专题01 二次根式11大考点（期中真题汇编，广东专用）八年级数学下学期新教材人教版

专题01 二次根式 11大高频考点概览 考点01 二次根式的识别和有意义的条件 考点02 二次根式的性质化简 考点03 二次根式的乘除运算 考点04 最简二次根式的相关计算 考点05 同类二次根式 考点06 二次根式的加减混合运算 考点07 分母有理化 考点08 二次根式的化简求值问题 考点09 二次根式的应用 考点10 复合二次根式的化简 考点11 二次根式的大小比较 地 城 考点01 二次根式的识别和有意义的条件 1．（24-25八年级下·广东珠海·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，我们把形如其中的式子叫二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A．∵中的，∴二次根式无意义，∴不是二次根式，故A选项不符合题意； B．是二次根式，故B选项符合题意； C．不是二次根式，是三次根式，故C选项不符合题意； D．是分式不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选： B． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据形如，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、因为，故是二次根式，故此选项符合题意； D、当时，则，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·广东惠州·期中）下列各式一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，当时，就是二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A选项：是三次根式，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：中被开方数，所以无意义，故B选项不符合题意； C选项：符合二次根式的定义，故C选项符合题意； D选项：中当时，无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）要使有意义，则x的值可以是（   ） A．2 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义即被开方数为非负数得出x的取值范围，然后判断即可． 【详解】解：要使有意义， 则， 解得， 观察四个选项，选项D符合题意． 5．（24-25八年级下·广东东莞·期中）使式子在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是熟知二次根式具有非负性．分别根据二次根式及分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 解得且． 故选：C． 6．（24-25八年级下·广东东莞·期中）二次根式有意义时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．要使二次根式有意义，需满足被开方数，由此进行求解即可． 【详解】解：二次根式有意义时， ， 解得， 故选D． 7．（24-25八年级下·广东珠海·期中）式子在实数范围内有意义，则满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：B． 8．（24-25八年级下·广东东莞·期中）要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，列不等式，即可得的取值范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：． 9．（24-25八年级下·广东广州·期中）若使有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵有意义， ∴，则， 故选：C． 10．（24-25八年级下·广东广州·期中）若式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故选：A． 11．（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知x，y都是实数，且，则的平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、求不等式组的解集、平方根的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的值，进而得出的值，再根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， ∴， ∵6的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·广东汕头·期中）使有意义的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·广东湛江·期中）若有意义，则实数a的取值范围是________________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 14．（24-25八年级下·广东佛山·期中）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·广东广州·期中）化简的结果是 ________ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，先根据二次根式的被开方数是非负数，判断x的正负，然后根据二次根式的性质进行化简即可，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·广东珠海·期中）当二次根式有意义时，x的取值范围______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式有意义的条件列不等式，求解即可． 【详解】解：由题意得：，解得 故答案为：． 地 城 考点02 二次根式的性质化简 1．（24-25八年级下·广东汕头·期中）下列各式中计算正确的是（    ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：A：==，选项计算错误，不符合题意； B：==（），选项计算错误，不符合题意； C：==，选项计算错误，不符合题意； D： ，选项计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知是整数，正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，根据可知，是一个完全平方数，且为正整数，据此求出的最小值即可得到答案． 【详解】解：∵是整数，且为正整数， ∴是一个完全平方数，且为正整数， ∴的最小值为4， ∴的最小值为2， 故选：A． 4．（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C 5．（24-25八年级下·广东珠海·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简．先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可知：，，， ∴ ， 故选：B． 6．（24-25八年级下·广东·期中）已知，化简的结果是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键，根据的取值范围，判断，的正负，进行化简，合并同类项，得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．（24-25八年级下·广东惠州·期中）计算：______；______． 【答案】 2 【分析】本题考查了利用二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质：和，即可得到结果． 【详解】解：；． 故答案为：2；． 8．（24-25八年级下·广东汕头·期中）计算： ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后再根据绝对值的定义解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·广东肇庆·期中）__________ 【答案】10 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 直接根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， 故答案为：10． 10．（24-25八年级下·广东韶关·期中）化简：___________________ ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·广东惠州·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【答案】1 【分析】先根据数轴确定的取值范围，再依据绝对值和二次根式的性质化简式子，最后计算得出结果．本题主要考查了数轴、绝对值的性质以及二次根式的性质，熟练掌握绝对值和二次根式的化简规则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知． ∴，， ∴． ∴． 故答案为： 12．（24-25八年级下·广东江门·期中）化简：___________ 【答案】/ 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：； 故答案为： 13．（24-25八年级下·广东东莞·期中）化简的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·广东广州·期中）化简：________；________；________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：；； 故答案为：，；． 15．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，化简：______． 【答案】1 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1． 16（24-25八年级下·广东东莞·期中）计算：________． 【答案】12 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：； 故答案为：12． 地 城 考点03 二次根式的乘除运算 1．（24-25八年级下·广东汕头·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式乘法，根据二次根式的性质，二次根式乘法法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C正确，符合题意； D、，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·广东珠海·期中）已知，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】此题主要考查代数式求值，完全平方公式的应用及二次根式的乘法，解题的关键是熟知整体法的运用．利用完全平方公式将所求式子变形为，再将代入即可求解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）计算的结果是________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则计算即可，熟练掌握二次根式的乘法法则计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算即可得解，熟练掌握二次根式的乘法法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为： ． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据平方差公式去括号，再计算减法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·广东珠海·期中）当时，代数式________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，二次根式的运算．先利用完全平方公式将代数式变形为，然后再代入数据求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算：___________，__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简和二次根式的除法运算，根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 9．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，求代数式的值． 【答案】15 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式变形，再把x的值代入代数式进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 10．（24-25八年级下·广东珠海·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2)11 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式混合运算的计算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减法； （2）先根据完全平方公式及二次根式的乘法公式去括号，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（24-25八年级下·广东珠海·期中）计算：； 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算二次根式的乘法、二次根式的化简，再计算有理数的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 12．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 13．（24-25八年级下·广东东莞·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解； （2）先化简二次根式以及计算零指数幂，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 地 城 考点04 最简二次根式的相关计算 1.（24-25八年级下·广东广州·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开尽方的因数或因式． 逐一分析各选项是否满足最简二次根式的两个条件，排除不符合的选项，确定符合条件的选项． 【详解】解：A、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式，此选项不符合题意； B、，被开方数不含分母，且不含能开尽方的因数，是最简二次根式，此选项符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，此选项不符合题意； D、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式，此选项不符合题意． 故选：． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项． 【详解】解： A、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，含能开方的因数，不是最简，不符合题意； C、被开方数为质数，不含分母和能开方的因数，是最简二次根式，符合题意； D、 ，含能开方的因数，不是最简，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）下列根式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，理解其定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A：，被开方数含分母，需化简为，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B：，被开方数含分母，需化简为，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C：，被开方数中不含平方数因子，且不含分母，是最简二次根式，故该选项符合题意； D：，被开方数，含平方因子，可化简为，不是最简二次根式，故该选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式要满足的条件（1.被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2；2.被开方数不含分母）是解题的关键． 根据最简二次根式的定义分别判断即可． 【详解】解：A.，不是最简二次根式； B.无法化简，是最简二次根式； C.，不是最简二次根式； D.，不是最简二次根式； 故选：B． 5．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义，需满足被开方数不含能开方的因数． 【详解】解：．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．无平方数因子（除外），无法进一步化简，是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的识别，涉及最简二次根式判定方法：①被开方数不含能开得尽的因式或因数；②被开方数不含分母，从这两个方面逐项验证即可得到答案，熟记最简二次根式的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含能开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 7．（24-25八年级下·广东湛江·期中）下列各式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键． 最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此作答即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简二次根式的判定，熟练掌握最简二次根式的两个条件是解题的关键． 最简二次根式必须满足两个条件：被开方数中不含分母或分母中不含二次根号；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此进行判断． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 9．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各式属于最简二次根式的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 10．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则_____，_____． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 11．（24-25八年级下·广东广州·期中）在中，，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式．根据所对的直角边等于斜边的一半求解，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，，， ， ∴．    故答案为：． 12．（24-25八年级下·广东广州·期中）若直角三角形的两边长分别为2和4，则第三边长为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理、二次根式的化简，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据直角三角形的边长分2种情况讨论，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：若直角三角形的两直角边为2和4，则第三边长为； 若直角三角形的一条直角边为2，斜边为4，则第三边长为； 综上所述，第三边长为或． 故答案为：或． 13．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列各式中是最简二次根式的有______个． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 则只有是最简二次根式． 故答案为： 地 城 考点05 同类二次根式 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）若最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．最简二次根式与可以合并，则，即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，则与是同类二次根式， ∴． 解得． 故选：C． 2．（24-25八年级下·广东惠州·期中）下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式和化为最简二次根式．将各项化为最简二次根式，然后找出被开方数为3的最简二次根式即可得出答案． 【详解】解：A、，不能与合并，故本选项不符合题意； B、，能与合并，故本选项符合题意； C、，不能与合并，故本选项不符合题意； D、，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·广东中山·期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简，同类二次根式的概念即可求解． 【详解】解：选项，，根指数相同，被开方不同，不符合题意； 选项，，根指数相同，被开方也相同，符合题意； 选项，，根指数相同，被开方不同，不符合题意； 选项，，根指数相同，被开方不同，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查二次根式的综合，掌握二次根式的性质化简，同类二次根式的概念，分母有理数等知识是解题的关键． 4．（24-25八年级下·广东江门·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定． 【详解】解：，与不是同类二次根式，故A选项不合题意； 不能化简，与不是同类二次根式，故B选项不合题意； ，与不是同类二次根式，故C选项不合题意； ，与是同类二次根式，故D选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 5．（24-25八年级下·广东韶关·期中）下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式和化简二次根式为最简二次根式，先将每个二次根式化为最简二次根式，判断是否为的同类二次根式，即可判断各选项． 【详解】解：A. ，不能与合并，故该选项不符合题意； B. ，能与合并，故该选项符合题意；     C. ，不能与合并，故该选项不符合题意；     D. ，不能与合并，故该选项不符合题意； 故选：B． 地 城 考点06 二次根式的加减混合运算 1．（24-25八年级下·广东广州·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键．分别计算各项即可求解． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确 ； 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东惠州·期中）下列各运算，正确的是（   ） A．2 B． C．5 D．2 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．需根据运算法则逐一验证各选项的正确性． 【详解】A选项： = ，错误； B选项：，正确； C选项：，错误； D选项：为有理数与无理数相加，无法合并为，错误． 故选：B 3．（24-25八年级下·广东珠海·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式加减，二次根式的性质，二次根式的乘法，积的乘方，根据二次根式加减，二次根式的性质，二次根式的乘法，积的乘方法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不可以合并，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 4．（24-25八年级下·广东东莞·期中）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式运算，根据二次根式的运算法则逐一验证各选项即可，掌握二次根式的运算法则是解题的关键 【详解】解：、与不是同类二次根式，不能直接合并，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 5．（24-25八年级下·广东广州·期中）八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的应用，根据a、b、c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S，再根据三角形面积公式即可求出边上的高． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 设边上的高的长为， ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简，乘法公式的运用，二次根式的混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质，乘法公式，二次根式的混合运算法则即可求解． 【详解】解：A 、，故本选项运算错误； B、，故本选项运算错误； C、，故本选项运算错误； D、，故本选项运算正确． 故选：D 7．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知：，，求： (1)； (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）将a、b的值代入式子，根据二次根式的运算法则求出结果； （2）将a、b的值代入式子，根据二次根式的运算法则求出结果． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算括号里面的，再算除法即可； （2）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式和完全平方公式化简后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 10．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简绝对值、计算算术平方根与立方根，再计算实数的加减法即可得； （2）先计算二次根式的乘法与除法、化简二次根式，再计算二次根式的减法即可得． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 11．（24-25八年级下·广东东莞·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式计算，熟练掌握二次根式的化简，灵活进行合并同类二次根式，二次根式的混合运算是解题的关键； （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）按顺序化简二次根式，进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 12．（24-25八年级下·广东中山·期中）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1) ． (2)化简：． (3)若， ①求的值， ②求的值． 【答案】(1) (2) (3)①1；②6 【分析】本题考查了二次根式的化简求值的知识，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后再平方得到，再把原式化简变形为，接着利用整体代入法计算得到原式，再应用同样方法计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ； 地 城 考点07 分母有理化 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查的是分母有理化，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．把分子分母同时乘以，再化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2（24-25八年级下·广东珠海·期中）化简计算_______． 【答案】 【分析】本题考查的是分母有理化，根据二次根式的性质求解即可． 【详解】． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·广东珠海·期中）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的分母有理化的方法是解题关键．分子分母同乘以即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式=． 5．（24-25八年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：__________； (2)观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果； (3)试比较与的大小； (4)计算：（提示：）． 【答案】(1) (2) (3) (4)44 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法进行分母有理化即可解答； （2）仿照材料方法计算即可； （3）先根据材料计算方法进行化简，再进比较即可； （4）先仿照材料方法进行变形，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ． （3）解：根据材料可知，，， ∵， ，即． （4）解： ． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简； ； (2)矩形的面积为，一边长为，求这个矩形的周长． (3)求的值． 【答案】(1)； (2) (3)18 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 按照二次根式的混合运算法则求解即可 （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可． （2）首先求出矩形的另外一边长，再按矩形的周长公式计算即可． （3）把各分母先有理化再进行加减运算． 【详解】（1）解：， ； （2）解：矩形的另外一边长为： ， ∴矩形的周长为：． （3）解： ． 7．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知，． (1)化简和； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式分母有理化，二次根式的混合运算，完全平方公式： （1）通过分母有理化进行化简； （2）根据（1）中结论先计算出和，再利用完全平方公式将变形为，即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由（1）得，， ∴ ． 8（24-25八年级下·广东东莞·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题∶ ， ， ， (1)观察以上规律，请写出第5个等式：_________________________． (2)观察以上规律，请写出第n个等式：_________________________(n为正整数)． (3)利用上面的规律，计算 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中式子即可得到答案； （2）根据题中式子即可得到答案； （3）先进行分母有理化，然后再合并同类二次根式，解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得：第5个等式：； （2）解：由题意可得：第n个等式：； （3）解：原式 ， ， ， ． 9．（24-25八年级下·广东佛山·期中）阅读下列材料： ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出： ①_________；②_________； (2)请化简：； (3)若，比较的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)．理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算； （1）①根据例题进行计算即可求解；②根据题中的算式，直接得出规律即可； （2）利用（1）中规律展开，然后去括号合并即可． （3）根据（1）的结论，分子有理化，即可求解． 【详解】（1）解：①， 故答案为：． ②， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：，理由如下， 根据（2）中的规律可得：，， ∵， ∴， ∴． 地 城 考点08 二次根式的化简求值 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据已知求出和的值，然后利用因式分解进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， ． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知， (1)化简； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用完全平方公式、平方差公式展开，再由二次根式性质化简，最后合并同类项即可得到答案； （2）将代入（1）中化简结果，由二次根式性质化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知，， 当时，． 【点睛】本题考查二次根式化简求值，涉及完全完全平方差公式、平方差公式、二次根式性质化简、合并同类项等知识．熟练掌握相关公式及二次根式性质是解决问题的关键． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，分式的加减运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）把，代入求值即可； （2）先根据x、y的值求得，根据分式的加减得出，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ． （2）解：∵， ∴ ． 4．（24-25八年级下·广东江门·期中）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∴， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 青你根据小明的分析过程，解决下列问题： (1)化简：_________； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接分母有理化得出答案； （2）直接分母有理化得出答案； （3）根据题意得出的值，再得出，然后把原式变形得出答案即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）原式 ； （3）∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式化简求值、运用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确完成二次根式的化简是解题关键． 5．（24-25八年级下·广东东莞·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值： （1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵有意义， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点09 二次根式的应用 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）现有一块长为、宽为的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截取两个面积分别是和的正方形木板？ 【答案】能够在这块木板上截取两个分别是和的正方形木板 【分析】根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是和，显然只需比较两个正方形的边长的和与的大小即可． 【详解】解：， 由于， 可知，， 答：能够在这块木板上截取两个分别是和的正方形木板． 2．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)4680元 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用： （1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形空地的周长 ； （2）解：由题意得：， ， ∴ 元， 答：李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为4680元． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）在进行二次根式化简时，像，，这样的式子，我们可以将其进一步化简：，，．这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：． (2)矩形的面积为，一边长为，求它的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，二次根式的应用，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）根据题目中的例子进行分母有理化解答本题； （2）根据题意，可以求得矩形的另一边长，从而可以求得该矩形的周长． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵矩形的面积为，一边长为， ∴其邻边长为， ∴该矩形的周长为． 4．（24-25八年级下·广东珠海·期中）综合与实践 【问题情境】在数学课上，黄老师通过分组活动让同学们利用两个全等的含角的三角板进行拼图，并探究它们之间的关系．经测量，三角板斜边的长为． 【操作探究】 (1)如图1，逐梦组将三角板的边与三角板的边重合，得到的四边形．证明四边形是平行四边形． (2)如图2，追光组将三角板沿三角板的边平移一定距离时，得到四边形是矩形，且点在上，求三角板平移的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理． （1）根据全等三角形的性质可得，由两组对边分别相等的四边形为平行四边形即可证明； （2）利用直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，由矩形的性质得到，设，则，利用勾股定理得到，建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意：， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：根据题意：， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在和中， ∵， ∴，即， 解得：， ∴三角板平移的距离． 5．（24-25八年级下·广东珠海·期中）在平行四边形中，已知长为，长为，边上的高． (1)填空：若为正整数，为整数，则的最小值为________； (2)当时，计算平行四边形的面积； (3)计算平行四边形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行四边形的性质，二次根式的应用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质即可求解； （2）利用平行四边形的面积公式直接计算即可； （3）利用平行四边形的周长公式直接计算即可． 【详解】（1）解：∵为正整数，为整数， ∴是完全平方数，且， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：当时，则边上的高， ∴平行四边形的面积为． （3）解：平行四边形的周长为． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板A，B，两块光伏板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和． (1)光伏板A，B的边长分别为________m，________m；（用最简二次根式表示） (2)计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据正方形的面积根式以及最简二次根式的定义进行解题即可； （2）根据图形进行列式计算即可． 本题考查二次根式的应用、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题可知， 设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， 解得，（负数舍去）． 故答案为：，； （2）解：由题可知，阴影部分的面积为： ． 答：屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积为． 地 城 考点10 复合二次根式的化简 1．（23-24八年级下·广东江门·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 【答案】 （1），； （2）； （3）. 【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果； （3）将写成，8写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解： ． 2.（24-25八年级下·广东惠州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中均为整数），则有． ．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得______，_____； (2)试着把化成一个完全平方式． (3)若是216的立方根，是16的平方根，试计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、完全平方公式、二次根式的混合计算，二次根式的化简： （1）根据完全平方公式展开，再比较即可解答； （2）根据完全平方公式即可解答； （3）先根据立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，进而得到，再把化成完全平方式，最后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，． 故答案为：，． （2）解： ． （3）解：∵a是216的立方根，b是16的平方根， ∴， ∴ ． 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）比较大小：__________（填“>”、“<”或“=”）．地 城 考点11 二次根式的大小比较 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较的方法．首先求出、的平方，比较出它们平方的大小关系即可求解． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）比较两数的大小：______3．（填“<”或“>”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 由题意知，，由，可得，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·广东惠州·期中）比较大小：________．（填“>”，“<”或“=”号） 【答案】＜ 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：， 又， ， ， 故答案为： 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 专题01 二次根式 目目 考点01 二次根式的识别和有意义的条件 2 3 5 6 7 B C D C D B 11.±√6 12.x21 13.a≥2024 14.x≥2 15.-2x 16.x≥3 目目 考点02 二次根式的性质化简 2 3 4 5 6 D C A C B B 7.2 -2 8.2W2 9.10 11.1 12555 33 13.9 14.3√2 20 6 2 15.1 16.12 目目 考点03 二次根式的乘除运算 2 B C 3. 2026 4. 6√5 5. V14 6. 2 7. 2027 1/14 让教与学更高效 8 9 10 C C A 命学科网 8.2V5 9.15 10. 【详解】1解：丽-x侵 =s-2× =18-√8 =0； (2)解：(5-+V5(5+2 =6-25+5+2√5 =11. 11. 【详解】解：原式=(3-(V2+V4 =3-2+2 =3 12 【详解】解：2D×子35 =4W5x235 4 =1 13. 【详解】(1)解：45x2√5÷√5 =8√45÷√5 =8√9 =24; (2)解：8-2+(5+19 =2W2-√2+1 =√2+1. www.zxxk.com 让 2/14 教与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点04 最简二次根式的相关计算 2 3 5 8 9 C C B D C A D 10.1 2 11.3V5 12.25或2√5 13.1 目目 考点05 同类二次根式 2 3 4 5 B B D B 目目 考点06 :次根式的加减混合运算 2 3 4 5 6 D B B c D 7 【详解】(1)解：：a=√5-√5，b=3+5, ab=(5-5)5+5) =(5-5)(5+) =(5-(3月 =5-3 =2; (2)解：a=5-5,b=+√5， a2-b=(5-5-3+5i =5-25+3-3-25-5 3/14 的学科网 www.zxxk.com =-45 8 【详解】(1)解：原式=(4V2-32)÷2√2 =√2÷25 (2)解：原式=3√a-5√a =-2va. 9. 【详解】解：(23+v6)(25-6)-(2-1 =(12-6)-(2-22+1 =6-3+2√2 =3+22 10. 【详解】(1)原式=√2-1+2-√2-2 =-1. (2)原式=16-√6+26 =4+√6 11. 【们据@-8g =4√2-22+√2， =3√2； 2)解：历+-+。 =5V5+3√5-V6+2V6, =85+V6. 12. 4/14 教与学更高效 西学科网 www.zxxk.com 5-2 √5-√2 【详解】(1)解： 3+反3+2)(3-2 1 故答案为：5-√2； (2)解：原式=√2-1+√5-√2+√4-√5+…√121-√20 =121-1 =11-1 =10: 1 (3)解：①：a=5-2 V5+2, :a-2=5, （a-22=5, .a2-4a=1: ②：a2-4a=1, .2a4-8a3-8a+4 =2a2(a2-4a-8a+4 =2a2-8a+4 =2a2-4a+4 =2+4 =6; 目目 考点07 分母有理化 1. 25 2. √6 6 3. 5 5 1 4. V5-1 m-1' 2 5. 5/14 让教与学更高效 5-2, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 万-6 万-6=万-6-万-6 【详解】(1)解：7+67+6)(7-6(-(6 7-6 故答案为：√万-√6 (2)解：n+1+ √n+i-√n (n+1+mn+1-n) √n+l-√m (n+i-(n =√n+I-√n. 3解：根据材卡可知，而而而而而 :12+√1>1+10， i2+而+io,即i2-而<i-o. 1 1 1 1 (4)解：2+十5+5+4+5+…+2025+V2024 =√5-1+V5-√2+√4-√5+…+√2024-√2023+√2025-√2024 =-1+V2025 =-1+45 =44. 6. 【详解】(1)解： 22√525 万5353 3W5-2 3+23+23-2) =35-3√2： (2)解：矩形的另外一边长为： 2+2w5(2+25(5-2_25+10-4-4w5-6-25, V5+2 (5+25-2 5-4 矩形的周长为：2V5+2+6-25)=2(8-5)=16-2V5. 6/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 2 (3)解： 2 2 2 1+2+V2+5+5+N4++98+9+V99+V100 1+ 1 1 1 1 2++5+2+4+5+…+99+s+100+V9】 =2 十 =2(V2-1+V3-V2+4-√5++99-V98+100-√99） =2(100-1 =2×10-1 =2×9 =18. 7. 2+√5 2+5 【详解】(1)解：y2-5(2-2+52-(5 =2+V5, 2-V5 2-3-2-5 2+5(2-3(2+5)2-(5 (2)解：由(1)得x+y=2+V3+2-√5=4，xy=(2+⑤)(2-5=1， ..x2-xy+y2 =(x+y)}2-2xy-xy =(x+y)}2-3xy =42-3×1 =13. 8. 【详解】(1)解：由题意可得：第5个等式：（6+V5)(6-5)=1; (2)解：由题意可得：第n个等式：(n+1+Vnn+1-Vm=1: √2-1 5-√2 √4-5 V100-√99 3)解：原式（不j2-可N52N5-万不4+5N4-同…+(i00+99jM00-网 =√2-1+V5-V2+V4-3+.…+V100-V99, =V100-1, 7/14 丽学科网 www.zxxk.com =10-1, =9. 9. 6-5 【详解】(1)解：①6+56+5)6-5可 =√6-√5 故答案为：√6-√5. 1 ② =√n-n-1, √n+√n-l 故答案为：√n-√n-1; 1 √2023+√2025 =2[（5-+(5-5)+(7-5)++2025-v2023j] =5-1+5-5+万-5++2025-V2023 =2025-刂 =22: (3)解：a>b,理由如下， 报接(2》中的规律可得：a=v2五-=2m十V,b=25- 1 :√22+√21<V23+V22, V22+V21√23+√22' .axb. 目目 考点08 二次根式的化简求值 【详解】解：x= √2-1√2+1 2y 2 1 .x+y=2,x= 4 y+w2=x+川=5 4 8/14 让教与学更高效 2= 23+√22’ 动学科网 www.zxxk.com 让教与 2. 【详解】(1)解：A=（a-'+5+a3-a =(a-2a+1+(3'-(a =a-2Va+1+3-a =4-2Va; (2)解：由(1)知，A=4-2√a, =4-5 当a=号时，A=4-22 3. 【详解】(1)解：x+y=2V5-2+2√5+2 =45, xy=(25-225+2 =(23-22 =12-4 =8. (2)解：：x-y=2W3-2-2W3+2)=2V3-2-25-2=-4, y=8 yx =2+2 y x-y)2+2y 边 =-4)2+2×8 8 =4 4. 2-1=2-1. 【详解】1)解：2+1(2+2-D 1 故答案为：√2-1； (2)原式=(W2-1)+(5-√2)+(4-√5)+…+（√2023-√2022） y114 学更高效 丽学科网 www.zxxk.com 让 =√2023-1： 1 (3).a= 3+22 =3-2V2, a-3=-22, (a-3)2=(-2V2)=8,即a2-6a+9=8, a2-6a=-1, 3a2-18a+1=3(a2-6a)+1=3×(-1)+1=-2. 5. 【详解】解：：式子y=2x-1+-12x+有意义， [12x-1≥0 11-12x20' 1 y=21+-12x+写方 :-y 11 -V12V3 1 12 3 =63 1 12 =-2V5; 2):2023-a+√a-2024=a有意义， a-202420, a≥2024， ∴.a-2023+Va-2024=a, √a-2024=2023, .a-2024=20232, 10/14 教与学更高效 专题01 二次根式 11大高频考点概览 考点01 二次根式的识别和有意义的条件 考点02 二次根式的性质化简 考点03 二次根式的乘除运算 考点04 最简二次根式的相关计算 考点05 同类二次根式 考点06 二次根式的加减混合运算 考点07 分母有理化 考点08 二次根式的化简求值问题 考点09 二次根式的应用 考点10 复合二次根式的化简 考点11 二次根式的大小比较 地 城 考点01 二次根式的识别和有意义的条件 1．（24-25八年级下·广东珠海·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东惠州·期中）下列各式一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）要使有意义，则x的值可以是（   ） A．2 B． C．5 D． 5．（24-25八年级下·广东东莞·期中）使式子在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 6．（24-25八年级下·广东东莞·期中）二次根式有意义时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·广东珠海·期中）式子在实数范围内有意义，则满足的条件是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·广东东莞·期中）要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·广东广州·期中）若使有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·广东广州·期中）若式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知x，y都是实数，且，则的平方根是______． 12．（24-25八年级下·广东汕头·期中）使有意义的的取值范围是_____． 13．（24-25八年级下·广东湛江·期中）若有意义，则实数a的取值范围是________________． 14．（24-25八年级下·广东佛山·期中）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 15．（24-25八年级下·广东广州·期中）化简的结果是 ________ ． 16．（24-25八年级下·广东珠海·期中）当二次根式有意义时，x的取值范围______． 地 城 考点02 二次根式的性质化简 1．（24-25八年级下·广东汕头·期中）下列各式中计算正确的是（    ） A．； B．； C．； D． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知是整数，正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25八年级下·广东东莞·期中）已知，则x的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·广东珠海·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D．0 6．（24-25八年级下·广东·期中）已知，化简的结果是（   ） A． B．5 C． D． 7．（24-25八年级下·广东惠州·期中）计算：______；______． 8．（24-25八年级下·广东汕头·期中）计算： ______． 9．（24-25八年级下·广东肇庆·期中）__________ 10．（24-25八年级下·广东韶关·期中）化简：___________________ ． 11．（24-25八年级下·广东惠州·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，化简：________． 12．（24-25八年级下·广东江门·期中）化简：___________ 13．（24-25八年级下·广东东莞·期中）化简的结果是______． 14．（24-25八年级下·广东广州·期中）化简：________；________；________． 15．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，化简：______． 16（24-25八年级下·广东东莞·期中）计算：________． 地 城 考点03 二次根式的乘除运算 1．（24-25八年级下·广东汕头·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东珠海·期中）已知，则代数式的值是________． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）计算的结果是________________ ． 5．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算：___________． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）_______． 7．（24-25八年级下·广东珠海·期中）当时，代数式________． 8．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算：___________，__________． 9．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，求代数式的值． 10．（24-25八年级下·广东珠海·期中）计算： (1)． (2)． 11．（24-25八年级下·广东珠海·期中）计算：； 12．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 13．（24-25八年级下·广东东莞·期中）计算： (1)； (2)． 地 城 考点04 最简二次根式的相关计算 1.（24-25八年级下·广东广州·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）下列根式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·广东湛江·期中）下列各式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各式属于最简二次根式的有（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则_____，_____． 11．（24-25八年级下·广东广州·期中）在中，，，，则的长为________． 12．（24-25八年级下·广东广州·期中）若直角三角形的两边长分别为2和4，则第三边长为_____． 13．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列各式中是最简二次根式的有______个． 地 城 考点05 同类二次根式 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）若最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东惠州·期中）下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东中山·期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东江门·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·广东韶关·期中）下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点06 二次根式的加减混合运算 1．（24-25八年级下·广东广州·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东惠州·期中）下列各运算，正确的是（   ） A．2 B． C．5 D．2 3．（24-25八年级下·广东珠海·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东东莞·期中）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·广东广州·期中）八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知：，，求： (1)； (2) 8．（24-25八年级下·广东广州·期中）计算： (1)； (2)． 9．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算： ． 10．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算： (1)； (2)． 11．（24-25八年级下·广东东莞·期中）计算 (1) (2) 12．（24-25八年级下·广东中山·期中）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1) ． (2)化简：． (3)若， ①求的值， ②求的值． 地 城 考点07 分母有理化 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算：________． 2（24-25八年级下·广东珠海·期中）化简计算_______． 3．（24-25八年级下·广东珠海·期中）计算：________． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）先化简，再求值：，其中． 5．（24-25八年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … (1)填空：__________； (2)观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果； (3)试比较与的大小； (4)计算：（提示：）． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简； ； (2)矩形的面积为，一边长为，求这个矩形的周长． (3)求的值． 7．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知，． (1)化简和； (2)求的值． 8（24-25八年级下·广东东莞·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题∶ ， ， ， (1)观察以上规律，请写出第5个等式：_________________________． (2)观察以上规律，请写出第n个等式：_________________________(n为正整数)． (3)利用上面的规律，计算 9．（24-25八年级下·广东佛山·期中）阅读下列材料： ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出： ①_________；②_________； (2)请化简：； (3)若，比较的大小，并说明理由． 地 城 考点08 二次根式的化简求值 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，求的值． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知， (1)化简； (2)当时，求的值． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 4．（24-25八年级下·广东江门·期中）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∴， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 青你根据小明的分析过程，解决下列问题： (1)化简：_________； (2)计算：； (3)若，求的值． 5．（24-25八年级下·广东东莞·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 地 城 考点09 二次根式的应用 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）现有一块长为、宽为的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截取两个面积分别是和的正方形木板？ 2．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）在进行二次根式化简时，像，，这样的式子，我们可以将其进一步化简：，，．这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：． (2)矩形的面积为，一边长为，求它的周长． 4．（24-25八年级下·广东珠海·期中）综合与实践 【问题情境】在数学课上，黄老师通过分组活动让同学们利用两个全等的含角的三角板进行拼图，并探究它们之间的关系．经测量，三角板斜边的长为． 【操作探究】 (1)如图1，逐梦组将三角板的边与三角板的边重合，得到的四边形．证明四边形是平行四边形． (2)如图2，追光组将三角板沿三角板的边平移一定距离时，得到四边形是矩形，且点在上，求三角板平移的距离． 5．（24-25八年级下·广东珠海·期中）在平行四边形中，已知长为，长为，边上的高． (1)填空：若为正整数，为整数，则的最小值为________； (2)当时，计算平行四边形的面积； (3)计算平行四边形的周长． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板A，B，两块光伏板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和． (1)光伏板A，B的边长分别为________m，________m；（用最简二次根式表示） (2)计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积． 地 城 考点10 和服二次根式的化简 1．（23-24八年级下·广东江门·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 2.（24-25八年级下·广东惠州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中均为整数），则有． ．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得______，_____； (2)试着把化成一个完全平方式． (3)若是216的立方根，是16的平方根，试计算：． 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）比较大小：__________（填“>”、“<”或“=”）．地 城 考点11 二次根式的大小比较 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）比较两数的大小：______3．（填“<”或“>”） 3．（24-25八年级下·广东惠州·期中）比较大小：________．（填“>”，“<”或“=”号） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $