， 又四边形为长方形， ， ， 而， 在与中： ； （2）解：∵四边形为长方形， ，， ， ， 设， 则，， 在中，， 即， 解得． 9．（24-25八年级下·广东汕头·期中）长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点的坐标为，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)求和的长； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)， (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）结合长方形的性质和点的坐标，即可解答； （2）由折叠的性质得，，在利用勾股定理求出的长，得到的长，设，在中利用勾股定理建立方程解出的值，得到的长，即可解答； （3）利用四边形的面积即可求解． 【详解】（1）解：长方形，点的坐标为， ，， 点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：；． （2）解：由折叠的性质得，，， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即， 综上所述，，． （3）解：由（2）得，， ， 由折叠的性质得，， 四边形的面积 ， 四边形的面积为． 10．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，将长方形沿直线对折，将点B折到点E处，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过角平分线和内错角相等证明两个底角相等从而证明等腰三角形； （2）通过设未知数建立方程，再结合勾股定理解出即可． 【详解】（1）， 由折叠的性质得：， ， ∴为等腰三角形； （2）解：设CF为x； ∵， 故有：， 解得：． 即 【点睛】本题考查等腰三角形的判定、方程法求解直角三角形边长，掌握这些方法是解题关键． 11．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，折叠长方形的一边，使点D落在BC边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的折叠和勾股定理求出的长即可； （2）先求出的长，设，则，，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形为长方形， ∴，，， 根据折叠可知，， 在中，根据勾股定理可得： ． （2）解：∵； 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握准确计算是解题的关键． 地 城 考点08 勾股定理的证明 1．（内蒙古自治区呼伦贝尔市阿荣旗阿荣旗阿伦中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据面积公式，逐项推理论证判断即可． 【详解】解：A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意； D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东东莞·期中）下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【详解】解：把斜边定为c， A、∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、根据图形只能说明，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； D、∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选C． 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　）    A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出的值，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为25， ∴， 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， 即图2中小正方形的边长为3， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键． 4．（24-25八年级下·广东汕头·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得出结论．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图2所示放置，其三边长分别为，，显然． ①请用分别表示出梯形的面积________，的面积________；并求出四边形的面积（用含c的式子表示，要写过程） ②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； 【方法迁移】 （1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到，则边上的高为________； （2）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【答案】方法应用：①；；；②见解析；方法迁移：（1）；（2） 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 方法应用：①根据题意表示出三个图形的面即可；②根据可证； 方法迁移： （1）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （2）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】解：【方法运用】： ①由题意得，，，； 故答案为：①；；； ②∵， ∴， ∴， ∴； 【方法迁移】： （1）设边上的高为h， ， ， ， ∴， 即边上的高是； 故答案为：； （2）在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴． 5．（24-25八年级下·广东惠州·期中）（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理； （2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 【答案】（1）见解析；（2）该飞镖状图案的面积是24 【分析】此题考查了勾股定理与弦图，完全平方公式， （1）根据，，进行推理验证即可； （2）求出直角三角形的边长，设，依题意有，求出x，再根据直角三角形的面积去求． 【详解】解：（1）， 即 则； （2） 设 依题意有 解得 ． 故该飞镖状图案的面积是24． 6．（24-25八年级下·广东惠州·期中）在学习勾股定理后，我们知道，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则可得到，小红和小林分别通过各自的方式验证了这一结论． 【验证】（1）小红将如图1所示的4张大小形状完全相同的直角三角形纸片拼成如图2所示的大正方形，则图2中大正方形的面积为______，也可用几个三角形和正方形的面积表示为______，然后根据面积之间的数量关系即可验证勾股定理； （2）爱动脑的小林用图1中相同的2张直角三角形纸片拼成了如图3所示的梯形，他发现通过该图形也能验证勾股定理，请你帮助小林完成验证； 【应用】（3）如图4，已知在中，，，，动点D从点B出发沿射线运动，连接． ①当点D在线段上运动，且时，求的长； ②已知点C关于所在直线的对称点为点，当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）①；②的长为或6 【分析】本题考查勾股定理的证明，以及勾股定理的灵活运用，解答时涉及列代数式，等式变形，熟练运用数形结合思想，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）将正方形的面积表示成4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，即可用含a、b、c的代数式表示出大正方形的面积；根据同一个图形用不同方法表示出其面积，面积不变即可得到等式； （2）梯形的面积为，也可表示为，可得，再化解即可； （3）①在中，由勾股定理得．再由，可得．在中，由勾股定理得； ②分为当点D在线段上，且点恰好落在射线上，当点D在线段的延长线上，且点恰好落在射线上，这两种情况结合勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）图2中大正方形的面积为，也可用几个三角形和正方形的面积表示为, 故答案为：；； （2）验证：∵梯形的面积为，也可表示为， ∴， 整理得； （3）①在中，由勾股定理得． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得； ②如图，当点D在线段上，且点恰好落在射线上． ∵点C与点关于对称， ∴，，， ∴，． 设， ∴． 在中，， 即， ∴， 即的长为； 如图2，当点D在线段的延长线上，且点恰好落在射线上． ∵点C与点关于对称， ∴，，， ∴． 设， ∴． 在中，， 即， ∴，即的长为6． 综上，的长为或6 7．（24-25八年级下·广东中山·期中）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 【答案】探索求证：见解析；问题解决：千米；延伸扩展： 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 8．（24-25八年级下·广东东莞·期中）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图． 【小试牛刀】 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，则它们满足的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为__________米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值． 【答案】（小试牛刀），，， ；（知识运用）200；（知识迁移）15 【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可； （知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小． 【详解】解：（小试牛刀）； ； ， 满足的关系式为：． （知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图： 由题意可得：， ，则的最小值，即为的最小值， 由三角形三边关系可得：，当三点共线时， ∴的最小值为， 作交延长线于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴米， 故答案为：； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点， 设，则， ∴， 由上可得当三点共线时，距离最小，最小为， 作交延长线于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∴代数式的最小值为15． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 1．（四川省成都市天府新区元音中学2024-2025学年上学期八年级期末模拟数学试题3）如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）地 城 考点09 勾股定理与无理数 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴； 利用勾股定理求出，可得的长，然后根据数轴可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴点D表示的数为， 故选：C． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，数轴上的点表示的数为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和数轴的综合应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键. 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再结合点P在数轴上的位置确定的值. 【详解】解：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度为：， 斜边长度即为点P到原点的距离，且点P在数轴上位于原点右侧， 点P表示的数为，即为. 故选：B． 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，那么点表示的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式． 由题意可知：，，再根据勾股定理求出，从而求出，然后设点表示的数为，根据两点间的距离公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可知：， 直线， ， 由勾股定理得：， 设点表示的数为， ， 或不合题意舍去， 点C表示的数是， 故选：． 4．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，点在数轴上表示的数为，过点作数轴的垂线段，且，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，数轴与实数，根据勾股定理计算即可，掌握勾股定理，数轴与实数的关系是解题的关键． 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 故选：． 5．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，的直角边与数轴重合，，以点O为圆心，长为半径作弧，与数轴交于点C，则点C表示的数为（ ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求出的长即可推出结果． 【详解】解：的直角边与数轴重合，， ， 以点O为圆心，长为半径作弧，与数轴交于点C， ， 点C表示的数为， 故选：D． 6．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，点A表示的数为（    ） A．1.414 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，由勾股定理可得，再根据数轴即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴点A表示的数为， 故选：D． 7．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，三角形的直角边分别对应数为和1，则数轴上点A所表示的数a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，数轴上两点的距离，熟练数轴两点之间距离是解题的关键； 本题可先根据勾股定理求出直角三角形斜边的长度，该长度等于点A到这个点的距离，再结合数轴上点的位置关系求出点A所表示的数． 【详解】解：∵三角形的直角边分别对应数为和1， ∴直角三角形的两条直角边长分别为2和1， 根据勾股定理， ∴点A到的距离是， 设点A表示的数为a， ∴， 故选：D． 1．（河南省平顶山市汝州市2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米．地 城 考点10 梯子问题 (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)处与地面的距离是24米； (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为8米． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． （1）在中，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）在中，由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 米，米， 米 米． 答：处与地面的距离是24米； （2）解：在中， 米，米， 米 米． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为8米． 2.（24-25八年级下·广东广州·期末）实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】（1）绳子长；（2）滑块B向左滑动的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，则，在中，利用 求解，最后算出绳子长度即可； （2）由题意可知，（），在中，由勾股定理得，，最后算得长度即可． 【详解】解：（1）物体C到定滑轮A垂直距离为，且， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ，， 绳子长度（）． 答：绳子总长度为18分米． （2）如图2，由题意可知，， 若物体C升高，则此时（）， 在中，由勾股定理得，（）， （）． 答：滑块B向左滑动的距离为． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，一架长5米的梯子斜靠在墙上，到墙底端C的距离为3米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的端向墙的方向移动了米到B处，此时梯子的高度达到工作要求，求梯子的端向上移动了多少米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，根据勾股定理知，， 在中，， 根据勾股定理知， ． 答：梯子的端向上移动了． 1．（专题01勾股定理的应用（五大类型）专练-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版））在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内．地 城 考点11 勾股定理应用-求旗杆高度 (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点A作于点E，则，，， 在中，， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升，如图所示，延长至点F，连接，则， ∴， 在中，， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 2．（四川省绵阳市东辰学校2024-2025学年八年级下学期第一学月数学试卷）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为米 (2)他应该往回收线米 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，， ， （米）， （米）， 他应该往回收线米． 3．（25-26八年级上·广东茂名·期中）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】14.5尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】解：设尺， 尺，尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 4．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图： ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点处，作垂直于点，． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度； (2)在（）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离米，求此时绳结到地面的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（）设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，利用勾股定理解答即可求解； （）由题意可知米， 米，，利用勾股定理求出，即得的长，进而即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的解题的关键． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得，， 解得， 答：旗杆的高度为米； （2）解：由题意可知，米， 米，， 在中，由勾股定理得米， ∴米， ∴米， 答：此时绳结到地面的高度为米． 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是（   ）地 城 考点12 勾股定理应用-大树折断问题 A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴折断处离地面的高度是尺， 故选：． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在一次强台风中，一棵大树在离地面3米处折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为4米，则这棵树折断前的高度为（   ） A．8米 B．6米 C．5米 D．3米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可得米，米，，由勾股定理求出米，即可得解． 【详解】解：由题意可得：米，米，， 由勾股定理可得：米， ∴这棵大树在折断前的高度为米， 故选：A． 3．（24-25八年级下·广东·期中）《九章算术》是我国古代数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，同折者高几何？”其大意是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是______尺．（其中1丈尺） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键．首先由竹子垂直于地面，可知此三角形是直角三角形，设折断处离地面x 尺，则折断的度为尺，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：设折断处离地面x 尺，则折断的度为尺， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面3米的处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵大树在折断前的高度为________米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可得米，米，，由勾股定理求出米，即可得解． 【详解】解：由题意可得：米，米，， 由勾股定理可得：米， ∴这棵大树在折断前的高度为米， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？ 【答案】大树折断前高16米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题的关键． 先利用勾股定理计算出的长，然后再计算出即可得到大树折断前的高度． 【详解】解：∵米，米， 根据勾股定理可得（米）， ∴（米）． 答：大树折断前高16米． 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根长的牙刷放置于底面半径是，高为的圆柱水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求．地 城 考点13 勾股定理应用-杯中筷子问题 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并读懂题意是解题的关键．根据勾股定理求出的值，进而即可得出答案． 【详解】解：如图，在中，， 根据勾股定理得 ． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，求这支铅笔的长度是多少？ 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在中：由勾股定理计算出的长度即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， 在中：由勾股定理得， ∵这支铅笔在笔筒外面部分长度是， ∴这支铅笔的长度是． 3．（24-25八年级下·广东肇庆·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？    【答案】水深12尺，芦苇的长度是13尺 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深尺，芦苇尺，1丈=10尺， 由勾股定理：， 解得：， ∴， 答：水深12尺，芦苇的长度是13尺． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取）地 城 考点14 勾股定理应用-航海问题 【答案】如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，构建直角三角形是解题的关键．过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离，根据题意可求得，从而得到海里，再根据30度所对直角边等于斜边的一半得到海里，最后利用勾股定理求得，即可判断． 【详解】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险， 理由如下：过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离， 由题意可知，，海里， ， ， ， 海里， ，， 海里， 在中，由勾股定理得 ， 渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里． 求： (1)两船分别航行了多少海里？ (2)“小蛮腰号”的航行方向． 【答案】(1)“广州湾号”航行路程为海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； (2)“小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，方向角，根据题意得出是直角三角形是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，航行时间为2小时， ∴“广州湾号”航行路程为：海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； （2）由（1）得（海里），（海里）， ∵两船相距26海里， ∴（海里）， ∵，， 故， 是直角三角形， ， ∴， “小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 3．（24-25八年级下·广东江门·月考）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地点出发，沿北偏东方向走了到达点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地点，求两点间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据平行线的性质，平角的定义得到为直角三角形，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解： 为直角三角形 ， ． 答：两点间的距离是． 1．（24-25八年级下·广东东莞·期中）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米．地 城 考点15 勾股定理应用-汽车超速和台风受影响问题 (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)观测点C到公路的距离为米 (2)此车没有超速，理由见解析 【分析】此题主要考查了度的角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点C作于H， 在中， ， ． 米 （米） （米） 即观测点C到公路的距离为（米）． （2）解：米， 米 米 ∴车速为（米/秒） 千米/小时米/秒， ∴此车没有超速． 2．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 【答案】(1)该居民楼会受到噪声的影响，理由见解析 (2) 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三线合一，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键： （1）作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进行判断即可； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，三线合一结合勾股定理求出的长，再除以速度，求出时间即可． 【详解】（1）解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下： 作，则：， ∵，， ∴， ∵， ∴该居民楼会受到噪声的影响； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，则：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 答：居民楼受到影响的时间有． 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 【答案】(1)500km (2)受影响，台风影响该海港持续的时间为8小时 【分析】（1）利用勾股定理求出即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；若受影响，利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：在中，km，km， （km）， 答：监测点与监测点之间的距离为500km； （2）解：海港受台风影响， 理由：，， ， ， km， 以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， 海港会受到此次台风的影响， 以为圆心，260km长为半径画弧，交于，， 则km时，正好影响港口， 在中， （km）， km， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（    ）地 城 考点16 判断能否构成直角三角形 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵，∴，能构成直角三角形，不符合题意； B、∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； C、∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； D、∵，，∴，不能构成直角三角形，符合题意． 故答案为：D． 2．（24-25八年级下·广东东莞·期中）长度为下列三个数据的三条线段，能组成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，5，7 C．6，8，10 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据三角形的三边关系，勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：，不能构成三角形，故选项A不符合题意； ，能构成三角形，，不能构成直角三角形，故选项B不符合题意； ，能构成三角形，，能构成直角三角形，故选项C符合题意； ，能构成三角形，，不能构成直角三角形，故选项D不符合题意； 故选C． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿（       ）方向航行． A．南偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、方位角等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 根据勾股定理逆定理求出，进而可得，进而完成解答． 【详解】解：如图:由题意得：（海里），（海里），，海里， ∴， ∴， ∴， ∴乙船沿南偏西方向航行． 故选A． 1.（24-25八年级下·广东惠州·期中）点A，B，C，D，E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则（    ）地 城 考点17 网格中判断直角三角形问题    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，连接，设小正方形的边长为x，根据勾股定理得，，，再根据勾股定理的逆定理，得，从而，由，得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设图中每个小正方形的边长为x， ，，， ，， ， ， 由题意得，， ， ， ， 故选：B． 2．（广东省东莞市翰林实验学校人教版2024-2025学年下学期八年级数学期中模拟复习试题）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，，，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．点到直线的距离是 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案． 【详解】解：A、，故本选不符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，故本选不符合题意； C、，故本选符合题意； D、点A到直线的距离，故本选不符合题意； 故选：C． 3．（2017-2018学年北京市大兴区八年级（上）期末数学试卷）如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点A，B，C是展开后小正方形的顶点，连接AB，BC，则∠ABC的大小是（　　） A．60° B．50° C．45° D．30° 【答案】C 【分析】连接AC，由图可知∠ACB=90°，简单计算即可发现AC=BC. 【详解】解：连接AC，由图可知∠ACB=90°，由勾股定理可得AC=BC=，则△ACB是一个直角等腰三角形，则∠ABC=45°， 故选择C. 【点睛】连接AC并发现△ACB是一个直角等腰三角形是解题关键. 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点．地 城 考点18 利用勾股定理的逆定理求解 (1)求的面积． (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题的关键． （）先根据勾股定理逆定理，判断为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可； （）连接，根据折叠的性质可知，，，设，则，在中利用勾股定理即可求出的长，同理，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设， ∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25八年级下·广东肇庆·期中）如图，在中，，，，．E是上一点，，，垂足为． (1)判断的形状并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理和直角三角形的性质是解题的关键． （1）用勾股定理的逆定理判定即可； （2）先由直角三角形的性质，求得，再由勾股定理求出，然后由求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵是直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（广东省广州市增城广附教育集团联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题）如图，在一条东西走向的河，河一侧有村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点机H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．地 城 考点19 勾股定理逆定理的实际问题 (1)请问是否为从村庄到河边的最近路？请说明理由； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是村庄到河边的最近路，理由见解析 (2)千米 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、垂线段最短，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键． （1）先根据勾股定理的逆定理可得，再根据垂线段最短即可得； （2）设千米，则千米，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：是村庄到河边的最近路，理由如下： ∵千米，千米，千米， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知，是村庄到河边的最近路． （2）解：设千米，则千米， 由（1）已得：， 在中，，即， 解得， 即千米， 答：原来的路线的长为千米． 2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地．如图，，米，米，米，试求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为平方米 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据题意，运用勾股定理得到，运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，由面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴米， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ （平方米）， ∴阴影部分的面积为平方米． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）党的二十大以来，各地更加积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山，某小区物业在小区拐角清理出一块空地进行绿化改造，如图，，，，，． (1)为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点直通点的小路，求小路的长度； (2)若该空地的改造费用为每平方米100元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)小路的长度为 (2)改造这片空地共需花费11400元 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的实际应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）根据勾股定理逆定理，判断出为直角三角形，分割法求出四边形的面积，再乘以每平方米的改造费用即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 答：小路的长度为； （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ ∴（元）. 答：改造这片空地共需花费11400元． 4．为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助学生更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． (1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时,小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； (2)如图所示,八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为,请帮助他们求出该实验基地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形,根据直角三角形的面积公式计算即可； （2）过点A作于D,根据勾股定理列出方程,解方程求出,再根据勾股定理求出,根据三角形面积公式计算,得到答案． 【详解】（1）解：∵, ∴, ∴这个三角形是直角三角形, ∴三角形的面积为：； （2）如图,过点A作于D, 设,则, 在中, 在中,, ∴,即, 解得：, 由勾股定理得：（m）, ∴, ∴该实验基地的面积为． 5．（24-25八年级下·广东东莞·期中）先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3） 【分析】（1）根据已知数据即可得到结果； （2）根据勾股定理判断即可； （3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）∵第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； ， ∴第组：，，． （2）直角三角形； 证明：为正整数， ． 以，，为三边的三角形是直角三角形． （3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数， 这组数为第九列：，，， 即，，． ， ． ，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键． 6．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为． (1)的长为______； (2)求证：； (3)若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，写出D点在第一象限时的坐标______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用勾股定理计算出即可； （2）首先计算出，，，再利用勾股定理逆定理可判定是直角三角形，进而可得； （3）利用平面直角坐标系结合网格画出平行四边形可得D点坐标． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）∵，，， ∵， ∴是直角三角形，且是斜边， ∴； （3）如图所示：D点的坐标，，， ∴D点在第一象限时的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理，勾股定理逆定理，解题关键是掌握勾股定理逆定理． 7．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，某校有一块四边形劳动基地，现计划在劳动基地种植绿植，测得，米，米，米，米，若每平方米所种绿植需要100元，问需要投入多少钱． 【答案】需要投入1850元 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键；连接，由勾股定理可得米，然后根据勾股定理逆定理可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵米，米，， ∴米， ∵米，米， ∴， ∴， ∴平方米， ∴（元）， 答：需要投入1850元． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $